RESMAT 1

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Resistência dos Materiais
Aula 1 – Definição de Resistência dos 
Materiais e Estudo do Carregamento 
Interno Resultante
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Tópicos Abordados Nesta Aula
� Apresentação do curso e da bibliografia.
� Definições de Resistência dos Materiais.
� Revisão das equações de equilíbrio da 
estática.
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Resistência dos Materiais
Conteúdo do Curso
� Análise de Tensão (Tração, Compressão e 
Cisalhamento)
� Estudo de Deformações
� Propriedades Mecânicas dos Materiais
� Carregamento Axial
� Torção
� Diagramas de Esforço Cortante e Momento Fletor
� Análise de Flexão e Equações de Linha Elástica
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Resistência dos Materiais
Bibliografia Recomendada
� Hibbeler, R. C. - Resistência dos Materiais, Prentice
Hall., São Paulo 2004.
� Gere, James M. - Mecânica dos Materiais, Pioneira 
Thomson Learning Ltda, São Paulo 2003.
� Craig Jr, Roy R. - Mecânica dos Materiais, Livros 
Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro 2003.
� Nash, William A. - Resistência dos Materiais, Editora 
McGraw-Hill Ltda, São Paulo 1990.
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Resistência dos Materiais
Definição de Resistência dos 
Materiais
Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
É um ramo da mecânica 
que estuda as relações 
entre cargas externas 
aplicadas a um corpo 
deformável e a 
intensidade das forças 
internas que atuam 
dentro do corpo.
Resistência dos Materiais
Equilíbrio de um Corpo Deformável
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Resistência dos Materiais
Princípios da estática
Forças externas
Forças de superfície Forças de corpo
Força concentrada
Carga linear distribuída
Reações de Apoio
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Resistência dos Materiais
As forças de superfície que se desenvolvem nos 
apoios ou pontos de contato entre corpos são 
chamadas reações.
As reações de apoio são calculadas a partir das 
equações de equilíbrio da estática.
Tipos de Apoios
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Resistência dos Materiais
Equações de Equilíbrio da Estática
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Resistência dos Materiais
Equilíbrio de forças: Evita translação ou movimento acelerado do 
corpo ao longo de uma trajetória.
Equilíbrio de momentos: Evita rotação do corpo.
∑
∑
=
=
0
0
x
x
M
F
∑
∑
=
=
0
0
y
y
M
F
∑
∑
=
=
0
0
z
z
M
F
Diagrama de Corpo Livre
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Resistência dos Materiais
Diagrama que mostra a especificação completa de 
todas as forças conhecidas e desconhecidas que atuam 
sobre o corpo.
A correta representação do diagrama de corpo livre 
permite aplicar com sucesso as equações de equilíbrio 
da estática.
Carga Interna Resusltante
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Resistência dos Materiais
Representa uma das aplicações mais importantes da 
estática na análise dos problemas de resistência dos 
materiais.
Através do método das seções pode-se determinar a 
força resultante e o momento atuantes no interior do 
corpo, necessários para manter o corpo unido quando 
submetido a cargas externas.
Tipos de Cargas Resultantes
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Resistência dos Materiais
Força Normal (N).
Força de Cisalhamento 
(V) ou (Q).
Momento de Torção ou 
Torque (T) ou (MT).
Momento Fletor (M) ou 
(MF).
Exercício 1
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Resistência dos Materiais
1) Determinar a resultante das cargas internas que atuam 
na seção transversal em C da viga mostrada na figura.
Solução do Exercício 1
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Resistência dos Materiais
Diagrama de corpo livre do segmento BC
Relação do carregamento distribuído 
ao longo do comprimento da viga
270 N = 9 m
w = 6 m
Portanto: w = 180 N/m
Substituição da carga 
distribuída por uma carga 
concentrada equivalente
540
2
6180
=
⋅
=
P
P
N
Localizado no centróide 
do triângulo
Solução do Exercício 1
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Resistência dos Materiais
0=∑ xF
0=− cN
0=cN
0=∑ yF
0540 =−cV
540=cV N
0=∑ cM
02540 =⋅−− cM
1080−=cM Nm
Exercício 2
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Resistência dos Materiais
2) Uma força de 80 N é suportada pelo suporte como mostrado. 
Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção 
que passa pelo ponto A.
Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
Diagrama de corpo livre
MA NA
VA
15°
x
y
Decomposição da força
80 N
Fx
Fy
15°
°⋅= 15cos80xF
27,77=xF
°⋅= 1580 senFy
70,20=yF
N
N
Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
0=∑ yF
070,20 =−AV
N70,20=AV
0=∑ AM
0)303,01,0(4580)30cos3,0(45cos80 =°⋅+⋅°⋅−°⋅⋅°⋅+ sensenM A
69,1414,14 −=AM
Nm55,0−=AM
0=∑ xF
027,77 =−AN
27,77=AN N
NA
MAVA
15°
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
1) Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção 
transversal em C do eixo de máquina mostrado na figura. O eixo é
apoiado por rolamentos em A e B, que exercem apenas forças 
verticais sobre ele.
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
2) Determinar a carga interna resultante na seção transversal 
que passa pelo ponto D no elemento AB.
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
3) Determinar a carga interna resultante na seção transversal 
que passa pelo ponto C do alicate. Há um pino em A, e as 
garras em B são lisas.
B
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
4) Determinar o torque da resultante interna que atua nas seções 
transversais dos pontos C e D do eixo. O eixo está fixado em B.
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
5) A prensa manual está submetida a uma força de 120 N na extremidade do 
cabo. Determinar a intensidade da força de reação no pino A e no elo BC. 
Determinar também a resultante das cargas internas que atuam na seção 
transversal que passa pelo ponto D do cabo.
Próxima Aula
� Definição de Tensão.
� Tensão Normal Média.
� Tensão de Cisalhamento Média.
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Resistência dos Materiais
Resistência dos Materiais
Aula 2 – Tensão Normal Média e 
Tensão de Cisalhamento Média
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Tópicos Abordados Nesta Aula
� Definição de Tensão.
� Tensão Normal Média.
� Tensão de Cisalhamento Média.
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Resistência dos Materiais
Conceito de Tensão
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Resistência dos Materiais
Representa a intensidade da força interna sobre um plano 
específico (área) que passa por um determinado ponto.
Tensão Normal e Tensão de Cisalhamento
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Resistência dos Materiais
Tensão Normal: A intensidade da força ou força por unidade de área, que atua no 
sentido perpendicular a ∆A, é definida como tensão normal, σ (sigma). Portanto pode-
se escrever que:
A
F
A ∆
∆
=
→∆
lim
0σ
Tensão de Cisalhamento: A intensidade da força ou força por unidade de área, que 
atua na tangente a ∆A, é definida como tensão de cisalhamento, τ (tau). Portanto 
pode-se escrever que:
A
F
A ∆
∆
=
→∆
lim
0
τ
Unidades de Tensão no SI
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Resistência dos Materiais
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a intensidade tanto da tensão 
normal quanto da tensão de cisalhamento é especificada na unidade básica de 
newtons por metro quadrado (N/m²).
Esta unidade é denominada pascal (1 Pa = 1 N/m²), como essa unidade é
muito pequena, nos trabalhos de engenharia são usados prefixos como quilo 
(10³), mega (106) ou giga (109).
²m/N10Pa10MPa1 66 ==
²m/N10Pa10GPa1 99 ==
Tensão Normal Média
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Resistência dos Materiais
Hipóteses de simplificação
1) É necessário que a barra permaneça 
reta tanto antes como depois de a 
carga ser aplicada, e, além disso, a 
seção transversal deve permanecer 
plana durante a deformação.
2) A fim de que a barra 
possa sofrer deformação 
uniforme, é necessário 
que P seja aplicada ao 
longo do eixo do 
centróide da seção 
transversal e o material 
deve ser homogêneo e 
isotrópico.
Tensão Normal Média - Simplificações
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Resistência dos Materiais
Material Homogêneo: Possui as mesmas propriedades 
físicas e mecânicas em todo o seu volume.
Material Isotrópico: Possui as mesmas propriedades 
físicas e mecânicas em todas as direções.
Distribuição da Tensão Normal Média
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Resistência dos Materiais
∫ ∫= A dAdF σ
AP ⋅=σ
A
P
=σ
onde:
σ = Tensão normal média em qualquer ponto da área da 
seção transversal.
P = resultante da força normal interna, aplicada no centróide 
da área da seção transversal.
A = área da seção transversal da barra.
Exercício 1
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Resistência dos Materiais
1) A luminária de 80 kg é suportada por duas hastes AB e 
BC como mostra a figura. Se AB tem diâmetro de 10 mm e 
BC tem diâmetro de 8 mm. Determinar a tensão normal 
média em cada haste.
Solução do Exercício 1
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Resistência dos Materiais
Diagrama de corpo livre: Determinação das forças em AB e BC:
∑ = 0yF
060cos
5
4
=°⋅−⋅ BABC FF
08,78460
5
3
=−°⋅+⋅ senFF BABC
∑ = 0xF
(I)
(II)
Solução do Exercício 1
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Resistência dos Materiais
De (I)
060cos
5
4
=°⋅−⋅ BABC FF
08,78460
5
360cos
4
5
=−°⋅+⋅°⋅⋅ senFF BABA
Substituindo-se (III) em (II), tem-se que:
Em (III)
4
60cos5 °⋅⋅
=
BA
BC
FF (III)
08,7846060cos
20
15
=−°⋅+°⋅⋅ senFF BABA
08,7846060cos
20
15
=−





°+°⋅⋅ senFBA






°+°⋅
=
6060cos
20
15
8,784
sen
FBA
4
60cos38,6325 °⋅⋅
=BCF
38,632=BAF N
23,395=BCF N
Solução do Exercício 1
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Resistência dos Materiais
4
2dACIRC
⋅
=
pi
Área do Circulo
22
4
4
d
F
d
F
A
F
⋅
⋅
=
⋅
==
pipi
σ
Tensão Normal
86,7
8
23,3954
2 =
⋅
⋅
==
pi
σ
BC
BC
BC A
F
Cabo BC
05,8
10
38,6324
2 =
⋅
⋅
==
pi
σ
BA
BA
BA A
F
Cabo BA
MPa
MPa
Tensão de Cisalhamento Média
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Resistência dos Materiais
A
V
méd =τ
onde:
τméd = Tensão de cisalhamento média na seção.
V = Resultante interna da força de cisalhamento.
A = Área da seção transversal.
Cisalhamento em Juntas
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Resistência dos Materiais
Cisalhamento Simples:
Cisalhamento Duplo:
Exercício 2
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Resistência dos Materiais
2) A barra mostrada na figura tem seção transversal quadrada 
para a qual a profundidade e a largura são de 40 mm. Supondo 
que seja aplicada uma força axial de 800 N ao longo do eixo do 
centróide da área da seção transversal da barra, determinar a 
tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que 
atuam sobre o material (a) no plano da seção a-a e (b) no plano 
da seção b-b.
Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
Parte (a): Na barra seccionada, pode-se verificar a carga interna resultante consiste apenas 
na força axial P = 800 N.
Tensão normal média:
0=médτ2l
P
A
P
==σ kPa204,0
800
=σ 500=σ
Tensão de cisalhamento:
Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
Parte (b): Se a barra for seccionada ao longo de b-b, o diagrama de corpo livre do 
segmento esquerdo será como o mostrado na figura. Nesse caso, tanto a força normal N 
como a força de cisalhamento V atuarão sobre a área seccionada.
Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
0
´
=∑ xF
030cos800 =°⋅−N
°⋅= 30cos800N
N82,692=N
0
´
=∑ yF
030800 =°⋅− senV
N
°⋅= 30800 senV
400=V
Utilizando como referência os eixos x´ e y´:
Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
04618,004,0 ⋅=⋅= hbA
Área da seção transversal:
40=b mm
18,46
60
40
=
°
=
sen
h mm
Tensão normal média:
04618,004,0
82,692
⋅
==
A
N
σ
06,375=σ kPa
Tensão de cisalhamento média:
04618,004,0
400
⋅
==
A
V
τ
49,216=τ kPa
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
1) O elemento AC mostrado na figura está submetido a uma força vertical de 3 kN. 
Determinar a posição x de aplicação da força de modo que o esforço de compressão 
médio no apoio C seja igual ao esforço de tração no tirante AB. A haste tem uma 
área de seção transversal de 400 mm², e a área de contato em C é de 650 mm².
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
2) O mancal de encosto está submetido as cargas mostradas. Determinar a tensão normal 
média desenvolvida nas seções transversais que passam pelos pontos B, C e D. Fazer o 
desenho esquemático dos resultados para um elemento de volume infinitesimal localizado 
em cada seção.
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
3) O eixo está submetido a uma força axial de 30 kN. Supondo que o eixo passe pelo furo 
de 53 mm de diâmetro no apoio fixo A, determinar a tensão do mancal que atua sobre o 
colar C. Qual é a tensão de cisalhamento média que atua ao longo da superfície interna do 
colar onde ele está acoplado ao eixo de 52 mm de diâmetro.
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
4) A escora de madeira mostrada na figura está suportada por uma haste de 
aço de 10 mm de diâmetro presa na parede. Se a escora suporta uma carga 
vertical de 5 kN, calcular a tensão de cisalhamento média da haste e ao 
longo das duas áreas sombreadas da escora, uma das quais está identificada 
como abcd.
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
5) A viga é apoiada por um pino em A e um elo curto BC. Se P = 15 
kN, determinar a tensão de cisalhamento média desenvolvida nos 
pinos A, B e C. Todos os pinos estão sob cisalhamento duplo e cada 
um deles tem 18 mm de diâmetro.
Próxima Aula
� Tensão Admissível.
� Fator de Segurança.
� Projeto de AcoplamentosSimples.
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Resistência dos Materiais
Resistência dos Materiais
Aula 3 – Tensão Admissível, Fator 
de Segurança e Projeto de 
Acoplamentos Simples
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Tópicos Abordados Nesta Aula
� Tensão Admissível.
� Fator de Segurança.
� Projeto de Acoplamentos Simples.
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Resistência dos Materiais
Tensão Admissível
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Resistência dos Materiais
O engenheiro responsável 
pelo projeto de elementos 
estruturais ou mecânicos 
deve restringir a tensão do 
material a um nível seguro, 
portanto, deve usar uma 
tensão segura ou admissível.
Fator de Segurança (F.S.)
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Resistência dos Materiais
O fator de segurança (F.S.) é a relação entre a carga de 
ruptura Frup e a carga admissível Fadm.
O fator de segurança é um número maior que 1 a fim de 
evitar maior possibilidade de falha.
Valores específicos dependem dos tipos de materiais usados 
e da finalidade pretendida da estrutura ou máquina.
adm
rupSF
σ
σ
=..
adm
rup
F
F
SF =..
adm
rupSF
τ
τ
=..
Projeto de Acoplamentos Simples
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Resistência dos Materiais
Elemento sujeito a aplicação de 
força de cisalhamento:
Elemento sujeito a aplicação de 
força normal:
adm
PA
σ
=
adm
PA
τ
=
Problemas comuns:
1) Área da seção transversal de um elemento de tração.
2) Área da seção transversal de um acoplamento submetido a cisalhamento.
3) Área requerida para resistir ao apoio.
4) Área requerida para resistir ao cisalhamento provocado por carga axial.
Área da Seção Transversal de um Elemento 
sob Tração
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Resistência dos Materiais
Acoplamento Submetido a Cisalhamento
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Resistência dos Materiais
Área Requerida para Apoio
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Resistência dos Materiais
Cisalhamento por Carga Axial
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Resistência dos Materiais
Exercício 1
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Resistência dos Materiais
1) O tirante está apoiado em sua extremidade por um disco circular fixo como 
mostrado na figura. Se a haste passa por um furo de 40 mm de diâmetro, determinar 
o diâmetro mínimo requerido da haste e a espessura mínima do disco necessários 
para suportar uma carga de 20 kN. A tensão normal admissível da haste é σadm = 60 
MPa, e a tensão de cisalhamento admissível do disco é τadm = 35 MPa. 
Solução do Exercício 1
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Resistência dos Materiais
Diâmetro da haste: por 
verificação, a força axial na 
haste é 20 kN, assim, a área 
da seção transversal da haste 
é dada por:
adm
PA
σ
=
60
20000
=A
33,333=A
Sabe-se que:
4
2dA ⋅= pi
Portanto:
pi
Ad ⋅= 4
pi
33,3334 ⋅
=d
60,20=dmm² mm
Solução do Exercício 1
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Resistência dos Materiais
adm
VA
τ
=
35
20000
=A
42,571=A mm²
A área seccionada é dada por:
trA ⋅⋅⋅= pi2
Portanto:
mm
r
A
t
⋅⋅
=
pi2
202
42,571
⋅⋅
=
pi
t
55,4=t
Exercício 2
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Resistência dos Materiais
2) A barra rígida mostrada na figura é suportada por uma haste de aço AC
que tem diâmetro de 20 mm e um bloco de alumínio que tem área da seção 
transversal de 1800 mm². Os pinos de 18 mm de diâmetro em A e C estão 
submetidos a um cisalhamento simples. Se a tensão de ruptura do aço e do 
alumínio forem (σaço)rup = 680 MPa e (σal)rup = 70 MPa, respectivamente, e a 
tensão de cisalhamento de ruptura de cada pino for τrup = 900 MPa, 
determinar a maior carga P que pode ser aplica à barra. Aplicar F.S = 2. 
Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
Diagrama de corpo livre:
Reações de apoio:
∑ = 0BM
025,12 =⋅+⋅− PFAC
∑ = 0AM
075,02 =⋅−⋅ PFB
2
25,1 PFAC
⋅
= 2
75,0 PFB
⋅
=
PFAC ⋅= 625,0 PFB ⋅= 375,0
Relação entre as forças:
Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
( ) ( )
..SF
rupaço
admaço
σ
σ =
( )
2
680
=
admaço
σ
( ) 340=
admaço
σ MPa
Aço
( ) ( )
..SF
rupal
admal
σ
σ =
( )
2
70
=
admalσ
( ) 35=
admalσ MPa
Alumínio
..SF
rup
adm
τ
τ =
2
900
=admτ
450=admτ MPa
Pino
Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
( )
AC
AC
admaço A
F
=σ
( )
4
2d
FAC
admaço
⋅
=
pi
σ
( ) 24 d
FAC
admaço
⋅
⋅
=
pi
σ
( ) 2625,04 d
P
admaço
⋅
⋅⋅
=
pi
σ
( )
625,04
2
⋅
⋅⋅
=
d
P admaço
piσ
625,04
20340 2
⋅
⋅⋅
=
piP
170816=P N
Barra AC
Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
( )
B
B
admal A
F
=σ
( )
B
admal A
P⋅
=
375,0
σ
( )
375,0
Badmal AP
⋅
=
σ
375,0
180035 ⋅
=P
168000=P N
Bloco B
Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
p
adm A
V
=τ
padmAC AFV ⋅== τ
4
625,0
2dP adm
⋅
⋅=⋅
pi
τ
625,04
2
⋅
⋅⋅
=
dP adm piτ
625,04
18450 2
⋅
⋅⋅
=
piP
183124=P N
Por comparação, a 
maior carga que pode 
ser aplicada ao sistema é
P = 168000 N, pois 
qualquer carga maior 
que essa fará com que a 
tensão admissível seja 
excedida.
Pino A
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
1) Uma carga axial no eixo mostrado na figura é resistida pelo colar em C, que 
está preso ao eixo e localizado à direita do mancal em B. Determinar o maior 
valor de P para as duas forças axiais em E e F de modo que a tensão no colar 
não exceda uma tensão de apoio admissível em C de σadm = 75 MPa e que a 
tensão normal média no eixo não exceda um esforço de tração admissível de 
σadm = 55 MPa. 
Exercícios Propostos
Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
2) A alavanca é presa ao eixo A por meio de uma chaveta que tem largura d e 
comprimento de 25 mm. Supondo que o eixo esteja fixo e seja aplica uma força 
vertical de 200 N perpendicular ao cabo, determinar a dimensão d se a tensão de 
cisalhamento admissível para a chaveta for τadm = 35 MPa. 
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
3) As duas hastes de alumínio suportam a carga vertical P = 20 kN. Determinar seus 
diâmetros requeridos se o esforço de tração admissível para o alumínio for (σt)adm = 150 
MPa. 
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
4) O punção circular B exerce uma força de 2 kN no topo da chapa A. Determinar a tensão 
de cisalhamento média na chapa devida a esse carregamento.
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
5) O conjunto da correia sobreposta será submetido a uma força de 800 N. Determinar (a) 
a espessura t necessária para a correia se o esforço de tração admissível para o material for 
(σt)adm = 10 MPa, (b) o comprimento dl necessário para a sobreposição se a cola pode 
resistir a um esforço de cisalhamento admissível de (τadm)c= 0,75 MPa e (c) o diâmetro dr
do pino se a tensão de cisalhamento admissível para o pino for (τadm)p = 30 MPa. 
Próxima Aula
� Estudo de Deformações, Normal e por 
Cisalhamento.
� Propriedades Mecânicas dos Materiais.
� Coeficiente de Poisson.
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Resistência dos Materiais
Resistência dos Materiais
Aula 4 – Deformações e 
Propriedades Mecânicas dos 
Materiais
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Tópicos Abordados Nesta Aula
� Estudo de Deformações, Normal e por 
Cisalhamento.
� Propriedades Mecânicas dos Materiais.
� Coeficiente de Poisson.
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Resistência dos Materiais
Deformação
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Resistência dos Materiais
Quando uma força é aplicada a 
um corpo, tende a mudar a 
forma e o tamanho dele. Essas 
mudanças são denominadas 
deformação e podem ser 
perfeitamente visíveis ou 
praticamente imperceptíveis 
sem o uso de equipamento para 
fazer medições precisas.
Deformação Normal
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Resistência dos Materiais
O alongamento ou a contração de um segmento de reta por unidade de 
comprimento é denominado deformação normal.
s
ss
méd ∆
∆−∆
=
'
ε
ss ∆⋅+=∆ )1(' ε
Unidades: a deformação normal é
uma grandeza adimensional, pois 
representa a relação entre dois 
comprimentos
Deformação por Cisalhamento
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Resistência dos Materiais
A mudança de ângulo ocorrida entre dois segmentos de reta originalmente 
perpendiculares entre si é denominada deformação por cisalhamento.
'lim
2
θpiγ
eixotAC
eixonABnt
>−
>−
−=
Componentes Cartesianos da Deformação
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Resistência dos Materiais
xx ∆⋅+ )1( ε
yy ∆⋅+ )1( ε zz ∆⋅+ )1( ε
Comprimentos aproximados: Ângulos aproximados:
xyγ
pi
−
2 yz
γpi −
2 xz
γpi −
2
Exercício 1
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Resistência dos Materiais
1) A haste delgada mostrada na figura está submetida a um aumento de temperatura 
ao longo de seu eixo, o que cria uma deformação normal na haste de εz = 40(10-3)z1/2, 
em que z é dado em metros. Determinar (a) o deslocamento da extremidade B da haste 
devido ao aumento de temperatura e (b) a deformação normal média da haste.
Solução do Exercício 1
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Resistência dos Materiais
a) Como a deformação normal é dada 
para cada ponto ao longo do 
comprimento da haste, um segmento 
diferencial dz, localizado na posição z
tem seu comprimento deformado 
determinado do seguinte modo:
zz z ∆⋅+≈∆ )1(' ε
dzdz z ⋅+= )1(' ε
dzzdz ⋅⋅⋅+= − ))10(401(' 213
∫ ⋅⋅⋅+=
−
2,0
0
213 ))10(401(' dzzz
2,0
0
)121(
3
121
)10(40' 












+
⋅⋅+=
+
−
z
zz
Substituindo-se os valores fornecidos, 
tem-se que:
Integrando ao longo do comprimento da haste:
Resulta em:
Solução do Exercício 1
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Resistência dos Materiais
2,0
0
)121(
3
121
)10(40' 












+
⋅⋅+=
+
−
z
zz
2,0
0
)23(
3
23
)10(40' 












⋅⋅+= −
z
zz
2,0
0
)23(
3
3
2)10(40' 











 ⋅
⋅⋅+= −
z
zz













 ⋅
⋅⋅+= −
3
2,02)10(402,0'
)23(
3z
20239,0'=z m
Portanto, o deslocamento na 
extremidade da haste é:
2,020239,0 −=∆B
00239,0=∆B m
39,2=∆B mm
Propriedades Mecânicas dos Materiais
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Resistência dos Materiais
As propriedades 
mecânicas de um material 
devem ser conhecidas para 
que os engenheiros 
possam relacionar a 
deformação medida no 
material com a tensão 
associada a ela.
Ensaio de Tração e Compressão
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Resistência dos Materiais
Teste principalmente utilizado 
para determinar a relação entre 
a tensão normal média e a 
deformação normal média.
Máquina Para Ensaio de Tração e Compressão
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Resistência dos Materiais
Relações de Tensão e Deformação
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Resistência dos Materiais
Com os dados registrados no ensaio, se determina a tensão nominal ou de engenharia
dividindo a carga aplicada P pela área da seção transversal inicial do corpo de prova A0.
0A
P
=σ
A deformação normal ou de engenharia é encontrada dividindo-se a variação no 
comprimento de referência δδδδ, pelo comprimento de referência inicial L0.
0L
δ
ε =
Diagrama Tensão x Deformação
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Resistência dos Materiais
Tipos de Falhas em Corpos de Prova
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Resistência dos Materiais
Materiais Dúcteis e Frágeis
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Resistência dos Materiais
Materiais Dúcteis: Qualquer material que possa ser submetido a 
grandes deformações antes da ruptura é chamado de material 
dúctil. Freqüentemente, os engenheiros escolhem materiais 
dúcteis para o projeto, pois estes são capazes de absorver choque 
ou energia e, quando sobrecarregados, exibem, em geral, grande 
deformação antes de falhar.
Materiais Frágeis: Os materiais que apresentam pouco ou 
nenhum escoamento são chamados de materiais frágeis. 
Porcentagens de Alongamento e Redução de 
Área
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Resistência dos Materiais
%)100(
0
0
⋅
−
=
L
LL
oalongamentdemporcentage rup
%)100(
0
0
⋅
−
=
A
AA
áreadereduçãodemporcentage rup
A porcentagem de alongamento é a deformação de ruptura do corpo de prova expressa 
como porcentagem.
A porcentagem de redução de área é outra maneira de se determinar a ductilidade. Ela 
é definida na região de estricção.
Lei de Hooke
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Resistência dos Materiais
A maioria dos materiais da engenharia 
apresentam relação linear entre tensão e 
deformação na região de elasticidade. 
Conseqüentemente , um aumento na tensão 
provoca um aumento proporcional na 
deformação. Essa característica é conhecida 
como Lei de Hooke. 
εσ ⋅= E
Onde: E = módulo de elasticidade 
ou constante de proporcionalidade.
Coeficiente de Poisson
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Resistência dos Materiais
Representa a relação entre as deformações lateral 
e longitudinal na faixa de elasticidade. A razão 
entre essas deformações é uma constante 
denominada coeficiente de Poisson.
long
lat
ε
ε
ν −=
O sinal negativo é utilizado pois o alongamento 
longitudinal (deformação positiva) provoca contração 
lateral ( deformação negativa) e vice-versa.
Coeficiente de Poisson
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Resistência dos Materiais
O coeficiente de Poisson é adimensional e seu valor se encontra entre zero e meio. 
5,00 ≤≤ν
Exercício 2
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Resistência dos Materiais
2)A haste de alumínio mostrada na figura (a) tem seção transversal circular e está
submetida a uma carga axial de 10 kN. Se uma parte do diagrama tensão-deformação 
do material é mostrado na figura (b), determinar o alongamento aproximado da haste 
quando a carga é aplicada. Suponha que Eal= 70 GPa.
Solução do Exercício 2
Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesResistência dos Materiais
A tensão normal em cada segmento é:
A
P
AB =σ
4
1010
2
3
dAB ⋅
⋅
=
pi
σ
2
4
02,0
104
⋅
⋅
=
pi
σ AB
83,31=ABσ
A
P
BC =σ
4
1010
2
3
dBC ⋅
⋅
=
pi
σ
2
4
015,0
104
⋅
⋅
=
pi
σ BC
59,56=BCσ MPaMPa
Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
al
AB
AB E
σ
ε =
9
6
1070
1083,31
⋅
⋅
=ABε ∑ ⋅= Lεδ
400045,06000004547,0 ⋅+⋅=δ
3,18=δ
Pelo diagrama pode-se perceber que o 
material na região AB se deforma 
elasticamente, pois σe = 40 MPa > 31,83 
MPa, portanto, pela lei de Hooke.
0004547,0=ABε mm/mm
o material na região BC está deformado 
plasticamente, pois σe = 40 MPa < 56,59 
MPa, portanto, no gráfico tem-se que:
045,0≈BCε mm/mm
O alongamento aproximado da haste 
é dado por:
mm
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
1) A viga rígida está apoiada por um pino em A e pelos arames BD e CE. Se a carga P
na viga for deslocada 10 mm para baixo, qual será a deformação normal desenvolvida 
nos arames CE e BD?
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
2) Os dois arames estão interligados em A. Se a carga P provocar o deslocamento 
vertical de 3 mm ao ponto A, qual será a deformação normal provocada em cada 
arame?
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
3) Uma placa retangular é deformada conforme indicado pela forma tracejada 
mostrada na figura. Considerando que na configuração deformada as linhas 
horizontais da placa permaneçam horizontais e não variem seu comprimento, 
determine (a) a deformação normal média ao longo do lado AB e (b) a deformação 
por cisalhamento média da placa relativa aos eixos x e y.
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
4) Uma força que atua no cabo da alavanca mostrada na figura provoca uma 
rotação de θ = 0,002 rad na alavanca no sentido horário. Determinar a 
deformação normal média desenvolvida no arame BC.
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
5) Foi realizado um teste de tensão em um corpo de prova de aço com diâmetro original de 12,5 
mm e comprimento de referência de 50 mm. Os dados estão relacionados na tabela. Construir o 
diagrama tensão-deformação e determinar aproximadamente o módulo de elasticidade, o limite 
de resistência e a tensão de ruptura. Usar as escalas de 20 mm = 50 MPa e 20 mm = 0,05 
mm/mm. Detalhar a região linear-elástica usando a mesma escala de tensão, porém com escala 
de 20 mm = 0,001 mm/mm para a deformação.
Próxima Aula
� Carga Axial.
� Princípio de Saint-Venant.
� Deformação Elástica.
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Resistência dos Materiais
Resistência dos Materiais
Aula 5 – Carga Axial e Princípio 
de Saint-Venant
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Carga Axial
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Resistência dos Materiais
A tubulação de perfuração de 
petróleo suspensa no guindaste da 
perfuratriz está submetida a cargas 
e deformações axiais 
extremamente grandes, portanto, o 
engenheiro responsável pelo 
projeto deve ser extremamente 
capaz de identificar essas cargas e 
deformações a fim de garantir a 
segurança do projeto.
Princípio de Saint-Venant
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Resistência dos Materiais
Uma barra deforma-se elasticamente quando 
submetida a uma carga P aplicada ao longo do 
seu eixo geométrico.
Para o caso representado, a barra está fixada 
rigidamente em uma das extremidades, e a força 
é aplicada por meio de um furo na outra 
extremidade. 
Devido ao carregamento, a barra se deforma 
como indicado pelas distorções das retas antes 
horizontais e verticais, da grelha nela desenhada.
Deformação Elástica de um Elemento 
com Carga Axial
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Resistência dos Materiais
A partir da aplicação da lei de Hooke e das definições de tensão e deformação , pode-se 
desenvolver uma equação para determinar a deformação elástica de um elemento 
submetido a cargas axiais.
)(
)(
xA
xP
=σ
dx
dδ
ε =
Desde que essas quantidades não excedam o limite de proporcionalidade, as 
mesmas podem ser relacionadas utilizando-se a lei de Hooke, ou seja:
εσ ⋅= E
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Resistência dos Materiais
As equações utilizadas são escritas do seguinte modo:






=
dx
dE
xA
xP δ
)(
)(
ExA
dxxPd
⋅
⋅
= )(
)(δ
Deformação Elástica de um 
Elemento com Carga Axial
Deformação Elástica de um 
Elemento com Carga Axial
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Resistência dos Materiais
∫
⋅
⋅
=
L
ExA
dxxP
0 )(
)(δ
Portanto, na forma integral tem-se que:
onde:
δ = deslocamento de um ponto da barra em relação a outro.
L = distância entre pontos.
P(x) = Força axial interna da seção, localizada a uma distância x de uma 
extremidade.
A(x) = área da seção transversal da barra expressa em função de x.
E = módulo de elasticidade do material.
Carga Uniforme e Seção Transversal 
Constante
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Resistência dos Materiais
EA
LP
⋅
⋅
=δ
Em muitos casos, a barra tem área da seção transversal constante A; o material será
homogêneo, logo E é constante. Além disso, se uma força externa constante for 
aplicada em cada extremidade como mostra a figura, então a força interna P ao longo 
de todo o comprimento da barra também será constante. 
Convenção de Sinais
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Resistência dos Materiais
Considera-se força e deslocamento 
como positivos se provocarem, 
respectivamente tração e 
alongamento; ao passo que a força e 
deslocamento são negativos se 
provocarem compressão e 
contração respectivamente.
Barra com Diversas Forças Axiais
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Resistência dos Materiais
∑
⋅
⋅
=
EA
LPδ
Se a barra for submetida a diversas forças axiais diferentes ou, ainda, a área da seção 
transversal ou o módulo de elasticidade mudarem abruptamente de uma região para outra 
da barra, deve-se calcular o deslocamento para cada segmento da barra e então realizar a 
adição algébrica dos deslocamentos de cada segmento.
Diagrama de Cargas Axiais
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Resistência dos Materiais
Exercício 1
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Resistência dos Materiais
1) O conjunto mostrado na figura consiste de um tubo de alumínio AB com área da 
seção transversal de 400 mm². Uma haste de aço de 10 mm de diâmetro está
acoplada a um colar rígido que passa através do tubo. Se for aplicada uma carga de 
tração de 80 kN à haste, qual será o deslocamento da extremidade C? 
Supor que Eaço = 200 GPa e Eal= 70 GPa.
Solução do Exercício 1
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Resistência dos Materiais
O diagrama de corpo livre do tubo e 
da haste mostra que a haste está
sujeita a uma tração de 80 kN e o 
tubo está sujeito a uma compressão 
de 80 kN.
O sinal positivo indica que a 
extremidade C move-se para a 
direita em relação à extremidade B, 
visto que a barra se alonga.
Deslocamento de C em relação à B:
EA
LP
CB
⋅
⋅
=δ
92
3
10200)005,0(
6,01080
⋅⋅⋅
⋅⋅+
=
pi
δCB
003056,0+=CBδ m
Solução do Exercício 1
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Resistência dos Materiais
O sinal negativo indica que o tubo 
se encurta e, assim, B move-se para 
a direita em relação a A.
Deslocamento de B em relação à A:
EA
LP
B
⋅
⋅
=δ
96
3
107010400
4,01080
⋅⋅⋅
⋅⋅−
=
−
Bδ
001143,0−=Bδ m
Como ambos os deslocamentos 
são para a direita, o deslocamento 
resultante de C em relação à
extremidade fixa A é:
CBBC δδδ +=
003056,0001143,0 +=Cδ
00420,0=Cδ
20,4=Cδ
m
mm
Exercício 2
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Resistência dos Materiais
2) Uma viga rígida AB apóia-se sobre dois postes curtos como mostrado na figura. AC é
feito de aço e tem diâmetro de 20 mm; BD é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 mm. 
Determinar o deslocamento do ponto F em AB se for aplicada uma carga vertical de 90 kN
nesse ponto. Admitir Eaço = 200 GPa e Eal = 70 GPa.
Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
Reações de apoio:
∑ = 0AM
06,02,090 =⋅+⋅− BDP
6,0
2,090 ⋅
=BDP
30=BDP
∑ = 0VF
090 =−+ BDAC PP
3090−=ACP
60=ACP
kN
kN
Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
Poste AC:
açoAC
ACAC
A EA
LP
⋅
⋅
=δ
92
3
10200)010,0(
3,01060
⋅⋅⋅
⋅⋅−
=
pi
δ A
610286 −⋅−=Aδ m
286,0=Aδ mm
Poste BD:
alBD
BDBD
B EA
LP
⋅
⋅
=δ
92
3
1070)020,0(
3,01030
⋅⋅⋅
⋅⋅−
=
pi
δB
610102 −⋅−=Bδ m
102,0=Bδ mm
Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
Pela proporção do triângulo tem-se que:






⋅+=
600
400184,0102,0Fδ
225,0=Fδ mm
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
1) O navio é impulsionado pelo eixo da hélice, feito de aço A-36, E = 200 GPa e com 8 m 
de comprimento, medidos da hélice ao mancal de encosto D do motor. Se esse eixo 
possuir diâmetro de 400 mm e espessura da parede de 50 mm, qual será sua contração 
axial quando a hélice exercer uma força de 5 kN sobre ele? Os apoios B e C são mancais.
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
2) A junta é feita de três chapas de aço A-36 ligadas pelas suas costuras. 
Determinar o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D quando 
a junta é submetida às cargas axiais mostradas. Cada chapa tem espessura de 6 mm.
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
3) A treliça é feita de três elementos de aço A-36 com 400 mm² de área da seção 
transversal. Determinar o deslocamento vertical do rolete em C quando a treliça é
submetida à carga P = 10 kN.
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
4) Determinar o alongamento da tira de alumínio quando submetida a uma força 
axial de 30 kN. Eal = 70 GPa.
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
5) Dois postes apóiam a viga rígida, cada um deles possui largura d, espessura d e 
comprimento L. Supondo que o módulo de elasticidade do material A seja EA e do 
material B seja EB, determinar a distância x para aplicar a força P de modo que a 
viga permaneça horizontal.
Próxima Aula
� Estudo de Torção.
� Transmissão de Potência.
� Transmissão de Torque.
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Resistência dos Materiais
Resistência dos Materiais
Aula 6 – Estudo de Torção, 
Transmissão de Potência e Torque
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Definição de Torque
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Resistência dos Materiais
Torque é o momento que 
tende a torcer a peça em 
torno de seu eixo 
longitudinal. Seu efeito é de 
interesse principal no 
projeto de eixos ou eixos de 
acionamento usados em 
veículos e maquinaria.
Deformação por Torção
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Resistência dos Materiais
Equação da Torção
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Resistência dos Materiais
Quando um torque externo é aplicado a um eixo, cria um 
torque interno correspondente no interior do eixo.
A equação da torção relaciona o torque interno com a 
distribuição das tensões de cisalhamento na seção 
transversal de um eixo ou tubo circular.
Para material linear-elástico aplica-se a lei de Hooke.
γτ ⋅=G
onde: G = Módulo de rigidez
γ = Deformação por cisalhamento
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Resistência dos Materiais
Equação da Torção
J
cT
máx
⋅
=τ
onde: 
τ = Tensão de cisalhamento no eixo
T = Torque interno resultante que atua na 
seção transversal
J = Momento de inércia polar da área da seção 
transversal
c = Raio externo do eixo
ρ = Raio medido a partir do centro do eixo
J
T ρ
τ
⋅
=
Dimensionamento de Eixo Sólido
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Resistência dos Materiais
∫ ⋅= A dAJ
2ρ ( )∫ ⋅⋅⋅⋅= c dJ 0 2 2 ρρpiρ
∫ ⋅⋅=
c
dJ
0
32 ρρpi
c
J
0
4
4
2 ρpi ⋅⋅
=
2
4cJ ⋅= pi
Momento de inércia polar:
Falha na Torção
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Resistência dos Materiais
Dimensionamento de Eixo Tubular
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Resistência dos Materiais
( )
2
44
ie ccJ −⋅= piMomento de inércia polar:
Exercício 1
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Resistência dos Materiais
1) O tubo mostrado na figura tem um diâmetro interno de 80 mm e diâmetro 
externo de 100 mm. Supondo que sua extremidade seja apertada contra o 
apoio em A por meio de um torquímetro em B, determinar a tensão de 
cisalhamento desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao 
longo da parte central do tubo quando são aplicadas forças de 80 N ao 
torquímetro. 
Solução do Exercício 1
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Resistência dos Materiais
Torque interno: É feito um corte na localização 
intermediária C ao longo do eixo do tubo, desse 
modo:
∑ = 0yM
02,0803,080 =−⋅+⋅ T
40=T Nm
Momento de inércia polar:
( )
2
44
ie ccJ −⋅= pi
Solução do Exercício 1
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Resistência dos Materiais
( )
2
04,005,0 44 −⋅
=
piJ
6108,5 −⋅=J m4
J
cT
máx
⋅
=τ
Tensão de cisalhamento:
6108,5
05,040
−
⋅
⋅
=máxτ
610344,0 ⋅=máxτ
344,0=máxτ
Na superfície interna:
6108,5
04,040
−
⋅
⋅
=iτ
J
cT i
i
⋅
=τ
610276,0 ⋅=iτ
276,0=iτ
Pa Pa
MPa
MPa
Transmissão de Potência
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Resistência dos Materiais
Eixos e tubos com seção 
transversal circular são 
freqüentemente empregados 
para transmitir a potência 
gerada por máquinas. Quando 
usados para essa finalidade, 
são submetidos a torque que 
dependem da potência gerada 
pela máquina e da velocidade 
angular do eixo.
Definição de Potência
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Resistência dos Materiais
A potência é definida como o 
trabalho realizado por unidade 
de tempo:
dt
dTP θ⋅=
Onde:
T = Torque aplicado
dθ = Ângulo de rotação
dt
dθ
ω =
ω⋅= TP
Sabe-se que a 
velocidade angular do 
eixo é dada por:
Portanto:
No SI, a potência é expressa em watts
1W = 1Nm/s
Relação Potência-Freqüência
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Resistência dos Materiais
No caso da análise de máquinas e 
mecanismos,a freqüência de rotação 
de um eixo, é geralmente conhecida.
Expressa em hertz (1Hz = 1 ciclo/s), 
ela representa o número de revoluções 
que o eixo realiza por segundo.
TfP ⋅⋅⋅= pi2
f⋅⋅= piω 2
Portanto, a equação da potência pode 
ser escrita do seguinte modo:
Como 1 ciclo = 2pi rad, 
pode-se escrever que:
Dimensionamento de Eixos
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Quando a potência transmitida por um 
eixo e sua rotação são conhecidas, o 
torque no eixo pode ser determinado.
Conhecendo-se o torque atuante no 
eixo e a tensão de cisalhamento do 
material é possível determinar a 
dimensão do eixo a partir da equação 
da torção da seguinte forma:
adm
T
c
J
τ
=
Para eixo maciço:
2
4cJ ⋅= pi
2
)( 44 ie ccJ −⋅= pi
Para eixo tubular:
Exercício 2
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2) Um eixo tubular de diâmetro interno de 30 mm e diâmetro externo de 42 mm é
usado para transmitir 90 kW de potência. Determinar a freqüência de rotação do 
eixo de modo que a tensão de cisalhamento não exceda 50 MPa.
Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
J
cT
máx
⋅
=τ
Solução:
O torque máximo que pode ser 
aplicado ao eixo é determinado 
pela equação da torção: c
JT máx ⋅= τ
2
)( 44 ie ccJ −⋅= pi
Para eixo tubular:
Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
Portanto:
c
cc
T
ie
máx 2
)( 44 −⋅
⋅
=
pi
τ
021,0
2
)015,0021,0(1050
44
6 −⋅
⋅⋅
=
pi
T
538=T Nm
A partir da equação da freqüência:
TfP ⋅⋅⋅= pi2
T
Pf
⋅⋅
=
pi2
5382
1090 3
⋅⋅
⋅
=
pi
f
6,26=f Hz
Exercícios Propostos
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1) O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques 
aplicados às engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida 
nos pontos C e D do eixo. 
Exercícios Propostos
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2) O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50 mm. Determinar a tensão de 
cisalhamento máxima absoluta nele desenvolvida e traçar o gráfico da distribuição 
cisalhamento-tensão ao longo de uma reta radial onde o cisalhamento é máximo. 
Considerar T1 = 20 Nm.
Exercícios Propostos
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3) O eixo de aço está submetido à carga de torção mostrada. Determinar a tensão 
de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B e desenhar o gráfico da tensão de 
cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos. O eixo onde A e 
B estão localizados tem raio externo de 60 mm.
Exercícios Propostos
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4) O acoplamento é usado para acoplar dois eixos. Supondo que a tensão de 
cisalhamento nos parafusos seja uniforme, determinar o número de parafusos 
necessários para que a tensão de cisalhamento máxima no eixo seja igual à tensão 
de cisalhamento nos parafusos. Cada parafuso tem diâmetro d.
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
5) A bomba opera com um motor que tem potência de 85 W. Supondo que o 
impulsor em B esteja girando a 150 rpm, determinar a tensão de cisalhamento 
máxima desenvolvida em A, localizada no eixo de transmissão que tem 20 mm de 
diâmetro.
Próxima Aula
� Estudo de Torção.
� Ângulo de Torção.
� Distorção.
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Resistência dos Materiais
Resistência dos Materiais
Aula 7 – Estudo de Torção, 
Ângulo de Torção
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Ângulo de Torção
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Resistência dos Materiais
O projeto de um eixo depende de limitações na 
quantidade de rotação ou torção ocorrida quando o eixo 
é submetido ao torque, desse modo, o ângulo de torção 
é importante quando se analisam as reações em eixos 
estaticamente indeterminados.
∫
⋅
⋅
=
L
GxJ
dxxT
0 )(
)(φ
φφφφ = Ângulo de torção de uma extremidade do eixo em relação à outra.
T(x) = Torque interno na posição arbitrária x.
J(x) = Momento de inércia polar do eixo expresso em função de x.
G = Módulo de elasticidade ao cisalhamento do material.
Cálculo para Área e Torque Constantes
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Resistência dos Materiais
Normalmente, o material é homogêneo, de modo que G é constante, bem 
como, a área da seção transversal e o torque aplicado também são 
constantes, portanto, a equação que determina o ângulo de torção pode ser 
expressa do seguinte modo:
GJ
LT
⋅
⋅
=φ
Se o eixo estiver sujeito a diversos torques diferentes, ou a área da seção 
transversal e o módulo de elasticidade mudarem abruptamente de uma região 
para outra, o ângulo de torção pode ser determinado a partir da adição dos 
ângulos de torção para cada segmento do eixo, assim:
∑
⋅
⋅
=
GJ
LTφ
Convenção de Sinais
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Resistência dos Materiais
A direção e o sentido do torque aplicado é definido a partir da aplicação 
da regra da mão direita. Torque e ângulo serão positivos se a direção 
indicada pelo polegar for no sentido de afastar-se do eixo.
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EIXO SUJEITO A DIVERSOS TORQUES 
(DIAGRAMA REPRESENTATIVO)
Exercício 1
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1) As engrenagens acopladas ao eixo de aço com uma das extremidades 
fixa estão sujeitas aos torques mostrados na figura. Supondo que o módulo 
de elasticidade de cisalhamento seja G = 80 GPa e o eixo tenha diâmetro de 
14 mm, determinar o deslocamento do dente P da engrenagem A. O eixo 
gira livremente no mancal em B.
Solução do Exercício 1
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Torque interno:
TAC = + 150 Nm
TCD = -130 Nm
TDE = -170 Nm
Momento de inércia polar:
2
4cJ ⋅= pi
2
007,0 4⋅
=
piJ
91077,3 −⋅=J m4
Solução do Exercício 1
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Resistência dos Materiais
∑
⋅
⋅
=
GJ
LTφ
999999 10801077,3
5,0170
10801077,3
3,0130
10801077,3
4,0150
⋅⋅⋅
⋅−
+
⋅⋅⋅
⋅−
+
⋅⋅⋅
⋅
=
−−−
φ
212,0−=φ rad
O deslocamento do dente P na engrenagem A é:
rs AP ⋅=φ 100212,0 ⋅=Ps
2,21=Ps mm
Exercícios Propostos
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Resistência dos Materiais
1) Os dois eixos de aço maciço mostrados na figura estão acoplados por meio de 
engrenagens. Determinar o ângulo de torção da extremidade A do eixo AB
quando é aplicado o torque T = 45 Nm. Supor G = 80 GPa. O eixo AB é livre para 
girar nos mancais E e F, enquanto o eixo DC é fixo em D. Cada eixo tem 
diâmetro de 20 mm.
Exercícios Propostos
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2) As extremidades estriadas e as engrenagens acopladas ao eixo de aço A-36 
estão submetidas aos torques mostrados. Determinar o ângulo de torção da 
extremidade B em relação à extremidade A. O eixo tem diâmetro de 40 mm.
Exercícios Propostos
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3) O eixo de aço A-36 está composto pelos tubos AB e CD e por uma parte maciça 
BC. Apóia-se em mancais lisos que lhe permitem girar livremente. Se as 
extremidades estão sujeitas a torques de 85 Nm, qual o ângulode torção da 
extremidade A em relação à extremidade D? Os tubos tem diâmetro externo de 30 
mm e diâmetro interno de 20 mm. A parte maciça tem diâmetro de 40 mm.
Exercícios Propostos
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4) O eixo maciço de aço A-36 tem 3 m de comprimento e diâmetro externo de 50 
mm. Requer-se que transmita 35 kW de potência do motor E para o Gerador G. 
Determinar a menor velocidade angular que o eixo pode ter se a máxima torção 
admissível é de 1°.
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� Introdução ao Estudo da Flexão Simples.
� Diagramas de Esforços Solicitantes.
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Resistência dos Materiais
Aula 9 – Avaliação 1
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Avaliação 1
� Matéria da Prova:
� Aula 1 - Definição de Resistência dos Materiais e Estudo do 
Carregamento Interno Resultante
� Aula 2 - Tensão Normal Média e Tensão de Cisalhamento Média
� Aula 3 - Tensão Admissível, Fator de Segurança e Projeto de 
Acoplamentos Simples
� Aula 4 - Deformações e Propriedades Mecânicas dos Materiais
� Aula 5 - Carga Axial e Princípio de Saint-Venant
� Aula 6 - Estudo de Torção, Transmissão de Potência e Torque
� Aula 7 - Estudo de Torção, Distorção e Ângulo de Torção
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� Diagramas de Esforços Solicitantes.
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