Aula Circ Mag II 15082017

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CES-CL
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DE CONSELHEIRO LAFAIETE
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
CES- CL Conversão de Energia Prof. Geraldo Leão Lana
Conversão de Energia
Circuitos Magnéticos
Circuitos Magnéticos
Fluxo Concatenado e Indutância
→ Quando um campo magnético varia no tempo, produz-se um campo elétrico no 
espaço de acordo com a lei de Faraday:
A equação afirma que a integral de linha da intensidade de campo elétrico E ao 
longo de um contorno fechado C é igual à razão, no tempo, da variação de fluxo 
magnético que concatena (passa através) aquele contorno. O campo E no fio é 
extremamente pequeno podendo ser desprezado, de modo que o primeiro 
membro da equação reduz-se ao negativo da tensão induzida e nos terminais do 
enrolamento. No segundo membro da equação predomina o fluxo do núcleo, 
como o enrolamento concatena o fluxo do núcleo N vezes, a equação reduz-se a:
Onde é o fluxo concatenado do enrolamento definido como:
∫∫ ⋅−=⋅
SC
daB
dt
ddsE
dt
d
dt
dNe λϕ ==
λ
ϕλ N=
→ Em um circuito magnético, composto de material magnético de permeabilidade 
constante ou que inclua um entreferro dominante, a relação entre e i será linear 
e poderemos definir a indutância L como:
A substituição das equações
na equação anterior nos dá:
Dessa equação, podemos ver que a indutância de um enrolamento em um circuito 
magnético é proporcional ao quadrado de espiras e inversamente proporcional à 
relutância do circuito magnético associado a esse enrolamento. 
φ
i
L λ=
ϕλφ NHdlNi
tot
=
ℜ
ℑ
===ℑ ∫ ;;
tot
NL
ℜ
=
2
Circuitos Magnéticos
Fluxo Concatenado e Indutância
g
g
g
g
g l
A
Ni
l
A 00 µµφ =ℑ=
ℜ
ℑ
≈
A partir de
supondo que a relutância do núcleo seja desprezível em comparação com a do 
entreferro, a indutância do enrolamento será igual a:
g
g
g
g l
AN
A
l
NL 0
2
0
2
)(
µ
µ
==
Circuitos Magnéticos
Fluxo Concatenado e Indutância
→ A figura abaixo mostra um circuito magnético com um entreferro e dois 
enrolamentos. Neste caso, observe que a FMM do circuito magnético é dada pelo 
total de ampéres-espiras que atua no circuito magnético (ambos os enrolamentos) e 
que os sentidos de referência das correntes foram escolhidos de modo a produzirem 
fluxos no mesmo sentido. A FMM total é
2211 iNiN +=ℑ
Circuitos Magnéticos
Fluxo Concatenado e Indutância
g
g
g
g
g l
A
Ni
l
A 00 µµφ =ℑ=
ℜ
ℑ
≈
→ Da equação,
desprezando a relutância do núcleo e assumindo que Ac = Ag, o fluxo do núcleo é:
Nesta equação é o fluxo resultante no núcleo, produzido pela FMM total dos dois 
enrolamentos. É esse fluxo resultante que determina o ponto de operação do 
material do núcleo. Se esta equação for decomposta em termos relacionados 
individualmente com cada corrente, o fluxo concatenado resultante da bobina 1 pode 
ser expresso como:
Que pode ser escrita como:
g
C
l
AiNiN 02211 )(
µφ +=
φ
2
0
211
02
111 il
ANNi
l
ANN
g
C
g
C








+








==
µµφλ
2121111 iLiL +=λ
Circuitos Magnéticos
Fluxo Concatenado e Indutância
→ Da equação,
é a indutância própria da bobina 1 e é o fluxo
concatenado da bobina 1 devido à sua própria corrente .
A indutância mútua entre as bobinas 1 e 2 é:
e é o fluxo concatenado da bobina 1 devido à corrente na outra bobina.
2121111 iLiL +=λ
g
C
l
ANL 02111
µ
= 111iL
1i
g
C
l
ANNL 02112
µ
=
212iL 2i
Circuitos Magnéticos
Fluxo Concatenado e Indutância
→ Do mesmo modo, o fluxo concatenado da bobina 2 é
ou
onde é a indutância mútua e 
é a indutância própria da bobina 2.
2
02
21
0
2122 il
ANi
l
ANNN
g
C
g
C








+








==
µµφλ
2221212 iLiL +=λ
1221 LL =
g
C
l
ANL 02222
µ
=
Circuitos Magnéticos
Fluxo Concatenado e Indutância
Exercícios
1) Um núcleo ferromagnético é mostrado abaixo.Três de seus lados têm larguras 
uniformes, ao passo que a largura do quarto lado é menor. A profundidade do núcleo 
(para dentro da página) é 10 cm e as outras dimensões são mostradas na figura. Uma 
bobina de 200 espiras está enrolada no lado esquerdo do núcleo. Assumindo uma 
permeabilidade relativa 2500, quanto fluxo será produzido por uma corrente de 1 A?
Três lados do núcleo têm as mesmas áreas de seção reta, ao passo que o quarto lado 
tem uma área diferente. Assim, o núcleo pode ser dividido em duas regiões: (1) um lado 
menos espesso e (2) três outros lados tomados em conjunto.
SOLUÇÃO
2) O circuito magnético mostrado na figura abaixo tem as dimensões Ac = Ag = 9 cm², 
g = 0,050 cm, lc = 30 cm e N = 500 espiras. Suponha o valor µr = 70.000 para o material 
do núcleo. a) Encontre as relutâncias Rc e Rg. Dada a condição de que o circuito 
magnético esteja operando com Bc = 1,0 T, encontre (b) o fluxo φ e (c) a corrente i.
Exercícios
SOLUÇÃO
3) Encontre o fluxo φ e a corrente para o Exercício 2 se (a) o número de espiras for 
duplicado para N = 1000 espiras, mantendo-se as mesmas dimensões, e (b) se o 
número de espiras for N = 500 e o entreferro for reduzido a 0,040 cm.
Exercícios
3) A figura abaixo mostra um núcleo ferromagnético cujo comprimento de caminho
médio é 40 cm. Há um entreferro delgado de 0,05 cm no núcleo, o qual é inteiriço no
restante. A área da seção reta do núcleo é 12 cm2, a permeabilidade relativa do núcleo 
é 4000 e a bobina enrolada no núcleo tem 400 espiras. Assuma que o espraiamento no 
entreferro aumente a área efetiva da seção reta em 5%. Dada essa informação, 
encontre :(a) a relutância total do caminho de fluxo (ferro mais entreferro) ; 
(b) a corrente necessária para produzir uma densidade de fluxo de 0,5 T no entreferro.
SOLUÇÃO
Exercícios
4) A figura abaixo representa o circuito magnético de um relé. A bobina possui 500 
espiras e o comprimento médio do núcleo é 360 mm. Quando o comprimento médio de 
cada entreferro é 1,5 mm, uma densidade de fluxo de 0,8 T é necessária para a atuação 
do relé. O material do núcleo é aço fundido (cast steel).
SOLUÇÃO
a) Calcule a corrente na bobina (utilize a curva B-H fornecida para determinar Hc)
R: 4,19A
b) Calcule os valores da permeabilidade µ e da permeabilidade relativa µr no núcleo
R: µ = 0,00157; µr = 1250
c) Considerando o entreferro igual a zero, calcule a corrente na bobina para a mesma 
densidade de fluxo (0,8 T) no núcleo.
R: 0,368A
5) A figura abaixo mostra de forma simplificada o rotor e o estator de um motor CC. O 
comprimento do caminho médio do estator é 50 cm e a área de sua seção reta é 12 
cm². O comprimento do caminho médio do rotor é 5 cm e pode-se assumir que a área 
de sua seção reta é também 12 cm². Cada entreferro entre o rotor e o estator tem 0,05 
cm de largura e a área da seção reta de cada entreferro (incluindo o espraiamento) é 14 
cm². O ferro do núcleo tem permeabilidade relativa de 2000 e há 200 espiras de fio 
sobre o núcleo. Se a corrente no fio for ajustada para 1 A, qual será a densidade de 
fluxo resultante nos entreferros?
Exercícios
SOLUÇÃO
Para determinar a densidade de fluxo no entreferro, é necessário calcular primeiro a 
força magnetomotriz aplicada ao núcleo e a relutância total do caminho de fluxo. Com 
essas informações, pode-se encontrar o fluxo total no núcleo. Finalmente, conhecendo 
a área da seção reta dos entreferros, pode-se calcular a densidade de fluxo.
O respectivo circuito magnético dessa máquina está mostrado na figura b. A relutância 
total do caminho de fluxo é, portanto,
SOLUÇÃO
Exercícios
6) Uma máquina síncrona de 2 pólos
é mostrada abaixo e possui as seguintes 
dimensões:
Comprimento de cada entreferro: lg = 2,5 mm
Área da seção transversal dos pólos, Ag = 500 cm²
N = 500 espiras
I = 5 A
µ = ∞
a) Desenhe o circuito magnético equivalente
b) Encontre a densidade de fluxo no entreferro