Cinemática de Galileu

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Cinemática de Galileu
Prof. Gabriel Burlandy Mota de Melo
Descrição
Apresentação de conceitos da Cinemática: velocidade, aceleração, movimento retilíneo uniforme (MRU), movimento retilíneo
uniformemente variado (MRUV), movimento circular uniforme (MCU) e movimento circular uniformemente variado (MCUV).
Propósito
Compreender como os conceitos da Cinemática podem ser aplicados em situações cotidianas.
Preparação
Para lidar com a Mecânica, ramo da Física relacionado ao estudo dos movimentos, será necessário ter em mãos uma
calculadora científica. Caso não possua uma, baixe um aplicativo em seu celular, ou utilize a calculadora do seu computador
na opção calculadora científica.
Objetivos
Módulo 1
Galileu e o movimento
Aplicar os conceitos de posição, velocidade, aceleração e tempo à resolução de problemas.
Módulo 2
Grandezas do movimento: velocidade e aceleração
Interpretar os gráficos das funções horárias.
Módulo 3
Movimentos retilíneos: uniforme e uniformemente variado
Identificar os movimentos retilíneos e suas funções horárias
Módulo 4
Movimento em trajetória circular
Descrever os movimentos circulares e suas funções horárias
Introdução
A Mecânica Clássica é o ramo da Física que se dedica ao estudo dos movimentos. O estudo da Mecânica Clássica se inicia
na Cinemática. Assim, tudo que se encontra nos mundos macroscópico e microscópico ao nosso redor se movimenta de
acordo com os princípios da Mecânica Clássica, desde um pequeno grão de areia sendo carregado pelo vento até o
movimento de planetas, cometas, asteroides e estrelas. Tudo isso se movimenta de acordo com os princípios da
Cinemática, os quais são facilmente explicados e demonstrados pelas Leis de Newton.
É por meio da Cinemática que aprendemos os conceitos básicos de posição, espaço, tempo, velocidade e aceleração.
Veremos que, com esses conceitos, é possível construir gráficos simples, mas de grande ajuda para a análise do movimento
de corpos.

Apresentaremos as Leis de Newton e suas análises para compreender o que rege tais movimentos e para que possamos
reconhecer os conceitos envolvidos no movimento de um corpo ou partícula. Em seguida, daremos continuidade ao estudo
de quantidade de movimento, impulso e energia mecânica por meio das colisões. Veremos que esses três conceitos são
aplicações diretas das Leis de Newton e, consequentemente, da Cinemática, inicialmente desenvolvida por Galileu Galilei.
Assista ao vídeo a seguir, em que abordaremos as principais teorias de Galileu apresentadas neste tema.
alileu Galilei
Galileu Galilei (1564-1642) foi um físico, matemático, astrônomo e filósofo que revolucionou a Astronomia com as leis
1 - Galileu e o movimento
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar os conceitos de posição, velocidade, aceleração e tempo à
resolução de problemas.
Vamos começar!
Posição, distância e tempo
Neste vídeo, serão apresentados os conceitos de posição, distância e tempo.
O que é a Cinemática?
A Cinemática é o ramo da Física que estuda o movimento de corpos ou partículas, sem referência à massa ou à atuação de
forças, ou seja, a Cinemática não se preocupa com as causas naturais que induziram tal movimento. Um corpo em
movimento é aquele que apresenta velocidade e, em alguns casos, aceleração.
Mas você sabe o que são velocidade e aceleração?
Para poder responder a essa pergunta, primeiro teremos que apresentar conceitos que antecedem a velocidade e a
aceleração.
Posição (S)
Posição unidimensional

Você provavelmente já deve ter ouvido falar que dois ou mais corpos não podem ocupar o mesmo lugar. A esse local que um
corpo ou uma partícula ocupa no espaço damos o nome de posição, a qual é representada na Física pela letra S.
Para introduzir esse conceito, vamos simplificar o nosso espaço e considerá-lo unidimensional (que tem apenas uma
dimensão ou é considerado sob uma única dimensão). Para tal, vamos utilizar uma régua, conforme disposto na imagem a
seguir. Essa régua é graduada de 0 a 7 e sua unidade de medida é o metro. Observe, nas imagens, onde se encontram os
pontos amarelo, vermelho, roxo e verde.
nidimensional
Posição de um corpo em espaço ou plano unidimensional.
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Espaço unidimensional com escala em metros.
A partir dessas observações, determinaremos o local ocupado por esses pontos, ou seja, a sua posição.
Toda grandeza na Física possui unidade de medida. No caso da posição, o Sistema Internacional de Unidades (SI) define
que a unidade de medida-padrão é o metro (m). Assim, qualquer outra unidade de medida, como centímetro, milímetro,
decímetro etc., deve ser convertida para metro.
No caso da régua apresentada na imagem, a unidade de medida já se encontra em metro, facilitando nossa análise da
posição dos pontos amarelo (Samarelo), vermelho (Svermelho), roxo (Sroxo) e verde (Sverde).
Podemos observar que o ponto amarelo se encontra sobre a coordenada 1 da nossa régua, logo, dizemos que o ponto
amarelo está na posição , ou simplesmente, . De forma análoga aos outros pontos, temos:
 e . Podemos descrever também suas posições utilizando como artifício a
tabela 1:
1m Samarelo  = 1m
Svermelho  = 7m1Sroxo  = 4m Sverde  = 3m
Corpo Posição (m) *
Amarelo 1
Vermelho 7
Roxo 4
Verde 3
Tabela: Coordenadas de posição dos corpos.
Posição bidimensional
Agora, vamos para um plano bidimensional, em que a posição de um corpo é descrita em duas coordenadas. Estamos
lidando com um plano cartesiano de eixos e , no qual ambos os eixos medem a unidade de distância, que é representada
pelo metro.
Para entender melhor, imagine que você está observando, de cima, um tabuleiro de batalha naval, em que a posição é dada
por duas coordenadas; na vertical, temos os números de 1 a 10 e, na horizontal, temos as letras de a . No plano
cartesiano, vamos observar os pontos: amarelo, vermelho, roxo e verde.
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Observe que, para cada ponto, existem duas coordenadas, uma em e a outra em . Como foi dito anteriormente, tanto 
como se encontram em metros. Assim, a posição desses pontos pode ser representada de três modos: notação vetorial,
forma escalar ou tabela. Vamos conhecer cada um deles.
x y
A L
x y x
y
Notação escalar
Observe:
Rotacione a tela. 
Neste modo, temos a notação escalar, na qual a coordenada sempre antecede a coordenada em . Por sua vez, a unidade
de medida aparece fora do parêntese.
Forma vetorial
Observe a notação a seguir:
Rotacione a tela. 
Já aqui, temos a forma vetorial de representação, por meio da qual representamos as coordenadas em função dos vetores
unitários, sendo o vetor unitário de e j o vetor unitário de :
Forma de representação de um vetor posição.
Forma vetorial
Neste modo, temos o registro em tabela, assim como fizemos na anteriormente.
Corpo X(m) Y(m)
Amarelo B 2
Vermelho J 9
Samarelo  = (B, 2)m;Svermelho  = (J, 9)m;Sroxo  = (L, 10)m;Sverde  = (E, 4)m
x y
→
Samarelo  = (Bi + 2j)m;
→
Svermelho  = (J + 9j)m; Sroxo  = (Li + 10j)m;
→
Sverde  = (Ei + 4j)m
i x y
Corpo X(m) Y(m)
Roxo L 10
Verde E 4
Tabela: Coordenadas da posição de um corpo em um espaço bidimensional.
Posição tridimensional
Agora, veremos como se descreve a posição de um corpo no espaço tridimensional, em que de fato vivemos. Aqui, a
posição do corpo é descrita em função dos três eixos: , ou seja, trabalharemos com coordenadas referentes à largura,
à profundidade e a altura de determinado espaço. A imagem a seguir demonstra quatro pontos vistos anteriormente
(amarelo, vermelho, roxo e verde) em coordenadas tridimensionais:
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Representação tridimensional do posicionamento de quatro corpos.
Na imagem, os três eixos também possuem unidade de medida em metros, e a representação da posição em função das
coordenadas é semelhante à representação feita no espaço bidimensional. A partir dos três modos já apresentados
(notação escalar, forma vetorial e tabela), veja a seguir como ficam representadosestes pontos.
Notação escalar
Rotacione a tela 
x, y, z
Samarelo  = (3, 2, 1)m;Svermelho  = (0, 0, 0)m;Sroxo  = (5, 0, 0)m;Sverde  = (0, 0, 7)m
Rotacione a tela. 
Forma vetorial
Rotacione a tela. 
Tabela
Corpo X(m) Y(m) Z(m)
Amarelo 3 2 1
Vermelho 0 0 0
Roxo 5 0 0
Verde 0 0 7
Tabela: Coordenadas da posição de um corpo em um espaço tridimensional.
É importante salientar que o registro em tabela não é utilizado comumente. Em geral, as posições são representadas ou por
notação escalar ou pela forma vetorial, preferindo-se a última. Todavia, registrar as coordenadas em uma tabela facilita
muito o trabalho de visualização, análise e exposição dos dados, uma vez que garante a organização dos elementos. A
tabela costuma ser utilizada para organizar dados coletados em experimentos físicos.
Espaço (Δ )
Na Física Clássica, quando nos referimos a espaço, estamos falando de espaço percorrido. Essa grandeza aparece quando
há o deslocamento de um corpo, ou seja, quando ele se desloca de uma posição para outra. Chamamos a posição inicial de
 (lê-se "S com índice zero", ou simplesmente "S zero"). A posição final é definida somente como . Então, o espaço é
definido como a variação da posição do corpo e é calculado da seguinte maneira:
Rotacione a tela. 
Assim como a posição, o espaço pode ser determinado tanto de forma escalar quanto de forma vetorial.
→
Samarelo  = (3i + 2j + 1k)m;
→
Svermelho  = (0i + 0j + 0k)m;
→
Sroxo  = (5i + 0j + 0k)m;
→
Sverde  = (0i + 0j + 7k)m
→
S
S0 S
Δ
→
S =
→
S −
→
S0
Para fixar esse conceito, vamos analisar o movimento de um caramujo, considerando que ele está posicionado sobre um
sistema de coordenadas unidimensional, como aquele apresentado na imagem da régua, que vimos anteriormente, cuja
unidade está em centímetros.
O caramujo é inicialmente visto na posição e vagarosamente se locomove em direção à origem (posição ) até o
ponto . Podemos definir o espaço percorrido por esse caramujo, considerando a equação (1), como mostra a seguir:
Rotacione a tela. 
Ao observar o percurso do caramujo na imagem a seguir, podemos ver que, de fato, o espaço entre os pontos e é
de , e não . Todavia, o sinal negativo indica que o caramujo se deslocou no sentido negativo do eixo
coordenado, ou seja, em direção ao ponto que marca .
Percurso do caramujo.
Agora, vamos considerar o mesmo caramujo se locomovendo em um plano bidimensional, de maneira que sua posição
inicial se dá em e ele se desloca até o ponto . Qual seria a distância percorrida pelo caramujo nesse caso?
O deslocamento é dado pela equação (1), porém não há um deslocamento unidimensional, mas bidimensional,
porque temos o deslocamento no eixo , como indica o vetor unitário , e um deslocamento do eixo , como indica o
vetor unitário j. Ou seja, ao contrário da situação anterior, dessa vez temos um deslocamento vetorial:
Assim, o que calculamos aqui para o caramujo foi o vetor deslocamento. A representação correta é:
Para determinar o módulo desse deslocamento e descobrir o espaço percorrido, é necessário realizar o seguinte
cálculo:
17cm 0cm
6cm
Δ
→
S =
→
S −
→
S0
ΔS = 6 − 17
ΔS = −11cm
6cm 17cm
11cm −11cm
0cm
7i + 3j −7i − 3j
Resposta 
x i y
Δ
→
S = −7i − 3j − (7i + 3j) = −7i − 3j − 7i − 3j
Δ
→
S = (−14i − 6j)m
Δ →S = (−14i − 6j)m
Isso significa que, ao mudar sua posição de para , o caramujo percorreu uma distância
de . Podemos concluir que a distância percorrida é igual ao módulo do vetor deslocamento.
Uma forma interessante de vermos na vida prática com funciona o vertor deslocamento é o sistema de posicionamento
global, conhecido como GPS, que utiliza exatamente este vetor para determinar a distância entre dois pontos, porém, em vez
de utilizar sistemas cartesianos, utiliza coordenadas de longitude e latitude.
Tempo (∆t)
Tempo é uma grandeza física associada a um sequenciamento correto, mediante a ordem de ocorrência de eventos
naturais. O tempo não corresponde a horários, mas à diferença de horários observados entre o início e o fim de um evento.
Imagine que você saiu da sua casa às para dar uma caminhada e retornou às . Temos um horário inicial
 um horário final . O tempo decorrido entre e é determinado na equação (2):
Eq. 2
Rotacione a tela. 
Todavia, é muito complexo e nada usual fazer contas com os horários do modo como foram apresentados, por isso,
escrevemos os horários em formas decimais, ou seja:
Ou seja, ambos os resultados se referem a meia hora.Apesar de o exemplo ter sido solucionado em horas, o SI adota o
segundo (s) como unidade de medida de tempo. Sabemos que uma hora possui um total de 3600 segundos, então, para
converter o tempo de hora para segundos, devemos multiplicar o valor encontrado por 3600. Retornando ao exemplo citado
anteriormente, um tempo de meia hora possui 1800 segundos, como mostra o cálculo a seguir:
Rotacione a tela. 
Velocidade (v)
ΔS = √(−14)2 + (−6)2 = 15, 23m
→
S0 = 7i + 3j
→
S = −7i − 3j
15, 23m
17h 17h30
t0 = 17h t = 17h30 t0 t
Δt = t − t0Δt = 17h30 − 17h = 0h30
Δt = 17, 5 − 17 = 0, 5h
Δt = 0, 5×3600 = 1800s
Define-se a velocidade de um corpo como a razão entre o espaço percorrido e tempo gasto para percorrê-lo. Em outras
palavras, é a taxa, em relação ao tempo, com a qual um corpo altera a sua posição.
Veja a equação (3):
Eq. 3
Rotacione a tela. 
Apesar de a definição de velocidade ser sempre a razão de espaço por tempo, existem duas formas de representação da
velocidade: a velocidade escalar e a velocidade vetorial.
Velocidade escalar
A velocidade escalar, também chamada de velocidade escalar média ou velocidade média, leva em consideração somente a
posição inicial, o ponto final e o tempo total gasto durante o percurso.
Em geral, é por meio da velocidade média que uma empresa de viagens estima o tempo total de um trajeto, isso porque
diversas coisas podem ocorrer durante o caminho, como uma blitz policial, um engarrafamento decorrente de algum
acidente ou incidente, paradas para ir ao banheiro etc. Vamos ilustrar, a seguir, como esses acontecimentos podem inferir na
velocidade.
Vamos ver um exemplo?
Considere um carro que sai do Rio de Janeiro em direção a São Paulo.
Após percorrer 35 minutos, o motorista para em um posto de combustíveis para abastecer, por 25 minutos. Em seguida, ele
retoma a viagem, levando mais 6 horas de viagem.
Se a distância entre as duas cidades é de 433km, qual a velocidade média da viagem?
A velocidade média leva em conta a razão entre a distância total percorrida e o tempo total gasto. Consideramos,
inclusive, o tempo em que o carro permaneceu parado, abastecendo:
v =
ΔS
Δt
Resposta 
Agora é necessário também determinar a distância total percorrida, que é:
Como a velocidade média é a razão desse espaço total pelo tempo total, temos:
Ao substituir os valores, obtemos:
Esse resultado mostra que, se o carro tivesse percorrido o trajeto Rio de Janeiro - São Paulo à velocidade de
 sem parar, ele também teria levado para percorrer os .
É importante considerarmos que, apesar de o resultado da velocidade ser estritamente conhecido e utilizado, o Sl determina
que a velocidade deve ser expressa em unidades de metros por segundo , ou seja, é necessário fazer uma
transformação para que as unidades do sl sejam alcançadas:
Para converter um valor de velocidade de para , divide-se a velocidade pelo fator 3,6.
Para passar de para , multiplica-se a velocidade pelo fator 3,6
Conversão de unidade de velocidade de km/h para m/s e vice-versa.
Velocidade vetorial
A velocidade vetorial se calcula, matematicamente, da mesma forma que a velocidade média. Todavia, em vez de utilizar
valores escalares para realizar os cálculos, utilizam-se valores vetoriais e obtém-se como resposta: direção, módulo e
sentido.
Os valores vetoriais são muito utilizados em aviação, navegações e laboratórios para análise de movimento de partículas.
Vamos utilizar o último para ilustrar o cálculo vetorial, considerando o ponto material livre parase movimentar.
Esse ponto possui um e \overrightarrow Se locomove até o ponto . Esse trajeto é
percorrido em 10 segundos. Portanto, a sua velocidade vetorial é:
Δttotal  = 35min + 25min + 6h = 7h
ΔStotal  = 433km
vm =
ΔStotal 
Δttotal 
vm =
433km
7h
= 61, 86
km
h
61, 86km/h 7h 433km
(m/s)
km/h m/s
m/s km/h
→
S0 = (7i + 12j)m S = (−7i + 11j)m
Rotacione a tela. 
Um gráfico nos ajuda a visualizar melhor esse resultado:
Vetor deslocamento.
A imagem anterior mostra os pontos e . A seta preta representa o vetor deslocamento. Note que se trata de um
movimento bidimensional, ou seja, há deslocamento tanto na vertical quanto na horizontal.
O resultado obtido de demonstra que o ponto material se locomove no sentido negativo do eixo
 a uma velocidade de e no sentido negativo do eixo com uma velocidade de , ou seja, o ponto material
se locomove para a esquerda com velocidade de e para baixo com velocidade de .
É possivel determinar também o módulo vetorial, que é a velocidade com a qual um móvel se locomove de para :
Rotacione a tela. 
Aceleração 
Define-se aceleração como a variação da velocidade em função do tempo. Assim como na velocidade, existe a aceleração
escalar e a vetorial.
No caso da aceleração escalar, referimo-nos à aceleração escalar média:
Eq. 5
Rotacione a tela. 
No caso da aceleração vetorial, temos:
→v =
Δ →S
Δt
=
−7i + 11j − (7i + 12j)
10
=
−14i − j
10
= (−1, 4i − 0, 1j)m/s
S0 S
→v = (−1, 4i + 0, 1j)m/s
x 1, 4m/s y 0, 1m/s
1, 4m/s 0, 1m/s
S S0
|v| = √(−1, 4)2 + (0, 1)2 = 1, 40m/s
(a)
−→
am =
Δv
Δt
Eq. 6
Rotacione a tela. 
Em ambos os casos, a aceleração se resume à variação da velocidade, seja em aumento ou em redução. Assim, se há
mudança de velocidade, há aceleração.
Teoria na prática
Para fixar, considere um carro se deslocando com velocidade constante de 72km/h, quando o motorista avista um semáforo
com a luz amarela acesa. O motorista sabe que leva 3 segundos para a luz amarela se apagar e acender a luz vermelha.
Diante desse contexto:
Qual é a aceleração que deve ser imposta ao carro para que ele pare quando a luz vermelha acender?
celeração
A unidade internacional de medida da aceleração é o metro por segundo ao quadrado (m/s2).
→a =
Δ→v
Δt
_black
Mostrar solução

Mão na massa
Questão 1
Um móvel parte do ponto 0=i- J - k para o ponto P = 12i - 6J -3K.
A unidade de medida dos pontos é o metro. Diante disso, o módulo da distãncia percorrida por este móvel é igual a :
Parabéns! A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 2
Um automóvel está se locomovendo em linha reta. Ele percorre em .
→
P
A 11,98m
B 12,25m
C 13,00m
D 15,05m
E 16,0m
40m 5s
Sua velocidade de deslocamento é igual a:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Determinamos a velocidade de acordo com a equação:
Temos que e , assim:
Questão 3
Um automóvel está se locomovendo com uma velocidade de 40m/s quando aplica uma aceleração de 2m/s2, por 4s. A
sua velocidade após 4 s é igual a:
A 8m/s
B 6m/s
C 4m/s
D 2m/s
E 1m/s
v =
ΔS
Δt
ΔS = 40m Δt = 5
v =
40
5
= 8m/s
A 44,0m/s
Parabéns! A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 4
Uma pedra está suspensa por um fio quando, de repente, o fio arrebenta e ela cai de certa altura, atingindo o solo com
velocidade de .
Sabendo que a aceleração atuante sobre a pedra é de , o tempo de queda é igual a:
B 46,5m/s
C 48,0m/s
D 49,5m/s
E 51,0m/s
10m/s
9, 8m/s2
A 0,96s
B 0,98s
Parabéns! A alternativa D está correta.
Temos que a aceleração é dada por:
Substituindo:
Questão 5
Um ciclista se locomovendo com uma velocidade constante de 10m/s, quando realiza um movimento acelerado de
2m/s2, por 6 s. Sua velocidade ao fim da aceleração será igual a :
Parabéns! A alternativa A está correta.
C 1,00s
D 1,02s
E 1,05s
a =
Δv
Δt
=
v − v0
Δt
9, 8 =
10 − 0
Δt
∴ Δt =
10
9, 8
= 1, 02s
A 22,0m/s
B 30,0m/s
C 38,0m/s
D 46,0m/s
E 51,0m/s
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 6
Considere uma bola sendo arremessada para cima com velocidade inicial de . Sabe-se que a única aceleração
agindo sobre a bola é a aceleração gravitacional de . No ponto mais alto do trajeto, a bola possui velocidade
zero.
Assim, o tempo de subida da bola até o ponto mais alto é de:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Substituindo os valores do enunciado, temos:
28m/s
10m/s2
A 2,8s
B 3,3s
C 4,0s
D 4,5s
E 5,0s
a =
v − v0
Δt
Para entender o resultado, é necessário refletir que a aceleração da gravidade faz as coisas caírem, logo, aponta para
baixo, e o corpo está subindo, ou seja, está em sentido oposto ao da aceleração da gravidade. Por isso, consideramos a
aceleração gravitacional negativa.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Uma partícula é vista em determinado ponto com a seguinte velocidade: . Essa mesma particula é
observada depois em outro ponto do espaço com velocidade . Considerando as unidades de medida
do Sl, a opção que representa a aceleração vetorial e o seu módulo, respectivamente, é:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Para determinar a aceleração vetorial, devemos utilizar a equação (6), logo:
−10 =
0 − 28
Δt
∴ Δt = −28
−10
= 2, 8s
v0 = 2i − 30j + k
−→
30s
→
v = i − j − k
A (0,03i - 0,97j - 0,07k)m/s2 e 0,97m/s
B (- 0,03i - 0,97j - 0,07k)m/s2 e 0,97m/s
C (- 0,03i - 0,97j - 0,07k)m/s2 e 0,86m/s
D (0,03i - 0,97j - 0,07k)m/s2 e 0,86m/s
E (0,03i - 0,97j + 0,07k)m/s2 e 0,97m/s
Para determinar o módulo da aceleração que atuou no corpo, temos:
Questão 2
2. Um móvel se desloca da posição à posição em . Ao chegar nessa posição, ele fica inerte por e, em
seguida, retoma o seu movimento e se desloca até a posição em . Assim, podemos afirmar que a velocidade
média desse móvel é de:
Parabéns! A alternativa C está correta.
A velocidade média é dada pela razão entre o espaço total percorrido pelo tempo total gasto, assim:
→a =
Δ→v
Δ→t
=
i − j − k − (2i − 30j + k)
30
=
−i − 29j − 2k
30
= (−0, 03i − 0, 97j − 0, 07k)
m
s2
|→a| = √(−0, 03)2 + (−0, 97)2 − (0, 07)2 = 0, 97 m
s2
4m 18m 20s 2h
30m 45s
A 0,1m/s
B 0,4m/s
C 0,004m/s
D 0,001m/s
E 0,04m/s
vm =
ΔStotal 
Δttotal 
ΔStotal  = (18 − 4) + (30 − 18) = 26m
Δttotal  = 20 + 7200 + 45 = 7265s
vm =
26
7265
= 0, 004m/s
2 - Grandezas do movimento: velocidade e aceleração
Ao �nal deste módulo, você será capaz de interpretar os grá�cos das funções horárias.
Vamos começar!
De�nindo velocidade e aceleração
Neste vídeo, serão apresentados os conceitos de velocidade e aceleração.
Velocidade
Vamos observar um gráfico de posição por tempo , como mostra a imagem a seguir.

(S(t) × t)
Gráfico S(t) x t.
Na imagem anterior, temos a posição como o eixo das ordenadas (eixo -vertical) e o tempo, como o eixo das abscissas
(eixo - horizontal).
Nesse gráfico, em que a reta corta o eixo , definimos a posição inicial e a velocidade é medida calculando-se a
inclinação da reta, ou seja, a velocidade é igual à tangente do ângulo que a reta faz com a horizontal:
Eq. 7
Rotacione a tela. 
Para determinar a velocidade em função do gráfico, devemos escolher dois pontos pertencentes à reta.
Note, na imagem anterior, que temos dois pontos destacados, o primeiro é o e o segundo ó o .
Se você observar com atenção, verá que entre esses pontos é possível fechar um triângulo retângulo, como mostra a
próxima imagem :
Determinação da velocidade a partir de um gráfico S(t) x t.
Ao fechar o triângulo retângulo, o cateto oposto ao ângulo possui comprimento de e o comprimento do cateto
adjacente ao ângulo possui comprimento de . Então, para determinar a tangente do ângulo, fazemos:
Eq. 8
Rotacione a tela. 
Porém, como descrito em (7), . Logo:
Eq. 9
y
x
y S0
v = tg(θ)
P1 = (t1,S1) P2 = (t2,S2)
S2 − S1
t2 − t1
tg(θ) =
S2 − S1
t2 − t1
v = tg(θ)
Rotacione a tela. 
A velocidade é retiradada inclinação da reta existente no gráfico posição por tempo. Esse gráfico representa a posição de
um móvel em um movimento retilíneo uniforme (MRU).
Análise do movimento na prática
Uma das maneiras de se analisar o movimento de um móvel é montando um gráfico de sua posição em função do tempo.
Assim, é possível determinar como o móvel se comportou durante todo o trajeto. Vamos observar o gráfico abaixo:
Percursao da lebre.
Esse gráfico corresponde ao deslocamento de uma lebre. Os observadores registraram que a lebre saiu de sua toca, no
marco zero, e percorreu em , depois ficou parada no mesmo local por , observando a região ao seu redor.
A seguir, ela percorreu mais em quando algo a assustou, fazendo-a retornar para a toca em . Por meio desse
gráfico, é possivel determinar a velocidade média de deslocamento da lebre da sua toca até o ponto e a velocidade
média de seu retorno da seguinte maneira:
A lebre percorre em , como mostra o gráfico, então, a sua velocidade média é de:
v =
S2 − S1
t2 − t1
100m 30s 55s
100m 15s 15s
200m
Saída da toca 
200m 100s
vm =
ΔS
Δt
=
200
100
= 2, 00m/s
O tempo que a lebre ficou parada foi considerado, isso porque a velocidade média considera o espaço total
percorrido e o tempo total gasto.
A lebre percorre 200m em 15s. Assim:
Aceleração
A aceleração pode ser obtida determinando a inclinação da curva de um gráfico de velocidade por tempo (v (t) × t), como
mostra a imagem a seguir:
Determinação da aceleração em um gráfico v(t) x t.
Retorno para a toca 
vm =
ΔS
Δt
=
200
15
= 13, 33m/s
De forma análoga ao cálculo da velocidade no gráfico , o cálculo da aceleração segue os mesmos passos, assim,
definimos a aceleração como:
Eq. 10
Rotacione a tela. 
Teoria na prática
Considere que você é o responsável por uma empresa de transportes, que transporta cargas especiais. Sua empresa foi
contratada para carregar uma grande manilha, de 10m de diâmetro e 10m de comprimento. Para isso, você precisa de um
caminhão especial, com carros batedores na proteção e um motorista, especializado e experiente. Devido à complexidade
de deslocamento da carga, tal deslocamento deve ser realizado entre 22:00 h às 6:00 h, com o mínimo de trânsito possível.
O trajeto a ser percorrido por esse caminhão é de 600km, saindo do estado de São Paulo e chegando ao Estado do Rio de
Janeiro. Devido ao grande peso dessa manilha, esse trajeto deve ser realizado a uma velocidade constante de 40km/h.
Considerando que a carga saiu da São Paulo no sábado, em qual dia e horário a manilha chegará ao seu destino?
Mão na massa
Questão 1
Considere o gráfico:
S(t) × t
a =
v2 − v1
t2 − t1
_black
Mostrar solução

Podemos afirmar que o instante em que o móvel se encontra no ponto de retorno é igual a:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 2
É correto afirmar que o coeficiente angular do gráfico de um móvel com velocidade constante nos permite
descobrir
A 15s
B 17s
C 13s
D -13s
E 14s
S × t
A a velocidade.
Parabéns! A alternativa A está correta.
Vimos que a velocidade é o coeficiente angular da reta gerada pelo gráfico S x t de um móvel que se locomove com
velocidade constante.
Questão 3
Considere o gráfico:
O gráfico corresponde ao trajeto de um automóvel, que começou sua viagem no quilômetro 4. O eixo t está em horas.
Podemos afirmar que a velocidade desenvolvida por esse automóvel durante seu trajeto é de:
B a aceleração.
C o ponto de retorno.
D o instante do ponto de retorno.
E o espeço percorrido.
A 1,5km/h
B 2,0km/h
C 2,5km/h
Parabéns! A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 4
Considere o gráfico:
Considerando a aceleração do móvel como e que os eixos estão no SI, sua velocidade inicial tem módulo
igual a:
D 3,0km/h
E 1,5km/h
−16m/s2
A 128m/s
B 125m/s
C 230m/s
D 110m/s
Parabéns! A alternativa A está correta.
Determinamos a aceleração como:
A semirreta tem fim no ponto , ou seja, velocidade e tempo , assim:
Questão 5
No gráfico abaixo, os eixos coordenados estão no S.I. e que a aceleração do móvel é de -2m/s2. Supondo que
possamos descrever o espaço percorrido pelo móvel como sendo S = A + V0t, onde A é a área abaixo da curva, o
espaço percorrido pelo móvel durante o seu deslocamento é de:
Parabéns! A alternativa A está correta.
E 100m/s
a =
v − v0
t − t0
(8, 0) 0m/s 8s
−16 =
0 − v0
8 − 0
∴ v0 = 128m/s
A 192m
B 195m
C 198m
D 200m
E 210m
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 6
O gráfico posição por tempo, de um móvel é dado por :
Assinale a opção que apresenta corretamente a função que representa este gráfico:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Veja que os pontos de interseção são (0,4) e (4/3, 0). Sendo assim, para x=0, temos y=4 e, para y=0, temos x=4/3, o que
nos gera uma função afim do tipo: S(t)=4-3t
A S(t) = 4 - 3t
B S(t) = 4 - (4/3)t
C S(t) = 4 + (3/4)t
D S(t) = 4 - (3/4)t
E S(t) = 4 + 3t
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
O gráfico a seguir demonstra a variação de velocidade de uma partícula em função do tempo. Considerando este
gráfico, responda:
O módulo da aceleração é:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Temos os seguintes pontos: e . Então, a aceleração é:
A 1315 m/s
2
B 1513 m/s
2
C 1213 m/s
2
D 1114 m/s
2
E 1115 m/s
2
(15, 0) (0, −13)
Questão 2
Ainda considerando o gráfico anterior, determine a equação que descreve a variação da velocidade:
Parabéns! A alternativa D está correta.
O gráfico descreve uma reta. Logo, temos uma função afim, que é uma função do tipo: (f(x)=a x+b). Porém, como
estamos falando de velocidade e tempo, vamos escrever essa função da seguinte maneira:
A aceleração vale , que é a inclinação da reta e foi calculada no item anterior, e o , que é a velocidade inicial
correspondente ao ponto em que a reta toca o eixo y, que nesse caso é o eixo v, assim:
a =
0 − (−13)
15 − 0
=
13
15
m/s2
A v(t) = 13t + 1315
B v(t) = 13t − 1315
C v(t) = 1315 t + 13
D v(t) = 1315 t − 13
E v(t) = 13t − 13
v(t) = at + v0
13
15 m/s
2 v0
v(t) =
13
15
t − 13
3 - Movimentos retilíneos: uniforme e uniformemente variado
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car os movimentos retilíneos e suas funções horárias.
Vamos começar!
MRU e MRUV
Neste vídeo, serão apresentados os conceitos de movimentos retilíneos.
Cinemática à velocidade constante

Movimento retilíneo uniforme (MRU)
Como já diz o nome, o movimento retilíneo uniforme (MRU) ocorre com o corpo se locomovendo em linha reta, à velocidade
constante, por isso o termo: uniforme.
Pode ser representado por meio de uma função afim:
Eq. 11
Rotacione a tela. 
Onde:
S(t) = Posição final do móvel em função do tempo
S0 = Posição inicial do móvel
v = velocidade
t = tempo
Essa função também é conhecida como função horária do MRU. Nela temos o t como variável e a posição final do móvel
como objeto de estudo.
Ela é utilizada para prever a posição de um móvel, ao decorrer do tempo, quando esse se locomove com uma velocidade
constante.
Essa função pode ser utilizada, por exemplo. para determinar a posição de um veículo viajando em uma rodovia, quando ele
possui uma velocidade constante.
Que tal vermos um exemplo?
Vamos considerar que um caminhão foi visto em uma rodovia no quilômetro 38 , trafegando a uma velocidade constante de
. Então, vamos determinar quais serão suas posições nos instantes:
A - 25min;
B - 1h e 10min;
C - 2h e 55min;
D - 6h
S(t) = S0 + v ⋅ t
90km/h
Antes de atentar aos intervalos de tempo pedidos, temos que montar a nossa função horária. Note que o caminhão é
primeiramente visto no quilômetro 38 , então temos como posição inicial: e como velocidade: .
Assim, temos a função horária do caminhão e a velocidade constante como:
Rotacione a tela. 
Onde as unidades de medida são: e .
Agora, como o espaço está em quilômetrose o tempo em horas e, por sua vez, a velocidade em , temos que passar
todos os tempos expostos das alternativas de (a) a (d) para horas.
Conversão do tempo para horas:
A) 25min
1h ------ 60min
xh ------- 25min
Podemos dizer que: 
B) 1h e 10min
Em (b) temos parte do horário em horas, e a outra parte em minutos. Podemos escrever o tempo da seguinte maneira:
Como se trata de uma soma, nos preocupamos em converter apenas a parte do tempo que está em minutos para horas e
somamos Vamos observar como isso ocorre na prática:
Somando , temos:
Então, podemos dizer que: 
S0 = 38km v = 90km/h
S(t) = 38 + 90t
km h
km/h
x =
1
4
h
Δt1 =
1
4 h
1h + 10 min
1h
1h - 60 min
xh - 10 min
x =
1
6
h
1h
1h +
1
6
h =
7
6
h
Δt2 =
7
6 h
C) 2h e 55min
Vamos agora ao encontro das posições do caminhão na rodovia, utilizando a função horária que definimos no início:
D) 6h
Não precisamos fazer conversão alguma, uma vez que o tempo já está em horas.
Vamos agora ao encontro das posições do caminhão na rodovia, utilizando a função horária que definimos no início:
Rotacione a tela. 
Vejamos:
A)
= 60,5km
B)
= 143km
C)
S(t) = 38 + 90t
 Então: Δt4 = 6h
S(t) = 38 + 90t
Δt1 =
1
4
h
S( 1
4
) = 38 + 90( 1
4
)
Δt2 =
7
6
h
S( 7
6
) = 38 + 90( 7
6
)
= 300,5km
D)
Δt4 = 6h
S(6) = 38 + 90(6)
= 578km
A função horária também é muito utilizada para estimativas do tempo entre uma posição e outra. Vamos olhar para o mundo
de observação laboratorial da Física e considerar um elétron, que se move à velocidade constante em um campo elétrico
sob a função horária , em relação a um eixo coordenado que identifica a sua posição para um observador
e, então, determinar o tempo que leva para que esse elétron passe pela origem do eixo coordenado, ou seja, pela posição
. Substituindo 0 no lugar de da função horária, temos:
Atenção!
Muitas vezes, na Ciência e na Engenharia, trabalharemos com números não inteiros. Portanto, é ideal utilizar os números em
forma de frações, não em sua forma decimal. Isso porque, ao realizar as divisões propostas pelas frações, podemos ter
números irracionais ou até mesmo dízimas periódicas, o que demandará sucessivos arredondamentos a cada cálculo feito e
aumentará a imprecisão do cálculo. Dessa maneira, trabalhe com os números em forma de fração até o fim do cálculo e, só
no fim, realize a divisão proposta pela fração.
Apesar de compreender os cálculos feitos até aqui, você deve estar se perguntando:
Como é possível garantir que um carro, uma moto, um caminhão ou até mesmo uma partícula mantenha a velocidade
constante para que possamos aplicar a equação horária do MRU?
Resposta
Se o sistema observado não for feito em laboratório sob um controle rigoroso, fatalmente o corpo que se desloca não
manterá a velocidade constante.
Então, para que serve essa teoria?
Você se lembra do conceito de velocidade média? Essa teoria pode ser aplicada para encontrar a posição de um móvel, por
Δt3 =
35
12
h
S( 35
12
) = 38 + 90( 35
12
)
S(t) = 40 − 30t
S(t) = 0 S(t)
0 = 40 − 30t
30t = 40
t =
40
30
t =
4
3
s
meio do conhecimento da sua velocidade média e, com isso, você consegue descrever toda a sua trajetória em função do
tempo.
Cinemática à velocidade variável
Movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV)
O MRUV é o movimento, em linha reta, que apresenta mudança de velocidade, ou seja, existe aceleração. Porém, a
aceleração é constante. Diante disso, a equação horária que descreve o movimento é:
Rotacione a tela. 
Onde:
S(t) = Posição final
S0 = Posição inicial
v0 = velocidade inicial
t = tempo
a = aceleração
Observe que a função do MRUV apresenta a posição em função do tempo, considerando a velocidade inicial do móvel, e isso
ocorre porque essa velocidade irá variar para mais ou para menos, o que dependerá da aceleração imposta ao corpo.
Uma vez que exista aceleração, é possível também expressar a velocidade de um móvel em MRUV em função do tempo:
Eq. 13
Rotacione a tela. 
A função apresentada na função (13) demonstra que a velocidade muda de maneira diretamente proporcional com o passar
do tempo quando o movimento é acelerado.
É possível que, em uma observação de deslocamento, você tenha a informação de espaço, velocidade ou aceleração,
embora não possua a informação do tempo.
Então, o que fazer?
Devemos utilizar a equação descoberta por Evangelista Torricelli que relaciona as velocidades final e inicial de um
móvel, com a aceleração (a) e o espaço por ele percorrido , sem que haja a informação do tempo. Veja:
S(t) = S0 + v0 ⋅ t + a
t2
2
v(t) = v0 + at
(v) (v0)
(ΔS)
vangelista Torricelli
Evangelista Torricelli (1608-1647) foi um físico e matemático italiano, mais conhecido pela invenção do barômetro e por
Rotacione a tela. 
Teoria na prática
Considere que um automóvel parte do repouso do quilômetro 10 de uma rodovia e chega ao quilômetro 13 com
uma velocidade de . Sabendo que o carro está em constante aceleração, em quanto tempo esse automóvel irá do
quilômetro 10 até 0 quilômetro 13 ?
Grá�cos do MRU e do MRUV e as suas classi�cações
Tanto o MRU como o MRUV apresentam gráficos e classificam seus movimentos de acordo com estes gráficos. Vamos
conhecer tais classificações?
Grá�cos do MRU
Movimento progressivo e movimento retrógrado
v2 = v20 + 2 ⋅ a ⋅ ΔS
_black
(v = 0)
120km/h
Mostrar solução
O MRU descreve a trajetória de um móvel, quando esse se move com velocidade constante, podendo a velocidade atribuída
ao móvel ser positiva ou negativa. Mas o que são os movimentos progressivo e retrógrado?
Movimento progressivo
É aquele em que o móvel caminha no mesmo sentido da orientação da trajetória. Os espaços crescem no decorrer do
tempo e sua velocidade escalar é positiva (v > 0). Dizemos que um corpo está em movimento progressivo quando um
corpo se move em velocidade constante positiva.
Movimento retrógrado
É aquele que ocorre quando o móvel caminha contra a orientação da trajetória. Os espaços decrescem no decorrer do
tempo e sua velocidade escalar é negativa (v < 0). Dizemos que um corpo está em movimento retrógrado quando se
move em velocidade constante negativa.
onstante negativa
Na prática, não existe velocidade negativa. O sinal da velocidade serve apenas para indicar o sentido do movimento e apontar se
ele é progressivo ou retrógrado.
As imagens a seguir demonstram o comportamento gráfico de ambos os tipos de movimento.
Movimento progressivo, quando a velocidade é positiva.
Movimento retrógrado, quando a velocidade é negativa.

Grá�cos do MRUV
Movimento acelerado e movimento retardado
No MRUV, temos a presença da aceleração, o que gera a variação da velocidade e, com isso, dois tipos de movimento:
Quando a aceleração de um móvel é positiva, chamamos o movimento de acelerado.
Quando a aceleração é negativa, chamamos o movimento de retardado.
O gráfico da posição do móvel em um MRUV é descrito por uma parábola, uma vez que a posição é descrita por uma
função do segundo grau, como mostra a função (12). Nas imagens a seguir, estão dispostos os gráficos de movimento
acelerado e movimento retardado:
unção (12)
Movimento acelerado 
Movimento retardado 
S(t)
S(t) = S0 + v0 ⋅ t + a
t2
2
Gráfico da posição em função do tempo (S(t) × t) do MRUV: movimento acelerado.
Gráfico da posição em função do tempo (S(t) × t) do MRUV: movimento retardado.
Ambos os gráficos demonstram as raizes da função quadrática, obtidas quando a posição . Os pontos de vértice
dessa função são chamados de ponto de retorno. Nesse ponto, a velocidade do móvel é zero, assim, o móvel para e muda o
sentido de seu movimento.
Para verificar, de modo rápido e eficaz, se um movimento é acelerado ou retardado, usamos o gráfico de velocidade por
tempo ( ). As próximas imagens ilustram os dois gráficos:
Gráfico v(t) X t com movimento acelerado.
Gráfico v(t) X t com movimento retardado.
Em nenhum dos gráficos feitos até o momento, tanto de quanto de , existe menção ao lado negativo de .Isso
porque não existe tempo negativo. Por isso, resultados de tempo negativo devem ser prontamente descartados.
S(t) = 0
v(t) × t
S(t) v(t) t
MRU e MRUV
Revisitação através do cálculo diferencial e integral
Vimos até aqui como calcular a velocidade por meio da variação da posição em relação ao tempo e como calcular a
aceleração mediante a variação da velocidade em relação ao tempo. Surgem, então, duas perguntas:
O que fazer quando a variação de posição ou velocidade for tão pequena que a faz tender a zero?
Qual é a relação do cálculo diferencial integral com a Cinemática?
Vamos descobrir isso juntos a partir de algumas etapas que veremos a seguir.
1 - De�nir a derivada
No caso em que a variação de posição é muito pequena, teremos:
Eq. 15
Rotacione a tela. 
Essa é a definição de derivada. Chegamos à conclusão de que a velocidade é a derivada da posição em função do tempo.
Logo, escrevemos da seguinte forma:
Eq. 16
Rotacione a tela. 
2 - Veri�car a veracidade desta informação
Agora precisamos verificar a veracidade dessa informação. Lembra-se das funções horárias do MRUV descritas em (12) e
(13)? Ao derivar (12), devemos obter (13). Vamos tentar?
v = lim
x→0
Δx
Δt
v = lim
x→0
Δx
Δt
=
dx
dt
Rotacione a tela. 
Derivando, temos:
Eq. 17
Rotacione a tela. 
3 - Reescrever a derivada
No lado direito de (17), temos primeiramente a derivada da posição inicial, que, por ser uma constante, é zero. A derivada de
 e a derivada de . Assim, reescrevemos (17) como:
Eq. 18
Rotacione a tela. 
Da mesma forma como está descrita em (13).
4 - Encontrar a aceleração
Para encontrar a aceleração, basta derivar em função do tempo as funções (13) ou (18), já que elas são idênticas. Você
encontrará que .
Agora vamos ver o caminho inverso. Vamos partir da aceleração e chegar na equação da posição.
5 - Equação da posição
Considere que seu corpo de inicio em repouso é submetido a uma aceleração constante , e você quer a equação que
descreva o seu movimento. Para isso, vamos integrar o corpo, de um ponto inicial a um ponto final, como demonstrado
abaixo:
Integrando em relação ao tempo, temos:
Eq. 19
S(t) = S0 + v0t +
at2
2
dS(t)
dt
=
dS0
dt
+
d
dt
(v0t) +
d
dt
(at2)
d
dt
(v0t) = v0
dt
dt
= v0
d
dt
(at2) = a d
dt
(t2) = 2at
v(t) = v0 + at
a = a
a
a(t) = a
Rotacione a tela. 
Ao realizar a integração, temos:
Eq. 20
Rotacione a tela. 
Reescrevendo (20), temos:
Eq. 21
Rotacione a tela. 
A função encontrada em (21) é idêntica à função encontrada em (18). Para achar a posição, devemos integrar (21) também
de um tempo a um tempo . Assim:
Eq. 22
Rotacione a tela. Eq. 23
Rotacione a tela. 
Logo, temos:
Eq. 24
Rotacione a tela. 
Com simples passos de integração foi possível, por meio da constante da aceleração, descrever a função horária do MRUV.
Você deve estar se perguntando por que o tempo inicial foi considerado como zero, e não como . Só começamos a contar
o tempo a partir do momento em que você observa o início do fenômeno físico. Antes de o fenômeno ocorrer, você não está
marcando o tempo; por isso, tudo começa do zero.
∫
v
v0
dv
dt
dt = ∫
t
0
adt
Δv = at
v(t) = v0 + at
t0 = 0 t
∫
S
S0
dS
dt
dt = ∫
t
0
[v0 + at]dt
Δx = v0t +
at2
2
S(t) = S0 + v0t +
at2
2
t0
Vamos ver um exemplo?Imagine que você será o marcador do tempo de um corredor de 100m rasos que quer bater o
recorde mundial. Você só irá disparar o cronômetro quando for dado o sinal para ele começar a correr. Então, qual é o tempo
inicial do cronômetro?
A resposta é: zero.
A função horária do MRU é uma particularidade da função horária do MRUV. Se considerarmos a aceleração igual a zero em
(24), obrigatoriamente teremos a função descrita em (11).
Mão na massa
Questão 1
Um automóvel se move em uma estrada de acordo com a função S(t) = 5t + 2, onde as unidades estão em km e h.
Assim, podemos afirmar que a posição inicial e a velocidade do automóvel são respectivamente:
Resposta 

A 2km e 5km
B 5km e 2km
C 2km e 2,5km
D 5km e 0,4km
Parabéns! A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 2
Um ciclista se move de acordo com a função .
Diante desse contexto, podemos afirmar que:
E 3km e 0,1km
v(t) = 15 − 0, 03t
A O ciclista se move com um movimento retardado, partindo de um S0 = 15m.
B O ciclista se move com um movimento retardado, partindo de um v0 = 15m/s.
C O ciclista se move com um movimento acelerado, partindo de um S0 = 15m.
D O ciclista se move com um movimento acelerado, partindo de um v0 = 15m/s.
E O ciclista se move com um movimento retardado, partindo de um a = 15m/s2.
Parabéns! A alternativa B está correta.
A equação apresentada no enunciado descreve a mudança de velocidade em função da aceleração:
Onde e . Como a aceleração é negativa, o movimento é retardado.
Questão 3
Um móvel está se movendo com velocidade de 40cm/s. Quando bruscamente imprime uma aceleração, percorrendo
3cm em um movimento retardado, até parar. Assinale a opção que representa a aceleração executada por este móvel:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 4
Uma bola é abandonada de uma altura de .
v(t) = v0 + at
v0 = 15m/s a = −0, 03m/s2
A -266,67cm/s2
B 266,67cm/s2
C -300cm/s2
D 300cm/s2
E -299,57 cm/s2
50cm
Sabendo que a aceleração gravitacional local é de , assinale a opção que representa o tempo de queda:
Parabéns! A alternativa E está correta.
A bola inicialmente está parada, portanto a velocidade é nula. Entretanto, ela cai. Isso ocorre devido à ação gravitacional,
pois temos a aceleração gravitacional agindo. Logo, esse é um MRUV:
A altura foi definida como sendo o espaço entre a posição inicial e a posição final da bola.
Questão 5
Considere a equação da posição de um móvel igual a: S(t) = 5 – 58t + 3t2 com unidades no S.I..
A velocidade deste móvel no instante t = 37s é igual a
10m/s2
A 0,19s
B 0,30s
C 0,28s
D 0,25s
E 0,32s
S(t) = S0 + v0t +
at2
2
S(t) − S0 = 0t +
10t2
2
H(t) = 5t2
0, 5 = 5t2
t = 0, 32s
Parabéns! A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 6
Um automóvel está se locomovendo de acordo com a função da velocidade , com unidades no SI.
A função que define a sua posição em função do tempo é a:
A 158m/s
B 162m/s
C 164m/s
D 168m/s
E 170m/s
v(t) = 0, 02
A 0, 01 (t2 − t20)
B 0, 02 (t2 − t20)
Parabéns! A alternativa A está correta.
Para descobrir a equação da posição do automóvel, temos que integrar a função da velocidade:
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Um móvel parte do repouso e, após percorrer , atinge a velocidade de . A sua velocidade após da
sua partida é de:
C 0,01(t - t0)
D 0,02(t - t0)
E 0,02t²/2
S(t) = ∫
t
t0
0, 02tdt
S(t) =
0, 02t2
2
t
t0
S(t) = 0, 01 (t2 − t20)∣450m 162km/h 15sA 340m/s
B 33,5m/s
C 45m/s
Parabéns! A alternativa D está correta.
Primeiramente, devemos encontrar a aceleração desse móvel. Como não temos a informação do tempo que leva para o
móvel chegar à posição , precisamos utilizar a equação de Torricelli. Porém, antes devemos fazer a conversão da
velocidade para unidades do Sl:
Aplicando a equação de Torricelli:
Para encontrar a velocidade após 15 s da partida, precisamos escrever a função da velocidade:
Questão 2
Considerando a função da velocidade e a equação de Torricelli, a alternativa que descreve corretamente a aceleração
em função de ∆S, v0 e t é:
D 33,75m/s
E 32,25m/s
450m
v =
162Km/h
3, 6
= 45m/s
v2 = v20 + 2aΔS
452 = 0 + 2a ⋅ 450
a = 2, 25m/s2
v(t) = v0 + at
v(t) = 2, 25t
v(15) = 2, 25 ⋅ 15
v(15) = 33, 75m/s
A a = 2(ΔS−v0t)
t2
B a = 2(v0t−ΔS)
t2
C a = 2(ΔS−v0t)t
Parabéns! A alternativa A está correta.
Temos:
v(t) = v0 + at (I)
v2 = v20 + 2a ∆S (II)
Tanto v(t) como v são as velocidades finais, portanto, podemos substituir (I) em (II):
(v0 + at)2 = v20 + 2a ∆S
v20 + 2v0at+ a2t2 = v20 + 2a ∆S
Reorganizando algebricamente, temos:
4 - Movimento em trajetória circular
Ao �nal deste módulo, você será capaz de descrever os movimentos circulares e suas funções horárias.
D a = (ΔS−v0t)
t
E a = (ΔS+v0t)
t
a =
2 (ΔS − v0t)
t2
Vamos começar!
MCU e MCUV
Neste vídeo, serão apresentados os conceitos de movimentos curvilíneos.
Movimento circular uniforme (MCU)
Um MCU ocorre, como o próprio nome indica, quando a trajetória de um móvel descreve uma circunferência e mantém o
módulo de sua velocidade constante.
Em nosso cotidiano, observamos diversos exemplos de movimentos circulares uniformes, como o girar das hélices de
ventiladores e a locomoção do ponteiro dos segundos de um relógio, por exemplo.
No movimento retilíneo, a velocidade era definida como a variação do espaço percorrido em função do tempo. No MCU, a
lógica continua a mesma, porém, agora nos referiremos à posição angular.
A velocidade será calculada a partir da variação dessa posição angular em função do tempo, por isso, a chamamos de
velocidade angular.
Observe, na próxima imagem, que o trajeto percorrido pelo móvel está disposto em vermelho. Trata-se de um caso em que
um móvel está se deslocando de para em trajetória curvilinea.
Essa curva possui um centro, e a distância da curva até o centro é dada pelo raio.

A B
Representação de um movimento circular de um móvel partindo do ponto A em direção ao ponto B .
No caso de um movimento circular, utilizamos como espaço a variação angular medida, tendo como referencial o centro da
circunferência. A posição angular é expressa pela letra e a velocidade, expressa pela letra . A imagem a seguir ilustra
essa situação.
Movimento circular.
A unidade de medida no Sl da posição angular é o radiano (rad) e a unidade de medida no Sl da velocidade angular é o
radiano por segundo (rad/s).
Portanto, analogamente ao M.R.U., temos:
Eq. 25
Rotacione a tela. 
Como se trata de um movimento uniforme, analogamente à equação horária do MRU, a equação horária do MCU é:
Eq. 26
θ(t) = θ0+ωt
Rotacione a tela. 
Assim como no MRU, o gráfico de sua função é descrito por uma reta, crescente ou decrescente. Existe também outra
relação para a determinação da velocidade angular, que é dada pela razão entre a velocidade linear do móvel e o raio da
trajetória:
Eq. 27
Rotacione a tela. 
Apesar de ser outra maneira de encontrar a velocidade angular, a unidade de medida também é o .
θ ω
ω =
θ − θ0
t − t0
ω =
v
r
rad/s
Movimento circular uniformemente variado (MCUV)
De forma análoga ao MRUV, o MCUV é o movimento curvilíneo que apresenta aceleração angular (α). Portanto, temos a
posição angular e a velocidade angular expressas da seguinte forma:
Eq. 28
Rotacione a tela. 
Velocidade angular.
Eq. 29
Rotacione a tela. 
Posição angilar.
Os gráficos gerados por ambas as funções descritas em (28) e (29) são idênticos aos gerados pelas equações do MRUV. A
aceleração angular pode ser determinada das seguintes formas:
Eq. 30
Rotacione a tela. Eq. 31
Rotacione a tela. 
A unidade da aceleração angular é o radiano por segundo ao quadrado (rad/s2).
Como todas as equações até agora têm sido análogas às equações do movimento retilíneo, a equação de Torricelli também
se aplica ao movimento circular. Veja:
Eq. 32
θ(t) = θ0 + ω0t +
at2
2
ω(t) = ω0 + αt
α =
ω − ω0
t − t0
α =
a
r
Rotacione a tela. 
Teoria na prática
Um automóvel se locomove com velocidade de quando entra em uma curva de raio igual a . Verificando
que não conseguiria fazer a curva, o condutor do automóvel aciona o freio, com uma aceleração de .
Responda:
1. Qual a velocidade com a qual o automóvel entra na curva?
2. Qual a aceleração angular imposta ao veículo?
3. Se o deslocamento angular foi de , qual a função horária do movimento?
Mão na massa
Questão 1
Um móvel se desloca de acordo com a função Θ(t) =1 + 6t. Assim, podemos afirmar que a sua posição angular inicial
no S.I. é de:
ω2 = ω20 + 2aΔθ
_black
144km/h 12km
−0, 72m/s2
90∘
Mostrar solução

A 1rad
B 6rad
C 1°/6 rad
Parabéns! A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 2
Um móvel se desloca de acordo com a função . Sua posição após é:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Questão 3
D 1°
E 2°
θ(t) = 1 + 6t t = 1/6s
A 2rad
B 1rad
C 0,5rad
D 0,25rad
E 0,15rad
θ(
1
6
) = 1 + 6 ⋅
1
6
= 2rad
Um móvel gira preso por uma corda de comprimento 45cm com frequência de 45Hz. A velocidade linear de
deslocamento desse móvel é igual a:
Parabéns! A alternativa D está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 4
Um móvel se locomove de acordo com a função: , e as unidades estão em radianos e
segundos. Sua posição quando é:
A 100,36m/s
B 114,16m/s
C 125,39m/s
D 127,17m/s
E 132,19m/s
θ(t) = π2 +
10−2
3 t − 3 × 10
−4t2
t = 40s
A 3,14rad
B 2,96rad
C 1,92rad
Parabéns! A alternativa C está correta.
Questão 5
Considerando que um móvel se locomove sobre a função θ(t) = π/2 + 10-2/3t – 3 x 10-4 t2, com unidades no S.I.
Sua velocidade angular em 4 segundos é igual a:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
D 1,52rad
E 0,96rad
θ(40) =
π
2
+
10−2
3
40 − 3 × 10−4(40)2 = 1, 92rad
A 3,33 x 10-2rad/s
B 9,33 x 10-4rad/s
C 3,33 x 10-4rad/s
D 9,33 x 10-2rad/s
E 6,66 x 10-4rad/s
Questão 6
Considere um carro realizando uma curva à velocidade de . A curva tem variação angular de e o móvel a
percorre em 30s. Diante dessas informações, o raio dessa curva em metros é igual a:
Parabéns! A alternativa D está correta.
O primeiro passo é colocar a variação angular em radianos:
πrad ________ 180°
Δθ __________ 45°
Em seguida, precisamos determinar a velocidade angular:
E converter a velocidade de para :
Então, para descobrir o raio da curva:
60km/h 45∘
A 626,75m
B 600,98m
C 601,37m
D 636,75ml
E 715,22m
Δθ =
π
4
rad
ω =
Δθ
Δt
=
π
30
=
π
120
rad/s
km/h m/s
v =
60
3.6
= 16, 67m/s
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Um móvel descreve uma trajetória circular com raio de , de acordo com a função horária:
. A função que descreve a velocidade angular é:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Para encontrar a função da velocidade angular, vamos derivar a função horária em função do tempo:
ω =
v
r
ε
120
=
16, 67
r
r = 636, 75m
15m
θ(t) = −13 + 15 − 0, 5t2
A ω(t) = 15 + t
B ω(t) = 15 - t
C ω(t) = 15 - 0,5t
D ω(t) = 15 + 0,5t
E ω(t) = -15 + 0,5t
dθ(t)
dt
=
d
dt
(−13) +
d
dt
(15t) −
d
dt
(0, 5t2)
ω(t) = 15 − t
Questão 2
Uma partícula gira em torno de um ponto material de acordo com a função . A função horária que descreve
a posição angular é de:
Parabéns! A alternativa C está correta.
Para encontrar a posição angular, que nesse caso é a função horária, devemos integrar a função .
A constante é somada devido ao fato de estarmos lidando com uma integral indefinida.
Considerações �nais
Neste tema, apresentamos os conceitos da Cinemática, tanto para um movimento retilíneo quanto para um movimento
curvilíneo, e conhecemos todas as equações que regem o movimento mecânico, verificando suas relações. Dentre elas,
verificamos que o MRU é um caso particular do MRUV e que o MCU é um caso particular do MCUV.
ω(t) = − 32 t
A θ(t) = − 32 t
2 + Ct
B θ(t) = − 34 t
2 + Ct
C θ(t) = − 34 t
2 + C
D θ(t) = − 32 t
2 + C
E θ(T ) = 3/2t2 − C
ω(t)
∫ ω(t) = ∫ − 3
2
t
θ(t) = −
3
4
t2 + C
C
Vimos também que é possível utilizar o cálculo diferencial e o integral para determinar a velocidade e a aceleração de um
corpo em determinado instante de tempo. Esses conceitos apresentados são de suma importância e você perceberá que
eles o acompanharão, não só ao decorrer de todo o curso, mas também por toda a sua vida como profissional.
Podcast
Antes de encerrarmos, ouça este podcast, onde o professor gabriel Burlandy aborda os principais assuntos tratadosaté
aqui.

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Existem diversas aplicações das teorias cinemáticas, entre elas: queda livre, lançamento vertical, lançamento horizontal e
lançamento oblíquo. Uma boa fonte de informação sobre a aplicação das equações da Cinemática se encontra no artigo
científico Lançamento oblíquo com resistência do ar: uma análise qualitativa, publicado por Freire et al. em 2016.
Os conceitos da Cinemática são essenciais para o entendimento do mundo ao nosso redor. Podemos notar esses conceitos
até mesmo nos esportes. Para compreender melhor, explore mais sobre esse conceito, lendo o artigo científico A utilização
do futebol americano como instrumento auxiliar no ensino de Cinemática, escrito por Rodrigo Dias Pereira e Lucas Amaral
Fantecele.
Referências
FREIRE, W. H. C. et al. Lançamento oblíquo com resistência do ar: uma análise qualitativa. In: Revista Brasileira de Ensino de
Física, v. 38, n. 1, p. 1-5, mar. 2016. FapUNIFESP (SciELO).
CUTNELL, J. D.; JOHNSON, K. W. FÍSICA. 9. ed., v. 1, Rio de Janeiro: LTC, 2016.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física. 10. ed., v. 1. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. v. 1, 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
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