NotasDeAula Estatistica

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Resumo sobre Estatística
Rafael Azevedo
1 De…nições
De…nition 1 Uma Variável Aleatória (VA) é uma função de 
 em algum conjunto, onde 
é o conjunto dos possíveis acontecimentos.
Example 2 Imagine o lançamento de uma moeda e seja X a variável aleatória que assume 0 se
obtivermos Cara, e asssume 1 se obtivermos Coroa. Assim temos que os conjuntos são
 = fCara;Coroag
A = f0; 1g
e a variável aleatória é a função:
X : 
! A
Remark 3 Chamamos os elementos de 
 de estados da natureza. Esta nomenclatura é comum
principalmente quando o número de elementos de 
 é …nito.
De…nition 4 A distribuição de probabilidade é uma função que informa a chance de um
subconjunto de 
 acontecer. Trata-se de uma função que associa subconjuntos a um número entre
0 e 1.
Example 5 Considere o exemplo da moeda acima e lembre-se que 
 = fCara;Coroag e A =
f1; 2g. Podemos de…nir p(:) como
p (?) = 0
p(fCarag) = 1
3
p(fCoroag) = 2
3
p (fCara;Coroag) = 1:
Dizemos que esta moeda é viesada porque a probabilidade de obter Cara é diferente da probabilidade
de obter Coroa. Note que 
 = fCara;Coroag e podemos considerar que
p (fCara;Coroag) = p (
) = 1:
1
Uma outra forma de expressar fCarag é escrevermos [X = 1], ou seja, podemos também escrever
p (?) = 0
p(X = 0) =
1
3
p(X = 1) =
2
3
p ([X = 0] [ [X = 1]) = 1:
Remark 6 A distribuição de probabilidade sempre satisfaz as seguintes propriedades:
1) p(A) 2 [0; 1], onde A é subconjunto de 
,
2) p (
) = 1;
3) Se1 A \B = ?, nós temos que p(A [B) = P (A) + P (B).
De…nition 7 A esperança é uma operação matemática que atua sobre uma variável aleatória. O
seu resultado é um número e ela é uma espécie de média ponderada.
Para uma variável aleatória X com n resultados possíves, de…nimos como a esperança como
E [X] =
nX
k=1
xkp(X = xk)
= x1p(X = x1) + x2p(X = x2) + :::+ xnp(X = xn)
onde A = fx1; x2; :::; xng.
Example 8 Considere novamente o exemplo da moeda acima com a distribuição exempli…cada.
Temos que n = 2, x1 = 0 e x2 = 1. A esperança é:
E [X] =
2X
k=1
xkp(X = xk)
= x1p(X = x1) + x2p(X = x2)
= 0 � p(X = 0) + 1 � p(X = 1)
= 0 � 1
3
+ 1 � 2
3
=
2
3
:
A melhor interpretação para a esperança é a seguinte: se você repetir o experimento n vezes,
e tirar a média aritmética dos resultados, esta média será proxima da esperança (muito provavel-
mente). Este é um resultado estatístico, pois na maioria das vezes que você …zer este procedimento
o resultado será perto da esperança, mas nem sempre.
Por exemplo, se você lançar o dado viesado do exemplo acima 1000 vezes, somar os resultados
(zero e uns) e dividir o resultado por mil, você (provavelmente) obterá um número próximo de 2=3.
1Para alunos que já tenham estudado um pouco de teoria da medida, eu deveria dizer que a distribuição de
probabilidade é uma função �-adititiva.
2
Example 9 Lançamento de dados não viesados. Considere X como sendo uma Variável Aleatória
que representa o lançamento de um dado de 6 faces. X pode assumir valores inteiros entre 1 e 6,
e cada valor tem a mesma chance de ocorrer. Sabemos que sua esperança é 3,5 (faça as contas!).
Isto signi…ca que se você jogar os dados 1000 vezes e tirar a média aritmética dos resultados, você
obterá (muito provavelmente) um número próximo à 3,5.
De…nition 10 A Variância é de…nida como:
V ar [X] = E
h
(X � �)2
i
= E[X2]� (E[X])2
onde
� = E[X]
A variância é uma medida de dispersão da variável aleatória.
De…nition 11 O Desvio Padrão é de…nida como:
�X =
p
V ar[X]
O desvio padrão também é uma medida de dispersão da variável aleatória. No entanto, ela tem
uma interpretação mais interessante porque obter o resuldado de uma variável aleatória, temos que
a chance do resultado estar entre E[X]� �X e E[X] + �X é bastante alta. Por exemplo, considere
ação cujo a esperança do retorno é de 10% e o desvio padrão é de 3%. Neste caso, o retorno da
ação será, provavelmente, um valor entre 7% e 13%.
De…nition 12 A covariância é de…nida como
Cov(X;Y ) = E [(X � �X) (Y � �Y )]
= E[XY ]� E[X]E[Y ]
onde
�X = E[X]
�Y = E[Y ]
A covariância é uma medida de dependência entre duas variáveis. No entanto, seu número pode
ser muito grande ou muito pequeno, sem que isto signi…que que a dependência seja maior ou menor.
Para resolver este problema, de…nimos a correlação.
De…nition 13 A correlação é de…nida como
�X;Y =
Cov(X;Y )
�X�Y
:
A correlação também é uma medida de dependência entre duas variáveis. Ela é uma medida
padronizada e SEMPRE temos que
�X;Y 2 [�1; 1] :
3
Agora podemos dizer que uma correlação mais alta implica uma grau de dependência maior. Sendo
mais preciso, quanto maior for o modulo da correlação
���X;Y ��, maior é o grau de dependência. Além
disto, se
���X;Y �� = 1, temos uma correlação perfeita, o resultado de X determina completamente o
resultado de Y e podemos escrever
Y = �X + �
onde � e � são constantes.
É importante enfatizar que a correlação só mede o grau de dependência LINEAR. Por
exemplo, �X;Y = 0 não signi…ca que X e Y são independentes. Existem casos em que �X;Y = 0
mas que X determina Y completamente.
Outra interpretação importante é entender que quando a correlação é diferente de zero, conhecer
o valor de X ajuda a prever o valor de Y . Por exemplo, se a o preço da ação da Petrobrás tem
correlação positiva com o preço do petróleo, signi…ca que se sabemos que o preço do petróleo subirá,
então o preço da ação da petrobrás provavelmente subirá também.
1.1 Variáveis Aleatórias Contínuas
De…nimos acima as VAs discretas, ou seja, em que os estados da natureza podem ser contados.
Mas poderíamos de…nir também VAs em que os estados da natureza não são contáveis, ou seja, o
número de estados é in…nito. Quando falamos em contínuas, queremos dizer um tipo especial de
in…nito. Este tipo diz respeito a quantidade como distância entre dois pontos, intervalos de tempo,
volume de água, etc..
Um exemplo seria a altura de uma criança daqui a vinte anos. Não sabemos bem qual será o
valor, mas sabemos que podemos medir com uma precisão muito grande (milimetros, ou milésimos
de milímetros, etc..).
(Em construção.)
4
2 De…nições Concisas e Propriedades
Considere que X, Y e Z são variáveis aleatórias e que � e � são constantes. De modo conciso,
temos que:
A esperança é (caso de V.A. discreto com n estados da natureza)
E [X] =
nX
k=1
xkp(X = xk);
ou no caso de variáveis aleatórias contínuas:
E [X] =
Z 1
�1
xf(x)dx:
A Variância é de…nida como:
V ar [X] = E
h
(X � �)2
i
= E[X2]� (E[X])2 :
O Desvio Padrão é de…nida como:
�X =
p
V ar[X]:
A covariância é de…nida como
Cov(X;Y ) = E [(X � E[X]) (Y � E[Y ])]
= E[XY ]� E[X]E[Y ]:
A correlação é de…nida como
�X;Y =
Cov(X;Y )
�X�Y
:
Temos que as seguintes propriedades são satisfeitas:
E[�X] = �E[X]
E[X + Y ] = E[X] + E[Y ]
V ar(�X) = �2V ar(X)
V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2Cov(X;Y )
Cov(X;Y ) = �X;Y �x�Y
Cov(X;Y ) = V ar(Y;X)
Cov(X;X) = V ar(X)
Cov(X + Y;Z) = Cov(X;Z) + Cov(Y;Z)
Cov(�X;Z) = �Cov(X;Z)
�X;Y 2 [�1; 1]]
5
3 Usando Matrizes
Agora considere n variáveis aleatórias:X1; X2; :::; Xn e considere o vetor coluna
�!
X como sendo
�!
X =
0BBB@
X1
X2
...
Xn
1CCCA :
Considere n constantes: !1; !2; :::!n; e o vetor coluna
�!!
�!! =
0BBB@
!1
!2
...
!n
1CCCA :
Lembre-se que o transposto de uma matriz coluna é
�!
XT =
�
X1 X2 ::: Xn
�
:
Dado estas informações, nós podemos escrever !1X1 + !2X2 + :::+ !nXn de modo resumido
usando multiplicação de matrizes (lembre-se que a multiplicação de uma matriz linha por uma
matriz coluna é igual a um escalar):
�!
XT�!! = !1X1 + !2X2 + :::+ !nXn.
É conveniente introduzir o vetores colunas (matrizes n� 1) de uns �!� e de zeros �!0 :
�!� =
0BBB@
11
...
1
1CCCA e �!0 =
0BBB@
0
0
...
0
1CCCA
Em …nanças, estamos muitas vezes interessado na esperança e na variância do retorno de uma
carteira. Este retorno é escrito com uma fórmula muito parecida com a de cima. A fórmula de cima
é também muito usada no estudo de econometria. É interessante de…nirmos a matriz de covariância
 :
 =
0BBB@
Cov(X1X1) Cov(X1X2) Cov(X1Xn)
Cov(X2X1) Cov(X2X2) :::
...
. . .
...
Cov(XnX1) ::: Cov(XnXn)
1CCCA
e a matriz coluna
�!ex =
0BBB@
E [X1]
E [X2]
...
E [Xn]
1CCCA
6
Note que:
 é uma matriz simétrica,
A diagonal de 
 contém as variâncias.
Além disto, pode-se mostrar que 
 é uma matriz semi-de…nida positiva, ou seja, �!v T
�!v � 0 para
qualquer vetor �!v :
Agora, podemos usar as propriedades que enunciamos acima para obtermos:
E
h�!
XT�!!
i
= !1E [X1] + !2 [X2] + :::+ !n [Xn]
E
h�!
XT�!!
i
= �!exT�!!
e
V ar
��!
XT�!!
�
= �!! T
�!! :
3.1 Derivada matricial
Em diversos contextos (por exemplo, fronteira de Markowitz) precisamos da seguinte derivada
d
d!i
h
V ar
��!
XT�!!
�i
:
Fazer isto diretamente é bastante tedioso. Porém há um modo mais fácil. Considere o gradiente da
função g (�!! )
d
d�!! g = rg =
0BBB@
d
d!1
g
d
d!2
g
...
d
d!n
g
1CCCA
agora considere que
g (�!! ) = V ar
��!
XT�!!
�
= �!! T
�!! :
Pode-se mostrar que (como exercício, veri…que a fórmula abaixo para o caso n = 3):
rg (�!! ) = 2
�!! :
De modo similar, podemos mostrar que se h(�!! ) = !T�!ex temos que
rh (�!! ) = �!ex
e que se h(�!! ) = !T � temos que
rh (�!! ) = �:
Lembre-se que � é o vetor de uns de…nido acima.
7
3.2 Resolvendo o Problema de Mínima Variância dado a Esperança
Queremos resolver o seguinte problema
min
��!! T
�!! 	
a:s:
!T i = 1
!T�!ex = kE :
O Lagrangeano é:
L = �!! T
�!! � �1
�
!T i� 1�� �2 �!T�!ex � kE�
e a CPO é
rL = 2
! � �1�� �2�!ex = �!0
onde
�!
0 é o vetor de zeros.
A solução é:
!� =
�
��1
2
�1�+
��2
2
�1�!ex
�
onde
��1 = 2
A�BkE
AC �B2
��2 = 2
CkE �B
AC �B2 ;
onde temos que A;B e C são constantes. Note que ��1 e �
�
2 dependem do retorno …xado kE e das
constantes:
A = (�!ex)T 
�1�!ex
B = (�!ex)T 
�1� =
�
�T
�1�!ex
�
C =
�
�T
�1�
�
:
As constantes, por sua vez, dependem apenas de 
 e de �!ex, ou seja, das esperanças e variâncias dos
retornos e das correlações.
3.2.1 Chegando a solução acima (não é necessário ler)
Para se chegar a ela, re-escreva a CPO como:
! =
�1
2
�+
�2
2
�!ex
�1
! = 
�1
�
�1
2
�+
�2
2
�!ex
�
I! =
�
�1
2
�1�+
�2
2
�1�!ex
�
8
onde I é a matriz identidade. Usando as restrições, temos que
!T i = iT! = 1
�T
�
�1
2
�1�+
�2
2
�1�!ex
�
= 1
�1
2
�
�T
�1�
�
+
�2
2
�
�T
�1�!ex
�
= 1
e
!T�!ex = (�!ex)T ! = kE
(�!ex)T
�
�1
2
�1�+
�2
2
�1�!ex
�
= kE
�1
2
�
(�!ex)T 
�1�
�
+
�2
2
�
(�!ex)T 
�1�!ex
�
= kE
Para simpli…car, podemos fazer
A = (�!ex)T 
�1�!ex
B = (�!ex)T 
�1� =
�
�T
�1�!ex
�
C =
�
�T
�1�
�
que são escalares (ou seja, números reais) e só dependem das caracteríticas dos ativos. Assim, para
achar �1 e �2 teremos de resolver o sistema de equações lineares:
�1
2
B +
�2
2
A = kE
�1
2
C +
�2
2
B = 1
cuja resposta é
��1 = 2
A�BkE
AC �B2
��2 = 2
CkE �B
AC �B2 :
Assim, obtemos …nalmente
! =
�
��1
2
�1�+
��2
2
�1�!ex
�
! = 
�1
(A�BkE) �+ (CkE �B)�!ex
AC �B2 :
9