apostila de revisão de ângulos e triângulos

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Ângulos
ÂNGULOS CONGRUENTES
Observe os ângulos abaixo:
   
 
Verifique que AÔB e CÔD têm a mesma medida. Eles são ângulos congruentes e podemos fazer a seguinte indicação:
                                      
Assim:
                       
	                          Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.
 
	                                              Propriedades da Congruência 
 Reflexiva: 
 Simétrica: 
 Transitiva:       
 
 
ÂNGULOS CONSECUTIVOS
Observe a figura:
   
Nela identificamos os ângulos AÔC, CÔB e AÔB.
Verifique em cada uma das figuras abaixo que:
	
	Os ângulos AÔC  e CÔB possuem: 
Vértice comum: O
Lado comum:  
	
	 Os ângulos AÔC e AÔB possuem: 
Vértice comum: O
Lado comum:  
	
	Os ângulos CÔB  e AÔB possuem: 
Vértice comum: O
Lado comum: 
 
Os pares de ângulos AÔC  e CÔB, AÔC  e AÔB, CÔB  e AÔB são denominados ângulos consecutivos.
Assim:
	Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado comum.
ÂNGULOS ADJACENTES
Observe os exemplos de ângulos consecutivos vistos anteriormente e verifique que:
 
	
	 Os ângulos AÔC  e CÔB não possuem pontos internos comuns 
	
	 Os ângulos AÔC  e  AÔB possuem pontos internos comuns 
	
	Os ângulos CÔB  e AÔB possuem pontos internos comuns 
   
Verifique que os ângulos AÔC  e CÔB são consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Por isso eles são denominados ângulos adjacentes.        
Assim:
	     Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.
                               
 Observação:
 Duas retas concorrentes determinam vários ângulos adjacentes. Exemplos:
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
Observe a figura abaixo:
                 m ( AÔC )  = m (CÔB ) = 20º
 
Verifique que a semi-reta  divide o ângulo AÔB em dois ângulos ( AÔB e CÔB ) congruentes.
Nesse caso, a semi-reta  é denominada bissetriz do ângulo AÔB.
Assim:
	 Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.
 
	Utilizando o compasso na construção da bissetriz de um ângulo 
 Determinação da bissetriz do ângulo AÔB.
	Centramos o compasso em O e com uma abertura determinamos os pontos C e D sobre as semi-retas , respectivamente. 
	                        
	Centramos o compasso em C e D e com uma abertura superior à metade da distância de C  a D traçamos arcos que se cruzam em E.
	
	Traçamos , determinando assim a bissetriz de AÔB.
	
ÂNGULO AGUDO, OBTUSO E RETO
Podemos classificar um ângulo em agudo, obtuso ou reto.
Ângulo agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º. Exemplo:
    Ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º. Exemplo:
 
Ângulo reto é o ângulo cuja medida é 90º. Exemplo:
 RETAS PERPENDICULARES  
As retas r e s da figura abaixo são concorrentes e formam entre si quatro ângulos retos.
Dizemos que as retas r e s são perpendiculares e indicamos:
  
Observação             
Duas retas concorrentes que não formam ângulos retos entre si são chamadas de oblíquos. Exemplo:   
ÂNGULOS COMPLEMENTARES
Observe os ângulos AÔB  e BÔC na figura abaixo:
                                                         
Verifique que:
                                             m (AÔB) + m (BÔC) = 90º
Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB  e BÔC são complementares.    
Assim:
	Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.
   Exemplo:
          Os ângulos que medem 42º e 48º são complementares, pois 42º + 48º = 90º.
          Dizemos que o ângulo de 42º é o complemento do ângulo de 48º, e vice-versa.
Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 90º e a medida do ângulo agudo dado.
	   Medida do ângulo
	    Complemento
	               x
	       90º  - x
Exemplo:
Qual a medida do complemento de um ângulo de 75º?
Solução
Medida do complemento = 90º - medida do ângulo
Medida do complemento = 90º - 75º
Medida do complemento = 15º
Logo, a medida do complemento do ângulo de 75º é 15º.
 
Observação:
Os ângulos XÔY  e YÔZ  da figura ao lado, além de complementares, são também adjacentes. Dizemos que esses ângulos são adjacentes complementares.
                                       
ÂNGULOS SUPLEMENTARES
Observe os ângulos AÔB e BÔC  na figura abaixo:
As semi-retas formam um ângulo raso.
Verifique que:
m ( AÔB )  + m (BÔC) = 180º
Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são suplementares. Assim:
	Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.
 
Exemplo:
     Os ângulos que medem 82º e 98º são suplementares, pois 82º + 98º = 180º.
     Dizemos que o ângulo de 82º é o suplemento do ângulo de 98º, e vice-versa.
     Para calcular a medida do suplemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 180º e a medida do ângulo agudo dado.
                 
	   Medida do ângulo
	      Suplemento
	                  X
	           180º - X
Exemplo:
Qual a medida do suplemento de um ângulo de 55º?
Solução
Medida do suplemento = 180º - medida do ângulo
Medida do suplemento = 180º - 55º
Medida do suplemento = 125º
Logo, a medida do suplemento do ângulo de 55º é 125º.
 
Observação:
	Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, além de 
suplementares, são também adjacentes. Dizemos que esses ângulos são adjacentes suplementares.
	
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
Observe os ângulos AÔB  e CÔD na figura abaixo:
Verifique que:
                
Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB  e CÔD são opostos pelo vértice (o.p.v). Assim:
	    Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semi-retas opostas aos lados do outro.
 
Na figura abaixo, vamos indicar:
Sabemos que:
                      X + Y = 180º  ( ângulos adjacentes suplementares)
                      X  + K = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)
Então:
                     
Logo:           y = k
Assim:
                   m (AÔB) = m (CÔD) AÔB  CÔD
                   m (AÔD) = m (CÔB) AÔD  CÔB
Daí a propriedade:
	 Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
                                                                   
Observe uma aplicação dessa propriedade na resolução de um problema:
Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em graus, expressas por x + 60º  e 3x - 40º. Qual é o valor de x?
Solução:
	x + 60º  = 3x - 40º  ângulos o.p.v 
         x - 3x    = - 40º - 60º
          -2x       =  - 100º
              x       = 50º
Logo, o valor de x é 50º.
	
Lei dos senos
Lei dos Senos
A lei dos senos estabelece a relação entra a mediada de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado. Para um triângulo ABC de lados a, b, c, podemos escrever.
A lei dos senos determina que a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante em um mesmo triângulo.
Caso Particular do Triângulo Retângulo
	Os estudos trigonométricos no triângulo retângulo têm por finalidade relacionar os ângulos do triângulo com as medidas dos lados, por meio das seguintes relações: seno, cosseno e tangente. Essas relações utilizam o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa. Observe:
Seno: cateto oposto / hipotenusa
Cosseno: cateto adjacente / hipotenusa
Tangente: cateto oposto / cateto adjacente
Essas relações somente são válidas se aplicadas no triângulo retângulo, ou seja, aquele que possui um ângulo reto (90º) e outros dois ângulos agudos.
	REDUÇÃO DO ÂNGULO AO 1º QUADRANTE
	
	Pela trigonometria no triângulo retângulo sabemos os valores de seno e cosseno dos ângulos (notáveis) entre 0° e 90°. 
Por isso sempre que quisermos saber o seno ou cosseno de um ângulo que meça mais que 90° vamos reduzi-lo ao primeiro quadrante, ou seja, rebatê-lo para o primeiro quadrante a fim de visualizá-lo como um dos ângulos que sabemos os valores.
Nos casos envolvendo triângulos quaisquer,utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos no intuito de calcular medidas e ângulos desconhecidos. Enfatizaremos a lei dos senos mostrando sua fórmula e modelos detalhados de resoluções de exercícios.
Fórmula que representa a lei dos senos:
Na lei dos senos utilizamos relações envolvendo o seno do ângulo e a medida oposta ao ângulo.
Exemplo 1
Determine o valor de x no triângulo a seguir.
sen120º = sen(180º – 120º) = sen60º = √3/2 ou 0,865
sen45º = √2/2 ou 0,705
Exemplo 2
No triângulo a seguir temos dois ângulos, um medindo 45º, outro medindo 105º, e um dos lados medindo 90 metros. Com base nesses valores determine a medida de x.
Para determinarmos a medida de x no triângulo devemos utilizar a lei dos senos, mas para isso precisamos descobrir o valor do terceiro ângulo do triângulo. Para tal cálculo utilizamos a seguinte definição: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Portanto:
α + 105º + 45º = 180º
α + 150º = 180º
α = 180º – 150º
α = 30º
Aplicando a lei dos senos
	Ângulo
	Lado oposto
	Lado adjacente
	
	C
	c cateto oposto
	b cateto adjacente
	
	B
	b cateto oposto
	c cateto adjacente
	
	Função
	Notação
	Definição
	seno
	sen(x)
	medida do cateto oposto a x
medida da hipotenusa
	cosseno
	cos(x)
	medida do cateto adjacente a x
medida da hipotenusa
	tangente
	tan(x)
	medida do cateto oposto a x
medida do cateto adjacente a x
	Classificação dos triângulos quanto ao número de lados
	Triângulo Equilátero
	Os três lados têm medidas iguais.
m(AB)=m(BC)=m(CA)
	
	Triângulo Isósceles
	Dois lados têm a mesma medida.
m(AB)=m(AC)
	
	Triângulo Escaleno
	Todos os três lados
têm medidas diferentes.
	
	Classificação dos triângulos quanto às medidas dos ângulos
	Triângulo 
Acutângulo
	Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do que 90º.
	
	Triângulo 
Obtusângulo
	Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90º.
	
	Triângulo 
Retângulo
	Possui um ângulo interno reto (90 graus).
	
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1 - (UFPR) Num triângulo ABC o ângulo  = 30º é oposto ao lado a = 15cm. Sabendo que senB + senC = 4/3, calcular, em cm, o perímetro do triângulo.
Resolução:
Quando o triângulo não é retângulo, não podemos usar suas propriedades, temos a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos para triângulos quaisquer. A lei dos senos nos dá proporção entre lados e senos dos ângulos opostos a esses lados:
   a   =  b  =  c  
sen senB senC
Nessa questão usaremos exatamente a ideia de proporcionalidade:
O seno de 30º vale 1/2, logo, o lado a = 15cm está para 1/2 como a soma dos lados b e c está para 4/3 que é a soma dos senos de b e c.
Basta uma simples regra de três que obtemos a soma dos lados b e c:
15  =  1/2
b+c   4/3
15 x 4 = 1 x (b+c)
     3   2
20=1 (b+c)
      2
b+c=40cm
O perímetro é a soma dos lados, então a+b+c, 15+40=55
Resposta: 55cm
2 - (ITA-SP) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante quando o navio está em A, observa um farol em L, e calcula o ângulo LÂC=30º. Após navegar 4 milhas até B, verifica o ângulo L^BC=75º. Quantas milhas separam o farol do ponto B?
a)4            b)2√2            c)8/3           d)2/3            e)n.d.a
Resolução:
Como o navio navega em linha reta temos os pontos A,B e C e acima o ponto L, formando o triângulo menor ABL e o triângulo maior ACL. Como o ângulo L^BC forma 75º, seu suplementar (o que falta para 180º) o ângulo L^BA fica 105º. Com os dois ângulos LÂC e L^BA encontramos também o ângulo A^LB:
180=LÂC+L^BA+A^LB
180=30+115+A^LB
180-30-115=A^LB
A^LB=45º
Com o triângulo ABL, aplicamos a lei dos senos e obtemos LB:
  AB  =  LB  
sen45º sen30º
 4  = LB
√2     1
 2      2
2LB=8 
        √2
BL=4  
      √2
BL= 4 .√2
       √2 √2
BL=4√2
         2
BL=2√2
Gabarito Letra: B
Exercícios sobre Lei dos Senos e Lei dos Cossenos 
01.No triângulo ABC da figura abaixo , e 
O valor do lado AC é igual a :
a) 1 cm
b) 2 cm
c) 3 cm
d) 4 cm
e) 5 cm
02. Dois lados consecutivos de um triângulo medem 6m e 8m e formam entre si um 
ângulo de 60. A medida do terceiro lado deste triângulo oposto a esse ângulo é igual a :
a)	
b) 
c) 
d) 
e) 
03. Dados: ABC, = 60, = 45 e AB = 
 
O valor do lado AC mede :
a)	
b) 
c) 
d) 
e) 
04. (ENEM) Para se calcular a distância entre duas árvores , representadas pelos pontos A e B, situados em margens opostas de um rio, foi escolhido um ponto C arbitrário , na margem onde se localiza a árvore A . As medidas necessárias foram tomadas , e os resultados obtidos foram os seguintes : 
Sendo cos 28º = 0,88 , sen 74º = 0,96 e sen 44º = 0,70 , podemos afirmar que a distância entre as árvores é :
a) 48 metros
b) 78 metros
c) 85 metros 
d) 96 metros 
e) 102 metros
05.Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. O cosseno do maior ângulo de T é:
a)	
b)	
c)	
d)	
e)	
Lei dos cossenos
Lei dos cossenos
Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:
Para esses triângulos podemos escrever:
Em qualquer triângulo quando um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.
Utilizamos a lei dos cossenos nas situações envolvendo triângulos não retângulos, isto é, triângulos quaisquer. Esses triângulos não possuem ângulo reto, portanto as relações trigonométricas do seno, cosseno e tangente não são válidas. Para determinarmos valores de medidas de ângulos e medidas de lados utilizamos a lei dos cossenos, que é expressa pela seguinte lei de formação:
Exemplo 1
Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a seguir:
a² = b² + c² – 2 * b * c * cos?
7² = x² + 3² – 2 * 3 * x * cos60º
49 = x² + 9 – 6 * x * 0,5
49 = x² + 9 – 3x
x² –3x – 40 = 0
Aplicando o método resolutivo da equação do 2º grau, temos:
x’ = 8 e x” = – 5, por se tratar de medidas descartamos x” = –5 e utilizamos x’ = 8. Então o valor de x no triângulo é 8 cm.
Exemplo 2
Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A.
Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício.
Aplicando a lei dos cossenos
a = 7, b = 6 e c = 5
7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A
49 = 36 + 25 – 60 * cos A
49 – 36 – 25 = –60 * cos A
–12 = –60 * cos A
12 = 60 * cos A
12/60 = cos A
cos A = 0,2
O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º.
Exemplo 3
Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir, utilizando a lei dos cossenos.
cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5
x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * ( – cos 60º)
x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5)
x² = 125 + 50
x² = 175
√x² = √175
x = √5² * 7
x = 5√7
Portanto, a diagonal do paralelogramo mede 5√7 cm.
	Exercícios Resolvidos de Trigonometria
1 - (UNI-RIO) Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo vale:
a) 11 / 24
b) - 11 / 24
c) 3 / 8
d) - 3 / 8
e) - 3 / 10 
Solução:
 
Sabemos que num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo. Logo, o maior ângulo será aquele oposto ao lado de medida 6. Teremos então, aplicando a lei dos cossenos:
62 = 32 + 42 - 2 . 3 . 4 . cos   36 - 9 - 16 = - 24 . cos   cos  = - 11 / 24 e, portanto, a alternativa correta é a letra B.
Lembrete: TC - Teorema dos cossenos: Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do angulo que eles formam.
2 - (UNESP) Se x e y são dois arcos complementares, então podemos afirmar que 
A = (cosx - cosy)2 + (senx + seny)2 é igual a:
a) 0
b) 1/2
c)3/2
d) 1
e) 2 
Solução:
 
Desenvolvendo os quadrados, vem:
A = cos2 x - 2 . cosx . cosy + cos2 y + sen2 x + 2 . senx . seny + sen2 y
Organizando convenientemente a expressão, vem:
A = (cos2 x + sen2 x) + (sen2 y + cos2 y) - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny
A = 1 + 1 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny
A = 2 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny
Como os arcos são complementares, isto significa que x + y = 90º  y = 90º - x. 
Substituindo, vem:
A = 2 - 2 . cosx . cos(90º - x) + 2 . senx . sen(90º - x)
Mas, cos(90º - x) = senx e sen(90º - x) = cosx, pois sabemos que o seno de um arco é igual ao cosseno do seu complemento e o cosseno de um arco é igual ao seno do seu complemento.
Logo, substituindo, fica:
A = 2 - 2 . cosx . senx + 2 . senx . cosx
A = 2 + (2senxcosx - 2senxcosx) = 2 + 0 = 2 , e portanto a alternativa correta é 
a letra E.
3 - Calcule sen 2x sabendo-se que tg x + cotg x = 3.
Solução:
 
Escrevendo a tgx e cotgx em função de senx e cosx , vem:
Daí, vem: 1 = 3 . senx . cosx  senx . cosx = 1 / 3. Ora, sabemos que
sen 2x = 2 . senx . cosx e portanto senx . cosx = (sen 2x) / 2 , que substituindo vem:
(sen 2x) / 2 = 1 / 3 e, portanto, sen 2x = 2 / 3.
Resposta: 2 / 3
4 - (ITA - 96) Seja   [0,  /2], tal que sen  + cos  = m .
Então, o valor de
é:
a) 2(m2 - 1) / m(4 - m2)
b) 2(m2 + 1) / m(4 + m2)
c) 2(m2 - 1) / m(3 - m2)
d) 2(m2 - 1) / m(3 + m2)
e) 2(m2 + 1) / (3 - m2) 
Solução:
Quadrando ambos os membros da expressão dada, vem:
(sen  + cos  )2 = m2 . Desenvolvendo, fica:
sen2  + 2 . sen  . cos  + cos2  = m2 
Simplificando, vem: 1 + 2 . sen  . cos  = m2  1 + sen 2 = m2 e, portanto,
sen 2 = m2 - 1
Seguindo o mesmo raciocínio, vamos elevar ambos os membros da expressão dada ao cubo:
Lembrete: (a + b)3 = a3 + b3 + 3(a +b) . ab
Logo:
(sen  + cos  )3 = m3 . Desenvolvendo, vem:
sen3  + cos3  + 3 (sen  + cos  ) (sen  . cos  ) = m3
Lembrando que sen  + cos  = m e sen  . cos  = sen 2 / 2, e substituindo, fica:
sen3  + cos3  = m3 - 3 (m) . (m2 - 1) / 2
Substituindo esses valores encontrados na expressão dada, teremos então:
E portanto, a alternativa correta é a letra C.
LEI DOS SENOS E COSSENOS 
1. (Unicamp 2005) A figura abaixo apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos medem 5 cm cada um e a altura do prisma mede 10 cm.
a) Calcule o volume do prisma.
b) Encontre a área da secção desse prisma pelo plano que passa pelos pontos A, C e A'.
2. (Unifesp 2003) A figura representa, em um sistema ortogonal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em relação ao eixo Oy, uma circunferência com centro na origem do sistema, e os pontos A=(1,2), B, C, D, E e F, correspondentes às interseções das retas e do eixo Ox com a circunferência.
Nestas condições, determine
a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a área do hexágono ABCDEF.
b) o valor do cosseno do ângulo AÔB.
3. (Ufg 2005) O mostrador do relógio de uma torre é dividido em 12 partes iguais (horas), cada uma das quais é subdividida em outras 5 partes iguais (minutos). Se o ponteiro das horas (OB) mede 70 cm e o ponteiro dos minutos (OA) mede 1 m, qual será a distância AB, em função do ângulo entre os ponteiros, quando o relógio marcar 1 hora e 12 minutos?
4. (Ita 2000) Num triângulo acutângulo ABC, o lado oposto ao ângulo  mede 5cm. Sabendo que
 = arc cos 3/5 e ð = arc sen 2/Ë5,
então a área do triângulo ABC é igual a
a) 5/2 cm£.
b) 12 cm£.
c) 15 cm£.
d) 2Ë5 cm£.
e) 25/2 cm£.
5. (Uerj 2002) Considere o triângulo ABC a seguir, onde os ângulos A, B e C estão em progressão aritmética crescente.
Determine os valores de cada um desses ângulos, respectivamente, nas seguintes condições:
a) sen A + sen B + sen C = (3 + Ë3)/2
b) åæ = 2 æè.
6. (Unicamp 92) Calcule a área de um triângulo em função de um lado Ø e dos dois ângulos ‘ e ’ a ele adjacentes.
7. (Fuvest 93) A corda comum de dois círculos que se interceptam é vista de seus centros sob ângulos de 90° e 60°, respectivamente, como é mostrado na figura a seguir. Sabendo-se que a distância entre seus centros é igual a Ë(3)+1, determine os raios dos círculos.
8. (Cesgranrio 94) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30°.
O seno do ângulo B vale:
a) 1/2
b) 2/3
c) 3/4
d) 4/5
e) 5/6
9. (Unesp 97) Para calcular a distância entre duas árvores situadas nas margens opostas de um rio, nos pontos A e B, um observador que se encontra junto a A afasta-se 20m da margem, na direção da reta AB, até o ponto C e depois caminha em linha reta até o ponto D, a 40m de C, do qual ainda pode ver as árvores.
Tendo verificado que os ângulos DCB e BDC medem, respectivamente, cerca de 15° e 120°, que valor ele encontrou para a distância entre as árvores, se usou a aproximação Ë6 = 2,4?
10. (Mackenzie 99) Supondo Ë3 = 1,7, a área do triângulo da figura vale:
a) 1,15
b) 1,25
c) 1,30
d) 1,35
e) 1,45
11. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra a figura.
A rodovia AC tem 40km, a rodovia AB tem 50km, os ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tais que senx = 3/4 e seny = 3/7. Deseja-se construir uma nova rodovia ligando as cidades D e E que, dada a disposição destas cidades, será paralela a BC.
a) Use a lei dos senos para determinar quantos quilômetros tem a rodovia BC.
b) Sabendo que AD tem 30 km, determine quantos quilômetros terá a rodovia DE.
12. (Ufpe 2004) Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura abaixo. Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está, e medem-se os ângulos CBA = 57° e ACB = 59°. Sabendo que BC mede 30m, indique, em metros, a distância AB. (Dado: use as aproximações sen(59°) ¸ 0,87 e sen(64°) ¸ 0,90)
13. (Unicamp 2005) Sejam A, B, C e N quatro pontos em um mesmo plano, conforme mostra a figura a seguir.
a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos pontos A, B e N.
b) Calcule o comprimento do segmento NB.
14. (Fuvest 95) No quadrilátero a seguir, BC = CD = 3cm, AB = 2 cm, ADC = 60° e ABC = 90°.
A medida, em cm, do perímetro do quadrilátero é:
a) 11.
b) 12.
c) 13.
d) 14.
e) 15.
15. (Fuvest 90) Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. O co-seno do maior ângulo de T é:
a) 5/6.
b) 4/5.
c) 3/4.
d) 2/3.
e) 1/8.
16. (Cesgranrio 95) Um navegador devia viajar durante duas horas, no rumo nordeste, para chegar a certa ilha. Enganou-se, e navegou duas horas no rumo norte. Tomando, a partir daí, o rumo correto, em quanto tempo, aproximadamente, chegará à ilha?
a) 30 min.
b) 1 h.
c) 1 h 30 min.
d) 2 h.
e) 2 h 15 min.
17. (Fei 94) Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3cm, o lado BC mede 4 cm e o ângulo interno formado entre os lados AB e BC mede 60°, então o lado AC mede:
a) Ë37 cm
b) Ë13 cm
c) 2Ë3 cm
d) 3Ë3 cm
e) 2Ë2 cm
18. (Unesp 89) Os lados de um triângulo medem 2Ë3, Ë6 e 3+Ë3.
Determine o ângulo oposto ao lado que mede Ë6.
19. (Cesgranrio 93) Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O co-seno do maior ângulo interno desse triângulo vale:
a) 11/24
b) - 11/24
c) 3/8
d) - 3/8
e) - 3/10
20. (G1) Determine os ângulos de um quadrilátero convexo, sabendo que eles medem x, 2x, 3x e 4x.
21. (Mackenzie 96) Supondo x real, a desigualdade cos(cosx)>0 é verdadeira:
a) somente se -™/2 < x < -™/4.
b) somente se -™/4 < x < 0.
c) somente se 0 < x < ™/4.
d) somente se ™/4 < x < ™/2.
e) sempre.
22. (Pucmg 97) Na figura, ABCD é um quadrado cuja área mede 4 m£, e C é o ponto médio do segmento AE. O comprimento de BE, em metros, é:
a) Ë5
b) 2Ë5
c) 5Ë2
d) 3Ë5
e) 4Ë2
23. (Fuvest 98) No cubo de aresta 1, considere as arestas åè e æî e o ponto médio, M, de åè
a) Determine o cosseno do ângulo BAD.
b) Determine o cosseno do ângulo BMD.
c) Qual dos ângulos, BAD ou BMD, é o maior? Justifique.24. (Cesgranrio 99) 
Na figura anterior está representado o retângulo ABCD. Sobre o lado DC foi marcado o ponto P, de modo que a medida de DP corresponde ao triplo do lado AD, enquanto a medida de CP vale o dobro de BC. O ângulo APB mede, em radianos:
a) ™/2
b) (2™)/3
c) (3™)/4
d) (5™)/6
e) (8™)/9
25. (Ufrj 99) O polígono regular representado na figura tem lado de medida igual a 1cm e o ângulo ‘ mede 120°. 
a) Determine o raio da circunferência circunscrita.
b) Determine a área do polígono.
26. (Mackenzie 98) A área do triângulo a seguir é:
a) 12 Ë3
b) 18 Ë3
c) 10 Ë3
d) 20 Ë3
e) 15 Ë3
27. (Uerj 98) Um holofote está situado no ponto A, a 30 metros de altura, no alto de uma torre perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma parte desse chão, do ponto C ao ponto D, alinhados à base B, conforme demonstra a figura a seguir:
Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a medida do ângulo CÂD corresponde a:
a) 60°
b) 45°
c) 30°
d) 15°
28. (Unicamp 99) Sejam A, B e C pontos de uma circunferência tais que, åæ=2km, æè=1km e a medida do ângulo AïC seja de 135°.
a) Calcule o raio dessa circunferência.
b) Calcule a área do triângulo ABC.
29. (Unirio 99) 
Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB=80km e AC=120km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura anterior. Logo, a distância entre B e C, em km, é:
a) menor que 90.
b) maior que 90 e menor que 100.
c) maior que 100 e menor que 110.
d) maior que 110 e menor que 120.
e) maior que 120.
30. (Ufes 99) No triângulo ABC da figura, temos AD=CF=BE=2cm e DC=FB=EA=(1+Ë3)cm. Calcule a medida, em graus, do ângulo AÊD e a área do triângulo DEF.
31. (Uel 99) Sobre uma circunferência —, de centro O e raio r=2Ë3cm, são marcados dois pontos A e B que determinam em — uma corda de 6cm de comprimento. A medida, em radianos, do menor dos ângulos AÔB é
a) 5™/6
b) 2™/3
c) ™/3
d) ™/4
e) ™/6
32. (Unicamp 2000) Os lados de um triângulo têm, como medidas, números inteiros ímpares consecutivos cuja soma é 15.
a) Quais são esses números?
b) Calcule a medida do maior ângulo desse triângulo.
c) Sendo ‘ e ’ os outros dois ângulos do referido triângulo, com ’>‘, mostre que sen£’-sen£‘<1/4.
33. (Ufrj 2001) Os ponteiros de um relógio circular medem, do centro às extremidades, 2 metros, o dos minutos, e 1 metro, o das horas.
Determine a distância entre as extremidades dos ponteiros quando o relógio marca 4 horas.
34. (Ita 2002) O triângulo ABC, inscrito numa circunferência, tem um lado medindo 20/™ cm, cujo ângulo oposto é de 15°. O comprimento da circunferência, em cm, é
a) 20 Ë2 (1 + Ë3).
b) 400 (2 + Ë3).
c) 80 (1 + Ë3).
d) 10 (2Ë3 + 5).
e) 20 (1 + Ë3).
35. (Fuvest 2002) 
As páginas de um livro medem 1dm de base e Ë(1+Ë3)dm de altura. Se este livro foi parcialmente aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas seja 60°, a medida do ângulo ‘, formado pelas diagonais das páginas, será:
a) 15°
b) 30°
c) 45°
d) 60°
e) 75°
36. (Ufscar 2002) Na figura, o dodecágono inscrito na circunferência tem seis lados medindo Ë2 e seis lados medindo Ë24.
Lei dos cossenos: em um triângulo ABC, onde  é o ângulo compreendido entre os lados b e c,
	a£ = b£ + c£ - 2bc . cosÂ
a) Calcule o ângulo ï.
b) Calcule o raio da circunferência.
37. (Ufpi 2000) Em um triângulo, um dos ângulos mede 60° e os lados adjacentes a este ângulo medem 1cm e 2cm. O valor do perímetro deste triângulo, em centímetros, é:
a) 3 + Ë5
b) 5 + Ë3
c) 3 + Ë3
d) 3 + Ë7
e) 5 + Ë7
38. (Ufrj 2002) O objetivo desta questão é que você demonstre a lei dos cossenos. Mais especificamente, considerando o triângulo da figura a seguir, mostre que
a£ = b£ + c£ - 2bc cosš
39. (Uerj 2001) A VIDA LÁ É MAIS CARA...
Só é possível chegar a Fernando de Noronha de barco ou avião. Por isso, tudo fica mais caro. Veja alguns exemplos
- Milheiro de tijolos 
Diferença em relação ao Recife: + 840%
- Mercurocromo
Diferença em relação ao Recife: + 600%
- Quilo de sal
Diferença em relação ao Recife: + 300%
- Quilo de tomate
Diferença em relação ao Recife: + 190%
- Botijão de gás
Diferença em relação ao Recife: + 140%
- Quilo de batata
Diferença em relação ao Recife: + 82%
- Litro de gasolina
Diferença em relação ao Recife: + 68% 
("Veja", 12/07/2000.)
Considere os pontos N, R e F para designar, respectivamente, Natal, Recife e Fernando de Noronha.
Sabendo-se que o ângulo NFR é igual a 30°, calcule a medida aproximada do segmento NR, distância entre as cidades de Natal e Recife.
40. (Uerj 2001) A figura 1 representa uma chapa de metal com a forma de um triângulo retângulo isósceles em que AB=BC=CD=2m.
Dobrando-a nas linhas BE e CE, constrói-se um objeto que tem a forma de uma pirâmide. 
Desprezando a espessura da chapa, calcule o cosseno do ângulo formado pela aresta AE e o plano ABC.
41. (Ufpr 2003) Em um triângulo ABE, a medida do lado AE é 3, a do ângulo E é 75°, e a do ângulo A é 45°. Dois pontos, C e D, pertencem ao lado AB. Sabe-se que a distância AC é Ë2 e que o segmento ED é perpendicular a AB. Nessas condições, é correto afirmar:
(01) A medida do ângulo B é igual a 60°.
(02) AD > ED
(04) EB = Ë6 
(08 EC = Ë5
Soma ( )
42. (Fatec 2003) Em um paralelogramo ABCD, os lados åæ e åî medem, respectivamente, xË2 cm e x cm, e š é o ângulo agudo formado por esses lados. Se a diagonal maior mede 2x cm, então o ângulo š é tal que
a) cos š = (Ë14)/4
b) sen š = (Ë2)/4
c) cos š = (Ë3)/2
d) sen š = 1/2
e) tg š = Ë7
43. (Uel 2003) Entre os povos indígenas do Brasil contemporâneo, encontram-se os Yanomami. Estimados em cerca de 9.000 indivíduos, vivem muito isolados nos estados de Roraima e Amazonas, predominantemente na Serra do Parima. O espaço de floresta usado por cada aldeia yanomami pode ser descrito esquematicamente como uma série de três
círculos concêntricos: o primeiro, com raio de 5 km, abrange a área de uso imediato da comunidade; o segundo, com raio de 10 km, a área de caça individual e da coleta diária familiar; e o terceiro, com raio de 20 km, a área das expedições de caça e coleta coletivas, bem como as roças antigas e novas. Considerando que um indivíduo saia de sua aldeia localizada no centro dos círculos, percorra 8 km em linha reta até um local de caça individual e a seguir
percorra mais 8 km em linha reta na direção que forma 120° com a anterior, chegando a um local onde está localizada sua roça antiga, a distância do ponto de partida até este local é:
a) 8Ë3 km
b) (8Ë3)/3 km
c) 3Ë8 km
d) 8Ë2 km
e) 2Ë8 km
44. (Fuvest 2004) Em uma semi-circunferência de centro C e raio R, inscreve-se um triângulo equilátero ABC. Seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo AðB intercepta a semicircunferência. O comprimento da corda åî é:
a) RË(2 - Ë3)
b) RË[(Ë3) - (Ë2)]
c) RË[(Ë2) - 1]
d) RË[(Ë3) - 1]
e) RË(3-Ë2)
45. (Unicamp 2004) O quadrilátero convexo ABCD, cujos lados medem, consecutivamente, 1, 3, 4 e 6 cm, está inscrito em uma circunferência de centro O e raio R.
a) Calcule o raio R da circunferência.
b) Calcule o volume do cone reto cuja base é o círculo de raio R e cuja altura mede 5 cm.
46. (Uff 2004) A figura a seguir esquematiza uma situação obtida por meio de um sistema de captação e tratamento de imagens, durante uma partida de vôlei.
Nos pontos M e N da figura estão localizados dois jogadores que estão olhando para a bola com um ângulo de visada de 30°, em relação ao solo. Sabe-se que a distância dos olhos (pontos P e Q) de cada jogador até o solo é igual a 2,0 m (PM = QN = 2,0 m), que a distância entre os jogadores é igual a 1,5 m (MN = 1,5 m) e que cos ‘ = (Ë3)/4.
A distância (h) da bola (representada pelo ponto R) até o chão (h = RT) é:
a) 2,5 m
b) 3,0 m
c) 3,7 m
d) 4,5 m
e) 5,2 m
47. (Ufrs 2004) Na figura abaixo, os ângulos u e v medem, respectivamente, ™/4 e 2™/3, OP = Ë2 e OQ= Ë3.
Então, (PQ)£ é
a) 2 + Ë3.
b) 3 + Ë2.
c) 2 + Ë2.
d) 3 + Ë3.
e) (Ë2) + Ë3.
48. (Fgv 2005) 
O angulo ‘, indicado na figura B, é igual a
a) arc cos (-1/5).
b) arc cos (1/5).
c) arc cos (-24/25).
d) arc sen (24/25).
e) arc sen 1.
49. (Fuvest 2006) Na figura abaixo, tem-se AC = 3, AB = 4 e CB = 6.
O valor de CD é
a) 17/12
b) 19/12
c) 23/12
d) 25/12
e) 29/12
50. (Unesp 2006) Dois terrenos, T e T‚, têm frentes para a rua R e fundos para a rua S, como mostra a figura. O lado BC do terreno T mede 30 m e é paralelo ao lado DE do terreno T‚. A frente AC do terreno T mede 50 m e o fundo BD do terreno T‚ mede 35 m. Ao lado do terreno T‚ há um outro terreno, Tƒ, com frente para a rua Z, na forma de um setor circular de centro E e raio ED.
Determine:
a) as medidas do fundo AB do terreno T e da frente CE do terreno T‚.
b) a medida do lado DE do terreno T‚ e o perímetro do terreno Tƒ.
51. (Fuvest 2004) Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB.
Determinar o comprimento de MN.
52. (Unicamp 92) Na figura adiante, åæ=åè=Ø é o lado do decágono regular inscrito em uma circunferência de raio 1 e centro O.
a) Calcule o valor de Ø.
b) Mostre que cos 36° = (1+Ë5)/4.
53. (Unesp 2004) Na figura, ABCD é um retângulo, BD = 6 cm, a medida do ângulo ABD é ‘ = 30°, a medida do ângulo AED é ’ e x = BE. Determine:
a) a área do triângulo BDE, em função de x.
b) o valor de x, quando ’ = 75°.
54. (Ufrj 2000) Sejam O = (0, 0), P = (5, 2) e P' = (2, 5).
Girando em torno de O, no sentido trigonométrico (anti-horário), o segmento OP de um certo ângulo š, o ponto P transforma-se no ponto P'.
Determine cosš.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Puccamp 2005) Nas principais concentrações urbanas do país, trabalhadores de baixa renda percorrem grandes distâncias a pé. Outros pedalam muitos quilômetros para usar uma condução a menos, deixando a bicicleta em estacionamentos próprios.
55. Considere que, na figura abaixo, tem-se a planificação do quadro de uma bicicleta e as medidas indicadas estão em centímetros.
O perímetro do triângulo BCD, em centímetros, é igual a
a) 148
b) 152
c) 155
d) 160
e) 172
 
GABARITO
1. a) 375Ë3 cm¤
b) 50Ë3 cm£
2. a) B(-1; 2), C(-Ë5; 0), D(-1; -2), E(1; -2) e F(Ë5; 0)
S = 4[(Ë5) + 1] u.a.
b) cos (AÔB) = 0,6
3. AB = Ë(1,49 - 1,4 . cos 36°) m
4. [E]
5. a) A = 30°, B = 60° e C = 90°
b) A = 30°, B = 60° e C = 90°
6. S = [Ø£ sen ‘ sen ’]/[2 sen (‘ + ’)]
7. r = Ë2 , R = 2
8. [B]
9. A distância entre as duas árvores é de 28 metros.
10. [D]
11. a) BC = 70 km
b) DE = 42 km
12. 29 metros.
13. a) 1 km
b) Ë2 km
14. [B]
15. [E]
16. [C]
17. [B]
18. ‘ = 30°
19. [B]
20. 36°, 72°, 108° e 144°
21. [E]
22. [B]
23. a) O cosseno do ângulo BAD é Ë6/3.
b) O cosseno do ângulo BMD é 7/9.
c) O ângulo BMD é maior do que o ângulo BAD.
24. [C]
25. a) r = Ë(3/2)
b) A = 3 - Ë3
26. [C]
27. [B]
28. a) R = Ë[(5 + 2 Ë2)/2] km
b) S = Ë2/2 km£
29. [C]
30. AÊD = 45°, área = 3Ë(3)/2 cm£
31. [B]
32. a) 3, 5, 7
b) 120°
c) No Triângulo 
Pela lei dos senos, tem-se:
(sen ’)/5 = (sen ‘)/3 = (sen 120°)/7
(sen£ ’ - sen£ ‘)/(25 - 9) = 3/196
sen£ ’ - sen£ ‘ < 1/4
33. d = Ë7 m
34. [A]
35. [B]
36. a) 150°
b) Ë38
37. [C]
38. Seja h a altura relativa ao lado c e sejam x e y as projeções de a e b sobre c, respectivamente. Então: y = b cosš e x=c-bcosš.
Pelo Teorema de Pitágoras:
b£ = b£ cos£ š + h£
a£ = (c - bcosš)£ + h£ = c£-2bccosš+b£cos£š+h£
Logo: a£ = b£ + c£ - 2bc cosš.
39. 295 km
40. (Ë6)/3
41. 01 + 04 + 08 = 13
42. [E]
43. [A]
44. [A]
45. a) R = 3(Ë66)/8 cm
b) 495™/32 cm¤
46. [B]
47. [A]
48. [A]
49. [E]
50. a) AB = 70 m; CE = 25 m
b) DE = 45 m e 2P = 15 . (6 + ™) m
51. MN = 11/30 unidades de comprimento
52. a) Ø = (Ë5-1)/2
b) Pela lei dos cossenos temos:
Ø£ = 1£ + 1£ - 2.1.1. cos 36°Ì cos 36° = (1+Ë5)/4
53. a) 3x/2 cm£
b) 6[(Ë3) -1] cm
54. cosš = 20/29
55. [C]
	Grandezas escalares e vetoriais
Grandezas escalares – são aquelas que ficam perfeitamente caracterizadas por um número seguido de uma unidade. Exemplos: As grandezas abaixo ficam claramente determinadas quando delas fornecemos um número real de medida e a unidade de medida.
Assim, por exemplo, a temperatura onde estão os ursos da figura 1 é de -10oC, a pressão da garota da figura 2 é de 13mmHg por 8mmHg, o homem está olhando seu relógio que marca 8,00 horas, o reservatório de água da figura 4 tem volume de 1,5.106 litros e a massa do produto da figura 5 é de 500g. Todas elas são grandezas escalares que ficam claramente determinadas quando delas fornecemos um número real de medida e a unidade de medida.
Grandezas vetoriais – Não ficam perfeitamente definidas apenas pelo número acrescido de unidade. Para entendê-las, considere um motociclista que está a 5m de uma ponte que caiu.
Se você afirmar que a moto se deslocou 5,5m você não pode dizer que ela cairá, pois ela pode se deslocar 5,5m para o leste ou para o oeste. Assim, o deslocamento da moto não ficou perfeitamente definido pelo número acrescido de unidade, pois faltou a orientação (direção e sentido). Assim, o deslocamento é uma grandeza vetorial, que são aquelas que, além do número e da unidade, para ficarem perfeitamente caracterizadas necessitam também de uma direção e de um sentido. 
 Exemplos de grandezas vetoriais: deslocamento, velocidade, aceleração, força, impulso, etc.
Vetor – representação de uma grandeza vetorial que é feita através de um segmento de reta orientado, cujo sentido é fornecido pela seta, em uma de suas extremidades.
Todo vetor é representado por letras acompanhadas por uma pequena seta sobre elas.
- lê-se “vetor P”  ---  - lê-se “vetor Q”
Características de um vetor
 Direção – localização no espaço, fornecida pela reta suporte (S) do segmento. Exemplos:
 
 Sentido – dado pela seta. Exemplos:
  
 
 Intensidade ou módulo – composto pelo número e pela unidade de medida, ou seja, pelo comprimento do segmento, numa certa escala adotada. A intensidade de um vetor costuma ser representada por P (sem a seta) ou por e lê-se “intensidade ou módulo do vetor ”
 
O que você deve saber
 Não se deve escrever =20m/s, mas sim V=20m/s (sem a seta) 
 Um vetor nulo deve ser representado da seguinte maneira =
 
A direção de um vetor também pode ser definida como sendo o ângulo que ele forma com a horizontal ou a vertical. Exemplo:
Determine a intensidade (no SI), direção e sentido do vetor  da figura abaixo.
tgα=cateto oposto/cateto adjacente=10/10√3  ---  tgα=√3/3  ---  α=30o  ---  sen30o=10/V  ---  V=20m/s  ---  intensidade – V=20m/s  ---  sentido – NE  ---  direção – formando ângulo de 30o com a horizontal
Dois ou mais vetores são iguais quando têm ao mesmo tempo mesma intensidade, mesma direção e mesmo sentido.
Dos vetores acima, são iguais: 
 ---  
 
Adição de vetores
 
Pode-se determinar o vetor soma ou vetor resultante de dois ou mais vetores através de dois processos:
Método da linha poligonal – Dados os vetores abaixo, determine o vetor soma (vetor resultante)  pelo método da linha poligonal
Esse método é mais utilizado quando se está interessado apenas na orientação (direção e sentido) do vetor soma (resultante) .
Observação: Se, na adição de vetores, a extremidade do último coincidir com a origem do primeiro, o resultado é um vetor nulo ().
Método do paralelogramo – Dados os vetores abaixo, determine o vetor soma (resultante) pelo método do paralelogramo.
 
Coloque a origem dos dois vetores em um mesmo ponto e, em seguida, trace pelas extremidades de cada um deles, uma paralela ao outro  ---  
 
O vetor  da figura é o vetor soma ou o vetor resultante.
Sendo β o ângulo entre os dois vetores, pode-sedeterminar seu módulo pela lei dos cossenos:
S2= A2 + B2 + 2.A.B.cos β   
 
 
Observação: Se os vetores forem perpendiculares, teremos que S2= A2 + B2 + 2.A.B.cos 90o  ---  cos 90o=0  ---  S2= A2 + B2 + 2.A.B.0  ---  S2= A2 + B2 + 0  ---  S2= A2 + B2 , que é o teorema de Pitágoras.
Subtração de vetores – Dois vetores são opostos quando têm a mesma intensidade, mesma direção, mas sentidos contrários.
Produto de um número real por um vetor
O produto   de um número real n por um vetor   é dado por:
Características de :
Exemplos:
Dado o vetor  de intensidade V=3 unidades (3u), pede-se:
Decomposição cartesiana de um vetor – Pode-se, a partir de um vetor  , obter os vetores  e  que deram origem a ele, traçando retas paralelas aos eixos Oh e Ov 
 
 
 
O que você deve saber
 
 Chama-se versor qualquer vetor de módulo (intensidade) igual a 1. Qualquer vetor pode ser expresso em função de seus versores horizontais e verticais. Exemplo:
Cada divisão da figura abaixo tem 1 unidade. Representar cada vetor em função de e