Questões Comentadas de Cálculo com UMA variável

Prévia do material em texto

1 
 
QUESTÕES COMENTADAS DE CÁLCULO COM UMA VARIÁVEL 
JORGE BRANDÃO 
 
2 
 
Nobre leitor(a), como você calcula1 a área de uma folha de papel ou de uma 
parede? Caso não seja feita nenhuma ressalva, pressupomos tratar-se de uma folha 
de papel no formato de um retângulo. Idem parede! 
Sabendo-se que a área de um retângulo é dada pelo produto da base pela altura, 
basta termos as respectivas medidas. Por sua vez, se a folha não for retangular, 
como calcular sua área? 
Uma estratégia é: pegue uma folha e rasgue-a – em qualquer formato! Como 
calcular a área desta folha rasgada? Podemos dobrar (aproximadamente) ao meio 
– em qualquer sentido – e observar o que encontramos. Se for figura conhecida, 
basta multiplicar por dois (raciocínio inverso do dobrar ao meio). Temos uma área 
aproximada. 
Por sua vez, se não for conhecida a nova figura, podemos novamente dobrar 
ao meio. Dobrando duas vezes ao meio... Resultado deve ser multiplicado por 
quatro. Mas, e se ainda não for figura conhecida? Podemos repetir processo 
sucessivamente. Até formar um pequeno retângulo! 
Não apresentamos figura porque “o essencial é invisível aos olhos” como 
disse a Raposa ao Pequeno Príncipe. No nosso caso, o “essencial” é compreender a 
“construção do raciocínio”. Este pequeno retângulo que será obtido pode ser 
comparado à estratégia das “Somas de Riemann” para cálculo de integrais. 
O presente material objetiva apresentar questões resolvidas e comentadas 
como forma de apreensão de conteúdos que estão atreladas às disciplinas de 
Cálculo Diferencial e Integral com uma variável. Algumas questões são resolvidas 
mediante “tentativa e erro”, isto é, em vez de apresentar a solução mais coerente 
para dado problema, mostram-se raciocínios. Com efeito, matemática é a arte de 
raciocinar. 
 
Iniciando... 
Saber operações numéricas é base para desenvolver uma matemática bem 
estruturada. Por exemplo: 
I. Sabemos que 1 = (1)³, pois (1).( 1).( 1) = 1. 
II. Podemos reescrever (1)³ como (1)6/2, haja vista 3 = 6/2. 
 
1
Ops! A palavra “Calcula” vem de “Cálculo” e “cálculo” significa “Pedra”! 
3 
 
III. De ab/c ser interpretada como a raiz de ordem “c” de “a” elevado a “b”, 
segue-se que (1)6/2 é a raiz quadrada de “menos um” elevado à sexta 
potência. 
IV. Como (1)6 = 1, ficamos com a raiz quadrada de um. 
V. Ora, raiz quadrada de um é um, daí, 1 = 1??? 
Resumindo em símbolos: 
−1 =⏟
𝑖
(−1)3=⏟
𝑖𝑖
(−1)
6
2=⏟
𝑖𝑖𝑖
√(−1)6=⏟
𝑖𝑣
√1=⏟
𝑣
 1 
Logo, como 1 ≠ 1, segue-se que há um erro. Onde? Desta feita, este material 
objetiva utilizar de forma coerente operações envolvendo limites, derivadas e 
integrais. 
Ou seja... 
Como há um erro na “justificativa” de 1 = 1, segue-se que é necessário 
compreender as operações numéricas atreladas. Mesmo artifício vale para 
aplicações: como garantir que o cálculo está certo ou que erro cometido foi 
prejudicial ao todo do problema. 
Para que serve o “Cálculo I” no seu curso? Resposta: depende do seu 
curso! Recomendo que você consulte professores da área, colegas que estão em 
períodos mais avançados... Opiniões são iguais a umbigo, cada um tem o seu... 
Desta feita, o foco deste material é apresentar várias situações problemas na 
Oceanografia, nas Engenharias etc, apresentando “linhas” de raciocínio como 
trilhas, e não trilho, mas que chegarão no mesmo resultado. 
E por qual motivo usar, em alguns casos, linhas distintas de raciocínio em 
um mesmo problema? Matemática não é só resolver problemas... é ensinar 
também a enfrentar novos desafios. Por exemplo: desenvolver um celular para 
uma pessoa surdo-cega não é simplesmente usar ideias/procedimentos para 
surdos ou para cegos. Requer novas estratégias. 
 
4 
 
Pré-Cálculo 
 
1ª Questão: Se x + 1/x = 3, qual o valor de x² + 1/x²? 
Solução: 
Temos a “tendência” de transformar x + 1/x = 3 em uma equação do 
segundo grau, resolvê-la e, por fim, substituir em x² + 1/x². Não está errada tal 
linha de raciocínio! Tentem. 
Apresentamos a seguinte ideia: (
𝒂
𝒃
)
𝟐
=
𝒂²
𝒃²
, é claro, sendo b não nulo. 
Motivação: 
𝟏
𝒙²
=
𝟏²
𝒙²
= (
𝟏
𝒙
)
𝟐
, com x ≠ 0. 
Para facilitar “visualização”, considere y = 1/x. Assim, temos x + y = 3 e 
queremos x² + y². 
Se queremos o quadrado... algo nos impede de elevar ambos os membros da 
igualdade x + y = 3 ao quadrado? 
Vamos tentar: (x + y)² = (3)² 
Desenvolvendo, x² + 2xy + y² = 9. 
Como y = 1/x, segue-se que xy = 1 (por quê?). Desta feita, organizando: 
𝒙² + 𝟐. (𝟏) + 
𝟏
𝒙²
= 𝟗. Ou seja, trocamos xy por 1 e y² por 1/x². 
Por fim, x² + 1/x² = 9 – 2 = 7. 
 
2ª. Questão: Se x + 1/x = 3, qual o valor de x³ + 1/x³? 
Solução: 
Como a ideia de elevar ao quadrado “deu certo”, vamos elevar ambos os 
membros da igualdade ao cubo. Para tanto, recordar: 
(a + b)³ = (a + b)².(a + b) ... compare com 5³ = 555 = 5²5. 
(a + b)³ = (a² + 2ab + b²)(a + b) ... desenvolvendo (a + b)² 
(a + b)³ = (a² + 2ab + b²).a + (a² + 2ab + b²).b ... usando p(r + s) = p.r + p.s. 
Neste caso, é como se p fosse a² + 2ab + b². 
(a + b)³ = a³ + 2a²b + b²a + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 
Assim, (x + 1/x)³ = 3³ 
Desenvolvendo: 
5 
 
(𝑥)3 + 3(𝑥)². (
1
𝑥
) + 3(𝑥). (
1
𝑥
)
2
+ (
1
𝑥
)
3
= 27 
Organizando, 𝒙³ + 𝟑𝒙² ∙
𝟏
𝒙
+ 𝟑𝒙 ∙
𝟏
𝒙𝟐
+ 
𝟏
𝒙𝟑
= 𝟐𝟕 
Equivalendo a 𝒙³ + 𝟑𝒙 + 𝟑 ∙
𝟏
𝒙
+
𝟏
𝒙𝟑
= 𝟐𝟕. 
Usamos o seguinte fato: 
𝒙𝒑
𝒙𝒒
= 𝒙𝒑−𝒒 = 
𝟏
𝒙𝒒−𝒑
. 
Ou seja, se p > q, deixamos expressão no numerador. No caso de p < q, a 
expressão fica no denominador. 
Assim, de x + 1/x = 3, temos 3(x + 1/x) = 3(3) = 9. Por quê? 
Porque apareceu 3x + 3/x no desenvolvimento de (x + 1/x)³. 
Logo, x³ + 1/x³ = 27 – 9 = 18. 
Reflita, nobre estudante, sobre as “passagens” realizadas. 
Os próximos exemplos envolvem módulo. Motivo: há aplicações onde 
precisamos determinar um intervalo (para mais de uma variável, região plana 
ou espacial) para realização da aplicação (nas engenharias, chamamos de 
condição de contorno). 
 
3ª Questão: Quais valores de x tornam verdadeira a desigualdade |2𝑥 − 1| < 3? 
Solução: 
Sabemos que | u | < 3  3 < u < 3. 
Assim, supor u = 2x – 1. Dai, 3< 2x – 1 < 3. 
Como queremos apenas o “x”, vamos isolar. Inicialmente, somar “1” a cada 
membro da desigualdade. Motivo: há o “1”. E a – a = 0. 
Deste modo, 3 + 1< 2x – 1 + 1 < 3 + 1. Que equivale a 2 < 2x < 4. 
Por fim, dividir ambos os membros da desigualdade por 2, o coeficiente do 
x. Consequentemente: 1 < x < 2. 
 
4ª Questão: Quais valores de x tornam verdadeira a desigualdade |2 − 11𝑥| < 3? 
Solução: 
Sabemos que | u | < 3  3 < u < 3. Assim, supor u = 2 – 11x. 
Daí,  3 < 2 – 11x < 3. Replicando raciocínio anterior, subtrairemos 2 de 
cada membro da desigualdade (percebam que realizamos a operação inversa!). 
6 
 
Portanto: – 3 – 2 < 2 – 11x – 2 < 3 – 2 – 5 <– 11x < 1. Por fim, dividir 
ambos os membros da desigualdade por “11”. 
ATENÇÃO! Dividir por “–11” equivale a multiplicar a expressão por “–1/11”. 
SEMPRE que multiplicamos uma desigualdade por um valor negativo, ela INVERTE 
o sinal. 
Em símbolos: 𝒔𝒆 𝒙 < 𝑎, {
𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝒃𝒙 < 𝑎𝑏, 𝒔𝒆 𝒃 > 0
𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝒃𝒙 > 𝑎𝑏, 𝒔𝒆 𝒃 < 0
 
De volta ao problema, 
5
11
> 𝑥 > −
1
11
. 
 
5ª Questão: “A poluição atmosférica em grandes cidades aumenta durante 
andamento de um dia. Em certa ocasião, a concentração de poluentes no ar, às 08:00 
h, era de 15 partículas, em cada milhão de partículas, e, às 12:00 h, era de 60 
partículas, em cada milhão de partículas. Admitindo que a variação de poluentes no 
ar durante o dia é linear em relação ao tempo, qual o número de partículas poluentes 
no ar em cada milhão de partículas, às 16:00 h?” 
Solução: 
Quando a variação for LINEAR, significa dizer que faremos uso da função y 
= f(x) = ax + b. Nosso problema é, inicialmente, determinar “a” e “b”. 
Considere x otempo (aqui em horas) e y a quantidade de partículas, em 
cada milhão de partículas, em determinada hora. Da informação obtida na segunda 
linha “(...) às 08h, era de 15 partículas, em cada milhão de partículas (...)”, temos 
que x = 8 e y = 15. 
Na 3ª linha, “às 12 h, era de 60”, temos que x = 12 e y = 60. 
Substituindo em y = ax + b tais informações, temos: 
(1) 15 = 8a + b 
(2) 60 = 12a + b 
Há diversas formas de resolver, uma delas é isolar b em (1) e substituir em 
(2). Assim, b = 15 – 8a 
Daí, 60 = 12a + b = 12a + (15 – 8a) = 15 + 4a. Organizando, 60 = 15 + 4a  
4a = 60 – 15 = 45  a = 45/4 = 11,25. 
Por fim, b = 15 – 8a = 15 – 8(45/4) = 15 –90 = 75. Logo, y = 11,25x – 75. 
Desta feita, às 16h, isto é, x = 16  y = 11,25(16) – 75 = 105. 
7 
 
6ª Questão: A tabela a seguir indica a variação da temperatura da água com a 
profundidade, em relação ao nível do mar. 
Profundidade (m) 0 100 500 1000 
Temperatura (oC) 30 26 12 4 
Admitindo LINEARIDADE entre duas medições consecutivas, qual a temperatura 
estimada aos 140 m de profundidade? 
Solução: 
Interessante salientar é: “como é construída a tabela?” Uma maneira está 
associada a determinar intervalos, no caso de profundidade, com mesmo tamanho. 
Pode ser tamanho de 1 m em 1 m e analisa-se a temperatura, ou de 5 m em 5 m... é 
claro que, com uma maior quantidade de observações, melhor a aproximação da 
realidade. 
Os dados da tabela e, com a informação da linearidade entre duas medições 
consecutivas, permite-nos (lembrar que “essencial seja invisível aos olhos”, logo 
não faremos figuras!!!): 
Seja x a profundidade (em metros) e considere y a temperatura (em oC) 
para determinada profundidade. Como queremos a temperatura para a 
profundidade de 140 m, interessa-nos o intervalo entre as medições que são 
anteriores e posteriores a tal valor. Ou seja, x = 140 está entre 100 e 500. 
Ora, quando x = 100, segue-se que y = 26. (*) 
Quando x = 500, temos y = 20. (**) 
Sendo linear, podemos admitir y = ax + b. 
De (*), 26 = 100a + b. 
De (**), 20 = 500a + b. 
Isolando “b” em (*), temos: b = 26 – 100a. Substituindo em (**), temos: 
 20 = 500a + (26 – 100a) = 400a + 26 
Organizando, 20 – 26 = 400a  a = –6/400 = –0,015 
Assim, voltando para (*), b = 26 – 100a = 26 – 100(0,015) = 27,5 
Daí, y = –0,015x + 27,5, desde que x esteja entre 100 e 500, isto é, o 
intervalo 100 ≤ x ≤ 500 (e 20 ≤ y ≤ 26). Pois, para outros valores, há outras 
expressões. 
Enfim, para x = 140, y = –0,015.(140) + 27,5 = 25,4 
8 
 
7ª Questão: Considere a seguinte situação para introdução da função do 2º grau... 
durante uma crise atrelada à gripe das aves, alguns produtores foram aconselhados 
a construir seus aviários em grandes galpões refrigerados (...). Nos galpões, cada 
aviário de um produtor específico era construído no formato retangular usando telas 
de arames com 20 m. Desconsiderando a altura das telas, quais devem ser as medidas 
do retângulo de modo que sua área seja a maior possível? 
Solução: 
Vamos “traduzir” para a matemática. 
A expressão “formato retangular usando telas de arames com 20 m” 
está associada ao perímetro. Com efeito, a tela está contornando o aviário (se fosse 
mais de uma vez, deveria ser informado no contexto do problema). Ou seja, 
indicando por x e z as medidas dos lados do retângulo, segue-se que 2x + 2z = 20. 
Ou seja, (*) x + z = 10. 
A área de um retângulo é (**) Área = xz. Note que ela é uma função de duas 
variáveis. Como ainda não sabemos trabalhar (de maneira significativa) com 
funções com mais de uma variável, vamos tornar a área função de uma única 
variável. 
De (*), z = 10 – x. 
Em (**), Área = x(10 – x) = –x² + 10x. 
ATENÇÃO!!! Sendo área de um retângulo, x, medida de um dos lados, não pode ser 
negativo. Assim sendo, x > 0. Pelo mesmo motivo z > 0. 
Como z = 10 – x, segue-se que 10 – x > 0  x < 10. 
Desta feita, área = f(x) = 10x – x² desde que 0 < x < 10. 
Paremos um pouco (já que o foco é MAIOR área). 
... 
Uma função polinomial do segundo grau é do tipo f(x) = ax² + bx + c, com a, 
b e c reais e a ≠ 0. Como o foco deste material são as aplicações, vamos direto ao 
quadro resumo: 
Se o valor de “a” for... O gráfico é do tipo... E no VÉRTICE... 
POSITIVO  Temos MENOR valor 
NEGATIVO  Temos MAIOR valor 
 
9 
 
Suas raízes, ou valores que anulam f(x), são 𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
. 
No vértice, o gráfico tem simetria... 𝑥𝑣 =
𝑥1+𝑥2
2
= ⋯ = −
𝑏
2𝑎
 
De volta ao problema da gripe, f(x) = –x² + 10x. Ou seja, repare que, 
respectivamente, a = –1, b = 10 e c = 0. Sendo a < 0, temos MAIOR valor. 
Entendendo, queremos o xv. 
Daí, 𝒙𝒗 = −
𝒃
𝟐𝒂
= −
𝟏𝟎
𝟐(−𝟏)
= 𝟓 
Logo, z = 10 – x = 10 – 5 = 5. 
Concluímos que o retângulo de maior área com perímetro constante (dado) 
é um quadrado. 
 
8ª Questão: Caso um dos lados do aviário fosse uma longa parede retilínea... quais 
as medidas do retângulo de maior área? 
Solução: 
Neste caso, seja x indicação de cada uma das medidas dos lados 
perpendiculares à parede e considere z a medida do lado paralelo à parede. Assim, 
z + 2x = 20 (pois não será usada tela na parede). 
Área = xz = x(20 – 2x) = –2x² + 20x, com 0 < x < 10 (mesmo domínio?). 
Maior área... xv = –20/2(–2) = 5... 
E z = 20 – 2x = 20 – 2.(5) = 10. 
 
9ª questão: Um laboratório testou a ação de uma droga em uma amostra de 720 
frangos. Constatou-se que a lei de sobrevivência do lote de frangos era dada pela 
relação V(x) = ax² + b, onde V(x) é o número de elementos vivos no tempo x (meses). 
Sabendo-se que o último frango morreu quando x = 12 meses após o início da 
experiência, qual a quantidade de frangos que ainda estavam vivos no 10mês? 
Solução: 
Para iniciar resolução, reflita: Qual sua idade, em anos, no ano que você 
nasceu? 
... 
A minha era zero... E a sua também! 
10 
 
Assim, quando no enunciado fala-se que INICIALMENTE havia 720 frangos, 
segue-se que V(0) = 720. Assim, V(0) = a(0)² + b = b .: b = 720. 
Se o último morreu no 12º mês... então V(12) = 0. 
Desta feita, V(12) = a(12)² + 720 = 0  a.144 = –720  a = –5. 
Por conseguinte, V(x) = –5x² + 720. 
Por fim, V(10) = –5.(10)² + 720 = 220. 
 
10ª Questão: Montante (M ou Cn) de um capital inicial (C) aplicado durante n 
períodos a uma taxa i (correspondente ao período, isto é, se período mensal a taxa é 
mensal, etc), no sistema de juros compostos é dado por... 
Supondo aplicação mensal, com taxa i (mensal). 
Após um período, C1 = C + iC. 
Após dois períodos, C2 = C1 + iC1. 
Após três períodos, C3 = C2 + iC2 
... 
Após n períodos, Cn = Cn-1 + iCn-1 
Organizando a escrita em função de C, i e n, temos (por percepção): 
C1 = C + iC = C(1 + i) 
C2 = C1 + iC1 = C1(1 + i), substituindo C1 por C(1 + i), obtido na linha anterior, 
temos que C2 = C(1 + i)(1 + i). 
Se, para facilitar “visualização” x = 1 + i, então (1 + i)(1 + i) = x.x = x². Por 
conseguinte, C2 = C(1 + i)². 
De maneira análoga seguem demais construções, até: M = Cn = C(1 + i)n 
Aplicação: Após quantos anos um capital aplicado a uma taxa de 10% ao ano 
dobrará? 
Solução: 
M = 2C (pois irá dobrar). E i = 10% = 0,1. 
Assim: 2C = C(1 + 0,1)n  2 = (1,1)n. 
Tradução: Qual valor de x tal que 2 = (1,1)x? 
Solução 
Aplicando “log” em ambos os membros da igualdade: log2 = log(1,1)x. 
Usando a propriedade (3), log2 = x.log1,1. Assim, com base em calculadoras, temos: 
11 
 
𝑥 =
𝑙𝑜𝑔2
𝑙𝑜𝑔1,1
≈
0,301
0,041
≈ 7,34 
 
11ª Questão: Em Química, o pH de uma solução é definido como o logaritmo 
decimal do inverso da respectiva concentração de H3O+. Sabendo-se que o cérebro 
humano contém um líquido cuja concentração de H3O+ é 4,8. 10 -8 mol/l. Qual será o 
pH desse líquido? 
Solução 
Aplicação direta do conceito: 𝑝𝐻 = log (
1
4,8∙10−8
) = log (
108
4,8
) = 7,31 
 
12ª Questão: A escala Ritcher foi inicialmente destinada a estudar apenas os sismos 
com origem numa área específica do sul da Califórnia cujos sismogramas eramrecolhidos por sismógrafos de torção do tipo Wood-Anderson.Utilizando valores 
facilmente medidos sobre o registo gráfico do sismógrafo o valor é calculado usando 
a seguinte equação: 
𝑀 = 𝑙𝑜𝑔 (
𝑥³ ∙ 𝐴
1,62
) 
Onde: 
 A = amplitude das ondas sísmicas, em milímetros, medida diretamente no 
sismograma. 
 x = tempo, em segundos, desde o início do trem de ondas P (primárias) até à 
chegada das ondas S (secundárias). 
 M = magnitude arbitrária, mas constante, aplicável a sismos que libertem a 
mesma quantidade de energia. 
Qual a magnitude de um terremoto se A = 106 e x = 3 (desafio: procurar as 
magnitudes dos maiores terremotos registrados!) 
Solução: 
Aplicação direta: 𝑀 = 𝑙𝑜𝑔 (
𝑥³∙𝐴
1,62
) = 𝑙𝑜𝑔 (
3³.106
1,62
) = 7,22 
 
13ª Questão: Q = Q0.e-kt representa a taxa de decaimento de uma substância 
radioativa. Calcule a meia-vida de uma substância radioativa que se desintegra a 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sism%C3%B3grafo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tor%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Wood-Anderson
https://pt.wikipedia.org/wiki/Onda_s%C3%ADsmica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mil%C3%ADmetro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sismograma
https://pt.wikipedia.org/wiki/Segundo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Onda_s%C3%ADsmica
12 
 
uma taxa de 5% (k = 0,05) ao ano. (Meia-vida é o tempo que deve decorrer para que, 
em certo momento, metade dos átomos de uma substância radioativa se desintegre) 
Solução: 
Pela “meia-vida” Q = Qo/2. Assim, Qo/2 = Q0.e
0,05t 
Observação: o logaritmo de base “e” é chamado logaritmo natural e é indicado por 
“ln”. 
De volta ao problema: ½ = e0,05t. Pela definição, –0,05t = ln(1/2). Daí, 
𝒕 = −
𝐥𝐧(
𝟏
𝟐
)
𝟎,𝟎𝟓
= −
(−𝟎,𝟔𝟗𝟑)
𝟎,𝟎𝟓
= 𝟏𝟑,𝟖𝟔 𝒂𝒏𝒐𝒔 
 
14ª Questão: Encontre, se possível: sen(120º); cos(75º); tg(3π/2). 
Obs.: Há várias maneiras! Apresentamos uma! É interessante rever outras... 
Solução: 
Para sen(120º) podemos pensar em 120º = 30º + 90º ou 60º + 60º ou a 
diferença 150º  30º (Ops! Não determinamos, ainda, o 150º!!!). 
Consideremos: 𝑠𝑒𝑛(120𝑜) = 𝑠𝑒𝑛(90𝑜 + 30𝑜) 
Desenvolvendo, 𝑠𝑒𝑛(90𝑜) cos(30𝑜) + 𝑠𝑒𝑛(30𝑜)𝑐𝑜𝑠(90𝑜) 
Pela tabela, substituindo valores, 
𝑠𝑒𝑛(120𝑜) = 1 ∙
√3
2
+
1
2
∙ 0 =
√3
2
 
Para 
cos(75𝑜) = cos(45𝑜 + 30𝑜) = cos(45𝑜) cos(30𝑜) − 𝑠𝑒𝑛(45𝑜)𝑠𝑒𝑛(30𝑜) 
Daí, 𝐜𝐨𝐬(𝟕𝟓𝒐) =
√𝟐
𝟐
∙
√𝟑
𝟐
−
√𝟐
𝟐
∙
𝟏
𝟐
=
√𝟔−√𝟐
𝟒
 
Por fim, caso queira, como π = 180º, segue-se que 3π/2 = (3/2).(180º) = 
270º. Ou seja, no círculo trigonométrico estamos sob o eixo dos “y”, que 
corresponde ao eixo dos senos, abaixo da origem. 
Assim, 𝒕𝒈 (
𝟑𝝅
𝟐
) =
𝒔𝒆𝒏(
𝟑𝝅
𝟐
)
𝒄𝒐𝒔(
𝟑𝝅
𝟐
)
= ⋯ = 
−𝟏
𝟎
 ∄(𝒏ã𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆) 
 
15ª Questão: Determine: (a) arctg(1); (b) arcsec(√2) e (c) arccos(0). 
Solução: 
13 
 
Para arccos(0). Qual o primeiro ângulo cujo cosseno vale zero? Resposta: 
90º ou π/2. Logo, arccos(0) = 0. 
Em relação ao arctg(1), qual o primeiro ângulo cuja tangente vale 1? 
Resposta: 45º ou π/4. 
Por fim, para arcsec(√2), devemos saber qual primeiro ângulo cuja secante 
vale √2. Isto é, 𝑠𝑒𝑐𝑥 = √2 → 
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
= √2 → 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 
1
√2
=
√2
2
. Ou seja, o 
primeiro ângulo cujo cosseno é √2/2 é 45º ou π/4 
 
16ª Questão: Se uma planta tem a seguinte característica: a cada dia que passa a 
área de superfície de um lago por ela ocupada dobra. Se em 53 dias toda a superfície 
do lago será ocupada por esta planta, quantos dias são necessários para cobrir 
metade do lago? 
Solução: 
Vamos supor que inicialmente a área seja x. Assim, no segundo dia a área 
será 2.x. Terceiro dia = 2(2x) = 4x. Quarto dia = 2(4x)= 8x ... interessante, “x” está 
fixa ao passo que há variação no coeficiente, que são múltiplos (no caso, potências 
do 2). 
 1º dia  Área ocupada = 1.x = 20x (lembre-se, 20 = 1) 
 2º dia  Área ocupada = 2.x = 21x 
 3º dia  Área ocupada = 4.x = 2²x 
 4º dia  Área ocupada = 8.x = 2³x 
Podemos perceber que o expoente do “2” para um determinado dia “n” é 
igual a “n – 1”. Confere? 
Assim, f(n) = 2n – 1x, onde f(n) representa a área ocupada no “n-ésimo” dia. 
Área toda ocupada em 53 dias... f(53) = 252x. 
Quantos dias tinha a metade, isto é, quem é n tal que f(n) = (252x)/2 = 251x? 
Assim, 2n – 1x = 251x  2n – 1 = 251 n – 1 = 51  n = 52 
Há outras maneiras de argumentar esta questão... 
1 + 1 > 2 sempre que respeitamos os limites e valorizamos as potencialidades 
de cada um. 
14 
 
LIMITES 
17ª Questão: Se f(x) tem um limite quando x tende para a, então o limite é único. 
Prova: 
Suponha que possam haver dois valores para o limite, L e M. Queremos 
chegar em uma contradição! 
Supor que L < M e vamos escolher 𝜀 = 
𝑀−𝐿
2
. Não obstante, considerar os 
intervalos abertos (L – 𝜀, L + 𝜀) e (M – 𝜀, M + 𝜀). Como 𝜀 = 
𝑀−𝐿
2
 estes dois intervalos 
não se interceptam. 
Pela definição de limite, existe um 𝛿1 tal que, sempre que x está no intervalo 
aberto (a - 𝛿1, a + 𝛿1) e x ≠ a. Então f(x) está em (L – 𝜀, L + 𝜀). 
Analogamente, existe um 𝛿2 tal que, sempre que x está no aberto no 
intervalo (a - 𝛿2, a + 𝛿2) e x ≠ a. Então f(x) está no intervalo (M – 𝜀, M + 𝜀). 
Supondo ainda 𝛿1<𝛿2, se escolhermos um x que esteja simultaneamente nos 
intervalos (a - 𝛿1, a + 𝛿1) e (a - 𝛿2, a + 𝛿2), então f(x) estará simultaneamente em 
ambos os intervalos (L – 𝜀, L + 𝜀) e (M – 𝜀, M + 𝜀), contrariando o fato de que esses 
dois intervalos não se interceptam. 
Logo, a suposição inicial é falsa! 
 
18ª Questão: Se existem ambos os limites 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) e 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑔(𝑥), então: 
I. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) + 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 
II. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ∙ 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 
III. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎[𝑓(𝑥) ÷ 𝑔(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ÷ 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) desde que 
𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) ≠ 0 
Provas: 
Suponhamos que 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) = 𝐋 𝐞 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂𝒈(𝒙) = 𝑴 
Item (I): 
Pela definição de limite, devemos mostrar que, para todo 𝜀> 0, existe um 
número 𝛿 > 0 tal que: 0 < | x – a | <𝛿 Então | [f(x) + g(x)] – (L + M) | <𝜀 
Obs.: Uma estratégia recorrente na matemática é “partir” de onde queremos 
“chegar” 
Comecemos por escrever 
| [f(x) + g(x)] – (L + M) | = | [f(x) – L] + [g(x) – M] | 
15 
 
Utilizando a desigualdade triangular | b + c | < | b | + | c | segue-se que: 
| [f(x) – L] + [g(x) – M] | < | f(x) – L| + |g(x) – M|. 
Na definição de limite temos “qualquer”. A ideia é, quanto menor o tamanho 
do intervalo, melhor! 
Assim, 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) = 𝐋 fica se 0 < | x – a | <𝛿1 Então| f(x) – L | <𝜀/2 (*) 
E, 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂𝒈(𝒙) = 𝐌fica se 0 < | x – a | <𝛿2 Então| g(x) – M | <𝜀/2 (**) 
Seja 𝛿 o menor dos números 𝛿1 𝑒 𝛿2, Então, sempre que 0 < | x – a | <𝛿 as 
duas desigualdades anteriores são verdadeiras (*) e (**). 
Por conseguinte, | [f(x) – L] + [g(x) – M] | <𝜀/2 + 𝜀/2 = 𝜀. 
Item (II): 
Inicialmente, suponha que se h(x) é uma função tal que o limite seja zero, ou 
seja, 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂𝒉(𝒙) = 𝟎então, 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂[𝒇(𝒙) ∙ 𝒉(𝒙)] = 𝟎 
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) = 𝐋 fica se 0 < | x – a | <𝛿1 então | f(x) – L | < 1 (supondo 𝜀 = 1) 
(***) 
De novo, saindo de onde queremos chegar... 
| f(x) | = | f(x) + L – L |, pois 0 + u = u e podemos pensar em 0 = L – L. 
| f(x) + L – L | < | f(x) + L | + | L |, pela desigualdade triangular. 
| f(x) + L | + | L | < 1 + |L|, pela suposição (***) 
Assim, se 0 < | x – a | <𝛿1 então | f(x).h(x) | < (1 + |L|).|h(x)|. 
Como 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂𝒉(𝒙) = 𝟎, segue-se que para todo 𝜀> 0, existe um 𝛿2> 0 tal 
que se 0 < | x – a | <𝛿2 então | h(x) – 0| <
𝜀
1+|𝐿|
. 
Se 𝛿 for o menor dos números 𝛿1 𝑒 𝛿2, Então, sempre que 0 < | x – a | <𝛿 
segue-se que | f(x).h(x) | < (1 + |L|).
𝜀
1+|𝐿|
 = 𝜀 
Agora, façamos a demonstração: 
Considere f(x).g(x) – LM = f(x).g(x) – M.f(x) + M.f(x) – LM 
Assim, f(x).g(x) – LM = f(x).[g(x) – M] + M.[f(x) – L]. 
Como 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂𝒈(𝒙) = 𝐌 equivalea 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂[𝒈(𝒙) − 𝐌] = 𝟎 segue-se 
resultado com h(x) = g(x) – M. 
Item (III): 
Basta mostrar que 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝟏
𝒈(𝒙)
=
𝟏
𝐌
 
Note que |
1
𝑔(𝑥)
− 
1
𝑀
| = |
𝑀−𝑔(𝑥)
𝑀.𝑔(𝑥)
| = 
1
|𝑀|.|𝑔(𝑥)|
∙ |𝑔(𝑥) − 𝑀| 
16 
 
Como 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂𝒈(𝒙) = 𝐌 segue-se que existe um 𝛿1> 0 tal que 0 < | x – a | <𝛿1 
então | g(x) – M| <
|𝑀|
2
. 
Motivação: |M| = |g(x) + [M – g(x)]| < |g(x)| + |M – g(x)| < |g(x)| + |M|/2 
Organizando, |M| < |g(x)| + |M|/2  |M|/2 < |g(x)| ou 
1
|𝑔(𝑥)|
<
2
|𝑀|
 
Assim, |
1
𝑔(𝑥)
− 
1
𝑀
| = 
1
|𝑀|.|𝑔(𝑥)|
∙ |𝑔(𝑥) − 𝑀| <
2
|𝑀|²
|𝑔(𝑥) − 𝑀|... 
 
19ª Questão “Teorema do Sanduíche” 
Seja f(x) < h(x) < g(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto 
possivelmente para o próprio a. 
Se 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑔(𝑥), 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 ℎ(𝑥) = 𝐿 
Prova: 
Para todo 𝜀> 0, existe um 𝛿1> 0 tal que se 0 < | x – a | <𝛿1 
Então | f(x) – L| <𝜀 bem como existe um 𝛿2> 0 
Tal que se 0 < | x – a | <𝛿2 então | g(x) – L| <𝜀. 
Se 𝛿 for o menor dos números 𝛿1 𝑒 𝛿2, então, sempre que 0 < | x – a | <𝛿 
ambas as desigualdades anteriores que envolvem 𝜀 são verdadeiras, isto é, 
𝜀< f(x) – L <𝜀 e – 𝜀< g(x) – L < 𝜀 
Consequentemente, se 0 < | x – a | <𝛿, então L – 𝜀< f(x) e g(x) < L + 𝜀. 
Com f(x) < h(x) < g(x), se 0 < | x – a | <𝛿, Então L – 𝜀< h(x) < L + 𝜀 que 
equivale a |h(x) – L| <𝜀 
 
20ª Questão: Prove que 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎(𝑏𝑥 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑐 
Prova: 
Para todo 𝜀> 0, existe um 𝛿 > 0 tal que se 0 < | x – a | <𝛿 
Então |(bx + c) – (ab + c)| = |bx – ab| = |b|.|x – a|. 
Ou seja, basta considerar 𝛿 = 𝜀/|b|. 
 
21ª Questão: Se a > 0 e n é um inteiro positivo, ou se a < 0 e n é um inteiro positivo 
ímpar, então 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 √𝑥
𝑛
= √𝑎
𝑛
 
Prova: 
Sejam a > 0 e n um inteiro positivo. 
17 
 
Devemos mostrar que, para todo 𝜀> 0, existe > 0 tal que se 0 < | x – a | < 
então | √𝑥
𝑛
− √𝑎
𝑛 | < 𝜀. Ou equivalentemente, se – 𝛿< x – a <𝛿 e x ≠ a, então 
−𝜀 < √𝑥
𝑛
− √𝑎
𝑛
< 𝜀. 
Vamos “mexer” onde queremos chegar... 
−𝜀 < √𝑥
𝑛
− √𝑎
𝑛
< 𝜀 
√𝑎
𝑛
− 𝜀 < √𝑥
𝑛
< √𝑎
𝑛
+ 𝜀 
( √𝑎
𝑛
− 𝜀)
𝑛
< 𝑥 < (√𝑎
𝑛
+ 𝜀)
𝑛
 
( √𝑎
𝑛
− 𝜀)
𝑛
− 𝑎 < 𝑥 − 𝑎 < (√𝑎
𝑛
+ 𝜀)
𝑛
− 𝑎 
− [𝑎 − (√𝑎
𝑛
− 𝜀)
𝑛
] < 𝑥 − 𝑎 < (√𝑎
𝑛
+ 𝜀)
𝑛
− 𝑎 
Se 𝛿 denota o menor dos dois últimos números positivos 𝑎 − (√𝑎
𝑛
− 𝜀)
𝑛
 e 
( √𝑎
𝑛
+ 𝜀)
𝑛
− 𝑎, então, sempre que– 𝛿 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 a desigualdade se verifica e o 
teorema está demonstrado para este caso. 
 
Traduzindo... estamos tão próximos do valor indicado que, se substituirmos 
a variável pelo valor indicado o erro entre o valor aproximado e o valor real 
praticamente é zero. Logo, basta substituir a variável pelo valor indicado. 
 
22ª Questão: Usando a definição de limites, prove que: 𝑙𝑖𝑚𝑥 →3(2𝑥² + 4𝑥 + 5) = 35 
Demonstração: 
Devemos mostrar que 
∀ε > 0 ∃δ > 0; 0 < |x − 3| < δ → |(2x2 + 4x + 5) − 35| < ε 
A ideia prática é saber onde queremos chegar... (dada a tese, “mexer” para 
fazer aparecer a hipótese. Ou seja, 2x² + 4x – 30 = 2(x² + 2x – 15) = 2(x – 3)(x + 5). 
Assim, 0 < |x − 3| < δ → 2|x − 3| ∙ |x + 5| < 2|x + 5| ∙ δ (*) 
Suponha que δ ≤ 1(Por qual motivo?) 
Deste modo, 
0 < |x − 3| < δ → |x − 3| < 1 ↔ −1 < x − 3 < 1 ↔ 3 − 1 < x − 3 + 3 < 1 + 3 
Isto é, 2 < x < 4 que equivale (para fazer aparecer módulo) a 
 5 + 2 < 5 + x < 5 + 4... 7 < x + 5 < 9 
Assim sendo, em virtude do intervalo que devemos obter (por quê?), em (*), 
0 < |x − 3| < δ → 2|x − 3| ∙ |x + 5| < 2|x + 5| ∙ δ < 2 ∙ 9 ∙ δ. 
18 
 
 Por fim, seja δ = min {1,
ε
18
}. 
Ufa! 
 
23ª Questão: Calcule lim
x→5
x²−25
x−5
 
Solução: 
lim
𝑥→5
𝑥² − 25
𝑥 − 5
= lim
𝑥→5
(𝑥 − 5)(𝑥 + 5)
𝑥 − 5
= lim
𝑥→5
(𝑥 + 5) = 5 + 5 = 10 
 
24ª Questão: Calcule os limites 
a) lim
x→2
√4 − x²
3
b) lim
x→−1
3x
5x² + 1
c) lim
x→4
√x − 2
x − 4
d) lim
x→1
x³ − 1
x² − 1
 
Solução: 
Basta substituir a variável pelo valor a qual tende. Caso encontremos 0/0, 
usar simplificação ou produtos notáveis. Lembrar: ao trocar a variável pelo valor a 
qual tende, a expressão “lim” desaparece. 
Item (a): lim𝑥→2 √4 − 𝑥²
3
= √4 − (2)²
3
= 0 
Item (b): lim𝑥→−1
3𝑥
5𝑥²+1
=
3(−1)
5(−1)2+1
=
−3
6
= −
1
2
 
Item (c): lim𝑥→4
√𝑥−2
𝑥−4
=
0
0
. 
Vamos pensar da seguinte forma. Se a = √𝑥 e b = 2, pois não podemos 
pensar separadamente cada expressão (numerador ou denominador), seguem-se 
que a² = x e b² = 4. 
De a²  b² = (a – b)(a + b)... 
lim
𝑥→4
√𝑥 − 2
𝑥 − 4
= lim
𝑥→4
√𝑥 − 2
(√𝑥 − 2)(√𝑥 + 2)
= lim
𝑥→4
1
√𝑥 + 2
=
1
4
 
Item (d): lim𝑥→1
𝑥³−1
𝑥²−1
=
0
0
 
De a³  b³ = (a – b)(a² + ab + b²), segue-se que x³  1 = (x – 1)(x² + x + 1). 
De a²  b² = (a – b)(a + b), segue-se que x²  1 = (x – 1)(x + 1). 
Lembrando que se x  1 (isto é, se x se aproxima de “1’, então x é diferente 
de “1”. Ou seja: x ≠ 1  x – 1 ≠ 0. 
19 
 
Assim: 
lim
𝑥→1
𝑥³ − 1
𝑥² − 1
= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
= lim
𝑥→1
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑥 + 1
=
3
2
 
Notamos a necessidade da divisão de polinômios (ou produtos notáveis) quando, 
no cálculo de limites, encontrarmos 0/0. Mas o que acontece quando x se 
aproximar de um valor muito grande ou se o denominador se aproximar de 0 e o 
numerador de outro número? 
 
25ª Questão: O que ocorre nos extremos do domínio da função f(x) = 
1
1−𝑥²
 e da 
função g(x) = 
1
1+𝑥²
 A importância desta função g é seu gráfico. Muito parecido com o 
gráfico da curva normal (Estatística). 
Solução: 
Iniciemos com a função g(x). Como x² + 1 > 0 para qualquer valor x, com 
efeito, x² > 0 e x² = 0 se, e somente se, x = 0. Desta feita, seu domínio são todos os 
reais ou, em termos de intervalos: ] - ∞, + ∞[ 
Assim, lim𝑥→ − ∞
1
1+𝑥²
= 0 = lim𝑥→ + ∞
1
1+𝑥²
. Com efeito, algo muito 
grande (positiva ou negativamente) ao quadrado ainda é “muito grande”. Somado 
com “1”, continua muito grande. E, o inverso de algo muito grande é muito 
pequeno... ou zero. 
Já para o domínio de f(x), x²  1 ≠ 0  x ≠ 1 e x ≠ 1. Desta feita, o domínio 
é: ]∞, 1[  ] 1, 1[  ]1, + ∞[. 
Assim os limites são: 
(1) lim
𝑥→−∞
1
𝑥² − 1
= 0 (2) lim
𝑥→−1−
1
𝑥² − 1
= +∞ (3) lim
𝑥→−1+
1
𝑥² − 1
= −∞
(4) lim
𝑥→1−
1
𝑥² − 1
= −∞ (5) lim
𝑥→1+
1
𝑥² − 1
= +∞ (6) lim
𝑥→+∞
1
𝑥² − 1
= 0
 
Justificativa: 
(1) E (6) indica o inverso de algo “muito grande” 
(2) Formalmente: Se x se aproxima de “1” por meio de valores menores do 
que ele, então x <1. Precisamos gerar x²  1 (expressão do denominador). 
Uma ideia: elevar ambos os membros da desigualdade ao quadrado. 
ATENÇÃO! 
20 
 
(3) Pensando em números: sabemos que – 2 <1, todavia, (2)² > (1)². Assim, 
sendo x <1  x² > 1 e, por conseguinte, x²  1 > 0. 
(4) Logo, denominador está próximo de zero por valores maiores que zero. Por 
fim, temos o inverso de algo muito pequeno (que é positivo), logo o 
resultado é algo muito grande positivamente. Ou seja + ∞ 
(5) INFORMALMENTE, mas mantendo um pouco de rigor: Fornecer um 
número próximo (ideia de limite) de “1”, por sua vez, que seja menor que 
“1” (limite pela esquerda). Por exemplo: “2”. Substituir no denominar e 
analisar o sinal (se é + ou –). 
De x²  1, com x = 2, temos (2)²  1 = 3 > 0... 
A partir de agora, usaremos a estratégia informal. Ela é garantida em 
virtude da continuidade da função. 
(6) Fornecer um número próximo (ideia de limite) de “1”, por sua vez, que 
seja maior que “1” (limite pela direita). Por exemplo: “0”. Substituir no 
denominar e analisar o sinal (se é + ou –). De x²  1, fazendo x = 0, temos 
(0)² 1 = – 1 < 0 
(7) Fornecer um número próximo (ideia de limite) de “+1”, por sua vez, que 
seja menor que “+1” (limite pela esquerda). Por exemplo: “0”. Substituir no 
denominar e analisar o sinal (se é + ou –). De x²  1, com x = 0, encontramos 
(0)²  1 = – 1 < 0 
(8) Fornecerum número próximo (ideia de limite) de “+1”, por sua vez, que 
seja maior que “+1” (limite pela direita). Por exemplo: “2”. Substituir no 
denominar e analisar o sinal (se é + ou –). De x²  1, com x = 2, segue-se que 
(2)²  1 = 3 > 0 
 
26ª Questão: Encontre os limites: 
a) lim
x→∞
√4 − x²
3
b) lim
x→−∞
3x
5x² + 1
c) lim
x→4−
√3x − 2
x − 4
d) lim
x→1+
x³
x² − 1
 
Solução: 
Item (a): 
lim𝑥→∞ √4 − 𝑥²
3
= −∞. Com efeito, 4 – (∞)² = 4 ∞ = ∞… 
21 
 
Item (b): 
lim𝑥→−∞
3𝑥
5𝑥²+1
= lim𝑥→−∞
3𝑥
𝑥²(5+
1
𝑥2
)
= lim𝑥→−∞
3
𝑥(5+
1
𝑥2
)
= 
3
(−∞)(5+0)
= 0. 
Colocamos o x² do denominador em evidência. Por quê? Porque sabemos que 
0lim  nx x
k
. Simplificamos “x” do numerador com um dos “x²” do denominador. 
Por fim, reutilizamos o resultado da linha anterior, com k = 3. 
 
Item (c): 
lim𝑥→4−
√3𝑥−2
𝑥−4
=
√12−2
0−
= −∞. Com efeito, x  4- significa x < 4, e x – 4 < 0. 
Item (d): 
lim
𝑥→1+
𝑥³
𝑥²−1
=
1
0+
= +∞. Fornecer um número próximo (ideia de limite) de “+1”, 
por sua vez, que seja maior que “+1” (limite pela direita). Por exemplo: “2”. 
Substituir no denominar e analisar o sinal (se é + ou –).E, x²  1, com x = 2, segue-
se (2)²  1 = 3 > 0 
(...) 
DICA – DICA – DICA - DICA – DICA – DICA … 
Já que estamos trabalhando com valores muito grandes para a variável 
independente (x), convém estabelecer alguns resultados, no caso de 
quociente de funções polinomiais. 











mn
mn
b
a
mn
xq
xp
m
n
x
,0
,
,
)(
)(
lim 
com p(x) = anxn + ... + a0 e q(x) = bmxm + ... + b0. 
Observação: não é ao mesmo tempo que x ∞ ou x  + ∞. A escrita indica que 
tanto faz um ou outro limite. 
Com efeito, 
lim
𝑥→±∞
𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎0
𝑏𝑚𝑥𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑥𝑚−1 +⋯+ 𝑏0
= lim
𝑥→±∞
𝑥𝑛 (𝑎𝑛 +
𝑎𝑛−1
𝑥
+⋯+
𝑎0
𝑥𝑛
)
𝑥𝑚 (𝑏𝑚 +
𝑏𝑚−1
𝑥 +⋯+
𝑏0
𝑥𝑚
)
 
Usando , segue-se que “sobra” lim
𝑥→±∞
𝑥𝑛
𝑥𝑚
∙
𝑎𝑛
𝑏𝑚
. 
Analisando caso a caso: 
0lim  nx x
k
22 
 
 Se n > m 
lim
𝑥→±∞
𝑥𝑛
𝑥𝑚
∙
𝑎𝑛
𝑏𝑚
= lim
𝑥→±∞
𝑥𝑛−𝑚 ∙
𝑎𝑛
𝑏𝑚
= +∞ 𝑜𝑢 −∞ 
depende do “sinal” do quociente entre os coeficientes. 
 Se n = m 
lim
𝑥→±∞
𝑥𝑛
𝑥𝑚
∙
𝑎𝑛
𝑏𝑚
= lim
𝑥→±∞
𝑎𝑛
𝑏𝑚
=
𝑎𝑛
𝑏𝑚
 
 Se n < m 
lim
𝑥→±∞
𝑥𝑛
𝑥𝑚
∙
𝑎𝑛
𝑏𝑚
= lim
𝑥→±∞
1
𝑥𝑚−𝑛
∙
𝑎𝑛
𝑏𝑚
= lim
𝑥→±∞
𝑎𝑛
𝑏𝑚
𝑥𝑚−𝑛
= 0 
Exemplos: 
 lim
𝑥→−∞
3𝑥²+6𝑥+11
−7𝑥+4
= lim
𝑥→−∞
𝑥 ∙
3
(−7)
= +∞ 
 lim
𝑥→−∞
3𝑥²+6𝑥+11
5𝑥²−7𝑥+4
=
3
5
 
 lim
𝑥→+∞
3𝑥²+6𝑥+11
𝑥³−7𝑥+4
= 0 
 
27ª Questão: Para que valores de a e b tem-se: 
 1
3
12
lim
2




bxax
x
x ? 
Solução: 
 Primeiramente, vamos supor a  0. Por quê? Para garantir que o grau do 
denominador seja ‘2’.Assim sendo, vamos dividir numerador e denominador por 
x². 
0
0
3
12
lim
3
12
lim
3
12
lim
2
2
2
2
2
2











a
xx
b
a
xx
x
bxax
x
x
bxax
x
x
xx
 
 Como é dito no enunciado que o limite é igual a ‘1’, segue-se que ao supor o 
valor de a  0 não é verdadeira tal suposição. Logo, a = 0. 
 Mesmo raciocínio... supor b  0. 
23 
 
21
2
2
3
1
2
lim
3
12
lim
3
12
lim











b
b
b
x
b
x
x
bx
x
x
bx
x
xxx
 
Resp.: a = 0 e b = 2. 
ERRO2: Não considerar a hipótese. Ou seja: (1) a variável tende para “infinito” e a 
função é um quociente de polinômios. Logo, resposta é (2) zero se grau do 
denominador for maior que grau do numerador, (3) ± infinito se grau do 
denominador for menor que grau do numerador e (4) será uma constante não nula 
se forem iguais. (5) “1” é constante não nula, logo graus iguais... 
 
28ª Questão: Resolver: lim𝑥→∞
3𝑥
√𝑥²−1
. 
Solução: 
Cuidado! Não é quociente de polinômios! Primeiro, precisamos analisar 
“trabalhar” com a raiz quadrada. Assim, 
lim
𝑥→∞
3𝑥
√𝑥² − 1
= lim
𝑥→∞
3𝑥
√𝑥²(1 −
1
𝑥2
)
= lim
𝑥→∞
3𝑥
√1 −
1
𝑥2
∙ √𝑥²
= lim
𝑥→∞
3
√1 −
1
𝑥2
= 3 
Usamos, após colocar o x² em evidência, o fato de que a raiz do produto (de 
‘coisas’ positivas) ser o produto das raízes. Em seguida, como x ∞, segue-se que 
√𝑥² = x. O “x” do numerador foi simplificado com o “x” do denominador e, por fim, 
usamos 1/x²  0 (pois x ∞). 
 
29ª Questão: Calcule os limites: 
(1) lim
x→ ∞
6x² − 31
11x³ + 21x
(2) lim
x→+∞
3x²
√x² − 1
(3) lim
x→ −∞
6x³ − 31
11x³ + 21x
(4) lim
x→−∞
3x
√x² − 1
 
Solução: 
Itens (1) e (3) valem, respectivamente, 0 e 6/11, com base no grau... 
Item (2): Siga mesmas argumentações na solução do exemplo. 
 
2Aos poucos estaremos apresentando os principais erros realizados por discentes de diversas áreas (como engenharias 
e economia) que foram observados durante 20 anos de magistério. 
24 
 
lim
𝑥→∞
3𝑥²
√𝑥² − 1
= lim
𝑥→∞
3𝑥²
√𝑥²(1 −
1
𝑥2
)
= lim
𝑥→∞
3𝑥²
√1 −
1
𝑥2
∙ √𝑥²
= lim
𝑥→∞
3𝑥
√1 −
1
𝑥2
= ∞ 
Item (4): Cuidado! Definição de módulo... 
Vamos recordar a função módulo. A interpretação geométrica dela é a distância da 
origem até x. Assim sendo, é conveniente reescrever: 






0,
0,
||)(
xx
xx
xxf e, 
√𝑥² = |𝑥|. 
Ou seja, x ∞ significa que x < 0. 
lim
𝑥→−∞
3𝑥
√𝑥² − 1
= lim
𝑥→−∞
3𝑥
√𝑥²(1 −
1
𝑥2
)
= lim
𝑥−→∞
3𝑥
√1 −
1
𝑥2
∙ √𝑥²
= lim
𝑥→∞
−3
√1 −
1
𝑥2
= −3 
Ou seja, neste caso, √𝑥² = |𝑥| = −𝑥... 
(...) 
30ª Questão: Encontre os seguintes limites: 
(𝑎) lim
𝑥→0+
𝑡𝑔𝑥
𝑥
(𝑏) lim
𝑥→0+
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥²
 
Solução: 
1
1
1
1
cos
1
lim
1
cos
limcoslimlim)
)4(
0
)3(
0
)2(
0
)1(
0






xx
senx
xx
senx
x
x
senx
x
tgx
a
x
xxx
 
2
1
2
1
1
cos1
1
)(lim
)cos1(
lim
)cos1(
cos1
lim
cos1
cos1cos1
lim
cos1
lim)
2
)9(
2
0
)8(
2
2
0
)7(
2
2
0
)6(
20
)5(
20


















xx
senx
xx
xsen
xx
x
x
x
x
x
x
x
b
x
xx
xx
 
Entendendo as “passagens”: 
(1) Já que dá 0/0, escrever a tg(x) como a razão entre sen(x) e cos(x). 
(2) Foi utilizada a divisão de frações. 
(3) Organizamos expressão para aparecer sen(x)/x. 
(4) Quando x  0 temos que cos(x)  1. 
(5) De sen²x + cos²x = 1, temos que sen²x = 1 – cos²x = 
(6) (1 – cosx)(1 + cosx), pois a² - b² = (a – b)(a + b). 
25 
 
(7) Ideia anterior. 
(8) Substituição prevista em (5). 
(9) Fizemos aparecer sen(x)/x 
(10) Idem (4). 
 
31ª Questão: Calcule: 
x
x
b
xtg
x
a
x
x
cos1
lim)
)(
lim)
0
0


 
 
Resp.: 
(a) “1”. Com efeito, tg(x) = sen(x)/cos(x) 
Daí, x/tg(x) = x/[sen(x)/cos(x)] 
Organizando pela divisão de frações… 
 
ERRO: limite é válido para x/sen(x). Infelizmente, há discentes que só seguem uma 
linha de raciocínio. 
 
(b) Já que temos um limite o qual dá 0/0 e envolve função trigonométrica, segue-
se que devemos fazer aparecer sen(x)/x – eis a principal causa de ERRO. Operar 
limite trigonométrico sem uso do limite fundamental...Da relação fundamental da 
trigonometria, sen²x + cos²x = 1, segue-se que sen²x = 1 – cos²x. Pelos produtos 
notáveis, já que 1 = 1², temos:sen²x = (1 – cosx)(1 + cosx) 
lim
𝑥 → 0
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥
∗
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
= lim
𝑥 →0
𝑠𝑒𝑛²𝑥
𝑥(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
 
lim
𝑥 → 0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
∗
𝑠𝑒𝑛𝑥
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
= 1 ∗
0
1 + 1
= 0 
 
32ª Questão: Resolver 
2)(
1cos
lim





x
x
x
 
Solução: 
Seja u = x – π. Assim cos(x) = cos(u + π) = cos(u)cos(π) – sen(u)sen(π). 
Como cos(π) = 1 e sen(π) = 0, segue-se que cos(x) = cosu. Assim, o limite 
fica: 
26 
 
lim
𝑥→𝜋
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
(𝑥 − 𝜋)²
= lim
𝑢→0
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑢
𝑢²
= lim
𝑢→0
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑢
𝑢²
∙
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑢
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑢
= lim
𝑢→0
1 − 𝑐𝑜𝑠²𝑢
𝑢²(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑢)
 
Da relação fundamental da trigonometria e organizando, 
lim
𝑢→0
1 − 𝑐𝑜𝑠²𝑢
𝑢²(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑢)
= lim
𝑢→0
𝑠𝑒𝑛²𝑢
𝑢²(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑢)
= lim
𝑢→0
1
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑢
∙ (
𝑠𝑒𝑛𝑢
𝑢
)
2
=
1
1 + 𝑐𝑜𝑠0
=
1
2
 
 
33ª Questão: Definição de continuidade (em um ponto)3:Uma função f(x) é contínua em um número c se satisfaz as seguintes condições: 
i. É definida f(c) 
ii. Existe lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) 
iii. lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) 
São contínuas todas as funções polinomiais. 
 Encontre os valores das constantes “a” e “b”, para que a função dada seja contínua 
em ( , ):  
;
2xsexb
2x2sebax
2xseax
)x(h 2







 
Resposta: 
Se x 2-, então o limite pela esquerda fica – 2 – a. 
Se x 2+, então o limite pela direita fica 4a + b. 
Assim, 4a + b = – a – 2.  5a + b = 2 (*) 
Se x  2-, então o limite pela esquerda fica 4a + b. 
Se x  2+, então o limite pela direita fica b  2. 
Assim, 4a + b = b – 2. Ou seja, a = 1/2. 
Daí, em (*) b = 2 – 5a = 2 – 5(1/2) =  2 + 5/2 = 1/2. 
 
34ª Questão: A população (em milhares) de uma colônia de bactérias, t minutos 
após a introdução de uma toxina é dada pela função: 






5,728
5,7
)(
2
tt
tt
tf 
Explique por que a população deve ser de 10000 bactérias em algum momento entre 
t = 1 e t = 7. 
Resposta: 
 
3 Será contínua em um intervalo se for contínua em todos os pontos deste. 
27 
 
Porque é contínua a função, basta fazer t  5- e depois t  5+ 
ERRO: Um dos principais erros observados nesta aplicação é o fato de não 
considerar f(t) = 10. Com efeito, unidades de milhares. 
35ª Questão: Nos exercícios abaixo, verifique se a função dada é contínua no valor 
indicado: 
a). ;0c,
0xse1
0xse1
)x(h 





 
b). ;2c,
2xse3
2xse
2x
4x
)x(m
2









 
Respostas: 
Devemos verificar se )()(lim afxfax  . 
No item (a) 
 Quando x  0- temos que f(x)  -1, pois é constante a função. 
 Quando x  0+ temos que f(x)  1, pois é constante a função. 
Sendo diferentes os limites laterais, não existe o limite no ponto. Por conseguinte, a 
função não é contínua em x = 0. 
ERRO: Discentes confundem o “se” com o “que”. Isto é, tentam verificar o que não 
está coerente. 
No item (b) 
3)2(4)2(lim
2
)2)(2(
lim
2
4
lim
2
2
2
2









fx
x
xx
x
x
x
xx . 
Logo, não é contínua em x = 2. Caso fosse redefinida em x = 2, para f(x) = 4, então 
seria contínua neste valor. 
ERRO: Não lembrar dos produtos notáveis, no caso: 
a²  b² = (a – b)(a + b) 
 
36ª Questão: A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa 
a uma distância r do centro do planeta é: F(r) = {
𝐺𝑀𝑟
𝑅3
𝑠𝑒 𝑟 < 𝑅
𝐺𝑀
𝑟²
𝑠𝑒 𝑟 ≥ 𝑅
 onde M é a massa da 
Terra, R é seu raio e G é a constante gravitacional. F é uma função contínua de r? 
Solução: 
28 
 
Basta verificar se os limites laterais são iguais quando r  R-(a variável r se 
aproxima de R por valores menores que ele) e r  R+ (a variável r se aproxima de 
R por valores maiores que ele). 
 
EXERCÍCIOS GERAIS DE REVISÃO 
 
37ª. Questão: A conta de água de uma determinada região é assim composta: 
 Para consumos até 10 m³, paga-se uma taxa de R$ 15,00. 
 Para consumos que excedam os 10 m³ e não sejam superiores a 20m³, paga-
se R$ 5,00 por cada m³ que excede os 10 m³ iniciais. 
 Para consumos superiores a 20 m³, paga-se R$ 10,00 por cada m³ que 
excede os 20 m³. 
Seja x o consumo em m³ e y o valor a ser pago em reais. 
a) Expresse y em termos de x. 
b) Verifique se a função é contínua em seu domínio 
Solução: 
Item (a): 
Y = 15 se 0  x  10 
Y = 15 + 5(x – 10) = 5x – 35 se 10 < x  20 
Y = 5x – 35 + 10(x – 20) = 15x – 235 se 20 < x 
Item (b): Sim. 
 
38ª. Questão: As curvas com equações y = 
|𝑥|
√𝑐²− 𝑥²
 são chamadas, com c > 0, curvas 
ponta de bala. (a) Encontre o domínio. (b) O que ocorre quando x se aproxima dos 
extremos do domínio? 
Solução: 
Domínio: c² – x² > 0. Por conseguinte – c < x < c. Todavia, c > 0 por hipótese. 
Logo, 0 < x < c. Assim, lim𝑥→0+
|𝑥|
√𝑐²− 𝑥²
=
0
𝑐
= 0. E, lim𝑥→𝑐−
|𝑥|
√𝑐²− 𝑥²
=
𝑐
0+
= +∞ 
 
39ª. Questão: Após acionado o flash de uma câmera, a bateria imediatamente 
começa a recarregar o capacitor do flash, que armazena uma carga elétrica dada 
29 
 
por Q(t) = Q0(1 – e-t/a). (a) Quanto tempo leva para a carga chegar à metade (isto é, 
quem é t para Q(t) = Qo/2?). (b) O que acontece quando t for muito grande? 
Solução: 
 Q(t) = Q0(1 – e-t/a) = Qo/2  1 – e-t/a = 1/2  e-t/a = ½.  -t/a = ln(1/2). Ou 
seja, t = (-a)ln(1/2) = (ln2)a. 
 Usando ln1/2 = ln1 – ln2 = – ln2. Lembrando que ln1 = 0. 
Para t muito grande... 
lim
𝑡→∞
𝑄𝑜 (1 − 
1
𝑒𝑡/𝑎
) =𝑄𝑜 
Com efeito, e > 1. Logo, et/a> 1. Assim, o inverso de algo muito grande é 
muito pequeno, ou seja, zero. 
 
40ª. Questão: Um importante resultado sobre limites é o teorema do confronto, ou 
do sanduíche. A ideia básica é que, em um intervalo, 
Se f(x) < g(x) < h(x) e )(lim)(lim xhLxf axax   ; Então Lxgax  )(lim 
Mesmo que esta função g(x) não seja uma função usual ou conhecida. 
Use este resultado para calcular )(lim xgx  sabendo que para todo x > 1, 
(x – 1)² < (x² – 1)g(x) < (x + 1)². 
Solução: 
Como x > 1  x² > 1  x² – 1 > 0. Assim, dividir ambos os membros da 
desigualdade por x² – 1. 
Assim, 
1
1
)(
1
1
)1)(1(
)1)(1(
)(
)1)(1(
)1)(1(
1
)1(
)(
1
)1(
2
2
2
2

















x
x
xg
x
x
xx
xx
xg
xx
xx
x
x
xg
x
x
 
Seja f(x) a função à esquerda e h(x) a função à direita de g(x). 
Note que 1)(lim)(lim   xhxf xx . Chegamos neste resultado dividindo 
tanto o numerador quanto o denominador de cada uma das funções por x e 
utilizando o resultado (*). Logo, o limite procurado é 1. 
ERRO: Má compreensão do enunciado! 
30 
 
41ª Questão: Calcule 
n
nn
n



...321
1
lim
2
 
Solução: 
Notemos que o denominador é a soma dos n primeiros termos de uma 
Progressão Aritmética de primeiro termo “1” e razão “1”. Assim, dado que a 
referida soma é 
(𝑎1+𝑎𝑛)
2
∙ 𝑛 
lim
𝑛→ ∞
1 + 𝑛 + 𝑛²
(1 + 𝑛)
2 ∙ 𝑛
= lim
𝑛→ ∞
1 + 𝑛 + 𝑛²
𝑛
2 +
𝑛²
2
=
1
1
2⁄
= 2 
 
42ª Questão: O número de EULER: é definido como 
e = nn
n
)
1
1(lim  ≈ 2,7 
sendo n um número natural. Este resultado pode ser estendido para qualquer 
número real x (indo para “∞” ou “+ ∞”). Isto é, e = xx
x
)
1
1(lim  
Há forte relação com a Matemática Financeira. 
Isto é, M = C(1 + i)n representa o montante M após n períodos que um capital C, 
investido a uma taxa i, relativa a este período n (se o período é mensal, a taxa é 
mensal, se o período é diário, a taxa é diária, etc.). 
Quando a capitalização é contínua, temos M = C.ein. Para chegar neste valor, 
procede-se da seguinte maneira, sendo n anual e i taxa anual. 
 Se n for mensal, o novo período é multiplicado por 12 e a taxa correspondente 
é dividida por 12. 
 Passando a considerar n diário, o novo n será n x 12 x 30, e a taxa, que está 
dividida por 12, i/12, fica dividida por 30, ou seja, i/(12 x 30). 
 Passando a considerar valores a cada minuto, a cada segundo, etc. temos M = 
nk
k
i
C )1(  . 
Calcule o limite quando k tende para o infinito da função M e verifique que M = C.ein 
Sugestão: 
Uma forma “genérica” do número ‘e’ é obtida mudando de variável. Seja y = 1/x. 
Assim, x  implica que y  0. Por conseguinte, 
31 
 
y
y
x
x y
x
1
0 )1(lim)
1
1(lim   . 
Logo, em nk
k
i
C )1(  sendo que k , seja y = i/k. 
Daí, 
in
in
y
y
y
i
n
y
nk
k
nk
k
eCyCyC
k
i
C
k
i
C
.)1(lim.)1(lim.
)1(lim.)1(lim
1
00 














 
Para fixar... kxx e
x
k
 )1(lim . Com efeito, sendo u = k/x, temos x = k/u 
E x  implica em u  0. kku
u
u
k
u
x
x euu
x
k
  ])1[(lim)1(lim)1(lim
1
00
 
Fixando: 
a) uu u
1
0 )1(lim  resp.: e 
b) xx
x
)
3
1(lim  resp.: e3 
c) xx
x
x
)
1
1
(lim


 resp.: e2 
Sugestão: em (x + 1)/(x – 1), divida numerador e denominador por x... 
Lembrar, que 1 – 3/x, por exemplo, pode ser reescrito como 1 + (3)/x –que é 
ERRO frequente o esquecimento! 
Item (c): 
lim
x→∞
(
x + 1
x
x − 1
x
)
x
= lim
x→∞
(
1 +
1
x
1 −
1
x
)
x
=
lim (1 +
1
x
)
x
x→∞
lim (1 −
1
x)
x
x→∞
=
e
e−1
= e² 
 
43ª Questão: Durante uma epidemia de dengue, o número de pessoas que 
adoeceram, num certo bairro, após t dias é dado por L(t) = 
te 8,0900.191
000.100

 
Determine a quantidade máxima de indivíduos atingidos pela doença ao longo do 
tempo. 
Solução: 
32 
 
Resposta é 100.000 
Com efeito, “ao longo do tempo” pode ser interpretado como “t” tendendo 
para infinito, isto é: t  ∞. 
Por conseguinte, e-0,8t = 1/e0,8t pode ser entendida como o inverso de algo 
muito grande... 
Limites importantes: 






 
)ln(lim
)ln(lim
0
x
x
x
x 
 
44ª Questão: Um resultado importante: 1
1
lim 0 


h
eh
h
 
Solução: 
Com efeito, se u = eh – 1, temos eh = u + 1, de onde h = ln(u + 1). 
Note que h  0 implica u  0 também (por quê?). 
Daí, 
1
ln
1
)1(limln
1
)1ln(
1
lim
)1ln(
1
1
lim
)1ln(
1
lim
)1ln(
lim
1
lim
1
0
)(
10
)(
0
)(
0
)(
0
)(
0
















euu
u
uu
u
u
u
h
e
u
u
v
u
u
iv
u
iii
u
ii
u
ih
h
 
 
45ª Questão: Encontre 𝑙𝑖𝑚𝑥→0
𝑎𝑥−1
𝑥
 sendo a > 0. 
Solução: 
Repare que sendo a > 0, em particular e (número de Euler) > 0. Replicar a 
ideia. Ou seja, considere y = ax – 1. Por quê? Porque continuamos com variável 
tendendo para 0. Isto é, x  0 implica y  0 (verificar!). 
Pela definição de logaritmo, ou seja, ax = 1 + y  𝑥 = log𝑎(1 + 𝑦) 
Todavia, nosso modus operandi é usar o “ln”. Assim, trabalharemos com a 
seguinte propriedade dos logaritmos: 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 =
𝐥𝐨𝐠𝒆 𝒃
𝐥𝐨𝐠𝒆 𝒂
=
𝒍𝒏𝒃
𝒍𝒏𝒂
 – propriedade da 
mudança de base. 
Desta feita, 𝑥 = log𝑎(1 + 𝑦) =
ln (1+𝑦)
𝑙𝑛𝑎
=
1
𝑙𝑛𝑎
∙ ln (1 + 𝑦). 
33 
 
Manter o foco... gerar “e”... yy
x
x y
x
1
0 )1(lim)
1
1(lim   . 
Assim sendo, 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎
𝒂𝒙−𝟏
𝒙
= 𝐥𝐢𝐦𝒚→𝟎
𝒚
𝟏
𝒍𝒏𝒂
∙𝐥𝐧 (𝟏+𝒚)
. 
Usaremos b.lnc = lncb, motivada pelo expoente “1/y” da forma genérica do 
“e”. Como k = 1/(1/k), é claro, se k não nulo, podemos dividir numerador e 
denominador da expressão por y... que é equivalente a indicar y = 1/(1/y). 
Assim, lim𝑦→0
𝑦
1
𝑙𝑛𝑎
∙ln (1+𝑦)
 fica: 
= 𝑙𝑛𝑎 ∙ lim
𝑦→0
𝑦
ln(1 + 𝑦)
= 𝑙𝑛𝑎 ∙ lim
𝑦→0
1
1
𝑦 ∙ ln
(1 + 𝑦)
= 𝑙𝑛𝑎 ∙ lim
𝑦→0
1
ln(1 + 𝑦)
1
𝑦⁄
 
Lembrando de quem é “e”: 
𝑙𝑛𝑎 ∙ lim
𝑦→0
1
ln(1 + 𝑦)
1
𝑦⁄
= 𝑙𝑛𝑎 ∙ lim
𝑦→0
1
ln 𝑒
= 𝑙𝑛𝑎 ∙ 1… 
 
46ª Questão: A equação de uma reta que passa pelos pontos A(xa, ya) e B(xb, yb) é 
dada por y – ya = m(x – xa), onde m é a declividade (ou inclinação da reta ou 
coeficiente angular) e é dada por 
𝑦𝑏− 𝑦𝑎
𝑥𝑏− 𝑥𝑎
. Quando deixamos A fixo e fazemos B se 
aproximar de A, a reta passa a ser tangente. 
Isto é, m = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 𝑥𝑎
𝑦−𝑦𝑎
𝑥−𝑥𝑎
. Encontre a equação da reta tangente à curva (a) y = x² + x, 
no ponto em que x = 1. (b) y = sen(2x), no ponto em que x = 0. 
Soluções: 
Repare que é dado xa. Para encontrar ya basta calcular f(xa). 
Item (a): 
Como xa = 1, segue-que ya = f(xa) = f(1) = 1² + 1 = 2. 
𝑚 = lim
𝑥 → 𝑥𝑎
𝑦 − 𝑦𝑎
𝑥 − 𝑥𝑎
= lim
𝑥→1
𝑥² + 𝑥 − 2
𝑥 − 1
=⏟
𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟 𝑒𝑚
𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑎𝑠
𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠…
lim
𝑥→1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
(𝑥 + 2) = 3 
Obs.: ou dividir polinômios ou, no caso, escrever em função das raízes. 
Assim, equação da reta é y – 2 = 3(x – 1)... 
Item (b): 
Como xa = 0, segue-que ya = f(xa) = f(0) = sen(2.0) = 0. 
34 
 
𝑚 = lim
𝑥 → 𝑥𝑎
𝑦 − 𝑦𝑎
𝑥 − 𝑥𝑎
= lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑥
=⏞
∗
 2 
(*) Usamos o seguinte resultado: 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏(𝒌𝒙)
𝒙
= 𝒌. 
Com efeito, basta fazer t = kx e observar que x  0 implica t  0. 
Ou seja, 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)
𝑘𝑥
𝑘 = lim
𝑡→0
𝑠𝑒𝑛(𝑡)
𝑡
𝑘 = 𝑘 
 
47ª Questão: Definimos a velocidade instantânea em t = a da equação de espaço x(t) 
como: vinst. = 𝑙𝑖𝑚𝑡 → 𝑎
𝑥(𝑡)−𝑥(𝑎)
𝑡−𝑎
. Encontre a velocidade de uma partícula que se move de 
acordo com x(t) = 3cos(2t). 
Solução: 
Aplicação direta da fórmula: 
lim
𝑡 → 𝑎
𝑥(𝑡) − 𝑥(𝑎)
𝑡 − 𝑎
= lim
𝑡 → 𝑎
3cos (2𝑡) − 3𝑐𝑜𝑠(2𝑎)
𝑡 − 𝑎
 
Simplificar a escrita. Inicialmente colocar o “3” em evidência, em seguida, 
fazer a mudança de variável u = t – a. Por quê? Porque há limite trigonométrico e 
precisamos usar resultados, a saber: 
1lim 0 
u
senu
u
 e 01coslim 0 


u
u
u
 
3 lim
𝑢→0
cos(2𝑢 + 2𝑎) − cos (2𝑎)
𝑢
= 3 lim
𝑢→0
cos(2𝑢)cos (2𝑎) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑢)𝑠𝑒𝑛(2𝑎) − cos (2𝑎)
𝑢
 
Reorganizando, 
3 lim
𝑢→0
[
cos(2𝑢)cos (2𝑎) − cos (2𝑎)
𝑢
−
𝑠𝑒𝑛(2𝑢)𝑠𝑒𝑛(2𝑎)
𝑢
] 
Que equivale a 
3 lim
𝑢→0
[
cos(2𝑢) − 1
𝑢
cos (2𝑎) −
𝑠𝑒𝑛(2𝑢)
𝑢
𝑠𝑒𝑛(2𝑎)] = 3[0 ∙ cos(2𝑎) − 2cos (2𝑎)] 
Usamos resultados... Logo: -6cos(2a) 
 
48ª Questão: Definimos a aceleração instantânea em t = a da equação de velocidade 
instantânea v(t) como: ainst. = 𝑙𝑖𝑚𝑡 → 𝑎
𝑣(𝑡)−𝑣(𝑎)
𝑡−𝑎
. Encontre-a se v(t) = 
𝑡
𝑡²+1
 
35 
 
Solução: 
Substituindo: 
lim
𝑡 → 𝑎
𝑣(𝑡) − 𝑣(𝑎)
𝑡 − 𝑎
= lim
𝑡 → 𝑎
𝑡
𝑡² + 1
 − 
𝑎
𝑎² + 1
𝑡 − 𝑎
 
Desenvolvendo a diferença de frações no numerador: 
lim
𝑡 → 𝑎
𝑡(𝑎2 + 1) − 𝑎(𝑡2 + 1)
(𝑡2 + 1)(𝑎2 + 1)
𝑡 − 𝑎
 
Pela divisão de frações: 
lim
𝑡 → 𝑎
𝑡𝑎² + 𝑡 − 𝑎𝑡2 − 𝑎
(𝑡 − 𝑎)(𝑡2 + 1)(𝑎2 + 1)
 
Reorganizando numerador: 
lim
𝑡 → 𝑎
(𝑡𝑎2 − 𝑎𝑡2) + (𝑡 − 𝑎)
(𝑡 − 𝑎)(𝑡2 + 1)(𝑎2 + 1)
 
Usando soma de frações, evidenciando “t – a” no numerador de cada uma: 
lim
𝑡 → 𝑎
[
−𝑎𝑡(𝑡 − 𝑎)
(𝑡 − 𝑎)(𝑡2 + 1)(𝑎2 + 1)
+
(𝑡 − 𝑎)
(𝑡 − 𝑎)(𝑡2 + 1)(𝑎2 + 1)
] 
Simplificando: 
lim
𝑡 → 𝑎
[
−𝑎𝑡
(𝑡2 + 1)(𝑎2 + 1)
+
1
(𝑡2 + 1)(𝑎2 + 1)
] =
1 − 𝑎²
(𝑎2 + 1)2
 
 
49ª Questão: Encontre 
a) 𝑙𝑖𝑚𝑥→ ∞ 𝑓(𝑥) se, para todo x > 1 
10𝑒𝑥 − 21
2𝑒𝑥
< 𝑓(𝑥) <
5√𝑥
√𝑥 − 1
 
b) Números a e b tais que 𝑙𝑖𝑚𝑥→0
√𝑎𝑥+𝑏 −2
𝑥
= 1 
Solução: 
Item (a) 
Usar Teorema do Sanduíche. 
lim
𝑥→∞
10𝑒𝑥 − 21
2𝑒𝑥
= lim
𝑥→∞
(
10𝑒𝑥
2𝑒𝑥
−
21
2𝑒𝑥
) = lim
𝑥→∞
(5 −
21
2𝑒𝑥
) = 5 − 0 = 5 
E, 
lim
𝑥→∞
5√𝑥
√𝑥 − 1
=⏟
𝑥 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 
𝑒𝑚 "𝑒𝑣𝑖𝑑ê𝑛𝑐𝑖𝑎"
lim
𝑥→∞
5√𝑥
√𝑥 (
𝑥 − 1
𝑥 )
=⏟
√𝑎∙𝑏=√𝑎∙√𝑏
𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜
 
36 
 
lim
𝑥→∞
5√𝑥
√𝑥 ∙ √1 − 1/𝑥
= 5 
Simplificamos √𝑥 e, dado que 1/x tende para zero, quando x tende para infinito, 
segue-se resultado. 
Item (b) 
Compare com raciocínio do “grau” do numerador e do “grau” do denominador. 
Se a = 0, o limite tende para infinito (positiva ou negativamente, depende da 
aproximação do x). Como o resultado é “1”, segue-se que a ≠ 0. Mesmo artifício se 
supor b = 0. Logo b ≠ 0. 
Lim
𝑥→0
√𝑎𝑥 + 𝑏 − 2
𝑥
= 1 →
√𝑏 − 2
0
= 1 
Dado que não podemos dividir por “0”, e como devemos obter “1”, segue-se 
que o numerador deve ser “0” para gerar uma indeterminação. Logo, b = 4. 
 
Somos amados por DEUS 
 
 
37 
 
4ª. LIÇÃO = DERIVADAS: DEFINIÇÃO 
Definição: 𝒇′(𝒂) = 𝒍𝒊𝒎𝒙 → 𝒂
𝒇(𝒙)−𝒇(𝒂)
𝒙−𝒂
= 𝒍𝒊𝒎∆𝒙 → 𝟎
𝒇(𝒂+ ∆𝒙)−𝒇(𝒂)
∆𝒙
 
 
 Deste modo, a inclinação de uma reta tangente a uma curva dada, a 
velocidade instantânea, a aceleração instantânea são exemplos de derivadas. Mais 
adiante outras aplicações serão apresentadas. A derivada da função, em qualquer 
valor de seu domínio, pode ter seguintes notações: 𝑓′(𝑥) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐷𝑦𝑥 
 
50ª Questão: Deduzir a derivada do produto: f(x) = g(x).h(x) 
Solução: 
)(').()().('
)](
)()(
)(
)()(
[lim
]
)()()()()()()()(
[lim
)()()]()()()([)()(
lim
)()()()(
lim
)()(
lim
)5(
0
)4(
0
)3(
0
)2(
0
)1(
0
xhxgxhxg
xg
u
xguxh
uxh
u
xguxg
u
xhxguxhxg
u
uxhxguxhuxg
u
xhxguxhxguxhxguxhuxg
u
xhxguxhuxg
u
xfuxf
u
u
u
u
u




















 
51ª Questão: Deduzir a derivada de f(x) = sen(x) 
Solução: 
)cos(1).cos(0).(
]
)(
)cos(
1)cos()([lim
)()cos()()cos()(
lim
)()(
lim
)()(
lim
)3(
0
)2(
0
)1(
00
xxxsen
h
hsen
x
h
h
xsen
h
xsenxhsenhxsen
h
xsenhxsen
h
xfhxf
h
h
hh












 
52ª Questão: Deduzir a derivada de f(x) = ex 
Solução: 
x
h
x
h
xhx
hh
e
h
e
e
h
ee
h
xfhxf









1
lim
lim
)()(
lim
0
)2(
0
)1(
0
 
Vide a 45ª Questão...
 
38 
 
53ª Questão: Deduzir a derivada de f(x) = ln(x) 
Solução: 
x
eh
x
h
xhx
hx
h
h
xhx
h
xfhxf
xh
h
hh
hh
1ln)
1
1ln(lim
)
1
1ln(
1
lim)ln(
1
lim
)ln()ln(
lim
)()(
lim
1)4(1
0
)3(
0
)2(
0
)1(
00










 
54ª Questão: Derive, após obter as funções: 
A) Considere um círculo de raio igual a x cm, se um quadrado está inscrito neste 
círculo, determine a área A do quadrado em função de x. 
B) Dado um pedaço de papelão quadrado com 12 cm de lado, tira-se de cada canto 
do papelão, quadrados com x cm de lados e os bordos são dobrados de modo que 
forme uma caixa sem tampa. Determine o volume V da caixa em função de x, 
indicando o domínio. 
Solução: 
A). Ao inscrever um quadrado em uma circunferência, a diagonal do quadrado será 
o diâmetro da circunferência. 
Assim, se k indicar o lado do quadrado, sua diagonal será k2. E o diâmetro 
é 2x. Como queremos a área, A = k². 
Ora, k2 = 2x  2k² = 4x²  k² = 2x²  A = 2x²  A’ = 4x. 
ERRO: Confundir “inscrição” com “circunscrição” de figuras. 
 
B). Em relação ao volume, 0 < x < 6, pois não faz sentido medida negativa (para 
esta aplicação!). 
Daí, como o volume de uma caixa é o produto das medidas (largura x altura 
x comprimento), temos: V = x.(12 – 2x).(12 – 2x) = 144x – 48x² + 4x³. 
Portanto, V’ será igual a 144 – 96x + 12x². 
ERRO: Não determinar o domínio de maneira satisfatória. 
 
55ª Questão: Nos exercícios a seguir, calcule as derivadas primeira e segunda da 
função dada, usando fórmulas de derivação: 
01). Z(x) = e + 1/π 02). a x x( ) ;  3 
39 
 
03). c x x x( ) ;  5 32 1 04). ;x
x
1
x
1)x(e
3

 
05).  f x x( ) ; 2
5
1 06). ;
2x
x)x(s

 
07). w(x) = sen²(x) 08). R(x) = tg(x) – cotg(x) 
09). ;
2
tsen)t(H 2
 
10). U(x) = ln(x² + 1) 
Respostas: 
ERRO frequente nas questões a seguir foi a não observância das regras de 
derivação. Por exemplo, 1/x derivar como 1/(x)’... 
Item (1) a resposta é zero. Ambas as expressões são constantes. 
Item (2) A’(x) = 3x² e A’’(x) = 6x 
Item (3) C’(x) = 5x4 – 6x² e C”(x) = 20x³  12x. 
Item (4) e(x) = x – 3 – x – 1 + x  e’(x) = 3x – 4 + x- 2 + 1. E e”(x) = 12x-5 – 2x-3 
Item (5) Perceba que f(x) = g(h(x)), onde g(u) = u5 e h(x) = x²  1. 
Sendo f ’(x) = g’(h(x)).h’(x), então f ’(x) = 5(x²  1)4.2x = 10x.(x²  1)4. 
Já para o cálculo da derivada segunda, usaremos regra do produto e regra da 
cadeia. 
Então f ”(x) = [10x]’.(x²  1)4 + 10x.[(x²  1)4]’. 
Daí, f”(x) = 10.(x²  1)4 + 10x.4.(x²  1)3.2x = 10(x²  1)4 + 80x².(x²  1)³ 
(pode desenvolver, se quiser!) 
Item (6) 
332
222
)2(4)2).(2).(2()(")2.(2)('
)2(
2
)2(
1.)2.(1
)2(
)'2.()2)'.((
)('
 









xxxsxxs
xx
xx
x
xxxx
xs
 
Item (7) W(x) = (senx)²  w’(x) = 2.(senx).cosx (regra da cadeia). 
Pode ser visto como sen(2x). Daí, w”(x) = cos(2x).2 (novamente regra da cadeia) 
Item (8) R’(x) = sec²x – (csc²x) = sec²x + csc²x 
Regra da cadeia será usada para o cálculo da derivada segunda. 
R”(x) = 2.secx.(secx.tgx) + 2cscx.(cscx.ctgx) 
= 2sec²x.tgx – 2csc²x.ctgx 
Item (9) Atenção: sen²(t/2) = [sen(t/2)]². Assim, H’(t) = 2.sen(t/2).cos(t/2).1/2. 
De sen(2u) = 2sen(u)cos(u), podemos perceber que H’(t) = sen(t)/2. Logo, H”(t) = 
cos(t)/2. 
40 
 
Item (10) U’(x) = 2x/(x² + 1). 
Não esquecer que (lnu)’ = (1/u).u’ = u’/u. 
U”(x) = [(2x)’.(x² + 1) – 2x.(x² + 1)’]/(x² + 1)²= [2.(x² + 1) – 2x.(2x)]/(x² + 1)² 
Por conseguinte, u” = (1  2x²)/(x² + 1)² 
 
56ª Questão: Uma das aplicações das derivadas é a obtenção da equação de retas 
tangentes a determinadas curvas em um ponto. Obter a equação da reta tangente a 
cada uma das curvas abaixo no ponto P indicado: 
a) y = x² + 2x + 1, P(1, 4) b) y = x/(x² + 1), P(0, 0) 
c) y² + x² = 1, P(1, 0) d) x² - y² = 1, P(-1, 0) 
e) y = tg(1 – x²), em x = 1 f) y = ln(x² + 1), em x = 1 
Obs.: y – yp = g’(xp).(x – xp) é a equação da reta tangente à y = g(x) no ponto (xp, yp) 
Solução: 
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 
Se f(x) = [g(x)]n𝑓′(𝑥) = 𝑛 ∙ [𝑔(𝑥)]𝑛−1 ∙ 𝑔′(𝑥) 
Assim, se y = g(x), então (y³)’ = 3y².y’. 
Traduzindo... Derivar normalmente cada expressão e usar x’ se for função de x, 
z’ se for função de z, etc... 
Você usará esta ideia nos itens (c) e (d). 
Solução: 
ITEM (a). y’ = 2x + 2. Daí, f ’(1) = 4  y – 4 = 4(x – 1)  y = 4x. 
ITEM (b). y’ = [(x)’.(x² + 1) – x.(x² + 1)’]/(x² + 1)² = [1.(x² + 1) – x.(2x)]/(x² + 1)² 
por conseguinte, y’ = (1  x²)/(x² + 1)². Daí, f ’(0) = 1  y – 0 = 1(x – 0)  y = x. 
ITEM (c). (x² + y²)’ = (1)’  2x + 2y.y’ = 0  y’ = x/y. Note que não existe y’ 
quando y for 0. A interpretação geométrica é uma reta perpendicular ao eixo x. No 
caso, x = 1. 
ITEM (d). (x²  y²)’ = (1)’  2x  2y.y’ = 0  y’ = x/y. Note que não existe y’ 
quando y for 0. A interpretação geométrica é uma reta perpendicular ao eixo x. No 
caso, x = 1. 
ITEM (e). y’ = sec²(1 – x²).(2x), lembrar da regra da cadeia. Em x = 1, temos que o 
valor da derivada será: f ’(1) = sec²(1 – 1²).(2.1) = sec²(0).(2) = 2. Pois, como 
sec(0) = 1/cos(0), temos que sec(0) = 1/1 = 1. E quem é o yp? 
Ora, sendo x = 1, f(1) = tg(1 – 1²) = tg(0) = 0. 
41 
 
Por conseguinte, y – 0 = 2(x – 1)  y = 2x – 2. 
ITEM (f). y’ = 2x/(x² + 1). Não esquecer que (lnu)’ = (1/u).u’ = u’/u. 
f ’(1) = 1. Para o cálculo do yp, f(1) = ln(1 + 1²) = ln2. 
Assim, y – ln2 = 1(x – 1)  y = x – 1 + ln2. 
 
57ª Questão 
(a). Seja uma função real g derivável e f(x) = g[5 + ln(x² + 1)]. Determine f ’(1) 
sabendo que g’(5 + ln2) = 2. 
(b). Seja f uma função derivável e g(x) = f(e2x). Calcule g´(0) sendo f ’(1) = 2 
Solução 
Item (a): 
Objetivo deste tipo de questão é analisar a interpretação do discente. 
F’(x) = g’(5 + ln(x² + 1)).[5 + ln(x² + 1)]’, estamos usando a regra da cadeia. 
F’(x) = g’(5 + ln(x² + 1)).[2x/(x² + 1)], 
Lembrando que (lnu)’ = u’/u. 
F’(1) = g’(5 + ln(1² + 1)).[2.1/(1² + 1)] = g’(5 + ln2).1 = 2. 
Item (b): 
g’(x) = f ’(e2x).(e2x)’ = f ’(e2x).(e2x).2  g’(0) = f ’(e2.0).(e2.0).2 = f ’(1).1.2 = 4 
 
58ª Questão Uma partícula move-se ao longo de uma reta de acordo com a equação 
de movimento, s = 5 – 4cos²t, onde s metros é a distância orientada da partícula 
desde a origem em t segundos. Se v (m/s) e a (m/s²) são, respectivamente, a 
velocidade e a aceleração da partícula, encontre v e a. Lembre-se: v = s’ = ds/dt e a = 
v’ = dv/dt. 
Solução: 
A velocidade é: s’ = (5 – 4cos²t)’ = 4.2.(cost).sent = 4sen(2t), sendo usado 
o fato que sen(2t) = 2.sent.cost. E a aceleração é v’ = (4).cos(2t).2 = 8cos(2t). 
Atenção: (cos²x)’ = (cosx.cosx)’ = (cosx)’.(cosx) + (cosx).(cosx)’ = 2.(cosx)’.cosx = 
2senx.cosx = sen(2x) 
Ou, considere f(x) = cos²x = (cosx)² 
Perceba que f(x) = g(h(x)), 
Onde g( ) = ( )² (ou g(u) = u², sendo “u” variável de apoio). 
E h(x) = cosx. 
42 
 
Como 𝑓′(𝑥) = 𝑔′[ℎ(𝑥)] × ℎ′(𝑥) 
Segue-se que g’(u) = 2u  g’(h(x)) = 2h(x) = 2cosx. Sendo h’(x) = senx, 
segue-se que (cos²x)’ = 2cosx.senx 
 
59ª Questão Seja f(x) = sen(x) + cos(x). Calcule 
∑ 𝑓(𝑘)(0)
2000
𝑘=0
 
Isto é, o somatório das derivadas de f(x), desde não derivar, f(0)(x) até a derivada de 
ordem 2000, f(2000)(x), em seguida substituindo x por 0 (zero). 
Solução: 
Vamos “construir” uma possível lei de informação. Com efeito, a funções senx e 
cosx são cíclicas e, por conseguinte, em alguma derivação teremos uma repetição. 
1ª. Derivada: f(1)(x) = cosx – senx; 
2ª. Derivada: f(2)(x) = – senx – cosx; 
3ª. Derivada: f(3)(x) = − cosx + senx; 
4ª. Derivada: f(4)(x) = senx + cosx...que equivale a não derivar! Seja f(x) = 
f(0)(x) 
Ou seja, a cada quatro derivações, temos um ciclo. Isto é: 
 .f (0)(x) = f(4)(x) = ... = f(4p)(x) = senx + cosx (múltiplos de “4”!) 
 .f (1)(x) = f(5)(x) = ... = f(4p+1)(x) = cosx − senx (múltiplos de “4” mais “1”!) 
 .f (2)(x) = f(6)(x) = ... = f(4p+ 2)(x) = −senx – cosx (múltiplos de “4” mais “2”!) 
 .f (3)(x) = f(7)(x) = ... = f(4p+ 3)(x) = −cosx –senx (múltiplos de “4” mais “3”!) 
Aplicando em “0”... 
 .f (0)(0) = f(4)(0) = ... = f(4p)(0) = sen0 + cos0 = 1 (múltiplos de “4”!) 
 .f (1)(0) = f(5)(0) = ... = f(4p+1)(0) = cos0 – sen0 = 1 (múltiplos de “4” mais “1”!) 
 .f (2)(0) = f(6)(0) = ... = f(4p+ 2)(0) = −sen0 – cos0 = −1 (múltiplos de “4” mais “2”!) 
 .f (3)(0) = f(7)(0) = ... = f(4p+ 3)(0) = −cos0 –sen0 = −1 (múltiplos de “4” mais “3”!) 
Ou seja, a cada quatro “grupos”, a soma vale “0”. 
Como até 2000 há 2001 termos, pois iniciamos do “0”, segue-se que o resultado é 
“1”. 
EXTREMOS (OU APLICAÇÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS) 
Quando queremos um valor de máximo estamos interessados no valor x = c tal 
que 𝑓′(𝑐) = 0 e 𝑓′′(𝑐) < 0. Será de mínimo quando 𝑓′(𝑐) = 0 e 𝑓′′(𝑐) > 0. 
43 
 
Observação: Podemos ter pontos críticos tais que não exista f’(x). Tais casos não 
serão aqui abordados, pois o intuito é a aplicação. 
A utilidade da função derivada primeira é estar associada ao crescimento 
(intervalos onde 𝑓′(𝑥) > 0) ou decrescimento (intervalos onde 𝑓′(𝑥) < 0) de uma 
função. A derivada segunda está relacionada com a concavidade: para cima “⋃” 
(𝑓′′(𝑥) > 0) ou para baixo “⋂” (𝑓′′(𝑥) < 0). 
 
60ª Questão Com uma folha de papelão quadrada de lado 15 cm, cortando-se partes 
quadradas nos cantos e dobrando-as, deseja-se construir uma caixa aberta, do tipo 
de uma caixa de sapatos. O volume máximo que pode ter uma caixa assim construída 
é um valor... 
Solução: 
O volume, de domínio 0 < x < 7,5, pois não faz sentido medida negativa 
(para esta aplicação!). Daí, como o volume de uma caixa é o produto das medidas 
(largura x altura x comprimento), temos V = x.(15 – 2x).(15 – 2x) = 225x – 60x² + 
4x³. Portanto, V’ será igual a 225 – 120x + 12x². 
Queremos x tal que v’ = 0. Daí 










5,2
5,7
24
60120
)12(2
)225)(12(4)120()120(
2
4
22
a
acbb
x
 
Logo, x = 2,5 (pois 7,5 não pertence ao domínio da função) 
ERRO: Trabalhar com valor fora do domínio. 
 
61ª Questão Um refrigerante é vendido em latas cilíndricas de volume 400ml. 
Calcular o raio da base de modo que o material gasto na embalagem seja o mínimo 
possível. 
Solução: 
V = R²H = 400. A área total é 2Abase + Alateral. Daí, A = 2R² + 2RH. 
Como queremos o raio, isolar H na expressão do volume. Assim, H = 
400/R². 
Organizando, a área será A = 2R² + 2R(400/R²) = 2R² + 800.R-1. 
Queremos R tal que A’ = 0. 
44 
 
Assim, A’ = 4R - 800.R-2 = 0  R = 4
200
3 

 
Testar... 
ERRO: Fórmulas de área e volume. 
 
62ª Questão Determine a altura do cone de maior volume que pode ser gerado pela 
rotação de um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 2 cm em torno de um dos 
catetos. 
Solução: 
Sejam x e y os catetos, sendo x o raio e y a altura quando obtemos o cone via 
rotação em torno do cateto de lado y. Logo, x² + y² = 4. O volume do cone será 
x²y/3. 
Organizando, V = (4 – y²)y/3 = (/3)(4y – y³)  V’ = (/3).(4 – 3y²). 
Queremos y tal que V’ = 0. De onde concluímos que y = 
3
32
. 
 
63ª Questão Se a velocidade de uma onda de comprimento L, em águas profundas, é 
dada por: 
L
B
B
L
Mv  
Onde M e B são constantes positivas, qual é o comprimento de onda que minimiza a 
velocidade? 
Solução: 
BLBL
B
v
BLL
B
BL
B
M
BL
B
BLL
B
MvBLL
B
Mv










0
1
0'
)
1
(2
)
1
(
)
1
()
1
(
2
1
')
1
(
2
2
1
1
2
22
1
12
1
1
 
 
64ª Questão A taxa aeróbica de uma pessoa com x anos de idade é dada por: 
x
x
xA
)2(ln110
)(

 
Sendo x  11. Em que idade a pessoa tem capacidade aeróbica máxima? 
45 
 
Solução: 
213ln0ln30)('
ln3
110
1)2(ln)
1
(
110
)'()2(ln)'2(ln
110)('
3
22
2








exxxxA
x
x
x
xx
x
x
xxxx
xA
 
Obs.: Não confundir lnx – 2 com ln(x – 2). 
 
65ª Questão Para se fazer uma circunferência e um quadrado cortou-se um fio de 
arame, com 100cm de comprimento, em dois bocados. De que maneira deve ser 
cortado o fio de modo que a área total (círculo+quadrado) seja mínima? 
Solução: 
Atotal = R² + x². Pelo comprimento, 100 = 2R + 4x. Vamos isolar x. 
Assim sendo, x = 25 R/2. Daí, Atotal = R² + x² = R² + (25 - R/2)². 
Queremos R tal que A’ = 0. 
Desta feita, derivando temos A’ = 2R + 2(25 R/2).(/2) 
= 2R  (25 R/2) = 0 
Portanto, R = 50/(4 + ) que vale aproximadamente 7 (sete). 
E x fica em torno de 11,5. 
PROBLEMAS DIVERSOS... ENTENDER ENUNCIADO! 
66ª Questão A função y = A sen(kx), com A > 0, e sua derivada segunda y’’ satisfazem 
identicamente a igualdade y’’ + 4y = 0. O valor da derivada primeira y’, para x igual a 
0, é 12. Calcular as constantes A e k. 
Solução 
Temos que y’ = A.cos(kx).k = Ak.cos(kx). 
De y’(0) = 12, segue-se que 12 = Ak.cos(0). De onde Ak = 12. 
Como A > 0, segue-se que k > 0. E quem é k? Usar a outra hipótese. 
Dado que y” + 4y = 0  -Ak²sen(kx) + 4Asen(kx) = 0 
 Asen(kx)(4 – k²) = 0. Como k > 0, k² = 4, de onde k = 2. Daí, A = 6. 
ERRO: Não usar todas as hipóteses. 
 
67ª Questão Uma caixa d´água tem o formato de um cone circular reto invertido 
com 120 cm de diâmetro e 150 cm de altura. Uma torneira enche essa caixa à razão 
 
46 
 
de 1000π mm³/seg. Determinando a taxa de variação da altura no instante em que a 
água está a 90 cm de altura, obtemos um valor... 
Solução 
Uma relação que será utilizada nesta e em outras questões é: 
dado
dado
H
R
H
R
 . 
Procurem fazer uma figura para ilustrar tal situação. 
Como Rdado = 60 e Hdado = 150, segue-se que R = 2H/5.O volume do cone é: 
3
2HR
. 
Para este caso, 
75
4
3
)
5
2
(
3
3
2
2 H
H
H
HR
V



 
Derivar ambas as variáveis em relação ao tempo. 
segcmHH
HHV
H
V
/
1296
1
'')90(
25
4
'3
75
4
'.1)'
75
4
()'(
2
2
3





 
ERRO: Derivação implícita, sendo ambas as variáveis funções do tempo (taxa 
relacionada). A “essência” é derivar ambos os membros da igualdade 
normalmente, acrescentando a respectiva derivada. 
 
68ª Questão A altura de um cone circular reto é 15 cm e aumenta na razão de 0,2 
cm/min. O raio da base é 10 cm. Qual a taxa de variação do volume quando a altura 
for de 20 cm? 
Solução 
Dado H’ = 0,2 cm/min. Como Rdado = 10 e Hdado = 15, segue-se que R = 2H/3. 
Queremos V’. Derivar ambas as variáveis em relação ao tempo. 
min/
9
160
')2,0()20(
9
4
'
'3
27
4
'.1)'
27
4
()'(
32
2
3
cmVV
HHV
H
V




 
ERRO: Mesmo da anterior. 
 
 
 
47 
 
REGRAS DE L’HOPITAL (1º Caso) 
Se no cálculo de limites aparecer 0/0 ou /, “basta” derivar numerador e 
denominador simultaneamente:
)('
)('
)(
)(
lim
ag
af
xg
xf
ax 
 
Caso particular... 0 x . Neste caso, lembrar que 4 x 5 = 20. Também temos que 4  
(1/5) = 20. Ou seja, 1/(1/5) = 5. Isto é, ab = a/(1/b). 
 
69ª Questão Usando L’Hopital, calcule: 
a) 
34
1
lim
2
2
1 

 xx
x
x
 b) 
xx e
x
3
ln
lim

 
c) senx
x
x
0
lim d) xx
x
ex
1
0
)(lim 

 
Solução 
ERRO: Confundir regra com a regra do quociente. 
Item (a) 
1
42
2
lim
34
1
lim
12
2
1





 x
x
xx
x
xx
 
Item (b) 
0
3
1
lim
3
1
lim
ln
lim
333

 xxxxxx xee
x
e
x
 
Item (c) 
1lim0)limln(0
)1(
0
1
)cos(
lim
)cos(
1
lim
cos
1
lim)(lnlim
1
ln
limln.lim)(lnlim
ln.lnlim
0
00
0
2
0
2
0
'"
0
000
0























eyy
x
senx
x
senx
x
xsen
x
xsen
x
xy
senx
x
xsenxy
xsenxyxyx
xx
xx
x
HopitalL
x
xxxsenxsenx
x
 
Item (d) 
48 
 
2
00
00
'
00
1
11
0
lim2)limln(
)(lnlim2
1
1
lim
)ln(
1
lim)(lnlim
)ln(
1
)ln(ln
)()(lim
eyy
yex
e
ex
x
y
ex
x
exy
exyex
xx
x
x
x
x
HopitalL
x
xx
xxx
xxxx
x










 
 
70ª Questão Um circuito elétrico tem resistência de R ohms, uma indutância de L 
henrys e uma força eletromotriz de E volts. Considere E, R e L positivos. Se I amperes 
é a corrente no circuito t segundos após este ter sido ligado, então 
)1( / LRte
R
E
I  
calculando o limite de I quando R tende para ZERO pela direita, obtemos... 
solução 
ERRO: Exceto R, demais letras à direita são constantes. 
LEt
LteE
e
R
E
I
LRt
R
HopitalL
LRt
RR
/
1
)/()(
lim
)1(limlim
/
0
'
/
00









 
71ª Questão Calcule 
n
nn
n



...321
1
lim
2
 
Solução 
Note que temos a soma dos termos de uma Progressão Aritmética: 
1 + 2 + ... + n = (1 + n).n/2 = (n² + n)/2 
2
1
2
lim
2
1
12
lim
22
1
lim
...321
1
lim
"
"
2
22











n
HopitalL
n
HopitalL
nn
n
n
nn
nn
n
nn
 
 
 
 
49 
 
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
Motivação: 
Se um campo eletrostático E agir em um dielétrico polar líquido ou gasoso, o 
momento de dipolo resultante P por unidade de volume é: 𝑃(𝐸) = 
𝑒𝐸+ 𝑒−𝐸
𝑒𝐸− 𝑒−𝐸
− 
1
𝐸
 
O que acontece quando E se aproxima de zero (positivamente)? 
Definição: 
1. Seno Hiperbólico: 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) = 
𝑒𝑥− 𝑒−𝑥
2
 
2. Cosseno Hiperbólico: 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) = 
𝑒𝑥+ 𝑒−𝑥
2
 
Pela “motivação”, temos a razão entre o cosh(x) e o senh(x) – basta dividir 
numerador e denominador por 2. Podemos definir como “cotangente hiperbólica” 
– idem às definições das trigonométricas. 
72ª Questão Após determinar domínio de cada função, encontre as derivadas de: 
a) arccosx b) arccotgx 
c) argcoshx (ou cosh-1x) d) argsechx 
Solução: 
Item A 
Se y = arccosx, então cosy = x e seu domínio é 0 ≤ x ≤ π 
Derivando implicitamente em relação à variável x, temos: seny.y’ = 1 
Por conseguinte, 𝑦′ = −
1
𝑠𝑒𝑛𝑦
 
Todavia, a relação entre y e x é cosy = x. 
Ora, da relação fundamental da trigonometria, sen²y + cos²y = 1, temos que 
𝑠𝑒𝑛𝑦 = √1 − 𝑐𝑜𝑠²𝑦 = √1 − 𝑥² 
Lembrar que a raiz negativa não estamos usando por ocasião do domínio. 
Assim sendo, 𝒚′ = −
𝟏
𝒔𝒆𝒏𝒚
= −
𝟏
√𝟏−𝒙²
 
Item B 
Para y = arccotgx. Segue-se que cotgy = x. Com 0 < x < π 
Derivando implicitamente em relação à variável x, temos: cosec²y.y’ = 1 
50 
 
Da relação fundamental da trigonometria, sen²y + cos²y = 1, temos que, ao 
dividir ambos os membros da igualdade por sen²y, a relação: 1 + cotg²y = cosec²y. 
Assim, 𝒚′ = −
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄²𝒚
= − 
𝟏
𝟏+𝒙²
 
Item C 
Sendo y = argcoshx segue-se que coshy = x. Seu domínio é x > 1 (basta 
escrever em termos do ln). 
Derivando implicitamente em relação à variável x, temos: senhy.y’ = 1 
Ora, a relação que há entre senhy e coshy é: cosh²y – senh²y = 1 (basta 
elevar ao quadrado cada função e fazer a diferença!) 
Desta feita, 𝒚′ =
𝟏
𝒔𝒆𝒏𝒉𝒚
= 
𝟏
√𝒄𝒐𝒔𝒉²𝒚−𝟏
= 
𝟏
√𝒙²−𝟏
 
Item D 
Dado que y = argsechx, segue-se que sechy = x. Domínio: 0 < x < 1. 
Derivando implicitamente em relação à variável x, temos: sechy.tghy.y’ = 1 
De cosh²x – senh²x = 1, temos, ao dividir ambos os membros da igualdade 
por cosh²x: 1 – tgh²x = sech²x 
𝑦′ =
1
𝑠𝑒𝑐ℎ𝑦. 𝑡𝑔ℎ𝑦
= 
1
𝑠𝑒𝑐ℎ𝑦.√1 − 𝑠𝑒𝑐ℎ²𝑥
= 
1
𝑥√1 − 𝑥²
 
ERRO: Inobservância das definições. Ressalta-se também dificuldades nas 
operações... com feito, há necessidade de um “ciclo” no uso das relações 
trigonométricas (que são atreladas a um circulo trigonométrico. Ciclo = fechado!) 
 
73ª Questão Se uma onda de comprimento L se move à velocidade v em um corpo de 
água com profundidade d, então 
𝑣 = √
𝑔𝐿
2𝜋
𝑡𝑔ℎ (
2𝜋𝑑
𝐿
) 
em que g é a aceleração da gravidade. Por qual motivo em águas profundas temos a 
aproximação: 𝑣 = √
𝑔𝐿
2𝜋
 
Solução: 
Águas profundas... interpretar como d  ∞ (ERRO frequente é esquecer esse 
detalhe!). Vamos, por conseguinte, calcular: 
51 
 
lim
𝑑→∞
𝑡𝑔ℎ(𝑎𝑑) 
Onde “a” é uma constante positiva. Ora, tal limite equivale a: 
lim
𝑑→∞
𝑡𝑔ℎ(𝑎𝑑) = lim
𝑑→∞
𝑒𝑎𝑑 − 𝑒−𝑎𝑑
𝑒𝑎𝑑 + 𝑒−𝑎𝑑
 
 
Nas “manipulações” de tghx, trocamos ‘x’ por ‘ad’. Reorganizando, usando o 
fato de ab = 1/ab, temos: 
lim
𝑑→∞
𝑒𝑎𝑑 − 𝑒−𝑎𝑑
𝑒𝑎𝑑 + 𝑒−𝑎𝑑
= lim
𝑑→∞
𝑒𝑎𝑑 − 
1
𝑒𝑎𝑑
𝑒𝑎𝑑 + 
1
𝑒𝑎𝑑
 
Realizando a soma de frações: 
lim
𝑑→∞
𝑒𝑎𝑑 − 
1
𝑒𝑎𝑑
𝑒𝑎𝑑 + 
1
𝑒𝑎𝑑
= lim
𝑑→∞
𝑒2𝑎𝑑 − 1
𝑒𝑎𝑑
𝑒2𝑎𝑑 + 1
𝑒𝑎𝑑
 
Simplificando, 
lim
𝑑→∞
𝑒2𝑎𝑑 − 1
𝑒𝑎𝑑
𝑒2𝑎𝑑 + 1
𝑒𝑎𝑑
= lim
𝑑→∞
𝑒2𝑎𝑑 − 1
𝑒2𝑎𝑑 + 1
 
Agora, como temos uma indeterminação (infinito/infinito), usaremos 
L’Hopital 
lim
𝑑→∞
𝑒2𝑎𝑑 − 1
𝑒2𝑎𝑑 + 1
=⏞
𝐿′𝐻𝑜𝑝.
lim
𝑑→∞
2𝑎𝑒2𝑎𝑑
2𝑎𝑒2𝑎𝑑
= 1 
Logo, segue-se resultado. 
 
74ª Questão Calcule 𝑙𝑖𝑚𝑥 →∞
𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥
𝑒𝑥
 
Solução: 
Inicialmente, organizar a expressão 
lim
𝑥 →∞
𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥
𝑒𝑥
= lim
𝑥 →∞
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
𝑒𝑥
 
Reorganizando, usando o fato de a-b = 1/ab, bem como realizando diferença 
de frações temos: 
lim
𝑥 →∞
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
𝑒𝑥
= lim
𝑥 →∞
𝑒2𝑥 − 1
2𝑒𝑥
𝑒𝑥
 
52 
 
Pela divisão de frações: 
lim
𝑥 →∞
𝑒2𝑥 − 1
2𝑒𝑥
𝑒𝑥
= lim
𝑥 →∞
𝑒2𝑥 − 1
2𝑒2𝑥
 
Agora, como temos uma indeterminação (infinito/infinito), usaremos 
L’Hopital 
lim
𝑥 →∞
𝑒2𝑥 − 1
2𝑒2𝑥
=⏞
𝐿′𝐻𝑜𝑝
lim
𝑥 →∞
2𝑒2𝑥
2. 2𝑒2𝑥
=
1
2
 
Outra maneira de conceber a ideia das funções hiperbólicas é por meio do 
Polinômio de Taylor (Você pode omitir esta leitura caso não seja tal assunto 
cobrado em sua ementa). Grosseiramente, sob dadas condições, funções 
exponenciais, trigonométricas, logarítmicas, ente outras, podem virar polinômios. 
O polinômio de Taylor de grau n de f centrado em “a” é: 
𝑃𝑛(𝑥) =∑
𝑓(𝑘)(𝑎)
𝑘!
∙ (𝑥 − 𝑎)𝑘
𝑛
𝑘=0
 
Onde: 
 𝑓(𝑘)(𝑎) significa derivar a função f(x) k vezes e, em seguida, aplicar em “a”. 
 𝑘! Indica o fatorial de k. Ex.: 5! = 54321. Por definição, 0! = 1. 
Obs.: É claro que há uma margem de erro nas aproximações. Tal assunto 
está atrelado à disciplina de Métodos Numéricos. 
Obs2.: Quem é o candidato natural “a”? Na disciplina mencionada 
anteriormente, tal pergunta será respondida. Nosso foco, por enquanto, é mostrar 
um resultado de grande valia, principalmente em aplicações envolvendo integrais, 
como transformadas de Laplace ou de Fourier. 
Demonstraremos que 𝒆𝒊𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝒙 sendo i² = 1. 
Para tanto, usaremos o Polinômio de Taylor em torno de “0” – isto é, a = 0. 
Iniciaremos com f(x) = cosx. Quantas vezes derivar? A ideia é derivar 
sucessivas vezes até percebermos uma iteração, com efeito, função cosseno é 
cíclica. 
 Primeira derivação: f(1)(x) = senx. 
 Segunda derivação: f(2)(x) = cosx. 
 Terceira derivação: f(3)(x) = senx. 
 Quarta derivação: f(4)(x) = cosx. Encontramos um “ciclo”: f(4)(x) = f(x). 
53 
 
Indicando f(x) = f(0)(x) – não derivar, percebemos que: 
 Múltiplos de “4”  f(0)(x) = f(4)(x) = f(8)(x) = ... = f(4p)(x) = cosx. 
 Múltiplos de “4” mais “1”  f(1)(x) = f(5)(x) = ... = f(4p+1)(x) = senx. 
 Múltiplos de “4” mais “2”  f(2)(x) = f(6)(x) = ... = f(4p+2)(x) = cosx. 
 Múltiplos de “4” mais “3”  f(3)(x) = f(7)(x) = ... = f(4p + 3)(x) = senx. 
Aplicando em “0”, observamos que: 
 f(0)(0) = f(4)(0) = f(8)(0) = ... = f(4p)(0) = cos0 = 1. 
 f(1)(0) = f(5)(0) = ... = f(4p+1)(0) = sen0 = 0. 
 f(2)(0) = f(6)(0) = ... = f(4p+2)(0) = cos0 = 1. 
 f(3)(0) = f(7)(0) = ... = f(4p + 3)(0) = sen0 = 0. 
Assim, 
𝑐𝑜𝑠𝑥 =
𝑓(0)(0)
0!
(𝑥 − 0)0 +
𝑓(1)(0)
1!
(𝑥 − 0)1 +
𝑓(2)(0)
2!
(𝑥 − 0)2 +⋯ 
Dado que os expoentes ímpares tem derivação, aplicada em 0, igual a zero, 
segue-se, favor verificar: 𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝟏 −
𝒙𝟐
𝟐!
+
𝒙𝟒
𝟒!
−
𝒙𝟔
𝟔!
+⋯ 
Ufa! Teremos que replicar esta ideia para