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Transmissão de Calor – P1-Aula B – 2° Sem. 2017 
Professores Taís, Raphael F.,Gustavo, Lhamas e Tato 
3907-6494 – cursinhodeengenharia.com.br 1 
 
Exercícios Raio Crítico 
 
1) (P1-1Sem17-Not-3,5pts) Um reservatório esférico de raio interno igual a 30cm foi confeccionado para armazenar uma 
substância em que ocorre determinada reação química exotérmica homogênea. Sabe-se 
que a espessura do invólucro foi concebida a fim de obter a máxima troca de calor 
possível para esta geometria. 
Considerando: (1) regime permanente, (2) transferência de calor unidimensional radial, 
(3) efeitos da radiação desprezíveis, (4) temperatura da superfície externa do invólucro 
50ºC, (5) temperatura do ar ambiente de 10ºC, (6) coeficiente médio de transferência de 
calor externo ao invólucro de 15W/m²K (constante) e (7) condutividade térmica do 
material do invólucro de 2,4 W/mK. Determine: 
a) (2Pontos) a taxa de geração interna de calor por unidade de volume; (�̇�𝒈 =
𝟔𝟖𝟐𝟔, 𝟕 𝑾/𝒎³) 
b) (1,5Pontos) a temperatura da superfície interna do invólucro. (Ts=55,3ºC) 
 
2) (P1-2Sem15-Not-4,0pts) Um dispositivo é utilizado para refrigerar 
etileno glicol (líquido) com o uso de uma serpentina por onde escoa R134a a 
uma pressão de 377,5 kPaabs e temperatura de -15°C. Durante o projeto 
surgiram algumas alternativas objetivando melhoria desempenho como, por 
exemplo, a aplicação de um isolante térmico na parte externa do reservatório 
que contém etileno glicol. 
(a) [1,5 pontos]. Sabendo que o coeficiente externo de transferência de calor 
por convecção (com o ar ambiente) é 20 W/m2K e se dispõem de três 
materiais distintos (A, B e C) para utilizar como isolante lateral externo do 
compartimento de etileno glicol, você concorda com a utilização do material 
isolante? Em caso positivo indique qual dos materiais é o mais indicado. São 
dados: a condutividade e a espessura dos isolantes: 
kA = 1,8 W/m.K ; eA = 15 mm ou kB = 2,2 W/m.K; eB = 35 mm ou kc = 2,4 
W/m.K; ec = 45 mm 
(não usar nenhum, pois todos coincidem com o raio crítico, maximizando 
a troca de calor) 
(b) [2,5 pontos]. Sabendo que a variação de temperaturas do etileno glicol (entre entrada e saída) é de 5°C, calor específico do 
etileno glicol 2400 J/kg.K escoando com vazão em massa de 0,05 kg/s, determine a vazão em massa de entrada de R134a 
(líquido saturado) necessária para que na saída apenas 10% da vazão em massa esteja na fase líquida. Não considere a 
utilização de isolante para este item (os itens são 
independentes!).(3,41g/s) 
De uma tabela de propriedades termodinâmicas na região 
de saturação: 
Para qualquer item deste problema considere: (i) Regime permanente; (ii) Temperatura da superfície externa do 
reservatório que contém etileno glicol constante e de valor igual a 5°C; (iii) Temperatura do ar ambiente circundante de 25°C; 
(iv) Transferência de calor radial para o reservatório que contém etileno glicol (tampa e fundo adiabáticos); (v) Efeitos da 
radiação desprezíveis e (vi) dimensões do desenho em milímetros. 
 
3) (P1-2Sem15-Diu-3,0pts) Um tubo de cobre com 10 m de comprimento e 10 mm de diâmetro externo é utilizado para 
transportar o fluido R134a. Na entrada do tubo há líquido saturado e deseja-se que na saída exista a maior fração de vapor 
possível de R134a. Com esse objetivo, um 
engenheiro propôs a instalação de um material 
isolante térmico na superfície externa do tubo, que 
atravessa um ambiente contendo ar em temperatura 
de 25°C e que desenvolve coeficiente de transferência de calor por convecção (com o ar) igual a 30 W/m²K. 
(a) [1,0 Ponto]. Desprezando as trocas de calor por radiação, considerando regime permanente e que a condutividade térmica 
do material isolante disponível é de 0,6 W/m.K, você recomenda a instalação do isolante? Em caso afirmativo indique qual é 
a espessura isolante que deverá envolver a tubulação de cobre. [responder sim ou não sem justificativa zera este item]. 
(concordo se o raio externo for igual ao raio crítico do isolante) 
(b) [2,0 Pontos] O R134a escoa com vazão de 3,738 g/s, temperatura de -15°C e pressão de 377,5 kPaabs. Nestas condições 
determine qual é a razão mássica entre líquido e vapor do R134a na seção de saída do tubo. Considere para resolução deste 
item que não foi instalada qualquer camada de isolante. Despreze a resistência térmica à condução na parede do tubo e a 
resistência térmica à convecção interna.(1, a massa de vapor e de líquido = 1,869g/s) 
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Isolante
Zircaloy
Rejeito
Isolante
r = 7 cm
R = ?
 
4) (P1-1Sem14-Diu) Um cabo maciço de cobre com diâmetro de 4,4 mm com 152 m de comprimento 
tem uma queda de tensão de 29,5 V quando percorrido por uma corrente de 20A. O cabo deve ser revestido com isolante de 
condutividade térmica igual a 0,03 W/(m.K) em espessura suficiente para atingir o objetivo de alcançar a menor temperatura 
superfícial no cabo de cobre (interface cabo isolamento) nas condições de operação. Desprezando efeitos de trocas térmicas 
por radiação, imaginando o cabo completamente suspenso (sem contato com qualquer sólido) e coeficiente de transferência 
de calor por conveccção de 10 W/(m².K) (constante), determine a diferença entre a temperatura da superfície do cabo de 
cobre sem o isolamento (na posição r=2,2 mm) e a temperatura na superfície do cabo de cobre com o isolamento (na posição 
r=2,2 mm) instalado nas condições indicadas. Nos dois casos (com e sem isolamento) a queda de tensão e a corrente no cabo 
são mantidos constantes. Despreze a resistência de contato entre o cabo e o isolante. A temperatura do ar ambiente é igual a 
20°C. (ΔT= 1,1°C) 
 
5) (A1.19-P1-1Sem08-Not) Um fio de cobre usado para transporte de energia elétrica (de 3 mm de diâmetro e 5m de 
comprimento) é recoberto com uma camada constante de material plástico de condutividade térmica 0,15 W/mK. Se o fio 
isolado é exposto a um ambiente de 30ºC e coeficiente de troca de calor por convecção é 12 W/m²K, admitindo regime 
permanente determine: 
a) A espessura de isolamento para que a temperatura na interface fio/isolamento seja a menor possível (nas condições 
indicadas) sabendo que a potência a ser dissipada pelo fio é de 80 W. Importante: o termo espessura do isolamento se refere à 
dimensão acrescentada no RAIO do fio de cobre. (11mm) 
b) O valor da temperatura na interface fio/isolamento na condição do item a. (83ºC) 
 
6) (A1.129-P3-2Sem12-Not) Uma esfera de 14 cm de diâmetro contém rejeitos nucleares 
que, devido ao decaimento dos produtos de fissão geram calor (de modo homogêneo) a uma 
taxa de 5.104 W/m³. As esferas são envolvidas em Zircaloy (k= 17,3 W/m.K) que possui 
espessura desprezível. Na superfície do Zircaloy é aplicado um isolante com condutividade 
térmica de 2 W/m.K. Sabe-se que as esferas deverão ficar armazenadas em um reservatório 
que contém água a 20°C,e se desenvolve um coeficiente de transferência de calor por 
convecção igual a 50 W/m²K. Determine: (a) a espessura de isolante para que se obtenha a 
máxima taxa de transferência de calor e (b) a temperatura na interface rejeito/Zircaloy na 
condição do item (a). Como simplificação assuma: regime permanente; transferência de calor 
unidimensional e resistência de contato desprezível. ((a) 1cm (b) 42,968°C) 
 
7) (A1.136-P3-1Sem13-Not) Um reservatório esférico de 0,8 metros de diâmetro e 
espessura de parede desprezível armazena uma composição de fluidos que resulta em uma reação química exotérmica. Sabe-
se que a temperatura da superfície do reservatório é de 200 ºC quando a temperatura do ambiente é de 25ºC. Assumindo um 
coeficiente de transferência de calor combinado (radiação + convecção) de 20 W/m²K. Determine (a) qualdeve ser a 
espessura de resina Epoxy (k= 6,35 SI) que resulta na mínima temperatura na superfície do reservatório e (b) qual será a nova 
temperatura atingida nessa condição. ((a) 235 mm e (b) 176,03°C) 
 
8) Para cobrir um fio de 10 mm de diâmetro e temperatura externa de 100°C utiliza-se um isolante de condutividade térmica 
de 0,08 W/m.K. Sendo a temperatura do ambiente de 30°C e o coeficiente de convecção no valor de 10 W/m²K, pede-se: 
a) O raio crítico: (8 mm) 
b) Sendo instalada uma espessura de isolamento de 8 mm, o que irá ocorrer com o fluxo de calor? E se for instalada uma 
espessura de 2 mm? 
c) Qual o máximo fluxo de calor dissipado por metro de fio? (23,9 W) 
 
 
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Exercícios Equação da Condução 
 
1) (P1-1Sem17-Noturno-3ptos) Em uma grande placa plana homogênea (com espessura de 
0,5m) se estabelece uma reação química endotérmica cuja geração volumétrica �̇�𝑔 (em W/m³) 
obedece a seguinte expressão: 
�̇�𝑔 = −500. 𝑥 
Sendo x uma coordenada em metros. A face direita da placa (x=0,5m) é isolada termicamente. 
Admitindo regime permanente e transferência de calor unidimensional, determine uma expressão 
para calcular o gradiente de temperatura em qualquer posição da placa (ou seja: dT/dx). A 
condutividade térmica da placa é igual a 0,5W/mK. 
Importante: Não altere a posição do sistema de coordenadas indicado na figura ao lado! 
 (
𝒅𝑻
𝒅𝒙
= 𝟓𝟎𝟎𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝟓) 
 
 
2) (P1-1Sem17-Diurno (3,0 pontos) Considere uma placa plana quadrada de lado igual a 40cm, espessura de 40mm e 
condutividade térmica de 5W/mK. A placa absorve em sua face esquerda um fluxo de calor igual a 500 W/m². Esta placa é 
submetida a uma geração interna de calor não homogênea segundo a equação1. 
�̇�𝑔 = 2. 10
7. 𝑥 (𝐸𝑞. 1) 
Sendo �̇�𝑔a geração interna de calor por unidade de volume em W/m³ e x uma 
coordenada em metros (-0,02m≤ x ≤0,02m). 
Considerando válidas as hipóteses de regime permanente e transferência de 
calor unidimensional, determine: 
(a)(1ponto) a posição “x” em que ocorre a máxima taxa de transferência de 
calor; (x=0) 
(b)(0,5ponto) a máxima taxa de transferência de calor(valor numérico e 
sentido); (-560W (contrário a x)) 
(c)(1,5ponto) a posição “x” em que ocorre a máxima temperatura na barra (não 
é necessária a determinação do valor da temperatura máxima!) (x =+0,0187m) 
Obs: Utilize obrigatoriamente o sistema cartesiano orientado e localizado indicado na figura. 
 
3) (P3-1Sem17-Diurno-1,5 ptos) A Indique (sem resolver) a equação 
diferencial MAIS simples para determinação da temperatura ne na memória 
RAM, considerando (i) a memória como um meio homogêneo de propriedades 
constantes e condutividade térmica k (W/mK), (ii) geração volumétrica 
homogênea interna de calor por efeito Joule na memória igual a ϕ(W/m³) e (iii) 
condução bidimensional permanente na memória apenas nas direções x e y. 
R.:( 
𝝏
𝝏𝒙
(
𝝏𝑻
𝝏𝒙
) +
𝝏
𝝏𝒚
(
𝝏𝑻
𝝏𝒚
) +
𝝋
𝑲
= 𝟎) 
 
 
 
4) (P3-1Sem17-Noturno-1,25 ptos) Sem resolver, indique, partindo da equação da condução de calor a expressão mais 
simples para o caso em que há condução de calor unidimensional radial, permanente em um cilindro maciço, com geração 
interna homogênea e material de condutividade térmica constante R.:( 
𝟏
𝒓
𝝏
𝝏𝒓
(
𝒓𝝏𝑻
𝝏𝒓
) +
�̇�𝑮
𝑲
= 𝟎) 
 
5) (P1-2Sem16-diu-4ptos) Duas placas trocam calor em regime permanente. Nas placas há geração homogênea de calor e a 
superfície externa do conjunto é adiabática. Na placa A, a geração interna se dá por efeito 
Joule e na placa B, por reação química endotérmica. A taxa de geração de calor na placa B é 
igual a -5000 W/m³ (valor negativo!). Sabendo que a condução de calor é unidimensional 
(apenas na direção x), que os materiais das placas são homogêneos e de propriedades 
constantes e a resistência de contato entre as placas é desprezível, determine: (a) a temperatura 
em x = 0 cm e (b) o gradiente de temperatura na posição x = 25 cm. A maior temperatura no 
material B é 80°C. Dados: LA = 10 cm, LB = 40 cm, condutividade térmica no material A = 5 
W/m.K e a condutividade térmica no material B = 2,5 W/m.K. Na solução é obrigatória a 
indicação de todas as operações com as equações, inclusive as simplificações e a indicação das 
condições de contorno! (a)100 ˚ C b) – 500 K/W) 
 
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OLEODUTO
SUPORTE
ISOLAMENTO
SOLO
zz
0,7 m0,08 m
0,6 m
0,6 m
6) (P1-1Sem16-diu-3,5ptos) Uma esfera maciça de raio externo r1 sofre uma reação química 
endotérmica a uma taxa volumétrica de geração de calor homogênea e igual a: 
 
A esfera é envolvida completamente por uma camada uniforme de material (que adquire raio externo r2) e sofre uma reação 
química exotérmica a uma taxa de geração de calor não homogênea que obedece a seguinte expressão: 
 
Sendo r uma coordenada radial que varia de r1 a r2. A superfície externa do conjunto é adiabática 
(em r = r2). Admitindo materiais 1 e 2, respectivamente, da esfera maciça e do envoltório, com propriedades uniformes e 
constantes, regime permanente e inexistência de resistência de contato, supondo conhecidos apenas os raios r1 = 1 cm e r2 
= 1,5 cm, determine a razão entre as constantes: ( 15000 1/m2) 
 
 
7) (P1-2Sem15-Diu-4ptos) Em um reator nuclear há utilização de esferas de urânio 
como combustível nuclear. A esfera é oca (k = 20 W/mK) e em sua região interna 
existe a presença homogênea de gases (kG = 1 W/mK). Após queima parcial de 
material nuclear a esfera é removida do núcleo do reator e armazenada em local 
seguro, entretanto, por conta do decaimento dos produtos de fissão a esfera continua 
constantemente emitindo calor para o ambiente através da superfície externa. 
Considere que na região em que os gases estão aprisionados há geração de calor 
homogênea de valor igual a 2.106 𝑊/𝑚3 e que na esfera oca há geração de calor não 
homogênea: 𝑞̇𝐺2=2.103/𝑟2[𝑊/𝑚³]. Sendo r uma coordenada radial que varia de 3 cm a 6 cm, respectivamente, o raio interno 
e o raio externo da esfera, determine: 
(a) [1,0 Ponto] A taxa de transferência de calor dos gases para esfera; (226,2W) 
(b) [3,0 Pontos] A porcentagem da taxa de transferência de calor que atravessa a superfície externa da esfera que foi gerada 
apenas pela esfera oca (3 cm < r < 6 cm);(76,92%) 
Considerar: (i) transferência de calor unidimensional radial e (ii) regime permanente. 
 
8) (P1-2Sem15-not-3,5ptos) Um tubo confeccionado de material que sofre reação nuclear (com condutividade térmica 25 
W/m.K, raio interno r1 = 25 mm e raio externo r 2= 35 mm) será descartado na região abissal das Fossas Marianas. Dentro 
deste tubo estão aprisionados gases de fissão (xenônio e criptônio) que não geram calor. Entretanto, o decaimento dos 
produtos de fissão (que compõem o tubo) resulta em taxa de geração interna de calor não homogênea no tubo (qG em W/m3) 
segundo a expressão: 𝑞�̇�=5.104/𝑟 [𝑊/𝑚³]. 
Sendo r uma coordenada radial em m. Sabendo que a temperatura da superfície interna do cilindro (r=r1) é igual T1 = 50°C, 
determine uma expressão para a temperatura no tubo em função do raio
(Temperatura em °C e raio em m). Admita: Regime 
permanente, transferência de calor radial, cilindro oco
com os gases internos confinados no interior do tubo e que exista 
uma fina camada de material metálico
de proteção que envolvendo o elemento nuclear (tubo). 
(T(r)= -2000r + 50lnr +284,4 ) 
 
9) (P1-1Sem15-Not-3ptos) Uma grande parede vertical tem espessura L e experimenta uma taxa de geração de calor 
volumétrica não homogênea (�̇�𝐺em W/m³), segundo a função: �̇�𝐺 = 𝐿. 𝑥; A razão entre a taxa de transferência de calor 
entre a face esquerda (x = 0) e a face direita (x = L) é igual a: -2 (número 2 negativo). Determine qual é a posição (xmáx) da 
máxima temperatura na placa. Admita regime permanente, material homogêneo e de propriedades constantes (condutividade 
térmica k) e transferência de calor unidimensional (apenas na direção x). A única grandeza conhecida é L. 
(𝒙𝒎á𝒙 = 𝑳. √𝟐 𝟑⁄ ) 
 
10) (P1-1Sem15-Diu-3ptos) Trechos de um oleoduto que atravessa o Alasca encontram-se acima do solo e são sustentados 
por suportes verticais de aço (de condutividade igual a 40 W/(m.K)). Os suportes são parcialmente isolados na lateral por 
um material de condutividade térmica quase nula. Em consições normais 
de operação sabe-se que a variação de temperatura a longo do suporte é: T 
= 90 – 90z + 40z². A equação é válida apenas para 0 m ≤ z ≤ 0,6 m, sendo 
que T e z possuem unidades de °C e metros, respectivamente. Variações 
de temperatura na seção transversal do suporte (seção perpendicular à 
direção z) são desconsideradas. Determine: 
a) a taxa de transferência de calor entre a parte do suporte não isolada e o 
meio (formado pelo ar ambiente e as vizinhanças). (107,52 W) 
b) a temperatura no suporte em z = 1,2 m (junto ao solo). A emissividade 
da superfície do suporte é igual a 0,5. Suponha regime permanente. (25,2 °C) 
 
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aquecedor 
em forma de 
fita delgada
200 mm
x
T1
T2
IS
O
LA
M
E
N
T
O
AR, Ti,
hi
face 
esquerda 
x = 0 cm
face 
direita 
x = 12 cm
x
y
z
12 cm
4 cm
10 cm
11) (P1-1Sem15-Diu-3,5ptos) Um disco de diâmetro D e espessura ξ tem a lateral curva em contato 
com um material isolante perfeito. No disco há geração interno não homogênea de calor a uma taxa de 
geração volumétrica que obedece a seguinte expressão (com temperatura em °C, coordenada axial z em metros): �̇�𝐺 = 𝛽 ∙ 𝑧 
Na face plana superior (z = 0 m – região em que a temperatura é T1) do disco há troca de calor com um fluido (com 
temperatura ao longe T∞) e na face inferior (z = ξ – região em que a temperatura é T2) não há troca de calor. Admitindo 
condução unidimensional de calor e regime permanente, material que confecciona o disco homogêneo e de propriedades 
constante (com condutividade térmica k), sabendo que são conhecidos: β = 24000 W/m4 ; ξ = 50 cm e k = 40 W/(m.K), 
determine a diferença de temperatura entre a face plana inferior e a face plana superior, isto é: T2 - T1. (25 °C) 
 
12) (P1-2Sem14-Diu) O ar no interior de uma câmara Ti = 20°C recebe calor por convecção de hi = 20 W/(m².K), por uma 
parede de 200 mm de espessura e 1 m² de área, com condutividade térmica 4 W/(m.K) e 
a taxa de geração volumétrica de calor uniforme e igual a 1000 W/m³. Um aquecedor em 
forma de fita (muito fina) é aplicado à face externa da parede, junto a um isolamento 
térmico muito espesso. O aquecedor proporciona uma taxa de geração de calor uniforme 
q0. A temperatura T1 vale 50°C. Admitindo regime permanente, desprezando efeitos de 
trocas térmicas por radiação e inexistência de resistência de contato, determine: 
a) Uma expressão para a distribuição de temperatura em função de x [-0,2 m ≤ x ≤0m] 
usando o eixo indicado no desenho. NÃO MODIFIQUE O EIXO. (𝑻 = −𝟏𝟐𝟓. 𝒙𝟐 −
𝟏𝟓𝟎𝒙 + 𝟓𝟎) 
b) A corrente que percorre o aquecedor elétrico sabendo que a tensão sobre o mesmo é 
de 10 V. (40 A) 
 
13) (P1-2Sem14-Not) Uma grande placa plana de espessura L gera calor por reação química de forma não homogênea. A 
placa é confeccionada em material com condutividade térmica igual a k e todas as faces da mesma estão isoladas, exceto a 
face direita (x=L). Um sistema de coordenadas cartesiano é escolhido com x= 0 m na face esquerda e x = L na face direita. 
A equação para a taxa de geração volumétrica na placa obedece a seguinte expressão (com temperatura em °C e coordenada 
x em metros): 
 �̇�𝐺 = 𝐶1. 𝑥
2. Determine, supondo condução unidimensional (apenas na direção x) e regime permanente uma equação para a 
distribuição de temperatura na placa (em função de x). São conhecidos: L, k, C1 e a temperatura na face esquerda tem valor 
T1. (𝑻 =
−𝑪𝟏.𝒙
𝟒
𝟏𝟐.𝒌
+ 𝑻𝟏) 
 
14) (P1-1Sem14-Not) Uma grande placa plana de espessura 5 cm gera calor por reação química de forma não homogênea. A 
placa é confeccionada em material com condutividade térmica igual a 10/3 W/(m.K) e todas as faces da mesma são isoladas, 
exceto a face direita (x=5 cm). Um sistema de coordenadas cartesiano é escolhido com x=0 cm na face esquerda e x=5 cm na 
face direita. A distribuição de temperaturas na placa obecede a seguinte expressão (com temperatura em °C e coordenada x 
em metros): T=-50000.x³+C1.x+150. Determine, supondo condução unidimensional (apenas na direção x) e em regime 
permanente: 
(a) Uma equação para a taxa de geração volumétrica homogênea de calor na placa (�̇�𝐺 em função da coordenada x). (�̇�𝑮 =
𝟏𝟎𝟔. 𝒙 W/m³) 
(b) A temperatura na face direita (x=5 cm) da placa. (143,75°C) 
 
15) (P1-1Sem14-Diu) Uma peça de formato de paralelepípedo sofre uma reação 
química e a taxa de geração volumétrica de calor segue a seguinte equação: �̇�𝐺 =
400. 𝑥; com as grandezas no SI. Sabendo que todas as faces do papalelepípedo 
estão isoladas perfeitamente, exceto as faces esquerda e direita, impondo 
temperatura máxima no sólido exatamente no centro (x=6 cm) e temperatura de 
100 °C na face esquerda (x=0 cm), determine a temperatura na face direita do 
elemento (x=12 cm). O material que confecciona o paralelepípedo tem 
condutividade térmica 0,01 W/(m.K). (97,12°C) 
 
 
 
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Ar
ArAr
tampa
r
z
D
6 cm
6 cm
molde
isolante 
ideal
tampa
r
z
desenho
sem escala
D
face 
esquerda 
x = 0 cm
face 
direita 
x = 1,5 cm
sede
x
y
z
1,5 cm
4 cm
8 cm
 
16) (A1.142-P1–2Sem13-Not) Tampas cilíndricas maciças de concreto 
(diâmetro D e espessura de seis centímetros, condutividade térmica de 0,05 
W/m.K) são pré-moldadas em uma empresa usando um molde confeccionado em 
material isolante ideal. Desprezando os efeitos de radiação térmica e considerando 
a transferência de calor unidimensional (APENAS na direção z), sabendo que a 
reação de cura do concreto é responsável pela geração homogênea de 1000 W/m3, 
supondo regime permanente: (a)Determine qual a temperatura da superfície em 
contato com o ar (z = 6 cm) para que a máxima temperatura na tampa não 
ultrapasse 200ºC. (b)Confeccione um gráfico em escala de temperatura versus 
posição z na tampa (INDIQUE AO MENOS TRÊS PONTOS COM VALORES). 
Obs. Deduza a expressão da distribuição de temperaturas – o uso de equações 
prontas ZERA toda a questão. ((a): 164°C). 
 
17) (A1.145-P3–2Sem13-Not) Um tubo (com diâmetro externo de 30 mm, diâmetro interno de 25 mm e altura de 80 mm) é 
isolado na lateral externa, na lateral interna e no fundo por um isolante ideal (confeccionado de material com condutividade 
térmica nula). Apenas a superfície superior do cilindro (com cota z = 80 mm) pode trocar calor com o ar ambiente que está a 
T∞ = 20°C com coeficiente de transferência de calor por convecção de 60 W/m2.K. Corrente elétrica percorre o cilindro 
ocorrendo geração volumétrica homogênea de calor. Determine: (a) a taxa de geração volumétrica de calor [W/m³] e (b) a 
temperatura na superfície inferior (isolada) do cilindro (z = 0 mm). Admita que o material do cilindro tenha condutividade 
térmica de 10 W/m.K, regime permanente e desprezíveis as trocas térmicas porradiação. A temperatura na superfície superior 
do cilindro (z = 80 mm) [em contato com o ar ambiente] é igual a 
TS= 80°C. ((a): 45000 W/m3, item (b): 94,4°C). 
 
18) (A1.143-P3–2Sem2013-Diu) Um transistor que pode ser aproximado por uma 
fonte de calor hemisférica (½ esfera maciça) com raio r0=0,1 mm, está inserido em 
um grande substrato de silício (de condutividade térmica 125 W/m.K) e dissipa calor 
a uma taxa de 4 W. Todas as fronteiras do silício são mantidas à temperatura 
ambiente de Tamb = 27°C, exceto a superfície superior, que se encontra isolada 
termicamente. (a) Obtenha uma expressão geral para a distribuição de temperaturas 
no substrato [ T = T(r) ] e (b) determine a temperatura da superfície da fonte de calor 
(transistor) (c) a taxa de geração volumétrica de calor no transistor. Despreze a 
resistência de contato entre o transistor e o substrato, admita regime permanente, 
condução radial e que não exista geração interna no substrato. A coordenada radial 
tem valor nulo no centro do transistor. O raio médio externo do substrato de silício é 
muito maior do que o raio externo do transistor. ((a): T = ((5,09 . 10-3)/r)+27, (b): 
77,92°C, (c) 1909 W/mm3) 
 
19) (A1.138-P1–2Sem13-Diu) O terminal conector de um cabo elétrico de alta potência suporta 
corrente e tensão que resultam em uma geração interna homogênea de calor de 107 W/m3. O 
conector é confeccionado em material de condutividade térmica de 200 W/mK. No projeto estuda-se 
uma condição limite de operação em que a face direita do conector não tem contato perfeito durante 
a conexão, mas a face esquerda tem contato perfeito. Nesta condição limite, apenas 20% da taxa de 
transferência de calor total ocorre pela face direita do conector (devido à resistência de contato que 
se estabelece). Determine qual será a temperatura da face esquerda, supondo temperatura 
máxima no conector em qualquer ponto do mesmo de 130ºC. Admita transferência de calor 
unidimensional (apenas na direção x), regime permanente e que integração da equação da condução 
de calor leve a distribuição parabólica de temperatura conforme a equação: T = a.x2+b.x+c Onde T é 
a Temperatura em ºC, x a posição em metros na placa, a, b e c são constantes. 
Obs: (1) UTILIZE OBRIGATORIAMENTE O SISTEMA CARTESIANO ORIENTADO E LOCALIZADO 
CONFORME A FIGURA, (2) em função da hipótese simplificadora de condução unidimensional, todas as faces, à 
exceção das faces esquerda e direita, estão ISOLADAS, (3) A troca de calor se dá do conector para a sede, (4) o conector 
se encaixa completamente na sede.(126,4ºC) 
 
 
 
 
 
 
ISOLAMENTO TÉRMICO
TRANSISTOR
SUBSTRATO DE 
SILÍCIO
rs
rs>>>r0
r0= 0,1mm
Tamb= 27°C
Caso seja necessário, para esfera 
maciça de raio R:
Volume: " = (4π/3) R³
Área superficial: AS = 4πR²
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T2
T1
(face 1)
(face 2)
r
D
ϕ 
Alumínio Alumínio
Cerne de U3O8Al (com geração)
Seção transversal da
placa com material físsil
R
ef
rig
er
an
te
,T
∞
R
ef
rig
er
an
te
,T
∞
Ts Tr Tc
0,4 1,2 0,4
 
20) ( A1.115- P3-1Sem12-Not) O reator IEA-R1 é um reator nuclear de pesquisa que utiliza 
elementos combustíveis do tipo placa (uma ilustração do núcleo pode ser observada na figura 
com cotas em milímetros). O reator está localizado no Instituto de Pesquisas Energéticas e 
Nucleares em São Paulo / SP. Sabendo que será testado um novo tipo de material nuclear no 
cerne de seu combustível U3O8Al (k = 20 W/mK)e que a temperatura não deve ser superior a 
80°C (em nenhuma localização do Cerne). Cálculos de neutrônica indicaram um valor para a 
geração de calor (no cerne) de valor igual a 2.108W/m³(uniforme). O valor do coeficiente de 
transferência de calor por convecção para a vazão de fluido refrigerante no núcleo é de 3265 
W/m²K, a condutividade térmica do alumínio de revestimento é igual a 239 W/mK. Admita 
transferência de calor permanente e unidimensional. 
(a)Determine qual deverá ser a temperatura média do fluido refrigerante (T∞). (41,25°C) 
(b)Faça um gráfico da variação da temperatura na placa indicada na seção. 
 parábola com concavidade voltada para baixo no cerne (valor máximo 
na linha de simetria 80ºC e mínimo no contato com o Al 78,2ºC), reta no Al 
(valor máximo em 
contato com o cerne 78,2ºC e mínimo no contato com o fluido 78ºC), no fluido o 
perfil tradicional 
de convecção desde 78ºC até a temperatura ao longe de 41,25ºC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
21) (A1.110-P1-1Sem12-Not) Considere um cilindro maciço confeccionado com material homogêneo e de propriedades 
constantes. A lateral do cilindro está completamente isolada com uma camada bastante espessa de material com 
condutividade térmica próxima de zero. Sabendo que em sua base (z= 0 m) a temperatura tem valor T1e em seu topo (z=L) a 
temperatura é 2.T1, encontre uma expressão da temperatura em função da posição z, sabendo que há geração de energia 
interna (uniforme) no mesmo. São conhecidos: D– Diâmetro do cilindro;L– Comprimento do cilindro; T1– Temperatura da 
base; k– condutividade térmica do material do cilindro; ρ- densidade do material do cilindro e c– calor específico do material 
do cilindro; taxa de geração volumétrica de calor uniforme �̇�𝐺. Admita regime permanente. IMPORTANTE: A equação de 
variação de temperatura deve ser escrita em função APENAS das grandezas conhecidas, tendo como variável independente a 
coordenadaz. É obrigatório o uso da equação da condução (após escolha adequada do sistema de coordenadas) e sua 
simplificação, além da identificação e adoção das condições de contorno. (𝐓(𝐳) = −
�̇�𝐆
𝟐𝐤
𝐳𝟐 + (
𝐓𝟏
𝑳
+
�̇�𝐆∗𝑳
𝟐𝐤
) 𝐳 + 𝐓𝟏) 
 
22) (A1.114-P1-1Sem12-Diu) O meio anel com seção transversal circular (Diâmetro D = 2 cm e raio médio igual a r = 40 
cm) gera calor por efeito Joule. Admitindo que a geração ocorra a uma 
taxa volumétrica uniforme igual a 3000 W/m3, e que se estabelece regime 
permanente, determine uma expressão da variação da temperatura em 
função do ângulo φ. Sabe-se que a temperatura obedece a uma expressão 
do tipo T = T(φ). Admita que o material que confecciona o meio anel 
tenha condutividade térmica constante e igual a 1,5 W/m.K. Sabe-se que 
a temperatura em φ = 0 é igual a T1= 20ºC e a temperatura em φ = π é 
igual a T2= 140ºC. Toda a lateral do meio anel é envolta por um espesso 
isolante térmico de condutividade térmica próxima de zero (no desenho o 
isolante não é indicado). Apenas a face 1 e a face 2 podem trocar calor 
livremente com o ambiente externo. É obrigatório o uso da equação da 
condução, a indicação das simplificações e também de todas as passagens matemáticas para obtenção da expressão solicitada. 
Na função solicitada, a temperatura deve estar em ºC e o ângulo em radianos. (𝐓 = −𝟏𝟔𝟎𝛟𝟐 + 𝟓𝟒𝟎, 𝟖𝟓𝛟 + 𝟐𝟎) 
 
 
 
 
 
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TCÉU
TAMB
TS
z 1
0
0
0concreto
Corte A-A Vista isométrica
3000
3
0
0
0
2
5
0
2
5
0
250
A A
Planta
4
5
°
T
O
D
A
S
 A
S
 D
I
M
E
N
S
Õ
E
S
 E
M
 M
I
L
Í
M
E
T
R
O
S
23) (A1.131-P1-1Sem13-Diu) Considere uma esfera homogênea (maciça e confeccionada 
completamente do mesmo material) de raio externo 40 mm composta de um material radioativo que 
gera calor a uma taxa de geração de calor não uniforme: �̇�𝐺 = 3. 10
7. 𝑟. Onde r é uma coordenada radial medida a partir do 
centro da esfera. O calor gerado é dissipado constantemente para o ambiente. A superfície externa da esfera é mantida a uma 
temperatura uniforme de 80°Ce a condutividade térmica da esfera é de 5 W/m.K. Assumindo que a transferência de calor é 
unidimensional e permanente determine: 
a) Uma equação para a distribuição de temperatura T (ºC) na esfera em função do raio r (m);(T=-5.105r³+112) 
b) A taxa de transferência de calor através da superfície da esfera;(241,27 W) 
c) Um gráfico de taxa de transferência de calor (W) versus posição radial r (m) para a esfera. (calculando os valores para r 
em intervalos de 0,01m). 
d) Supondo que a superfície da esfera possa trocar calor exclusivamente com um fluido de condutividade térmica igual a 
0,6 W/m.K determine o gradiente de temperatura no fluido junto à superfície da esfera. (
𝑑𝑇
𝑑𝑟
)
𝑟=0,04𝑚
.(-20000 K/m) 
 
 
24) (A1.122-até 1.125-P1-2Sem12-Not) As aduelas de concreto são peças retangulares 
pré-moldadas de concreto, com encaixe macho fêmea, que são normalmente utilizadas 
nos sistemas de drenagem pluvial de vias urbanas, rodovias, canalizações de córregos a 
céu aberto ou fechado. A geometria simplificada da aduela de concreto é obtida por um 
molde normalmente de madeira como indicado na figura. Nos exercícios em questão a 
forma de concreto será preenchida com uma mistura concreto + pneus gastos moídos. 
Estima-se que a temperatura de superfície (TS) do concreto seja de 45°C, que a 
temperatura do céu seja 15°C e a temperatura do ar ambiente é de 22°C. 
Desenvolvendo-se um coeficiente de transferência de calor por convecção entre a 
superfície do concreto e o ar ambiente de 18 W/m²K. A emissividade da superfície da 
mistura é de 0,69. Para um modelo de transferência de calor simplificado é possível: (a) 
Desprezar a transferência de calor pelas laterais do molde; (b) Desprezar a transferência 
de calor pelo fundo do molde (z= 0m); 
(c) Admitir transferência de calor unidimensional (direção z) em regime permanente 
(d) Admitir que a mistura no molde tenha propriedades uniformes e constantes; (e) 
Admitir geração volumétrica de calor uniforme pela cura do concreto. 
a) Determine a área de troca de calor por convecção entre a superfície do concreto e o 
ar atmosférico. (2,875 m²) 
b) Determine a taxa de geração volumétrica (uniforme) de calor em W/m³ para a mistura de concreto. (544,92 W/m³) 
c) Determine a máxima temperatura no molde (concreto) e o local em que acontece (coordenada z). Para responder essa questão é 
necessário o uso da equação da condução, sua simplificação e resolução completa (indicando as condições de contorno utilizadas). 
Equações prontas não serão aceitas. A condutividade térmica da mistura é igual a 0,7 W/m.K. (Tmáx= 434,228 °C em z= 0m) 
d) Faça um gráfico em escala de temperatura no concreto em função da coordenada z. Indique pelo menos dois pontos. Use os 
eixos indicados como referência ao corte A-A. 
 
25) (A1.41-P1–1Sem09–Diu) Considere uma esfera homogênea (maciça e confeccionada completamente de mesmo 
material) de raio externo 40 mm composta de um material radioativo que gera calor a uma taxa uniforme e constante de 4.107 
W/m³. O calor gerado é dissipado constantemente para o ambiente. A superfície externa da esfera é mantida a uma 
temperatura uniforme de 80ºC e a condutividade térmica da esfera é de 15W/mK. Assumindo que a transferência de calor é 
unidimensional e permanente: 
a) obtenha uma expressão da temperatura (ºC) em função do raio na esfera (m); 
b) determine a temperatura no centro da esfera;((a) T = -444444,4 r² + 791,11; (b) Temperatura no centro da esfera 
791,11ºC) 
 
26) (A1.108-P3–2Sem11–Not) Uma parede plana de espessura 2.L= 40mm e condutividade térmica constante e igual a 5 
W/(m.K) sofre uma reação química e gera calor internamente de modo uniforme (�̇�𝐺) em regime permanente. A distribuição 
de temperatura obedece a seguinte expressão: T=80-2.104.x². Com a temperatura em graus Celsius e a coordenada espacial x 
em metros. A origem do sistema está localizado no plano médio da parede (deste modo, na parede -0,020m ≤ x ≤ 0,020m). 
Determine qual é a taxa volumétrica de geração de calor �̇�𝐺. (200.000 W/m³) 
 
 
 
 
 
 
 Transmissão de Calor – P1-Aula B – 2° Sem. 2017 
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Irradiação laser
Material
semitransparente
x = 0
x = L
xL Material B
Material Ax
T1
T0
105°C
Água
30°C
IS
O
L
A
M
E
N
T
O
LA LB
L
z
r
ϕ peça
isolamento
ϕ 
ϕ = 0ϕ = π
isolamento
ri ro
T1T2
27) (A1.69-P1–1Sem10–Diu) A distribuição de temperaturas, em regime permanente, em um material 
semitransparente (tipo placa plana), com condutividade térmica k e espessura L, exposto à irradiação 
laser é descrita por: 
𝑇 = −
D
k.a2
𝑒−𝑎.𝑥 + 𝐵. 𝑥 + 𝐶. Onde D, a, B, C são constantes conhecidas. Nessa 
situação, a absorção de radiação no material é manifestada por um termo de 
geração de calor (não homogêneo) e igual a �̇�𝐺, que, em unidades do sistema 
internacional é medido em W/m³. Determine, admitidos conhecidos D, a, B, 
C, L, k, expressões para as seguintes quantidades (por metro quadrado de área 
de exposição): 
a) taxa de transferência de calor na superfície ( x = 0 e x = L) 
b) Taxa de absorção de energia em todo o material (W/m²). 
Lembrete: 𝑑(𝑒𝑢) = 𝑢′. 𝑒𝑢 
((a)x=0: 
𝒒(𝒙=𝟎)
𝑨
= −𝒌 (
𝑫
𝒌.𝒂
+ 𝑩) e para x=L: 
𝒒(𝒙=𝑳)
𝑨
= −𝒌 (
𝑫
𝒌.𝒂
𝒆−𝑳.𝒂 + 𝑩); (b) 
�̇�
𝑨
=
𝑫
𝒂
(𝟏 − 𝒆−𝑳.𝒂)) 
 
28) (A1.76-P3–1Sem10–Diu) Uma parede plana é composta por duas camadas de materiais, 
A e B. Na camada A há geração de calor uniforme com taxa de geração volumétrica e 
uniforme igual a �̇�𝐺. A camada B não apresenta geração de calor. A superfície esquerda da 
camada A, está perfeitamente isolada, enquanto a superfície direita da camada B é resfriada 
por uma corrente de água com temperatura de 30ºC e coeficiente de troca de calor por 
convecção igual a 1000 W/(m²K) e se mantém a temperatura de 105ºC. Determine a 
temperatura na superfície isolada. São dados: condutividade térmica do material da camada A 
igual a 75 W/m.K, condutividade térmica do material da camada B igual a 150 W/mK. Admita 
regime permanente, troca de calor unidimensional (apenas na direção x), resistência de 
contato desprezível e efeitos de transferência de calor por radiação desprezível. Importante: no 
material A, a distribuição de temperaturas segue uma função parabólica com a posição x: 𝑇 =
𝑎. 𝑥2 + 𝑏. 𝑥 + 𝑐. Dados: LA = 50 mm e LB = 20 mm. (140ºC) 
 
29) (A1.78-P3–1Sem10–Not) Em certo instante do tempo, a distribuição de temperaturas em 
uma parede com 0,3 m de espessura é 𝑇 = 𝑎 + 𝑏. 𝑥 + 𝑐. 𝑥2, onde a temperatura (T ) está em graus Celsius e a coordenada 
independente (x) em metros, a = 200°C, 
b = -200°C/m e c = 30°C/m². A parede possui uma condutividade térmica de 1 W/mK. Admita troca de calor unidimensional 
e área de troca de calor unitária para ambas as faces da parede. Despreze efeitos de troca de calor por radiação. Determine: (a) 
a taxa de transferência de calor na face em x = 0 m (face esquerda) e também em x = 0,3 m (face direita) indique se em cada 
uma das faces a parede está recebendo ou cedendo calor ao meio externo. (b) Se a superfície “fria” estiver exposta a um 
fluido a 100ºC, qual é o coeficiente de transferência de calor por convecção? (c) Nas condições apresentadas, indique 
(justificando) se o regime é permanente, e em caso negativo, se a placa está aumentando ou diminuindo a temperatura com o 
tempo. 
((a) face esquerda (x = 0 m) 200 W [recebendo]; face direita (x = 0,3 m) 182 W [cedendo] 
(b) h = 4,26 W/m²K 
(c) Como a parede recebe maior quantidade de energia (na face esquerda) do que perde (na face) direita, há aumento 
de temperatura com o tempo.) 
 
 
30) (A1.80-P1-2Sem10-Diu–2,0+1,0 pts) Osistema cilíndrico ilustrado possui variações de temperatura nas direções r e z 
desprezíveis. Considere que Δr= ro-ri e represente o comprimento do cilindro 
por L. Para condições em regime permanente e sem geração interna de calor e 
material de propriedades constantes (com condutividade térmica conhecida 
igual a k), (a) determine a distribuição de temperaturas em função do ângulo 
ϕe em termos das constantes T1, T2, ro e ri. (b) Sabendo que a temperatura T1 
é maior do que a temperatura T2, determine o ângulo em que ocorrerá a maior 
temperatura no sólido. Na figura abaixo há indicação das regiões em que há 
isolamento térmico espesso. ((a) 𝐓 =
(𝐓𝟐−𝐓𝟏)
𝛑
𝛟 + 𝐓𝟏; b) TMÁX = T1) 
 
 
 
 
 Transmissão de Calor – P1-Aula B – 2° Sem. 2017 
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placa
plana
T2T1
Fluido
Fluido
10°C
10°C
85 mm
x
 
31) (A1.120-P1-2Sem12-Diu) Uma grande parede plana de condutividade uniforme e espessura 2.L tem 
fontes internas de calor (geração interna) não uniformes. A taxa de geração volumétrica de calor �̇�𝐺 varia conforme a expressão: 
�̇�𝐺 = �̇�0. cos(𝑎. 𝑥) onde �̇�0 é a taxa de geração de calor volumétrica no centro da parede (x=0) e a é uma constante. Os dois lados 
da placa [lado esquerdo emx= - L=-0,4 m e lado direito x= L=0,4m] são mantidos em temperatura constante T=TW. Admita 
transferência de calor unidimensional [apenas na direção x] em regime permanente. Determine a taxa de transferência de calor total 
por unidade de área (superficial) da placa para o ambiente. São conhecidos: �̇�0=4500 W/m³, a= 2,325 [SI]. As grandezas não 
informadas como a condutividade térmica da placa e TW não são conhecidas. (3103,045 W/m²) 
 
32) (A1.81-P1-2Sem10–Diu–1,5+1,5 pts) Condução unidimensional (apenas na direção x), em regime permanente, com 
geração interna uniforme de calor (igual a 0,01 W/cm³) ocorre em uma parede plana com espessura de 
85 mm e uma condutividade térmica constante igual a 0,5 W/m.K. Nessas condições, a 
distribuição de temperatura na placa segue a equação: T = −
q̇g
2.k
. x2 + [
(T2−T1)
L
+
q̇g.L
2.k
] x + T1 
O coeficiente de transferência de calor por convecção do lado esquerdo e do lado direito 
da placa valem respectivamente, 20W/m².K e 10 W/m².K. Despreze efeitos de radiação 
térmica. Sabendo que o T1=25ºC, determine: 
a) A temperatura T2 (na face direita da placa com x = 85 mm) (T2 = 65°C) 
b) A temperatura máxima na placa e sua localização (valor da coordenada x). (x=66,03mm; TMÁX = 68,6°C) 
 
33) (A1.53-P1-2Sem09-Diu-3,5pts) Considere que a placa da base de um ferro de passar de 1200W tenha espessura de l=0,5 
cm, área da base A=300 cm² e a condutividade térmica 15 W/m.K. A superfície interna da placa é submetida a um fluxo de 
calor uniforme, gerado pela resistência elétrica interna, enquanto a superfície externa perde calor 
para o meio (de temperatura 20°C) por convecção, como indicado na figura abaixo. Assumindo 
que o coeficiente de transferência de calor por convecção é de 80 W/m²K e desprezando a perda 
de calor por radiação, obtenha uma expressão para a variação de temperatura na placa da base do 
ferro. A expressão deve ser do tipo T=T(x) onde T deve estar obrigatoriamente em °C e x em 
metros. Determine também a temperatura em x=0 e x=L (no detalhe, indique graficamente o 
resultado na placa).A orientação do sistema de coordenadas está indicada na figura e não pode ser 
alterado. Supondo operação em regime permanente e troca de calor unidimensional (apenas 
direção x). Indique claramente quais os termos a serem desprezados na equação da condução e as hipóteses simplificadoras 
adotadas! (T=-2666,7x+533,3) 
 
34) (A1.38-P3–2Sem08–Not) A usina termonuclear de Angra II queima combustível através de uma reação nuclear de 
fissão para gerar o calor necessário para produzir vapor superaquecido. O combustível está na forma de dióxido de urânio (de 
condutividade térmica igual a 4 W/mK). O núcleo do reator é composto de dezenas de milhares de varetas cilíndricas de 
combustíveis com 8 mm de diâmetro e 3,63m de altura, podendo ser considerado um cilindro muito longo. Considere uma 
vareta combustível média onde as reações de fissão geram uma produção uniforme interna de calor de qG=4,3.108W/m
3 e 
induzem uma temperatura na sua superfície de 540 ºC. Determine, em regime permanente, a temperatura máxima do 
combustível que ocorre no centro do cilindro. Observações: I) Admita regime permanente e condução de calor radial. (970ºC) 
 
placa da
base A = 300 cm²
T∞ = 20 °C
isolamento
Aquecedor
1200 W
L
x
x
L