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CálculoII Agnaldo Souza Pereira Cláudio Barros Vitor Jefferson Pereira de Oliveira Manaus 2007 º4. Período FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice–Governador Omar Aziz Reitora Marilene Corrêa da Silva Freitas Vice–Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Planejamento Osail de Souza Medeiros Pró–Reitor de Administração Fares Franc Abinader Rodrigues Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Rogélio Casado Marinho Pró–Reitora de Ensino de Graduação Edinea Mascarenhas Dias Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa José Luiz de Souza Pio Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico–gramatical João Batista Gomes Pereira, Agnaldo Souza. P436c Cálculo II / Agnaldo Souza Pereira, Cláudio Barros Vitor, Jefferson Pereira de Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. - (Licenciatura em Matemática. 4. Período) 92 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia. 1. Cálculo - Estudo e ensino. I. Vitor, Cláudio Barros. II. Oliveira, Jefferson Pereira de. III. Série. IV. Título. CDU (1997): 517.2/.3 SUMÁRIO UNIDADE I – Funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07 TEMA 01 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 TEMA 02 – Domínio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 TEMA 03 – Gráficos de funções de duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 TEMA 04 – Limites e continuidade para funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TEMA 05 – Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 TEMA 06 – Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 UNIDADE II – Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 TEMA 01 – Vetor gradiente e derivadas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 TEMA 02 – Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 UNIDADE III – Integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 TEMA 01 – Caminhos e curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 TEMA 02 – Comprimento de curvas e caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 TEMA 03 – Definição de integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 UNIDADE IV – Integrais múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 TEMA 01 – Integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 TEMA 02 – Integrais repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 TEMA 03 – Integrais triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 TEMA 04 – Mudança de variáveis nas integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 TEMA 05 – Aplicações da integral dupla e tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 UNIDADE V – Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Agnaldo Souza Pereira Bacharel em Física - UFRJ Mestre em Física - UFRJ Licenciado em Física - FTESM Doutor em Física - UFRJ Cláudio Barros Vitor Licenciado em Matemática – UFAM Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC Jefferson Pereira de Oliveira Licenciado em Matemática – UCSal Pós-Graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática - UFF PERFIL DOS AUTORES UNIDADE I Funções de várias variáveis UM BREVE HISTÓRICO Jean Le Rond D’Alembert nasceu em 16 de novembro de 1717, em Paris. Era filho ilegítimo da marquesa Claudine Guerin de Tencin, escritora, e do cavaleiro Louis-Camus Destouches, oficial do exército francês. Logo após o nascimento, foi abandonado por sua mãe nas escadarias da Capela de Saint Jean Le Rond, de onde foi levado para um orfanato, à espera de adoção. O bebê recebeu o nome do santo protetor da capela, e foi adotado por um humilde artesão e sua esposa. Seu pai biológico, mesmo não reconhecendo a paternidade, custeou-lhe a educação por meio de uma pensão. Aos 12 anos de idade, D’Alembert ingressou no Colégio Mazarin, onde estudou Filosofia, Artes e Direito, e formou-se advogado em 1738, aos 21 anos de idade. Mais tarde, passa a interes- sar-se por Medicina e Matemática, sendo que seu primeiro trabalho matemático é publicado em 1739, no qual ele apresenta correções de erros que encontrou em um dos livros usado em sua formação. Aos 24 anos de idade, D’Alembert já era célebre por seu trabalho em Cálculo Integral, e aos 26 anos, ele publica seu Tratado de Dinâmica, com importantes con- tribuições à ciência da mecânica. Deixou também contribuições para a teoria das equações diferenciais, em que se destaca o método de solução de D’Alembert para resolver equações diferenciais não-homogêneas por meio de uma equação auxiliar. Além das contribuições em ciências exatas, D’Alembert também participou, com Denis Diderot, da elaboração de Enciclopédia, uma das maiores obras do Iluminismo. Ao contrário do que faria supor sua infância humilde, D’Alembert freqüentava lugares e fes- tas elegantes, onde conheceu a escritora Julie de Lespinasse, por quem se apaixonou. Quando D’Alembert se tornou famoso por suas realizações intelectuais, sua mãe biológica apresentou-se, mas ele, que viveu na casa paterna até os 48 anos, disse-lhe: “Sou filho do artesão e de sua mulher. Você é, no máximo, minha madrasta.” Jean Le Rond D’Alembert faleceu aos 76 anos de idade, em 1783, como um célebre cientista e renomado homem de cultura. William Rowan Hamilton nasceu em Dublin, em 8 de agosto de 1805. Seus pais morreram deixando o pequeno órfão aos cuidados de um tio, que o educou dentro de uma severa linha de comportamento, dando-lhe uma educação abrangente, comforte ênfase em línguas estrangeiras. O pequeno Hamilton, aos 5 anos de idade, lia e recitava Homero em grego; aos 8 anos, já falava fluentemente o italiano e o francês. Aos 10 anos de idade, aprendeu a lín- gua árabe. Seu interesse pela matemática surgiu aos quinze anos de idade, ao conhecer um jovem norte-americano chamado Zertah Colburn, que possuía fantástica habilidade para realizar cálculos mentais. Ingressou no Trinity College, em 1824, tendo sido o primeiro coloca- do entre 100 candidatos no concurso de admis- são. Aos 22 anos, ainda estudante, já era dire- 9 Cálculo II – Funções de várias variáveis 10 UEA – Licenciatura em Matemática tor de um observatório. Hamilton dedicou-se à leitura das obras de Newton e de Laplace, e criou sua própria formulação da mecânica, con- hecida hoje como mecânica hamiltoniana, que é tremendamente importante em todos os cam- pos da física moderna, notadamente na física quântica. Sua vida particular não foi das mais tranqüilas; ele teve sérios problemas com o alcoolismo. Após terrível luta contra o vício, convence-se de que a única solução seria nunca mais ingerir nenhum tipo de bebida alcoólica. Por dois anos, Hamilton manteve-se sóbrio, mas durante uma discussão com o astrônomo George Airy, que debochou de seu hábito de beber apenas água durante festas e solenidades, Hamilton voltou a beber e caiu, afundando-se ainda mais no vício. Apesar da desordem em que estava mergulhada sua vida privada, Hamilton ainda se mantinha firme na competição matemática. Contribuiu para o desenvolvimento do cálculo, sendo de sua autoria o termo gradiente para designar o vetor que aponta na direção de maior variação de uma função escalar. Hamilton também realizou pesquisas em ótica e soluções numéricas de equações diferenciais. O homem que amava os animais e que foi chamado “o novo Newton” morreu em 1865, deixando uma obra inacaba- da, que foi publicada por seu filho no ano seguinte. TEMA 01 INTRODUÇÃO O conceito de função de várias variáveis está intimamente ligado aos fenômenos mais com- plexos no campo da matemática aplicada à fí- sica e à engenharia. Se um meteorologista, por exemplo, tiver de determinar o comportamento futuro da temperatura de uma região, ele preci- sará de um conjunto de dados atmosféricos, como pressão do ar, velocidade dos ventos e umidade do ar. Podemos ver, claramente, que a temperatura do ar depende de várias outras grandezas, de forma que, quando esse conjunto de variáveis se altera, ela também se altera, ou seja, ela é uma função que depende de várias outras var- iáveis. Ainda como exemplo, podemos enxergar o preço de um produto com sendo dependente do preço da matéria-prima, do preço de mão- de-obra e do custo do transporte, pois se esses elementos variam, o preço final do produto va- riará também. Matematicamente, uma função de N variáveis é representada como sendo uma função f = f(x1, x2, x3,..., xN). O domínio dessas funções é o RN, sendo que N pode variar desde N = 1 até N = ∞. Vejamos, a seguir, alguns exemplos de funções de várias variáveis, começando com o caso mais simples, a função de duas variá- veis. Exemplo 1 Volume de um cilindro Figura 1 – O volume de um cilindro é função de duas variáveis, r e h. O volume de um cilindro, de altura h e raio de base r, é expresso por VCIL = πr2h. Como o valor do volume muda se mudarmos um dos valores de r e h, fica clara a dependência do volume com as variáveis r e h. Podemos, então, classificar VCIL como uma função de duas va- riáveis. Em razão disso, podemos simbolizar o volume de um cilindro como: VCIL = VCIL(r,h) Exemplo 2 Área de um retângulo Figura 2 – A área de um retângulo é função de duas variáveis, a e b. Outro exemplo de função de duas variáveis que podemos buscar nos domínios da geo- metria é a área de um retângulo de lados a e b. sabendo que a área da superfície retangular é dada por: S = ab, em que a e b são as varáveis, pois podem assumir valores arbitrários, determinando um único valor de S para cada par de valores (a,b). Podemos escrever s como uma função de duas variáveis: S = S(a,b). Continuando nossa seqüência de exemplos, vamos analisar alguns casos de função de três variáveis. Elas são essenciais em problemas que descrevem fenômenos tridimensionais, como o volume de um paralelepípedo, o es- coamento de um gás ou a distribuição de tem- peraturas em uma sala. Exemplo 3 Volume de um paralelepípedo Figura 3 – O volume de um paralelepípedo é função de três variáveis, x,y e z. O volume do paralelepípedo de largura x, pro- fundidade y e altura z é dado por V = xyz Assim como nos exemplos anteriores, pode- mos ver que a mudança do conjunto de valo- res (x,y,z) tem como conseqüência a mudança do valor do volume do paralelepípedo, uma vez que ele é função das dimensões deste sóli- do. Ou seja: V=V(x,y,z) Exemplo 4: Potencial elétrico de uma carga elétrica pun- tiforme Considere uma carga elétrica puntiforme Q, posicionada na origem de um sistema de três eixos coordenados. A intensidade do potencial elétrico em qualquer ponto do espaço depen- derá das coordenadas (x, y, z) deste ponto, ou seja, de sua posição. A figura 4 abaixo ilustar essa situação. Figura 4 – Potencial elétrico gerado em todos os pontos do espaço por uma carga elétrica Q. Vemos que cada valor de U(x,y,z) depende de um conjunto de três coordenadas (x,y,z), que localizam o ponto P no espaço. Para resumir as idéias expostas, vamos con- ceituar as funções de duas e três variáveis. Função de duas variáveis Uma função de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado (x,y) de um con- junto D um único valor real designado por z = f (x,y). O conjunto D é o domínio da função, e o conjunto imagem é o conjunto dos valores possíveis de f. 11 Cálculo II – Funções de várias variáveis Função de três variáveis Uma função de três variáveis é uma regra que associa a cada tripla ordenada (x,y,z) de um conjunto D um único valor real designado por z = f (x,y,z). O conjunto D é o domínio da fun- ção, e o conjunto imagem é o conjunto dos va- lores possíveis de f. Essas definições são facilmente extensíveis ao caso de várias variáveis: Função de várias variáveis Uma função de várias variáveis é uma regra que associa a cada N–upla ordenada (x1,x2,...,xN), de um conjunto D, um único valor real designado por de f = f (x1,x2,...,xN). O con- junto D é o domínio da função, e o conjunto imagem é o conjunto dos valores possíveis de f. Exemplo 5 O potencial elétrico U no ponto P(x,y,z) é dado por , ache o valor do potencial elétrico no ponto P(1,5,4). Solução: Para achar o valor da função U(x,y,z) em P(1,5,4), basta substituir os valores das coor- denadas do ponto P, na equação da função, e achar U(1,5,4). Exemplo 6 Uma chapa de metal plana está em um plano–xy, de modo que a temperatura T em (x,y) seja dada T em (x,y) seja dada por T = 0,01(x2 + y2)2 em que T é expresso em oC , e x e y em centímetros. Ache o valor da temperatu- ra no pontos A(0,1; ,3), B(2,7) ,C(4,1) e D( , ). Solução: Como no problema anterior, basta substituir os valores das coordenadas de cada ponto na equação da função T(x,y), e achar os valores correspondentes. a) No ponto A(1,3): T(1,3) = 0,01 (12 + 32)2 = 0,01 (1+ 9)2 =1 oC ∴ T(1,3) = 1 oC. b) No ponto B(2,7): T(2,7) = 0,01 (22 + 72)2 = 0,01 (4+49)2 =28,09 oC ∴ T(21,3) = 28,09 oC. c) No ponto C(4,1): T(4,1) = 0,01 (42 + 12)2 = 0,01 (16+1)2 =2,89 oC ∴ T(4,1) = 2,89 oC. d) No ponto D( , ): T( , )= 0,01(( )2+ ( )2)2 = 0,01(3+2)2 = 0,25 oC ∴ T( , )= 0,25oC. 1. A superfície de um lago é representada por uma região D em um plano –xy, de modo que a profundidade sob o ponto correspondente a (x,y) é dada por f(x,y) = 300 –2x2 – 3y2, em que x, y e f(x,y)são expressos em metros. Se uma bóia está na água no ponto (4,9), determine a distância entre ela e o fundo do lago. 2. Um objeto está em um sistema coordenado re- tangular tal que a temperatura T no ponto P(x,y,z) seja dada por T(x,y,z) = 0,04x2 – 0,01y2 + 0,16 z2, em que T é expressa em oC, e x,y, e z em metros. Determi- ne a diferença de temperatura entre os pontos A(1, 2,5 ,3) e B(5,6,2). R : –7,34 oC . 12 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 02 DOMÍNIO E IMAGEM Mais sobre domínio e imagem das funções de várias variáveis Sabemos que o domínio de uma função é o conjunto numérico no qual a função toma va- lores para a variável independente, e que a imagem de uma função é o conjunto numérico dos valores assumidos pela função. No caso da função de uma variável, temos a variável inde- pendente x, cujos valores permitidos perten- cem a um dado conjunto numérico (domínio), e a variável dependente y(x), que expressa os valores numéricos assumidos pela função, va- lores esses, que pertencem a um segundo con- junto numérico (imagem). O diagrama abaixo representa o conceito de fun- ção por um diagrama como uma correspondên- cia entre dois conjuntos numéricos. Figura 5 – Diagrama representando o conceito de função: é uma correspondência entre conjuntos numéricos. Ao analisarmos o diagrama, vemos que a re- lação representada entre o conjunto A e o con- junto B associa a cada elemento de A um ele- mento de B. A correspondência entre os ele- mentos associados é representada pelas setas que partem do conjunto A (que é o domínio da função) e chegam ao conjunto B (imagem da função). Vamos, agora, ampliar esses concei- tos para as funções de duas variáveis. O domínio de uma função de duas variáveis é um conjunto formado por todos os pares de valores (x,y) em que a função toma valores. Ve- jamos o diagrama seguinte, semelhante ao que foi feito para a função de uma única va- riável: Figura 6 – Domínio e imagem de uma função de duas variáveis. Podemos ver, no diagrama, a função fazendo a correspondência entre elementos do domínio e elementos pertencentes ao conjunto ima- gem. É importante notar que os elementos do domínio são pares ordenados de valores; isso faz que funções de duas variáveis sejam apli- cadas a problemas envolvendo grandezas que variam sobre superfícies. Ainda podemos ob- servar que o conjunto de todos os pontos do domínio, que é um conjunto de vários pares ordenados, é uma figura plana, contida no plano xy (o domínio é uma subdivisão do plano xy). O conjunto imagem, por sua vez, também é uma superfície formada de todos os pontos de coordenadas (x,y,z) relacionados pela fun- ção, como pode ser visto na figura 7, abaixo. Figura 7 – Domínio e gráfico de uma função de duas variáveis. Exemplo 7 1. Determine o domínio da função . Para achar o domínio, devemos achar o con- junto de pares (x,y) para os quais é possível realizar a operação indicada. No presente ca- so, a operação é . Essa operação é 13 Cálculo II – Funções de várias variáveis 14 UEA – Licenciatura em Matemática uma radiciação, e só tem sentido no conjunto dos números reais se 16 – x2 – y2 ≥ 0. Assim, todos os pares de valores (x,y), que obedecem à desigualdade acima, pertencem ao domínio daquela função: 16 – x2 – y2 ≥ 0 ∴ –x2 – y2 ≥ – 16, portanto, x2 + y2 ≤ 16 . Essa é uma equação que representa os pontos de um círculo de raio 4, centrado na origem. Figura 8 – Domínio da função Exemplo 8 2. Determine o domínio da função z(x,y) = ln(1 – x2 – y2). Seguindo a mesma linha de raciocínio seguida no item anterior, o domínio da função é o con- junto dos pares (x,y) que possibilitam o cálcu- lo de z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) no conjunto dos reais. Como sabemos que só existem logaritmos para números maiores que zero, podemos dizer que o domínio de z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) é for- mado por todos os pares (x,y) que obedecem a 1–x2–y2 > 0 . Assim, 1–x2–y2 > 0 x2 + y2 < 1. O domínio da função z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) é o conjunto de todos os pares de valores (x,y) contidos no interior de um círculo de raio 1 centrado na origem, excluindo-se os pontos da circunferência (pois na circunferência temos x2 + y2 =1 ). A representação geométrica está na figura 9, a seguir. Figura 9 – Domínio da função z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) Exemplo 9 3. Determine o domínio da função Nesse caso, encontramos duas condições a serem atendidas: 1.a O denominador deve ser sempre diferente de zero. 2.a O radicando x + y + 1 deve ser sempre maior que zero. Para atender à 1.a condição, impomos a restrição x – 1 = 0 x = 1. Em seguida, para atender à 2.a condição, impomos a restrição x + y + 1> 0. y > –1–x, y>–x–1. Dessa forma, podemos concluir que os pontos para a função está definida são aque- les que possuem abscissa diferente de zero e estão acima da reta y = –x – 1. Os pontos pertencentes a essa região es- tão representados no gráfico da figura 10. As linhas tracejadas são aquelas que não possuem pontos do domínio: a reta vertical x =1 e a reta inclinada y = –x –1. Figura 10 – Domínio da função 1. Determine e faça o esboço do domínio das funções abaixo: a) z(x,y) = ln(9 – x2 – 9y2) b) c) z(x,y) = 4x2 + y d) e) f) g) z(x,y) = xln(y2 – x) h) i) z(x,y) = x2 ln(x – y + z) j) l) m) TEMA 03 GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Assim como no caso das funções de uma va- riável, em que um gráfico no plano –xy apre- senta, visualmente, a relação entre os valores do par ordenado, também no caso das fun- ções de duas variáveis podemos expressar graficamente a relação entre o par ordenado (x,y) e a função f(x,y): o gráfico de uma função de duas variáveis será uma superfície em R3. Noutras palavras, podemos dizer que assim como o gráfico de uma função de uma única variável é uma curva de equação f(x), o gráfico de uma função de duas variáveis será uma superfície S com equação z(x,y). Podemos ver a superfície S acima ou abaixo do domínio D da função. É importante notar que a superfície que representa o domínio da função, pode ser vista como uma projeção do gráfico de z(x,y) sobre o plano –xy. Os gráficos fornecem-nos um meio rápido e eficiente para estudar o com- portamento de uma função e avaliar suas ca- racterísticas. Vamos, agora, ver alguns exem- plos de gráficos de funções de duas variáveis, (i) z(x,y) = 100e–(x2 + y2) 15 Cálculo II – Funções de várias variáveis 16 (ii) z(x,y) = x – 3x2 (iii) z(x,y) = y4 – 8y2 – 4x2 (iv) z(x,y) = ln (x2 + y2) (v) z(x,y) = e–x2 + ey2 (vi) (vii) (viii) z(x,y) = (x2 + y2)2 (ix) (x) O aspecto visual desses gráficos não esconde o fato de que é bem difícil traçá-los manual- mente. Esses exemplos foram traçados com o auxílio de um programa de computador. Com os programas computacionais, podemos en- xergar o comportamento do gráfico em qual- quer região do domínio da função, mas nesses exemplos é preferível ver o comportamento em pontos próximos à origem, pois em várias apli- cações torna-se importante saber o compor- tamento da função para valores pequenos das variáveis. Apesar do exposto acima sobre a dificuldade de traçado desses gráficos sem o auxílio com- putacional, já era possível traçá-los manu- almente com o auxílio das curvas de nível, for- madas pelas interseções do gráfico de uma função de duas variáveis com um plano hori- zontal. As curvas de nível são um recurso que foi tomado emprestado da cartografia; por meio delas, um morro ou uma montanha pode ser descritos sobre o plano do papel por meio de um conjunto de curvas, em que cada curva corresponde a um corte do morro ou da mon- tanha a uma dada altura, que fica registrada sobre a curva de nível correspondente. Na car-tografia, então, os pontos de uma curva de nível é a curva formada por todos os pontos que estão a uma mesma altura, ou seja: h = constante. Dessa forma, podemos encarar as curvas de nível como tendo sido obtidas cortando-se o morro ou a montanha em fatias paralelas a um plano horizontal. Veja a figura abaixo: De forma geral, é importante notar que, onde as curvas de nível estiverem mais próximas umas das outras, a superfície será mais incli- nada, e onde as curvas forem mais espaçadas, a superfície será mais plana. Saindo um pouco da cartografia, podemos di- zer que, de forma mais geral, uma curva de nível é obtida pela junção dos pontos corres- pondentes a um valor constante de uma dada grandeza. As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são as curvas com equação f(x,y) = k, onde k é uma constante. As figuras seguintes comparam os gráficos e as curvas de nível de algumas funções. 17 Cálculo II – Funções de várias variáveis Figura 13 – Gráfico e curvas de nível da função z(x,y) = x2 – 3y2 Figura 14 – Gráfico e curvas de nível da função Figura 15 – Gráfico e curvas de nível da função Figura 16 – Gráfico e curvas de nível da função z(x,y) = 100e–(x2 + y2) 18 UEA – Licenciatura em Matemática 1. Estabeleça a correspondência correta entre as equações e as curvas de nível de cada função dada por z = f(x,y). a) f(x,y) = x2 – y2 b) c) f(x,y) = (x – 2)2 + (y + 3)2 d) f(x,y) = x2 + y2 1. 2. 3. 4. 2. Uma chapa plana de metal está situada em um plano–xy de modo que a temperatura T (em 0C) no ponto (x,y) é inversamente proporcional à distância da origem. a) Descreva as isotérmicas. b) Se a temperatura no ponto P(4,3) é de 400C, ache a equação da isotérmica para uma temperatura de 200C. 3. Deve-se construir uma usina de incineração de lixo para atender a duas cidades. Cada cidade gostaria de maximizar sua distân- cia à usina, mas, por motivos econômicos, a soma da distância de cada cidade à usina não pode exceder M quilômetros. Mostre que as curvas de nível para localização da usina são elipses. TEMA 04 LIMITES E CONTINUIDADE PARA FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Assim como nas funções de uma única variáv- el, os conceitos de limite e continuidade de uma função de várias variáveis estão inti- mamente ligados. Na teoria das funções de uma única variável, dizemos que a função é contínua num dado valor xo se no limite em que x = xo, f(x) = f(xo), seja por valores de x maiores que xo, ou por valores de x menores que xo. Se a função tender para valores diferentes con- forme x se aproxime de xo pela direita ou pela esquerda, a função é dita descontínua. Veja- mos os gráficos abaixo: Figura 17 – Continuidade de uma função de uma variável. A definição de continuidade da função de uma variável diz que, se o limite de f(x), quando x tende a xo por valores maiores que xo, coincide com o limite de f(x) quando x tende a xo por val- ores maiores que xo, então f(x) é dita contínua em x = xo. Resumindo, uma função é con- siderada contínua quando os limites laterais são iguais, o que significa que a imagem f(x) de todo x nas vizinhanças de x = xo tende ao limite f(xo) quando x tende a xo. Dizer que os limites laterais são iguais também significa que o limite da função está bem definido em x = xo, ou seja, o limite existe em x = xo. Por outro lado, a definição de função descontí- nua diz que a função possui uma descontinui- dade em x = xo, se os limites laterais não são coincidentes. Dizer que os limites laterais não são coinci- dentes significa que se x tende a xo por valores maiores que xo, a função tende ao valor Lo, e quando x tende a xo por valores menores que 19 Cálculo II – Funções de várias variáveis xo, a função tende ao valor L1> Lo. Se os limites laterais são diferentes, não se pode afirmar que a imagem f(x) de todo x, nas vizinhanças de xo, tende a f(xo) quando x tende a xo. Nessa situ- ação, dizemos que o limite não está definido em x = xo, ou seja, não existe o limite da função em x = xo. Veja a figura 18 abaixo: Figura 18 – Descontinuidade de uma função de uma variável. A figura 18 acima ilustra os conceitos formu- lados sobre a descontinuidade de uma função de uma única variável. Podemos ver, claramente, no gráfico, a diferen- ça de comportamento dos limites da função quando x tende a xo pela direita (por valores maiores que xo) e pela esquerda (por valores menores que xo). A extensão dessas idéias para o campo das funções de duas variáveis é imediata. Conside- remos a figura 19 abaixo: Figura 19 – Continuidade de uma função de duas variáveis. Podemos ver que, se um ponto (P1, ou P2) per- tencente ao domínio da função e contido em uma vizinhança circular centrada em Po aprox- imar-se de Po ao longo de qualquer caminho contido no círculo, também sua imagem, per- correrá pontos da superfície-imagem até alcançar o ponto B, imagem de Po. Noutras palavras, se um ponto P, nas vizinhan- ças de Po, dirigir-se a Po de forma que sua imagem f(P) dirija-se para f(Po), por um cami- nho totalmente contido sobre a superfície do gráfico da função, qualquer que seja o cami- nho seguido para atingir Po, dizemos que f(Po) é o limite da função quando P tende a Po. Isso equivale a dizer que existe o limite da fun- ção em P = Po, pois para qualquer caminho que se use para chegar até Po, alcançaremos o mesmo valor final para f(P). (f(P) = f(Po)). Simbolicamente: Ou ainda, usando as coordenadas de P=P(x,y) e Po=Po(xo,yo): Assim como no caso da função de uma única variável, a existência do limite garante a con- tinuidade de f(x,y) na região considerada. Por outro lado, se o valor do limite de f(x,y) em P= Po depender do caminho seguido para se atin- gir o ponto Po, o limite da função não estará definido em Po e, da mesma forma que para uma única variável, diremos que a f(x,y) é des- contínua no ponto P = Po. Ou seja: se achar- mos pelo menos dois caminhos diferentes, ao longo dos quais f(P) atinge limites diferentes, quando P se aproxima do mesmo ponto Po, então o limite não está definido em P = Po. Dizemos, então, que não existe o limite de f(P) em P = Po, e que Po é um ponto de descon- tinuidade da função. A noção de continuidade é essencial para o cálculo de funções de várias variáveis, pois, assim como no universo das funções de uma única variável, permite definir a existência das derivadas no contexto das funções de várias variáveis. A figura 20, a se- guir, ilustra a idéia de descontinuidade de fun- ção de duas variáveis. 20 UEA – Licenciatura em Matemática Figura 20 - Descontinuidade da função de duas variáveis. 1. Ache o limite a) b) c) d) e) 2. Mostre que o limite não existe. a) b) c) d) e) TEMA 05 DERIVADAS PARCIAIS As definições dadas até aqui não são exclusi- vas das funções de duas variáveis, são co- muns a todas as funções de várias variáveis. O fato de usarmos as funções de duas variáveis deve-se à facilidade de visualização que elas apresentam, pois podemos ver seus gráficos como superfícies em um espaço tridimen- sional. Avalie a dificuldade de se visualizar uma função de 20 variáveis, por exemplo! Um caso simples de função de mais de duas variáveis é o custo de um produto que envolva mais de dois ingredientes em sua fabricação, cada um com seu preço, o que se refletirá no preço de custo do produto. Por exemplo: o custo final kf de um bolo de chocolate, que envolve, em sua fabricação, pó de chocolate, ovos, farinha de trigo, açúcar, leite e fermento, dependerá dos preços desses ingredientes e pode ser escrito na forma fun- cional kf = Ax1 + Bx2 + Cx3 + Dx4+ Ex5+ Fx6 em que A,B,C,D,E e F são constantes que re- presentam as quantidades utilizadas de cada ingrediente, e x1, x2, x3, x4, x5, e x6 representam os preços de cadaingrediente. Assim, fica claro que o custo final é uma função de seis variáveis, kf = kf(x1, x2, x3, x4, x5, x6). Não podemos desenhar um gráfico dessa fun- ção, cujo domínio é hexadimensional, para po- dermos enxergar, de uma única vez, o compor- tamento dessa função. Analisemos o compor- tamento da função custo total quando o preço de apenas um ingrediente, digamos, o açúcar, varia, enquanto os demais preços permane- cem constantes. É razoável supor que o custo total variará com a mesma rapidez com que varia o preço do açú- car. Se, agora, o único preço variável for o do fermento, enquanto todos os demais preços estiverem estacionados, novamente podemos 21 Cálculo II – Funções de várias variáveis dizem que o custo total variará com a mesma taxa de variação do fermento, pois ele estará sendo o único responsável pela variação do custo final do bolo. Se em outra situação, os preços do açúcar e do fermento estiverem variando, e os preços dos demais ingredientes estiverem fixos, a taxa de variação do custo total será a soma da taxa de variação do preço do açúcar com a taxa de variação do preço do fermento, ingredientes responsáveis pela variação do custo final do produto. A taxa de variação de uma função de N variáveis, em relação a uma de suas varáveis xj em particular, é chamada derivada parcial da função em relação a xj, e é definida pela razão incremental: O símbolo chama-se “D-rond” (pronuncia–se derron), que significa D-redondo, em francês. No caso do bolo do exemplo anterior, a deriva- da parcial do custo final (kf) da iguaria em re- lação ao preço do açúcar (x4) e do fermento (x6) são definidas, respectivamente, como: Notemos que a definição de derivada parcial é similar à definição da derivada da função de uma única variável, envolvendo o limite da fun- ção em um dado ponto. Para que a derivada da função de N variáveis possa existir no ponto considerado, é necessário que exista o limite da função naquele ponto, ou seja, é preciso que a função seja contínua no ponto. O incremento diferencial (df) no valor da função de N variá- veis, devido ao incremento no valor de apenas uma de suas variáveis, é dado por . De forma mais geral, o incremento diferencial (df) no valor da função de N variáveis, devido a incre- mentos em todas as suas variáveis, é dado por No exemplo anterior, a variação no custo de nosso bolo de chocolate, devido à variação no preço do açúcar, é dada por ; e a variação no custo do bolo, devido às vari- ações combinadas dos preços do açúcar e do fermento, é dada por . Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais Quando precisamos subir uma elevação, co- mo um pequeno morro, sempre procuramos subir pelo lado menos íngreme, para poupar esforço. O formato geométrico da elevação é tal que o dispêndio de energia depende da encosta que escolhermos para subir. Na encosta mais íngreme, a inclinação é maior, fazendo que cada metro percorrido na hori- zontal resulte numa grande elevação vertical, tornando a subida é mais abrupta. A figura 21 mostra um gráfico da função , representando um morro. Podemos observar que, se subirmos o morro ao longo do eixo y, faremos um esforço maior, pois ao longo desse caminho, a elevação é mais pronunciada, mais íngreme, mas se subirmos ao longo do eixo x, o esforço será menor. Com esse exemplo, vemos que a taxa de va- riação de uma função de duas variáveis pode depender do caminho. Nesse caso, a taxa de variação da altura em relação à distância ho- rizontal depende do caminho escolhido. 22 UEA – Licenciatura em Matemática Figura 21 – Crescimento diferenciado da função. em cada direção. A distância entre as curvas de nível mostra que o crescimento desta função é mais veloz ao longo do eixo y, do que ao longo do eixo x. A análise das curvas de nível do morro também mostra que as curvas atravessadas pelo eixo–y estão mais próximas umas das outras do que as atravessadas pelo eixo–x, ou seja, a ele- vação é mais íngreme ao longo do eixo–y do que ao longo do eixo–x. Vemos, novamente, que a taxa de variação da altura em relação a x depende da direção que se segue até o alto do morro. De fato, se se- guirmos um terceiro caminho, oblíquo, indica- do pela seta pontilhada, a inclinação terá outro comportamento, diferente daqueles sobre x e y. Resumindo o que acabamos de discutir, se chamarmos a altura de cada ponto de z(x,y) a inclinação da função z(x,y) em cada ponto de- penderá da direção de deslocamento sobre o plano–xy. Particularmente, ao longo do eixo–x, a tangente do ângulo de inclinação será dada por e para um percurso ao longo do eixo–y, será dada por Como se Calculam as Derivadas Parciais de uma Função? Até aqui, estivemos preocupados com a cons- trução conceitual das derivadas parciais; pas- semos, agora, a ver como se determina a derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis. A regra é simples: 1. Para determinar , devemos olhar para f(x,y) como se y fosse uma constante, e derivar f(x,y) em relação a x. 2. Para determinar , devemos olhar para f(x,y) como se x fosse uma constante, e derivar f(x,y) em relação a y. 3. No caso de N variáveis, para determinar , devemos olhar para f(x1, x2, ..., xj,..., xN) como se todas as variáveis diferentes de xj, fossem constantes, e derivar f(x1, x2, ..., xj,..., xN) em relação a xj. Exemplo 10 1. Ache as derivadas parciais de f(x,y) = 1–3x4–2 sen(xy). Solução: Em relação a x, encaramos y como uma constante: . Em relação a y, encaramos x como uma constante . Exemplo 11 Ache as derivadas parciais . Solução: Em relação a x, encaramos y como uma cons- tante : Em relação a y, encaramos x como uma cons- tante: 3) Ache as derivadas parciais de Solução: 23 Cálculo II – Funções de várias variáveis Em relação a cada variável, encaramos todas as demais como constantes, e efetuamos a derivação em relação à variável considerada: 1. Ache as Derivadas Parciais Primeiras de f. a) f(x,y) = 2x4y3 – xy2 + 3y + 1 b) f(x,y) = (x3 – y2)5 c) d) e) f(x,y) = xey + ysen(x) f) f(x,y) = ey + ln(xy) g) h) f(x,y,z) = 3x2 z + xy2 i) f(x,y,z) = x2y3 z4 + 2x – 5yz j) f(r,s,t) = r2e2s cos(t) l) f(x,y,z) = xet – yex + ze–y m) 2. A lei dos gases ideais pode ser enunciada como PV = nKT, em que n é o número de mo- léculas do gás, V é o volume, T é a tem- peratura, P é a pressão e k é uma constante. Mostre que: 3. Mostre que ψ(x,t) satisfaz a equação da onda a) ψ(x,t) =sen(akt)sen(kx) Regra da Cadeia Freqüentemente, nos problemas aplicados às ciências naturais, surge a dependência das va- riáveis, e da própria função, em relação ao tempo. Assim, em vez de acompanharmos ape- nas a variação de f(x1, x2, ..., xj,..., xN), podemos também acompanhar sua variação em relação ao tempo, ainda que esta dependência não esteja explícita na fórmula da função. Se o tempo não aparecer explicitamente na ex- pressão matemática da função, mas souber- mos como uma (ou mais) das variáveis se com- porta em relação a ele, podemos determinar a variação temporal da função como um todo por meio da regra da cadeia: Exemplo: Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e uma força eletromotriz V. Em certo instante, V é 80 volts e aumenta à taxa de 5 V/min, enquanto r é de 40 Ohms e decresce à razão de 2 ohms/min. Use a lei de ohm, , e a regra da cadeia para achar a taxa à qual a corrente I (em ampères) varia. SOLUÇÃO: Substituindo valores: V=80, , R= 40, e , obtemos: 24 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 06 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR Analogamente ao que ocorre no caso de uma única variável, também para várias variáveis é possível determinar derivadas de ordem supe- rior à primeira. O cálculo é realizadoda mesma forma como é realizado na derivada ordinária: encarando to- das as variáveis como constantes, menos a va- riável em relação à qual se está derivando. O símbolo para a derivada parcial de ordem m é Assim: é a derivada parcial de segunda ordem de f em relação a x; é a derivada parcial de terceira ordem de f em relação a y; é a derivada parcial de quarta ordem de f em relação a w; e da mesma forma para outras ordens. É necessário salientar que, nas aplicações da matemática às ciências naturais, as derivadas mais importantes são as de segunda ordem, que dão origem à maior parte das equações diferenciais da física, da química, e da enge- nharia. Existe também o caso em que a função é deri- vada sucessivamente em relação a variáveis di- ferentes, a chamada derivada cruzada: Como as variáveis são inde- pendentes entre si, podemos ver que: . 1. Verifique que a) f(x,y) = xy4 – 2x2y3 + 4x2 – 3y b) c) f(x,y) = x3e–2y + y–2 cos(x) d) e) 2. Uma função de x e y é dita harmônica se em todo o domínio de f. Prove que a função dada é harmônica. a) b) f(x,y) = e–xcos(y) + e–ycos(x) 3. Se w(x,y) = e–c2t sen(cx), mostre que para todo número real c. 4. Mostre que ψ(x,t) satisfaz a equação da onda a) ψ(x,t) = sen(akt)sen(kx) b) ψ(x,t) = (x – at)4 + cos( x + at) 5. Quando um poluente, como o óxido nítrico, é emitido por uma chaminé de h metros de altura, a concentração C(x,y) em do po- luente em um ponto a x quilômetros da cha- miné e à altura de y metros pode ser represen- tada por em que a e b são constantes positivas que dependem das condições atmosféricas e da taxa de emissão de poluente. Suponha que 25 Cálculo II – Funções de várias variáveis Calcule e interprete e no ponto (2,5). 5. Mostre que qualquer função dada por satisfaz a equação de Laplace em três dimensões . 6. A capacidade vital V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser exalado após uma inalação de ar. Para um indivíduo do sexo mas- culino de x anos de idade e y centímetros de altura, V pode ser aproximado pela fórmula V = 27,63y – 0,112xy. Calcule e interprete a) b) 7. A análise de certos circuitos elétricos envolve a fórmula , onde I é a corrente, V é a voltagem, R a resistência, L a indutância e uma constante positiva. Calcule e interprete e . 26 UEA – Licenciatura em Matemática UNIDADE II Derivada direcional 29 Cálculo II – Derivada direcional TEMA 01 VETOR GRADIENTE E DERIVADAS DIRECIONAIS Retomemos o exemplo da inclinação do morro dado pela equação na figura 22 abaixo. Figura 22 – Crescimento diferenciado da função em cada direção. Vemos, nas curvas de nível, que é mais fácil subir ao longo do eixo x que ao longo eixo y. Podemos dizer que quando subimos ao longo do eixo-x, o acréscimo dz na altura para cada dx percorrido é e se subirmos ao longo do eixo y, teremos acréscimos na subida dados por: Para uma direção oblíqua, em que não estare- mos ao longo de nenhum dos eixos, teremos contribuições das duas variáveis: Note que para o movimento exclusivo sobre o eixo x, podemos escrever um vetor desloca- mento d → x = dx^x Já para o movimento exclusivo sobre o eixo y, podemos escrever um vetor deslocamento d → y = dy^y Para o caso em que o movimento é oblíquo e recebe contribuições tanto do deslocamento ao longo de x quanto de y, podemos escrever um vetor deslocamento d → r = dx^x + dy^y Podemos resumir os três casos em uma só notação se enxergarmos dz como resultado de um produto escalar entre os deslocamentos e um novo vetor, de forma que para deslocamentos sobre o eixo x. para deslocamentos sobre o eixo y. para deslocamentos oblíquos. O vetor ∇→z definido pelas igualdades acima é escrito como e chama-se gradiente da função z(x,y). A pro- jeção do gradiente em uma direção cujo uni- tário u^ faz um ângulo com a direção do gradi- ente, fornece-nos a derivada da função na direção de u^, a chamada derivada direcional, Du, como mostra a figura 23 a seguir : Duf = ∇ → f . u^ =|∇→f|| u^|cos(θ) = |∇→f|cos(θ) Podemos notar da igualdade Duf = |∇ → f|cos(θ) que o maior valor da derivada direcional ocorre quando θ = 0, ou seja, a maior derivada dire- cional é o próprio gradiente, o que nos revela uma importantíssima propriedade do gradiente: 30 UEA – Licenciatura em Matemática O gradiente aponta na direção de maior vari- ação da função. Embora tenhamos apresentado o gradiente em um exemplo bidimensional, ele é tridimen- sional em sua forma mais geral: Devemos também assinalar que o gradiente está definido para uma função f escalar; não existe gradiente de vetor, embora em várias aplicações seja importante saber o gradiente do módulo de um vetor. Duas das aplicações mais importantes do gra- diente na física estão na mecânica e no eletro- magnetismo. Na mecânica, podemos definir a força conservativa, → F como simétrica ao gra- diente da energia potencial mecânica W: → F = –∇→W No eletromagnetismo, de forma similar, define- se o campo elétrico → E gerado por um potencial elétrico φ: → E = –∇→φ 1. Ache a derivada direcional de f em P na dire- ção indicada a) f(x,y) = x2 – 5xy + 3y2; b) f(x,y) = x2ln(y); P(5,1), u^ = – x^ + 4 y^ c) f(x,y,z) = z2exy; P(–1,2,3), u^ = 3^ x + y^ – 5 z^ d) ; 2. Uma chapa de metal está situada no plano xy, de modo que a temperatura T em (x,y) seja in- versamente proporcional à distância da ori- gem, e a temperatura em P(3,4) é 100oF. a) Ache a taxa de variação de T em P na dire- ção de x^ + y^. b) Em que direção T aumente mais rapida- mente em P? c) Em que direção a taxa de variação é zero? 3. O potencial elétrico V em (x,y,z) é dado por V= x2 + 4y2 +9z2 a) Ache a taxa de variação de V em P(2-1,3) na direção de P para a origem. b) Ache a direção que produz a taxa máxima de variação de V em P. c) Qual a taxa máxima de variação em P? 4. A temperatura T(x,y,z) é dada por T = 4x2 – y2 +16z2. a) Ache a taxa de variação de Tem P(4,-2,1) na direção de 2^x + 6^ y – 3^z.. b) Em que direção T aumenta mais rapida- mente em P? c) Qual é esta taxa máxima de variação? d) Em que direção T decresce mais rapidamen- te em P? e) Qual é esta taxa de variação? 31 Cálculo II – Derivada direcional TEMA 02 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Muitas vezes, em problemas de aplicações, devemos achar os extremos de uma função de várias variáveis sujeita a um vínculo. Tomemos, como exemplo, o problema de acharmos o maior volume de uma caixa retangular sem tampa, de lados x, y e z, cuja superfície total seja de 12m2. Podemos ver que a função a ser maximizada é o volume V = xyz, e o vínculo (restrição) é que a área total seja de 12m2, ou seja, 2xz+2yz+xy =12. Do que já vimos até aqui, podemos dizer que a expressão 2xz+2yz+xy =12 representa uma curva de nível para a função superfície da cai- xa, pois representa todos os pontos de coor- denadas (x,y,z) para os quais o valor da função é constante e igual a 12. O método dos multiplicadores de Lagrange fornece-nos uma ferramenta eficiente para resolver problemas dessa natureza, com base no conceito de curva de nível (g(x,y) = k) e de gradiente de uma função. Comecemos com as funções de duas variáveis: em termos gerais, o vínculo aplicado à função, cujos extremos procuramos, restringe os valores das coor- denadas (x,y) àqueles pertencentes à curva de nível correspondente ao vínculo, ou seja, só nos interessaremos pelos valores da função que corresponderem a pontos que estiverem sobre a curva de nível que traduz o vínculo. Vejamos a figura Figura 24 – Curva de nível C, representando g(x,y) =k, e a representação em termos do parâmetro t, mostrando que ∇→f = λ∇→g O gráfico de g(x,y)= k é uma curva c no plano- xy. A curva C pode ser escrita em termo de componentes x =h(t) e y = m(t), em que t é um parâmetro, como o tempo em problemas de mecânica, mas que, em geral, pode ser um ângulo ou outra grandeza conveniente. Seja → r (t) = x^x + y^ y = h(t)^ x + m(t)^ y o vetor posição do ponto P(x,y) vem C (veja a figura 24, acima), e suponhamos que o ponto Po(xo,yo), em que f(x,y) tem um extremo, corresponda a t = to, isto é, → r (to) = xo^ x + yo^ y = h(to)^ x + m(to)^ y. Definindo F de uma variável t por F(t) =f(h(t),m(t)), vemos que, quando t varia, obtemos valores f(x,y) correspondem a (x,y) em C, isto é, f está sujeita ao vínculo g(x,y) = k; dessa forma, esta- mos considerando apenas os valores de f(x,y) que estão sobre pontos da curva C. Como f(xo,yo) é um extremo de f, segue-se que F(to) = f(h(to),m(to)) é um extremo deF(t). Assim, F’(to) = 0. Se encaramos F como uma função com- posta, então, pela regra da cadeia, Fazendo t = to, temos: Isso mostra que o vetor ∇→f(xo,yo) é perpen- dicular ao vetor → r’(to) tangente a C. Entretanto ∇→g(xo,yo) também é perpendicular a → r’(to) porque C é uma curva de nível para g. Como ∇→f(xo,yo) e ∇ → g(xo,yo) são perpendicula- res ao mesmo vetor, são paralelos entre si, isto é, ∇→f(xo,yo) = λ∇ → g(xo,yo) para algum λ. O número λ é chamado multiplicador de Lagran- ge. Voltemos, agora, ao problema da caixa com que abrimos esta discussão: sejam x, y e z o comprimento, a largura e a altura, respectiva- mente, da caixa em metros. Exemplo 1 Achar a caixa sem tampa de maior volume com superfície total de 12m2. Solução: Buscamos maximizar o volume V= xyz sujeito à restrição g(x,y,z) = 2xz+2yz+xy =12. 32 UEA – Licenciatura em Matemática Utilizando os multiplicadores de Lagrange, pro- curamos os valores de x, y, z e tais que ∇→V = λ∇→g e g(x,y,z) = 12. Partindo dessas condi- ções, geramos as equações: e 2xz+2yz+xy = 12, ou seja: (1) yz = (2z+y) (2) xz = (2z+x) (3) xy = (2x+2y) (4) 2xz+2yz+xy =12 Para resolver esse sistema de equações, va- mos lançar mão de alguns truques: observe que se multiplicarmos (2) por x, (3) por y e (4) por z, os lados esquerdos dessas equações ficam iguais. Assim temos que: (5) xyz = (2xz+xy) (6) xyz = (2yz+xy) (7) xyz = (2xz+2yz) Vê-se que 0 porque = 0 implicaria em ter yz = xz = xy = 0 em (1), (2) e (3), contradizendo a equação (4). De (5) e (6) temos: 2xz+xy = 2yz+xy que nos dá x = y. De (6) e (7) temos: 2yz+xy = 2xz+2yz, que dá 2xz = xy e portan- to y = 2z. Se substituirmos x = y =2z em (4), teremos: 4z2+4z2+4z2 = 12 sabendo que x, y, e z são todos positivos, temos que z =1, x = 2 e y = 2. Exemplo 2 Determine os valores extremos da função f(x,y) = x2 + 2y2 no círculo x2 + y2 = 1. Solução: Devemos achar os valores extremos de f (x,y) sujeita à restrição g(x,y) = x2 + y2 = 1. Utilizando os multiplicadores de Lagrange, re- solvemos as equações ∇→f = λ∇→g, g(x,y) = 1, que podem ser escritas como: , , e x2+y2 = 1 Elas resultam em: (8) 2x = 2x (9) 4y = 2y (10) x2+y2 = 1 A equação (8) dá-nos x = 0 ou =1. Se x = 0, então a equação (10) y = ±1. Se = 1, então a equação (9) dá-nos y = 0; assim, a equação (10) fornece x = ±1. Portanto os valores extremos de f(x,y) ocorrem nos pontos (0,1), (0,-1),(1,0), e (-1,0). Calculando f(x,y) nesses quatro pontos, temos: f (0,1) = 2 f(0,–1) = –2 f(1,0) = 1 f(–1,0) = 1 Portanto o valor máximo de f(x,y) no círculo x2+y2 = 1 é f(0,±1) = 2, o valor mínimo é f(±1,0) = 1. 1. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada: a) f(x,y) = x2-y2 ; x2+y2 =1 b) f(x,y,z) = xyz; x+y+z =100 c) f(x,y) = x2y ; x2+ 2y2 = 6 d) f(x,y,z) = x+y+z ; x2+ y2+z2 = 25 e) f(x,y,z) = x2+ y2+z2; x-y+z =1 f) f(x,y,z) = 2x+ 6y+10z; x2+ y2+z2 = 35 2. Deve-se construir uma caixa retangular fechada de 2m3 de volume. Se o custo por metro qua- drado do material para os lados, o fundo e a tampa é R$ 200, R$ 400,00 e R$ 300,00, 33 Cálculo II – Derivada direcional respectivamente, ache as dimensões que mini- mizam o custo. 3. Deve-se construir um depósito com tampa, em forma de cilindro circular reto e com área de superfície fixa. Mostre que o volume é máximo quando h = 2R. 4. Utilize multiplicadores de Lagrange para provar que o retângulo com área máxima, com perí- metro constante p, é um quadrado. 5. Determine as dimensões de uma caixa retan- gular de volume máximo tal que a soma de suas doze arestas seja um constante c. 6. Determine as dimensões da uma caixa retan- gular de maior volume se sua superfície total é dada como 64m2. UNIDADE III Integrais de linha 37 Cálculo II – Integrais de linha INTRODUÇÃO A integral de linha é uma generalização natural da integral definida , em que o intervalo [a, b] é substituído por uma curva, e a função integranda é um campo escalar ou um campo vetorial definido e limitado nessa curva. As integrais de linha são de uma importância fundamental em inúmeras aplicações, nomea- damente, em ligação com energia potencial, fluxo do calor, circulação de fluidos, etc. No que se segue, começaremos por apresen- tar os conceitos de curva e de comprimento de uma curva; em seguida, daremos a definição de integral de linha. Depois de enunciarmos as propriedades fundamentais da integral de linha, veremos a sua aplicação ao cálculo do trabal- ho realizado por uma força. TEMA 01 CAMINHOS E CURVAS Seja g uma função vectorial que toma valores em IRn e cujo domínio é um intervalo I ⊂ IR. À medida que a variável independente t percorre I, os correspondentes valores da função g(t) per- correm um conjunto de pontos de IRn, que con- stitui o contradomínio da função. Se a função tomar valores em IR2 ou em IR3, é possível visu- alizar, geometricamente, esse contradomínio. Exemplo 1 Seja g : IR → IR2 a função definida por: g(t) = (1 – 2t,1 +t) = (1, 1) + t(–2, 1) O contradomínio de g é a reta que passa pelo ponto (1, 1) e tem a direção do vetor (–2, 1). Se a função g é contínua em I, o contradomínio de g chama-se uma curva, mais concreta- mente, a curva descrita por g. Exemplo 2 A função f : IR → IR3 definida por: f (t) = (2t – 2 sent, 2 – 2 cos t, t) é contínua em IR. Temos apresenta a hélice descrita por f , isto é, o seu contradomínio. 38 UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo 3 O traço da curva é o segmento de reta de extremidade inicial (–1,0,2) e final (7,6,4). Exemplo 4 O arco de parábola y = x2, x∈[0,2] pode ser representado, parametricamente, por , ou seja, é o traço da curva γ : [0,2] → IR2, dada por γ(t) = (t,t2). Exemplo 5 A curva Tem por traço a cúbica Observe que, elimidando-se o parâmetro t, obtemos , logo (x,y) pertence ao traço de γ se, e só se, . Definição 1 Chama-se caminho em IRn qualquer função contínua definida num intervalo (limitado ou não) de números reais I e com valores em IRn. O contradomínio de um caminho chama-se cur- va ou arco. Se g : I → IRn é um caminho, diz–se que C = g (I) é a curva representada por g, e que g é uma representação paramétrica da curva C; como os pontos da curva são da forma g (t), com t ∈ I, a variável t é, habitualmente, designa- da por parâmetro da representação paramétri- ca considerada. Se g é um caminho definido num intervalo fechado e limitado I = [a, b], os pontos g (a) e g (b) chamam-se extremos do caminho g, respectivamente, o ponto inicial e o ponto final do caminho g. As propriedades da função g podem ser uti- lizadas para investigar as propriedades geo- métricas do seu gráfico. Em particular, a deri- vada g’ = (g’1,g’2,g’2,...g’n) está relacionada com o conceito de tangência, tal como no casodas funções reais de variável real. Veja-se qual o comportamento do quociente quando h → 0. Esse quociente é o produto do vetor g(t + h) – g(t) pelo escalar . Como tal, o numerador, g(t + h) – g(t), é paralelo ao vetor . Como já foi visto no Cálculo Diferencial em IRn, no caso de existir o limite de quando h → 0, tem-se ,e, se g’(t) = 0, o vetor g’(t) pode ser visto, geometricamente, como o vetor tangente à curva g no ponto g(t). )(')()(lim 0 tg h tghtg h = −+ → 39 Cálculo II – Integrais de linha Definição 2 Seja C ⊂ IRn uma curva parametrizada pelo ca- minho g : I → IRn. Se, para t ∈ I, a derivada g’(t) existe e é diferente do vetor nulo, a reta que passa por g(t) e tem a direção do vetor g’(t) designa-se por reta tangente a C no ponto g(t). Definição 3 Diz-se que um caminho g : I → IRn é de classe C1 se a função g é de classe C1 em I2. Um con- junto C ⊂ IRn é uma curva de classe C1 se existe um caminho de classe C1 que represen- ta, parametricamente, C. Exemplo 6 O caminho g : [–1, 1] → IR2 tal que g(t) = (t, t3), define uma curva de classe C1 pois g’(t) = (1, 3t2) é uma função contínua em t∈[–1, 1]. Definição 4 Um caminho g : [a, b] → IRn diz-se seccional- mente de classe C1 se o intervalo [a, b] puder ser decomposto num número finito de subin- tervalos em cada um dos quais o caminho é de classe C1. Uma curva diz-se seccionalmente de classe C1 se existir um caminho seccionalmen- te de classe C1 que a parametrize. Conclui-se que um caminho seccionalmente de classe C1 não pode deixar de ser contínuo. Exemplo 4 A união C = C1 ∪ C2 do arco de circunferência C1 de equação (x – 1)2 + y2 = 1, situado no 1.o quadrante, com o segmento de reta C2, que une os pontos (1, 1) e (2, 0), é uma curva sec- cionalmente de classe C1. Exemplo 7 A união C = C1 ∪ C2 do arco de circunferência C1 de equação (x – 1)2 + y2 – 1, situado no 1.o quadrante, com o segmento de reta C2, que une os pontos (1, 1) e (2, 0), é uma curva sec- cionalmente de classe C1. Com efeito, trata-se de uma curva que não é de classe C1 (não existe reta tangente no ponto (1, 1)), mas é a união de duas curvas de classe C1. Lembrando Seja r um natural. Diz-se que um campo escalar f é uma função de classe Cr num conjunto aber- to S quando admite derivadas parciais contí- nuas até a ordem r em todos os pontos de S. No caso de S não ser um conjunto aberto, diz–se que f é de classe Cr em S se existir uma função g de classe Cr num aberto que contenha S, tal que f (x) = g(x), ∀x∈S. Sendo g : I ⊂ IR → IRn uma função vetorial em que g = (g1, . . . , gn) , diz-se que g é Cr em I quando gi é de classe Cr em I, qualquer que seja i=1,..., n. Definição 5 Sendo g : I → IRn um caminho, diz-se que g é um caminho fechado se I é um intervalo fechado e limitado de extremos a e b e g(a) = g(b). Diz-se que o caminho não-fechado g é um caminho simples quando g é injetiva (isto é, g não assume o mesmo valor em quaisquer dois pontos distintos de I). O caminho fechado g diz-se um caminho sim- ples se g for injetiva no interior de I. Um con- junto C ⊂ IRn é uma curva fechada ou uma curva simples se existe, respectivamente, um caminho fechado ou um caminho sim- ples que o representa parametricamente. 40 UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo 8 A função g : [0, 8π] → IR3 definida por g(t) = (cost, sen t, t) é um caminho simples que representa um arco de hélice cilíndrica. Exemplo 9 Uma circunferência centrada na origem e de raio 2 tem por equação cartesiana a expressão x2 + y2 = 4. Nesse caso, uma representação paramétrica dessa circunferência pode ser da- da pela função f:[0, 2π] → IR2, com f (t) = (2 cos t, 2 sent). Esse é um exemp- lo de um caminho simples e fechado. Exemplo 10 A curva representada na figura abaixo pode ser definida, parametricamente, pelo caminho α : [0,1] → IR2, com α(t) = (t, t3) . Outras repre- sentações paramétricas da mesma curva são, por exemplo, β : [4, 6] → IR2, com , com λ(t) = (tgt,tg3t). Entre as diferentes representações paramé- tricas de uma curva, interessa identificar aque- las que correspondem apenas a uma mudança de escala do parâmetro. Definição 6 Sejam α : I → IRn e β : J → IRn dois caminhos em IRn. Os caminhos α e β dizem-se equivalentes se existe uma função bijetiva e continuamente diferenciável φ : I → J, tal que φ’ (t) ≠ 0 em todos com exceção dum número finito de pon- tos t∈I e α(t) = β [φ(t)], em todos os pontos de I. Se φ’(t) ≥ 0, diz-se que os caminhos têm o mesmo sentido; se φ’(t) ≤ 0, diz-se que os ca- minhos têm sentidos opostos; no primeiro ca- so, diz–se que a função φ preserva o sentido; no segundo caso, que inverte o sentido. Exemplo 11 Considerem-se os caminhos α : [0,1] → IR2, com α(t) = (t, t3) e β : [4, 6] → IR2, com definidos no exemplo 10 e a função φ : [0, 1] → [4, 6] tal que φ(t) = 2t + 4. Essa função é bijetiva, continuamente diferenciável e tem derivada não nula em todo o seu domínio (φ’(t) = 2, ∀t∈[0, 1]). Por outro lado, Pode-se, então, concluir que α e β são cami- nhos equivalentes com o mesmo sentido. 41 Cálculo II – Integrais de linha 1. Determine as representações paramétricas das seguintes curvas de IR2 e indique quais são sim- ples, fechadas ou seccionalmente de classe C1: a) y = x2, x∈[–1,1] b) y = 1 –|x|, desde (–1,0) até (1,0) c) x2 + y2 = 2 d) 4x2 + y2 = 1 2. Determine as representações paramétricas das seguintes curvas de IR3 : a) O segmento de reta que vai desde (0,0,0) até (1,1,1). b) O arco de parábola que vai desde (0, 0, 0) até (1, 1, 2). c) A curva definida pelas condições x2 + y2 + z2 = 4 e z = 1. TEMA 02 COMPRIMENTO DE CURVAS E CAMINHOS Como aplicação da integral definida em IR, já foi visto que o comprimento do gráfico C de uma função y = f(x), definida no intervalo [a, b], pode obter-se pela fórmula desde que f tenha derivada contínua em [a, b]. O objetivo desta seção é formalizar a noção de comprimento de uma curva. Esse conceito pode ser facilmente introduzido a partir da noção de comprimento de uma linha poligonal, definida como a soma dos comprimentos dos segmentos de reta que a constituem. Como a figura abaixo sugere, um valor aproxi- mado do comprimento da curva aí representa- da pode ser obtido marcando-se na curva um certo número de pontos e calculando-se o com- primento da linha poligonal cujos extremos são precisamente esses pontos. A intuição leva a supor que, se for inscrita na curva uma nova linha poligonal, pela adição de mais vértices, ter-se-á uma melhor aproxima- ção do comprimento da curva. Por outro lado, também é claro que o compri- mento de qualquer linha poligonal inscrita não deverá exceder o da curva, visto que uma linha reta é o caminho mais curto entre dois pontos! É, pois, natural, definir o comprimento de uma curva como o supremo do conjunto dos com- primentos de todas as linhas poligonais inscri- tas na curva. Definição 7 Seja g : [a, b] → IRn um caminho. Chama–se 42 UEA – Licenciatura em Matemática linha poligonal inscrita no caminho g a uma união de segmentos de reta cujos extremos são pontos consecutivos g(t0),g(t1),...,g(tn+1), com t0<t1<...<tn< tn+1. Diz-se que o caminho é reti- ficável se o conjunto dos comprimentos de li- nhas poligonais nele inscritas é majorado e, nesse caso, chama-se comprimento do cami- nho g ao supremo (isto é, ao menor dos majo- rantes) desse conjunto. Diz-se que uma curva é retificável se pode ser representada parametricamente por um cami- nho retificável e, nesse caso, chama-se com- primento da curva ao ínfimo dos comprimentos de todos os caminhos retificáveis que a repre- sentam parametricamente. O teorema seguinte estabelece uma condição suficiente para que um caminho seja retificávele indica a forma de calcular o seu comprimen- to. Deve-se referir, contudo, que a mencionada condição é igualmente necessária para que um caminho seja retificável. Teorema 1 Um caminho g: [a, b] → IRn de classe C1 é reti- ficável se ||g’|| é uma função integrável em [a, b]. Nesse caso, o comprimento de g entre g(a) e g(t) (a = t = b) é dado por Em particular, o comprimento de g é S = s(b) = ∫∫ba ||g’(t)||dt. Observação: A função ||g’(t)||representa a norma euclidiana de g’(t)(t∈[a, b]). Ter-se-á, portanto, . Demonstração: Para cada decomposição Δ do intervalo [a, b], a = t0 < t1 < · · · < ti–1 < ti < · · · < tn = b, o comprimento da linha poligonal inscrita na curva definida por g é dado por ||g(ti) – g(ti–1)|| é o comprimento do segmento da linha poligonal entre os pontos g(ti–1) e g(ti). Se o caminho for de classe C1, pode escrever- se, qualquer que seja a decomposição Δ, (1) A segunda igualdade é justificada pela apli- cação da fórmula de Barrow a cada uma das funções componentes de g. A desigualdade que lhe segue justifica-se pela seguinte pro- priedade: se f é um campo vetorial integrável no intervalo [a, b], então Note-se que quer g_(t) quer g_(t) são funções integráveis em no intervalo [a, b]. De (1),sai, então, que é um majorante dos comprimentos das linhas poligonais ins- critas em g, o que implica que o caminho g é retificável. Vejamos, agora, que o comprimento de g entre g(a) e g(t) (a = t = b) é dado por . 43 Cálculo II – Integrais de linha Seja o ponto A = O+g(a) a “origem dos arcos” e s(τ) o comprimento do arco de curva que vai desde o ponto A até ao ponto Q(τ) = O + g(τ), com τ,τ0∈[a,b] (ver figura acima). Supondo τ >τ0, tem-se donde (2) caso τ < τ0, tem-se e as desigualdades 2 mantêm-se válidas. Por outro lado, uma vez que a norma é uma função contínua, tem-se (3) adicionalmente é válida a igualdade (4) pois, pelo teorema da média, Consequentemente, o enquadramento (2) e as igualdades (3) e (4) implicam que e, como τ0é qualquer valor do intervalo [a, b], conclui-se que s é uma função derivável do parâmetro t que verifica (5) s’(t) = ||g’(t)||, ∀t∈[a,b]. Assim, para a ≤ t ≤ b, e, em particular, o comprimento de toda a curva é dado por Deve-se referir que o comprimento de uma cur- va de classe C1 é independente da respectiva parametrização. Com efeito sejam α : I = [a, b] → IRn e β : J = [c, d] → IRn duas parametriza- ções equivalentes de uma mesma curva. Seja φ : I → J uma função bijetiva e continua- mente diferenciável tal que φ’ (t) ≠ 0 em todos, com exceção dum número finito de pontos t ∈I e α(t) = β[φ(t)], em todos os pontos de I. Note- se que se φ é bijetiva, então, ou φ’(t) ≥ 0 ou φ’(t) ≤ 0 ∀t ∈I. Suponha-se, por exemplo, que φ’(t) = 0. Então, tendo em conta o teorema da mu- dança de variável na integral definida, deduz- se sucessivamente, Note-se que ||β’(u)|| é uma função contínua e φ é continuamente diferenciável, tal que φ (a) ≤ φ (b). Observação 1 s(t) diz-se a função comprimento de arco. O diferencial de s, dado por ds = ||g’(t)||dt. Observação 2 No caso de um caminho g : [a, b] → IR2 com g(t) = (x(t), y(t)) e t ∈[a, b], tem–se e . Observação 3 No caso de um caminho g : [a, b] → IR3 com g(t) = (x(t), y(t), z(t)) e t ∈[a, b], tem-se e Então, o comprimento s do caminho g é dado por 44 UEA – Licenciatura em Matemática . Observação 4 No caso de uma curva em IR2 ser dada explici- tamente por uma função real de variável real y=f(x), com a = x = b, pode parametrizar-se a curva por meio das equações . Nesse caso, admitindo que f tem derivada con- tínua em [a, b], tem-se , donde o comprimento s da curva é dado por , que é precisamente o resultado apresentado no início desta seção. Exemplo 12 Calcular o comprimento do arco da catenária definido parametricamente pela função g : [0, 1] → IR2 com g(t) = (t, cosh t). Como g’(t) = (1, senh t), o comprimento do arco da catenária será Exemplo 13 Determinar o comprimento do arco da hélice helicoidal definido parametricamente pela função f : IR → IR3 com f (t) = (2et cos t, 2et sen t, 2et), desde (2, 0, 2) até (–2eπ, 0, 2eπ). Nesse caso, é fácil verificar que as extremida- des da curva correspondem aos valores 0 e π do parâmetro t. De fato, f(0) = (2, 0, 2) e f(π) = (–2eπ, 0, 2eπ). Por outro lado, f’(t) = (2et(cos t – sen t), 2et(sen t + cos t), 2et) e, portanto, . O comprimento pedido é então: Hélice helicoidal. 1. Determinar o comprimento dos seguintes ar- cos de curvas: a) g(t) = (et cos t, et sen t), t∈[0,2] b) y = ln x, x∈⎣ , ⎦ c) γ(t) = [a(t – sent), a(1 – cost)], t∈[0,2π] d) γ(t) = (t cost, sent,t), t∈⎣0, ⎦ e) 45 Cálculo II – Integrais de linha TEMA 03 DEFINIÇÃO DE INTEGRAIS DE LINHA Para tornar mais clara a definição de integral de linha, tenha-se em atenção o que segue. Seja C uma curva do plano unindo dois pontos A e B, definida parametricamente por um cami- nho g : [a, b] → IR2 seccionalmente de classe C1. Considerem-se em C os pontos A = P0, P1, . . . , Pi–1, Pi, . . . , Pn = B, correspondentes a uma partição do intervalo [a, b], a = t0 < t1 < .. . < ti–1 < ti < .. . < tn = b, isto é, tais que Pi = g(ti), i = 0, 1, . . . , n. Seja ainda ϕ um campo escalar contínuo definido num domínio D ⊂ IR2, contendo a curva C, e suponhamos que aque- la função é positiva em D, ou seja, ϕ(x,y) ≥ 0, ∀(x, y)∈D. Considere-se, agora, a soma Σni=1ϕ(Qi)Δsi em que ΔSi = s(ti) – s(ti – 1) com (i = 1,2,3,...,n) é o comprimento do arco Pi–1Pi e Qi é um ponto arbitrário escolhido nesse arco. Como a figura a seguir mostra, ϕ(Qi)ΔSi é a área de uma “faixa” com base do arco Pi–1Pi no plano XOY e altura ϕ(Qi). É, então, evidente que Σni=1ϕ(Qi)Δsi constitui uma proximação da área da superfície cilíndrica S de diretriz C e geratriz paralela ao eixo OZ, situada entre o plano XOY e o gráfico de ϕ (ver figura abaixo). Intuitivamente, é fácil aceitar que, no caso de existir e ser finito o li- mite de Σni=1ϕ(Qi)Δsi quando n → ∞ e σ = maxi |ti – ti–1| ? 0, esse limite deverá coincidir com a área de S. Ora, caso não dependa da decom- posição de [a, b] nem da escolha dos Qi, esse limite é precisamente a integral de linha de ϕ sobre a curva C relativamente ao comprimento de arco s. Essa integral é designada, habitual- mente, por integral de linha de 1.a espécie e re- presenta-se por , isto é, . Interpretação Geométrica da Integral de linha. Admitindo-se que a integral de linha existe, vejamos como o seu cálculo se pode fazer, recorrendo a uma integral definida no intervalo [a, b]. Uma vez que função comprimento de arco s(t) é contínua e derivável em [a, b], o teorema de Lagrange implica que (6) ΔSi = s(ti) – s(ti–1) = s’(ξi)(ti – ti–1), para algum ξi∈]ti–1 , ti[. Considerando a soma conclui-se de (6) que (7) , sendo de notar que o 2.o membro dessa igual- dade é uma soma de Riemann da função ϕ.s’ no intervalo [a,b] relativamente à decom- posição considerada. Como essa função é contínua, pode-se garan- tir a existência da sua integral de Riemann no intervalo [a, b], tendo-se, portanto, atendendo a (5). Passando ao limite ambos os membros de (7), deduz-se que Como o limite do 1.o membro não pode deixar 46 UEA – Licenciatura em Matemática de ser , conclui-se que para calcular essa última integral bastará calcular a integral definida Vimos atrás que, sendo ϕ uma função positiva definida em IR2 e C uma curva do plano XOY, a integral de linha pode ser interpretada geo- metricamente como a área de uma superfície. Mas, geralmente, supondo que ϕ é um qual- quer campo escalar definido em IRn e C uma qualquer linha do mesmo espaço, a integral de linha de 1.a espécie define-secomo segue: Definição 8 Seja ϕ um campo escalar contínuo cujo domí- nio contém uma curva C representada para- metricamente por um caminho g : [a, b] → IRn, seccionalmente de classe C1. A integral, , dado por diz-se a integral de linha de ϕ sobre C relativo ao comprimento de arco s definido pelo cami- nho g. Exemplo 14 Calcular a área da superfície lateral do sólido limitado superiormente pelo plano de equação z = 1–x–y e inferiormente pelo círculo do plano z = 0. Solução: A curva que no plano XOY limita a superfície é a circunferência . Designando essa curva por C e representando- a parametricamente pelas equações , tem-se que a área pe- dida é igual a As integrais de linha relativos ao comprimento de arco surgem, muitas vezes, ligadas a pro- blemas relacionados com a distribuição de uma grandeza escalar (massa, carga elétrica, etc) ao longo de uma curva. Supondo, por exemplo, que um filamento com a configuração de uma curva em IR3 tem den- sidade de massa por unidade de comprimento dada por um campo escalar ϕ (isto é, ϕ(x,y,z), que é a massa por unidade de comprimento no ponto (x,y,z) de C), então a massa total do filamento é definida por O centro de massa do filamento é definido como o ponto (x,y,z), cujas coordenadas são determinadas pelo sistema de equações: Exemplo 15 Calcular o centro de gravidade do arco de semi- circunferência C = {(x,y): x2 + y2 = r2, y ≥ 0} supondo que em todos os pontos de C a den- sidade de massa por unidade de comprimento é constante (ver figura a seguir). Solução: Seja ϕ(x,y) = ρ = const. a densidade de mas- sa por unidade de comprimento em cada pon- to (x,y) do arco de semicircunferência C. Considerando a parametrização de C, g(t) = (r cos t, rsen t), t∈[0,π], tem-se que a massa de C é dada por 47 Cálculo II – Integrais de linha Centro de gravidade de semicircunferência. Então, as coordenadas do centro de gravidade são dadas por: Isto é, . A definição de integral de linha que agora se apresenta é relativa a campos vetoriais e intro- duz a habitualmente designada integral de linha de 2.a espécie. Definição 9 Seja C uma curva representada parametrica- mente por um caminho g : [a, b] → IRn, sec- cionalmente de classe C1, e f um campo veto- rial definido em C, que toma valores em IRn. Chama-se integral de linha de f ao longo do caminho g à integral (8) sempre que a integral da direita exista. (Na igualdade anterior, “.” representa a operação de produto interno.) Observação 5 Se A = g(a) e B = g(b), a integral pode ser expressa por ∫BAf.dg; quando essa notação é usada, há de se ter em conta que a integral depende não só dos seus extremos, mas também do caminho que os liga! Se A = B, isto é, se C é fechado, é cos- tume representar a integral de linha de f ao longo de g pelo símbolo . Quando f e g são expressos pelas suas com- ponentes, isto é, f = (f1, f2,...,fn) e g = (g1, g2,...,gn), a igualdade (8) escreve-se na forma No caso bidimensional, a curva C é habitual- mente descrita por um par de equações para- métricas do tipo , e a integral de linha escreve-se na forma No caso tridimensional, a curva C é habitual- mente descrita por três equações paramétricas do tipo , e a integral de linha escreve-se na forma Exemplo 16 Seja f o campo vetorial definido por para todos os pares (x,y)∈IR2 tais que y ≥ 0. 48 UEA – Licenciatura em Matemática Calcular a integral de linha de f de (0,0) até (1,1), ao longo de cada um dos seguintes ca- minhos: 1. o segmento de reta de equações paramétri- cas x = t, y = t, 0 ≤ t ≤ 1; 2. o caminho com equações paramétricas x = t2, y = t3, 0 ≤ t ≤ 1. Solução: No caso da alínea (a), tem-se g’(t) = (1,1) e . Então, o produto interno f[g(t)].g’(t) é igual a , donde No caso da alínea (b), tem-se g’(t) = (2t, 3t2), e A integral pedida será, portanto, Esse exemplo mostra que a integral, desde um ponto até outro, pode depender do caminho que liga os dois pontos. Repare, no entanto, que se efetuar o cálculo do segundo integral, utilizando a mesma curva, mas com uma outra representação paramétrica, por exemplo, , com 0 = t = 1, tem-se , e a integral é igual a como anteriormente. Esse fato ilustra a independência do valor da integral de linha re- lativamente à representação paramétrica uti- lizada para descrever a curva. Recordemos que tal propriedade já tinha sido observada quando se definiu a noção de comprimento de arco. Seja C uma curva de classe C1 parametrizada por g:[a,b] → IRn tal que g’(t) ≠ 0, para qualquer t∈[a,b] (uma curva nessas condições diz-se regular). Mostra-se seguidamente que a inte- gral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva regular não é mais do que a integral de linha de um certo campo escalar relativo ao comprimento de arco. Seja, então, f um campo vetorial, e ϕ o campo escalar definido por ϕ[g(t)] = f[g(t)].T(t), isto é, pelo produto inter- no de um campo vetorial f definido em C com o vetor unitário tangente . Então, Interpretemos fisicamente : se f caracteri- zar o escoamento de um fluido (ou seja, se f for um campo de velocidades), f. T traduzirá a com- ponente tangencial desse escoamento em cada ponto da linha C, constituindo uma medi- da do escoamento do fluido na direção de T, em cada ponto da referida linha; assim, se C for uma curva fechada, a integral de linha ∫Cf.dg = ∫Cf . Tds representará uma medida do escoamento do fluido ao longo da linha C, medida essa que se designa por circulação. 1. Calcule ∫Cf(x,y)ds, ∫Cf(x,y)dx e ∫Cf(x,y)dy em que: a) e C é a curva parametrizada por , com t∈[0,4] b) f(x,y) = x3 + y e C é a curva y = x3, com 0 < x < 1. 2. Calcule as áreas das superfícies cilíndricas si- tuadas entre as curvas do plano XOY e as superfícies indicadas: a) Curva y = x2, x∈[0,2] e superfície . b) Curva e superfície . c) Curva x2 + y2 = ax(a > 0) e superfície z = x – z. 3. Considere um fio com a forma da hélice de equações 49 Cálculo II – Integrais de linha Calcule a massa do fio, sabendo que em cada ponto (x,y,z) a densidade linear do fio é dada por . 4. Calcule a massa do segmento de curva y = ln x que une os pontos (1,0) e (e,1) se a densidade linear em cada ponto for igual ao quadrado da abscissa do ponto. 5. Calcule ∫C4(xy2)dx – 3x4dy, em que C é a linha poligonal que une os pontos (0,1),(–2,1) e (–2,0). 6. Calcule , em que C é a circunferência x2 + y2 = 4, orientada no senti- do positivo. UNIDADE IV Integrais múltiplas 53 Cálculo II – Integrais múltiplas UM BREVE HISTÓRICO RIEMANN Nasceu no dia 17 de setembro de 1826, em Breselenz, Alemanha. Era filho de um ministro luterano e teve uma boa instrução, estudando em Berlim e Göttingen, mas em condições muito modestas por causa de sua saúde frágil e de sua timidez. Aos 19 anos, Riemann foi, com todo o apoio do pai, para a Universidade de Göttingen, estudar teologia com o objetivo de tornar-se clérigo. Mais tarde, pediu permissão ao pai e mudou o foco dos seus estudos para a Matemática, transferindo-se, um ano depois, para a Univer- sidade de Berlim, onde atraiu o interesse de e Jacobi. Em 1849, retornou a Göttingen, onde obteve o grau de doutor em 1851. Sua brilhante tese foi desenvolvida no campo da teoria das funções complexas. Nessa tese, encontram-se as cha- madas equações diferenciais de Cauchy- Riemann – conhecidas, porém, antes do tempo de Riemann – que garantem a analiticidade de uma função de variável complexa e o produti- vo conceito de superfície de Riemann, que introduziu considerações topológicas na aná- lise. Três anos mais tarde, foi nomeado Privatdozent, cargo considerado o primeiro degrau para a escalada acadêmica. Com a morte de Gauss em 1855, Dirichlet foi
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