prova2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC - UFABC
Pro´-Reitoria de Graduac¸a˜o
2a¯ Prova de Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis
Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Seja f : R2 → R, (x, y) 7→ 3x− x3 − 3xy2 e D =
{
(x, y) ∈ R2 : x29 + y
2
3 ≤ 1
}
. Determine os pontos
cr´ıticos de f em D e na fronteira ∂D, classificando-os (ma´ximo, mı´nimo ou sela).
2. Identifique o so´lido E tal que
∫∫∫
E
dV =
∫ pi/3
0
∫ 2pi
0
∫ secϕ
0
ρ2 senϕdρdθdϕ e calcule o volume de E.
3. Considere a curva C em coordenadas polares dada por com r(θ) = 2 + sen 2(2θ) e 0 ≤ θ ≤ 2pi.
Calcular
∮
C
Pdx+Qdy, onde P (x, y) = y+x
x2+y2
e Q(x, y) = y−x
x2+y2
.
4. Calcule
∫∫
S
F · nˆdω onde F = (y, x, xz) e S e´ a superf´ıcie descrita por z = x2 + y2 com x ≥ 0 e
z ≤ 1.