Apostila Sistemas Estruturais - UFOP

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Departamento de Engenharia Civil 
Escola de Minas 
Universidade Federal de Ouro Preto 
 
CIV 403 
 
 
Programa Analítico 
 
 
1 – Ações e Segurança nas Estruturas 
 
1.1 – Introdução 
1.2 – Método do Coeficiente de Segurança Interno 
1.3 – Método do Coeficiente de Segurança Externo 
1.4 – Método das Tensões Admissíveis 
1.5 – Introdução aos Métodos Probabilísticos 
1.6 – Método dos Estados Limites 
1.7 – Tipos e Natureza das Ações 
1.8 – Ação do Vento 
 
 
2 – Tipologia das Estruturas 
 
2.1 – Histórico da Engenharia Estrutural 
2.2 – Classificação dos Sistemas Estruturais (Dimensões) 
2.3 – Classificação dos Sistemas Estruturais (Natureza dos Esforços) 
2.4 – Fios e Cabos 
2.5 – Arcos 
2.6 – Treliças 
2.7 – Vigas 
2.8 – Pilares 
2.9 – Grelhas 
2.10 – Estruturas de Superfície 
Bibliografia 
 
 
 
 
• NBR 8681 – Ações e Segurança nas Estruturas – Associação Brasileira 
de Normas Técnicas (ABNT) 
• NBR 6321 – Forças devidas ao Vento nas Edificações – Associação 
Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) 
• NBR 8800 – Projeto e Execução de Estruturas de Aço de Edifícios – 
Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) 
• NBR 6118 – Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado – 
Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) 
• Fundamentos Estatísticos da Segurança das Estruturas – Fusco, P. 
B. 
• Fundamentos do Projeto Estrutural – Fusco, P. B. 
• Probabilidade: Aplicações à Estatística – Meyer, P. L. 
• Vocabulário de Teoria das Estruturas – Associação Brasileira de 
Concreto Portland(ABCP) 
• Structural Analysis & Design of Tall Buildings – Taranath, B. S. 
• Structural Principles – Engel, I. 
• Structural Concepts and Systems for Architects and Engineers – Lin, 
T. Y and Stotesboury, S. D. 
• Structural Engineering for Architects – Lauer, K. R. 
• Structural Analysis for Engineers – Willems, N. and Lucas Jr., W. M. 
• Sistemas Estruturais: Segurança nas Estruturas – Sáles, J. J.; 
Gonçalves, R. M. e Malite, M. Departamento de Engenharia de 
Estruturas, Escola de Engenharia de São Carlos, USP. Publicação 
041/93. 
• Sistemas Estruturais: Elementos Estruturais - Sáles, J. J.; Gonçalves, 
R. M. e Malite, M. Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola 
de Engenharia de São Carlos, USP. Publicação 014/94. 
• Ação do Vento nas Edificações – Sáles, J. J.; Gonçalves, R. M. e 
Malite, M. Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola de 
Engenharia de São Carlos, USP. Publicação 015/94. 
• Construções Metálicas e de Madeira (Notas de Aula) – Reis, M. V. M. 
Departamento d4e Engenharia Civil, Escola de Minas, UFOP. 
APRESENTAÇÃO 
 
 
 
 
 
 Estas notas de aula foram elaboradas para a implementação da 
disciplina eletiva Sistemas Estruturais, do currículo de graduação do Curso 
de Engenharia Civil, oferecido pelo Departamento de Engenharia Civil da 
Escola de Minas/UFOP. 
 Exceto por pequenos detalhes e ligeiras correções, a presente versão 
é ainda a primeira, desenvolvida ao longo do primeiro semestre letivo de 
1999. 
 É importante ressaltar que o mesmo baseia-se, quase integralmente, 
nas publicações do Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola 
de Engenharia de São Carlos/USP referentes aos assuntos abordados. 
 Por esta razão, considerando o desprendimento dos autores das 
mencionadas publicações, manifesto meus mais sinceros agradecimentos 
aos professores José Jairo de Sáles, Maximiliano Malite e Roberto Martins 
Gonçalves. 
 
 
 
 
 
 
 
Ouro Preto, agosto de 1999 
Prof. Dr. Luiz Fernando L. Ribeiro 
Departamento de Engenharia Civil – Escola de Minas 
Universidade Federal de Ouro Preto 
 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
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1. AÇÕES E SEGURANÇA NAS ESTRUTURAS 
 
 
 
1.1 – Introdução: 
 
 A palavra estrutura tem significado de considerável amplitude, 
podendo ser definida, de modo genérico, como o modo de disposição das 
diferentes partes que compõem um corpo. Assim, referimo-nos à estrutura 
atômica para definir a disposição de átomos de uma molécula. De modo 
figurado, também utiliza-se esta palavra para designar a ordem, a disposição 
ou a distribuição das diversas partes que compõem uma obra literária, 
artística, ou trabalho científico (artigo técnico, monografia, dissertação ou 
tese, etc.). 
 
 
 Na Engenharia Civil, a palavra estrutura é utilizada para designar a 
composição, construção, organização e disposição arquitetônica de um 
edifício, compreendendo todas as partes que o compõem, incluindo as 
fundações, lajes, vigas, pilares, paredes, revestimentos, cobertura, pintura, 
etc. 
 De modo ainda mais particularizado, tanto na Engenharia Civil quanto 
na Arquitetura, a palavra, por definição, representa as partes que suportam 
as cargas de uma construção e as transmitem às fundações, constituindo-se 
nos elementos fundamentais do chamado sistema estrutural. 
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 A conceituação apresentada, por si só, já caracteriza a importância do 
sistema estrutural de uma edificação. Porém, em inúmeras ocasiões, a 
estrutura é também explorada sob ponto de vista estético, assumindo uma 
dualidade de funções que impõe a necessidade, qualquer que seja o 
profissional envolvido no projeto, de sólido conhecimento do funcionamento 
dos sistemas estruturais, bem como de uma profunda interação entre os 
profissionais de diferente formação (arquiteto e projetista estrutural) 
envolvidos no projeto. 
 
 A necessidade deste conhecimento e/ou desta interação é tão mais 
visível se imaginarmos que, na etapa criativa, este processo é basicamente 
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intuitivo, sendo fundamental a ligação da intuição consciente com a 
formulação matemática para a compreensão e a representação da realidade 
física. 
 
 
 
 O caráter intuitivo da 
concepção de uma estrutura é 
evidente em vários fatos da vida 
cotidiana, como por exemplo, ao 
escolhermos o ângulo correto para 
posicionarmos uma escada de 
mão, bem como ao verificarmos, 
intuitivamente, se as dimensões de 
suas peças são suficientes para 
suportar o nosso peso. 
 A importância do sistema estrutural está, portanto, na mesma razão 
da compreensão de seu funcionamento quanto de sua concepção, com toda 
a simplicidade possível, mesmo abstendo-nos de recorrer ao conhecimento 
formal de fórmulas matemáticas e questões referentes às características 
físicas dos materiais, sem que isso signifique tratar o problema de forma 
simplificada, mas sim reconhecer, nas situações arquitetônicas práticas, os 
pontos mais delicados do projeto estrutural, proporcionar-lhe as dimensões e 
as proporções adequadas, deixando para o projetista estrutural a parte 
matemática e o detalhamento. 
 No projeto de uma estrutura, desde as mais complexas até as mais 
simples, como as constituídas por um único elemento, é fundamental que 
exista a preocupação de que a mesma desempenhe as funções a que se 
destina com o máximo de ECONOMIA e EFICIÊNCIA. 
 O caráter econômico da estrutura deve ser assegurado através de 
uma análise dos materiais e das tecnologias disponíveis, comparando-se os 
custos de matérias primas, distâncias de transporte, consumo de materiais e 
de mão-de-obra, tempo de execução, etc. Definido o material e a tecnologia, 
deve-se procurar a otimização do sistema estrutural a ser adotado, 
buscandoo equilíbrio entre o consumo de material e de mão-de-obra. 
 Em muitos projetos é possível obter bons resultados com a 
padronização das dimensões dos elementos, mesmo que às custas de um 
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consumo maior de material, uma vez que, com a padronização, é possível 
diminuir-se consideravelmente o emprego da mão-de-obra. 
 
Centro Esportivo – Itaperuna/RJ 
 
 Para assegurar a eficiência de uma estrutura deve-se buscar um 
projeto econômico mas que permita que a estrutura tenha CONDIÇÕES DE 
SEGURANÇA, o que significa apresentar-se resistente, estável e duradoura. 
 O conceito de segurança em estruturas costuma ter dois aspectos 
que, algumas vezes, podem ser confundidos entre si. 
 O primeiro é qualitativo, dizendo-se que uma estrutura possui ou não 
possui segurança. O segundo é quantitativo, buscando-se atribuir um valor 
ao nível de segurança alcançado ou desejado. 
 Qualitativamente, diz-se que uma estrutura é segura quando ela é 
capaz de suportar, sem sofrer danos, todas as ações que vierem a solicitá-
la, desde a fase de construção até o final de sua vida útil, entendendo-se 
como ações as causas externas capazes de produzirem esforços internos e 
deformações na estrutura. Incluem-se nesse caso as forças provenientes 
dos pesos próprios dos elementos estruturais e construtivos, a ação do 
vento, as variações de temperatura, a movimentação das fundações 
(recalques de apoios), a circulação de pessoas, veículos, líquidos, gases, 
etc. 
 Em termos de vida útil das estruturas, pode-se dizer que ela varia de 
acordo com a finalidade da construção. Para as catedrais medievais, por 
exemplo, acredita-se que elas possuam vida útil da ordem de 1000 anos, 
enquanto as usinas hidrelétricas são projetadas para durarem, no mínimo, 
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100 anos. No caso das construções industriais, como as usinas siderúrgicas, 
os pólos petroquímicos, as fábricas e oficinas são concebidas para uma vida 
útil de 50 anos, assim como edifícios e demais construções comerciais, 
residenciais e agrícolas. 
 Durante o período previsto para a sua vida útil, uma estrutura não 
deve apresentar deformações e/ou deslocamentos excessivos, trincas, 
perda de equilíbrio, colapso ou ruína ou seja, não deve apresentar falhas 
que impeçam ou mesmo prejudiquem a utilização para a qual foi projetada. 
 A principal questão relativa ao aspecto quantitativo é a dificuldade 
encontrada na mensuração da segurança oferecida por uma estrutura, 
verificando-se que vários métodos foram desenvolvidos e aperfeiçoados 
para esta finalidade. 
 Na Antigüidade o método utilizado pelos construtores, que pode ser 
denominado Método Intuitivo, procurava somente obter construções 
seguras, sem a preocupação de quantificar o grau de segurança. Com isso, 
introduzia-se um conceito de segurança traduzido por meio de concepções 
estruturais baseadas na intuição dos projetistas e construtores, condicionada 
puramente nos sucessos e insucesso de construções similares já 
executadas. 
 A aplicação desse método primitivo, via de regra, conduzia a 
estruturas que hoje seriam consideradas antieconômicas mas era obrigatória 
face ao quase total desconhecimento das teorias quantitativas do 
comportamento estrutural. 
 Com o desenvolvimento da Mecânica das Estruturas, foram sendo 
criadas teorias quantitativas que reproduziam, cada vez melhor, os diversos 
comportamentos estruturais, tanto na definição do comportamento reológico 
dos materiais, quanto na determinação dos esforços internos, deformações e 
deslocamentos produzidos por um dado carregamento, ou na definição dos 
critérios de resistência dos materiais. 
 Através dessas teorias, empregando-se processos analíticos, 
numéricos ou gráficos, pode-se determinar, com vários graus de realismo, os 
esforços internos, as deformações e os deslocamentos nas estruturas, 
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permitindo a sua comparação com os critérios de resistência. 
 O desenvolvimento dos métodos experimentais também contribui para 
que sejam obtidas definições cada vez mais completas e claras dos 
aspectos comportamentais dos materiais e das estruturas, permitindo a 
verificação experimental das teorias quantitativas, possibilitando, até hoje, 
uma integração circular que proporciona o desenvolvimento dos métodos 
que buscam atribuir valores à segurança das estruturas. 
 Assim, os métodos experimentais constituem-se em um quarto 
processo de análise de estruturas, podendo ser denominado processo 
analógico, proporcionando uma nova alternativa para a determinação das 
deformações e deslocamentos das estruturas e possibilitando a aferição dos 
esforços internos. 
 É importante ressaltar que todas as teorias mencionadas baseiam-se 
na hipótese fundamental de que o comportamento estrutural de um certo 
elemento é determinístico, ou seja: 
“Para um mesmo elemento, com as mesmas 
vinculações, a aplicação de uma certa solicitação, de 
acordo com uma certa lei de variação ao longo do 
tempo, se pudesse ser repetida diversas vezes, 
produziria, em todas as aplicações, os mesmos esforços 
internos, as mesmas deformações e os mesmos 
deslocamentos” 
 Um outro parâmetro, muito importante para a quantificação da 
segurança, é a intensidade das ações, assumidas como invariáveis em 
alguns casos. Entretanto, é muito fácil de perceber que até mesmo o peso 
próprio de uma estrutura pode variar ao longo do tempo ou por influência de 
reformas, manutenções ou mesmo de condições climáticas. 
 Estabelecido o arcabouço quantitativo, surge o problema de como 
deve ser introduzida a segurança no projeto estrutural. A seguir são 
apresentados os diversos métodos adotados para esta finalidade, 
comentando-se, criticamente, a sua formulação e buscando-se mostrar, 
dentro das perspectivas atuais, o potencial desses métodos. 
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1.2 – Método do Coeficiente de Segurança Interno 
 
 Este método resultou da contínua evolução experimentada no século 
XIX pela Teoria da Elasticidade. A introdução da segurança no projeto 
estrutural, por este método, é feita através do coeficiente de segurança 
interno , impondo-se a condição de que as maiores tensões que ocorram 
por ocasião da utilização da estrutura não podem ultrapassar o valor das 
correspondentes tensões, divididas por , de ruptura ou de 
escoamento dos materiais, cujo valor resultante é denominado tensão 
admissível de ruptura ou de escoamento, respectivamente. 
 O método eqüivale, portanto, à imposição de um limite superior para 
as máximas tensões atuantes, as quais não podem ultrapassar as 
correspondentes tensões admissíveis, ou seja: 
 
 
 
 Os valores a serem adotados para devem levar em consideração 
as inevitáveis variabilidades tanto das tensões de ruptura ou de escoamento 
dos materiais, quanto das intensidades das ações, assim como expressar a 
“responsabilidade” da estrutura e outros fatores que serão ainda discutidos. 
 A determinação dos coeficientes de segurança internos é empírica, 
justificando-se seus valores pelos resultados disponíveis de estruturas 
projetadas com a sua utilização, os quais também orientam a alteração dos 
coeficientes, permitindoum progresso gradual e seguro dos critérios de 
projeto, de modo a atender aos aspectos econômicos que exigem a 
minimização dos valores de . 
 Para estados múltiplos de tensões podem ser definidas grandezas 
que caracterizam os diferentes critérios de resistência adotados para cada 
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tipo de material, relativamente às quais são introduzidos os coeficientes de 
segurança internos, verificando-se o mesmo para outros fenômenos como, 
por exemplo, a fadiga em estruturas. 
 Analisando-se criticamente o método, percebe-se que não são feitas 
considerações separadas a respeito das incertezas do sistema ou dos 
parâmetros, da natureza da estrutura ou das conseqüências da ruína. Além 
disso, as ações são, geralmente, especificadas por outras normas, sob a 
forma de valores médios para as cargas permanentes, valores máximos 
estimados para as acidentais e valores estatísticos estimados para a ação 
do vento. 
 Quanto às incertezas, cabe apenas ao calculista levá-las em 
consideração, introduzindo, informalmente, hipóteses conservadoras a 
respeito do seu modelo teórico e, formalmente, através da adoção de 
valores para as ações e para as tensões admissíveis. 
 Um outro aspecto muito importante a considerar é o fato de que as 
tensões máximas calculadas na estrutura ocorrem em pontos singulares, 
constituindo-se em efeitos isolados. No caso de uma viga biapoiada 
submetida a um carregamento uniformemente distribuído, por exemplo, o 
momento máximo ocorre no ponto médio do vão, e a tensão máxima 
ocorrerá também nesse ponto, mas apenas para as fibras longitudinais 
superiores e inferiores. 
 
 A maioria das estruturas não entra em colapso simplesmente pelo fato 
de existirem tensões altamente localizadas, ocorrendo redistribuição dessas 
tensões para as regiões menos solicitadas da seção transversal ou do 
elemento. Esse é o caso, por exemplo, de uma viga metálica bi-engastada, 
com seção transversal “I”. 
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 Observa-se na figura acima que, à medida que cresce a solicitação 
(momento fletor) na seção transversal, crescem as tensões nos pontos mais 
afastados da linha neutra, verificando-se, em determinada situação (M = My), 
que a máxima tensão normal na seção transversal é igual à tensão de 
escoamento do material (σy). Com o aumento da solicitação, ocorre uma 
redistribuição de tensões para pontos em que a tensão atuante ainda é 
menor que σy, até que todos os pontos da seção estejam solicitados pela 
mesma tensão σy, dizendo-se que a seção atingiu a plastificação total, para 
solicitação igual ao momento fletor de plastificação total (M = Mp). 
 
 Analisando-se o comportamento da viga bi-engastada, observa-se 
que o momento fletor é máximo nos engastes, ocorrendo então, nesses 
pontos, a formação de rótulas plásticas quando Meng = Mp. A viga, portanto, 
considerando-se que não há mais resistência à rotação nos apoios, passa a 
comportar-se como uma viga biapoiada, “transferindo” para outras seções 
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transversais a “responsabilidade” pela resistência ao acréscimo da 
solicitação. O valor máximo do carregamento uniformemente distribuído será 
aquele correspondente à solicitação de momento fletor de plastificação total 
da seção do meio do vão, uma vez que, formada nesse ponto uma nova 
rótula, ocorre a formação de um mecanismo e a viga sofre colapso. 
 Face ao exposto, o coeficiente de segurança iγ deve procurar 
representar uma série de incertezas e imprecisões que vão definir o grau de 
segurança de uma estrutura. No estudo dos fatores que devem ser levados 
em consideração na análise da segurança estrutural, as comparações entre 
solicitações e resistências serão feitas por meio dos esforços solicitantes, o 
que é válido apenas para as estruturas reticuladas (elementos que podem 
ter seu estudo reduzido ao comportamento de seu eixo longitudinal) e de 
superfície (estudo do comportamento do plano médio dos elementos). 
 No caso de estruturas que possuam as três dimensões da mesma 
ordem de grandeza, a comparação deve ser feita por meio das ações, sendo 
necessário englobar-se os grupos (a) e (b), descritos a seguir, em um 
mesmo grupo de fatores que influenciam a resistência das estruturas. 
(a) Fatores que influem nas ações 
- variabilidade da intensidade das ações; 
- probabilidade da ação simultânea das diversas ações que a 
estrutura deve suportar. 
(b) Fatores que influem nos esforços solicitantes 
- erros da análise estrutural: 
decorrentes da atribuição de um esquema teórico 
de comportamento à estrutura real 
- erros numéricos de cálculo: 
decorrentes da análise de estruturas complexas 
que exigem a solução de grandes sistemas de 
equações, podendo atingir de 5% a 10%. 
IMPORTANTE: Não se consideram previsões 
para enganos ou erros nos cálculos. 
- imprecisões geométricas construtivas: 
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decorrentes de deformações iniciais (ou residuais) 
nos eixos das barras ou na superfícies médias 
dos elementos de superfície (placas, cascas, etc.) 
e do posicionamento das armaduras, entre outros. 
- variabilidade das características mecânicas dos materiais em 
laboratório: 
são inevitáveis e decorrentes dos processos de 
caracterização do material. 
- variabilidade das características mecânicas dos materiais, do 
laboratório para a obra: 
no caso de estruturas metálicas este fator 
praticamente não existe, enquanto para estruturas 
de concreto ele depende essencialmente do 
controle de qualidade dos materiais recebidos na 
obra, da dosagem 
(c) Fatores que influem na responsabilidade da estrutura 
- tipo e montante dos danos produzidos pela eventual ruína da 
estrutura 
- capacidade de redistribuição dos esforços e de aviso de ruína 
iminente: 
a capacidade de redistribuição dos esforços e de 
aviso de ruína iminente pode minorara 
responsabilidade da estrutura, relativamente a 
uma outra que não possua tais características, 
por permitir uma redução do montante dos danos 
e, principalmente, por permitir a eliminação, ou 
pelo menos a minimização de perdas de vidas 
humanas, no caso de uma eventual ruína 
 
 A seguir são apresentados alguns exemplos de estruturas que 
permitirão discutir e esclarecer alguns conceitos básicos ligados à segurança 
estrutural, considerando-se apenas materiais com comportamento reológico 
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representado pelo diagrama tensão-deformação abaixo representado, 
caracterizando um comportamento elasto-plástico perfeito (EP). 
 
 Quanto aos critérios de resistência, admite-se que o material satisfaça 
ao Critério da Máxima Energia de Distorção (Hencky / Von Mises) 
 
Exemplo 1: 
 
 
 Determinar a maior força P 
que pode ser suportada pelo 
tirante da figura, com seção 
transversal constante, sendo σy = 
30 kN/cm2 e adotando coeficiente 
de segurança γi = 3. 
 
Solução: 
 Sendo A = b.h, a tensão máxima na estrutura é P /A e a condição de 
segurança, decorrente do método é: 
22
1 3τσσ +≥adm , 
onde σ1 é a tensão normal máxima e τ tem valornulo. 
 Portanto: 
iyadm
adm
AP
e
γσσσ
σσ
//max
max
=≤=
≤
 
 Desse modo: 
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kNxxAP iy 40003
401030/max ==≤ γσ 
 
Exemplo 2: 
 
 
 A viga da figura é 
constituída por material com sendo 
σy = 30 kN/cm2. Determinar o 
máximo valor de P que pode ser 
suportado pela viga, com γi = 2. 
Solução: 
 A maior tensão normal na estrutura é dada por: 
l
hM
2
max
max =σ 
 Sabendo-se que o momento máximo ocorre na seção transversal 
correspondente ao engaste e vale M x l, tem-se: 
kN
xx
xxPou
l
hb
P
hb
lP
i
y
i
y
adm
120
24006
401230
6
6
2
max
2
max2
==
=∴=≤ γ
σ
γ
σσ
 
 Uma outra verificação que pode ocorrer aos mais detalhistas, é a do 
esforço cortante. Entretanto, analisando-se as distribuições de tensões para 
as duas solicitações, encontra-se a distribuição apresentada na figura a 
seguir, onde observa-se que, quando uma tensão o seu valor máximo, a 
outra é nula. Pelo critério de resistência adotado, para o cisalhamento, tem-
se: 
22
_
3τσσ +≥ 
e, para 0=σ , encontra-se: σσστ 4,06,03/ ___ =≅= , que é, 
aproximadamente, o valor utilizado em diversas normas. 
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 Do exemplo, para V = Pmax = 120 kN, tem-se: 
bI
QV
.
.
max =τ 
 Sendo ( ) ( ) 12/8/4/2/ 3hbIehbhxhbQ === , obtém-se: 
2
_
2
max
/12304,04,0
/375,05,1
8
12
cmkNxe
cmkN
A
V
bh
V
y ===
===
στ
τ
 
 Portanto, no cisalhamento: 
32
375,0
12
max
_
=== τ
τγ i 
 Este valor permite a constatação que, nos casos normais de flexão, o 
fator limitante é a tensão normal ( )σ . A tensão de cisalhamento ( )τ só é 
limitante em vigas com vãos pequenos, submetidas a ações muito altas e 
que possuam pequena largura (b), como no caso de vigas metálicas. 
 Pode parecer importante, ainda, a verificação em pontos onde ambas 
as tensões não são nulas. Entretanto, uma vez que o valor da tensão normal 
( )σ varia muito mais rapidamente que o da tensão de cisalhamento ( )τ , 
conclui-se que somente ocorrem máximos nos pontos mais afastados da 
linha neutra. 
 
Exemplo 3: 
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 Determinar a máxima força P que pode ser suportada pela viga 
mostrada acima, com seção transversal constante, considerando 
2/18 cmkNy =σ e 2=iγ . 
 
Solução: 
 
 O momento máximo, bem como as tensões máximas, ocorrem na 
seção do meio do vão, obtendo-se: 
PP
xx
x
hb
xPl 0125,0
60204
660006
4 22max
===σ 
 A condição de segurança do método permite escrever: 
kNP
Pouiy
720
2/180125,0/
_
max
≤∴
≤=≤ γσσσ 
 Nos problemas anteriores, conhecia-se o material e as dimensões das 
barras e buscava-se o maior valor que a força aplicada poderia atingir, com 
determinado iγ . Diversos problemas de Engenharia apresentam-se desta 
forma, mas, na grande maioria dos casos, conhece-se o carregamento, o 
material e o coeficiente de segurança interno iγ , buscando-se dimensionar a 
seção transversal, como será apresentado nos problemas a seguir. 
Exemplo 4: 
 
 Para a viga biapoiada, com seção transversal constante, mostrada na 
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figura, determinar a mínima altura “h” necessária para suportar o 
carregamento “p”, com 4=iγ , utilizando material com 2/20 cmkNy =σ . 
Solução: 
 Também neste exemplo o momento máximo e as tensões máximas 
ocorrem no meio do vão, obtendo-se: 
cmcmh
cmkNh
hxxhbMxWM
cmkNxlpM
iy
1105445,109
5
60000
/54/20//60000
20/2000006./6/
.2000008/400108/
2
_
2
max
22
maxmaxmax
22
max
≅=≥∴
===≤=
===
===
γσσσ
σ
 
 
Exemplo 5: 
 
 Determinar o diâmetro da viga de seção transversal constante da 
figura, confeccionada com material que possui MPay 400=σ , utilizando 
67,1=iγ . 
 
Solução: 
 O momento máximo, neste caso, ocorre nos apoios, sendo calculado 
por 
kNmxplM 2412/6812/ 22max === , 
obtendo-se, para as tensões máximas: 
( ) max3maxmax /32/ MxDWM πσ == 
 Substituindo-se os valores e impondo-se a condição de segurança do 
método: 
67,1
40240032
_
3max =≤= σπσ xD 
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17
cm
x
xxD 100683,10
40
24003267,1 ≅==∴ π 
 
Exemplo 6: 
 
 A estrutura da figura é formada por barras iguais, de material com 
mlecmkNxEcmAcmkNy 2/102,10,/24
2422 ====σ . Determinar o 
máximo carregamento P que pode ser aplicado à estrutura, com 3=iγ . 
Solução: 
 Neste exemplo é essencial a aplicação da teoria de 2ª ordem, para 
obter-se o equilíbrio da estrutura na posição deslocada. 
 Desse modo, encontra-se: 
lflfffl
lLL
//.sen. 2===Δ
Δ+=
α 
e, pelas equações da Estática, aplicadas na posição de equilíbrio: 
f
lP
L
lx
f
LPNHH
f
LP
f
LxPlHLVN
PVVV
BA
A
BA
22
cos
22
/cos/
2/
====
====
===
α
α 
 Como são desconhecidos os valores de f, L e N, busca-se, 
inicialmente no triângulo ACD, as relações: 
EAlNLf
EAlNLffl
/..
/./sen.
2
2
=∴
===Δ α
 
que, substituída na equação de N, após elevá-la ao quadrado, fornece: 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
18
lN
LAEP
lNL
AELP
f
LPN
444
222
2
22
2 === 
l
LxAEPN
4
2
3 =∴ 
 Admitindo-se que 1/ ≅lL , obtém-se: 
3 263,0 AEPN = 
 Esta equação, pela aproximação feita, conduz a um certo erro, mas 
possui resolução mais simples que a solução exata, obtida através da 
solução de uma equação de 4º grau. O erro cometido fica em torno de 1 a 
2%, o que pode ser considerado desprezível. 
 Impondo-se que 
_
max/ σσ ==AN encontra-se: 
22
max
3_
/25,0 AExP=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛σ 
ou, escrevendo-se em função de Pmax: EAP /2
3_
max ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⇒ σ 
e, para os valores numéricos do exemplo: 
( ) kNxxP 2,3102/3/24102 43max ==⇒ 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
19
 
 
 
1.3 – Método do Coeficiente de Segurança Externo 
 
 Em 1849, dois anos após o colapso de uma ponte sobre o Rio Dee 
(Inglaterra), construída com treliças de ferro fundido, ainda era discutida a 
utilização desse material na construção de pontes. Vários eminentes 
engenheiros deparavam-se com a pergunta: “Qual o múltiplo da maior 
carga atuante em uma estrutura deve ser considerada como carga de 
ruptura da mesma?”. Brunel e Robert Stephenson, entre outros destacados 
calculistas da época, passaram a interessar-se pelo comportamento das 
estruturas no caso de ocorrer uma sobrecarga, realizando provas de carga 
de modo a assegurar-se de que a estrutura fosse capaz de suportar as 
cargas de serviço. 
 Esses engenheiros possuíam uma intuição que parece inibida nos 
profissionais modernos, distraído pela exatidão da teoria da elasticidade e 
pelo uso consequente das tensões admissíveis. Se, por um lado, não pode 
ser negado o sucesso da engenharia através da utilização e do 
desenvolvimento dateoria da elasticidade, por outro é lamentável que essa 
teoria tenha sido tão sufocante. No século atual, com o desenvolvimento 
cada vez maior da teoria da plasticidade aplicável às estruturas de aço e da 
teoria da ruptura utilizada nas de concreto, tem ocorrido uma espécie de 
retorno ao método de avaliação da segurança que se revelou com aquela 
pergunta feita em 1849. 
 A teoria da plasticidade tornou oportuno lembrar que, para avaliar-se 
a segurança da estrutura, é importante conhecer as condições de colapso. 
Decorre daí a introdução de um fator de carga em alguns métodos de 
dimensionamento e sua definição como carga de colapso, dividida pela 
carga de serviço, exatamente a mesma relação utilizada há 150 anos. A 
única diferença é que hoje, faz-se uma estimativa da carga de colapso por 
cálculo teórico, enquanto, naquela época, somente era possível estimar-se o 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
20
seu valor através de provas de carga. 
 Embora a determinação da carga de colapso, por meios teóricos 
(adotando-se modelos simplificados), seja menos precisa que a obtida por 
meio de provas de carga, hoje pode-se contar com os ensaios em modelos 
reduzidos, eliminando-se a necessidade de construção da estrutura para 
obter-se a carga de colapso (ou a existência de estruturas similares, já 
construídas, para a execução da prova de carga). 
 Se as estruturas apresentassem resposta linear durante toda a sua 
“história” de carregamento proporcional e crescente, ou seja, se elas 
apresentassem, em todas as condições, proporcionalidade entre a 
intensidade do carregamento e a intensidade das tensões correspondentes, 
em todos os pontos e em todos os planos, seria possível dar uma 
interpretação externa ao coeficiente de segurança interno iγ , que passaria 
a ser um coeficiente que, ao multiplicar o carregamento de utilização da 
estrutura, definiria um carregamento proporcional ao mesmo, produzindo 
ruptura ou colapso da estrutura. 
 
 A resposta linear de uma estrutura, porém, somente existe enquanto 
as relações tensão-deformação do seu material permanecerem lineares 
(linearidade física), enquanto sua geometria ficar pouco alterada pelos 
deslocamentos produzidos pelo carregamento (linearidade geométrica) e 
enquanto todas as ações na estrutura permanecerem proporcionais entre si. 
Entretanto, a maioria das estruturas sujeitas a um carregamento 
proporcional, mesmo apresentando resposta linear em uma certa faixa 
desse carregamento, antes de atingir a ruptura ou o colapso, deixa de 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
21
apresentar tal tipo de resposta, quer por perder, sensivelmente, a linearidade 
geométrica, quer por perder a linearidade física, ao deixar de seguir a Lei de 
Hooke em alguns de seus pontos. 
 Observa-se que, a rigor, são poucas as estruturas que não perdem 
linearidade geométrica, adotando-se a teoria linear como uma aproximação 
do comportamento não-linear das mesmas. No entanto, existem estruturas 
em que esse afastamento teórico é pouco sensível, até que elas atinjam a 
ruptura ou o colapso. Como conseqüência, a interpretação externa que se 
poderia dar a iγ e que, quase certamente, estava implícita na conceituação 
de seus introdutores, perde significado. 
 Para “medir-se, externamente”, a distância entre as condições de 
utilização da estrutura e as correspondentes condições de ruptura ou 
colapso, define-se como coeficiente de segurança externo eγ de uma 
estrutura, sujeita a um certo carregamento, ao valor pelo qual deve-se 
multiplicar as intensidades desse carregamento, proporcional ao primeiro, de 
forma a produzir a ruptura ou o colapso da estrutura. 
 
Exemplo 7: 
 
 
 
Determinar o coeficiente de 
segurança externo eγ da estrutura 
do Exemplo 1, agora comprimida, 
submetida ao carregamento P = 
4000 kN. Utilizar 2/30 cmkNe =σ 
e E = 20000 kN/cm2 
 
Solução: 
 A tensão normal máxima correspondente ao carregamento de 
utilização especificado é ( ) 2/101040/4000 cmkNx ==σ . Se a estrutura 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
22
mantivesse resposta linear até a ruptura, teríamos 0,3== ei γγ , uma vez 
que 0,310/30/ ==σσ e . 
 No entanto, ao ser atingida a carga de flambagem da estrutura, o 
comportamento da estrutura deixa de ser linear, verificando-se um 
crescimento das tensões, a partir de então, muito mais rapidamente que o 
das ações. 
 Assim sendo, a ruptura da estrutura se dá com um carregamento 
muito pouco superior a flP , podendo ser, na prática, confundido com este 
valor, ou seja: 
kN
xx
xxxx
l
IEPfl 34,4112200412
1040102
4 3
342
2
2
=== ππ 
e, portanto, 
028,1
4000
34,4112 ===
P
Pfl
eγ 
 Isto mostra que a aplicação do método do coeficiente interno, neste 
caso, conduziu a uma distância insuficiente entre o carregamento de 
utilização da estrutura e o de ruptura, já que ambos foram praticamente 
coincidentes. Este fato, devido à perda da linearidade geométrica da 
estrutura, produzida pela flambagem, foi o primeiro grande argumento 
levantado contra o método do coeficiente de segurança interno, conduzindo, 
já de longa data, à utilização de eγ em estruturas sujeitas à flambagem. 
 A figura seguinte ilustra o comportamento altamente não-linear da 
estrutura considerada. 
 
 É possível, porém, determinar o valor de P para que se tenha 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
23
0,3=eγ . Para isto, basta fazer: 
kNPP elfadm 13713/34,4112/ ≅== γ 
 Uma outra opção, mantendo-se o valor de P = 4000 kN, seria 
redimensionar a seção transversal da barra, para obter-se 0,3=eγ , ou seja: 
kNxPP eadmlf 1200034000. ==≥ γ 
ou kNlIE 120004/ 22 ≥π 
( ) 83,972620000/20041200012/ 223 ≅≥= xxxbhI π 
 Como h = 40 cm, b = 10 cm e a flambagem ocorrerá segundo o eixo 
de menor inércia (paralelo a h), aumentando-se b a inércia aumenta muito 
mais rapidamente. 
cmb
bxI
29,14
83,972612/40 3
≥
≥=∴
 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
24
 
 
 
1.4 – Método das Tensões Admissíveis: 
 
 Este é o método que serviu de base às normas de dimensionamento 
das estruturas até quase os dias de hoje mas, devido a algumas falhas que 
serão discutidas mais adiante, vem sendo substituído por outros métodos. 
 Este método introduz a segurança no dimensionamento, de duas 
maneiras distintas: 
a) Nos elementos submetidos a solicitações estabilizantes, como as 
de tração, utiliza o coeficiente de segurança interno iγ ; 
b) Nos elementos que podem apresentar flambagem, como por 
exemplo, em pilares ou vigas que não possuem adequadas 
contenções laterais, o método utiliza o coeficiente de segurança 
externo, só que dividindo o carregamento teórico de ruptura ou de 
colapso para obter o valor admissível. 
 
Exemplo 8: 
 
 Determinar a tensão admissível do pilar calculado no exemplo 7, para 
obter 0,2=eγ . 
Solução: 
 A tensão admissível, nesse caso, nada mais é do que a tensão de 
flambagem dividida pelo coeficiente de segurança externo, ou seja: 
cmkN
xxe
lf
adm /4895,1023,1440
12000 === γ
σσ 
 Esta tensão conduz a uma carga admissível (Padm) de: 
kNxxAxP admadm 60003,14404895,10 ≅== σ 
quecorresponde, exatamente, ao valor da carga dividido por eγ , ou seja: 
kNPP elfadm 60002/12000/ === γ 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
25
 Conforme já visto, através dos coeficientes de segurança, o método 
das tensões admissíveis procura: 
a) Estabelecer uma medida da segurança das estruturas; 
b) Estabelecer uma sistemática para a introdução da segurança nos 
projetos estruturais. 
 No que diz respeito à medida da segurança introduzida, pode-se, de 
imediato, observar que ela é bastante deficiente. Como já afirmado, o 
coeficiente de segurança iγ deve depender, entre outros fatores, da 
variabilidade das resistências dos materiais, crescendo com o crescimento 
das dispersões correspondentes. Este fator justifica a utilização de 2=iγ 
em uma estrutura metálica e a utilização de 4=iγ , por exemplo. 
 A simples consideração deste exemplo permite concluir que iγ não é 
uma boa medida de segurança, uma vez que, quando se projeta uma 
estrutura de madeira com 4=iγ , não se deseja e nem se consegue que ela 
tenha uma segurança maior do que a de uma estrutura metálica projetada 
com 2=iγ , mas sim, que as duas estruturas tenham a mesma segurança 
ou, pelo menos, segurança da mesma ordem de grandeza. 
 Por outro lado, a constatação de que apenas o valor de iγ não define 
a segurança de uma estrutura acaba por mostrar a deficiência de tal medida 
de segurança. Para exemplificar, se duas estruturas, uma de madeira e 
outra metálica, possuírem 2=iγ , a primeira terá segurança menor que a 
Segunda, embora ambas tenham o mesmo iγ . 
 No que diz respeito à sistemática para a introdução da segurança nos 
projetos estruturais que o método das tensões admissíveis estabelece, 
podem ser feitas críticas ainda mais contundentes. 
 Inicialmente, cabe a crítica de que há uma preocupação apenas com 
o estabelecimento de uma conveniente distância entre a situação de 
utilização da estrutura e aquela que corresponderia a uma ruptura da 
estrutura (desagregação do material) ou a um colapso da mesma (perda da 
capacidade portante da estrutura, por se tornar parcial ou totalmente 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
26
hipostática). Não há preocupação com a verificação de outras condições que 
possam invalidar a utilização da estrutura, como por exemplo o 
aparecimento de deformabilidade exagerada da mesma. 
 Esta crítica não é, contudo, a mais grave, pois outras condições que 
possam colocar a estrutura inadequada à utilização, poderiam ser satisfeitas 
por meio de verificações adicionais, em separado. 
 A principal crítica que se pode e que se deve fazer ao método das 
tensões admissíveis é justamente a respeito da distância que ele introduz 
entre a situação de utilização da estrutura e aquela que corresponderia a 
uma ruptura ou a um colapso da mesma. A medida da distância entre as 
situações mencionadas fica muito mais bem definida quando procura-se 
estabelecer uma relação entre os carregamentos correspondentes a elas 
( )eγ do que procurando-se estabelecer a relação entre as tensões 
correspondentes a tais situações ( )iγ . 
 As estimativas teóricas são seguras, desde que a idealização do 
comportamento da estrutura seja feita de forma conservadora. Além disso, a 
carga de colapso é obtida de modo muito mais rápido e econômico que a 
obtida por prova de carga. O maior avanço do método do coeficiente 
externo, em relação ao método do coeficiente interno, é que nele, tenta-
se considerar a forma de comportamento da estrutura ou seja, como o 
modelo ideal da estrutura se comportaria se essa estrutura fosse construída. 
 Entretanto, o método ainda apresenta muitos defeitos, como por 
exemplo, o fato de não existir uma separação entre as incertezas do sistema 
e a incerteza dos parâmetros. Além disso, as ações são especificadas da 
mesma forma que para o método do coeficiente interno ou seja, uma mistura 
de médias, máximas e valores estatísticos estimados. Existe, também 
neste método, uma confusão filosófica e falta de rigor, não existindo uma 
estrutura lógica de raciocínio, por meio da qual possam ser examinados 
todos os estados limitativos da estrutura. 
 Como conseqüência, o método das tensões admissíveis não retrata 
com boa precisão a condição de colapso, nem permite que seja feita uma 
avaliação confiável dessa condição. O método, contudo, representa uma 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
27
sub-estimativa da segurança, ou seja, um limite inferior de segurança, além 
de ser um método simples, direto e de fácil utilização, desde que os 
coeficientes de segurança sejam adequadamente escolhidos. 
 Entretanto, como não é um método realista, poderia apresentar perigo 
nos casos em que o calculista, baseando-se em uma análise mais 
sofisticada da estrutura, imaginasse ser possível a redução do coeficiente de 
segurança. Isso somente seria possível caso fosse feito um estudo mais 
rigoroso a respeito das incertezas do sistema e dos parâmetros. 
 Adicionalmente, é óbvio que outros efeitos, que não sejam tensões, 
dever ser analisados no projeto de uma estrutura, como, por exemplo, 
deformações, controle de fissuras, etc. Não obstante as normas tratarem 
desses efeitos, o método permanece obscuro e desprovido de unidade 
filosófica, apresentando uma ênfase excessiva às tensões elásticas e pouca 
às restrições que devem ser impostas à utilização da estrutura. Em resumo, 
a moderna Engenharia já ultrapassou este método. 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
28
 
 
 
1.5 – Introdução aos Métodos Probabilísticos 
 
 Os conceitos e as análises apresentadas parecem indicar que um 
método de introdução de segurança em uma estrutura deve levar em 
consideração a completa conceituação de segurança, observando-se todos 
os seus aspectos e adotando-se, para medida de segurança, o coeficiente 
de segurança externo. 
 Um método com estas características, porém, permite a crítica 
fundamental de que, além da premissa de que o comportamento estrutural é 
um fenômeno determinístico, considera-se que os parâmetros mecânicos 
e geométricos da estrutura também o são. 
 A primeira premissa, relativa ao comportamento estrutural 
determinístico é lógica e verificada experimentalmente, não se conhecendo 
situações que a contradigam. Entretanto, a hipótese não é verificada 
experimentalmente no que se refere aos parâmetros mecânicos e 
geométricos, observando-se, por exemplo, que a tensão correspondente ao 
limite de escoamento de um material ( )yσ é uma variável aleatória 
contínua, à qual deve-se associar uma lei de distribuição de densidade de 
probabilidade. 
 Esta constatação, inclusive, é suficiente para que possa-se formular 
uma idéia fundamental: eγ também não é uma medida satisfatória da 
segurança de uma estrutura uma vez que, mesmo considerando-se que 
apenas yσ não tenha um comportamento determinístico, duas estruturas 
geometricamente iguais e igualmente solicitadas, projetadas com o mesmo 
eγ , mas construídas com materiais cujos yσ apresentam diferentes 
dispersões, apresentarão nível de segurança diferente, sendo menor a 
segurança da estrutura cujo material apresentar yσ com maior dispersão. 
Por exemplo, uma estrutura metálica e uma de madeira, geometricamente 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________29
iguais e igualmente solicitadas, ambas projetadas com 3=eγ , possuem 
diferentes níveis de segurança, sendo menos segura a estrutura de madeira 
por apresentar maior dispersão para yσ . 
 A conclusão apresentada, obtida com a consideração de que apenas 
yσ comporta-se como variável aleatória, fica reforçada com a consideração 
de que todas as características geométricas e mecânicas da estrutura 
também são variáveis aleatórias e, ainda mais, com a consideração 
adicional de que as ações também o são. 
 
Exemplo 9: 
 
 Considere a viga do 
exemplo 2 construída com um 
material com yσ apresentando 
uma distribuição log-normal de 
média 2/30 cmkNm =σ e 
coeficiente de variação de 15%. 
Determinar os valores de P e as 
correspondentes probabilidades de 
ruína, para coeficientes de 
segurança internos iguais a 1, 2 e 
3. 
Solução: 
Suponhamos que, para a determinação de mσ tenham sido realizados 200 
ensaios de caracterização do material da viga, obtendo-se os resultados 
apresentados na tabela. 
Dispondo-se os valores em ordem crescente, e tomando-se o número 
de valores encontrados dentro de intervalos, por exemplo de 2 kN/cm2, 
pode-se traçar um gráfico relacionando a freqüência relativa dos valores de 
yσ (número de ocorrências dividido pelo número total de valores da 
amostra) com os valores médios de cada intervalo. 
 Se, no limite, reduzirmos o valor dos intervalos a zero, obtemos a 
função densidade de probabilidade (f.d.p.) dos valores de yσ , tal que: 
 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
30
 
Amostra σy Amostra σy Amostra σy Amostra σy
1 18,96 51 26,89 101 29,76 151 32,89 
2 20,96 52 26,97 102 29,80 152 32,98 
3 21,46 53 27,01 103 29,85 153 33,03 
4 21,85 54 27,09 104 29,89 154 33,13 
5 22,15 55 27,13 105 29,93 155 33,23 
6 22,41 56 27,21 106 30,02 156 33,28 
7 22,65 57 27,25 107 30,07 157 33,38 
8 22,85 58 27,33 108 30,11 158 33,48 
9 23,06 59 27,37 109 30,16 159 33,58 
10 23,19 60 27,41 110 30,20 160 33,63 
11 23,37 61 27,49 111 30,25 161 33,73 
12 23,54 62 27,54 112 30,34 162 33,83 
13 23,68 63 27,62 113 30,38 163 33,93 
14 23,79 64 27,66 114 30,48 164 34,03 
15 23,93 65 27,74 115 30,52 165 34,08 
16 24,04 66 27,78 116 30,57 166 34,19 
17 24,18 67 27,82 117 30,61 167 34,29 
18 24,29 68 27,91 118 30,70 168 34,44 
19 24,40 69 27,95 119 30,75 169 34,54 
20 24,51 70 28,03 120 30,80 170 34,65 
21 24,62 71 28,07 121 30,89 171 34,75 
22 24,69 72 28,12 122 30,93 172 34,86 
23 24,80 73 28,20 123 30,98 173 34,96 
24 24,92 74 28,24 124 31,03 174 35,12 
25 24,99 75 28,28 125 31,12 175 35,22 
26 25,07 76 28,37 126 31,17 176 35,38 
27 25,18 77 28,41 127 31,26 177 35,49 
28 25,25 78 28,45 128 31,31 178 35,64 
29 25,33 79 28,50 129 31,35 179 35,75 
30 25,40 80 28,58 130 31,40 180 35,91 
31 25,48 81 28,62 131 31,49 181 36,07 
32 25,59 82 28,67 132 31,54 182 36,23 
33 25,67 83 28,75 133 31,63 183 36,40 
34 25,75 84 28,80 134 31,68 184 36,56 
35 25,82 85 28,84 135 31,73 185 36,78 
36 25,86 86 28,88 136 31,82 186 37,00 
37 25,98 87 28,97 137 31,87 187 37,22 
38 26,02 88 29,01 138 31,97 188 37,44 
39 26,10 89 29,05 139 32,01 189 37,67 
40 26,17 90 29,10 140 32,11 190 37,89 
41 26,25 91 29,14 141 32,16 191 38,23 
42 26,29 92 29,23 142 32,21 192 38,52 
43 26,37 93 29,27 143 32,30 193 38,87 
44 26,45 94 29,32 144 32,35 194 39,27 
45 26,53 95 29,40 145 32,45 195 39,75 
46 26,57 96 29,45 146 32,54 196 40,28 
47 26,65 97 29,49 147 32,59 197 41,01 
48 26,73 98 29,54 148 32,64 198 42,00 
49 26,77 99 29,62 149 32,74 199 43,60 
50 26,85 100 29,67 150 32,79 200 46,42 
 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
31
∫∞∞− =σσ
∞<σ<∞−≥σ
1d)(fe
para0)(f
yy
yy
 
20 25 30 35 40 45
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Fr
eq
uê
nc
ia
 (%
)
Tensão (kN/cm2) 
 Se a f.d.p de uma variável aleatória, yσ por exemplo, que tome todos 
os valores reais ∞<<∞− yσ , é da forma 
( )
2
2
1
2
1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
= δ
σσ
πδσ
y
ef y 
diz-se que ela tem uma distribuição normal. 
2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0
0,00
0,05
0,10
0,15
Distribuição Normal
y
Média = Moda
f.d
.p
.
σ
 
 Se analisarmos a f.d.p. de yσ , para os valores apresentados na 
tabela, observa-se que há diferença entre a moda (maior valor da 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
32
distribuição) e a média. 
15 20 25 30 35 40 45 50
0
10
20
30
40
σy
Moda = 29
Média = 30,06
f.d
.p
.
 
Uma distribuição log-normal de densidade de probabilidade para a 
variável aleatória yσ é uma distribuição tal que ln yσ apresenta uma 
distribuição normal de densidades de probabilidade. A figura a seguir 
apresenta a f.d.p para os dados do problema. 
3,0 3,2 3,4 3,6 3,8
0
5
10
15
20
25
30
Média = 3,39
ln (σ)
 
Sendo mσ e c, respectivamente a média e o coeficiente de variação 
da distribuição log-normal. A distribuição normal de ln yσ apresenta média 
ln β e desvio padrão δ dados por: 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
33
( ) 2/2 21 δσβδ −=+= eecnl y 
 
 No caso de ter-se c = 0,15 (15%), vem: 
( )
39,3ln
cm/kN6681,29ex30
1492,015,01nl
22/)1492,0(
2
2
=β∴
==β
=+=δ
− 
 
 A partir da máxima tensão que ocorre na estrutura pode-se obter o 
correspondente valor de P: 
l6
hbP
hb
lP6 2
2
σ=∴=σ 
 Fazendo-se iy / γσ=σ=σ , para os valores de iγ do problema, 
obtém-se: 
 iγ σ (kN/cm2) P (kN) 
 1,0 30 240 
 2,0 15 120 
 3,0 10 80 
 
 Para calcularmos as probabilidades de ruína correspondentes aos 
valores de P obtidos, deve-se considerar a forma reduzida da f.d.p. de yσ , 
da forma 
( ) π=σ
−
2
e)(lnf
2/u
y
2
, onde δ
β−σ= nlnlu . 
 A probabilidade da variável yσ situar-se em um intervalo (a,b) será 
expressa por: 
( ) ( )yba 2/uy de21bap
2 σπ=≤σ≤ ∫ − 
que é representada pela área hachurada da figura, entre os valores “a” e “b”. 
 Analogamente, fixada uma certa probabilidade “p”, pode ser 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
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34
determinado o intervalo em torno da média (no caso βln ) dentro do qual 
devem estar situados todos os valores da variável, definindo-se tal intervalo 
em função do parâmetro u(p%) e do desvio padrão δ . 
ba
δδ ln ( ) + u(p%)ββln ( ) - u(p%) βln ( )
= =
p %
( )σln y
de
ns
id
ad
e 
de
 p
ro
ba
bi
lid
ad
e
 
 
 Entretanto, esta integral não pode ser calculada pelos meios comuns, 
uma vez que não é possível encontrar uma função cuja derivada seja igual a 
2/u2e− , sendo necessário recorrer a métodos de integração numérica que 
permitem a tabulação dos valores de “p” em função de “u”. 
 Por exemplo, para o concreto, as normas prevêem que a 
probabilidade de que, em apenas 5% dos casos, a resistência do concreto 
possa apresentar valor inferior à resistência característica calculada. Assim, 
o quantil de 5% (p = 0,05) deve ser procurado na tabela da distribuição 
normal para obter-se o correspondente valor de “u”. 
 Utilizando-se, por exemplo, a tabela apresentada por Meyer, P.L. 
(Probabilidade: Aplicações à Estatística, p.369-370), obtém-se: 
- para p = 0,9495 ⇒ u = 1,64 
- para p = 0,9505 ⇒ u = 1,65 
Interpolando-se os valores, linearmente,tem-se: 
- para p = 0,95 ⇒ u = 1,645 
Portanto, a resistência característica do concreto deve ser calculada 
como: 
δ−= 645,1ff cjck 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
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35
- onde fcj é a resistência média dos corpos de prova 
ensaiados e δ é o desvio padrão do lote ensaiado. 
 Para o caso do exemplo, utilizando as tabelas, obtém-se: 
- 
( ) ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⇔=
=−=⇒=σ
%97,525297,0p
0745,0
1492,0
6681,29ln30lnu
cm/kN30 2 
- 
( ) ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⇔=
−=−=⇒=
− %001,010
5712,4
1492,0
6681,29ln15ln
/15
5
2
p
u
cmkNσ 
- 
( ) ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⇔=
−=−=⇒=σ
− %000000001,010p
2888,7
1492,0
6681,29ln10lnu
cm/kN10
11
2 
Deve-se observar que a variação da probabilidade de ruína, embora 
tenha uma relação direta com o valor da tensão máxima atuante na estrutura 
ou à carga P aplicada, não é diretamente proporcional a ela, ou seja, uma 
redução de 50% na tensão máxima atuante (de 30 para 15 kN/cm2) reduziu 
a probabilidade de ruína de 52,97% para 0,001%, correspondente a uma 
redução de 99,8%. 
Para melhor observação desse fenômeno, vamos considerar ainda os 
valores 1,5 e 1,515 para de iγ , obtendo-se: 
 iγ σ (kN/cm2) P (kN) u p (%) 
 1,5 20 160 -2,64 0,41 
 1,515 19,8 158,4 -2,71 0,34 
 0,8 37,5 300 1,57 94,18 
 
 Observa-se que a redução de 1% na carga aplicada resultou em 17%, 
aproximadamente, de redução da probabilidade de ruína. 
 A última linha da tabela acima foi incluída para que seja observado 
que probabilisticamente, o fato de a tensão máxima atuante ter superado a 
tensão média 22 /30/5,37 cmkNcmkN m =>= σσ não implica, 
necessariamente, em ruína da estrutura, havendo 94,18 % de probabilidade 
de que isto venha a acontecer. 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
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36
 Existem ainda outras idéias fundamentais que podem ser agora 
introduzidas, como por exemplo, as interpretações físicas da probabilidade 
de ruína de uma estrutura. 
 A probabilidade “p” de um certo evento pode ser entendida como o 
limite para o qual tende a freqüência relativa da ocorrência daquele evento, 
quando o número de repetição das situações em que ele pode ocorrer tende 
para infinito. Assim sendo, se forem construídas e carregadas “n” estruturas 
igualmente especificadas e controladas, se o número de ruínas for “r”, à 
medida que “n” crescer, a relação r/n tenderá a “p”, podendo-se, para um “n” 
suficientemente grande, supor npr = . Por exemplo, se 410p −= , para “n” 
suficientemente grande, 1 em cada 10000 estruturas construídas deverá 
atingir a ruína. 
 Por intermédio da probabilidade de ruína de uma estrutura, pode-se 
chegar a uma medida conceitualmente perfeita da segurança de uma 
estrutura. Sendo “p” a probabilidade de ruína, (1 – p) pode expressar a 
segurança, levando em consideração todos os fatores que influem na 
mesma. Entretanto, devido aos valores assumidos por “p”, a possibilidade de 
sobrevivência de uma estrutura apresenta uma faixa de variação muito 
estreita, por exemplo, entre 0,999 e 0,999999, o que torna inconveniente a 
sua utilização corrente, face à sua falta de sensibilidade numérica. 
 Para contornar esse inconveniente, diversas medidas da segurança 
podem ser introduzidas, sendo uma delas, perfeitamente satisfatória, o 
índice de segurança, definido por s = colog p. 
 Do exemplo 8 pode-se, então extrair os seguintes valores de “s”: 
 iγ p s 
 0,8 0,9418 0,026 
 1,0 0,5297 0,28 
 1,5 0,0041 2,39 
 1,515 0,0034 2,47 
 2 10-5 5 
 3 10-11 11 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
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37
 Portanto, dentro da concepção probabilística que, obrigatoriamente, 
deve ser introduzida nos métodos de dimensionamento, os conceitos de 
coeficientes de segurança devem ser abandonados, por não representarem, 
efetiva e satisfatoriamente, o conceito de segurança desejado. 
 Apesar disso, será visto a seguir, que no estágio atual de 
desenvolvimento dos métodos probabilísticos de dimensionamento, ainda 
parecer ser conveniente a manutenção dos coeficientes de segurança, 
principalmente em face das grandes dificuldades ainda existentes para o 
cálculo de “s” nos casos reais de projeto. No entanto, a sua manutenção só 
pode e somente deve ser feita sabendo-se que ela é provisória, é 
formalmente imperfeita e deve subordinar-se, sempre que possível, aos 
métodos probabilísticos. 
 A conclusão de que a segurança estrutural é um problema 
probabilístico tem implicações conceituais, éticas e econômicas. 
O conceito de que uma estrutura, ao ser projetada e construída, 
apresenta sempre uma probabilidade de ruína pode parecer chocante a 
muitas pessoas e mesmo a muitos engenheiros. Durante muitos e muitos 
anos, a teoria das estruturas deu a falsa sensação de que era possível 
alcançar uma segurança absoluta, especialmente se houvesse um controle 
operacional das ações que viessem a agir sobre a estrutura. 
Embora desde 1936 já estivesse clara a conceituação probabilística, 
apenas recentemente ela vem impondo-se de uma forma mais ampla. 
Assim, resta aos engenheiros projetar e construir estruturas que apresentem 
baixas probabilidades de ruína, comparáveis àquelas probabilidades de risco 
inevitáveis, ligados a outras atividades humanas. 
Por exemplo, a probabilidade de uma pessoa ser morta em acidentes 
de estradas é de 0,7%, igual à probabilidade de sofrer um acidente uma 
pessoa que voa 10 horas por ano. Para uma pessoa que faz 300 viagens de 
trem por ano, a probabilidade de acidente é de 0,2%, enquanto a 
probabilidade de que qualquer pessoa, em perfeitas condições físicas e 
mentais venha a falecer, antes de terminar o dia, é da ordem de 10-5. 
Considerações desse tipo acabam por levar à conclusão de que são 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
38
normalmente admissíveis para as estruturas probabilidades de ruína entre 
10-3 e 10-6, ou seja, valores do índice de segurança “s” de 3 a 6. 
Sob o aspecto ético, cabe ao engenheiro definir as probabilidades de 
ruína aceitáveis em cada situação, levando em consideração não só os 
riscos humanos e materiais envolvidos mas, principalmente, considerando o 
fato consumado de que o risco é inevitável. Por outro lado, cabe à sociedade 
passar a entender e a julgar os engenheiros, considerando a inevitabilidade 
desse risco e a não pressupor que eles trabalham com segurança absoluta. 
Porém, para que isso possa efetivamente ocorrer, é essencial que os 
próprios engenheiros distingam, clara e corajosamente, no caso de 
acidentes, aqueles devidos a erros de projeto ou de execução, daqueles 
devidos à aleatoriedade inevitável dos fatores de que a segurança depende. 
Sob o aspecto econômico, cabe ao engenheiro tomar uma decisão 
perante a incerteza, fixando a probabilidade de ruína “p” com que irá projetar 
e construir uma certa estrutura, levando em consideração os custos da 
construção e o montante de danos decorrentes de uma eventual ruína da 
mesma. 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
39
 
 
 
1.6 – Método dos Estados Limites 
 
 O conceito de dimensionamento nos estados limites foi desenvolvido 
na Rússia, de 1947 a 1949, aprovado em 1955 e introduzido na Engenharia 
Civil em1958. Foi a primeira tentativa de disciplinar todos os aspectos da 
análise de estruturas, incluindo a especificação de ações e a análise da 
segurança. 
 É um critério utilizado para definir um limite acima do qual um 
elemento da estrutura não poderá mais ser utilizado (estado limite de 
utilização), ou acima do qual será considerado inseguro (estado limite 
último). Portanto, quando um elemento da estrutura tornar-se inadequado 
para utilização, ou quando uma estrutura deixar de satisfazer a uma das 
finalidades de sua construção, diz-se que ela atingiu um estado limite, ou, 
por extensão, que atingiu a ruína. 
Combinando-se esta definição com a conceituação de segurança, 
pode-se dizer que segurança de uma estrutura é a capacidade que ela 
apresenta de suportar as diversas ações que vierem a solicitá-la 
durante a sua vida útil, sem atingir qualquer estado limite. 
Como visto, os estados limites podem ser classificados em duas 
categorias: 
- estados limites últimos 
- estados limites de utilização 
Os estados limites últimos são aqueles correspondentes ao 
esgotamento da capacidade portante da estrutura, podendo ser originados, 
em geral, por um ou vários dos seguintes fenômenos: 
- perda da estabilidade de equilíbrio de uma parte ou do 
conjunto da estrutura, assimilada a um corpo rígido. Por 
exemplo, tombamento, arrancamento de suas fundações, 
etc.; 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
40
- colapso da estrutura, ou seja, transformação da estrutura 
original em uma estrutura parcial ou totalmente hipostática, 
por plastificação; 
- perda da estabilidade de uma parte ou do conjunto da 
estrutura, por deformação; 
- deformações elásticas ou plásticas, deformação lenta e 
fissuração (no caso de concreto estrutural) que provoquem 
uma mudança de geometria que exija uma substituição da 
estrutura; 
- perda de capacidade se sustentação por parte de seus 
elementos, ruptura de seções, por Ter sido ultrapassada a 
resistência do material, sua resistência à flambagem, à 
fadiga, etc.; 
- propagação de um colapso que inicia-se em um ponto ou 
região da estrutura, para uma situação de colapso total 
(colapso progressivo ou falta de integridade estrutural); 
- grandes deformações, transformação em mecanismo, 
instabilidade global. 
De forma geral, pode-se dizer que os estados limites últimos estão 
relacionados ao colapso da estrutura ou de parte dela (colapso real ou 
convencional), com uma probabilidade muito pequena de ocorrência, uma 
vez que terá como conseqüência a possível perda de vidas humanas e da 
propriedade. 
Um estado limite último também pode ocorrer devido à sensibilidade 
da estrutura aos efeitos da repetição das ações, do fogo, de uma explosão, 
etc. Estas causas devem ser consideradas por ocasião da concepção da 
estrutura e os estados limites últimos a elas associados deverão ser 
obrigatoriamente verificados, mesmo não estando previstos explicitamente 
nas normas de dimensionamento. 
Os estados limites de utilização estão relacionados à interrupção da 
utilização normal da estrutura, aos danos e à deterioração da mesma. Para 
esses estados limites poderá ser tolerada maior probabilidade de ocorrência, 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
41
pelo fato de não representarem situações tão perigosas quanto os estados 
limites últimos. 
Em última análise, os estados limites de utilização correspondem às 
exigências funcionais e de durabilidade da estrutura, podendo ser 
originados, em geral, por um ou vários dos seguintes fenômenos: 
- deformações excessivas para uma utilização normal da 
estrutura como, por exemplo, flechas ou rotações que 
afetam a aparência da estrutura, o uso funcional ou a 
drenagem de um edifício, ou que possam causar danos a 
componentes não estruturais e aos seus elementos de 
ligação; 
- deslocamentos excessivos, sem perda de equilíbrio; 
- danos locais excessivos (fissuração, rachaduras, corrosão, 
escoamento localizado ou deslizamento) que afetam a 
aparência, a utilização ou a durabilidade da estrutura; 
- vibração excessiva que afeta o conforto dos ocupantes da 
edificação ou a operação de equipamentos. 
O dimensionamento pelo método dos estados limites é um processo 
que envolve: 
1) a identificação de todos os modos de colapso ou maneiras 
pelas quais a estrutura poderia deixar de cumprir as 
finalidades para as quais foi projetada (estados limites); 
2) a determinação de níveis aceitáveis de segurança contra a 
ocorrência de cada estado limite; 
3) a consideração, pelo calculista da estrutura, dos estados 
limites significativos. 
No projeto de edifícios comuns, os itens (1) e (2) são contemplados 
pelas normas, como por exemplo a NBR 8800/86 – Projeto e execução de 
estruturas de aço de edifícios, que indica os estados limites que devem ser 
considerados. Para estruturas corriqueiras, o calculista é responsável pelo 
item (3), geralmente começando-se pelo estado limite mais crítico. 
Dentre as etapas enumeradas acima, a etapa (2) é aquela que 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
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42
envolve a introdução da segurança aceitável ou desejável, relativamente a 
cada estado limite pertinente, baseando-se em métodos probabilísticos para 
levar em consideração a variabilidade das ações e das resistências, embora, 
no projeto de uma estrutura, o calculista não tenha que trabalhar, 
explicitamente, com o cálculo de probabilidades. 
As principais vantagens do método de dimensionamento baseado no 
conceito de estados limites (método dos estados limites) são as seguintes: 
• confiabilidade mais coerente entre as várias situações de 
projeto, uma vez que a variabilidade das resistências e das 
ações é representada, de forma explícita e independente, 
para resistências e ações; 
• possibilidade de escolha do nível de confiabilidade, de tal 
forma que possa refletir as consequências do colapso; 
• melhor possibilidade de compreensão, por parte do 
calculista, dos requisitos a serem atendidos pela estrutura e 
do comportamento estrutural necessário para que esses 
requisitos sejam atendidos; 
• simplicidade do processo de dimensionamento; 
• permite ao calculista a avaliação de situações não rotineiras 
de projeto; 
• permite, de maneira mais racional, a atualização das 
normas de dimensionamento, em função dos avanços na 
determinação das variabilidades das ações e das 
resistências; 
• utiliza variáveis probabilísticas, refletindo melhor o caráter 
dos fenômenos envolvidos. 
 
1.6.1 – Verificação de projeto 
 
 No dimensionamento de uma estrutura, o objetivo do calculista é 
assegurar-se, com razoável nível de probabilidade, que, no todo ou em 
parte, a estrutura não atingirá um estado limite, durante a sua construção ou 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
43
durante o período previsto para sua utilização (vida útil). Para alcançar este 
objetivo, o dimensionamento pelo método dos estados limites consiste, 
essencialmente, na determinação das ações, ou sua combinação, cujos 
efeitos conduzem a estrutura a um estado limite e garantir que são 
superiores às ações, determinadas probabilisticamente, a que ela pode estar 
sujeita nesse período. 
 Na prática, o processo de verificação é, no entanto, inverso e baseia-
se no conceitode efeito das ações (Sd) e no conceito de resistência 
correspondente (Rd) e em garantir-se que : 
dd RS ≤ 
 O caráter semi-probabilístico da verificação da segurança e das boas 
condições de serviço (confiabilidade) é introduzido definindo-se as ações e 
as resistências dos materiais através de seus valores característicos (Sk e 
Rk) determinados estatisticamente ou baseados na prática de projeto. 
 Por sua vez, os valores de cálculo (ou de projeto) das ações (ou 
seus efeitos) e das resistências são obtidos dos correspondentes valores 
representativos, afetados por fatores de segurança, respectivamente fγ e 
mγ , determinados por considerações probabilísticas para cada tipo de 
estado limite, geralmente como produtos de coeficientes parciais. 
 
 
 A subdivisão em coeficientes γ parciais tem por objetivo quantificar, 
separadamente, as várias causas de incerteza, umas quantificáveis 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
44
probabilisticamente e outras dependentes de opções subjetivas. O fator fγ 
paras as ações (F) e efeitos S(F) e’, geralmente, considerado como produto 
de três fatores: 
- 
1f
γ ⇒ para levar em consideração a possibilidade de ocorrência 
de ações que se afastem do valor característico; 
- 
2f
γ ⇒ chamado fator de combinação, cuja função é traduzir a 
probabilidade reduzida de todas as ações, que atuam 
combinadas, atingirem valores elevados simultaneamente. 
Este fator é, usualmente, identificado como 0ψ ; 
- 
3f
γ ⇒ para levar em consideração a imprecisão na determinação 
dos efeitos das ações (solicitações ou tensões) e o efeito 
da variação das dimensões nos esforços gerados na 
montagem ou execução. 
Para quantificação dos vários fγ e, para o estabelecimento das 
regras de combinação, as ações são classificadas, segundo sua 
variabilidade ao longo do tempo, em três categorias: 
- permanentes (G) 
- variáveis (Q) 
- excepcionais (E) 
As ações permanentes são aquelas cuja variação no tempo é 
desprezível em relação ao tempo médio de vida útil da estrutura, podendo 
ser divididas em duas classes: 
- diretas ⇒ são consideradas ações permanentes diretas os 
pesos próprios da estrutura e de todos os 
elementos construtivos permanentes, os pesos 
dos equipamentos fixos e os empuxos devidos 
ao peso próprio de terras não removíveis e de 
outras ações sobre elas aplicadas e, em casos 
particulares, os empuxos hidrostáticos também 
podem ser considerados como permanentes; 
- indiretas ⇒ são consideradas como ações permanentes 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
45
indiretas a protensão, os recalques de apoio e 
a retração dos materiais. 
São consideradas como ações variáveis as cargas acidentais das 
construções, bem como seus efeitos, tais como forças de frenagem, de 
impacto e centrífugas, os efeitos do vento, das variações de temperatura, do 
atrito nos aparelhos de apoio e, em geral, as pressões hidrostáticas e 
hidrodinâmicas. Em função de sua probabilidade de ocorrência durante a 
vida útil da construção, as ações variáveis são classificadas em normais ou 
especiais. 
As ações variáveis normais são aquelas cuja probabilidade de 
ocorrência é suficientemente grande para que sejam, obrigatoriamente, 
consideradas no projetos das estruturas de um determinado tipo de 
construção, enquanto são classificadas como ações variáveis especiais as 
ações sísmicas ou cargas acidentais de natureza ou intensidades especiais, 
atuantes em tipos particulares de estruturas. 
Exemplos: 
• nos edifícios habitacionais 
- sobrecarga devido à utilização da edificação (pessoas, objetos, 
mobiliário, etc.) e forças devidas à pressão do vento. 
• nos edifícios industriais e comerciais 
- sobrecarga de utilização (equipamentos, pessoas, etc.) e forças 
devidas à pressão do vento 
• nas pontes e passarelas 
- sobrecarga de utilização (pessoas e veículos) e forças devidas 
ao vento 
• nas barragens e centrais nucleares 
- efeitos de natureza sísmica 
 
São consideradas como ações excepcionais as decorrentes 
explosões, choques de veículos, incêndios, enchentes ou sismos 
excepcionais. Os incêndios, ao invés de serem tratados como causa de 
ações excepcionais, também podem ser levados em consideração por 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
_________________________________________________________________________________________________________________ 
46
intermédio de redução do valor das propriedades físicas dos materiais 
constitutivos da estrutura. 
 
 Tendo em vista as diversas ações levadas em consideração no 
projeto, o índice do coeficiente fγ pode ser alterado para identificar a ação 
considerada, resultando nos símbolos gγ , qγ , pγ e εγ , respectivamente 
para as ações permanentes, variáveis, de protensão e para os efeitos de 
deformações impostas (ações indiretas). 
 Os valores representativos das ações, como já comentado, podem ser 
valores característicos, característicos nominais, reduzidos de combinação, 
convencionais excepcionais, reduzidos de utilização e valores raros de 
utilização, de acordo com o estado limite em questão. 
 Assim, para os estados limites últimos, são considerados os 
seguintes valores representativos: 
1. valores característicos 
• os valores característicos Fk das ações são definidos em 
função da variabilidade de suas intensidades; 
• os valores característicos das ações variáveis, estabelecidos 
por consenso e indicados em normas específicas, 
correspondem a valores que têm 25% a 35% de probabilidade 
de serem ultrapassados no sentido desfavorável, durante um 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
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47
período de 50 anos; 
• para as ações permanentes que produzam efeitos 
desfavoráveis na estrutura, o valor característico corresponde 
ao quantil de 95% da respectiva distribuição de probabilidade 
(valor característico superior) e, para as aquelas que produzem 
efeitos favoráveis o valor característico corresponde ao quantil 
de 5% de suas distribuições (valor característico inferior). 
2. valores característicos nominais 
• para as ações que não tenham sua variabilidade 
adequadamente expressa por distribuições de probabilidade, 
os valores característicos são substituídos por valores 
nominais, convenientemente escolhidos. 
3. valores reduzidos de combinação 
• são determinados a partir dos valores característicos, pela 
expressão k0 FΨ e são empregados nas condições de 
segurança relativas a estados limites últimos, quando existem 
ações variáveis de diferentes naturezas, levando em 
consideração a baixa probabilidade de ocorrência simultânea 
dos valores característicos de duas ou mais dessas ações; 
• por simplicidade, qualquer que seja a natureza das ações 
variáveis, o valores de 0Ψ é único. 
4. valores convencionais excepcionais 
• são valores arbitrados para as ações excepcionais, 
estabelecidos por consenso entre o proprietário da construção 
e as autoridades governamentais que nela tenham interesse. 
Para os estados limites de utilização, os valores representativos 
são: 
1. valores reduzidos de utilização 
• são determinados a partir dos valores característicos, pelas 
expressões k1 FΨ e k2 FΨ , e empregados, respectivamente, 
na verificação da segurança em relação a estados limites de 
CIV 403 – Sistemas Estruturais 
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