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25/09/2017
1
Engenharias 
Cálculo Diferencial e Integral I
1º/2º semestre
Keila Tatiana Boni
TA 2 
Limites e Derivadas 
Resumo
:Unidade de Ensino 2 – Limites e derivadas 
êCompet ncia da 
:Unidade de Ensino
Conhecer os fundamentos de cálculo
necessários à formação do profissional 
da área de exatas. 
:Resumo
Nesta aula enfatizaremos o conceito e aplicação 
de limites, assim como o conceito de derivada 
e algumas regras de derivação, tendo como 
base os conhecimentos sobre funções. 
Palavras- :chave
Limites; Derivadas; 
Regras; Funções
í :T tulo da teleaula Limites e derivadas
º:Teleaula n 2
Cálculo é a parte da matemática em que se 
estudam mudanças e movimento, limites e áreas.
“Os objetos básicos de estudo em cálculo são 
as funções ou seja, o cálculo é o estudo do efeito 
sobre as funções, por pequenas mudanças nas 
variáveis: podemos estudar o efeito de pequenas 
mudanças (cálculo diferencial) ou o efeito 
cumulativo de muitas pequenas 
mudanças (cálculo integral)”.
Convite ao estudo
Fonte: https://goo.gl/Fusv15. Acessado em: 22/07/ 2016. 
Convite ao estudo
Qual a diferença 
ádesses novos c lculos 
que estudaremos, para 
áos c lculos estudados 
no ensino áb sico?
Que relações 
existem entre 
esse novo 
conhecimento 
com o de funções?
Por que estudar 
á é ãC lculo t o 
importante para 
o engenheiro?
VA Caminho de Aprendizagem
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áOperações matem ticas áb sicas
éEquações polinomiais (alg bricas)
� Operações; conjunto solução (raízes); fatoração; 
produtos notáveis
Sistema de coordenadas cartesianas
� Representação gráfica
Funções
Conhecimentos prévios
João acabou de concluir o Ensino Médio e irá 
participar de um processo seletivo de uma empresa 
multinacional para trabalhar como estagiário.
Pensando a aula:
situação geradora de aprendizagem
TESTE
(mostrar que 
compreende 
ée capaz de 
resolver 
problemas 
ligados ao 
cotidiano).
RESOLVER 
ÇÕSITUA ES-
PROBLEMAS 
(que tratam da 
êinterdepend ncia 
áde v rias coisas).
Cápsula 1 “Iniciando o estudo”
Uma das despesas que compõem o orçamento familiar 
é o serviço de TV a cabo. Em uma cidade, observa-se 
que a despesa de uma família com a TV 
a cabo depende do tempo t, mensal, que 
os habitantes assistem à TV, e esta quantidade, 
em centenas de reais, é modelada por:
Analise a continuidade da despesa
� � � �
Situação-Problema 1
Situação-Problema 1
í éA despesa de uma fam lia 
sensivelmente diferente se o 
à étempo que assiste TV 
ligeiramente inferior ou 
superior a 20 horas?
E para 100 horas?
ãNoç o intuitiva de limites:
Problematizando a Situação-Problema 1
� → �� � � 	� 
 �
1,5 4
1,3 3,6
1,1 3,2
1,05 3,1
1,02 3,04
1,01 3,02
� → �� � � 	�
 �
0,5 2
0,7 2,4
0,9 2,8
0,95 2,9
0,98 2,96
0,99 2,98
Fonte do gráfico: https://goo.gl/cvXSWv . Acessado em: 22/07/2016. 
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O que observamos?
� À medida que � tende para � �
 → 1�,
�	tende para � �� → 3�:
���
�→�
	� 
 � � �
Problematizando a Situação-Problema 1
ãDefiniç o formal de limites:
� O limite de um função �, quando � tende a c, 
representado pela notação lim
�→�
��
�, é definido 
como sendo o número L, tal que ����	pode se tornar 
tão próxima a L, sempre que existir suficientemente 
próximo de c, com 
 � . Se existir, escrevemos:
���
�→!
� � � "
Problematizando a Situação-Problema 1
ãContinuidade de uma funç o:
� ∃	� $
� ∃	 lim
�→%
� 
� lim
�→%
� 
 � � $
Problematizando a Situação-Problema 1
íCont nua
íDescont nua
Fonte dos gráficos: https://goo.gl/mXbDKb . Acesso em: 22/07/2016. 
Propriedades dos limites: seja c uma constante e suponha que
existam os limites lim
�→%
��
� e lim
�→%
&�
�. Então:
1�	 lim
�→%
'��
� ( 	&�
�) � lim
�→%
� 
 ( lim
�→%
&�
�
2�	 lim
�→%
' · ��
�) � c · lim
�→%
��
�
3� lim
�→%
'��
� . &
�) � lim
�→%
��
� . lim
�→%
&�
�
4� lim
�→%
/ �
0���
�
123
4→5
/���
123
4→5
0���
		67		 lim
�→%
&�
� � 0
Problematizando a Situação-Problema 1
Propriedades dos limites (considere n inteiro e positivo):
6� lim
�→%
'� 
 ): � lim
�→%
� 
:
7� lim
�→%
 � 
8� lim
�→%
 � $
9� lim
�→%
: � $:
10� lim
�→%
> � $>
11� lim
�→%
��
�> � lim
�→%
��
�>
Problematizando a Situação-Problema 1
Uma das despesas que compõem o orçamento familiar 
é o serviço de TV a cabo, em que tal despesa depende 
do tempo t, mensal, que os habitantes assistem à TV, 
e esta quantidade, em centenas de reais, é modelada por:
Analisar a continuidade das despesas;
Verificar a despesa para o tempo 
superior e inferior a 20 horas e para 
100 horas. 
Resolvendo a Situação-Problema 1
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No intervalo 0 ? � @ 20, temos:
lim
A→BCD
E � � lim
A→BC
0 � 0
lim
A→BCF
E � � lim
A→BC
0,1� � 0,1 · 20 �2
Função descontínua em �C � 20.	
Resolvendo a Situação-Problema 1
Despesas para � � 100:
lim
A→HCCD
E � � lim
A→HCC
0,1 · 100 � 10
lim
A→HCCF
E � � lim
A→HCC
IC·HCC�HCCC
B·HCC�HCC
� 10
A função é contínua em t � 100.
Resolvendo a Situação-Problema 1
Resolvendo a Situação-Problema 1
Cápsula 2 “Participando da aula”
A empresa multinacional onde João faz estágio 
pretende fabricar um certo produto para o mercado 
brasileiro. E determina-se que um empregado, após 
dias de treinamento, monte K produtos por dia, onde:
K 
 �
20
²
B 
 
 
 5
Situação-Problema 2
éQual o 
comportamento 
de N � N��� para 
treinamentos 
longos?
Limites infinitos e limites no infinito �∞�
� Seja � uma função definida em ambos os lados de a, 
exceto possivelmente em a. Se podemos, através de uma 
escolha adequada de 
, nas proximidades de a, fazer os 
valores de ��
�	ficarem arbitrariamente grandes, então 
escrevemos:
���
�→P
� � � ∞
E lê-se:
“O limite de ����, quando �
tende a a é, infinito”.
Problematizando a Situação-Problema 2
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Limites infinitos e limites no infinito	�∞�
� Seja � uma função definida em algum intervalo $,∞ .
Então,
���
�→Q
� � � "	
� Lê-se:
“O limite de ����, quando � tende ao
infinito, é L”
� Significa que os valores � 
podem ficar arbitrariamente 
próximos de L, tornando os valores 
de 
 grandes.
Problematizando a Situação-Problema 2
Exemplo: determine lim
�→C
H
�
, com 
 � 0.
Problematizando a Situação-Problema 2
� → R� � �
�
�
0 ãN o se 
define
0,1 10
0,01 100
0,001 1 000
0,0001 10 000
� → R� � �
�
�
0 ãN o se 
define
S0,1 S10
S0,01 S100
S0,001 S1 000
S0,0001 S10 000
Observamos que:
� Quando 
 se aproxima de zero, pela direita, � cresce 
indefinidamente, isto é, � tende a mais infinito:
lim
�→CF
1
� ∞
� Quando 
 se aproxima de zero, pela esquerda, 
� decresce indefinidamente, isto é, 
� tende a menos infinito:
lim
�→CD
1
� S∞
Problematizando a Situação-Problema 2
Problematizando a Situação-Problema 2
A empresa multinacional onde João pretende fazer 
o estágio fabrica um certo produto para o mercado 
brasileiro. E determina-se que um empregado, após 
 dias 
de treinamento, monte K produtos por dia, onde:
K 
 �
20
²
B 
 
 
 5
Qual é o comportamento de 
K � K�
� para treinamentos longos?
Resolvendo a Situação-Problema 2
���
�→�Q
N���
���
�→�Q
20
²
B 
 
 
 5
���
�→�Q
20
²
²
²
²
²
5
²
���
�→�Q
20
1 
1
 
5
²
���
�→�Q
20
1 
 0 
 0
���
�→�Q
20
1
� 20
Resolvendo a Situação-Problema 2
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Logo, após um longotreinamento, um empregado 
pode montar 20 computadores por dia:
Resolvendo a Situação-Problema 2
Cápsula 3 “Participando da aula”
Uma pedra desprende-se do topo do galpão 
da empresa. Qual é a sua velocidade média 
durante os primeiros dois segundos de queda? 
Considere que, experimentalmente, temos 
que � � 4,9�². 
Situação-Problema 3
ã éTaxa de variaç o m dia:
� É a razão que uma quantidade varia em relação à outra. 
Ex.: a velocidade de um carro.
Problematizando a Situação-Problema 3
Ao percorrer 300 
km em 3 horas →
	TU � 100	VK/X
O coeficiente angular (m) mostra a variação da inclinação da reta:
Problematizando a Situação-Problema 3
ã âTaxa de variaç o instant nea, limite e reta tangente:
� Como encontrar a taxa de variação instantânea para � � 
², 
quando 
 � 2?
Problematizando a Situação-Problema 3
*Coef. angular da secante: 
B�Y Z�I
Y
� X 
 4
*Coef. angular da tangente � 4
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Se considerarmos X � ∆
, temos: 
N\] � ���
∆�→R
� �R 
 ∆� S ���R�
∆�
Note que a derivada de uma função num ponto 
é a taxa de variação instantânea naquele ponto. 
Problematizando a Situação-Problema 3
Exemplo: [extraído de Stewart (2010, p. 133)] – Encontrar a 
derivada da função f(x) = 
²	– 	8
	 
 	9	em um número a.
�_ $ � lim
∆�→C
� 
C 
 ∆
 S ��
C�
∆
	→ lim
Y→C
� $ 
 X S ��$�
X
� lim
Y→C
$ 
 X B S 8 $ 
 X 
 9 S '$B S 8$ 
 9)
X
� lim
Y→C
$B 
 2$X 
 XB S 8$ S 8X 
 9 S $B 
 8$ S 9
X
						
� lim
Y→C
2$X 
 XB S 8X
X
� lim
Y→C
X�2$ 
 X S 8�
X
� 	P S `
Problematizando a Situação-Problema 3
Uma pedra desprende-se do topo do galpão da empresa. 
Qual é sua velocidade média durante os dois segundos 
de queda?
Experimentos mostram que, ao entrar em queda livre 
a partir do repouso, próximo da superfície terrestre, um 
objeto sólido e denso percorrera � metros nos primeiros 
t segundos, onde: �	 � 	4,9�². 
Para os primeiros 2 segundos, temos:
� \R � R					7					\� � 	
� �R � R					7					�� � a, b · �	�²
Resolvendo a Situação-Problema 3
Logo:
T �
∆�
∆�
�
4,9 · 2 B S 4,9 · �0�²
2 S 0
� 9,8	K/6
Resolvendo a Situação-Problema 3
E para qualquer 
tempo posterior, 
qual a velocidade 
ém dia da pedra ao 
longo do percurso?
Considerando �C � 2 e � � 2 
 X, temos:
c �
∆�
∆\
� deN
f→R
a, b · 	 
 f 	 S a,b · �	�²
f
� lim
Y→C
4,9 · �4 
 4X 
 XB� S 4,9 · 4
X
� lim
Y→C
19,6 
 19,6X 
 4,9X² S 19,6
X
� lim
Y→C
X	�19,6 
 4,9X�
X
� lim
Y→C
19,6 
 4,9X � �b, g	�/h
Resolvendo a Situação-Problema 3
f	�i� ∆�/∆\
1,0 24,5
0,1 20,09
0,01 19,649
0,001 19,6049
0,0001 19,60049
Resolvendo a Situação-Problema 3
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Cápsula 4 “Participando da aula”
Um importador do setor automotivo estima que 
quando consegue vender � unidades de uma 
determinada peça automotiva, consegue uma 
receita bruta representada pela expressão 
matemática: 
j��� � 	R, k�B 
 	��	 S 		
(em milhares de reais)
Situação-Problema 4
Situação-Problema 4
Qual a taxa de 
ãvariaç o da receita 
áquando o empres rio 
êconseguir vender tr s 
unidades dessas 
peças?
Qual a 
ãinterpretaç o 
desse 
resultado?
ãDerivada como uma funç o: a derivada, em geral, 
assume valores diferentes em pontos diferentes 
e é, também, uma função. 
� Diz-se que uma função � é derivável 
(ou diferenciável) se, próximo de cada ponto 
a do seu domínio, a função � 
 S ��$�
se comportar, aproximadamente, como uma 
função linear, ou seja, 
se o seu gráfico for 
aproximadamente uma reta. 
Problematizando a Situação-Problema 4
Problematizando a Situação-Problema 4
Exemplo: Encontrar uma equação da reta tangente à 
parábola �	 � 	
²	– 	8
	 
 	9	no ponto 
�3,S6�	(STEWART, 2010, p. 133).
Já vimos que �_ $ � 2$ S 8. 
1°modo:
� � N� 
 l
Logo:
�_ $ � 2$ S 8
�_ 3 � 6 S 8
�_ 3 � S2
Problematizando a Situação-Problema 4
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Assim, temosK � S2:
� � N� 
 l					 → 				� � S	� 
 l
Se a reta tangente passa no ponto �3,S6�, então:
� � S2
 
 m
S6 � S2�3� 
 m
S6 
 6 � m
l � R
Então:
� � S	�
Problematizando a Situação-Problema 4
2°modo:
� S �C � K · 
 S 
C 			→ 		� S ��$� � �′�$� · 
 S $
Considerando o ponto �3, S6�, temos:
� S ��3� � �′�3� · 
 S 3
� S S6 � S2 · 
 S 3
� 
 6 � S2
 
 6
� � S2
 
 6 S 6
� � S	�
Problematizando a Situação-Problema 4
�$, ��$��
Notações para a derivada de uma ãfunç o:
� �_ 
� �_
�
op
o�
�
o/
o�
�
o
o�
��
�
� E� 
� E���
�
Problematizando a Situação-Problema 4
Regras de ãderivaç o:
1ª�	
o
o�
 � 0
2ª�	
o
o�
: � r · 
:�H
3ª�	
o
o�
 · � 
 � ·
o
o�
��
�
Problematizando a Situação-Problema 4
� � � �k
↓
�_ � � k�a
� � � �R��
↓
�_ � � �R · ��	
�_ � � �R�²
Regras de ãderivaç o:
4ª�	
t
t
� 
 ( & 
 �
t
t
��
� (
t
t
&�
�
Exemplo: � 
 � 
B S 8
 
 9
�′ 
 �
t
t
�
B S 8
 
 9�
�_ 
 �
t
t
B S
t
t
8
 
t
t
9
�_ � � 	� S `
Problematizando a Situação-Problema 4
Um importador do setor automotivo estima que quando 
consegue vender � unidades de uma determinada peça 
automotiva, consegue uma receita bruta representada 
pela expressão matemática:	j��� � 	R, k�B 
 	��	 S 		
(em milhares de reais). 
� Taxa de variação para 3 unidades:
u_ 
 � 	0,5
B 
 	3
	 S 	2
u′�
� � 2 · 0,5
 
 	3	
u′�
� � 
 
 	3	
↓
u_ 3 � 3 
 	3	
		j_ � � g	Ned/vwexPxy
Resolvendo a Situação-Problema 4
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ãInterpretaç o:
� Quando a produção é de três unidades, a receita 
da empresa aumenta a uma taxa de 6 mil reais 
por unidade.
Resolvendo a Situação-Problema 4
Cápsula 5 “Participando da aula”
Vimos que para toda função que existe derivada 
no ponto podemos calcular essa derivada por meio 
da definição. Sabendo que a definição de derivada 
tem origem na ideia de limite, quando uma função 
não tem derivada em um ponto?
As regras de derivação que foram estudadas tem 
origem na definição de derivadas, a partir da ideia 
de limite. Como seria possível 
provar que essas regras 
são realmente válidas?
Provocando novas situações Diálogo do professor com alunos
VE Caminho de Aprendizagem