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Funções - Profª Rita CC

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todo V do domínio. 
�
�
7) Dada a função ��	! � 	!, definida pela equação ���� �	�$ 8 :� C 0W. Pede-se: 
�	Os valores da imagem da função quando � � 6� 
Queremos saber o valor que será encontrado pela função � (valor da variável 
dependente) quando for atribuído o valor zero para a variável independente �, ou 
seja, queremos saber o valor de ��6�� 
��6� � 6$ 8 :�6 C 0W � 0W 
;�	Os valores de � para os quais a imagem da função é nula 
Queremos saber qual o valor de � quando ���� � 6 
���� � �$8 :� C 0W � 6�
� � 8�8:�X	Y�8:�$8 (�0�0W% �
: X √1( 8 16
	% �
: X %
% �
� � W			�*		� � &�
�
<�	Os valores de � para os quais a imagem da função é igual a 3, ou seja, ���� � & 
� � ���� � �$ 8 :� C 0W � &	 � 			�$8 :� C 0% � 6	�
� � 8�8:� X	Y�8:�$ 8 (�0�0%% �
: X √1( 8 (:
	% �
: X √01
	% �
: X (
% �
� � 1		�*		� � %�
�
�
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 6 
 
8) Encontre o domínio das funções reais indicadas abaixo: 
 
�	���� � √&� 8 % C	√8� C (�
Devemos ter simultaneamente: 
&� 8 % Q 6	 9 	� Q 	%&					�[0��8� C ( Q 6	 9	�� \ (							�[%��
������ � [0 ] [%			 9������� � ^�	 3 !4 $G \ � \ (_�
�
;�	���� � √� C %
√8� C (
�
Devemos ter simultaneamente: 
� C % Q 6	 9 	� Q 	8%					�[0��
8� C ( 5 6	 9	�� O (							�[%��
������ � [0 ] [%	 9 		������ � 2�	 3 !4 8 % \ � O (7�
�
<�	� � %* C
*
* C %�
Devemos ter simultaneamente: 
* ` 6																																			�[0��
* C % ` 6	 9		�* ` 8%						�[%��
������ � [0 ] [%�	9 	������ � ! 8 267 8 28%7�
�
,�	��	� � √&	 C %G C √% 8 W	�
Como o argumento da raiz cúbica pode ser qualquer número real, temos apenas 
a restrição do argumento da raiz quadrada, ou seja: 
% 8 W	 Q 6	 9 			W	 \ %		 9 					 \ %W�
������� � ^	 3 !4		 \ $a_�
�
'�	��A� � √A 8 0C A C 0A 8 %�
Devemos ter simultaneamente: 
A 8 0 Q 6		 9 	A Q 0										�[0��
A 8 % ` 6		 9		�A ` %						�[%��
������ � [0 ] [%�9 	������ � 2A 3 !4A Q 0	'	A ` %7�
�
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 7 
 
9) Encontre o domínio e a imagem das funções reais indicadas abaixo. 
�	� � �$ C &��
Substituindo 	� por qualquer número real obteremos para � um valor real. 
Portanto� 
������ � !		'	����� � !	�
�
;�	���� � �� 8 %�
A expressão bbc$ somente terá sentido se � 8 % ` 6, ou seja, � ` % 
Logo������� � !8 2%7���������� � 2�	 3 !|� ` %7�
Para determinar a imagem a função, devemos investigar quais os valores que a 
imagem � pode ter. Isolando � tem-se: 
� � �� 8 % 			9 					�� 8 %� � �						 9 				�� 8 � � %�			 9 						� �
%�
� 8 0�
A expressão $ddce somente terá sentido se � 8 0 ` 6, ou, � ` 0. Portanto, não existe �	 3 ������|	� � 0� Logo, 
����� � !8 207 ou ����� � 2�	 3 !|� ` 07 
�
<�	� � 0��
A expressão eb somente terá sentido se � ` 6, logo 
������ � !f� �*������� � ! 8 267 
Como não existe � 3 ! tal que a expressão eb se anule, 
����� � !f� 
�
,�	���� � √&� 8 %�
A expressão √&� 8 % somente terá sentido se &� 8 % Q 6, ou seja, � Q	$G. Logo, 
������ � ^�	 3 !|	� Q $G_��
Como a raiz quadrada de um número é sempre maior ou igual a zero, 
����� � !g�
�
� �
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 8 
 
� �
�����
��
������	
O gráfico de uma função � é o conjunto de todos os pares ordenados ��� �� no plano 
�� tal que �	pertence ao ������ e	� pertence a ������ Assim, o gráfico de uma função 
é o conjunto dos pares ordenados ��� �����, pois � � ����� Costuma-se dizer que uma 
função real a uma variável real gera uma curva em ℜ2. 
 
Como não é possível a representação de todos os pontos ��� �����, podemos escolher 
alguns valores de � pertencentes ao ������ para calcular as correspondentes 
imagens ����. Representando estes pontos no sistema de coordenadas obtemos o 
chamado gráfico de dispersão. 
 
Se os pontos de dispersão são suficientemente próximos e a forma da função é 
simples ou conhecidas podemos ligar os pontos do gráfico de dispersão com uma 
curva, obtendo o gráfico da função. 
�
Análise de gráficos 
Através do gráfico da função podemos visualizar seu domínio e sua imagem. 
O domínio de uma função é o conjunto das abscissas � dos pontos do gráfico. 
A imagem da função é o conjunto das ordenadas � dos pontos do gráfico. 
Para reconhecer se uma curva representa ou não o gráfico de uma função, basta 
verificar se qualquer reta paralela ao eixo vertical e que passe por um ponto do 
domínio encontra a curva em um só ponto. Se esta reta cruza a curva do gráfico em 
mais de um ponto não é função. 
 
Os valores de � para os quais ���� � 6 chamam-se zeros da função f ou raízes da 
equação ���� � 6� Geometricamente os zeros reais de uma função são as abscissas 
dos pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal. 
 
Exemplos: 
 
1) Esboce o gráfico da função � dada pela equação � � �G 
Inicialmente, construímos uma tabela na qual arbitramos alguns valores para 
� 3 ������ e calculamos os valores correspondentes de � � ����. Como ������ � ! 
podemos escolher valores positivos, negativos e o valor nulo para �. 
 
A seguir, localizamos os pares ordenados ��� ����� no sistema cartesiano bi-
dimensional, obtendo o gráfico de dispersão. Quanto mais pontos forem calculados, 
melhor será a representação da função. 
 
Finalmente, unimos estes pontos, com retas ou curvas suaves, obtendo o esboço do 
gráfico da função. 
 
Devemos também observar o comportamento da função quando a variável 
independente é muito pequena ou muito grande. No exemplo � � �G� se � tender a 
um número muito pequeno, � � 8S� � � �G	 assume valores bem pequenos, � � 8S. 
Se � tender a um número muito grande, � � CS� � � �G assume valores muito 
grandes, � � CS. Essas informações permitem a representação do comportamento 
da função em pontos distantes dos pontos da tabela. 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 9 
 
����	�� 
��
����������������� 
��
��������������
�
� �
�
�
2) Esboce o gráfico das funções indicadas 
 
�		� � √� 
������ � R0,C∞�		, ����� � R0,C∞�,	������ → C∞	������� � √� → C∞��
�
����	�� 
��
����������������� 
��
��������������
�
� �
 
 ;�	��*� � 2*$		 ���� � �8∞,C∞�				����� � R0,C∞� 
�*� 2*$�
��� ��
��� ��
�� ��
�� ��
�� ��
 
 
�� � � �����
��� ���� !���
��� ���� !���
�� ��� !��
�� ��� !��
�� ��� !��
 
�� � � �����
�� ��� !��
�� ��� !��
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#� ��# !$�
 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 10 
 
<�	���� � �� 8 1�$ 
���� � �8∞,C∞�				����� � R0,C∞� 
��� �� 8 1�$	�
��� #�
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�� ��
�� ��
�� ��
$� "�
 
 ,�	h��� � √9 8 �			 9 8 � Q 0	 ∴ 		� \ 9 
��h� � �8∞, 9i				���h� � R0,C∞� 
��� √9 8 �	�
��%� &�
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�� $�
&� ��
#� ��
 
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� � Y4 8 
$		 4 8 
$ Q 0		 ∴ 			
$ \ 4		 ∴ 		Y
$ \ 	√4 		 ∴ 	 |
| \ 2			 ∴ 					82 \ 
 \ 2 
���� � R82	,2i				����� � R0,2i 
�
� √4 8 
$	�
��� �����
���'� ���&�
��� ��'$�
�� �����
�� ��'$�
��'� ���&�
�� �����
 
 
 Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 11 
 
��	���� � ^� C 1	-'		� Q 01										-'	� O 0			 
 ���� � �8∞,C∞�				����� � R1,C∞� 
 
�� O 0� ����� � 1�
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�� Q 0� ����� � � C 1�
�$� ��
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�� ��
��� ��
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 ��	���� � Y�$ 8 1		 
�$8 1 Q 0	 ∴ 		 �$ Q 1			 ∴ 		 |�| Q 1		 ∴ 	� Q 1		�*			� \ 81 ���� � �8∞	, 1i ∪ R1,C∞�			����� � R0,C∞� 
��� Y�$ 8 1	�
�$� ���$�
��� ��'$�
��� �����
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�� �����
�� ��'$�
$� ���$�
 
 ��	���� � ^2� 8 1	-'		� ` 20										-'	� � 2 						 
 ���� � !			����� � ! 8 237 
 
�� ` 2� ����� � 2� 81�
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 ��	��A� � YA$ 8 9	 A$ 8 9 Q 0		 ∴ 		A$ Q 9		 ∴ 		YA$ Q √9 |A| Q 3