métodos numéricos para equações diferenciais parciais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
Métodos Numéricos para Escoamento de Fluidos
Orientando: Sérgio Kardec Soares Batista, Matemática Aplicada
Manaus - Amazonas
2017
UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
Métodos Numéricos para Escoamento de Fluidos
Orientando: Sérgio Kardec Soares Batista,Matemática Aplicada
Orientador: Prof
o
Dr. João Caldas / Sandro Bittar
Manaus - Amazonas
2017
Sumário
3
Introdução
Solução de uma equação diferencial pode ser abordada de três maneiras diferentes: a ana-
lítica, a qualitativa e a numérica. Num primeiro momento de estudo de Equações Diferenciais,
geralmente, é dada prioridade a este processo analítico na busca da solução de uma equação
diferencial via processo de integração. Aqui, já começa a ficar claro que por este processo ana-
lítico não é sempre possível encontrar a solução de todas as equações diferenciais, pois como já
sabemos, existem muitas funções que não podem ser expressas em termos de funções elemen-
tares. Deste modo nem toda solução pode ser expressa de maneira adequada por método de
integração. Já pelo processo qualitativo, discute-se o comportamento geométrico das soluções e
os aspectos das curvas integrais descritos por meio de campos de direções. Este procedimento,
no estudo das equações diferenciais ordinárias de 1
a
ordem, é baseado na interpretação da
derivada. Finalmente, na abordagem numérica, métodos numéricos são utilizados para apro-
ximar soluções de problemas de valor inicial (P.V. I) de equações diferenciais de 1
a
ordem.
Os procedimentos numéricos podem ser executados, em computadores e, também, em algumas
calculadoras. Idealmente, os valores aproximados da solução serão acompanhados de cotas para
os erros que garantem um nível de precisão para aproximações. Existem muitos métodos, hoje
em dia, que produzem aproximações numéricas de soluções de equações diferenciais. Este tra-
balho visa a resolução de problemas de escoamento, importa, antes de mais, definir percolação
e perceber porque é que é um problema. Chama-se escoamento ao movimento da água nos
solos.
Este movimento da água deve-se a diferenças de carga hidráulica, designação atribuída no
caso concreto à energia mecânica total, composta, como é sabido, pela soma da energia cinética
com a energia potencial. Tendo em conta que nos maciços terrosos a velocidade com que a água
se desloca é muito baixa, a energia cinética por unidade de peso é extremamente reduzida, pelo
que pode ser desprezada. Em consequência, a energia potencial é praticamente igual à carga
hidráulica. O método numérico para resolução desse problema mais usado na mecânica dos
fluidos é o métodos elementos finitos, ai deveríamos nos perguntar: será que essa abordagem
adotadas pelos engenheiros é a que melhor minimiza o erro ? será que poderíamos explorar um
método tal que o erro seja menor ou igual ao método usual ? será que existe algum método
com menos custo computacional (ou seja, que resolva o mesmo problema em menos passos
iterativos)? e outras diversas perguntas que não são facilmente respondidas.
4
osso problema é saber o valor de u(x) em cada x de interessa, mas para isso precisamos
supor algumas hipóteses sobre u(x).
Para isso vamos trabalhar em cima de problemas da mecânica dos fluidos, e portanto alguns
conceitos básicos serão omitidos. Nossa ideia é selecionar um método alternativo que seja
vantajoso em algum aspecto, e se for possível resolver analiticamente para comparar com as so-
luções numéricas, e explorar o método elementos finitos, para nos convencer de que para o caso
de aplicações em mecânica dos fluidos esse seria, de fato, a melhor opção que as ferramentas
matemáticas atuais podem oferecer, ou seja, precisamos abrir a "caixa preta"do métodos afim
de nos convencer do que está realmente acontecendo por trás de tudo. Há diversos fenómenos
na natureza que podem ser expressos através de equações diferenciais, contudo, a resolução
analítica dessas equações só é possível para casos muito simples, que raramente correspondem
ao problema em estudo. No sentido de ultrapassar esta dificuldade, desenvolveram-se méto-
dos numéricos que permitem encontrar uma função capaz de aproximar a solução da equação
diferencial em todo o domínio. Carl David Runge (1856-1927), matemático e físico alemão,
trabalhou muitos anos em espectroscopia. A análise de dados o levou a considerar problemas
em computação numérica e o método de Runge-Kutta tem origem em seu artigo sobre soluções
em 1901 por M. Wilhelm Kutta (1867-1944). Kutta era um matemático alemão que trabalhava
com aerodinâmica e é, também, muito conhecido por suas contribuições importantes à teoria
clássica de aerofólio. O método de Runge-Kutta é provavelmente um dos métodos mais popu-
lares. O método de Runge-Kutta de quarta ordem também é um dos mais preciosos para obter
soluções aproximadas de valor inicial. Cada método de Runge-Kutta consiste em comparar
um polinômio de Taylor apropriado para eliminar o cálculo das derivadas. Fazendo-se várias
avaliações da função a cada passo. Estes métodos podem ser construídos para qualquer ordem.
Como foi dito, diversos fenômenos físicos da natureza podem ser modelados por funções que
em geral são de várias variáveis, matematicamente podemos modelar com {x1, ..., xn, y} onde y
nossa variável resposta, em outras palavras, deve existir uma u tal que u(x1, ..., xn) = y onde
xi, y são variáveis reais, obviamente que essas funções não são dadas facilmente, mas baseado em
algumas hipóteses podemos descrever como seria u(x), ondex = (x1, ..., xn). Desses destacam-se
três dignos de referência, sendo eles o método das diferenças finitas, o método variacional e o
método dos elementos finitos [9].
5
Na aproximação por diferenças finitas de uma equação diferencial, as derivadas na equa-
ção são substituídas pelos quocientes das diferenças que envolvem os valores da solução em
pontos discretos do domínio, denominado "malha". As equações discretas resultantes são re-
solvidas, depois de impostas as condições fronteira, para os valores da solução nos pontos da
malha. Apesar do método das diferenças finitas ser simples em termos conceptuais, tem várias
desvantagens. As mais notáveis são a imprecisão das derivadas da solução aproximada, a difi-
culdade na imposição das condições fronteira ao longo de fronteiras não lineares, a dificuldade
de representar com exatidão domínios de geometria complexa e a incapacidade de recorrer a
malhas não uniformes ou não rectangulares. Na solução variacional das equações diferenciais, a
equação diferencial é posta numa forma variacional equivalente e depois a solução aproximada
é assumida como sendo a combinação
∑
cjphij de determinadas funções de aproximação phij.
Os coeficientes cj são determinados pela forma variacional. Os métodos variacionais têm a
desvantagem de ser difícil construir as funções de aproximação para problemas com domínios
arbitrários. O método dos elementos finitos supera a dificuldade do método variacional, porque
utiliza um procedimento sistemático para as funções de aproximação. O método emprega duas
ferramentas básicas que atestam a sua superioridade em relação aos métodos concorrentes. Em
primeiro lugar, um domínio de geometria complexa é representado como um somatório de sub-
domínios simples, chamados elementos finitos. Em segundo lugar, sobre cada elemento finito
as funções de aproximação são derivadas recorrendo à ideia de que qualquer função contínua
pode ser representada por uma combinação linear de polinómios algébricos. As funções de
aproximação são deduzidas usando conceitos da teoria da interpolação e, portanto, chamadas
funções de interpolação. Assim, o elemento finito pode ser interpretado como uma aplicaçãolocal do método variacional, como seja o método dos resíduos pesados, no qual as funções de
aproximação são polinómios algébricos e os parâmetros indeterminados representam os valores
da solução num número finito de pontos pré-seleccionados, chamados nós, na fronteira e no
interior do elemento.
Nos próximos capítulo trataremos do método de Runge-Kutta. Será possível comparar a efici-
ência dos métodos dos elementos finitos e Runge-Kutta.
O que geralmente temos de hipótese para resolver esse problema são coisas do tipo u(0) = 0
ou 4u(x) = 0, que nada mais são do que interpretações matemáticas para fenômenos físicos
(modelagem matemática) e baseando-se nessas equações diferenciais parcias, podemos deter-
minar quem seria u. Nesse caso temos duas opções para encontrar u ou algo muito próximo
disso, temos a meneira análitica ou numérica, onde analíticamente poderiamos determinar exa-
tamente quem é u(x), e a maneira numérica seria encontrar, por exemplo, um polinômio p que
num certo intervalo, u ≈ p, ou melhor, u = p + erro, para nossa aplicação, resolveremos de
maneira numérica, pois algumas EDP (equações diferenciais parcias) nunca foram solucinadas
analíticamente, uma em especial é um dos problemas do milênio, o que queremos então seria
um método que nos desse uma boa explicação de quem seria u(x) para cada x que nos interessa.
6
Nosso objetivo geral é nos convencer de que o método dos Elementos Finitos para o caso
de malha de escoamento é a melhor opção que temos atualmente, pois com os últimos avanços
da matemática em diversas áreas é bem provavel que haja um método que seja vantajoso em
algum aspecto como veremos, por exemplo, o método Runge Kutta, que tem certas semelhanças
com o método dos Elementos Finitos, mas que em termos de custo computacional é muito mais
vantajoso, cabe à nós implementar o método Runge Kutta e verificar se os resultados condizem
com a realidade e comparar com a solução do método dos Elementos Finitos, para isso, preci-
samos abrir a "caixa preta"de cada método (método dos Elementos Finitos e Runge Kutta) no
caso do método proposto precisa ser levemente modificado para acomodar as necessidades para
malha de escoamento, (no caso, como veremos, a partição do conjunto das variáveis é partici-
onado de maneira igualitaria pois assim haverá um certo ganho computacional), precisaremos
dessa modificação pois o método Runge Kutta é geralmente usado para EDO, e no caso dos
fluidos, as equações são EDP, mas como veremos ainda nesse trabalho, é possível generalizar
com apenas uma hipótese sobre u(x).
A nossa aplicação para escoamento de fluido incompressíveis (no nosso caso, a água) onde
estaremos interessados em encontrar as equações de governacias de um certo escoamento do
fluido e assim com o método em mãos podemos resolver as equações usando o método proposto
no trabalho, em uma turbina, onde a ideia é retirar energia de um rio convertendo sua energia
cinética em energia elétrica, através da rotação do dínamo da turbina, obviamente que queremos
aproveitar ao máximo o potencial energético do rio e consequentemente precisaremos de outras
ferramentas, nesse objetivo específico será necessário modelos de otimização de maximizem o
ganho energético com base nas restrições (por exemplo: velocidade máxima do rio, raio da
turbina, pás da turbina, limitações econômicas, profundidade do rio, etc).
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Justificativa
Existem diversos métodos numéricos para resolução desse problema, o mais usado na me-
cânica dos fluidos é o métodos elementos finitos, ai deveríamos nos perguntar: será que essa
abordagem adotadas pelos engenheiros é a que melhor minimiza o erro ? será que poderíamos
explorar um método tal que o erro seja menor ou igual ao método usual ? será que existe algum
método com menos custo computacional (ou seja, que resolva o mesmo problema em menos
passos iterativos)? e outras diversas perguntas que não são facilmente respondidas. Nosso pro-
blema é saber o valor de u(x) em cada x de interessa, mas para isso precisamos supor algumas
hipóteses sobre u(x).
Para isso vamos trabalhar em cima de problemas da mecânica dos fluidos, e portanto alguns
conceitos básicos serão omitidos. Nossa ideia é selecionar um método alternativo que seja vanta-
joso em algum aspecto, e se for possível resolver analiticamente para comparar com as soluções
numéricas, e explorar o método elementos finitos, para nos convencer de que para o caso de
aplicações em mecânica dos fluidos esse seria, de fato, a melhor opção que as ferramentas ma-
temáticas atuais podem oferecer, ou seja, precisamos abrir a "caixa preta"do métodos afim de
nos convencer do que está realmente acontecendo por trás de tudo.
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Objetivos
Nosso objetivo geral é nos convencer de que o método dos Elementos Finitos para o caso
de malha de escoamento é a melhor opção que temos atualmente, pois com os últimos avanços
da matemática em diversas áreas é bem provavel que haja um método que seja vantajoso em
algum aspecto como veremos, por exemplo, o método Runge Kutta, que tem certas semelhanças
com o método dos Elementos Finitos, mas que em termos de custo computacional é muito mais
vantajoso, cabe à nós implementar o método Runge Kutta e verificar se os resultados condizem
com a realidade e comparar com a solução do método dos Elementos Finitos, para isso, preci-
samos abrir a "caixa preta"de cada método (método dos Elementos Finitos e Runge Kutta) no
caso do método proposto precisa ser levemente modificado para acomodar as necessidades para
malha de escoamento, (no caso, como veremos, a partição do conjunto das variáveis é partici-
onado de maneira igualitaria pois assim haverá um certo ganho computacional), precisaremos
dessa modificação pois o método Runge Kutta é geralmente usado para EDO, e no caso dos
fluidos, as equações são EDP, mas como veremos ainda nesse trabalho, é possível generalizar
com apenas uma hipótese sobre u(x).
A nossa aplicação para escoamento de fluido incompressíveis (no nosso caso, a água) onde
estaremos interessados em encontrar as equações de governacias de um certo escoamento do
fluido e assim com o método em mãos podemos resolver as equações usando o método proposto
no trabalho, em uma turbina, onde a ideia é retirar energia de um rio convertendo sua energia
cinética em energia elétrica, através da rotação do dínamo da turbina, obviamente que queremos
aproveitar ao máximo o potencial energético do rio e consequentemente precisaremos de outras
ferramentas, nesse objetivo específico será necessário modelos de otimização de maximizem o
ganho energético com base nas restrições (por exemplo: velocidade máxima do rio, raio da
turbina, pás da turbina, limitações econômicas, profundidade do rio, etc).
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Metodologia
Diversos problemas da Física, Engenharia e outras ciências aparecem sob a forma de uma
equação de Poisson:
−4 u = f(x), ondex ∈ Ω
com condição de fronteira de Dirichlet u = c (uma função constante por partes) e ∂Ω (bordo de
omega) e 4u é o operador laplaciano aplicado em u, Ω representa o aberto limitado no qual o
problema está definido, Quando c = 0 temos a condição de Dirichlet homogênea. Ao conjunto
de uma equação de Poisson com uma condição de Dirichlet homogênea chamamos um problema
de Dirichlet homogêneo:
−4 u = f(x) em Ω u = 0 sobre ∂Ω
Dependendo da geometria do domínio Ω a solução do problema pode ser obtida anali-
ticamente na forma de séries de Fourier. Exemplos clássicos normalmente estudados num curso
de equações diferenciais parciais são o caso de retângulos, semiplanos, discos e paralelepípedos.
No entanto, é preciso recorrer a métodos numéricos caso o domínio se torne mais elaborado. O
método dos elementos finitos (MEF) é conhecido por ser robusto e aplicável em domínios deve-
ras elaborados. Essas também são algumas de suas vantagens sobre o métododas Diferenças
Finitas, também bastante popular.
A idéia central do MEF é discretizar o domínio, representando-o, ainda que de forma aproxi-
mada, por uma reunião de um número finito de elementos; e resolver não o problema original
(1.2), mas sim um que lhe é associado u sua forma fraca. No caso de um domínio plano, os
elementos podem ser triângulos ou quadriláteros. O método pode ser utilizado para resolver
não só problemas elípticos, como o há pouco mencionado; e as condições não necessitam ser de
Dirichlet: o MEF também é aplicável no caso de condição de Neumann ou Robin. Optamos por
explorar neste texto apenas elementos triangulares e considerar somente o problema (1.2), já
que nosso objetivo é propiciar um primeiro contato com o MEF. Analisaremos, primeiramente,
o caso do problema unidimensional, que é bastante simples e útil como introdução ao método.
Em seguida, passaremos ao problema bidimensional, apresentando e exemplificando como o
MEF se lhe aplica. Cremos que a partir daí o leitor ou a leitora já estarão aptos a utilizar dessa
ferramenta na resolução de alguns problemas de interesse. O tratamento moderno dos
problemas em escoamento, é dado pelas técnicas de mecânica dos fluidos, como foi dito anteri-
omente, computacionalemtente (ou seja, de uma forma numérica). As equações governates da
mecâcica dos fluidos são resolvidas numericamente por algoritmos dedicados desenvolvidos a
partir do estudo de métodos mais simples para resolução de equações diferencias parciais, mas
requer um uso intenso de recursos computacionais. O métodos elementos finitos, o domínio de
x é discretizado por elementos de forma e tamanho arbitrários, Nesses elementos são definidos
pontos nodais (nos vértices ou interior de cada elemento) onde os valores da solução serão ob-
tidos. A solução é aproximada em cada nó por uma função de forma, geralmente são funções
polinomiais de ordem à ser definida pela necessidade, permitindo a avaliação das quantidades
conservadas em pontos internos ao elemento.
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O termo discretização é usado justamente porque passamos de um conjunto contínuo
(onde a função original está definida num domínio que é uma reunião não-enumerável de pontos)
para um conjunto discreto: o domínio passa a ser uma reunião finita de intervalos.Em cada um
desses intervalos Ij, aproximamos a função original u por um segmento de reta de extremos
u(xj−1) e u(xj). Evidentemente, quanto menor o comprimento dos subintervalos, ou seja,
quanto menor a norma da partição, mais a função discretizada ud se aproximará da original u
(. Notemos, ainda, que ud como definida é contínua.
Para exemplificar e facilitar a vizualização vamos supor que u(x) seja uma função de uma
variável real que assume um valor real (u : < → <), a figura a seguir mostrará como é feita a
discretização de um conjunto continuo:
Figura 1:
Para discretizar o problema na forma fraca, devemos também aproximar o espaço V por um
de dimensão finita, Vd = {v; vcontnuaem[0; 1], vlinearemcadaIjev(0) = v(1) = 0}. Notemos
que Vd ⊂ V de sorte que ao tomarmos uma função v ∈ Vd não ferimos a condição v ∈ V da
formulação fraca. Nosso problema discretizado (ou aproximado) é, então, encontrar ud ∈ Vd tal
que: ∫ 1
0
dud
dx
dv
dx
dx =
∫ 1
0
f(x)v(x)dx
agora note que pela imagem acima, ud é a união de finitas retas de tal forma que u ≈ ud
então podemos concluir que:
ud(x) =
∑N
j=1 αjφj(x)
onde φj(x):
Figura 2:
dai substituimos ud(x) na integral:
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Figura 3:
fazendo i variar de 1 a N temos o seguinte sistema:
Figura 4:
Agora temos que calcular o sistema e achar os respectivos αi. Para o caso bivariado,
considerando agora a EDP de Poisson:
−4u(x, y) = f(x, y)onde(x, y) ∈ Ωepara(x, y) ∈ ∂Ωusejaindenticamentenula, ousejau = 0
Ω é um aberto limitado do <2 e ∂Ω é o bordo desse conjunto. Da mesma forma que fizemos com
o caso unidimencional, definimos o espaço de funções V = {ν : <2 → <ν ∈ C1 ν = 0sobre∂Ω}
Multiplicando a equação de Poisson do problema por uma função qualquer de V e integrando
sobre Ω temos:
−ν4u = νf ⇒ ∫
Ω
ν4u = ∫
Ω
νf
Podemos reescrever a equação acima de forma mais conveniente usando a fórmula de Green,
que se baseia no teorema do divergente:
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Teorema 0.0.1 (teorema do divergente) Seja Ω ⊂ <n compacto e com fronteira suave por
partes. Se w é um campo de vetores diferenciável definido em Ω então:∫
Ω
div(w)dV =
∫
∂Ω
〈w, n〉ds
onde n é um vetor unitário normal à ∂Ω
aplicamos o Teorema para os campos de vetores a(x, y) = (g.∂h
∂x
, 0) e b(x, y) = (0, g.∂h
∂y
) sendo
g, h : <2 → < Considerando que o vetor normal unitário é n = (n1, n2), temos, para a(x, y):∫
Ω
(g.∂
2h
∂x2
+ ∂g
∂x
∂h
∂x
)dV =
∫
∂Ω
g.∂h
∂x
.n1ds
e para b(x, y): ∫
Ω
(g.∂
2h
∂y2
+ ∂g
∂y
∂h
∂y
)dV =
∫
∂Ω
g.∂h
∂y
.n2ds
Somando membro a membro essas equações:∫
Ω
[(g.(∂
2h
∂x2
+ ∂
2h
∂y2
) + ∂g
∂x
∂h
∂x
+ ∂g
∂y
∂h
∂y
)]dV =
∫
∂Ω
g.(∂h
∂x
.n1 +
∂h
∂y
.n2)ds
⇒ ∫
Ω
g. M h+ 〈∇g,∇h〉dV = ∫
∂Ω
g.n.〈n,∇h〉ds (formula de green)
Notemos que se a função g(x, y) acima satisfaz a condição de Dirichlet homogênea, a integral
sobre ∂Ω na ultima equação acima, é nula e a fórmula de Green implica em:
⇒ − ∫
∂Ω
g. M h =
∫
∂Ω
〈∇g,∇h〉dV
Comparando com nossa equação inicial (
∫
Ω
ν4u = ∫
Ω
νf) com a equação acima, vemos que os
membros esquerdos são iguais se fizermos g = veh = u. Temos, portanto, que:
⇒ − ∫
Ω
ν.fdV =
∫
Ω
〈ν, u〉dV
É possível mostrar, como o fizemos no caso unidimensional, que as formas fraca e forte são
equivalentes e que uma solução da forma fraca, se suficientemente regular, também será solução
da forma forte. Assim como fizemos com o caso unidimencional, para o caso bidimencional
também precisamos discretizar o conjunto Ω afim de aproxima-lo com finitos pontos, que nesse
caso, chamaremos de vertices pois serão a extremidade de um quadrilatero ou triangulo, pois
existem essas duas abordagens na literatura, e afim de facilitar os calculos com auxílio da
algebra linear que diz que a área do triângulo formada por dois vetores u e v é dado por ‖u×v‖
2
optaremos pela discretização por triânglos.
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Para resolver pelo método de Rouge Kutta, temos que lembrar do cálculo o polinômio
de Taylor: o teorema diz do seguinte:
Teorema 0.0.2 Considere uma função u : Ω ⊂ < → < k vezes diferenciável com derivadas
contínuas (Ck+1), e seja a ∈ Ω Então existe um único polinômio pk tal que:
pk(x) = u(a) + u
′(a)(x− a) + u”(a)(x− a)2/2 + ...+ u(k)(x− a)k/k!
Supondo agora que u(x) seja uma função de classe Ck+1, então u(x) pode ser escrita por
um Polinômio de Taylor, ou seja:
u(x) =
∑k
n=0
u(n)(a)(x−a)n
n!
+R(x, a)
onde:
R(x, a) = u
(k+1)(a)(x−a)k+1
(k+1)!
Observando a equação, com quanto que o resto R(x, a), , tende a
zero, mais rapidamente que (x− a)k. Portanto, quanto maior a ordem kdo polinômio, menor
é o resto na aproximação de pelo seu polinômio de u Taylor, no nosso caso, menor o erro de
truncamento. Na discussão sobre erros decorrentes de métodos numéricos, também usamos a
notação 0(hk). Considerando que e(h) seja o erro em um cálculo dependente de h , então e(h)
será de ordem hk, denotado por 0(hk) se houver uma constante c e um inteiro positivo k tal
que |e(h)| ≤ chkpara suficientemente pequeno.
como disse, seria interessante que em cada iteração achassemos o novo polinomio que aproxi-
masse u, que pode ser exemplificado na imagem a seguir:
Figura 5:
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podemos considerar que a = xn, ou seja, na n-ésima iteração calculemos o polinômio
centrado em a que aproxima u(x) e depois andamos para frente um passo "h"de nossa escolha
para calcular a nova aproximação, ou seja
xn+1 = xn + h
substituindo tudo isso na expressão de Taylor, mas antes temos que escolher a ordem da
nossa aproximação, digamos queseja 1, dai vamos perceber que o método dos elementos finitos
será apenas um caso particular de rouge kutta quando k=1, ou seja, quando k=1, temos que:
u(x) ≈∑1n=0 u(n)(a)(x−a)nn!
agora, fazendo: a = xn e x = xn+1 = xn + h e substituindo na expressão acima (onde k=1)
temos:
u(xn+1) ≈
∑1
n=0
u(n)(xn)(xn+h−xn)n
n!
cancelando termos opostos:
u(xn+1) ≈
∑1
n=0
u(n)(xn)(h)n
n!
abrindo a somatória temos:
u(xn+1) ≈ u(0)(xn)(h)00! + u
(1)(xn)(h)1
1!
simplificando:
u(xn+1) ≈ u(xn) + u′(xn)h (1)
Começando as iterações x0 = k0 onde k0 é dado inicialmente pelas condições de contorno
tal forma que u′(k0) = p0 dai em diante o algoritmo "andaria"de h em h farrendo todo o domínio
de x assim temos o método de rouge-kutta de primeiria ordem (k=1) agora fazendo k=2 e termos
o método rouge-kutta de segunda ordem, logicamente que será mais aproximado comparado ao
de primeira ordem, assim, fazendo k=2 no polinômio de taylor temos:
u(xn+1) ≈ u(xn) + u′(xn)h+ u”(xn)h22
para o nosso problema é mais adequado fazermos para k=4, ou seja, rouge kutta de ordem 4.
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Figura 6:
Figura 7:
16
Figura 8:
que seria necessário calcular u(x) agora note que a expressão (1) é uma reta mas se
tivessemos optado por ordem superiores, as potências de h seriam superiores e tornando a
solução não linear. Lembrando que o resto sera dado pela expressão
h2
2!
u(c) onde c ∈ [x0, x1]
A partir daqui nosso trabalho seria aplicar os métodos acima em problemas reais da mecânica
dos fluidos, de preferência em dados de treinamento para podermos estimar o erro associado a
cada modelo e também testa- los quanto ao número de passos iterativos para a resolução, isto
é, o custo computacional de cada modelo, lembrando que u para o caso dos fluidos geralmente
x é um habitante do <2 ou seja,x = (x1, x2) no caso, trabalharemos com EDP, para o primeiro
modelo (MEF) envolverá derivadas parciais e poucas modificações para generalização, e para
Runge kutta podemos supor que u(x) = f(x1)g(x2) ou u(x) = f(x1) + g(x2) dependendo da u
que estamos a procura, e assim resolver as duas edo com o método.
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Referências Bibliográficas
Métodos Numéricos, Adriana Xavier Freitas, Danielle Franco Nicolau, Prof. Armando.
Departamento de Matemática � UFMG � 12 de dezembro de 2008
BARROSO, Leonidas Conceição; et al. Calculo numérico (com aplicações). 2. Ed. Minas
Gerais, editora HARBRA.
SANTOS, Luis carlos: et al. Métodos Numéricos para escoamento em alta velocidade, 22
o
colóquio brasileiro de matemática, 1999.
GIACCHINI, Breno Loureiro; Uma Breve introdução ao Método dos Elemento Finitos, 2012.
STEWART, James; Cálculo: volume 2. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
CALDERÓN, Giovanni, GALLO, Rodolfo; Introducción al Método de los Elementos Finitos:
un enfoque matemático. Caracas: Ediciones IVIC, 2011.
18
Cronograma
Figura 9: Na tabela O é realizado e X é à finalizar
19