09 - Sistemas continuos

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1COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
SISTEMA ANALÓGICO
Os sistemas contínuos podem ser simulados através de computadores 
analógicos e podem ser representados em diagrama de blocos.
Existem muitos programas que processam em computadores digitais e 
simulam sistemas analógicos. Entre este está o módulo SIMULINK do 
MATLAB. 
Os sistemas diferenciais, representados no tempo ou na freqüência, podem ser 
facilmente escritos em diagrama de blocos, que podem ser processados em 
computadores analógicos ou processados em computadores digitais através de 
simuladores analógicos.
Entre as vantagens oferecidas pelos simuladores analógicos estão:
1. Não é necessário escala de tempo;
2. Não é necessário escala de tensão;
3. Não é necessário ajustes elétricos;
4. Processa diversas simulações no mesmo computador;
5. A preparação de uma simulação é menos trabalhosa.
2COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
Tempo
y’(t) = -1,5.y(t) + 20, y(0) = -10
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
1. Exemplo:
Freqüência
y'(t)
y(t)
13.33
Resultado final
Osciloscópio
s
1
Integrador
1.5
Ganho
20
Constante
1,5.y(t)
s.Y(s) + 10 = -1,5.Y(s) + 20/s
Solução
y(t) = (40 – 70.e-1,5.t)/3 Y(s) = (20 – 10.s)/(s.(s +1,5))
Diagrama de blocos do sistema
3COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
1. Exemplo:
4COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
( ) ( )∑
=
=
n
i
i tEktS
1
.
…
E1(t)
E2(t)
En(t)
k
Parâmetros
S(t) = f(t)
k
S(t) = k
( ) ( )∑
=
=
n
i
i tEtS
1…
E1(t)
E2(t)
En(t)
( ) ( )∫∑
=
+= dttEStS
n
i
i .
1
0
S0
…
E1(t)
E2(t)
En(t)
Constante Soma
Ganho Integração
Função
DIAGRAMA DE BLOCOS
• Principais blocos para a representação no tempo
5COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
DIAGRAMA DE BLOCOS
• Principais blocos para a representação com transformada de Laplace
±
±E1(s)
E2(s)
S(s) = ± E1(s) ± E2(s)
FT(s)
E(s) S(s) = FT(s).E(s)
E(s)
S1 = E(s)
S2 = E(s)
S3 = E(s)
Soma
Função de transferência
Bifurcação
6COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
2. EXERCÍCIO
Deixa no primeiro membro um 
termo de maior derivada e no 
segundo membro todos os 
outros termos. Esta regra 
aplica-se também a cada 
equação de sistemas de 
equações diferenciais.
Fazer o diagrama de blocos que represente a seguinte equação diferencial:
y" = e(t) - 4.y' - 3.y
y" + 4.y' + 3.y = e(t), y(0) = 3, y'(0) = 1
S(t)
saída
entrada
e(t)
1
-4.y'
-3.y
e(t)
y'
-4
3
y
-3sistema a ser estudado
8COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
SIMPLIFICAÇÃO DO DIAGRAMA DE BLOCOS
≡
≡
≡
≡
E(s)
G1(s) G2(s)
S(s)
E(s)
G(s)
S(s)
+±
F(s)
E(s)
G(s)
S(s)
S(s)
E(s)
G(s)
S(s)+±
F(s)
E(s)
G1(s). G1(s)
S(s)
E(s)
G(s)
S(s)+±
F(s)
G(s)
E(s)
G(s)
S(s)
S(s)
G(s)
E(s)
G(s)
S(s)
+±
F(s)
1/G(s)
9COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
SIMPLIFICAÇÃO DO DIAGRAMA DE BLOCOS
≡
≡
≡
≡≡
E(s)
G(s)
S(s)
E(s)
E(s) G(s)
S(s)
+±
H(s)
E(s) G(s)
S(s)
+±
E(s)
G(s)
S(s)
E(s)
1/G(s)
E(s)
G(s)/(1 G(s).H(s))
S(s)±
E(s)
G(s)/(1 G(s))
S(s)±
E(s) S(s)+±
F(s)
±
P(s)
E(s) S(s)+±
P(s)
+±
F(s)
E(s) S(s)+ +±
F(s)
±
P(s)
10COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
SIMPLIFICAÇÃO DO DIAGRAMA DE BLOCOS
≡
≈ ≡
Demonstração
Derivada
≡ ⇒
⇒
E(s)
G(s)/(1 G (s).H(s))
S(s)±
E(s) G(s)
S(s)
+±
H(s)
i
j
E(s)
G(s)/(1 + G (s).H(s))
S(s)
E(s) G(s) = k
S(s)
+ -
H(s) = 1/s
E(s)
G(s) = s
S(s)
k >> s
E(s)
s.k/(s + k)
S(s)
E(s)
s.k/k
S(s) E(s)
s
S(s)
E(s)
k/(1 + k/s)
S(s)
i = E(s) ± j
j = H(s).S(s) i = E(s) ± H(s).S(s)
S(s) = G(s).i S(s)= G(s).(E(s) ± H(s).S(s))
S(s)/E(s) = G(s)/(1 G(s).H(s))±
?
⇒
11COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
Simplifique o diagrama de blocos.
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
3. EXERCÍCIO
13
3
s.Y(s)
1/s Y(s)+-
4.Y(s) 4
S(s)
++
1/(s + 4) Y(s)++
3
+++
13
1/(s.(s + 4))+
3.s
-
3.Y(s)
E(s)
E(s)
13
1/(s2 + 4.s + 3) Y(s)+++
3.s
E(s)
3.Y(s)
1/(s.(s + 4)) Y(s)
3
+++ +
3.s
-+
E(s)
entrada
S(s)
saída
++-
13
3.Y(s)
1/s
3
sistema a ser estudado
s.Y(s)
1/s Y(s)++-
4.Y(s) 4
E(s)
entrada
++-
13
3.Y(s)
1/(s + 4) Y(s)1/s ++
3
3 sistema a ser estudado
3condições iniciais
12COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
4. EXERCÍCIO
Vs(s)
(A1) (A2) Va(s)
Ia(s)
T(s)θ'm(s)θL(s)
f.c.e.m.
+
-
( )
( )11
11
..1
.1.
β
α
Ts
Ts
+
+
+
-
( )
( )22
22
..1
.1.
β
α
Ts
Ts
+
+
k
tiristor
+
- ( )aa RLs +.
1
ka
kmkv
kT( )LM JJs +.
1
sN.
1
a) Fazer o diagrama abaixo usando somente integradores e ganhos.
b) Encontrar a função de transferência.
Sistema de controle típico para as indústrias de metal e papel, onde o controle é crítico, pois um 
fator essencial de qualidade do produto é exatamente a precisão do controle da velocidade do motor.
13COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
4. a) EXERCÍCIO
E(s) S(s)
(Ak)
( )
( )kk
kk
.T.s
T.s.
β
α
+
+
1
1 ⇒ S(s) + s.Tk.βk.S(s) = αk.E(s) + s.Tk.E(s) ⇒ (αk.E(s) - S(s))/s = Tk.(βk.S(s) - E(s))
E(s) S(s)
αk + - kT.s
1
+
-
kβ
1
Ia(s)E(s)
( )aa RLs +.
1 ⇒ Ra.Ia(s) + s.La.Ia(s) = E(s) ⇒ (E(s) - Ra.Ia(s))/s = La.Ia(s)
E(s) Ia(s)
+
- aLs.
1
Ra
Ak ≡ A1 ≡ A2
14COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
4. b) EXERCÍCIO
Vs(s)
(A1) (A2)
Va(s)
Ia(s)
f.c.e.m.
+
- ( )
( )11
11
..1
.1.
β
α
Ts
Ts
+
+
+
- ( )
( )22
22
..1
.1..
β
α
Ts
Tsk
+
+
+
- ( )aa RLs +.
1
ka
( )LM
Tm
JJs
kk
+.
.
sNkm ..
1θL(s)
m
v
k
k
sNkm ..
1
(A1) (A2)
Va(s)
θL(s)
f.c.e.m.
+
- ( )
( )11
11
..1
.1.
β
α
Ts
Ts
+
+
+
- ( )
( )22
22
..1
.1..
β
α
Ts
Tsk
+
+
+
- ( )( )LMaa
Tm
JJRLss
kk
++ ...
.
m
v
k
k
Vs(s)
( )
Tm
LMa
kk
JJks
.
.. +
15COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
4. b) EXERCÍCIO
Va(s)
Vs(s)
+
- ( )
( )11
11
..1
.1.
β
α
Ts
Ts
+
+
+
- ( )
( )22
22
..1
.1..
β
α
Ts
Tsk
+
+
(A1) (A2)
( )( )
( )( )LMaaTm
LMaa
JJRLsskk
JJRLss
+++
++
....
...
( )
Tm
LMa
kk
JJks
.
.. +
sNkm ..
1θL(s)
m
v
k
k
+
- ( )
( )11
11
..1
.1.
β
α
Ts
Ts
+
+
(A1)
( )( )( )( )
( )( ) ( )( )( )( ) aLMaaTmTmaa
LMaaTma
kTsJJRLsskkkkkTsRLs
TsJJRLsskkk
...1..........1..
..1......
2222
22
βα
β
+++++++
++++
sNkm ..
1θL(s)
m
v
k
k
Vs(s)
16COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
4. b) EXERCÍCIO
Vs(s) ( )( )( )( )( )
( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) 1122112222
1122
..1...1..........1....1..........1..
..1...1.......
αβββα
αβ
TsTsJJRLsskkkkkTskTsJJRLsskkkkkTsRLs
TsTsJJRLsskkkk
LMaaTmavmaLMaaTmTmaa
LMaaTmam
++++++++++++++
+++++
sNkm ..
1θL(s)
Vs(s) θL(s)( )( )( )( )( )
( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) sNTsTsJJRLsskkkkkTskTsJJRLsskkkkkTsRLsTsTsJJRLsskkk
LMaaTmavmaLMaaTmTmaa
LMaaTma
....1...1..........1....1..........1..
..1...1......
1122112222
1122
αβββα
αβ
++++++++++++++
+++++
17COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
PRINCIPAIS BLOCOS
1
s+1
Transfer Fcn
|.|
Magnitude-Angle
to Complex
eu
Math
Function
Re
Im
Real-Imag to
Complex
Product
Memory
s
1
Integrator
|u|
u
Complex to
Magnitude-Angle
|u|
Abs
1
Gain
Re(u)
Im(u)
Complex to
Real-Imag
f(u)
Fcn
Sign
<=
Relational
Operator
sin
Trigonometric
Function
Sum
CONTÍNUOS MATEMÁTICA
FUNÇÕES E TABELAS
Functions & Tables
Continuous Math
18COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
Nonlinear
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
PRINCIPAIS BLOCOS
XY Graph
STOP
Stop
Simulation
NÃO LINEAR SINAIS E SISTEMAS DISSIPADORES
FONTES
Scope
0
DisplaySwitchDead Zone Saturation Demux Mux
Chirp Signal
Clock
1
Constant
12:34
Digital ClockSine Wave
Discrete Pulse
Generator
Pulse
Generator
Repeating
Sequence
Random
Number
Uniform Random
Number
Ramp
Step
SinksSingnals & Systems
Sources
19COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
PRINCIPAIS BLOCOS
FONTES
Timer
SimPowerSystems
Extra Library
Discrete Control Blocks
20COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
5. EXERCÍCIO
Um fluxo de solução, com 1 lb de sal por galão, entra em um tanque cheio com 
100 gal da solução, a uma taxa de 5 gal/min, e deixa o tanque com à mesma 
taxa da entrada. A concentração da solução de entrada é subitamente alterada 
para 2 lb de sal por galão e é misturada uniformemente por agitação, no tanque. 
Ache a quantia de sal no tanque em função do tempo t, e determine quanto 
tempo levará para que a quantidade de sal alcance de 150 lb.
8
Fluxo de saída
Tanque
V(t) = 100 gal
Cs(t0) = 1 lb/gal
fs(t) = 5 gal/min
Cs(t) = ?
Fluxo de entrada
fe(t) = 5 gal/min
( ) lb/gal 
 0t2,
0t1,
tCe ⎩⎨
⎧
≥
<=
A equação diferencial da concentração de saída em função da concentração de 
entrada e dada por: Cs’(t) + 0,05.Cs(t) = 0,05.Ce(t) 
Pede-se: M(t) = V(t).Cs(t) = 100.Cs(t) = ? lb e M(?) = 150 lb
21COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
5. EXERCÍCIO
Cs’(t) + 0,05.Cs(t) = 0,05.Ce(t) 
Condição inicial Cs(t0) = C(t0) = 1 lb/gal ( ) ⎩⎨
⎧
≥
<=
0/2
0/1
tgallb
tgallb
tCentradadeFunção e
Pede-se: V(t).Cs(t) = 100.Cs(t) = ? lb e V(tn).Cs(tn) = 100.Cs(tn) = 150 lb⇒ tn = ?
t
t, se
 Q(t) < 150
Cs'(t) Cs(t),
Cs(t0) = 1 Q(t) = 100.Cs(t)
Ce(t)
Cs’(t) = 5.(Ce(t) - Cs(t))/100 
100
Volume do tanque
.05
Vazão
199.9
Q(t) final
13.86
Q(t) = 150, t = ?
Q(t)
Memória
s
1
Integrador2
s
1
Integrador1
1
Constante
2
Concetração
de entrada
Chave
M
M
M
M
M
22COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
5. EXERCÍCIO
23COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
5. EXERCÍCIO
Cs’(t) + 0,05.Cs(t) = 0,05.Ce(t) 
Condição inicial Cs(t0) = C(t0) = 1 lb/gal ( ) ⎩⎨
⎧
≥
<=
0/2
0/1
tgallb
tgallb
tCentradadeFunção e
Pede-se: M(t) = V(t).Cs(t) = 100.Cs(t) = ? lb e V(?).Cs(?) = 100.Cs(?) = 150 lb
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( ) dttC
tdCdt
tCtC
tdCtCtCtC
s
s
se
s
ess .05,02
.05,0.05,0.005,0' =−⇒=−⇒=+
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) tsss ectCtctCcttC .05,0.2.05,0ln2lnln.05,02ln −−=⇒=−−−⇒−=−−
( ) ( ) ( )20/2.100.100 ts etCtM −−==
Cálculo de c: t0 = 0, Cs(0) = 1 = 2 – c.e-0/20 ⇒ c = 1
( ) ( ) 86294,1320.2
100
150ln1502100 20/ ≅−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=⇒=− − te t t = 13,9 min
τ = 1/0,05 = 20 ( ) 20/.2 ts ectC −−=
24COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
6. EXERCÍCIO
Um tanque esférico de raio R encontra-se, inicialmente, com metade de seu 
volume cheio de água. No fundo do tanque tem um furo circular de raio r, 
através do qual, a água escoa sob influência da gravidade. Achar o fluxo de 
escoamento da água em função do tempo e determine em quanto tempo o 
tanque ficará vazio.
Pede-se: fe(t) = 0, e y(tn) = 0 ⇒ tn = ?
A equação diferencial da cota do nível do tanque 
e dada por e o fluxo de 
escoamento da água é dado por
( ) ( ) ( )( ) ( )( )2..2.' tyRty tftfty se −−= π ( ) ( )tygrtfs ..2.. 2π=
Considerar: π = 3,1416, R = 5m, r = 3%.R 
e g = 9,81m/s2
x(t)
y(t)
dy
φ = 2.r
φ = 2.R
(0,R)
x2 = (2.R – y).y
x
y
fs(t)
fe(t)
25COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
6. EXERCÍCIO
( ) ( )tygrtfs ..2.. 2π=( ) ( )( ) ( )R.ty.ty
ty.g..r
t'y
2
2
2
2
−=
t0 = 0 fs(t) = ? y(tn) = 0 ⇒ tn = ?y(t0) = 5 m
Considerar: π = 3,1416, R = 5m, r = 3%.R e g = 9,81m/s2
fe(t) = 0
26COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
6. EXERCÍCIO
27COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
6. EXERCÍCIO
r2 = x(t)2 = 2.y(t).R – y(t)2
fe(t) = 0 fs(t) = Sr.v(t) ⇒ fs(t) = π.r2.v(t)
Lei de Torricelli
⎩⎨
⎧=
ainstantânealturaaéh
gravidadedaaceleraçãoaég
..2 hgv
dV(t) = π.x(t)2.dy(t)
fe(t) – fs(t) = dV(t)/dt t0 = 0
fs(t) = ?
y(tn) = 0 ⇒ tn = ?
( ) ( )tygrtfs ..2.. 2π=
dV(t) = π.(2.y(t).R – y(t)2 ).dy(t)
( ) ( ) 2522523 .
15
14..2..
5
2..
3
4 RtgrtyRty +−=−
( ) 252 .
15
14..2.00 Rtgrty +−=⇒=
gr
Rt
.2.
.
15
14
2
25
=
y(t0) = 2.R
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ctgrtyRty
dtgrtdytyRtydttygrtdytyRty
+−=−⇒
⇒−=−⇒−=−
..2..
5
2..
3
4
..2....2...2....2
22523
2232122
( ) 25.
15
140 RcRy =⇒=
⇒
28COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
7. EXERCÍCIO
)x('f
)x(fxx
n
n
nn
1
1
1
−
−
− −=Sabe-se que:
Calcular a raiz quadrada de a, usando o método de Newton.
29COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
7. EXERCÍCIO
)x('f
)x(fxx
n
n
nn
1
1
1
−
−
− −=Sabe-se que: A raiz da função f(x) = x
2 – a é
a raiz quadrada de a, então 
f’(x) = 2.x, ou seja, 
substituindo as funções na 
equação inicial obtém-se 
facilmente: ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ += −
−
1
1
.5,0 n
n
n xx
ax
30COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
VALOR INICIAL DOS MÓDULOS
Módulo com integrador
Em geral, para encontrar o valor de Ci, (i = 0) considera-se a função de entrada 
na integral igual a zero, (estado em equilíbrio) E12(t < t0) = 0, implicando na 
igualdade, E1(t < t0 = t + Δt = E2(t < t0), logo, C0 = S0 = S(t ≤ t0).
E1(t)
E2(t)
E12(t) S(t)
s
1
Integrador
( ) ( ) ( )∫ Δ++=Δ+ tttii ii dttEtSttS 12
( ) ( ) ( )∫∫ +=+=Δ+ dttECdttESttS ii 1212
ou
Estado inicial de equilíbrio
t0 = t + Δt ⇒ t = t0 - Δt ( ) ( ) ( )∫ Δ− Δ−+Δ−= 00 000 12
t
tt
dtttEttStS
31COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
VALOR INICIAL DOS MÓDULOS
Módulo com integrador
– Exemplo
E12(t < t0) = 0 = E1(t < t0) - E2(t < t0) = 20 - 5.S0⇒ S0 = 4 ⇒ C0 = S0.
E1(t0) = 20 E12(t0)
E2(t0)
S(t0) = S0
s
1
Integrador
5
Ganho
E2(t < t0) = 5.S(t ≤ t0) = 5.S0
32COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
VALOR INICIAL DOS MÓDULOS
k é o valor máximo que não produza ruídos inaceitáveis em f’(t).
Derivada de uma função
I(t)
S(t)
1
f'(t)
s
1
Integrador
k
Ganho do
derivador
1
f(t)
f(t < t0) = 20
Módulo com integrador
– Derivada
I(t ≤ t0) = C0, S(t < t0) = 0 = f(t < t0) - I(t ≤ t0)= 20 - C0⇒
⇒ C0 = 20 ⇒ f’(t < t0) = k.S(t < t0) = 0.
33COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
VALOR INICIAL DOS MÓDULOS
Módulo com máximo
h(t) é o valor máximo entre todos os valores das funções de entrada, em 
cada instante do tempo t.
h(t) = Máx(f1(t), 
 f2(t),f3(t),
 f4(t), f5(t))
f1(t)
f2(t)
f3(t)
f4(t)
f5(t)
max
MínMáx
34COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
VALOR INICIAL DOS MÓDULOS
Módulo com máximo
– Função dos valores máximos
fma(t) é uma função crescente ⇒ fma’(t ≤ t0) ≥ 0.
M0
Função dos valores máximos
M(t)
1
fma(t)
max
MínMáx
Memória
1
f(t)
fma(t) = Máx(f(t), M(t)
fma(t ≤ t0) = f(t ≤ t0) ⇒ fma(t ≤ t0) ≥M(t ≤ t0), então: M(t ≤ t0) = M0 ≤ f(t ≤ t0)
35COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
VALOR INICIAL DOS MÓDULOS
Módulo com mínimo
h(t) é o valor mínimo entre todos os valores das funções de entrada, em 
cada instante do tempo t.
h(t) = Mín(f1(t), 
 f2(t),f3(t),
 f4(t), f5(t))
f1(t)
f2(t)
f3(t)
f4(t)
f5(t)
min
MínMáx
36COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
VALOR INICIAL DOS MÓDULOS
Módulo com mínimo
– Função dos valores mínimos
fmi(t) é uma função decrescente ⇒ fmi’(t ≤ t0) ≤ 0.
M0
Função dos valores mínimos
M(t)
1
fmi(t)
min
MínMáx
Memória
1
f(t)
fmi(t) = Mín(f(t), M(t)
fmi(t ≤ t0) = f(t ≤ t0) ⇒ fmi(t ≤ t0) ≤M(t ≤ t0), então: M(t ≤ t0) = M0 ≥ f (t ≤ t0)
37COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
VALOR INICIAL DOS MÓDULOS
Módulo com chave
u1(t)
u2(t)
u3(t)
S(t)
Chave
( ) ( ) ( )( ) ( )⎩⎨
⎧
<
≥=
Ptusetu
Ptusetu
tS
2,3
2,1
38COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
VALOR INICIAL DOS MÓDULOS
Módulo com chave
– Máximo de uma função crescente limitada
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) finalTempotPtfmattMínfMáx ettMíntMax fmmfmf −≥⎩⎨
⎧= ,',
,
,
P = 0,5
M0
Valor máximo
1
Max(t)
Memória
Chave
2
fma'(t)
1
t, f(t)
A função fma’(t) é
decrescente e fma’(t) ≥ 0.
O valor de tm, fma’(tm) ≥ P, 
será a última ocorrência 
verdadeira e M0 pode 
assumir qualquer valor.
39COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
VALOR INICIAL DOS MÓDULOS
Módulo com chave
– Mínimo de uma função decrescente limitada
P = -0,5
Valor mínimo
M0
1
Min(t)
Memória
Chave2
t, f(t)
1
fmi'(t)
A função fmi’(t) é crescente e 
fmi’(t) ≤ 0.
O valor de tm, fmi’(tm) ≤ P, 
será a última ocorrência 
verdadeira e M0 pode assumir 
qualquer valor.
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) finalTempotPtfmittMínfMín ettMíntMin fmmfmf −≤⎩⎨
⎧= ,',
,
,
40COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
VALOR MÁXIMO DE UMA FUNÇÃO E O TEMPO
f(t)
t
Máx(f(t))
d(Máx(f(t)))/dt 0.008303
9.5
Valor final.
Valor máximo.
Tempo.
Entrada.
1.574
9.5
Tempo no máximo
Valor máximo.
Seno
t, f(t)
fma'(t)
Max(t)
Máximo
f(t) fma(t)
Função dos
valores máximos
Derivada
Máximo.
fma(t) fma'(t)
Derivada
Clock
Diagrama de blocos
41COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
VALOR MÁXIMO DE UMA FUNÇÃO E O TEMPO
Derivada da função de valores máximos
Função de valores máximos
Influência do ganho do derivador
Parâmetro 
da chave
tm
Tempo e entrada
42COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
VALOR MÁXIMO DE UMA FUNÇÃO E O TEMPO
Função de valores máximos
Tempo do valor máximo
tm
Derivada e máximo
43COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
VALOR MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO E O TEMPO
f(t)
t
M ín(f(t))
d(M ín(f(t)))/dt -0.07954
-9.5
Valor final.
Valor mínimo.
Tempo.
Entrada.
4.715
-9.5
Tempo no mínimo.
Valor mínimo.
Seno
fmi'(t)
t, f(t)
Min(t)
M ínimo
f(t) fmi(t)
Função dos 
valores mínimos
Derivada.
M ínimo.
fmi(t) fmi'(t)
Derivada
Clock
Diagrama de blocos
44COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
VALOR MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO E O TEMPO
Derivada da função 
de valores mínimos
Influência do ganho do derivador
Parâmetro 
da chave
Função de valores mínimos
tm
Tempo e entrada
45COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
VALOR MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO E O TEMPO
Função de valores mínimos
Tempo do valor mínimo
Derivada e mínimo
tm
46COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
8. EXERCÍCIO
Simular o sistema de equações diferenciais, definido abaixo, sabendo-se, que o 
mesmo, está, inicialmente, em estado estacionário.
Sistema em cascata
k12.y1"(y) + 2.k1.d1.y1'(t) + c1.y1(t) = E(t) k1 = 0,2, d1 = 0,1 e c1 = 4
k22.y2"(y) + 2.k2.d2.y2'(t) + c2.y2(t) = 3.y1(t) k2 = 0,4, d2 = 0,3 e c2 = 9
3,
2,8
2,10
,6
)( 0
0
00
0
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+≥
+<≤
<
= t
tt
ttt
tt
tE
y1(t ≤ t0) = 1,5
y2(t ≤ t0) = 0,5
Valores iniciais:
47COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
8. EXERCÍCIO
Sistema em cascata
E(t) = 6, t < 3
E(t) = 10, 3 <= t < 5
E(t) = 8, t => 5
y(t)
Timer
E(t) yi(t)
Subsystem
2.005
0.6646
Display
48COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
8. EXERCÍCIO Sistema em cascata
Valores iniciais:
k12.y1"(y) + 2.k1.d1.y1'(t) + c1.y1(t) = E(t) k1 = 0,2, d1 = 0,1 e c1 = 4
k22.y2"(y) + 2.k2.d2.y2'(t) + c2.y2(t) = 3.y1(t)
k2 = 0,4, d2 = 0,3 e c2 = 9
3,
2,8
2,10
,6
)( 0
0
00
0
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+≥
+<≤
<
= t
tt
ttt
tt
tE
y1(t ≤ t0) = 1,5
y2(t ≤ t0) = 0,5
y'(t) y(t)
y2(t)
1
yi(t)
(3 1)
[y1(t) y2(t)]
(4 9)
[y1(t) y2(t)]
1
s
Integrador 
1
s
Integrador
[2*0.1/.2 2*.3/.4]
2.d/k
[1/.2^2 1/.4^2]
1/(k.k)
1
E(t)
49COMPUTAÇÃO NA ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 246PhDs
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS
8. EXERCÍCIO Sistema em cascata