Limites calculo

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Limites e Continuidade Sucessões
Sucessões
Definição
Usamos atrás o conceito de sucessão e alguns factos relacionados, que
veremos agora com um pouco mais de detalhe.
Uma sucessão de números reais é uma função s : N ∩ [k,+∞[ → R. É
habitual designar a imagem de n por sn (dito o termo de ordem n) e
representar a sucessão na forma (sn)n≥k ou mesmo (sn)n ou
sk , sk+1, sk+2, . . . (quando é clara a intenção subjacente . . . ).
Exemplos:
◮ ((−1)n)n≥1
◮ (n3)n
◮ (cos n)n
◮ 1, 12 ,
1
3 ,
1
4 , . . . (é clara a intenção de sugerir a sucessão (
1
n
)n≥1)
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Limites e Continuidade Sucessões
Sucessões
Limite - definição
Seja (sn)n uma sucessão e seja L ∈ R. Diremos que L é o limite da
sucessão (sn)n, e escreveremos limn→+∞ sn = L (ou sn → L) se, para n
suficientemente grande, sn estiver tão próximo de L quanto for requerido.
Mais precisamente, diremos que limn→+∞ sn = L se
∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀n ∈ N (n > p ⇒ |sn − L| < ε︸ ︷︷ ︸
sn ∈ ]L−ε,L+ε[
)
.
(
(
((
L
LL-ε L-ε
L+ε
L+ε
|
|
1
1
p n > p ...2
2 35p
...
gráfico da sucessão
termos da sucessão
s s s ss
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Sucessões
Limite - exemplos
1. lim
n→+∞
1
n
= 0 pois
ε
1/ε
|
|
1 p2
y=1/x
dado qualquer ε > 0,
basta tomar p > 1
ε
para garantir que :
n > p ⇒ |1
n
− 0| = 1
n
<
1
p
< ε.
2. lim
n→+∞
1√
n
= 0 pois
∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀n ∈ N (n > p ⇒ | 1√
n
| < ε).
De facto, para um dado ε > 0, basta tomar p ∈ N maior que 1
ε2
. Então
n > p implica
| 1√
n
| = 1√
n
<
1√
p
< ε.
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Limites e Continuidade Sucessões
Sucessões
Unicidade do limite
O limite de uma sucessão, quando existe, é único.
De facto, suponhamos que limn→+∞ sn = L1 e limn→+∞ sn = L2 com
L1,L2 ∈ R distintos. Seja ε = |L2−L1|2 (> 0). Como limn→+∞ sn = L1,
existe p1 ∈ N tal que
n > p1 ⇒ |sn − L1| < ε.
Por outro lado, como limn→+∞ sn = L2, também existe p2 ∈ N tal que
n > p2 ⇒ |sn − L2| < ε.
( (( (
LL-ε L+ε
2ε
| |
1 L21 2
Mas então, para qualquer n > max{p1, p2},
tem-se |sn − L1| < ε e |sn − L2| < ε, o que
é absurdo pois os intervalos ]L1 − ε,L1 + ε[ e
]L2 − ε,L2 + ε[ são disjuntos.
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Limites e Continuidade Sucessões
Sucessões
Existência de limite
É fácil verificar que nem toda a sucessão tem limite, por exemplo (n2)n ou
((−1)n)n. Uma sucessão com limite diz-se convergente, caso contrário
diz-se divergente.
E como é que sabemos se uma sucessão é ou não convergente? Nem
sempre é fácil responder, mas há um caso em que podemos garantir a
convergência: quando a sucessão é monótona e limitada.
Dizemos que (sn)n é:
◮ crescente se m < n⇒ sm ≤ sn para todos m, n ∈ N;
◮ decrescente se m < n⇒ sm ≥ sn para todos m, n ∈ N;
◮ monótona se for crescente ou decrescente;
◮ limitada se {sn | n ∈ N} for um subconjunto limitado de R.
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Limites e Continuidade Sucessões
Sucessões
Sucessões monótonas e limitadas
Toda a sucessão monótona e limitada é convergente.
Demonstração: Suponhamos que (sn)n é uma sucessão crescente e
limitada (o caso decrescente é análogo). Como (sn)n é limitada, existe
L = sup{sn | n ∈ N}. Vejamos que limn→+∞ sn = L.
Seja ε > 0. Como L é o supremo de {sn | n ∈ N}, existe algum sp no
intervalo ]L− ε,L] (caso contrário, existiria um majorante de {sn | n ∈ N}
menor que L...). Mas então, se n > p, e porque (sn)n é crescente, resulta
que sn ≥ sp. Como sn ≤ L = sup{sn | n ∈ N}, concluimos que
sn ∈ ]L− ε,L] e logo |sn − L| < ε. Logo
∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀n ∈ N (n > p ⇒ |sn − L| < ε)
e portanto limn→+∞ sn = L.
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Limites e Continuidade Sucessões
Sucessões
Sucessões monótonas e limitadas
Notas:
◮ Basta que a sucessão seja monótona e limitada a partir de um
determinado termo sp, pois é fácil ver que
limn→+∞ sn = limn→+∞ sn+p.
◮ Toda a sucessão convergente é necessariamente limitada, pois
∀ε > 0 ∃p ∈ N (n > p ⇒ |sn − L| < ε)
implica que só um número finito de termos (s1, . . . , sp) podem estar
fora do intervalo ]L− ε,L + ε[. Mas não tem que ser monótona! Por
exemplo, limn→+∞
(−1)n
n
= 0.
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Limites e Continuidade Sucessões
Sucessões
Subsucessões
Uma subsucessão da sucessão (sn)n é uma sucessão que se obtém a partir
de s1, s2, s3, . . . eliminando alguns termos desta sucessão e mantendo os
restantes, na mesma ordem. Por exemplo, s2, s4, s6, . . . = (s2n)n é uma
subsucessão de (sn)n.
Genericamente, representamos uma subsucessão de (sn)n na forma (sin)n,
onde i1 < i2 < i3 < . . . são números naturais.
Exemplos: ( 12n )n≥1, (
1
n3
)n≥1 e (
1
n! )n≥1 são subsucessões de (
1
n
)n≥1;
(1, 14 ,
1
2 , . . .) ou (1,
1
2 ,
1
3 ,
1
3 . . .) nunca poderão ser subsucessões de (
1
n
)n≥1;
para qualquer sucessão (sn)n∈N, pode-se considerar a subsucessão dos
termos de índice par, (s2n)n∈N, a subsucessão dos termos de índice ímpar,
(s2n+1)n∈N, a subsucessão dos termos cujos índices são múltiplos de 3,
(s3n)n∈N, ...
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Limites e Continuidade Sucessões
Sucessões
Limites de subsucessões
É claro que a existência de limite de uma subsucessão (sin)n não implica a
existência de limite de (sn)n∈N; e podem até existir subsucessões de uma
mesma sucessão com diferentes limites.
Por exemplo,
- a sucessão (sn)n∈N = ((−1)n)n∈N = (1,−1, 1,−1, . . .) não é
convergente, mas a subsucessão (s2n)n∈N tem limite 1 (é constante = 1) e
a subsucessão (s2n+1)n∈N tem limite −1 (é constante = −1);
- para qualquer n ∈ N, a sucessão (0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, . . .) tem
uma subsucessão convergente para n.
Por outro lado, é fácil ver que se (s2n)n∈N → l e (s2n+1)n∈N → l , então
também (sn)n∈N → l .
Isto verifica-se facilmente a partir da definição de limite e resulta do facto
de todos os termos da sucessão serem da forma s2n ou s2n+1, para algum
n ∈ N.
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Limites e Continuidade Sucessões
Sucessões
Limites de subsucessões
Além disso:
Se limn→+∞ sn = L, então limn→+∞ sin = L para toda a subsucessão (sin)n
de (sn)n.
De facto, se
∀ε > 0 ∃p ∈ N (n > p ⇒ |sn − L| < ε),
então também é válido
∀ε > 0 ∃p ∈ N (n > p ⇒ |sin − L| < ε),
pois i1 < i2 < i3 < . . . implica que in ≥ n para todo n, e logo n > p
implicará sempre in > p.
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Limite de uma função num ponto
Noção intuitiva
Recordamos agora a noção de limite de uma função real de variável real
num ponto.
Intuitivamente, o limite de uma função f num ponto x0 ∈ R, quando
existe, é o valor para o qual evoluem os valores de f (x) quando x se
aproxima de x0, ou seja, o valor que esperaríamos para f (x0) tendo em
conta apenas os valores que f toma próximo de x0.
Claro que nem sempre é possível fazer tais previsões, por isso nem sempre
existirá limite...
Além disso, para que esta noção tenha sequer sentido, o domínio de f terá
de conter pontos arbitrariamente próximos de x0.
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Limite de uma função num ponto
Ponto de acumulação
De forma já mais precisa, diremos que limx→x0 f (x) = L ∈ R se f (x)
estiver tão próximo de L quanto for requerido, desde que x esteja
suficientemente próximo de x0.
Para muitos fins, esta descrição não é ainda suficientemente rigorosa.
Matemáticos como Bolzano, Cauchy e Weierstrass, no século XIX,
contribuírampara a seguinte formulação:
Suponhamos que x0 é um ponto de acumulação do domínio de f (Df ),
isto é, para qualquer distância arbitrária δ, existem pontos diferentes de x0
em Df que distam de x0 menos do que δ:
∀δ > 0, ∃x ∈ Df : 0 < |x − x0| < δ.
(Note-se que não é exigido que x0 ∈ Df .)
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Limite de uma função
Definição
Escrevemos lim
x→x0
f (x) = L ∈ R se
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df (0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x)− L| < ε).
((
(
(
x +δ
L
x -δ
L-ε
L+ε
|
|
x00 0
(Note-se que, mesmo no caso em que f está definida em x0, o valor do
limite não depende de f (x0)).
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Limite de uma função
Limites laterais
Se considerarmos apenas vizinhanças à esquerda (respectivamente à
direita) de x0, obtemos o limite lateral à esquerda (respectivamente à
direita) de f em x0.
Mais precisamente, suponhamos que x é um ponto de acumulação à
esquerda de Df , isto é, para qualquer δ > 0 existe x ∈ Df ∩]x0 − δ, x0[.
Diz-se que lim
x→x−
0
f (x) = L sse
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R (x0 − δ < x < x0 ⇒ |f (x)− L| < ε).
Analogamente se define o limite lateral à direita lim
x→x+
0
f (x) = L.
A relação com o limite bilteral é dada por
lim
x→x0
f (x) = L ⇐⇒ lim
x→x−
0
f (x) = lim
x→x+
0
f (x) = L.
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Limite de uma função
Unicidade e exemplos
De forma análoga ao caso dos limites de sucessões, o limite de uma função
num ponto, caso exista, é único. O mesmo vale para os limites laterais.
Exemplos:
Seja f (x) = 3
√
x . É claro que 0 é um ponto de acumulação de Df = R.
Vejamos que limx→0 f (x) = 0. Seja ε > 0. Temos |f (x)− 0| = | 3
√
x |, logo,
tomando δ = ε3, resulta que
|x − 0| < δ ⇒ |f (x) − 0| < ε.
Analogamente se mostra que limx→0+
√
x = 0.
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Limite de uma função
Aritmética de limites
Os limites comutam com as operações aritméticas elementares, quando
estas estão definidas em R:
Se lim
x→x0
f (x) = K e lim
x→x0
g(x) = L, então verifica-se que:
◮ lim
x→x0
(f (x) + g(x)) = K + L
◮ lim
x→x0
(f (x)− g(x)) = K − L
◮ lim
x→x0
f (x)g(x) = KL
◮ lim
x→x0
f (x)
g(x)
=
K
L
(se g(x),L 6= 0)
◮ lim
x→x0
f (x)g(x) = KL (se f (x),K > 0)
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Limite de uma função
Aritmética de limites
Por exemplo, vejamos que limx→x0(f (x) + g(x)) = K + L. Seja ε > 0.
Como limx→x0 f (x) = K , existe δ1 > 0 tal que
0 6= |x − x0| < δ1 ⇒ |f (x)− K | < ε2 .
Por outro lado, como limx→x0 g(x) = L, também existe δ2 > 0 tal que
0 6= |x − x0| < δ2 ⇒ |g(x)− L| < ε2 .
Seja δ = min{δ1, δ2}. Então 0 6= |x − x0| < δ implica simultaneamente
|f (x)− K | < ε2 e |g(x) − L| < ε2 . Logo
|f (x) + g(x)− (K + L)| = |(f (x)− K ) + (g(x)− L)|
≤ |f (x)− K |+ |g(x)− L| < ε2 + ε2 = ε,
portanto limx→x0(f (x) + g(x)) = K + L.
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Caracterização de Heine de limite
Teorema de Heine
São já conhecidas do ensino secundário várias técnicas que ajudam a
determinar o limite de uma função. E se não houver limite? Como
poderemos chegar a uma tal conclusão?
A caracterização de Heine de limite de uma função, usando limites de
sucessões, é um auxiliar precioso nessa tarefa:
Teorema de Heine
As condições seguintes são equivalentes para uma função f : D → R e um
ponto de acumulação a do domínio de f :
◮ lim
x→a
f (x) = L.
◮ Para toda a sucessão (xn)n em D \ {a},
lim
n→+∞
xn = a ⇒ lim
n→+∞
f (xn) = L.
Isto é, f transforma sucessões convergentes para a (tomando valores
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Caracterização de Heine de limite
Teorema de Heine
Demonstração: Suponhamos que limx→a f (x) = L. Seja (xn)n uma
sucessão em D \ {a}, convergente para a.
Seja ε > 0. Como limx→a f (x) = L, existe δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)− L| < ε.
Por outro lado, como limn→+∞ xn = a, existe p ∈ N tal que
n > p ⇒ |xn − a| < δ.
Logo n > p implica |f (xn)− L| < ε e portanto limn→+∞ f (xn) = L.
Suponhamos agora que limx→a f (x) 6= L. Então existe algum ε > 0 tal que
∀δ > 0 ∃x ∈ D (0 < |x − a| < δ ∧ |f (x)− L| ≥ ε).
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Caracterização de Heine de limite
Teorema de Heine
Em particular,
∀n ∈ N ∃xn ∈ D (0 < |xn − a| < 1
n
∧ |f (xn)− L| ≥ ε).
É imediato que limn→+∞ xn = a mas limn→+∞ f (xn) 6= L, o que completa
a demonstração do teorema.
Nota: O Teorema de Heine admite versões análogas para limites laterais.
É válido também para limites de sucessões, considerando-se n→ +∞ em
vez de x → a..
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Caracterização de Heine de limite
Aplicações
As aplicações mais importantes do Teorema de Heine são as seguintes:
◮ Para mostrar que limx→a f (x) 6= L, basta encontrar uma sucessão
(xn)n em D \ {a} que tenda para a e tal que (f (xn))n não tenda para
L.
◮ Para mostrar que não existe limx→a f (x), basta encontrar:
uma sucessão (xn)n em D \ {a} que tenda para a e tal que (f (xn))n
não tenha limite,
ou
duas sucessões (xn)n e (yn)n em D \ {a} que tendam para a e tais que
limn→+∞ f (xn) 6= limn→+∞ f (yn).
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Caracterização de Heine de limite
Aplicações
Exemplo:
1. Não existe limx→0 sen
1
x
1
-1
f(x)=sen(1/x)
pois as sucessões (xn)n = ( 1pi
2
+2npi )n e (yn)n = (
1
−pi
2
+2npi )n tendem ambas
para 0, mas enquanto (sen 1
xn
)n é a sucessão constante (1)n, (sen 1yn )n é a
sucessão constante (−1)n.
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teorema do enquadramento de limites
O seguinte resultado, a que iremos recorrer com frequência, permite
determinar limites de uma função comparando-a com outras das quais
conhecemos previamente os limites.
Este teorema é conhecido nalguns países como o “teorema dos dois
polícias”: se dois polícias segurarem um prisioneiro de cada lado, e se
dirigirem ambos para a mesma cela, o prisioneiro entrará também na cela
inevitavelmente.
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teorema do enquadramento de limites
Teorema do enquadramento de limites
Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) numa vizinhança de x0 e
limx→x0 f (x) = limx→x0 h(x) = L, então também limx→x0 g(x) = L.
De facto, dado ε > 0, existem δ1, δ2 > 0 tais que
0 < |x − x0| < δ1 ⇒ |f (x) − L| < ε⇔ f (x) ∈ ]L− ε,L + ε[,
0 < |x − x0| < δ2 ⇒ |h(x) − L| < ε⇔ h(x) ∈ ]L− ε,L + ε[.
Logo, se 0 < |x − x0| < min{δ1, δ2}, obtemos também
g(x) ∈ ]L− ε,L + ε[.
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teorema do enquadramento de limites
Exemplo
Podemos usar o Teorema do enquadramento de limites para mostrar
facilmente que o limite quando x tende para 0 dafunção
y=
x
y
=
-xf (x) =
{
x sen 1
x
, se x 6= 0
0 se x = 0
é igual a 0.
Como, para
todo o x 6= 0, −1 ≤ sen 1
x
≤ 1, então
−|x | ≤ x sen 1
x
≤ |x |
e, sendo limx→0−|x | = limx→0 |x | = 0, resulta o pretendido deste teorema.
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teorema do enquadramento de limites
Outro exemplo: um famoso limite
O limite da função f (x) = sen x
x
quando x tende para 0 também não pode
ser calculado usando a aritmética de limites, uma vez que limx→0 sen x = 0
e limx→0 x = 0. É um exemplo do que se chama uma indeterminação.
Vamos usar o Teorema do enquadramento de limites para mostrar que
lim
x→0
sen x
x
= 1.
De facto, se x > 0 for suficientemente pequeno, podemos concluir do
significado geométrico de seno e tangente, ilustrado na figura, que
1
1
x
tg x
sen x
A
BO
C
1
2
sen x <
1
2
x <
1
2
tg x ,
correspondendo a área(△OAB) <
área do sector circular(OAB) < área(△OCB).
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teorema do enquadramento de limites
Um famoso limite
Logo 1 < xsen x <
1
cos x .
Como limx→0
1
cos x =
1
limx→0 cos h
= 1, resulta do enquadramento de limites
que limx→0
x
sen x = 1 e logo também limh→0
sen x
x
= 1 pela aritmética de
limites.
O caso de x < 0 é análogo, substituindo x por −x .
Mais tarde voltaremos ao conceito de limite, com as definições de limites
no infinito e de limites infinitos, após desenvolvermos ferramentas que
darão um precioso auxílio na determinação destes limites e, em particular,
na resolução de indeterminações.
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Funções contínuas
Definição
Seja f uma função real de variável real e x0 um ponto de Df que é
simultâneamente um ponto de acumulação do domínio.
Diz-se que f é contínua em x0 sse
lim
x→x0
f (x) = f (x0).
Convenciona-se que f é contínua em todos os pontos isolados do domínio,
isto é, em pontos que não são pontos de acumulação. Diz-se ainda que f
é contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio.
Intuitivamente, uma função contínua é uma função previsível em que o
valor num ponto pode ser adivinhado a partir dos valores tomados numa
sua vizinhança.
Graficamente, para funções cujo domínio
é um intervalo, isto corresponde à ideia
de um gráfico que pudesse ser traçado “sem
levantar a esferográfica do papel”.
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Funções contínuas
Imensos exemplos
Para lidar com funções cujo domínio é um intervalo fechado à esquerda ou
à direita, também podemos definir continuidade à esquerda
(limx→x−
0
f (x) = f (x0)) e à direita (limx→x+
0
f (x) = f (x0)).
Todas as funções elementares com que lidamos habitualmente (constantes,
potências, trigonométricas, exponenciais, logarítmicas) são
afortunadamente funções contínuas. Além disso:
◮ A soma, diferença, produto e quociente de funções contínuas são
funções contínuas.
◮ A composição de funções contínuas é uma função contínua.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 29
Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teoremas de continuidade
Permanência do sinal
Princípio da Permanência do Sinal
◮ Se limx→c f (x) = L > 0, então existe δ > 0 tal que f é uma função
positiva em ]c − δ, c + δ[\{c}.
◮ Se limx→c f (x) = L < 0, então existe δ > 0 tal que f é uma função
negativa em ]c − δ, c + δ[\{c}.
Demonstração: Seja ε = |L|2 . Como limx→c f (x) = L, existe δ > 0 tal que
0 6= |x − c| < δ ⇒ |f (x)− L| < ε = |L|
2
.
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Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teoremas de continuidade
Permanência do sinal
L
c+δc-δ
L-ε
L+ε
c
Logo f (x) e L têm o mesmo
sinal para x ∈ ]c − δ, c + δ[\{c}.
Corolário
◮ Se f é contínua em c e f (c) > 0, então existe δ > 0 tal que f é uma
função positiva em ]c − δ, c + δ[.
◮ Se f é contínua em c e f (c) < 0, então existe δ < 0 tal que f é uma
função negativa em ]c − δ, c + δ[.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 31
Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teoremas de continuidade
Teorema dos Valores Intermédios
Podemos agora provar um dos mais importantes teoremas sobre funções
contínuas definidas em intervalos, devido a Bolzano:
Teorema dos Valores Intermédios
Seja f : [a, b] → R contínua e seja u um valor intermédio entre f (a) e
f (b). Então u ∈ Im f .
a bf(a)
f(b)
u
c
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 32
Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teoremas de continuidade
Teorema dos Valores Intermédios
Demonstração: Assumimos f (a) < f (b), pois o caso f (b) < f (a) é
análogo. Seja
S = {x ∈ [a, b] | f (x) ≤ u}.
Então S 6= ∅ pois a ∈ S. Seja c = supS.
Suponhamos que f (c) < u. Como c < b, o Princípio da Permanência do
Sinal aplicado à função g(x) = f (x)− u garante que f (d) < u para algum
d ∈]c, b[, contradizendo c = supS. Logo f (c) ≥ u.
Suponhamos agora que f (c) > u. O Princípio da Permanência do Sinal
aplicado à função g(x) = f (x)− u garante que existe δ > 0 tal que
f (x) > u para todo x ∈]c − δ, c + δ[, contradizendo c = supS. Logo
f (c) = u.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 33
Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teoremas de continuidade
Teorema dos Valores Intermédios
O Teorema dos Valores Intermédios pode ainda ser formulado da seguinte
forma:
Corolário
Se I ⊆ R é um intervalo e f : I → R é contínua, então Im f é um intervalo.
Demonstração: Sejam y , z ∈ Im f e seja u um valor intermédio entre y e
z . Escrevendo y = f (a) e z = f (b), podemos assumir que a < b em I.
Como a restrição f |[a,b] de f a [a, b] é contínua, resulta do Teorema dos
Valores Intermédios que u ∈ Im f |[a,b] ⊆ Im f . Logo Im f é um intervalo.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 34
Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teoremas de continuidade
Teorema de Bolzano
Um caso particular do Teorema dos Valores Intermédios é o
Teorema de Bolzano
Se f : [a, b] → R é contínua e f (a)f (b) < 0, então f tem um zero em
]a, b[.
De facto, se f (a)f (b) < 0, então f (a) e f (b) têm sinais contrários e logo 0
é um valor intermédio entre f (a) e f (b).
Exemplo: Não sabemos resolver exactamente a equação cos x = ln x , mas
a função f (x) = cos x − ln x é contínua em ]0,+∞[ e f (pi4 )f (pi2 ) < 0. Logo
cos x = ln x para algum x ∈]pi4 , pi2 [.
Calculando sucessivamente o valor da função nos pontos médios dos
intervalos assim obtidos, podemos reduzir a amplitude do intervalo que
contém a solução, obtendo assim uma aproximação da dita.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 35
Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teoremas de continuidade
Compactos
Para simplificar, o próximo teorema de continuidade será enunciado para
funções definidas num intervalo do tipo [a, b] mas é também válido para
domínios mais gerais, não necessariamente intervalos, que satisfazem a
propriedade a seguir descrita.
Diremos que S ⊆ R é compacto se toda a sucessão em S admitir uma
subsucessão convergente para algum elemento de S.
Teorema
Todo o intervalo da forma [a, b] é compacto.
Demonstração (esboço): Seja (x [n])n uma sucessão em [a, b], com
x [n] = x
[n]
0 , x
[n]
1 x
[n]
2 x
[n]
3 . . .
Cálculo InfinitesimalI (M111) - 2015/2016 2. 36
Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teoremas de continuidade
A árvore infinita
Podemos usar a árvore infinita seguinte para representar as expressões
deste tipo dos diversos elementos de [a, b], onde [x ] representa a
característica, ou seja, a parte inteira, de um número real x :
•
xx
xx
xx
xx
xx
D
D
D
D
D
D
PPP
PPP
PPP
PPP
PPP
P
[a]
ss
ss
ss
ss
ss
ss
ss
s
��
��
��
��
�
�
�
�
CC
CC
CC
CC
CC
[a + 1] [b]
��
��
��
��
�
�
�
�
;;
;;
;;
;;
x
[n]
0
0
��
��
��
��
�
�
�
�
�
88
88
88
88
8 1 9 0
}}
}}
}}
}}
}}
}
�
�
�
�
;;
;;
;;
;;
; 9
�
�
�
� x
[n]
1
0
�
�
� 9
�
�
� 0
�
�
� 9
�
�
� x
[n]
2
. . .Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 37
Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teoremas de continuidade
A árvore infinita
É fácil ver por indução que esta árvore possui um ramo x = x0, x1x2x3 . . .
em que, para todo k, há uma infinidade de termos x [n] que começam por
x0, x1x2 . . . xk .
Escolhemos uma subsucessão (x [in])n de modo a que cada x [in] comece por
x0, x1x2 . . . xn. É fácil verificar que
◮ lim
n→+∞
x [in] = x ;
◮ x ∈ [a, b].
Nota: Esta representação dos reais na árvore infinita permite uma nova
perspectiva do supremo e do ínfimo: se desenharmos na árvore todos os
elementos de S simultaneamente, o supremo de S (quando S for
majorado) é dado pelo ramo infinito mais à direita, e o ínfimo (quando S
for minorado) pelo ramo infinito mais à esquerda.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 38
Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teoremas de continuidade
Máximos e mínimos
Se f (m) = min(Im f ), dizemos que f (m) é o mínimo da função f , e m um
ponto de mínimo de f . Se f (M) = max(Im f ), dizemos que f (M) é o
máximo de f , e M um ponto de máximo de f .
Teorema de Weierstrass
Se f : [a, b] → R for contínua, então tem um máximo e um mínimo.
a bMm
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 39
Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teoremas de continuidade
Máximos e mínimos
Demonstração: Pelo Corolário do Teorema dos Valores Intermédios, Im f
é um intervalo. Para mostrar que tem máximo e mínimo, basta mostrar
que Im f é um intervalo fechado e limitado.
Por um teorema anterior, os intervalos fechados e limitados são
compactos, e é fácil ver que estes são os únicos intervalos compactos.
Logo basta mostrar que Im f é compacto.
Seja (yn)n uma sucessão em Im f . Para cada n ∈ N, seja xn ∈ [a, b] tal
que yn = f (xn). Como [a, b] é compacto, existe uma subsucessão (xin)n tal
que limn→+∞ xin = c ∈ [a, b]. Vejamos que limn→+∞ f (xin) = f (c) ∈ Im f .
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 40
Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teoremas de continuidade
Máximos e mínimos
Seja ε > 0. Por continuidade de f , existe δ > 0 tal que
|x − c| < δ ⇒ |f (x) − f (c)| < ε.
Por outro lado, como limn→+∞ xin = c, existe p ∈ N tal que
n > p ⇒ |xin − c| < δ.
Logo
n > p ⇒ |f (xin)− f (c)| < ε
e portanto limn→+∞ yin = limn→+∞ f (xin) = f (c). Como f (c) ∈ Im f ,
resulta que que Im f é compacto e o teorema está demonstrado.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 41
Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto
Teoremas de continuidade
Máximos e mínimos
A determinação de máximos e mínimos de funções é um problema de
grande relevância em muitas aplicações.
Apesar de a sua existência para funções com domínios compactos ser
garantida apenas pela continuidade da função, as técnicas mais eficazes
para a sua determinação dependem da existência de derivada.
Iremos desenvolver o conceito de derivada no próximo capítulo e
voltaremos ao problema da determinação de máximos e mínimos mais
tarde.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 42
Limites e Continuidade Exercícios
Exercícios
Sucessões
10 Verifique se cada uma das seguintes sucessões é monótona, limitada e / ou
convergente.
a)
(
2n−3
5n+1
)
n∈N
b)
(
(−1)n
5n+1
)
n∈N
c)
((
11
7
)n)
n∈N
.
11 Indique os limites das seguintes sucessões e comprove o resultado a partir da
definição de limite:
a) (e−n)n; b)
(
n2
1+n2
)
n
; c)
(
ln( n
1+n
)
)
n
.
12 Dê exemplo de uma subsucessão monótona de cada uma das seguintes sucessões:
a)
(
(−1)n
5n+1
)
n∈N
b)
(
sen( npi
4
)
)
n∈N
c)
(
n + (−1)
n
n
)
n∈N
.
13 Seja (an)n∈N a sucessão definida por an = n
∣∣∣sen (n π
2
)∣∣∣, ∀n ∈ N. Diga,
justificando, se cada uma das afirmações seguintes é verdadeira ou falsa:
a) {an : n ∈ N} tem supremo.
b) {an : n ∈ N} tem mínimo.
c) (an)n∈N é limitada.
d) (an)n∈N é monótona.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 43
Limites e Continuidade Exercícios
Exercícios
Sucessões
e) (an)n∈N é convergente.
f) (an)n∈N admite uma subsucessão constante.
g) Toda a subsucessão monótona de (an)n∈N é convergente.
h) Toda a subsucessão limitada de (an)n∈N é convergente.
14 Diga, justificando, se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira para
qualquer sucessão (an)n com limite real L, ou se pode ser falsa.
a) (∀n ∈ N, an ≥ 0) ⇒ L ≥ 0.
b) (∀n ∈ N, an > 0) ⇒ L > 0.
c) L > 0⇒ (∀n ∈ N, an > 0).
d) Se L > 0 então todos os termos da sucessão a partir de certa ordem são
positivos.
e) Se todos os termos da sucessão são racionais, então L é racional.
f) Se L é racional então todos os termos da sucessão a partir de certa ordem são
racionais.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 44
Limites e Continuidade Exercícios
Exercícios
Sucessões
15 (⋆) Seja (an)n a sucessão de números reais definida recursivamente por a1 = 1 e
an+1 = 1 +
an
2
(n ≥ 1).
a) Calcule os cinco primeiros termos da sucessão.
b) Prove por indução que (an)n é monótona e limitada.
c) Usando a igualdade limn→+∞ an+1 = 1+
limn→+∞ an
2
, calcule o limite da sucessão.
16 (⋆) Diga, justificando, se cada uma das afirmações seguintes é verdadeira ou falsa:
a) Seja (sn)n uma sucessão convergente com limite L e seja tn = max{sn, L}.
Então, tem-se limn→+∞ tn = L.
b) Dadas sucessões (sn)n e (tn)n, seja (un)n a sucessão definida por u2n = sn e
u2n+1 = tn. Então, (un)n converge se e só se (sn)n e (tn)n convergem.
17 (⋆) Seja (sn)n uma sucessão limitada. Para cada m ∈ N sejam
tm = inf{sn : n ≥ m} e um = sup{sn : n ≥ m}. Mostre que:
a) as sucessões (tm)m e (um)m convergem;
b) se L é limite de alguma subsucessão de (sn)n, então tem-se
limm→+∞ tm ≤ L ≤ limm→+∞ um.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 45
Limites e Continuidade Exercícios
Exercícios
Limite de uma função num ponto
18 Determine o conjunto dos pontos de acumulação [à esquerda / à direita] de cada
um dos conjuntos:
a) Z b) [−1, 1[ c) ]2, 5[\{3, 4}
d) R \ Z e) {(−1)n/n : n ∈ N} f) {n/(n + 1) : n ∈ N}
19 a) Seja f : R −→ R a função definida por f (x) = 9x − 5. Encontre δ > 0 tal que
|f (x)− 4| < 1
10
para qualquer x tal que |x − 1| < δ.
b) Seja f : R −→ R a função definida por f (x) = x2 − x . Encontre δ > 0 tal que
|f (x)− f (1)| < 1
5
para qualquer x tal que |x − 1| < δ.
20 Prove, utilizando a definição, que:
a) lim
x→−1
(2x − 7) = −9 b) lim
x→2
(x2 − 1) = 3 c) lim
x→1−
[x ] = 0
d) ∼
(
lim
x→−1
(2x) = 0
)
e) ∼
(
lim
x→1+
[x ] = 0
)
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 46
Limites e Continuidade Exercícios
Exercícios
Limite de uma função num ponto
21 Sejam A ⊂ R, a um ponto de acumulação de A e f e g funções de A em R.
a)Não existindo lim
x→a
f (x) e lim
x→a
g(x), poderão existir lim
x→a
(f (x) + g(x)) ou
lim
x→a
(f (x) · g(x))?
b) Existindo lim
x→a
f (x) e lim
x→a
(f (x) + g(x)), existirá sempre lim
x→a
g(x)?
c) Existindo lim
x→a
f (x) e lim
x→a
(f (x) · g(x)), poderá não existir lim
x→a
g(x)?
d) Mostre que se f (x) ≤ 0, ∀x ∈ X e existir L = lim
x→a
f (x), então L ≤ 0.
e) Mostre que se f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ X , então lim
x→a
f (x) ≤ lim
x→a
g(x) sempre que
estes limites existam.
f) Se f (x) < g(x), ∀x ∈ X , ter-se-á necessariamente lim
x→a
f (x) < lim
x→a
g(x), no caso
de existirem os referidos limites?
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 47
Limites e Continuidade Exercícios
Exercícios
Limite de uma função num ponto
22 Use o Teorema de Heine para mostrar a inexistência dos seguintes limites:
a) lim
x−→+∞
cos2 x b) lim
x−→+∞
x sin x
c) lim
x−→0+
sin(1/x)
x
d) lim
x−→+∞
log(|cos x |+
1
x
).
23 Calcule, usando enquadramento de limites:
a) lim
x−→+∞
cos2 x
2x
b) lim
x−→+∞
x sin x
(x − π)2
c) lim
n−→+∞
n
√
|sin n|+ 1.
24 Sejam f , g : R → R e a ∈ R. Supondo que f e g são contínuas e que f (a) < g(a),
prove que existe δ > 0 tal que ∀x ∈ R, |x − a| < δ ⇒ f (x) < g(x).
25 (∗) a) Mostre que se f : R → R é contínua, então |f | também é contínua.
b) Dê exemplo de f : R → R que não seja contínua em nenhum ponto, mas tal
que |f | seja contínua em todos os pontos.
26 As funções f (x) =
{
1, se x ≥ 1
−1, se x < 1
e g(x) = 1
x
satisfazem
f (−1) · f (1) < 0 e no entanto não têm zeros no intervalo [−1, 1]. Porque é que
este facto não contradiz o Teorema de Bolzano?
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 48
Limites e Continuidade Exercícios
Exercícios
Teoremas de continuidade
27 Para cada uma das seguintes funções f de R em R, determine um inteiro n tal que
f (x) = 0 para algum x entre n e n + 1.
a) f (x) = x3− x + 3; b) f (x) = x5 + 5x4 + 2x + 1; c) f (x) = x5 + x + 1.
28 Mostre que existe algum número real x tal que:
a) sen x = x − 1. b) x179 +
163
1 + x2 + sen2 x
= 119.
29 Com o auxílio do Teorema de Bolzano e de uma calculadora:
a) determine uma solução da equação cos x = ln x com erro inferior a 0, 01;
b) determine uma solução da equação ex = −x com erro inferior a 0, 01.
30 (∗) a) Sejam a,b ∈ R tais que a < b e f : [a, b] −→ [a, b] uma função contínua.
Mostre que existe algum x0 ∈ [a, b] tal que f (x0) = x0. (Nota: diz-se que um tal
x0 é um ponto fixo de f )
b) Dê exemplo duma função contínua g : [0, 1[−→ [0, 1[ que não tenha pontos
fixos.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 49
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	Sucessões
	Limites de funções reais de variável real num ponto
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