Lista de exercícios Unidade II Calc. II

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO – UFERSA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS 
DISCIPLINA: CÁLCULO II 
LISTA DE EXERCICIOS - UNIDADE II 
1) Calcular as seguintes integrais definidas: 
a) ∫ 𝑥 (1 + 𝑥3)𝑑𝑥
2
−1
 
b) ∫ 2𝑡 √𝑡 𝑑𝑡
9
4
 
c) ∫ √2𝑥 − 1 𝑑𝑥
5
−1
 
d) ∫
cos 𝑥
(1+𝑠𝑒𝑛 𝑥)5
𝑑𝑥
𝜋
2
0
 
2) Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas: 
a) 𝑦 = 3𝑥2 − 3, −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 
b) 𝑦 = 𝑥
1
3, −1 ≤ 𝑥 ≤ 8 
c) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 e 𝑦 = 𝑥 
d) 𝑥 = 𝑦2 e 𝑥 = 𝑦 + 2 
3) Encontrar o comprimento de arco das curvas: 
a) 𝑦 =
1
3
(2 + 𝑥2)
3
2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 
b) 𝑦 = 8𝑥 − 5, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 
c) (𝑦 − 1)2 = (𝑥 + 4)3, −3 ≤ 𝑥 ≤ 0 
4) Calcular o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo 
dado: 
a) 𝑦 = 𝑥2 + 1, 𝑥 = 0, 𝑥 = 2 𝑒 𝑦 = 0 (𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥) 
b) 𝑦 = 𝑥3, 𝑥 = −1, 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 0 (𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥) 
c) 𝑦2 = 2𝑥, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 𝑒 𝑦 = 2 (𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦) 
d) 𝑥 = 𝑦2 𝑒 𝑥 = 2 − 𝑦2 (𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦) 
e) 𝑦 = 3 + 𝑥2, 𝑥 = −2, 𝑥 = 2 𝑒 𝑦 = 2 (𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 = 2) 
f) 𝑥 = 𝑦
3
2
 𝑒 𝑦 = 4 (𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 = 0) 
5) Determine as áreas de superficie geradas pela rotação das curvas em torno dos 
eixos indicados: 
a) 𝑥 = cos 𝑡, 𝑦 = 2 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 (𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥) 
b) 𝑥 = (
2
3
) 𝑡
3
2, 𝑦 = 2√𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ √3 (𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦) 
c) 𝑦 = 4𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 (𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 𝑒 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦) 
6) Um estudo ambiental realizado em certa cidade revela que daqui a t anos o índice 
de monóxido de carbono no ar estará aumentando á razão de 0,1t + 0,1 partes por 
milhão por ano. Se o índice atual de monóxido de carbono no ar é de 3,4 partes por 
milhão, qual será o índice daqui a 3 anos?