4.5 Condução bidimensional em regime estacionário

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4.0 Condução Bidimensional em Regime Estacionário 
4.5 Resolvendo as Equações de Diferenças Finitas
4.5.1 Método de Inversão de Matrizes
4.5.2 Iteração de Gauss-Seidel
Exemplo 4.3 e 4.4
Sugestão de exercícios
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4.5 Resolvendo as Equações de Diferenças Finitas
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4.5.1 Método de Inversão de Matrizes
Substituiu-se as coordenadas do ponto (m,n) por um índice i=1,..,N 
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A matriz dos coeficientes [A] é quadrada (N,N).
As matrizes [T] e [C] possuem uma única coluna e são conhecidas por vetores coluna.
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O vetor solução pode ser agora expresso por: 
A matriz inversa de [A] é definida como:
Então fazendo a multiplicação no lado direito :
O problema se reduz a determinação de [A]-1.
Se [A] for invertida, os elementos b11, b12,... podem ser determinados e as temperaturas podem ser calculadas.
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4.5.2 Iteração de Gauss-Seidel
O sistema de equação representado em 4.47 pode ser resolvida pelo seguinte procedimento: 
Reordenar as equações
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Exemplo 4.3 – sistema modelado – resol. Gauss- Seidel
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Erro aceitável
Passo 1 – Ok
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Passo 3 – estimar a temperatura para cada nó k=0
Passo 4 – resolver para k=1 – montar a tabela abaixo
Passo 5 e 6 – resolver para k>1 até que a condição do erro seja satisfeita – montar a tabela abaixo
Exercício: Fazer um programa para resolver
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Eèxmplo 4.3
Um grande forno industrial é suportado por uma longa coluna de tijolos refratários, com 1 m por 1 m de lado. Durante a operação em regime estacionário, as condições são tais que três superfícies da coluna são mantidas a 500 K, enquanto a superfície restante é exposta a uma corrente de ar com T=300 K e h=10 W/(m2K). Usando uma malha x=y=0,25 m, determine a distribuição de temperaturas bidimensional na coluna e a taxa de transferência de calor para a corrente de ar, por unidade de comprimento da coluna.
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Considerações: regime estacionário, condução bidimensional, propriedades constantes, sem geração interna
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Análise: 
12 pontos nodais com temperatura desconhecida 
Simetria – redução para 8 pontos nodais (8 equações)
Temp.dos pontos lado direito = Temp. dos pontos lado esq.
Nós 1, 3 e 5 uso da equação: 
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Nós 2, 4 e 6 Considerando a superfície adiabática h=0 
caso 3
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Nós 7 e 8 na fronteira do domínio (caso 3)
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Ordenando do nó 1 ao 8, como segue:
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Na forma matricial [A][T]=[C]
Resolvendo a inversa de [A ], [A]-1 tem-se que [T]=[A]-1[C]
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Taxa de transferência de calor para a corrente de ar, por unidade de comprimento da coluna.
O fator do lado de fora do colchetes tem origem na condição de simetria.
Como seriam as linhas de fluxo de calor?
E as isotérmicas como seriam?
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Para garantir a inexistência de erros na formulação das equações de diferenças finitas, fazer a verificação através de um balanço de energia na rede nodal. 
Regime estacionário o que entra deve ser igual ao que sai
Para a meia-seção simétrica tem-se que a condução para o interior das regiões nodais deve ser equilibrada pela convecção
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A soma das taxas condutivas é:
A taxa convectiva é:
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A concordância entre as taxas condutivas e convectiva é excelente, indicando que não houve erro na formulação e na resolução das equações das diferenças finitas.
Se ao substituirmos as temperaturas na equação do balanço de energia e o balanço de energia não for satisfeito dentro de um grau elevado de precisão, as equações de diferenças finitas devem ser checadas a procura de erros.
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Exemplo 4.4: Um objetivo importante no avanço das tecnologias para motores de turbinas a gás é aumentar o limite de temperatura associado a operação das pás da turbina a gás. Esse limite determina a temperatura máxima permissível para a admissão do gás na turbina, que, por sua vez, influencia fortemente o desempenho global do sistema. Além de fabricar as pás com superligas especiais, resistentes a altas temperaturas e a grandes esforços mecânicos, é comum usar resfriamento interno através da usinagem de canais de escoamento no interior das pás e da passagem de ar através desses canais. Desejamos avaliar o efeito de tal configuração aproximando a pá por um sólido retangular no qual são usinados canais retangulares. A pá, com condutividade térmica k= 25 W/(m.K), tem espessura de 6 mm. Demais dados geométricos no esquema. Condições de operação: he=1000W/(m2.K) T,e=1700 K, hi=200 W/(m2K) e T,i=400 K. Determine o campo de temperaturas na pá da turbina e a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento para o canal. Em qual posição a temperatura é um máximo?
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Considerações:
Condução bidimensional em regime estacionário
Propriedades constantes
Esquema da pá da turbina
Esquema da malha
Espaçamento 1 mm
Identificação de linhas de simetria
Fazer esquema das linhas de fluxo de calor
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Nós 1, 6, 18, 19 e 21 não se encaixam em nem um dos casos da tabela (aula 9 transp.37 e 38) – Fazer balanço de energia
Nó 1 e 6 situação idêntica nas superfícies (2 conduções, 1 convecção e 1 adiabática), para exemplificar no 1
Nós de 2 a 5 - caso 3 (aula 9 transp.37) – para exemplificar nó 3
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Nós 7,12,13 e 20 – caso 3 (h=0) ou caso 5 (q=0) – exem.nó 12 
Caso 3
Caso 5
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Nós 8 a 11 e 14 são interiores caso 1 (geral) – exemplo nó 8
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Nó 15 – caso 2 – vértice interno com convecção
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Nós 16 e 17 - superfície plana com convecção – caso 3 
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Nós 18 e 21 – balanço de energia 
Condução dois nós vizinhos e convecção escoamento interno
Alunos fazer 
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Nó 19 – balanço de energia
Duas superfícies adiabáticas e condução de dois nós 
Determinando as demais equações para os pontos nodais e organizando a matriz dos coeficientes e constantes e resolvendo por um dos métodos, obtém-se
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Como esperado a temperatura máxima está localizada no nó 1
Verificar decréscimo de temperatura 
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Isotérmicas e linhas de fluxo de calor
Distribuição das temperaturas ao longo da superfície expostas aos gases de combustão
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Taxa de transferência de calor por unidade de comprimento no canal
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		Sugestão de exercícios
Incropera – cap. 4
4.5 Resolvendo as Equações de Diferenças Finitas: 50(52), 51(53), 54(56), 58(60), 61(63)