C C G ANALITICA-2- SLIDE

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Unidade II 
 
 
 
 
CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
 
Profa. Isabel Espinosa 
Funções 
Estudaremos nesta unidade: 
 Plano cartesiano. 
 Funções. 
 Limites. 
 
 
Funções 
 Plano cartesiano 
 A (-2, 2) 
 
 x y 
x 
y 
2 
-3 -2 
A 
B (-3,- 4) 
B 
(ordenadas) 
(abscissas) 
positivo 
Funções 
 Produto cartesiano 
 A = {-1, 1, 2} B = {0, 3} 
 AxB = {(-1,0),(-1,3),(1,0),(1,3),(2,0),(2,3)} 
 
 
x 
y 
3 
- 1 1 2 
Funções 
 Relação 
 Exemplo: 
 A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4} 
 Relação 1: 1° elemento é o triplo do 2° 
 R1 = {(0,0), (3,1)} 
 
 Relação 2: 1° elemento é a metade do 2° 
 R2 = {(0,0), (1,2), (2,4)} 
 
Funções 
 A = {0, 1, 2, 3} 
 B = {0, 1, 2, 3, 4} 
 
 Relação 3 dada por sentença matemática 
 R3 = {(x,y) ∈ A x B / x + y = 3} 
 
 R3 = {(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)} 
 
Funções 
Representação por diagramas 
 
 
 
 
 
 
 
 
R3 = {(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)} 
R3 
 0 
 
 1 
 
 2 
 3 
 
 3 
 
 2 
 
 1 
 0 
 4 
 
 
 
 
 
A B 
Funções 
 f : A → B 
 Indica função de A em B 
 
 Exemplo: 
 1) A = {-2, -1, 0, 1, 2} 
 B = {0, 1, 2, 4} 
 f : A → B 
 f(x) = x2 
 
Funções 
Diagrama 
f 
 -2 
 
 -1 
 0 
 
 2 
 1 
 
 0 
 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
A B 
1 4 
Funções 
2. A = IR e B = IR 
 
 f : IR → IR , definida por f(x) = 2 x + 1 
 Determinar o valor de f(0), f(-3), f(a) 
 
 f(0) = 2 . 0 + 1 = 1 ⇒ par (0, 1) 
 
 f(-3) = 2 . (-3) + 1 = -6 + 1 = -5 ⇒ par (-3, -5) 
 
 f(a) = 2 . (a) + 1 = 2a + 1 ⇒ par (a, 2a + 1) 
 
 
Funções 
Elementos de uma função – domínio e contradomínio. 
 
 Exemplo: 
 A = {-2, -1, 0, 1, 2} 
 B= {0, 1, 2, 4} 
 
 f : A → B 
 Dom f = D(f) = A 
 CD f = B 
 
Funções 
Elementos de uma função – imagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Im f = {0, 1, 4} 
 
f 
 -2 
 
 -1 
 0 
 
 1 
 2 
 
 0 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
A B 
Im f 
4 
1 
Funções 
Operações 
 Adição: 
 
Exemplo: 
f(x) = 5 – x 
g(x) = 3x + 7 
 
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2x + 12 
(f – g)(x) = f(x) – g(x) = - 4x – 2 
 
 
(f + g) (x) = f(x) + g(x) 
Funções 
 Multiplicação: 
 
Exemplo: 
f(x) = 5 – x 
g(x) = 3x + 7 
 
 
(f . g) (x) = f(x) . g(x) 
(f . g) (x) = (5 – x) . (3x + 7) = 
= 15 x + 35 – 3 x2 – 7 x = 
= – 3 x2 + 8 x + 35 
Funções 
 Produto por número real 
 
 
(k f) (x) = k f (x) 
Exemplo: 
f(x) = 5 – x 
 
(3 f)(x) = 3 . (5 – x) = 15 – 3 x 
 
 
(-2 f)(x) = - 2 . (5 – x) = -10 + 2 x 
Interatividade 
O produto cartesiano AxB, sendo A = {a, b, c} e B = {1, 2}, é: 
a) {(a,1), (b, 1), (c, 1)} 
b) {(a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1),(c,2)} 
c) {(1,0), (1, b), (1, c)} 
d) {(a,1), (b, 2)} 
e) {(1,a), (2,0), (1,b), (1,c)} 
 
 
Resposta 
O produto cartesiano AxB, sendo A = {a, b, c} e B = {1, 2}, é: 
a) {(a,1), (b, 1), (c, 1)} 
b) {(a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1),(c,2)} 
c) {(1,0), (1, b), (1, c)} 
d) {(a,1), (b, 2)} 
e) {(1,a), (2,0), (1,b), (1,c)} 
 
 
Funções 
 Composição (f o g) (x) = f(g(x)) 
 
 Exemplo: 
 f(x) = 5 – x 
 g(x) = 3x + 7 
 
 
 
a)(f o g)(x) = f(g(x)) = f (3x + 7) = 
= 5 – (3x + 7) = 
= 5 – 3x – 7 = 
= – 3x – 2 
Funções 
 f(x) = 5 – x 
 g(x) = 3x + 7 
 
 
 
 
 
 Geralmente, temos: 
 (fog)(x) ≠ (gof)(x) 
 
b) (g o f)(x) = g(f(x)) = g (5 – x) = 
= 3. (5 – x) + 7 = 
= 15 – 3x + 7 = 
= – 3x + 22 
Limite 
Limite – estuda o comportamento da função quando x se 
aproxima de um número a. 
 
 Limite pela direita Lim f(x) = L 
x → a+ 
f(x) 
a x1 
f(x1) 
 
 L 
 Limite pela direita 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limite 
f(x) 
a x 
L 
Limite 
 Limite pela esquerda – 
f(x) 
x1 a 
 L 
f(x1) 
Lim f(x) = L 
x → a- 
Limite 
 Limite pela esquerda 
 
f(x) 
a 
 L 
 
Limite 
São contínuas: funções polinomiais, trigonométricas, 
exponenciais, logarítmicas, modulares,. . . 
 
f contínua em a ⇔ 
 
 
Lim f(x) = Lim f(x) = f(a) 
x → a+ x → a- 
Lim f(x) = f(a) 
x → a 
Limite 
Exemplos: 
1. (f contínua em x0) Calcular o limite das funções: 
 
 
 
a) Lim (x2 + 10x – 5) = 22 + 10 . 2 – 5 = 19 
x → 2 
b) Lim (–x2 + 4x) = – (–1)2 + 4 . (–1) = –5 
x → -1 
Limite 
2. (f não contínua em x0) 
 Calcule sendo f dada por: 
 
f(x) = 
x + 1 se x ≠ 2 
 
0 se x = 2 
Lim f(x), 
x → 2 
Limite 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Obs.: limite não depende do valor da função no ponto. 
f(x) = 
x + 1 se x ≠ 2 
 
0 se x = 2 
2 
3 
Lim f(x) = Lim x + 1 = 2 + 1 = 3 
x → 2 x → 2 
3. Calcule o limite da função para x tendendo a 1 
Limite 
 f(x) = 
x + 1 se x ≥ 1 
 
–1 se x < 1 
Lim f(x) 
x → 1 
Limite 
 
 
 
 
 f não é contínua em 1 
 
f(x) = 
x + 1 se x ≥ 1 
 
-1 se x < 1 
1 
2 
-1 
Lim –1 = –1 
x → 1
-
 
Lim (x + 1) = 2 
x → 1
+
 
Lim f(x) não existe 
x → 1 
Interatividade 
 
 O valor de sendo 
 é igual a: 
 
 a) 6 
 b) 7 
 c) 0 
 d) 1 
 e) 3 
Lim f(x), 
x → 2 
 f(x) = 
2x + 3 se x > 2 
4 se x = 2 
3x + 1 se x < 2 
Resposta 
Lim f(x) 
x → 2 
 f(x) = 
2x + 3 se x > 2 
4 se x = 2 
3x + 1 se x < 2 
 
 O valor de , sendo 
 é igual a: 
 
 a) 6 
 b) 7 
 c) 0 
 d) 1 
 e) 3 
Limite 
 Indeterminações 
 Exemplos: 
 
 
 
 isso significa que x = 3 é raiz do numerador. 
 Fatorando, temos: 
 
 
 
 
 
 
a) Lim , tipo 
x → 3 
x2 – 9 
 x – 3 
0 
0 
x2 – 9 = (x – 3) . (x + 3) 
Limite 
Logo, 
Lim 
x → 3 
x2 – 9 
 x – 3 = Lim x → 3 
(x – 3).(x + 3) 
 x – 3 = 
Lim 
x → 3 
(x + 3) = 6 = 
Limite 
 
 
0 
0 b) Lim , tipo x → 9 
x – 9 
√x – 3 
Lim 
x → 9 
x – 9 
= √x – 3 Lim x → 9 
(x – 9). 
= 
(√x + 3) 
(√x – 3) (√x + 3) 
= 6 Lim 
x → 9 
(x – 9). (√x + 3) 
(x – 9) = 
Limite 
 
 
 
Substituindo x por 3, temos indeterminação, devemos 
encontrar as raízes dos polinômios 
 
 
c) Lim 
x → 3 
x2 – x – 6 
x2 – 4x + 3 
x2 – x – 6 = (x – 3) . (x + 2) 
x2 – 4x + 3 = (x – 3) . (x – 1) 
Limite 
 Assim, 
 
 Lim 
x → 3 
(x – 3).(x + 2) 
 (x – 3).(x – 1) 
= 
Lim 
x → 3 
(x + 2) 
 (x – 1) 
= = 
5 
 2 
= 
Limite 
 Limites infinitos 
 Exemplos: 
 
1. 
 
 
 
 
Obs.: não é possível substituir x por zero. 
 
f(x) = 1 x , x ≠ 0 
Lim 
x → 0 
1 
 x 
Limite 
Calculando a função para alguns valores à direita de 0 
 
 
Lim = + ∞ 
x → 0
+
 
1 
 x 
x 1 0,1 0,01 0,001 
 
y 1 10 100 1000 
Limite 
 Calculando a função para alguns valores à esquerda de 0 
 
 
Lim = - ∞ 
x → 0
-
 
1 
 x 
x -1 -0,1 -0,01 -0,001 
 
y - 1 -10 -100 -1000 
Funções 
 Graficamente:Obs.: não existe 
 
 
f(x) = 1 x , x ≠ 0 
+ ∞ 
- ∞ 
Lim 
x → 0 
1 
 x 
Limite 
Exemplos: 
Calcular os limites: 
 
 não existe, pois, 
 
Lim 
x → 4 
1 
 x – 4 a) 
positivo para x > 4 
Lim = + ∞ 
x→ 4
+
 
1 
 x – 4 
Lim = - ∞ 
X → 4
-
 
1 
 x – 4 
negativo para x < 4 
Limite 
 b) 
 
Lim = + ∞, pois, 
x → 3 
1 
 (x – 3)2 
positivo para x > 3 
Lim = + ∞ 
x → 3
+
 
1 
 (x – 3)2 
Lim = + ∞ 
x → 3
-
 
1 
 (x – 3)2 
positivo para x < 3 
Limite 
 c) 
 
Lim = + ∞, pois, 
x → - 4 
2 + x 
 (x + 4)2 
positivo para x > –4 
Lim = + ∞ 
x → - 4
+
 (x + 4)
2 
Lim = + ∞ 
 (x + 4)2 
positivo para x < –4 
x → - 4
- 
 
2 + x 
2 + x 
Interatividade 
Calculando o valor do limite temos: 
 
 a) –10 
 b) 5 
 c) 0 
 d) 10 
 e) –5 
 
 Lim , 
x → 5 
x2 – 25 
 x – 5 
Resposta 
Calculando o valor do limite temos: 
 
 
 Lim , 
x → 5 
x2 – 25 
 x – 5 
Lim 
x → 5 
x2 – 25 
 x – 5 = Lim x → 5 
(x – 5).(x + 5) 
 x – 5 = 
Lim 
x → 5 
(x + 5) = 10 
a) –10 
b) 5 
c) 0 
d) 10 
e) –5 
Limite 
 Limites no infinito (x tende a infinito) 
 
 Observe o gráfico da função 
 
f(x) = 1 x , x ≠ 0 
Limite 
 Calculando para valores indo para + ∞ 
 
 
Lim = 0 
x → + ∞ 
1 
 x 
x 1 10 100 10000 
 
y 1 0,1 0,01 0,0001 
Limite 
 Calculando para valores indo para -∞ 
 
 
Lim = 0 
x → - ∞ 
1 
 x 
x -1 -10 -100 -10000 
 
y - 1 -0,1 -0,01 -0,0001 
Limite 
 Exemplos 
 Calcular os limites: 
 
 a) 
 
 
Lim 2 + = 2 
x → - ∞ 
1 
 x 
0 
Limite 
 b) 
 
Lim 
x → ∞ 
3 x2 + 1 
 x – 4 
Lim = 
x → ∞ 
3 x2 + 1 
 x – 4 
= Lim 
x → ∞ 
3 x2 
 x 
= Lim 3 x = + ∞ 
x → ∞ 
Limite 
 c) 
 
Lim 
x → ∞ 
4x2 – 3 
 x3 + 2x 
Lim = 
x → ∞ 
4x2 – 13 
 x3 + 2x 
= Lim = 
x → ∞ 
4x2 
x3 
= Lim = 0 
x → ∞ 
4 
x 
Limite 
 
 
 Limites fundamentais 
x 
Lim = 1 
x → 0 
sen x 
 x 
Lim 1 + = e 1 
 x x → +∞ 
Lim 1 + = e 1 
 x 
x 
x → -∞ 
Limite 
 Exemplos 
 Calcular o limite das funções: 
 
 a) 
 
 
 devemos usar o limite 
Lim 
x → 0 
sen 4x 
sen 3x 
Lim = 1 
x → 0 
sen x 
 x 
Limite 
 
 
 
Lim = 
x → 0 
sen 4x 
sen 3x 
= Lim = 
x → 0 
sen 4x 
sen 3x 
3.4x 
3.4x 
Limite 
 Arrumando a expressão: 
 
 
 
 
Lim . . = 
x → 0 
sen 4x 
sen 3x 
3x 
4x 
4 
3 
 1 1 
Lim = 
x → 0 
sen 4x 
sen 3x 
4 
3 
Limite 
 b) 
 
 
 devemos usar 
 
Lim 
x → 0 
 5x 
sen 3x 
Lim = 1 
x → 0 
sen x 
 x 
Limite 
 Assim, 
 
Lim 
x → 0 
 5x 
sen 3x 
Lim . = 
x → 0 
 3x 
sen 3x 
 5 
 3 3 
 5 
Lim . = 
x → 0 
 5x 
sen 3x 
 3 
 3 
 1 
Interatividade 
 O valor de é: 
 
a) + ∞ 
b) - ∞ 
c) 0 
d) Não existe 
e) - ½ 
 
Lim 
x → +∞ 
 5 
2 x – 10 
Resposta 
 O valor de é: 
 
a) + ∞ 
b) - ∞ 
c) 0 
d) Não existe 
e) - ½ 
 
 
Mesmo comportamento de 
Lim 
x → +∞ 
 5 
2 x – 10 
 Lim 
x → ∞ 
 1 
 x 
 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA! 
 
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	Interatividade
	Resposta
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