PC1_Matéria_jan2013

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PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO 
 
1 CONCEITOS INTRODUTÓRIOS: FUNÇÕES E SÉRIES 
1.1 Série de Fourier 
0n
n´nn´n´´2´
Tn
n!
(a)fa)(x
n!
(a)fa)(x
...
2!
(a)fa)(x
1!
(a)fa)(x
0!
f(a)
(x)f(x)P
 
 
1.2 Série de McLaurin 
 
É a S.T. para a = 0 para x  0. 
0n
n´nn´n´´2´
Mn
n!
(0)fx
n!
(0)fx
...
2!
(0)fx
1!
(0)fx
0!
f(0)
(x)f(x)P
 
 
Exemplos 
 
E1) Desenvolver em SML f(x) = e
x
 e calcular e
0,1
, o erro e avaliar o resultado utilizando: 
a) apenas os 3 primeiros termos; 
b) apenas os 4 primeiros termos; 
Solução: 
 
f(x)=e
x
  f(0) = e0 = 1 
f
´
(x)=e
x
  f´(0) = e0 =1 
 
f
n´
=e
x
  fn´(0) = e0 =1 
 fM(x) = e
x
 = 1 + x/1! +x
2
/2! + . . . + x
n
/n!; n=0,1,2,...,∞ 
 
NOTA 
N1) SEMPRE haverá erro ( ), pois não é possível tomarem-se os ∞´s termos! 
N2) O erro será tanto maior quanto mais afastado da vizinhança de a=0 for tomado o valor de x. 
N3) É possível minimizar o valor do erro trabalhando-se com um n
o
 maior de termos. 
 
 
a. e
0,1
 com 3 termos  
e
0,1
=1 + (0,1)/1 + (0,1)
2
/2 = 1,105 
Mas o valor verdadeiro para 7 casas decimais é 0,1051709, logo o erro ( ) é de -0,0001709 
 
b. e
0,1
 com 4 termos  
e
0,1
=1 + (0,1)/1 + (0,1)
2
/2 + (0,1)
3
/6= 1,10517 
O erro é de -0,0000009 
 
 
E2) Desenvolver em SML f(x) = e
x
 e calcular e
0,2
, o erro e avaliar o resultado utilizando 4 casas decimais. 
Solução: 
 
e
0,2
 =1 = (0,2)/1 = (0,2)
2
/2 + (0,2)
3
/6 = 1,2213 
 
Logo = 1,2213 – 1,22140 = -0,00010 
 
E3) Desenvolver em SML f(t) = sen( t). 
Solução: 
 
f(t) = sen( t)  t = 0  f(0) = sen(0) = 0  f(0) = 0 
f
´
(t) = + cos( t)  t = 0  f´(0) = cos(0) =  f´(0) = + 
f
´´
(t) = [- sen( t)] = -
2
sen( t)  t = 0  f´(0) = - 2 sen(0) = 0  f´´(0) = 0 
f
´´
(t) = -
2
[ cos( t)] = -
3
cos( t)  t = 0  f´(0) = - 3 cos(0) = - 3  f´´´(0) = - 3 
f
´´´´
(t) = -
3
[- sen( t)] = +
4
sen( t)  t = 0  f´´´´(0) = + 4 sen(0) = 0  f´´´´(0) = 0 
 
...
5!
t)(α
3!
t)(
1!
t)
...
4!
0t
.
3!
α)(t
2!
0t
1!
αt
0!
0
sen(α
533332
(
)t
 
 
E4) Desenvolver em SML f(t) = cos( t). 
Solução: 
Analogamente, resultará em: 
 

4!
t)(α
2!
t)(α
1!
1
t)cos(α
42
 
 
E5) Desenvolver em SML f(t) = e
t
. 
Solução: 
 
f(t) = e
t
  t = 0  f(0) = e 0 = e0 = 1  f(0) = 1 
f
´
(t) = e
t
  t = 0  f´(0) = 
f
´´
(t) = e
t
  t = 0  f´(0) = 2 
f
´´´
(t) = e
t
  t = 0  f´(0) = 3 
 
Substituindo na equação genérica: 
 
 
0 n
n3322´´´3´´2´
n!
t)(
...
3!
αt
2!
αt
1!
αt
0!
1
...
n!
(0)ft
2!
(0)ft
1!
(0)ft
0!
f(0)t
e
 
 
 
Se for escolhido = t = 1  veja o que ocorre, é curioso ... 
 
 
Assim sendo, 
...
3!
α)(t
2!
α)(t
tα1...
3!
αt
2!
αt
1!
αt
0!
1t
e
323322 
 
Logo, fazendo = j , onde 
1j1j
2
  = +j 
  2 = - 2 
  3 = -j 3 
  4 = + 4 
  5 = +j 5 
  6 = - 6 
Então: 
 

7!
t)(β
j
6!
t)(β
5!
t)(β
j
4!
t)(β
3!
t)(β
j
2!
t)(β
tjβ1
tj
e
αt
e
765432 ou, em termos de 
sen( t) e de cos( t): 
 
t)jsen(t)cos(
7!
7t)(β
5!
5t)(β
3!
3t)(β
tβj
6!
6t)(β
4!
4t)(β
2!
2t)(β
1
tj
e
αt
e 
 
 
 
1.3 Fórmulas de Euler 
 
t)jsen(t)cos(
t
e
j e 
t)jsen(t)cos(
tj-
e
 
 
2
tj-
e
tj
e
t)cos(
 e 
j2
tj-
e
tj
e
t)sen(
 
 
 
1.4 Comportamento de funções 
 
Exemplo 
 
E1) Seja a seguinte função: 
 
 
 
f(t
1 
1 
 
Determinar : 
a. g(t) = f(t/2) ; 
b. h(t) = f(-t) ; 
c. i(t) = f(t-3) ; 
d. j(t) = 2f(t) ; 
e. k(t) = -f(t) ; 
f. l(t) = f(t)-2 ; 
 
Solução: 
a) g(t) = f(t/2) 
 
g(t
1 
2 
 
b) h(t) = f(-t) 
 
h(t
1 
-
 
c) i(t) = f(t-3) 
 
i(t) 
1 
3 4 
 
d) j(t) = 2f(t) 
 
j(t
2 
1 
 
e) k(t) = -f(t) 
 
k(t
1 
-
 
f) l(t) = f(t)-2 
 
l(t) 
-1 
1 
-2 
 
 
1.4.1 Forma geral de funções senoidais 
 
 
 
onde: 
A0 = amplitude; 
 = pulsação ou freqüência angular; 
 = fase inicial. 
T =- período = 2 / . 
y = A0sen( t + )  
f(t) 
2 
0 
t 
A0 
-A0 
 
 
 
1.5 Valor médio de uma função 
 
 
a b 
f(b) 
f(a) 
áreas 
Área do quadrado = área da figura orignal no intervalo 
ym 
 
A = 
b
a
f(t)dt
 = (b - a) ym  ym = b
a
f(t)dt
/(b – a) 
 
 
Exemplo 
 
E2) Achar o valor médio da função: 
 
 
f(t) 
t 
T 2 32T 
A 
T 
ym 
 
1.6 Propriedades de função 
1.6.1 Função Par 
 
Definição: f(t) = +f(-t) 
 
Por exemplo função cos(t): 
 
 
1.6.2 Função Ímpar 
 
Definição: f(t) = -f(-t) 
 
Por exemplo função sen (t): 
 
 
1.6.3 Propriedades sobre paridade de funções 
 
P1) O produto ou o quociente de 2 funções pares resulta numa função par: 
P2) O produto ou o quociente de 2 funções ímpares resulta numa função par: 
P3) O produto ou o quociente de 1 função par com 1 função ímpar resulta numa função ímpar 
P4) 
a
0
a
a-
fp(t)dtfp(t)dt 2 . 
 
 
P5) 0
a
a-
fi(t)dt . 
 
 
1.6.4 Decomposição de um função em componente par e componente ímpar 
 
Sejam as funções genéricas f(t) e f(-t) escritas em termos de suas componentes pares e ímpares: 
 
Logo : fp(t) = [f(t) + f(-t)]/2; e fi(t) = [f(t) - f(-t)]/2 
 
NOTA 
 
Se f(t) ≠ +f(-t) e se f(t) ≠ -f(-t)  a função f(t) NÃO É PAR NEM ÍMPAR 
 
Exemplo 
 
E3) Achar as componentes par e ímpar da função f(t) = e
t
. 
Solução: vejam que curioso um dos resultados ... 
 
 
1.7 Analogia ente vetores e sinais 
 
Sejam os seguintes vetores e e o vetor erro assim dispostos: 
 
 
v1 
ve 
v2 
 
Podemos escrever o vetor como sendo uma Combinação Linear dos vetores e ; a figura a seguir ilustra 3 
situações para tal CL: 
 
v1 
ve 
v2 
ve3 ve2 ve1 
C1v2 
 
C2v2 
 
C3v2 
 
 
 
NOTAS 
 
N1) O vetor erro ( ) é menor em , pois e são perpendiculares; 
 
N2) Genericamente, o valor de C é escolhido de forma que o vetor erro seja mínimo; 
 
N3) A forma vetorial geral é 
 
N4) Sabe-se que: 
cosABBA
  
212
B
BA
C
 
 
 
Analogamente,: 
2
2
21
12
v
vv
C
. 
 
Desta forma, nota-se que se e são perpendiculares entre si, então = 0. 
 
1.8 Sinais 
 
Analogamente, tem-se que: 
2
1
2
1
)(
)()(
2
2
21
12 t
t
t
t
dttf
dttftf
C
 
 
 
Exemplos 
 
E4) Sejam f1(t) e f2(t) dadas a seguir, determinar C12, ou seja, verificar se f2(t) tem componente em f1(t). 
 
 
ou seja: 
22/3;1
2/32/;1
2/0;1
)(1 t
t
tf
 e 
)1cos()(2 ttf
 
/
 
3 /
2 0 
f1(t) 
t 
f(t
/
 
3 /
2 0 
f1(t) 
t 
 
Solução: 
2
0
2
2/
0
2/3
2/
2
2/3
2
2
21
12
)(cos
)cos()1()cos()1()cos()1(
)(
)()(
2
1
2
1
dtt
dttdttdtt
dttf
dttftf
C
t
t
t
t
 
2
)2cos(
2
1
)(cos2
t
t
 
 
 
4)]1(0[)11()01(
2
)2(
2
)()()(
2
0
2
0
2
2/3
2/3
2/
2/
0
12
tsent
tsentsentsen
C
 
 
Logo, f1(t) tem uma componente de f2(t)=cos(t), com amplitude C12 = /4. Graficamente, tem=se que : 
 
 
/
 
3 /
2 0 
t 
4/ 
1 
-1 
-
 
1.8.1 Generalização de sinaisGeneriamente, podemos aproximar uma função por uma combinação linear de n funções ortogonais entre si, onde: 
 
kjsektg
kjsetgtg
j
t
t
j
t
t
kj
;)(
;0)()(
3
2
3
2
2
 
Exemplo 
 
E5) Seja f(t) dada a seguir e 
g(t) = C1cos(1t) + C2cos(2t) + . . . + Cncos(nt) 
Determinar todos os Cn, ou seja, verificar se f2(t) tem componentes em f1(t). 
 
 
/
 
3 /
2 0 
f1(t) 
t 
 
Solução: 
 
2
0
2
2/
0
2/3
2/
2
2/3
2
2
21
)(cos
)cos()1()cos()1()cos()1(
)(
)()(
2
1
2
1
dtnt
dtntdtntdtnt
dttf
dttftf
C
t
t
t
t
n
 
 
2
0
2
0
2
2/3
2/3
2/
2/
0
2
)2(
2
1
2
)(
1
)(
1
)(
1
ntsen
n
t
ntsen
n
ntsen
n
ntsen
n
Cn
 
n
nsennsen
nsennsennsennsensennsen
nCn
)2/3()2/(2
)2/3()2()2/()2/3()0()2/(
1
 
 
 
. . .tt) ( tt) ( tt) (t g(t) )7cos(
7
4
6cos0)5cos(
5
4
4cos0)3cos(
3
4
2cos0)1cos(
1
4 
 
E6) Seja f(t) dada a seguir e 
g(t) = C1sen(1t) + C2sen(2t) + . . . + Cnsen(nt): 
a. determinar os todos os Cn, ou seja, verificar se f2(t) tem componentes em f1(t); 
b. avaliar o ξ para 1, 2 e 3 termos não nulos. 
 
 
 
 
/
 
3 /
2 0 
f1(t) 
t 
 
Solução: 
a) 
 
n
Cn
4
 
 
. . .tsent) sen( tsent) sen( tsent) sen(tsen g(t) )7(
7
4
60)5(
5
4
40)3(
3
4
20)1(
1
4
 
 
 
b) Avaliação do erro (ξ) 
 
 
 2
1
2
1
22
1
12
2
12
2 11
t
t
nn
t
t
ee KCdttf
tt
tf
tt
tf })({
)(
)(
)(
)(
 
 
 
Então o erro fica na forma simplificada, ou seja: 
 
2)1()1()(
2
0
2
2
0
2
2
0
2
1 ttdtdtdttf
 
 
 
2
0
2 )( dtntsenKn 
 
n
Cn
4 
Para 1 termo não-nulo (n = 1)  
 
Para 2 termos não-nulos (n = 3)  
 
Para 3 termos não-nulos (n = 5)  
 
 
1.9 Série Triginométrica de Fourier e Série Exponencial de Fourier 
 
1.9.1 Série Trigonométrica de Fourier (STF) 
Seja uma série trigonométrica genérica: 
 
)()2()()cos()2cos()cos()( 00201002010 tnsenbtsenbtsenbtnatataatf nn  
para o intervalo I = [t0,t0 + 2 / 0] ou I = [t0,t0 + T] . 
Sinteticamente, tem-se que: 
 
1
000 )()cos()(
n
nn tnsenbtnaatf
 
 
Onde: 
Tt
t
Tt
t
n
Tt
t
Tt
t
n
dttnsen
dttnsentf
b
dttn
dttntf
a
0
0
0
0
0
0
0
0
)(
)()(
)(cos
)cos()(
0
2
0
0
2
0
 
 
 
E, onde: 
 
Tt
t
dttf
T
a
0
0
)(
1
0 
 
Também, sabe-se que : 
2
)()(cos
0
0
0
0
0
2
0
2 Tdttnsendttn
Tt
t
Tt
t
 
 
 
Então: 
Tt
t
n
Tt
t
n
dttnsentf
T
b
dttntf
T
a
0
0
0
0
)()(
2
)cos()(
2
0
0
 
 
 
 
1.9.2 Série Exponencial de Fourier (SEF) 
O conjunto de funções tjne 0 , com n = 0, ±1, ±2, ... é ortogonal num intervalo I = [t0,t0 + T]. 
 
),(;)( 00
1
0 ttparaeFtf
n
tjn
n
, onde: 
 
dtetf
T
F
Tt
t
tjn
n
0
0
0)(
1 
 
Exemplo 
 
E7) Seja f(t) dada a seguir, expandi-la em STF e SEF. 
 
 
A 
f(t
t 
1 
 
Solução: 
 
STF  )2()4()2()2cos()4cos()2cos()( 21210 tnsenbtsenbtsenbtnatataatf nn  
 
 
0)2cos(
1
2 1
0
dtntAtan
 
n
A
dtnttsen
A
bn
1
0
)2(
1
2
 
 
1
)2(
2
)6(
3
)4(
2
)2(
2
)(
n n
ntsenAA
tsen
A
tsen
A
tsen
AA
tf 
 
 
SEF  
1
0)(
n
tjn
neFtf
 
 
dteAtdtetf
T
F
tjn
t
tjn
n
Tt 1
0
0
0
0
0
1
1
)(
1 
t A
Atdtdttf
T
a
0
1
0
0
21
1
)(
1
 
Mas, deve-se notar que existe uma correlação (ver fórmulas de Euler) entre os coeficientes da STF e da SEF, ou seja: 
 
a0 = F0 F0 = a0 
 
)(
2
1
nnn jbaF
 
 
Então: 
2
00
A
aF
 
 
n
A
n
A
nnn jjjbaF 2)](0[
2
1
)(
2
1
 
 
0
21
22
)(
n
n
tnje
n
A
j
A
tf
 
 
 
 
E8) Seja f(t) dada a seguir, expandi-la em STF e SEF. 
 
 
+V 
T T 
t 
f(t
-V 
-T/4 +T/4 +3T/4 
T 
 
Solução: 
00a
 
)()(3 2
3
2
nn
n sensen
n
V
a
 e 
0nb
 
 
 
E9) Seja f(t) (comumente chamda trem de pulsos retangulares) dada a seguir, expandi-la em SEF. 
 
 
 
Solução: 
 
22
22
;0
;
)(
Tt
tA
tf
 
 
 
)(
2
0n
n Sa
T
A
F
 
 
Então: 
n
tjn
T
n eSa
T
A
tf 0)()(
 
 
 
 
T T 
t 
A 
f(t) 
 
A/
- +40
 
F( ) 
 
 
A/10 
-
40 
+40
 
 
F( ) 
 
 
A/20 
-40/ 
F( ) 
-40/ 
 
 
 
 
 
 
2 Transformada de Fourier 
 
dtetftfF tj)()]([)( F
   
deFFtf tj)(
2
1
)]([)( 1F
 
 
 
2.1 Transformada de Fourier das principais funções 
2.1.1 Função coseno 
 f(t) = cos(ω0t) F(ω)= [ (ω+ω0) + (ω - ω0)] 
2.1.2 Função seno 
 f(t) = sen(ω0t) F(ω)=j [ (ω+ω0) - (ω - ω0)] 
2.1.3 Função constante 
 f(t) = A F(ω)=2 A (ω) 
2.1.4 Função Delta de Dirac 
 f(t) = (t) F(ω)=1 
2.1.5 Função Degrau Unitário 
 f(t) = u(t) F(ω)= (ω)+1/j ω 
2.1.6 Função Rampa Unitária 
 f(t) = r(t) F(ω)=j (ω)-1/ω
2
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
E10) Seja f(t) o sinal exponencial unilateral e
-at
•u(t), determinar a Transformada de Fourier (F( )). 
 
Solução: 
 
)()( tuetf at
 
 
dtetuedtetfF tjattj ).()()(
 
 
)()(
(
11
)(
)(
22
Fe
aja
F a
jarctg
 
 
onde: 
)()(
)(
1
)(
22
a
arctg
a
F
 
 
O esboço final do módulo e da fase fica: 
 
 
 
)(
1
)(
22a
F
 
)()(
a
arctg
 
 
 
 
 
 
+a 
 
 
 
0 
 
 
 
-a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E11) Seja f(t) o sinal exponencial bilateral e
-a|t|
, determinar a Transformada de Fourier (F( )). 
 
Solução: 
 
||)( taetf
 
 
dteedtetfF tjtatj ||)()(
 
 
22
2
)(
a
a
F
 
 
onde: 
)(
)(F 
 
 
3 Convolução 
 
 
Exemplo 
 
E1) Sejam f1(t) e f2(t), faça a convolução e esboce o gráfico final do resultado. 
 
 
 
t t 
1 
- 1 
1 
1 
f1(t) 
f2(t) 
 
Solução: 
 
I) t  
 
II) 
 
1 
- 1 
1 
1 
f1( ) 
f2( ) 
0 
   
NOTA: 
 
 
 
1 
- 1 
0 
1 
f1( ) 
f2(- ) 
-
 
III) (- )  “–∞”  t  
 
 
 
1 
- 1 
0-
1 
f1( ) 
f2(- +t) 
-1-
t 
NOT
OBS 
 
IV) Iniciar a convolução 
 
)(*)()()()( 2111 tftfdttfftf 
NOTA 
 
Deve-se determinar: 
- a variação de ; 
- a variação de ; 
- os extremos de 
 
IV-1) 1° Trecho de convolução