Unidade 1 Parte 7

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Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO II 
UNIDADE 1: (Parte 7) 
 
1.5.4 Integração de funções racionais por frações parciais 
Uma função racional 𝑓(𝑥) é definida como o quociente de duas funções polinomiais, ou 
seja, 
 
onde 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) são polinômios. 
 Um procedimento sistemático para calcular a integral de qualquer função racional é 
escrevê-la como uma soma de frações mais simples. Para isto, vejamos a seguinte 
proposição. 
Proposição 1: Se 𝑝(𝑥) é um polinômio com coeficientes reais, 𝑝(𝑥) pode ser expresso como 
um polinômio de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais. 
Exemplos: 
1. O polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 pode ser escrito como o produto dos fatores lineares 𝑥 
− 2 e 𝑥 − 1, ou seja, 𝑞(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 − 2). 
 
2. O polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1 pode ser escrito como o produto do fator linear 𝑥 − 
1 pelo fator irredutível 𝑥2 + 1, isto é, 𝑞(𝑥) = (𝑥2 + 1)(𝑥 − 1). 
 
1° Caso: Os fatores de 𝒒(𝒙) são lineares e distintos 
 
Neste caso, podemos escrever 𝑞(𝑥) na forma 
𝑞(𝑥) = (𝑥 − 𝑎1 )(𝑥 − 𝑎2) … (𝑥 − 𝑎𝑛) 
Onde os 𝑎𝑖 (𝑖 = 1, … , 𝑛) são distintos dois a dois. 
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 A decomposição da função racional em frações mais simples é dada 
por 
 
Onde 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 são constantes que devem ser determinadas. 
Exemplos: 
1. 
 
 
 
 
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2. 
 
𝑥2 − 4 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) 
 
 
𝑥 − 1 = (𝑥 + 2)𝐴1 + (𝑥 − 2)𝐴2 
𝑥 = 2 → 2 − 1 = (2 + 2)𝐴1+(2 − 2)𝐴2 
 
𝑥 = −2 → −2 − 1 = (−2 + 2)𝐴1 + (2 − 2)𝐴2 
 
 
 
 
 
 
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2° Caso: Os fatores de 𝒒(𝒙) são lineares, e alguns deles se repetem 
 Se um fator linear 𝑥 − 𝑎𝑖 de 𝑞(𝑥) tem multiplicadores 𝑟, a esse fator corresponderá 
uma soma de frações parciais da forma 
 
onde 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑟 são constantes que devem ser determinadas. 
Exemplo: 
1. 
 
 
 
3° Caso: Os fatores de 𝒒(𝒙) são lineares e quadráticos irredutíveis, e os fatores 
quadráticos se repetem 
 
 A cada fator quadrático 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 de 𝑞(𝑥), corresponderá uma fração parcial da 
forma 
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Exemplo: 
 
1. 
 
 
−2𝑥 + 4 = 𝐵1𝑥2 + 𝐵1 + (𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 + 1)𝐵2 + (𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥2 − 2𝑥 + 1) 
−2𝑥 + 4 = 𝐵1𝑥2 + 𝐵1 + 𝐵2𝑥3 − 𝐵2𝑥2 + 𝐵2𝑥 − 𝐵2 + 𝐶𝑥3 − 𝐶𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑥2 − 2𝐷𝑥 + 𝐷 
−2𝑥 + 4 = (𝐵2 + 𝐶)𝑥3 + (𝐵1 − 𝐵2 − 2𝐶 + 𝐷)𝑥2 + (𝐵2 + 𝐶 − 2𝐷)𝑥 + 𝐵1 − 𝐵2 + 𝐷 
 𝐵2 + 𝐶 = 0 → 𝐵2 = −𝐶 → 𝐵2 = −2 
−𝐵2 − 2𝐶 + 𝐷 = 0 → 𝐵1 + 𝐶 − 2𝐶 + 𝐷 = 0 → 𝐵1 − 𝐶 + 𝐷 = 0 → 𝐵1 = 𝐶 − 𝐷, 
 𝐵1 = 1 
𝐵2 + 𝐶 − 2𝐷 = −2 → −𝐶 + 𝐶 − 2D = −2 → 𝐷 = 1 
𝐵1 − 𝐵2 + 𝐷 = 4 → (𝐶 − 1 + 𝐶 + 1) = 4 → 𝐶 = 2 
 
 
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. 
4° Caso: Os fatores de 𝒒(𝒙) são lineares e quadráticos irredutíveis, e alguns fatores 
quadrático se repetem 
 Se um fator quadrático 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑐 + 𝑐 de 𝑞(𝑥) tem multiplicidade 𝑠, a esse fator 
corresponderá uma soma de frações parciais da forma 
 
Exemplo: 
1. 
𝑥(𝑥2 + 1)2 = 𝑥(𝑥2 + 1)2(𝑥2 + 1) 
 
 
1 = (𝑥4 + 2𝑥2 + 1)𝐴 + 𝐶1𝑥2 + 𝐷1𝑥 + (𝐶2𝑥 + 𝐷2)(𝑥3 + 𝑥) 
1 = (𝐴 + 𝐶2)𝑥4 + 𝐷2𝑥3 + (2𝐴 + 𝐶1 + 𝐶2)𝑥2 + (𝐷1 + 𝐷2)𝑥 + 𝐴 
𝐴 + 𝐶2 = 0 
𝐷2 = 0 
2𝐴 + 𝐶1 + 𝐶2 = 0 → 2 ∙ 1 + 𝐶1 − 1 → 𝐶1 = −1 
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𝐷1 + 𝐷2 = 0 → 𝐷1 = 0 
𝐴 = 1 
 
 
 
𝑢 = 𝑥2 + 1 
𝑑𝑢 = −2𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
𝑢 = 𝑥2 + 1 
𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 
 
 
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 Assim, 
∫
𝑑𝑥
𝑥(𝑥2 + 1)2
= ln|𝑥| +
1
2(𝑥2 + 1)
−
1
2
ln|𝑥2 + 1| + 𝐶