Gabarito - Provas de Cinemática

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GABARITO COMENTADO DE PROVAS DE FÍSICA 
CINEMÁTICA 
 
1ª Prova – 2007 
 
Questão 1: FÁCIL 
 
O valor de H é calculado pela equação de Torricelli: 
 
 
 
 
 
Para isso, deve-se calcular a velocidade inicial e final: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(sinal negativo, pois o projétil está 
descendo.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 2: MÉDIO 
 
a) O único local onde possa haver colisão entre as partículas 1 e 2 é o ponto (0,0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste ponto, as partículas passam em tempos diferentes. Logo, não haverá colisão. 
 
b) Para achar o instante mínimo entre as partículas, é necessário calcular o vértice x mínimo da 
equação da distância. Este é dado por Pitágoras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) A distância mínima é dada pelo vértice y mínimo da equação da distância: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 3: MÉDIO 
 
a) A equação da trajetória é dada pela função y = f(x): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para fazer o gráfico: 
 
 y é uma função do segundo grau. Logo, seu gráfico será uma parábola. 
 Se o coeficiente “a” ( ) é negativo, então a parábola terá concavidade para baixo. 
 Raízes: 0 e . 
 Vértice máximo: ( , ) 
 
b) A velocidade é dada pela derivada do deslocamento nos eixos x e y: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A aceleração é dada pela derivada da velocidade nos eixos x e y: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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c) Fazendo desenhos, é possível perceber que a relação entre a aceleração e a velocidade é o 
cosseno, sendo a hipotenusa a velocidade e a aceleração, o cateto adjacente. Como estamos 
trabalhando com vetores, aplicaremos a equação do cosseno de geometria analítica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 04: MÉDIO 
 
De acordo com a geometria analítica, vetores só podem ser perpendiculares se o produto 
escalar entre eles for zero: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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O tempo encontrado é o instante quando os vetores ficam perpendiculares. Então, joga-se 
esse tempo nas equações das trajetórias de cada partícula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Após isso, calcula-se o módulo da variação entre eles, que é a distância que a questão pede: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Questão 05: MÉDIO 
 
A distância é encontrada integrando a aceleração (negativa, pois é uma desaceleração) e 
usando a regra da cadeia para que o dt desapareça e dx apareça: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Quando t = 0, v = v0. Se existe uma velocidade no tempo zero, então também existe um x0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Voltando para a equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando o carro pára, a velocidade final é zero: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1ª Prova – 02/12/2006 
 
Questão 01: FÁCIL 
 
O instante total do problema é dado pela equação horária da posição, usando a velocidade 
relativa dos trens (somam-se as velocidades, pois eles estão em sentidos contrários): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A distância total percorrida pelo pássaro é dada pela equação horária do pássaro: 
 
 
 
 
 
Questão 02: MÉDIO 
 
a) A equação da velocidade é a integral da aceleração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em x = 2m, a velocidade é nula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Voltando para a equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em x = 3m, a velocidade será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Para resolver a questão, devemos integrar a velocidade para que o tempo apareça: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com a dica da prova, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No tempo t = 0, o corpo passa pela origem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Voltando à equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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O tempo necessário para ir de x = 1m até x = 2m (Δx = 1m) é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(o resultado do arsen é em radianos) 
 
Questão 03: FÁCIL 
 
O valor de V é calculado pela equação de Torricelli:Para isso, deve-se calcular a velocidade inicial pela equação horária da velocidade: 
 
 
 
 
 
Voltando ao Torricelli: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 04: MÉDIO 
 
a) Para saber a distância que a bola atingirá o solo em relação à parede, deve-se calcular como 
se a bola estivesse saindo da parede. Para isso, devemos calcular em que altura e velocidade 
(do eixo y) ele atingirá a parede e o tempo de queda da parede até o solo. 
 
Tempo de chegada à parede: 
 
 
 
 
 
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Altura da bola na parede: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Velocidade do eixo y na parede: 
 
 
 
 
 
Tempo de queda da bola na parede até o solo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Finalmente, a distância que se pede é dada pela equação horária da posição: 
 
 
 
 
b) O tempo total é dado pela soma do instante do arremesso até a parede (t1) e o instante de 
queda da parede até o solo (t2): 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 05: DIFÍCIL 
 
Como está mostrado na figura, o barco ficará a salvo fora da zona de bombardeio, ou seja, há 2 
locais seguros: um é entre a costa e o alcance mínimo do bombardeio, e o outro é além do 
alcance máximo deste. 
 
O Alcance máximo é encontrado quando a altura máxima da trajetória do projétil é igual à 
altura da montanha: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por outro lado, o tempo de subida é dado pela equação horária da velocidade do eixo y, 
quando a velocidade é zero: 
 
 
 
 
 
 
Voltando à equação da altura máxima: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, o ângulo é: 
 
 
 
Conhecendo o ângulo inicial e o tempo de subida, consegue-se o alcance máximo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Como a questão quer a distância em relação à costa, deve-se diminuir 2800 m, então: 
 
 
 
 
 
A outra distância é dada quando a trajetória possui um ângulo maior que o ângulo encontrado 
anteriormente (se fosse menor, o projétil atingiria a montanha) e quando ela passa pela altura 
da montanha 2 vezes, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Além disso, na segunda vez que a trajetória passar nesta altura, ela deve estar a 2500m do 
barco: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Voltando à equação da trajetória: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com a relação fundamental da trigonometria, temos que : 
 
 
 
 
 
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13 
 
Como isso se tornou uma equação biquadrática, substituiremos por y: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, o ângulo em questão é: 
 
 
 
O tempo total é dado quando a velocidade final do eixo y se torna igual a sua velocidade 
inicial, porém, em sentido oposto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com o tempo total e o ângulo inicial, temos o alcance máximo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diminuindo-se 2800m, temos: 
 
 
 
 
 
O Barco pode ficar a salvo entre a costa e 3314,6m ou além de 3358,75m da costa. 
 
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1ª Prova – 19/04/2008 
 
Questão 01: MÉDIO 
 
Montaremos um modelo de desenho primeiro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Separaremos a equação horária do barco em 2: a primeira, quando ele vai contra o rio, e a 
segunda, quando ele volta para o pacote, a favor do rio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para achar t2, vamos para a equação horária do pacote para encontrar a tempo total: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Voltando para a equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 km Δx1 
Δx2 = Δx1 + 1 
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Questão 02: Já foi feita (Questão 03 da prova de 2007) 
 
Questão 03: MÉDIO 
 
a) A posição angular é dada pela integração da velocidade angular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com Cálculo, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então: 
 
 
 
 
 
 
No instante t = 0, : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Voltando à equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) Substituindo a função horária da posição angular na equação da velocidade angular dada 
pela questão, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 04: DIFÍCIL 
 
Primeiro, vamos calcular as equações da trajetória de cada jato de água, pois não podemos 
igualar as equações da posição de x e y de cada um ainda, pois cada um possui a variável 
tempo, que é diferente em cada equação (o tempo de chegada de cada jato se diferem). 
 
Equação da trajetória do ponto mais alto (A): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo um no outro, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação da trajetória do ponto mais baixo (B): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Substituindo um no outro, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No ponto de interseção dos jatos, yA = yB = y, e xA = xB = x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, o ponto em questão é C = . 
 
Questão 05: MÉDIO 
 
a) Para encontrar a equação da velocidade, vamos integrar a aceleração (negativa, pois é uma 
desaceleração) usando a regra da cadeia: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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18 
 
Na posição x = 10m, v = 0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Voltando a equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A velocidade no ponto x = 0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Usaremos a equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1ª Prova 06/09/2008 
 
Questão 01: DIFÍCIL 
 
Para resolver esta questão, dividiremos o percurso em 3 partes: a primeira, quando ele 
acelera, a segunda, quando ele move-se uniformemente, e a terceira, quando ele desacelera: 
 
Primeira Parte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segunda Parte: 
 
 
 
 
Terceira Parte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a posição 3 e a aceleração é igual a da posição 1, pode-se dizer q o tempo também é 
igual. Sabemos que o tempo total 25s, então: 
 
 
 
 
 
 
 
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Pela velocidade média, sabemos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo a distância total percorrida, podemos achar uma relação entre e : 
 
 
 
 
 
Voltando à equação da segunda parte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Voltando à equação da segunda parte: 
 
 
 
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Questão 02: MÉDIO 
 
a) A equação da aceleração é encontrada integrando A: 
 
 
 
 
 
 
 
Como A é constante, então: 
 
 
 
 
No tempo t = 0 a = a0: 
 
 
A equação da velocidade é encontrada integrando a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No tempo t = 0 v = v0: 
 
 
 
 
 
 
A equação da posição é encontrada integrando v: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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No tempo t = 0 v = x0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Isolando o tempo na equação horária da aceleração temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo este tempo na equação horária da velocidade temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 03: FÁCIL 
 
a) Se dividirmos o movimento do foguete em 2 partes, o tempo total será dado pela soma 
desses instantes: 
 
Parte 1 – Foguete subindo acelerado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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23 
 
Parte 2 – Foguete subindo desacelerado e depois descendo em queda livre: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tempo total: 
 
 
 
 
b) A altura máxima atingida é 1000m mais o acréscimo dado pela subida desacelerada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) A velocidade final é dada por: 
 
 
 
 
 
Obs.: o sinal menos só indica que a velocidade aponta para baixo. 
 
 
 
 
 
 
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24 
 
Questão 04: MÉDIO 
 
Vejamos a equação da posição: 
 
 
 
A equação da velocidade será dada quando derivarmos essa equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como L é constante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que o ângulo que forma o triângulo retângulo é 60°, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Voltando à equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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25 
 
Questão 05: DIFÍCIL 
 
a) O tempo de subida é dado por: 
 
 
 
O alcance máximo é dado por: 
 
 
 
Por outro lado, o alcance máximo é o vértice y máximo da parábola: 
 
 
 
 
 
 
Então: 
 
 
 
 
 
Aplicando o tempo de subida: 
 
 
 
 
 
Aplicando a lei fundamental da trigonometria, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Substituindo , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
b) e c) O tempo de subida é igual ao tempo de descida: 
 
 
 
 
 
d) O ângulo final é dado por:Gabarito Comentado das Provas de Física I: Cinemática 
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27 
 
Portanto: 
 
 
 
e) Montaremos primeiro as equações da trajetória: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Altura máxima: 
 
 
 
 
 
 
Distância horizontal percorrida na subida: 
 
 
 
 
Distância horizontal percorrida na descida: 
 
 
 
 
 
 
 
Alcance máximo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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28 
 
Então, temos um gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1ª Prova – XX/07/2010 
 
Questão 01: MÉDIO 
 
a) A equação da velocidade é a integral da aceleração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em x = 2m, a velocidade é nula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Voltando para a equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em x = 3m, a velocidade será: 
 
 
 
 
 
b) Para resolver a questão, devemos integrar a velocidade para que o tempo apareça: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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De acordo com a dica da prova, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No tempo t = 0, o corpo passa pela origem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Voltando à equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Observe que este resultado comprova que a posição atinge valores entre 0 e 2 metros, já que o seno só pode 
atingir valores entre 0 e 1, ou seja, o objeto com certeza não passa pela posição 3m, como demonstrada na letra a). 
 
Questão 02: FÁCIL 
 
O instante total do problema é dado pela equação horária da posição, usando a velocidade 
relativa dos trens (somam-se as velocidades, pois eles estão em sentidos contrários): 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A distância total percorrida pelo pássaro é dada pela equação horária do pássaro: 
 
 
 
 
 
Questão 03: FÁCIL 
 
a) A velocidade relativa à terra é dada pelo teorema de Pitágoras: 
 
 
 
 
 
b) O tempo de travessia do rio é calculado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ponto da margem oposta é calculado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) O tempo de travessia do rio já foi calculado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito Comentado das Provas de Física I: Cinemática 
Victor Mendes 
 
 
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Questão 04: MÉDIO 
 
a) O módulo da velocidade é dada pelo teorema de Pitágoras: 
 
 
 
 
 
A direção é dada pelo arco da tangente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A bola possui uma velocidade de 18,02 m/s distante 56,3° do eixo horizontal, para quem vê 
fora do trem, em repouso. 
 
b) o tempo de subida do objeto é dado quando a velocidade vertical é nula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo que o tempo total é dado pelo dobro do tempo de subida, temos que tT = 3s. Este 
tempo vale para a pessoa dentro vagão, e para a pessoa fora deste. 
 
c) Velocidade mínima para o observador dentro do vagão: Para quem está dentro do vagão, a 
bola percorre um trajeto vertical; na altura máxima, a velocidade será zero, portanto, a 
velocidade mínima é zero. 
 
Velocidade mínima para o observador fora do vagão: Para quem está fora do vagão, a bola faz 
um trajeto oblíquo, obedecendo à equação vR² = vT² + vB². Como a velocidade do trem é 
constante, a velocidade mínima é atingida quando a velocidade da bola for zero (altura 
máxima), então: 
 
 
 
 
Gabarito Comentado das Provas de Física I: Cinemática 
Victor Mendes 
 
 
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Questão 05: Já foi feita (Questão 04 da prova de 2007)