Valor do dinheiro no tempo AFO I

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ADMINISTRAÇÃO FINANCEIRA
Prof. Adm. AdemirAntonio Saravalli
e-mail: ademir_saravalli@yahoo.com.br
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ADMINISTRAÇÃO FINANCEIRA
Prof. Adm. Ademir A. Saravalli
CONCEITOS FINANCEIROS BÁSICOS
Valor do dinheiro no tempo
Loanda/PR
2006
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1. VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
O papel do valor do tempo em finanças
Uma vez que consideramos a continuidade de uma empresa, seu valor e as decisões do administrador financeiro devem ser avaliados à luz tanto dos fluxos de caixa presentes como futuros, tanto entradas como saídas. Uma vez que as empresas, assim como os indivíduos, sempre se deparam com oportunidades para obter taxas de retornos positivas sobre seus fundos, isto é, as taxas de juros são sempre maiores que zero, o timing dos fluxos de caixa tem importantes conseqüências econômicas. Ter uma visão de longo prazo requer que o administrador financeiro, de uma maneira explícita, reconheça o valor do dinheiro no tempo.
Valor futuro versus valor presente
Valores de decisões podem ser avaliados, usando-se tanto técnicas de valor futuro como de valor presente. Embora essas técnicas, quando aplicadas corretamente, irão, resultar nas mesmas decisões, as decisões são tomadas assumindo-se perspectivas diferentes. Técnicas de valor futuro são utilizadas para encontrar valores futuros, os que são medidas típicas do final da vida do projeto, enquanto que as técnicas de valor presente são usadas para encontrar valores presentes, medidas do início da vida do projeto (tempo zero).
A linha do tempo, que é uma reta horizontal sobre a qual o tempo zero está no último ponto à esquerda e os períodos futuros são apresentados à medida que se movimenta da esquerda para a direita, pode ser usada para ilustrar os fluxos de caixa associados com um dado investimento. As linhas do tempo são freqüentemente usadas em finanças para permitir ao analista uma total compreensão dos fluxos de caixa associados com dado investimento. 
Figura 01
	Uma vez que o dinheiro tem um valor no tempo (existem oportunidades para se obterem taxas de retorno positivas), os fluxos de caixa associados com um investimento, devem ser medidos no mesmo instante no tempo. Tipicamente, esse instante é o final ou o início da vida do investimento.
	A técnica de valor futuro usa o valor composto para capitalizar e encontrar o valor futuro de cada fluxo de caixa no final da vida do investimento. Essa abordagem é ilustrada na Linha do tempo (figura 02), pode ser visto que o valor futuro de cada fluxo de caixa é medido ao final da vida do investimento de cinco anos.
	A técnica do valor presente, outra abordagem muito conhecida, usa o desconto para encontrar o valor presente de cada fluxo de caixa no tempo zero e, então, soma-os para encontrar o valor presente do investimento. A aplicação dessa abordagem é ilustrada na linha do tempo (figura 02). Embora o valor futuro e o valor presente, quando aplicados corretamente, resultem nas mesmas decisões, os administradores financeiros têm a tendência de confiar, principalmente, em técnicas de valor presente, uma vez que eles tomam decisões no tempo zero.
Figura 02
1.2 Valor futuro de um único montante
	O valor futuro de um montante presente é encontrado pela aplicação de juros compostos durante um período específico de tempo. As instituições de poupanças promovem retornos de juros compostos a uma taxa de x% de juros de x% compostos em base anual, semestral, trimestral, mensal, semanal, diária e mesmo ininterrupta. Os princípios de valor futuro são bastante simples, independentemente do período de tempo envolvido.
1.2.1 O conceito de valor futuro
	Falamos de juros compostos quando desejamos indicar que o montante ganho em um dado depósito tornou-se parte do principal, no final de um período específico. O termo principal refere-se a uma quantia sobre a qual os juros são pagos. 
1.2.2 O cálculo do valor futuro
	A equação a seguir pode ser generalizada para encontrar o valor futuro após qualquer número de período.
VF = valor futuro no final do período n
VP = principal inicial, ou valor presente
i = taxa de juros
n = número de períodos
1.2.3 Capitalizando com freqüência maior do que anual
	Os juros são, geralmente, capitalizados com freqüência maior do que uma vez ao ano. As instituições de poupança capitalizam juros em base semestral, trimestral, mensal, semanal, diária ou mesmo contínua. Aqui discutiremos a capitalização semestral e trimestral apresentando uma equação geral para capitalizar com maior freqüência do que anualmente descrevendo brevemente a capitalização contínua.
Onde:
VF = Valor futuro
VP = Valor presente
i = Taxa
m = Freqüência de capitalização
n = Período de capitalização
1.2.3.1 Capitalização semestral
A capitalização semestral de juros envolve dois períodos de capitalização durante um ano. Em vez de se pagar taxa de juros determinada uma vez ao ano, a metade dessa taxa de juros é paga duas vezes ao ano.
Exemplo:
Depositaremos 100,00 a 8% de juros compostos semestralmente, m será igual a 2 ( 02 semestres), pretendemos deixar esse dinheiro no banco por dois anos, receberemos 4% de juros compostos durante quatro períodos, tendo cada um deles a duração de seis meses. A equação a seguir vem mostrar que no final de dois anos teremos $ 116,99.
1.2.3.2 Capitalização trimestral
	A capitalização trimestral de juros envolve quatro períodos de capitalização durante um ano. Uma quarta parte dos juros determinados é paga quatro vezes ao ano.
Exemplo:
Os mesmo 100,00 a 8% de juros compostos trimestralmente, apresentará o seguinte resultado:
1.2.3.3 Capitalização contínua
	Em um caso extremo, os juros podem ser (e freqüentemente são) capitalizados continuamente. A capitalização contínua envolve a capitalização a cada microssegundo, o menor período de tempo imaginável. Nesse caso m pode se aproximar de infinito; conseqüentemente, o cálculo se dará através da seguinte equação:
Onde, e é função exponencial que tem o valor de 2,718281828.
1.2.3.4 Taxas equivalentes
	Duas taxas são consideradas equivalentes se, quando aplicadas ao mesmo capital, pelo mesmo período de tempo, produzirem a mesma renda, ou seja, pelo mesmo período de tempo produzirem o mesmo volume de juros.
Metodologia de cálculo:
Iq = Taxa para o prazo que eu quero
it = Taxa para o prazo que eu tenho
q = Prazo que eu quero
t = Prazo que eu tenho
1.2.3.4 Taxa de juros nominal, efetiva e real
	É importante que ambos, consumidores e empresários, sejam capazes de fazer comparações objetivas das taxas de juros. Para comparar o custo de um empréstimo ou os retornos de investimento em diferentes períodos de capitalização, devemos distinguir entre taxa de juros nominal e a taxa de juros efetiva. 
Taxa de juros nominal
A taxa de juros nominal ou declarada é a taxa de juros contratual e cobrada por um fornecedor de fundos ou prometida pelo tomador de fundos, podemos afirmar que a taxa nominal incide sobre o valor nominal da aplicação ou do empréstimo, tendo em vista que leva em consideração o valor explicitado no título ou no contrato. 
Taxa de juros efetiva
A taxa efetiva de juros ou real é a taxa de juros efetivamente paga ou ganha, ou seja, o valor colocado à disposição do banco ou do cliente na data da aplicação ou de contrato. Em finanças pessoais a taxa efetiva, chamada de taxa porcentual anual (TPA), deve por lei ser claramente declarada aos tomadores de fundos e aos depositantes.
	
Taxa de juros real
É a taxa calculada com base no valor efetivamente aplicado ou emprestado, corrigido monetariamente pela inflação do período, contado desde o dia da aplicação ou do empréstimo até o dia do seu resgate ou vencimento.
A taxa de juros efetiva difere da taxa de juros nominal por refletiro impacto da freqüência da capitalização. Em termos de ganhos de juros, é provavelmente interpretada mais adequadamente como a taxa de juros anual, que resultaria no mesmo valor futuro que aquele resultante da aplicação da taxa nominal usando-se a freqüência de capitalização declarada.
	
1.3 Valor futuro de uma anuidade
	Uma anuidade é uma série de fluxos de caixa anuais. Esses fluxos de caixa podem ser entradas de retornos ganhos sobre investimentos ou saídas de fundos investidos para ganhar retornos futuros. Antes de considerar os cálculos do valor futuro relativo às anuidades, devemos distinguir entre os dois tipos básicos de anuidades.
1.3.1 Tipos de anuidades
	Os dois tipos básicos de anuidades são a anuidade ordinária e a anuidade vencida. Em uma anuidade ordinária, os pagamentos são efetuados no fim de cada período, enquanto na anuidade vencida, são efetuados no início de cada período.
	A despeito do fato de que ambas as anuidades comparadas no quadro anterior totalizarem 5.000,00, a anuidade vencida poderia ser de maior valor porque seus fluxos de caixa ocorrem antes e, portanto, há mais tempo para capitalizar a um valor futuro mais alto (a uma dada taxa de juros) que aquele da anuidade ordinária. Em geral, o valor futuro de uma anuidade vencida é sempre maior que o valor futuro de outra anuidade ordinária idêntica. Em razão de serem as anuidades ordinárias usadas mais freqüentemente em finanças.
1.3.2 Encontrando o valor futuro de uma anuidade ordinária
	Os cálculos necessários para se encontrar o valor de uma anuidade ordinária sobre a qual os juros são pagos a uma taxa específica, capitalizados anualmente, podem ser ilustrados pelo seguinte exemplo:
Pedro Máximo deseja determinar quanto dinheiro terá no fim de cinco anos, se depositar R$ 1.000,00 anualmente, ao fim de cada um dos próximos cinco anos, em uma conta de poupança que paga 7% de juros anuais. Seus fluxos de caixa estão representados pela anuidade A – anuidade ordinária, conforme ilustração a seguir, que apresenta os cálculos necessários para se encontrar o valor futuro dessa anuidade no final do ano 5.
 
Como mostra a figura, no fim do ano 5, Pedro terá R$ 5.750,74 em sua conta. Já que os depósitos são feitos no fim do ano, o primeiro depósito obterá juros por quatro anos, o segundo por três e assim por diante.
1.3.2.1 Cálculo simplificado do valor futuro de uma anuidade ordinária
	Podemos simplificar os cálculos de uma anuidade ordinária, usando uma calculadora financeira de bolso substituindo os termos da equação a seguir:
1.3.3 Encontrando o valor futuro de uma anuidade vencida
	Os cálculos envolvidos na procura do valor futuro da forma menos comum de uma anuidade vencida podem ser demonstrada pelo seguinte exemplo:
Pedro Máximo, de maneira similar aos seus cálculos para uma anuidade ordinária, deseja determinar quanto dinheiro terá no fim de cinco anos, se depositar R$ 1.000,00 anualmente, no começo de cada um dos próximos cinco anos, em uma conta de poupança que paga 7% de juros anuais. Seus fluxos de caixa estão representados pela anuidade B – anuidade vencida, conforme ilustração a seguir, que apresenta os cálculos necessários para se encontrar o valor futuro dessa anuidade no final do ano 5.	
1.3.3.1 Cálculo simplificado do valor futuro de uma anuidade vencida
	Podemos simplificar os cálculos de uma anuidade vencida, usando uma calculadora financeira de bolso substituindo os termos da equação a seguir:
1.3.3.2 Comparação com uma anuidade ordinária
	Como foi observado anteriormente, o valor futuro de uma anuidade vencida é sempre maior que o valor futuro de outra anuidade ordinária idêntica. Esse fato está demonstrado pelos valores futuros no final do ano 5, de duas anuidades de R$ 1.000,00, de cinco anos, de Pedro Máximo. Os valores futuros da anuidade ordinária e da anuidade vencida, respectivamente, no final dp ano 5, dada a taxa de juros de 7%, foram encontrados, sendo os seguintes: 
Anuidade ordinária = R$ 5.750,74
Anuidade vencida = R$ 6.153,29
	Uma vez que o fluxo de caixa da anuidade vencida ocorre no começo do período e não no fim, como é o caso da anuidade ordinária, seu valor futuro é maior, no exemplo dado, Pedro Máximo poderia obter R$ 402,55 a mais com a anuidade vencida.
	Apesar da possibilidade de ganhos superiores, as anuidades vencidas são encontradas com menos freqüência que as anuidades ordinárias.
1.4 Valor presente de um montante único
	É freqüentemente útil determinar o valor presente de um montante futuro de dinheiro. O valor presente é o valor atual de um montante futuro em unidades monetárias, o montante de unidade monetária que poderia ser investido hoje a uma dada taxa de juros durante um período especificado para se igualar ao montante futuro. O valor presente, como o valor futuro, baseia-se na convicção de que $ 1,00 hoje tem mais valor que $ 1,00 que será recebido em alguma data futura. O valor presente efetivo de $ 1,00 depende muito das oportunidades de investimentos do recebedor e do instante no tempo no qual $ 1,00 está para ser recebido.
1.4.1 O conceito de valor presente
	O processo que envolve a determinação dos valores presentes e freqüentemente referido como desconto de fluxos de caixa. Esse processo é geralmente o inverso de capitalização de juros. Relaciona-se com a questão: “Se eu ganho n% sobre o meu dinheiro, qual é o máximo que eu estaria disposto a pagar agora por uma oportunidade de receber o valor futuro em n períodos, a contar de hoje?”. Em vez de encontrar o valor futuro das unidades monetárias atuais investidos a uma dada taxa, o desconto determina o valor presente de um montante futuro, supondo que aquele que toma a decisão tem uma oportunidade para obter um certo retorno, i, sobre o dinheiro. Essa taxa de retorno anual é diversamente referida como taxa de desconto, retorno exigido, custo de capital, ou custo de oportunidade.
1.4.2 A expressão matemática para o valor presente
	Podemos encontrar o valor presente de um montante futuro matematicamente solucionando a equação apresentada a seguir. Em outras palavras, simplesmente desejamos obter o valor presente, VP, de um montante futuro VF, a ser recebido em n períodos a partir de agora.
 ou 
1.5 Valor presente de séries de fluxo de caixa
	Geralmente em finanças há a necessidade de se encontrar o valor presente de uma série de fluxos de caixa a serem recebidos em vários períodos futuros. Dois tipos básicos de séries de fluxos de caixa são possíveis: a série mista e a anuidade. A série mista de fluxos de caixa não reflete um padrão preestabelecido, enquanto que, como foi demonstrado antes, uma anuidade é um modelo de fluxos de caixa anuais e iguais. Uma vez que certos atalhos são possíveis para se achar o valor presente de uma anuidade, a série mista e as anuidades serão discutidas separadamente. Além disso, o valor presente da série mista, sendo inclusas anuidades e perpetuidades, será considerado nesta seção.
1.5.1 Valor presente de uma série mista
	Para encontrar o valor presente de uma série mista de fluxos de caixa, determine o valor presente de cada montante através da expressão:
	Some todos os valores presentes individuais para encontrar o valor presente total da série.
	A Pezinho de Anjo, empresa fabricante de sapatos, tem a oportunidade de receber a seguinte série mista de fluxos de caixa ao longo dos próximos cinco anos:
	Se a empresa pode obter 9%, no mínimo, sobre seus investimentos, qual é o máximo que ela deve pagar por essa oportunidade?
	A Pezinho de Anjo não deve pagar mais que $ 1.904,60 pela oportunidade de receber esses fluxos de caixa, uma vez que pagando $1.904,60 poderia ter exatamente um retorno de 9%.
	Linha do tempo para o valor presente de uma série mista (fluxos de caixa do final do ano, descontados a 9%, durante o correspondente número de anos)1.5.2 Valor presente de uma anuidade
	O valor presente de uma anuidade pode ser encontrado de maneira similar àquela usada para uma série mista, mas é possível um caçula mais rápido.
A Baby Brink, um pequeno produtor de brinquedos de plástico, está tentando determinar o máximo que pode pagar para comprar uma anuidade específica. A empresa requer um retorno mínimo de 8% em todos os investimentos, e a anuidade consiste de fluxos de caixa de $ 700 por ano, durante cinco anos. O quadro a seguir apresenta um método longo para encontrar o valor presente de uma anuidade, o qual é o mesmo método usado para uma série mista. Este processo gera um valor presente de $ 2.795,10, que pode ser interpretado da mesma maneira como se fosse uma série mista de fluxos de caixa no exemplo precedente.
Linha do tempo para o valor presente de uma anuidade ($700 ao final dos anos dos fluxos de caixa, descontados a 8% durante cinco anos)
1.5.3 Valor presente de uma série mista com anuidade fixa
	Ocasionalmente, uma série mista de fluxos de caixa terá uma anuidade embutida nela. Dependendo do número de anos na vida das anuidades e da vida da série mista, você poderá efetuar um cálculo eficiente, seguindo três passos:
Passo 1
Encontre o valor presente da anuidade a uma taxa de desconto específica, usando o procedimento descrito acima. (Nota: o valor presente resultante é medido no início da anuidade, o qual é equivalente ao final do período imediatamente anterior ao início da anuidade.)
Passo 2
Adicione o valor presente calculado no Passo 1, a qualquer outro fluxo de caixa que esteja acontecendo no período imediatamente precedente ao início da anuidade, e eliminar o fluxo de caixa individual de anuidades para determinar os fluxos de caixa revisados.
Passo 3
Realize o desconto do fluxo de caixa revisado, obtido no Passo 2, retornado ao tempo zero da forma normal com o uso da taxa de desconto especificada.
	A Sempre Vivo espera que um investimento gere o fluxo de caixa apresentado no quadro a seguir. Se a empresa deve obter 9% em seus investimentos, qual é o valor presente do fluxo de caixa esperado?
Linha do tempo do valor presente de uma série mista com anuidade embutida (ao final do fluxo de caixa descontado a 9%, sobre o correspondente número de anos.)
1.5.4 Valor presente de uma perpetuidade
	Uma perpetuidade é uma anuidade com uma vida infinita, em outras palavras, uma anuidade que nunca deixa de oferecer ao seu detentor pagamentos PMT em unidades monetárias ao final de cada ano. Às vezes é necessário encontrar o valor presente de uma perpetuidade. 
	Como foi exposto, o fator apropriado, é encontrado pela simples divisão de 1,0 pela taxa de desconto n (determinada em decimal).
1.6 Aplicações especiais do valor do tempo
	As técnicas de valor futuro e valor presente tem inúmeras aplicações importantes. Três delas são apresentadas nesta seção: 
O cálculo dos depósitos necessários para acumular uma soma futura;
O cálculo de amortização sobre empréstimos;
A determinação de juros ou taxas de crescimento.
1.6.1 Depósitos para acumular uma soma futura
	Geralmente, um indivíduo pode querer determinar o depósito necessário para acumular um certo montante de dinheiro em vários anos, a partir de agora. Suponha que uma pessoa deseja comprar uma casa daqui a cinco anos e estima que um pagamento inicial relativo à entrada de R$ 20.000, será exigido na ocasião. Ela deseja fazer depósitos anuais iguais, no fim cada ano, em uma conta que paga juros anuais de 6%; então, deve determinar o montante da anuidade que resultará em uma soma global de R4$ 20.000, no final do ano 5. a solução para esse problema está estreitamente relacionada ao processo de encontrar o valor futuro de uma anuidade.
	Podemos encontrar o depósito periódico exigido para acumular um valor monetário no futuro, dada um taxa de juros específica, i, e um certo número de períodos, n, pela resolução da equação a seguir:
1.6.2 Amortização de empréstimos
	A expressão de amortização de empréstimos refere-se à determinação dos pagamentos periódicos, em parcelas iguais, necessários para dar a um credor um retorno especificado e reembolsar o principal do empréstimo dentro de um período estabelecido, o processo de amortização de empréstimos envolve a determinação dos pagamentos futuros (dentro do prazo do empréstimo), cujo valor presente à taxa de juros do empréstimo iguala-se exatamente ao principal inicial do empréstimo.
	A amortização de um empréstimo envolve, na realidade, a criação de uma anuidade a partir de um montante atual. Por exemplo, um individuo pode tomar emprestado R$ 6.000, a 10% e concordar em efetuar pagamentos anuais iguais, no final do ano, durante quatro anos, que descontada a 10% tenha um valor presente de R$ 6.000,00. o processo é, na realidade, o inverso daquele usado para se encontrar o valor presente de uma anuidade.
	
	Substituindo na equação dada, são necessários pagamentos anuais iguais, no final de cada ano, de R$ 1.892,74
	
			
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O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
EXERCÍCIOS
Calcular o montante de uma aplicação de $15.000,00, pelo prazo de 06 meses, à taxa de 2% ao mês.
No final de dois anos, o Sr. Pedro deverá efetuar um pagamento de $20.000,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Pergunta-se: Qual o valor emprestado?
A Loja Queimão das Maravilhas financia a venda de uma mercadoria no valor de $1.600,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de $2.275,36 no final de 08 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?
Qual a taxa equivalente anual das seguintes taxas:
40% ao semestre
12% ao trimestre
5% ao mês
8% ao bimestre
10% por 07 meses
20% por 08 meses
44% ao biênio
92% por 373
Em 154 dias uma aplicação rendeu 41,123%. Calcular as taxas mensal e anual equivalentes.
Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 51,107% ao ano, para ter $50.000,00 no final de 19 meses?
Pretendo aplicar $720,00 por mês, durante 07 meses, a uma taxa de juros de 2,7% a.m. Quanto terei acumulado no final desse período?
O Sr. Pedro é agricultor, e está adquirindo um trator Valmet-880 ao preço de $23.000,00 a ser pago em 06 parcelas mensais a juros de 2,5% ao mês. Determine o valor das parcelas.
Contratei um empréstimo bancário no valor de $50.000,00 para ser liquidados em 04 parcelas trimestrais a juros de 6% ao mês. Qual o valor das parcelas cobradas pelo banco?
No próximo ano estarei viajando para Porto Seguro e precisarei de $5.000,00. que valor deverei aplicar mensalmente, durante esses 12 meses, num fundo que paga juros de 44,25% ao ano, para que eu possa ter disponível esse montante?
Quanto William terá em cinco anos se colocar $2.500 em um Certificado de Depósito com taxa de juros anual de 7,5% compostos anualmente?
Como os mercados precisariam manipular a taxa de retorno sobre seu investimento para diminuir o valor futuro de seu investimento?
Janet e Dean querem fazer um pagamento de $75.000 em um condomínio quando se aposentarem daqui a sete anos. Se eles podem ganhar 9% sobre seus investimentos, quanto dinheiro eles precisam para investir hoje para ter o suficiente para o pagamento?
Uma anuidade comum tem fluxos de caixa periódicos iguais no _______ do período e uma anuidade vencida tem fluxos de caixa periódicos iguais no ______ do período.
Se você tem uma taxa de retorno exigida de 5%, qual das seguintes opções tem o maior valor?
Sua empresa está planejando investir $350.000 por ano em fluxos de caixa anuais iguais no final do ano para prover recursos a um fundo de aprimoramento de capital. Espera-se que os investimentos ganhem 10% ao ano, quanto a conta valerá em 7 anos?
Seus pais colocam depósitos anuais iguais no início do ano de $1.200 emuma conta, ganhando 8% ao ano a partir do dia em que você nasceu até seu 18º aniversário (um total de 19 depósitos). Qual é o saldo dessa conta hoje?
O que é uma perpetuidade? 
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Fórmulas:
01 - 
02 - 
03 - 
04 - 
05 - 
06 - 
 ou 
07 - 
08 - 
09 - 
10 - 
11 - 
12 - 
13 - 
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