Aula 08

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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
AULA 8 – LIMITES E CONTINUIDADE
LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
 Conteúdo Programático
Noção intuitiva de limite
Definição
Unicidade do limite
4. Propriedades básicas
5. Limite de uma função
6. Limites laterais
7. Função contínua
LIMITES E CONTINUIDADE – AULA 8
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
IDEIA INTUITIVA DE LIMITE
Consideremos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1 .
Vamos colorir de azul metade dessa figura.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
IDEIA INTUITIVA DE LIMITE
Vamos colorir de amarelo metade do que restou de branco.
Vamos colorir de vermelho metade do que restou de branco.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
IDEIA INTUITIVA DE LIMITE
	Continuando esse processo podemos notar que a região colorida vai preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto é, a área vai se aproximando de 1. 
	Dizemos então que o limite dessa soma é igual a 1.
	Quando dizemos que a área da região colorida tende a 1, significa que ela se aproxima de 1, sem no entanto assumir esse valor.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Vamos observar o gráfico da função f(x) = x + 2 definida nos reais.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
	Note que à medida que os valores de x se aproximam de 3 (pela esquerda e pela direita), a função f(x) se aproxima de 5. 
	Podemos escrever: 
	Lê-se: o limite de f(x) quando x tende a 3 é igual a 5.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
DEFINIÇÃO DE LIMITE
	Seja f(x) uma função e a é um número real. Podemos escrever
	
	e dizemos que o limite da função f(x), quando x se aproxima de um determinado número “a”, é o número real L, se, e somente se, os números reais da imagem da função permanecem próximos de L, para os infinitos valores de x próximos de “a”.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
UNICIDADE DO LIMITE
TEOREMA
	Se e 
	
	então L1 = L2 . 
	Ou seja, uma função não pode se aproximar de dois números diferentes quando x se aproxima de a.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO
	Determine o limite da f(x) quando x se aproxima de 1.
	
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
PROPRIEDADES BÁSICAS
Suponha: , e c uma constante. 
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
PROPRIEDADES BÁSICAS
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Limites Laterais
Considerando o exemplo dado no início da aula: f(x) = x + 2 
O limite da f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é igual a 5, e indicamos por: 
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Limites Laterais
O limite da f(x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5, e indicamos por: 
Os limites à esquerda e à direita são chamados de limites laterais. 
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
DEFINIÇÃO DE LIMITES LATERAIS
Limite lateral à direita 
	Seja f(x) uma função definida num intervalo aberto (a,c). Então, o limite de f(x) em a pela direita é o número L, e escrevemos: 
 
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LIMITES LATERAIS
Limite lateral à esquerda 
	Seja f(x) uma função definida num intervalo aberto (a,c). Então, o limite de f(x) em a pela esquerda é o número L, e escrevemos: 
 
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
LIMITES LATERAIS
TEOREMA
	O limite existe e é igual ao número L se, e 
	somente se, os limites laterais de f(x) em a existirem e forem iguais a L. Isto é: 
 
 = 
 
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO
	Calcule, caso exista, o limite da função dada no número p dado.
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EXEMPLO
	Calcule, caso exista, o limite da função dada no número p dado.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
CONTINUIDADE
Dizemos que a função f é contínua em um número a se e somente se as seguintes condições forem válidas:
Existe
Existe f(a)
f(a) = 
	Função contínua em um ponto: o ponto deve pertencer ao domínio da função 
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EXEMPLO
	A função f(x) = 3x + 2 definida nos reais é contínua, pois o limite da função quando x se aproxima de 1 é igual a 5 e a f(1) = 5.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO
	A função f(x) definida em R não é contínua em 1, pois o limite da função quando x se aproxima de 1 é igual a 3 e a f(1) = 7.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO
	A função f(x) definida em R não é contínua em 1, pois o limite da função não existe.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO
	Não podemos afirmar que a função f(x) definida em R não é contínua em 1, pois x = 1 não pertence ao domínio da função.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Determine se a função é contínua
EXEMPLO
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
	Determine os Limites Laterais e verifique se a função f é contínua
EXEMPLO
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
	A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distância r do centro do planeta é 
 
	onde M é a massa da Terra, R é seu raio e G é a constante gravitacional. G é uma função contínua de r? Justifique sua resposta.
EXEMPLO
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
RESOLUÇÃO
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
RESUMINDO
Definição
Teorema da Unicidade do limite
Propriedades básicas
Limite de uma função
Limites laterais
Função contínua
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6