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GRAFO RESUMO TEÓRICO G(VE) UNIÃO DE UM CONJUNTO FINITO NÃO VAZIOG(V,E), UNIÃO DE UM CONJUNTO FINITO NÃO-VAZIO DE VÉRTICES “V” AUM CONJUNTO DEARESTAS “E”. ARESTAS: ÃSÃO OS ELEMENTOS DE “E”. VÉRTICES:VÉRTICES: SÃO OS ELEMENTOS DE “V”. AS ARESTAS DE “E” SÃO LIMITADAS POR DOIS É SÃO OS ELEMENTOS DE V . VÉRTICES ADJACENTES DE “V” EM SEUS EXTREMOS, UM VÉRTICE EM CADAEXTREMIDADE. COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 1 GRAFO RESUMO TEÓRICO UMA ARESTA É DITA INCIDENTE A AMBOS OSUMA ARESTA É DITA INCIDENTE A AMBOS OS VÉRTICES DE SEUS EXTREMOS. DUAS OU MAIS ARESTAS SÃO CHAMADAS ADJACENTES SE POSSUEM UM EXTREMO COMUMADJACENTES SE POSSUEM UM EXTREMO COMUM. O LAÇO É FORMADO POR UMA ARESTA COMO ÇO O O O U S CO EXTREMIDADES COMUM. (EXTENSÃO DA DEFINIÇÃO).Ç ) ARESTA PARALELAS SÃO AS QUE POSSUEM O É ÃMESMO PAR DE VÉRTICES EXTREMOS. (EXTENSÃO DADEFINIÇÃO). COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 2 GRAFO RESUMO TEÓRICO O GRAU DE UM VÉRTICE É DADO PELO NÚMERO DE VÉRTICES ADJACENTES. UM GRAFO É REGULAR DE GRAU “R”, QUANDO É ÍTODOS OS SEUS VÉRTICES POSSUÍREM O MESMO GRAU “R”. UM CONJUNTO DE VÉRTICES QUE DEFINE UM CONJUNTO DE ARESTAS ADJACENTES DUAS A DUAS É DENOMINADO CAMINHO DE UM VÉRTICE A Ã ÉOUTRO. DIZ ENTÃO QUE UM VÉRTICE ALCANÇA OU ATINGE O OUTRO. COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 3 GRAFO RESUMO TEÓRICO UM CAMINHO COM “K” VÉRTICES É FORMADO PORUM CAMINHO COM K VÉRTICES É FORMADO POR “K-1” ARESTAS. ESTE VALOR É DENOMINADO COMPRIMENTO DO CAMINHOCOMPRIMENTO DO CAMINHO. SE TODOS OS VÉRTICES DO CAMINHO FOREM ÜÊDISTINTOS A SEQÜÊNCIA RECEBE O NOME DE CAMINHO SIMPLES OU ELEMENTAR. SE AS ARESTA DE UM CAMINHO FOREM DISTINTAS A SEQÜÊNCIADENOMINA-SE TRAJETOSEQÜÊNCIADENOMINA-SE TRAJETO. CICLO É UM CAMINHO DE COMPRIMENTO MAIOR É ÓDO QUE “1” CUJO VÉRTICE ALCANÇA ELE PRÓPRIO. SE O CAMINHO É SIMPLES O CICLO TAMBÉM O É. COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 4 GRAFO RESUMO TEÓRICO ÉUM GRAFO QUE NÃO POSSUI CICLOS SIMPLES É ACÍCLICO. UM GRAFO É CONEXO QUANDO EXISTE CAMINHO ÉENTRE CADA PAR DE VÉRTICES DE “V”, CASO CONTRÁRIO O GRAFO É DESCONEXO. A DISTÂNCIA ENTRE DOIS VÉRTICES DE UM GRAFO É O O CA O OS S OSÉ OMENOR CAMINHO ENTRE OS MESMOS. ÉUM GRAFO É COMPLETO QUANDO EXISTE UMA ARESTAENTRE CADA PAR DE VÉRTICES. COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 5 GRAFO RESUMO TEÓRICO UM GRAFO PODE SER VISUALIZADO ATRAVÉS DE UMA REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA, NA QUAL,UMA REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA, NA QUAL, SEUS VÉRTICES CORRESPONDEM A PONTOS DISTINTOS, EM POSIÇÕES ARBITRÁRIAS E AS SUAS, Ç ARRESTAS SÃO ASSOCIADAS LINHAS ARBITRÁRIAS, CADAUMAUNINDO DOIS VÉRTICES ADJACENTES. REDE OUMALHA:REDE OU MALHA: É G A O CO OÉ UM GRAFO CONEXO. COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 6 GRAFO RESUMO TEÓRICO . . . COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 7 GRAFO RESUMO TEÓRICO EXEMPLOS: REDE ELÉTRICA, OS NÓS SÃO AS SUBESTAÇÕES OU BIFURCAÇÕES E OS RAMOS SÃO AS LINHASOU BIFURCAÇÕES E OS RAMOS SÃO AS LINHAS DE TRANSMISSÃO. REDE DE ESGOTOS OS NÓS SÃO ASREDE DE ESGOTOS, OS NÓS SÃO AS CONECÇÕES E OS RAMOS SÃO AS TUBULAÇÕESTUBULAÇÕES. TRÁFEGO DE VEÍCULOS URBANOS, OS NÓS SÃO ÃAS ESQUINAS E OS RAMOS SÃOAS RUAS. NA CONSTRUÇÃO CIVIL, OS NÓS SÃO AS INTERSEÇÕES DAS VIGAS E OS RAMOS SÃO AS VIGAS. COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 8 GRAFO RESUMO TEÓRICO UM GRAFO É DENOMINADO ROTULADO EMUM GRAFO É DENOMINADO ROTULADO EM VÉRTICES (OU ARESTAS) QUANDO O CADA VÉRTICE (OU ARESTA) ESTIVER RESPECTIVAMENTE É (OU ARESTA) ESTIVER RESPECTIVAMENTE ASSOCIADO UM CONJUNTO DENOMINADO RÓTULO. QUANDO ATRIBUI-SE VALORES AOS VÉRTICES E/OU ÀSARESTAS, TEMOS UM GRAFO VALORADO. PODE SER ATRIBUÍDO O SENTIDO DE PERCURSO AS RESTAS, NESTE CASO O GRAFO É CHAMADO DERESTAS, NESTE CASO O GRAFO É CHAMADO DE DÍGRAFO. Ã ÉAS ARESTAS COM SENTIDO DUPLO NÃO É PRECISO ESPECIFICA-LOS. COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 9 GRAFO RESUMO TEÓRICO A 3 10A C D F 3 5 7 8 64 10 E1 2 7 8 9 O G A O AC A S 8 (O O) CA OS B NO GRAFO ACIMA, EXISTEM 8 (OITO) CAMINHOS SIMPLES ENTRE OS VÉRTICES “A” E “C”. ÃOS CAMINHOS SÃO COMPOSTOS PELAS SEGUINTES ARESTAS: (3), (4-5-6), (4-5-8-9-2), (4-7--8-6), (4-7-9-2), (1-2), (1-9-8-6) E (1-9-7-5-6). COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 10 GRAFO RESUMO TEÓRICO A CF 3 5 64 10 A S É CA C D E F 1 2 5 7 8 64 MATRIZ SIMÉTRICA. FEDCBA E1 2 9 ⎥⎥ ⎤ ⎢⎢ ⎡ 090201 004310 PARA UM DÍGRAFO, A B AB ⎥⎥ ⎥ ⎢⎢ ⎢ 6000123 090201,MATRIZ PODE SER ASSIMÉTRICA. C B ⎥⎥ ⎥ ⎢⎢ ⎢ 807090 570004SUBSTITUINDO 1 (UM), AOS VALORES DIFERENTES DE E D ⎥⎥ ⎥ ⎦⎢⎢ ⎢ ⎣ 085600 807090 ZERO, A MATRIZ É CHAMADA INCIDÊNCIA. F E COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 11 GRAFO APLICAÇÃO – sistema de equações equ. ele. x1 ⇒ a11.x1 + a12.x2 + a13.x3 + a14.x4 = b1 equ. ele. x2 equ ele x ⇒ ⇒ a21.x1 a x + + a22.x2 a x + + a23.x3 a x + + a24.x4 a x = = q 1 11 1 12 2 13 3 14 4 1 b2 bequ. ele. x3 equ. ele. x4 ⇒ ⇒ a31.x1 a41.x1 + + a32.x2 a42.x2 + + a33.x3 a43.x3 + + a34.x4 a44.x4 = = b3 b4 Relação entre elementos ⎨⎧ Relação própria do elemento xi, se i = j.⎩⎨ Obs : A equação i relaciona o elemento próprio x com as relações aij Relação mutua entre os elementos xi e xj, se i ≠ j. Obs.: A equação i relaciona o elemento próprio xi, com as relações mútuas com todos os outros elementos adjacentes, j ≠ i. Na engenharia a maioria dos sistemas analisados é esparso MaisNa engenharia, a maioria dos sistemas analisados é esparso. Mais de 2/3 dos elementos, da matriz dos coeficientes, são nulos e não necessitam ser armazenados. Existem poucas ligações mútuas. COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 12 GRAFO APLICAÇÃO – sistema de equações Relação própria do elementos xip p i Se aii = 0 ⇒ xi S ≠ 0 Elemento da diagonal nulo E i l ã ó i Relação mútua entre elementos xi, xj, (i ≠ j) Se aii ≠ 0 ⇒ aijxi Existe relação própria a Se aij = aji = 0 ⇒ xi xj Elementos mutuamente independentes aji Se aij ≠ 0 e aji = 0 ⇒ xi xj aij Matriz dos coeficientes é assimétrica Se 0 ≠ aij ≠ aji ≠ 0 ⇒ aji aij xi xj Matriz incidência é simétrica aij Se aij = aji ≠ 0 ⇒ xi xj aij Matriz dos coeficientes é simétrica COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 13 i j GRAFO APLICAÇÃO – sistema de equações Ordenação das equações As equações devem ser postas em linhas. na mesma ordem em que os elementos ficaram nas colunas, ou seja, os elementos próprio têm que ficar na diagonal principal. equ. ele. x1 equ. ele. x4 ⇒ ⇒ a11.x1 a41.x1 + + a12.x2 a42.x2 + + a13.x3 a43.x3 + + a14.x4 a44.x4 = = b1 b4⎪⎪⎨ ⎧ equ ele x equ. ele. x3 q 4 ⇒ ⇒ a x a31.x1 41 1 + + a x a32.x2 42 2 + + a x a33.x3 43 3 + + a x a34.x4 44 4 = = b b3 4 ⎪⎪⎩ ⎪⎨Certo equ. ele. x2 ⇒ a21.x1 + a22.x2+ a23.x3 +a24.x4 = b2⎩ equ. ele. x1 l ⇒ a11.x1 + a12.x2 + a13.x3 + a14.x4 = b1 b⎪⎪ ⎧ equ. ele. x3 equ. ele. x4 ⇒ ⇒ a31.x1 a41.x1 + + a32.x2 a42.x2 + + a33.x3 a43.x3 + + a34.x4 a44.x4 = = b3 b4Errado ⎪⎪ ⎪⎪⎨ equ. ele. x2 ⇒ a21.x1 + a22.x2 + a23.x3 + a24.x4 = b2⎪⎩ Para o segundo conjunto, a ordem certa é: eq. ele. x1eq. ele. x2eq. ele. x3eq. ele. x4 COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 14 GRAFO APLICAÇÃO – sistema de equações Sistema - 1 equ. ele. x2 ⇒ a21.x1 + a22.x2 + 0.x3 + 0.x4 = equ. ele. x1 ⇒ a11.x1 + a12.x2 + a13.x3 + a14.x4 = b1 b2equ. ele. x2 equ. ele. x3 equ ele x⇒ ⇒ ⇒ a21.x1 a31.x1 a x + + a22.x2 0.x2 0 x + + 0.x3 a33.x3 0 x + + 0.x4 0.x4 a x = = b2 b3 b Grafo do Sistema - 1 equ. ele. x4 ⇒ a41.x1 + 0.x2 + 0.x3 + a44.x4 = b4 b a22 x2 b2 a33 a13 = a31 x1 x3b1 b3 a44 a33 a11 x4 b4 COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 15 4 4 GRAFO APLICAÇÃO – sistema de equações Triangularização de Gauss aplicado ao elemento x1 2221 14131211 00aa aaaa 2423 # 22 14131211 0 aaa aaaa 2 1 x x 2 1 b b 2 1 x x # 2 1 b b 4441 3331 2221 00 00 aa aa # 444342 34 # 3332 242322 0 0 aaa aaa⇒ 4 3 2 x x = 4 3 2 b b . 4 3 2 x x =. # 4 # 3 2 b b 4441 00 aa Grafo do Sistema - 1 4443424x 4b 4x 4b bxb Sem os elementos próprios a13 b2 a23 = a32 a2 x2 a22 x2 b2 a13 a13⇒ # - Modificado b1 b3 a = a 24 = a 42 x1 x3 a33 a13 = a31 x1 x3b1 b3 # Modificado Sublinhado – novo Tracejado - eliminado b4 a34 = a43 x4 a44 a33 a11 x4 b4 COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 16 j4 4 GRAFO APLICAÇÃO – sistema de equações Reordenação do grafo a33 x3 b3 33 a24 = a42 x4 x2b4 b2 a11 a22 a44 b Sistema – 2 (sistema reordenado) x1 b1 equ. ele. x1 equ. ele. x2 ⇒ ⇒ a11.x1 0.x1 + + 0.x2 a22.x2 + + 0.x3 0.x3 + + a14.x4 a24.x4 = = b1 b2 equ. ele. x3 equ. ele. x4 ⇒ ⇒ 0.x1 a41.x1 + + 0.x2 a42.x2 + + a33.x3 a43.x3 + + a34.x4 a44.x4 = = b3 b4 COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 17 GRAFO APLICAÇÃO – sistema de equações Triangularização de Gauss aplicado ao elemento x1 2422 1411 00 00 aa aa 2422 1411 00 00 aa aa 2 1 x x 2 1 b b 2 1 x x 2 1 b b 44434241 3433 2422 00 aaaa aa # 444342 3433 2422 0 00 aaa aa⇒ 4 3 2 x x = 4 3 2 b b . 4 3 2 x x =. # 4 3 2 b b 44434241 Grafo do Sistema - 2 4443424 4 4 4 x b x b a33 a = a x3 b3 a33 x3 a = a b3 ⇒ # - Modificadoaa22 a24 = a42 x4 x2b4 b2 aa22 x4 x2 a24 = a42 b4 b2 Sublinhado – novo Tracejado - eliminado a1122a44 x1 b1 a1122a44 b1x1 b1 COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 18 GRAFO APLICAÇÃO – conclusão O processo de triangularização de Gauss aplicado ao sistema 1 resulta nop g p aparecimento de seis (06) novos elementos diferentes de zero (0) e modificação de seis (06) valores, na primeira eliminação; Na segunda eliminação resulta na modificação de seis (06) valores e na última eliminaçãoeliminação resulta na modificação de seis (06) valores e na última eliminação resulta na modificação de dois (02) valores, ou seja, resulta no aparecimento seis (06) novos elementos diferentes de zero (0) e modificação de catorze( ) ( ) (14) valores. O processo de triangularização de Gauss aplicado ao sistema 2 resulta na modificação de seis (06) valores, até terminar o processo, sem o aparecimento de qualquer novo elemento diferente de zero (0). f li i d ( ) l l i dNo grafo, a eliminação de um (01) elemento, relacionado mutuamente com mais de um (01) elemento, resulta no aparecimento de novas ligações, quando não existir ligação direta entre estes elementos mutuamentequando não existir ligação direta entre estes elementos mutuamente relacionado ao elemento eliminado, ou seja, surgem elementos não nulos na matriz de coeficiente. COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 19 GRAFO APLICAÇÃO – conclusão No Sistema – 1 o elemento x1 é relacionado mutuamente com os elementos1 x2, x3 e x4. A sua eliminação interrompe os caminhos entre seus elementos vizinhos, x2-x1-x3, x2-x1-x4, x3-x1-x2, x3-x1-x4, x4-x1-x2 e x4-x1-x3, então, os novos elementos a a a a a e a estabelecem estas ligaçõesnovos elementos a23, a24, a32, a34, a42 e a43 estabelecem estas ligações. No Sistema – 2, o elemento 1 é relacionado mutuamente somente com o elementos 4, logo, a sua eliminação não resultará em nenhuma nova ligação.elementos 4, logo, a sua eliminação não resultará em nenhuma nova ligação. No método de eliminação de Gauss utiliza-se os elementos de maior valor absoluto como pivô, para reduzir a propagação de erro, isto é aplicável quando a matriz de coeficientes ´tem poucos elementos nulos, porém, na grande maioria dos problemas de engenharia a diagonal é predominante e a matriz é esparsa nestes casos adota se a ordenação que produza a menormatriz é esparsa, nestes casos, adota-se a ordenação que produza a menor quantidade de novos elementos não nulos e em conseqüência menor propagação de erro. A utilização da ordenação dos elementos estabelecida no Sistema – 2, resulta na menor propagação de erro e no menor tempo de processamento. COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 20 GRAFO EXERCÍCIO - 01 Rotular os vértices do grafo dado pela representação geométrica a seguir. Grafo rotulado x1 x2 x3 x4 COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 21 GRAFO EXERCÍCIO - 02 Construir a matiz incidência do grafo rotulado do EXERCÍCIO – 01. x1 x2 x3 x4 4321 xxxx 1x 0011 2 1 x x 1110 0111 4 3 x x 1100 1110 COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 22 GRAFO EXERCÍCIO - 03 Construir, em forma de tabela, o grafo rotulado do EXERCÍCIO – 01. x1 x2 x3 x4 Vértices Arestas Vértices Arestas x3 x3 es s De Para a33x1 x1 a11 es s De Para 3 3 x3 x4 33 a34a12 1 1 x1 x2 11 x4 x4 a44x2 x2 x3 x2 a22 a32 COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 23 3 2 32 GRAFO EXERCÍCIO - 04 Construir, em forma gráfica, o grafo valorado definido na tabela do Í Vértices Arestas Vértices Arestas EXERCÍCIO – 03. x3 x3 Arestas De Para a33x1 x1 a11 Arestas De Para x3 x3 x3 x4 a33 a34a12 x1 x1 x1 x2 a11 x4 x4 a44x2 x2 x3 x2 a22 a32x3 x2 a32 a12 = a21 a23 = a32 a34 = a43a12 a21 x1 x2 a23 a32 x3 a34 a43 x4 a11 a22 a33 a44 COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 24 GRAFO EXERCÍCIO - 05 Incluir, as condições de operação, no sistema definido pelo grafo obtido no ÍEXERCÍCIO – 04. a12 = a21 x1 x2 a23 = a32 x3 a34 = a43 x41 2 3 4 a11 a22 a33 a44 b1 b2 b 3 b4 a12 = a21 a23 = a32 a34 = a433a12 a21 x1 x2 a23 a32 x3 a34 a43 x4 a11 a22 a33 a44 COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 25 GRAFO EXERCÍCIO - 06 Elaborar um sistema de equações lineares que possa ser representado pelo Íseguinte grafo obtido no EXERCÍCIO – 05. b1 b2 b 3 b4 a12 = a21 a23 = a32 a34 = a43312 21 x1 x2 23 32 x3 34 43 x4 a11 a22 a33 a44 232221 1211 0 00 aaa aa 2 1 x x 2 1 b b 4443 343332 00 0 aa aaa 4 3 x x = 4 3 b b . COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 26 GRAFO EXERCÍCIO - 07 Rotular os vértices do grafo dado pela representação geométrica a seguir. COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 27 GRAFO EXERCÍCIO - 07 Grafo rotulado x1,1 x1,2 x1,3 x1,4 x2,1 x2,2 x2,3 x2,4 x3,1 x3,2 x3,3 x3,4 COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 28 GRAFO EXERCÍCIO - 08 Construir a matiz incidência do grafo rotulado do EXERCÍCIO – 07. x1,1 x1,2 x1,3 x1,4 x2,1 x2,2 x2,3 x2,4 x3,1 x3,2 x3,3 x3,4 COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 29 GRAFO EXERCÍCIO – 08-A (Organizado por linha) 321 4,33,32,31,34,23,22,21,24,13,12,11,1 432143214321 xxxxxxxxxxxx 2,1 1,1 3 2 1 1 x x 000001001110 000000100111 000000010011 12 4,1 3,1 1 4 3 xx x 000100110001 000010001100 000001001110 3,2 2,2 1,2 3 2 2 x x 010011100100 001001110010 1,3 4,2 2 1 4 x x x 011100100000 001100010000 100011001000 4,3 3,3 2,3 4 3 2 3 x x x 110010000000 111001000000 011100100000 COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 30 4,3 GRAFO 4321 EXERCÍCIO – 08-B (Organizado por coluna) 4,34,24,13,33,23,12,32,22,11,31,21,1 321321321321 xxxxxxxxxxxx 1,2 1,1 3 2 1 1 x x 000000100110 000000010111 000000001011 22 2,1 1,3 2 1 2 3 x x x 000010111010 000001011001 000000100110 3,1 2,3 2,2 1 3 x x 001011001000 000100110100 41 3,3 3,2 1 3 23 x x x 011001000000 100110100000 010111010000 4,3 4,2 4,1 3 2 1 4 x x x 110100000000 111010000000 011001000000 COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 31 , GRAFO EXERCÍCIO - 09 Construir, em forma de tabela, o grafo rotulado do EXERCÍCIO – 07. x1,1 x1,2 x1,3 x1,4 x2,1 x2,2 x2,3 x2,4 x3,1 x3,2 x3,3 x3,4 COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 32 GRAFO EXERCÍCIO - 09 Vértices A t Vértices A t Vértices A t x1 1 x1 1 a1111 Arestas De Para Arestas De Para a2212x2 2 x1 2 Arestas De Para x3 1 x2 1 a3121 a1112 x1,1 x1,1 x1,1 x1,2 x x a1111 a a2212x2,2 x1,2 x2,2 x2,1 x x a2221 a x3,1 x2,1 x3,1 x3,1 a3121 a3131 x x ax1,1 x2,1 x1,2 x1,2 a1121 a1212 x2,2 x2,2 a2222 x2,2 x2,3 a2223 x3,1 x3,2 x3,2 x3,2 a3132 a3232 x1,3 x1,2 x1,3 x1,3 a1312 a1313 x2,2 x3,2 x2,3 x2,3 a2232 a2323 x3,3 x2,3 x3,3 x3,2 a3323 a3332 x1,3 x1,4 x1,3 x2,3 a1314 a1323 x2,4 x1,4 x2,4 x2,3 a2414 a2423 x3,3 x3,3 a3333 x3,3 x3,4 a3334 x1,4 x1,4 a1414 x2 1 x2 1 a2121 a2434x2 4 x3 4 x2,4 x2,4 a2424 x3,4 x3,4 a3434 COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 33 2,1 2,1 2121 24342,4 3,4 GRAFO EXERCÍCIO - 10 Construir, em forma gráfica, o grafo valorado definido na tabela do ÍEXERCÍCIO – 09. Vértices Arestas D P Vértices Arestas D P Vértices Arestas D P x1,1 x1,1 a1111 De Para De Para a2212x2,2 x1,2 De Para x3,1 x2,1 a3121 a1112x1,1 x1,2 x1,1 x2,1 x x a1121 a x2,2 x2,1 x2,2 x2,2 a2221 a2222 x x a x3,1 x3,1 a3131 x3,1 x3,2 x x a3132 ax1,2 x1,2 a1212 x1,3 x1,2 x x a1312 a x2,2 x2,3 x2,2 x3,2 x x a2223 a2232 a x3,2 x3,2 x3,3 x2,3 x x a3232 a3323 ax1,3 x1,3 x1,3 x1,4 x1 3 x2 3 a1313 a1314 a1323 x2,3 x2,3 x2,4 x1,4 x2 4 x2 3 a2323 a2414 a2423 x3,3 x3,2 x3,3 x3,3 a3332 a3333 x3 3 x3 4 a3334x1,3 x2,3 x1,4 x1,4 a1323 a1414 x2 1 x2 1 a2121 x2,4 x2,3 a2423 a2434x2 4 x3 4 x2,4 x2,4 a2424 x3,3 x3,4 a3334 x3,4 x3,4 a3434 COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 34 2,1 2,1 2121 24342,4 3,4 GRAFO EXERCÍCIO - 10 Grafo valorado, no caso de substituição das incógnitas por valores numéricos. a1112 = a1211 a1213 = a1312 a1314 = a1413 a1111 a1212 a1313 a1414 a1121 = a2111 a1222 = a2212 a1323 = a2313 a1424 = a2414 a1112 a1211 a1213 a1312 a1314 a1413 x1,1 x1,2 x1,3 x1,4 a2121 a2222 a2323 a2424 a2122 = a2221 a2223 = a2322 a2324 = a2423 x2,1 x2,2 x2,3 x2,4 a2131 = a3121 a2232 = a3222 a2333 = a3323 a2434 = a3424 a2121 a2222 a2323 a2424 a3131 a3232 a3333 a3434 a3132 = a3231 a3233 = a3332 a3334 = a3433 x3,1 x3,2 x3,3 x3,4 COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 35 GRAFO EXERCÍCIO - 11 Incluir, as condições de operação, no sistema definido pelo grafo obtido no ÍEXERCÍCIO – 10. a1112 = a1211 a1213 = a1312 a1314 = a1413 a1111 a1212 a1313 a1414 a1121 = a2111 a1222 = a2212 a1323 = a2313 a1424 = a2414 a1112 a1211 a1213 a1312 a1314 a1413 x1,1 x1,2 x1,3 x1,4 a2121 a2222 a2323 a2424 a2122 = a2221 a2223 = a2322 a2324 = a2423 x2,1 x2,2 x2,3 x2,4 a2131 = a3121 a2232 = a3222 a2333 = a3323 a2434 = a3424 a2121 a2222 a2323 a2424 a3131 a3232 a3333 a3434 a3132 = a3231 a3233 = a3332 a3334 = a3433 x3,1 x3,2 x3,3 x3,4 COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 36 GRAFO Rotulando as ligações EXERCÍCIO - 11 a1112 = a1211 a1213 = a1312 a1314 = a1413 b11 b12 b14a1111 a1212 a1313 a1414 b13 a1121 = a2111 a1222 = a2212 a1323 = a2313 a1424 = a2414 a1112 a1211 a1213 a1312 a1314 a1413 x1,1 x1,2 x1,3 x1,4 b23b21 b22 b24a2121 a2222 a2323 a2424 a2122 = a2221 a2223 = a2322 a2324 = a2423 x2,1 x2,2 x2,3 x2,4 a2131 = a3121 a2232 = a3222 a2333 = a3323 a2434 = a3424 b23b21 b22 b24a2121 a2222 a2323 a2424 b31 b32 b34b33a3131 a3232 a3333 a3434 a3132 = a3231 a3233 = a3332 a3334 = a3433 x3,1 x3,2 x3,3 x3,4 COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 37 GRAFO EXERCÍCIO - 12 Elaborar um sistema de equações lineares que possa ser representado pelo Íseguinte grafo obtido no EXERCÍCIO – 11. a1112 = a1211 a1213 = a1312 a1314 = a1413 b11 b12 b14a1111 a1212 a1313 a1414b13a1112 = a1211 a1213 = a1312 a1314 = a1413 b11 b12 b14a1111 a1212 a1313 a1414 b13 a1121 = a2111 a1222 = a2212 a1323 = a2313 a1424 = a2414 a1112 a1211 a1213 a1312 a1314 a1413 x1,1 x1,2 x1,3 x1,4 a1121 = a2111 a1222 = a2212 a1323 = a2313 a1424 = a2414 a1112 a1211 a1213 a1312 a1314 a1413 x1,1 x1,2 x1,3 x1,4 b23b21 b22 b24a2121 a2222 a2323 a2424 a2122 = a2221 a2223 = a2322 a2324 = a2423 x2,1 x2,2 x2,3 x2,4 b23b21 b22 b24a2121 a2222 a2323 a2424 a2122 = a2221 a2223 = a2322 a2324 = a2423 x2,1 x2,2 x2,3 x2,4 a2131 = a3121 a2232 = a3222 a2333 = a3323 a2434 = a3424 b23b21 b22 b24a2121 a2222 a2323 a2424 a2131 = a3121 a2232 = a3222 a2333 = a3323 a2434 = a3424 b23b21 b22 b24a2121 a2222 a2323 a2424 b31 b32 b34b33a3131 a3232 a3333 a3434 a3132 = a3231 a3233 = a3332 a3334 = a3433 x3,1 x3,2 x3,3 x3,4 b31 b32 b34b33a3131 a3232 a3333 a3434 a3132 = a3231 a3233 = a3332 a3334 = a3433 x3,1 x3,2 x3,3 x3,4 COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 38 GRAFO EXERCÍCIO 12 A (organizado por linha) Escrevendo as equações EXERCÍCIO – 12-A (organizado por linha) 11x 2li htR l ã1li hdó iR l ã 14 13 12 x x x = 12 11 b b b .Equações da linha - 1 444 8444 76 2linhaaparamutuaRelação444 8444 76 1linhadaprópriaRelação 1222121312121211 112111121111 0000 0000 00000 aaaa aaa 24 23 22 21 x x x x 14 13 b bq ç 142414141413 1323131413131312 00000 0000 aaa aaaa 12 11 x x 24 21 14 13 x x x x 21 b b 444 8444 76 3linhaaparamutuaRelação444 8444 76 2linhadaprópriaRelação444 8444 76 1linhaaparamutuaRelação 2131212221212111 0000000 00000000 aaaaa aaaa 31 24 23 22 x x x x = 24 23 22 b b b.Equações da linha - 2 2434242424232414 23332324232323222313 22322223222222212211 00000000 0000000 0000000 aaaa aaaaa aaaaa 21x 34 33 32 x x x 24 23 22 21 x x x x = 12 11 b b .Equações da linha 3 444 8444 76 3linhadaprópriaRelação444 8444 76 2linhaaparamutuaRelação 3233323232313222 313231313121 0000 00000 aaaa aaa 33 32 31 x x x x = 14 13 b bEquações da linha - 3 343434333424 3334333333323323 00000 0000 aaa aaaa COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 39 34x GRAFO EXERCÍCIO 12 A (organizado por linha) Resultado EXERCÍCIO – 12-A (organizado por linha) 112111121111 00000000 000000000 aaaa aaa 11 x x 11 b b 142414141413 1323131413131312 1222121312121211 000000000 00000000 00000000 aaa aaaa aaaa 14 13 12 x x x 14 13 12 b b b 2232222322222221221 213121222121211 142414141413 000000000000000 000000000 aaaaa aaaa aaa 22 21 14 x x x 22 21 14 b b b 243424242423241 2332232423232322231 33 00000000 0000000 aaaa aaaaa 24 23 x x = 24 23 b b . 323332323231322 31323131312 00000000 00000000 000000000 aaaa aaa 32 31 x x 32 31 b b b 34343433342 333433333332332 000000000 00000000 aaa aaaa 34 33 x x 34 33 b b COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 40 GRAFO EXERCÍCIO 12 B (organizado por coluna) Escrevendo as equações EXERCÍCIO – 12-B (organizado por coluna) 2colunaaparamutuaRelação1colunadaprópriaRelação Equações da coluna - 1 12 31 21 11 x x x x = 21 11 b b b. 444 8444 76 2colunaaparamutuaRelação444 8444 76 1colunadaprópriaRelação 2122213121212111 111211211111 000 00 000 aaaa aaa 31 21 11 x x x b 444 8444 76 3colunaaparamutuaRelação444 8444 76 2colunadaprópriaRelação444 8444 76 1colunaaparamutuaRelação 00000 32 22 x x 31b313231313121 000 aaa Equações da coluna - 2 23 13 32 22 12 x x x x x = 32 22 12 b b b. 3233323232223231 22232232222222122221 1213122212121211 00000 0000 00000 aaaa aaaaa aaaa 33 23 x x 13 32 22 12 x x x x 13b 444 8444 76 4colunaaparamutuaRelação444 8444 76 3colunadaprópriaRelação444 8444 76 2colunaaparamutuaRelação 1213122212121211 00000 aaaa Equações da coluna - 3 34 24 14 33 23 x x x x x = 33 23 b b. 3233323232223231 22232232222222122221 00000 0000 aaaa aaaaa x444 8444 76 4colunadaprópriaRelação444 8444 76 3colunaaparamutuaRelação Equações da coluna - 4 34 42 41 33 23 13 x x x x x = 34 24 14 b b b 8686 434343424333 4243424242414232 414241414131 000 00 000 aaa aaaa aaa . COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 41 43x GRAFO EXERCÍCIO 12 B (organizado por coluna) Resultado EXERCÍCIO – 12-B (organizado por coluna) 112111211111 00000000 000000000 aaaa aaa 11 x x 11 b b 1213122212121211 313231313121 2122213121212111 00000000 000000000 00000000 aaaa aaa aaaa 12 31 21 x x x 12 31 21 b b b 3233323232223231 22232232222222122221 1213122212121211 00000000 0000000 00000000 aaaa aaaaa aaaa 32 22 12 x x x 32 22 12 b b b 23242333232323132322 1314132313131312 3 333 333 3 0000000 00000000 aaaaa aaaa 23 13 x x = 23 13 3 b b . 142414141413 3334313333233332 00000000 000000000 00000000 aaa aaaa 14 33 x x 14 33 b b b 343434243433 2434242424142423 000000000 00000000 aaa aaaa 34 24 x x 34 24 b b COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs 42
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