CÁLCULO DE MATRIZ PARA ELEMENTOS FINITOS

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CÁLCULO DE MATRIZ PARA ELEMENTOS FINITOS 
Sistemas de equações algébricas que relacionam Forças, Deslocamentos e Coeficientes de 
Rigidez podem ser representados e resolvidos de forma compacta e elegante com auxílio da 
Notação Matricial. (ALVES, 2003). 
Tem-se que é possível realizar uma analogia entre sistemas com molas e outros sistemas 
tais como barras, chapas, etc., de maneira que facilite a compreensão do método de cálculo por 
elementos finitos de estruturas. Portanto: 
Figura 1: a) Comparação entre Mola e b) uma Barra de um elemento Fonte: Alves (2003). 
Então, uma barra que submetida a uma força axial de tração ou compressão terá o 
comportamento equivalente ao de uma mola sob tração ou compressão. 
(1) 
Onde F é a força, k é a rigidez da mola, x é a deformação da mola, d é a variação de 
comprimento e L é o comprimento inicial. 
Então para o caso específico mostrado na figura 2, tem-se que o Nó do elemento 1 é 
submetido a um deslocamento devido a força aplicada f1, mantendo-se o Nó 2 bloqueado. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Compressão de uma mola. 
f2 
k 
1 2 
x1 x2 
f1 
Mola 
F2 
EA/L 
d1 d2 
F1 
Barra 2 1 
a) b) 
d
L
EAFasimilaréxkF .. ====⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒====
f2 = -f1 
k 
1 2 
x1 x2 = 0 
f1 
Mola 
Para o caso específico mostrado na figura 2 e tomando-se as condições de equilíbrio do 
sistema, tem-se que a reação encontrada no Nó 2 é f2 = -f1 pois tem sentido oposto a f1. 
Desta forma colocando-se na forma Matricial tem-se: 
Para uma Mola: 
(2) 
 
Supondo que se tenham as forças como incógnitas tem-se para este sistema duas 
equações e duas incógnitas. 
Sendo, portanto: 
(3) 
Substituindo x2 por zero tem-se: 
(4) 
 
Para uma Barra de um elemento: 
 
(5) 
 
Comparativamente tem-se da mesma maneira que k representa a rigidez da Mola, EA / L 
representa a rigidez da Barra de um elemento. 
Dados que o módulo de elasticidade E, a área A e o comprimento L são constantes, pode-
se isolar estas constantes da Matriz. 
 
(6) 
 
Quando o sistema possui mais de um elemento de mola tem-se: 
Figura 3: Sistema de mola com dois elementos 






====






−−−−
−−−−
====






0
.
2
1
2
1
x
x
kk
kk
f
f






====












−−−−
−−−−
====






0
.
2
1
2
1
d
d
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
F
F






====






−−−−
−−−−
====






0
.
11
11
.
2
1
2
1
d
d
L
EA
F
F
C 
ka 
Elemento 1 Elemento 2 
A 
B 
kb 
(((( ))))
212
211
.
.
kxxkf
kxxkf
++++−−−−====
−−−−++++====
(((( ))))
1212
1111
.0..
.0..
xkfkxkf
xkfkxkf
−−−−====⇒⇒⇒⇒++++−−−−====
====⇒⇒⇒⇒−−−−++++====
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Procedimento para montagem da Matriz de Rigidez da estrutura. Fonte: Alves, 
2003. 
 
A montagem deste sistema de elementos mola possui liberdade apenas para deslocamento 
unidirecional, permitindo a compressão ou tração devido a forças axiais. 
As estruturas de vigas podem ter liberdade de movimentação em cada um de seus nós do 
elemento. 
A viga, no caso mais geral, pode transmitir forças axiais, momentos fletores em dois planos 
perpendiculares contendo seus eixos principais, forças cortantes e momentos torçores. Vide figura a 
seguir. 
 
 
 
 
 
ka -ka 
-ka ka 
A B 
A 
B 
kb -kb 
-kb kb 
B C 
B 
C 
A 
B 
C 
ka -ka 0 
-ka ka + kb -kb 
0 -kb kb 
A B C 
 
 
 
 
Figura 5: A viga e os graus de liberdade em um elemento. Fonte: Alves, 2003. 
Considerando-se o comportamento de vigas dos fundamentos da resistência dos materiais 
e impondo-se deslocamentos unitários transversais ∆ e de rotação θ ao elemento viga, resultam os 
coeficientes de rigidez necessários. 
 
 
(7) 
(8) 
 
 
Figura 6: Deslocamento em um nó. 
 
(9) 
 
(10) 
 
(11) 
Figura 7: Inclinação em um nó. 
L 
R R 
M2 M1 
∆ 
∆∆∆∆.6 22,1 L
EIM ====
∆∆∆∆.123L
EIR ====
L R R 
M2 
M1 
θ 
θθθθ.21 L
EIM ====
θθθθ.6 2L
EIR ====
θθθθ.42 L
EIM ====
A disposisão dos “Elementos na Matriz”, que não comtempla forças axiais e apenas flexão, 
é vinculada aos quatro graus de liberdade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8: Graus de liberdade do elemento e a Matriz correspondente. 
 
Sabe-se que para a matriz de um elemento, como mostrada na figura anterior, bem como, 
na Matriz Global sempre tem-se uma matriz quadrada e que também haverá a simetria. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9: Simetria da Matriz do elemento. 
 
 
 
k = 
k = 
1 3 
4 
2 






















−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−
−−−−
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
4626
612612
2646
612612
22
2323
22
2323
1 2 3 4 
1 
2 
3 
4 











 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
−−−−
−−−−−−−−
L 
EI 
L 
EI 
L 
EI 
L 
EI 
Simétrica 
L 
EI 
L 
EI 
L 
EI 
L 
EI 
L 
EI 
L 
EI 
4626
126 12
4 6 
12
2 2 
32 3 
2 
3
 
Figura 10: Estrutura de pórtico Plano, constituida de Viga com Rigidez Axial e Rigidez á 
Flexão no Plano. (Alves, 2003). 
 
 
 
Figura 11: Matriz de rigidez global da estrutura sistema global de coordenadas. (Alves, 
2003). 
 
 
 
1ª. Linha 
2ª. Linha 
3ª. Linha 
1ª. Coluna 
2ª. Coluna 
3ª. Coluna 
2 REVISÃO DE ALGEBRA MATRICIAL 
2.1. Generalidades 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12: Exemplo de Matriz. 
Sendo: 
K11 o elemento localizado na 1ª. Linha e 1ª. Coluna 
K23 o elemento localizado na 2ª. Linha e 3ª. Coluna 
Desta maneira temos como índice o primeiro número indicando a linha e o segundo número 
indicando a coluna em que está o elemento da matriz. 
De modo geral pode-se expressar a posição em que se encontra um elemento por Kij em 
que o elemento encontra-se na i-ésima linha e j-ésima coluna. 
A matriz pode ser expressa de maneira compacta como: 
 
 
 
Figura 13: Exemplo de simplificação de uma Matriz. 
Neste exemplo tem-se uma matriz composta por 3 linhas e 3 colunas. Como esta possui o 
mesmo número de linhas e de colunas diz-se que ela é é uma Matriz Quadrada de Ordem 3. 
[ ]










=
333231
232221
131211
kkk
kkk
kkk
K
[ ] [ ]3x3ijKK =
Na equação {F} = [K] . {U} normalmente se conhecem as forças e rigidez mas, tem-se os 
delocamentos U como incógnitas portanto, há necessidade de isolá-los. Para realizar o isolamento 
desta matriz coluna é necessário utilizar o procedimento de inversão da matriz rigidez. 
O procedimento de inversão passa por encontrar a Determinante da matriz, os cofatores, a 
matriz transposta e a matriz identidade. 
2.2 Determinante de Matriz 
Para encontrar a Determinante de uma matriz é necessário somar os produtos de seus 
elementos como mostrado no exemplo a seguir. 
 
 
 
Figura14: Procedimento para encontrar a determinante de um Matriz. 
Note que a determinante de uma matriz é um número. 
2.3 Matriz Transposta 
Para a obtenção da Matriz Transposta é necessário trocar a posição dos elementos das 
linhas para colunas conforme exemplo a seguir. Isto é obtido fazendo-se com que um elemento que 
ocupe a posição i,j da Matriz [K] tenha a posição j,i da Matriz [K]T. 
 
 
 
Figura 15: Procedimento para transpor uma Matriz. 
2.4 Cofatores de Matriz 
Os cofatores de uma matriz são números obtidos em função de sua posição na matriz e os 
valores restantes da matriz quando se eliminam uma linha e uma coluna da matriz e multiplicados por 
(-1)i+j que indica o cruzamento da linha e coluna eliminadas, conforme exemplo a seguir. 
Para o elemento 1,1 da matriz do exemplo tem-se: 
 
 
 
 
Figura 16: Procedimento para encontrar um dos cofatores de uma Matriz. 
 
[ ] 12212211
2221
1211
.det kkkkK
kk
kk
K −=⇒





=
[ ] [ ]










=−





=
76
15
43
714
653 TKsetemK
[ ] ( ) ( ) 477.81.9
98
71
.1
982
714
653
11
11 −=−=





−=










=
+KcofK
Para o elemento 3,2 da matriz do exemplo tem-se: 
 
 
 
 
Figura 17: Procedimento para encontrar outro dos cofatores de uma Matriz.. 
 
A matriz dos cofatores teria o seguinte aspecto: 
 
 
 
 
 
Figura 18: Resultado da matriz com os dois cofatores da Matriz. 
 
Para inversão da matriz de rigidez tem-se então: 
 
 
 
 
Figura 19: Resumo da inversão de uma Matriz. 
Com a matriz de rigidez inversa é possível reescrever a equação da seguinte maneira: 
 
 
 
Figura 20: Equação simplificada dos deslocamentos globais. 
Onde {U} corresponde a matriz coluna dos deslocamentos globais e {F} corresponde a 
matriz coluna das forças. 
 
 
[ ] ( ) ( ) 36.47.3
74
63
.1
982
714
653
23
32 =+−=





−=










=
+KcofK
[ ]









−
=
3331
232221
1312
3
47
kk
kkk
kk
KCof
{ } [ ] { }FKU .1−=
[ ] [ ] [ ]
TcofK
K
K .
det
11
=
−
 
Figura 21: Visão geral do método dos elementos finitos. (Alves, 2003).