Aula 05

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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
AULA 5 – FUNÇÃO EXPONENCIAL
Tema da Apresentação
FUNÇÃO EXPONENCIAL – AULA 5
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Conteúdo Programático
1. Definição. 
2. Representação gráfica.
3. Equações exponenciais.
4. Inequações Exponenciais.
5. Aplicações. 
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
PROBLEMA
	Imagine que uma comunidade possua hoje uma população de 40.000 habitantes. Sabe-se que há um crescimento populacional de 2% ao ano.
	Determine uma expressão representativa do número de habitantes para daqui a 1,2 e 3 anos. 
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
	 
 
Daqui a 1 ano, a população será:
Daqui a 2 anos, a população será:
Daqui a 3 anos, a população será:
Generalizando: 
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
 
Modelo de Crescimento Exponencial
	Grandeza com valor inicial yo, crescendo a uma taxa de k% por unidade de tempo.
	Após um tempo x.
	Grandeza y será:
	k>0 crescimento positivo
	k<0 crescimento negativo
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
Definição
	Chama-se de função exponencial toda função 
	f : R  R+*, tal que f (x) = a x, em que a é uma constante real positiva e diferente de 1.
	1o caso – Para base a > 1, a função é crescente.
	2o caso – Para base 0 < a < 1, a função é decrescente.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
FUNÇÃO EXPONENCIAL
	f : R  R+*, tal que f (x) = a x, em que a é uma constante real positiva e diferente de 1.
	1o caso – Para base a > 1, a função é crescente.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
FUNÇÃO EXPONENCIAL
	f : R  R+*, tal que f (x) = a x, em que a é uma constante real positiva e diferente de 1.
	2o caso – Para base 0 < a < 1, a função é decrescente.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
	Consideremos a função f (x) = 2x. Podemos obter o gráfico de f através de uma tabela:
	D ( f ) = R; Im ( f ) = R+*; f é crescente em todo seu domínio
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
	Consideremos a função g (x) = (1/2)x. Podemos obter o gráfico de g através de uma tabela:
	D ( g ) = R; Im ( g ) = R+*; f é decrescente em todo seu domínio
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
PROPRIEDADES
Na função exponencial y = ax , observamos que se x = 0 então
 	y = a0 = 1. O par ordenado (0,1) satisfaz a função y = ax para todo (a > 0 e a ≠ 1). 
A função exponencial f (x) = ax é crescente em todo seu domínio se, e somente se, a > 1. Tem-se então: 
	Se x1 < x2 então ax1 < ax2 , x1, x2  R.
A função exponencial f (x) = ax é decrescente em todo seu domínio se, e somente se, 0 < a < 1. Tem-se então: 
	Se x1 < x2 então ax1 > ax2 , x1, x2  R.
	
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
PROPRIEDADES
Sendo a > 0 e a  1, tem-se que: ax = at  x = t.
Toda função exponencial, isto é, f (x) = ax, com a  R+* e a  1, é bijetora.
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EQUAÇÃO EXPONENCIAL
	É toda equação cuja incógnita se apresenta no expoente de uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1.
	Exemplo: 
			3x = 9  3x = 32  x = 2
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EXEMPLO 1
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RESOLUÇÃO
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EXEMPLO 2
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RESOLUÇÃO
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APLICAÇÃO
	Por meio de uma pesquisa de laboratório, verificou-se que, em certa cultura de bactérias, o seu número variava segundo a lei B(t)=100.2t, na qual t é o tempo em horas. 
(a) Qual o número de bactérias após 5 hora?
(b) Após quantas horas, a partir do inicio, o numero de bactérias chegou a 12.800?
(c) Qual o número de bactérias no inicio da pesquisa?
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RESOLUÇÃO 
Por meio de uma pesquisa de laboratório, verificou-se que, em certa cultura de bactérias, o seu número variava segundo a lei B(t)=100.2t, na qual t é o tempo em horas. 
(a) Qual o número de bactérias após 5 hora?
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
RESOLUÇÃO
	Por meio de uma pesquisa de laboratório, verificou-se que, em certa cultura de bactérias, o seu número variava segundo a lei B(t)=100.2t, na qual t é o tempo em horas. 
(a) Qual o número de bactérias após 5 hora?
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Por meio de uma pesquisa de laboratório, verificou-se que, em certa cultura de bactérias, o seu número variava segundo a lei B(t)=100.2t, na qual t é o tempo em horas. 
(b) Após quantas horas, a partir do inicio, o numero de bactérias chegou a 12.800?
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
	Por meio de uma pesquisa de laboratório, verificou-se que, em certa cultura de bactérias, o seu número variava segundo a lei B(t)=100.2t, na qual t é o tempo em horas. 
(b) Após quantas horas, a partir do inicio, o numero de bactérias chegou a 12.800?
Tema da Apresentação
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
	Por meio de uma pesquisa de laboratório, verificou-se que, em certa cultura de bactérias, o seu número variava segundo a lei B(t)=100.2t, na qual t é o tempo em horas. 
(c) Qual o número de bactérias no inicio da pesquisa?
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INEQUAÇÃO EXPONENCIAL
Admitindo a,b e c números reais quaisquer
para a > 1 temos
para 0 < a < 1 temos 
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EXEMPLO 1
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RESOLUÇÃO
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EXEMPLO 2
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RESOLUÇÃO 
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXERCÍCIO 1
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RESOLUÇÃO
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EXERCÍCIO 2
	Um determinado lago sofre com a contaminação de suas águas causada por resíduos industriais. Devido a isso nota-se que a população de peixes está diminuindo.
	A lei que fornece uma estimativa do número de espécies vivas p(t) em função do número de anos (t) é dada por p(t) = 5000 – 100.2t-1.
Estime a quantidade de peixes que viviam no lago antes da instalação das indústrias.
Algum tempo após as indústrias começarem a operar, verificou-se que no lago havia menos de 4200 peixes. Analise para que valores de t vale essa condição?
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RESOLUÇÃO
	a) 	Estime a quantidade
de peixes que viviam no lago antes da 	instalação das indústrias.
		Considerando p(t) = 5000 – 100.2t-1 
		Para t = 0 teremos p(0) = 5000 – 100.20-1.
 p(0) = 5000 – 100.2-1 → p(0) = 5000 – 100.(-1/2) = 5000 – 50 = 4950.
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RESOLUÇÃO
b)	Algum tempo após as indústrias começarem a operar, verificou-se que no lago havia menos de 4200 peixes. Analise para que valores de t vale essa condição?
	Considere p(t) = 5000 – 100.2t-1. Observe que nesse caso 
	p(t) < 4200. Temos então:
	5000 – 100.2t-1 < 4200 
	5000 – 4200 < 100.2t-1
	800 < 100.2t-1
	8 < 2t-1
	23 < 2t-1 → 3 < t -1. Logo t > 4. 
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RESUMINDO
Definição
Representação gráfica
Propriedades
Equações exponenciais
Inequações exponenciais
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