Apresentação Fasipe

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BOA AULA!
CÁLCULO I
Funções Reais e Gráficos
Prof. Ms. Luiz Antonio de França.
SUMÁRIO
Definição de funções;
Domínio e contradomínio;
Função definida ou não definida em uma variável;
Variável dependente e independente;
Imagem;
Plano Cartesiano;
Gráfico de uma função.
É uma relação que associa cada elemento de um conjunto numérico a um único elemento de um outro conjunto numérico.
Função
Exemplo: 
100.8
3.9 -3.9
6.0 
40.9
 201.6
7.8 15.0
12.0 12.9
 81.8
Conjunto C
Conjunto D 
Definição de Função
Seja A e B subconjuntos de R .
Uma função f:AB é uma regra que cada elemento de A faz correspondência a um único elemento de B.
O conjunto A é chamado domínio de f e é denotado por Dm(f). 
O conjunto B é chamado de contradomínio ou campo de valores de f.
		f: A B
 	 x f(x)
 f
		A B
		x y = f(x)
ou
Escrevemos:
(Domínio)
(Contradomínio)
f: A  B ( é função)
g: A  B ( não é função)
(Domínio)
(Contradomínio)
h: A  B ( não é função)
v
A 
B 
 	Podemos dizer que f é definida em x pertencente ao intervalo [2,+) e f é não definida em x pertencente ao intervalo (-,2).
Função Definida ou não Definida em uma Variável 
Se x está no domínio, dizemos que f é definida em x, ou que f(x) existe. Se x não está no domínio, dizemos que f não é definida em x.
Para ,o domínio é o intervalo [2,+).
Exemplo: 
Seja f: A  B ou x  y = f(x):
 x  A (domínio de f ), x é uma variável independente, x reapresenta um número arbitrário do domínio.
 y  B (contradomínio de f ), y é uma variável dependente, pois y depende de x.
Variável Dependente e Independente
Seja f: A  B ou x  y = f(x):
Dado x  A, o elemento é chamado o valor da função f no ponto x ou imagem de x por f.
O Conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado de conjunto imagem de f e é denotado por Im(f ).
Definição de Imagem
Gráfico de uma função só pode ser interseptado no máximo uma vez por uma reta qualquer vertical.
Como Averiguar se é ou não uma Função?
Ponto A(x, y).
Eixo das Abscissas, Ordenadas.
Quadrantes(1º,2º,3º e 4º).
Plano Cartesiano
2ª aula
Cálculo I
Estudo de Funções
Dentro de um sistema cartesiano, nós utilizamos um localizador que nos norteia quanto a forma de identificação de termos, denominado par ordenado.
Um par ordenado representa uma coordenada do sistema Cartesiano, sendo que o primeiro valor indica uma coordenada no eixo x e o outro valor indica uma coordenada no eixo y.
(2 , 3)
Indica um valor no eixo x
Indica um valor no eixo y
Par ordenado
Localizando Pontos
Construa o plano cartesiano e localize os seguintes pontos:
A(-2, 1); 
B(2,-1); 
C(0, -2); 
D(2, 0); 
E(-1,0); 
F(0, -1).
Seja f uma função, o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos [x , f(x)] de um plano coordenado, onde x pertence ao domínio de f. 
Gráfico de uma Função
seja y = f(x) = 2x
Exemplo 1:
Exemplo 2:
seja y = f(x) = x + 1
Exemplo 3:
seja y = f(x) = 2x + 1
 seja y = f(x) = 2x2
x
y=f(x)
-2.0
8.0
-1.5
4.5
-1.0
2.0
-0.5
0.5
0.0
0.0
0.5
0.5
1.0
2.0
1.5
4.5
2.0
8.0
Exemplo 4:
i) x2 + y2 = 1 
ii) y = √1 - x2 
Gráfico de uma Função com o uso de Programas Computacionais
iii) f (x) = x 5 - 3x 3 + 2x 
Exercícios 
Exercício 1:
O diagrama de Venn seguinte, representa uma função f de A em B. Determine:
D
f(3)
Im
f(2)
f(5)
 2.
 3.
 5.
 .0
 .2
 .4
 .6
 .8
 .10
A
B
f: A  B 
Seja a função f: R* R dada por f(x) = x + 1/x. Determine os valores:
f(3)
f(½)
f(x + 1), para x ≠ -1
f(a - 1), para a ≠ 1
Exercício 2:
Seja a função f: R  R dada por f(x) = x2 - 2x + 1, calcule: 
 f(-1) + f(2) + f(½)
Exercício 3:
3ª aula
Estudo de Funções
Cálculo I
Composição de Funções
Dadas duas funções f e g , a função composta de g com f, denotada por g0 f, é definida por 
 (g0 f) (x) = g(f(x)).
O domínio de g0 f é o conjunto de todos os pontos x no domínio de f tais que f(x) está no domínio de g. 
x
g(f(x))
g0 f
Dm(g0 f) = {x  Dm(f) / f(x)  Dm(g)}.
 f
f(x)
 g
Em diagrama:
Exercício 1:
Dm(f) = [0,+) e Im(f ) = [0,+). 
Dm(g) = (-, ) e Im(g) = (-, ).
Dm(g0 f) = {xDm(f) / f(x)  Dm(g)} = [0,+).
 Seja e . Vamos encontrar g o f.
Dm(f) = (0,+) e Im(f) = (0,+) 
Dm(g) = (- , +) e Im(g) = (- , +) 
Dm(fog) = {x  Dm(g) / g(x)  Dm(f)}= [1,+). 
Isso porque, x - 1  Dm(f) = (0,+) ou seja x - 1  0 ou x  1.
 Seja e . Vamos encontrar fog.
Exercício 1:
Funções Elementares
1)
O gráfico da função afim tomando-se a = 1 e b = -1, no intervalo [-1, 2] , é mostrado a seguir: 
Exemplo:
2)
3)
Função Quadrática
Exemplo:
 seja y = f(x) = 2x2
x
y=f(x)
-2.0
8.0
-1.5
4.5
-1.0
2.0
-0.5
0.5
0.0
0.0
0.5
0.5
1.0
2.0
1.5
4.5
2.0
8.0
4)
Exemplo: