PROVA III

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Universidade Federal da Bahia
Prova 2 - MAT04 Ca´lculo C - Turma 09
Professor: Vinicius Casteluber Laass
Data: 04/09/2017
Nome:
Graduac¸a˜o:
Assinatura:
Questa˜o Valor Nota
1 2,5
2 2,5
3 2,5
4 2,5
5 2,5
Extra (a) 0,5
Extra (b) 0,5
Total
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
As pa´gina de questo˜es na˜o sera˜o corrigidas.
A organizac¸a˜o das resoluc¸o˜es sera´ avaliada e faz parte da nota da questa˜o.
QUESTO˜ES PRINCIPAIS
Para ca´lculo da nota da prova, sera´ descontada a
questa˜o que obtiver menor pontuac¸a˜o na correc¸a˜o.
QUESTA˜O 1 Encontre a soluc¸a˜o da EDO com condic¸o˜es iniciais
y′′ − 4y′ + 4y = 4t2 − 32t+ 52; y(1) = 4, y′(1) = −4.
QUESTA˜O 2 Encontre a soluc¸a˜o da EDO com condic¸o˜es iniciais
x2y′′ + 2xy′ − 6y = 0; y(1) = 0, y′(1) = −5.
QUESTA˜O 3 Considere a EDO
(1− x)y′′ + y = 0.
Calcule a cota inferior do raio de convergeˆncia da soluc¸a˜o em se´rie de poteˆncias em torno do
ponto x0 = 0. Apo´s, calcule os quatro primeiros termos da se´rie.
QUESTA˜O 4 Encontre a soluc¸a˜o da EDO com condic¸o˜es iniciais. Voceˆ pode usar a tabela de
transformadas de Laplace que esta´ no final da pro´xima pa´gina. Qualquer outra transformada
devera´ ser calculcada.
y′′ + y =
{
0, se 0 ≤ t < pi
1, se t ≥ pi; y(0) = 0, y
′(0) = 1.
QUESTA˜O 5 Encontre a soluc¸a˜o do sistema de EDOs com condic¸o˜es iniciais
dx
dt
= x+ 2y, x(0) = −2
dy
dt
= 2x+ y, y(0) = 4.
QUESTA˜O EXTRA
A nota obtida na questa˜o abaixo sera´ somada a nota obtida
nas questo˜es principais observando o limite ma´ximo de 10, 0 pontos.
QUESTA˜O EXTRA Voceˆ enriqueceu e sua casa agora tem duas piscinas com uma cascata
conforme a imagem abaixo. A piscina de cima tem 100.000 litros de a´gua e a piscina de baixo
tem 45.000 litros de a´gua. A vaza˜o da cascata e´ de 400 litros de a´gua por minuto. Dois
encanamentos independentes retiram a´gua da piscina de baixo e devolvem para a piscina de
cima com aux´ılio de bombas. Um encanamento tem vaza˜o de 300 litros por minuto e o outro
encanamento, por conter um poderoso sistema de filtragem que remove todo tipo de impureza
da a´gua, tem vaza˜o de 100 litros de a´gua por minuto. A piscina de baixo e´ contaminada com
15 quilos de uma substaˆncia to´xica. Voceˆ dara´ uma festa em 4 horas e sabe que a substaˆncia
to´xica na˜o e´ perigosa se estiver em uma concentrac¸a˜o menor do que 0,02 gramas por litro.
(a) Encontre um sistema de EDO’s cujas soluc¸o˜es servira˜o para obter a informac¸a˜o se alguma
das piscinas estara´ em condic¸o˜es de uso no in´ıcio da festa. Justifique o seu racioc´ınio e explique
como podemos encontrar a resposta precisa do problema utilizando as te´cnicas estudadas em
sala de aula.
(b) Voceˆ esta´ com um sensac¸a˜o que na˜o sera´ poss´ıvel usar nenhuma das piscinas no in´ıcio da
festa. Enta˜o, apo´s 2 horas que a substaˆncia to´xica contaminou as piscinas, voceˆ coloca uma
mangueira que deixa entrar a´gua limpa na piscina de baixo com uma vaza˜o de 50 litros por
minuto e regula o sistema de esvaziamento da piscina de baixo para liberar a´gua com a mesma
vaza˜o da mangueira. Encontre um novo sistema de EDO’s cujas soluc¸o˜es servira˜o para obter a
informac¸a˜o se alguma das piscinas estara´ em condic¸o˜es de uso no in´ıcio da festa. Justifique.
Tabela de Transformadas de Laplace
• L{1} = 1
s
, s > 0
• L{eat} = 1
s− a , s > a
• L{tn} = n!
sn+1
, s > 0 (n inteiro positivo)
• L{sen(at)} = a
s2 + a2
, s > 0
• L{cos(at)} = s
s2 + a2
, s > 0
• L{uc(t)} = e
−cs
s
, s > 0