Apostila de Matemática elementar

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Marco Antonio Claret de Castro
Flávia Borges Arantes
Patrícia Oliveira Costa
Matemática Elementar
MEC / SEED / UAB
2012
C355m Castro, Marco Antonio Claret de
 Matemática Elementar / Marco Antonio Claret de Castro ; Flávia Borges Arantes ; 
Patrícia Oliveira Costa . — São João del-Rei, MG : UFSJ, 2012.
 198p.
 Curso de Graduação em Matemática.
 1. Álgebra 2. Geometria diferencial I. Arantes, Flávia Borges. II. Costa, Patrícia 
Oliveira III. Título.
CDU: 512.514.7 
Reitor Valeria Heloisa KempCoordenador UAB Carlos Alberto RaposoCoordenador NEAD/UFSJ Marise Maria Santana da RochaComissão Editorial: Fábio Alexandre de Matos
 Flávia Cristina Figueiredo Coura
 Geraldo Tibúrcio de Almeida e Silva
 José do Carmo Toledo
 José Luiz de Oliveira
 Leonardo Cristian Rocha (Presidente)
 Maria Amélia Cesari Quaglia
 Maria do Carmo Santos Neta
 Maria Jaqueline de Grammont Machado de Araújo
 Maria Rita Rocha do Carmo
 Rosângela Branca do Carmo
 Rosângela Maria de Almeida Camarano Leal
 Terezinha Lombello Ferreira
Edição
 Núcleo de Educação a Distância
 Comissão Editorial - NEAD-UFSJ
Capa/Diagramação 
 Eduardo Henrique de Oliveira Gaio
SUMÁRIO
PRA COMEÇO DE CONVERSA . . . . . . . . 7 
UNIDADE 1 - POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO . . . . . . 91.1. Potenciação . . . . . . . . . 111.1.1. Propriedades da potenciação . . . . . . 131.1.2. Aplicações de potências . . . . . . . 161.2. Radiciação . . . . . . . . . 181.2.1. Propriedades das potências fracionárias . . . . 221.2.2. Propriedades da radiciação . . . . . . 23 1.2.3. Racionalização . . . . . . . . 25
UNIDADE 2 - MMC(MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM) E
 MDC(MÁXIMO DIVISOR COMUM . . . . . . 29
2.1. Definições . . . . . . . . . 312.1.1. Múltiplos e divisores . . . . . . . 312.1.2. Números primos . . . . . . . 352.1.3. Decomposição de um número natural em fatores primos . . 362.1.4. Teorema fundamental da aritmética . . . . . 412.2. Mínimo múltiplo comum – m.m.c. . . . . . . 422.3 - máximo divisor comum – m.d.c. . . . . . . 45
UNIDADE 3 - PRODUTOS NOTÁVEIS . . . . . . . 493.1. Introdução . . . . . . . . . 513.2. Revisão de expressões algébricas . . . . . . 513.3. Produtos notáveis mais comuns . . . . . . 533.3.1. Quadrado da soma . . . . . . . 543.3.2. Quadrado da diferença . . . . . . 563.3.3. Produto da soma pela diferença . . . . . 583.3.4. Cubo da soma . . . . . . . . 593.3.5. Cubo da diferença . . . . . . . 613.3.6. Quadrado da soma de polinômios em geral . . . . 643.3.7. Trinômio quadrado perfeito . . . . . . 653.3.8. Completar quadrados . . . . . . . 673.3.9. Aplicações de produtos notáveis . . . . . 69
UNIDADE 4 - EQUAÇÕES DO 1º E 2º GRAUS . . . . . . 714.1. Introdução . . . . . . . . . 734.2. Equações do primeiro grau . . . . . . . 80
4.2.1. Definição . . . . . . . . 804.2.2. Resolução de equações do primeiro grau . . . . 804.2.3. Aplicações das equações do primeiro grau . . . . 84
4.3. Equações do segundo grau . . . . . . . 87
4.3.1. Definição . . . . . . . . 874.3.2. Tipos de equações . . . . . . . 884.3.3. Determinação de raízes . . . . . . 884.3.4. Raízes de equações incompletas da forma ax2 + bx = 0 . . 914.3.5. Raízes de equações completas da forma ax2 + bx + c = 0 . . 93
4.3.6. Relações entre os coeficientes e as raízes . . . . 984.3.6.1. Soma das raízes (s) . . . . . . 984.3.6.2. Produto das raízes (p) . . . . . 994.3.7. Equação biquadrada . . . . . . 1014.3.8. Aplicações das equações do 2º grau . . . . 1054.3.8.1. Resolução de problemas do 2º grau . . 1054.3.8.2. Sistemas do 2º grau . . . . . 109
UNIDADE 5 - OPERAÇÕES COM FRAÇÃO . . . . . . 113Introdução . . . . . . . . . 115
5.1. Definições . . . . . . . . 1155.1.1. Frações . . . . . . . . 1155.1.2. Leitura de frações . . . . . . 116
5.1.3. Classificação das frações . . . . . 1185.1.4. Equivalência de frações . . . . . 120
5.1.5. Simplificação de frações . . . . . 1215.2 operações com fração . . . . . . . 1225.2.1. Adição e subtração frações . . . . . 1235.2.2. Multiplicação de frações . . . . . 1255.2.3. Divisão de frações . . . . . . 1275.2.4. Potenciação (ou exponenciação) de frações . . . 1285.2.5. Radiciação de frações . . . . . . 1295.2.6. Transformações de frações . . . . . 1305.2.6.1. Redução de números inteiros para frações impróprias . . . . . 1305.2.6.2. Redução de número misto para fração imprópria 1315.2.6.3. Conversão de fração imprópria para número misto 1315.3. Números decimais . . . . . . . 1335.3.1. Leitura de um número decimal . . . . 1335.3.2. Conversão de fração decimal para número decimal . 1355.3.3. Conversão de fração não decimal para número decimal . 1365.3.4. Conversão de número decimal para fração decimal . 1375.3.5. Propriedades dos números decimais . . . 1385.4. Operações envolvendo números decimais . . . . 1395.4.1. Adição e subtração de números decimais . . . 1395.4.2. Multiplicação de números decimais . . . . 1415.4.3. Divisão de números decimais . . . . 1435.4.4. Potenciação de números decimais . . . . 144
5.4.5. Radiciação de números decimais . . . . 1455.4.6. Aplicações de números decimais e frações: porcentagens 146
UNIDADE 6 - RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO . . 149
6.1. Definições . . . . . . . . 1516.1.1 projeções . . . . . . . 1516.2. Relações métricas no triângulo retângulo . . . . 1536.2.1. Primeira relação métrica . . . . . 1536.2.2. Segunda relação métrica . . . . . 1546.2.3. Terceira relação métrica . . . . . 1556.2.4. Quarta relação métrica. Teorema de Pitágoras . . 1566.2.4.1. Triângulos pitagóricos . . . . 1586.2.4.2. Um pouco de história . . . . 1606.3. Relações trigonométricas no triângulo retângulo . . . 1636.3.1. Seno de um ângulo . . . . . . 1636.3.2. Cosseno de um ângulo . . . . . 1656.3.3. Tangente de um ângulo . . . . . 1666.3.4. Cálculo dos lados de um triângulo retângulo . . 1696.3.5. Relação fundamental da trigonometria . . . 1716.4. Aplicações dos triângulos retângulos na engenharia . . . 173
UNIDADE 7 - REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA . . . . 1797.1. Razão entre dois números . . . . . . 1817.2. Proporção . . . . . . . . 1857.2.1 – propriedade fundamental das proporções . . . 1887.2.2. Grandezas proporcionais . . . . . 1897.3. Regra de três simples e composta . . . . . 1917.3.1. Regra de três simples . . . . . . 1917.3.2. Regra de três composta . . . . . 193
PRA FINAL DE CONVERSA . . . . . . . . 197
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . 198
 
Pra começo de conversa... 
 
 Olá aluno (a)! Bem-vindo ao módulo da disciplina Matemática Elementar! A finalidade do oferecimento dessa disciplina é preencher uma lacuna que tem existido nos cursos presenciais de Licenciatura em Matemática, pois muitos formam nesses cursos e vão, em seguida, lecionar para alunos do ensino fundamental onde existem tópicos que não são abordados na graduação. Essa disciplina tem a carga horária de 72 horas e é composta de sete unidades: 1. Potenciação e Radiciação 2. M.M.C. e M.D.C. 3. Produtos notáveis 4. Equações do 1º e 2º graus 5. Operações com frações 6. Relações métricas no triângulo retângulo 7. Regra de 3 (simples e composta) As aulascompreenderão a parte teórica, confecção de exercícios e avaliações. Nós nos preocupamos em trabalhar com você os tópicos abordados nessa disciplina numa linguagem bem acessível, usando as definições acompanhadas de exemplos e exercícios para você fixar melhor os objetivos pretendidos. Esperamos que você inicie o curso com garra, vontade e persistência. Nunca desista diante das adversidades. Faça dessas um desafio e verá que uma das melhores coisas da vida será ultrapassar as barreiras com determinação 
7
 
Pra começo de conversa... 
 
 Olá aluno (a)! Bem-vindo ao módulo da disciplina Matemática Elementar! A finalidade do oferecimento dessa disciplina é preencher uma lacuna que tem existido nos cursos presenciais de Licenciatura em Matemática, pois muitos formam nesses cursos e vão, em seguida, lecionar para alunos do ensino fundamental onde existem tópicos que não são abordados na graduação. Essa disciplina tem a carga horária de 72 horas e é composta de sete unidades: 1. Potenciação e Radiciação 2. M.M.C. e M.D.C. 3. Produtos notáveis 4. Equações do 1º e 2º graus 5. Operações com frações 6. Relações métricas no triângulo retângulo 7. Regra de 3 (simples e composta) As aulas compreenderão a parte teórica, confecção de exercícios e avaliações. Nós nos preocupamos em trabalhar com você os tópicos abordados nessa disciplina numa linguagem bem acessível, usando as definições acompanhadas de exemplos e exercícios para você fixar melhor os objetivos pretendidos. Esperamos que você inicie o curso com garra, vontade e persistência. Nunca desista diante das adversidades. Faça dessas um desafio e verá que uma das melhores coisas da vida será ultrapassar as barreiras com determinação 
unidade
9
unidade 1
Potenciação e radiação
Problematizando
•	 O que é base e expoente numa potência?
•	 Quais as propriedades da potenciação?
•	 Como é determinada a potenciação de números?
•	 Como calcular a raiz enésima de um número?
•	 Quais as propriedades da radiciação?
 
1.1. Potenciação: 
Objetivo 
 Definir potenciação. 
Vamos responder: 
 a) Numa estrada, encontrei sete mulheres. Cada mulher tinha sete sacos, Cada saco tinha sete gatinhos. Quantos gatinhos eu encontrei na estrada? Essa brincadeira, adaptada de um verso inglês, é solucionada, usando também a potenciação: 7 x 7 x 7 x 7 = 74 = 2 401 
 b) Se você lançar uma moeda, quantos e quais resultados você pode obter? Veja: 1) Se lançarmos uma moeda, são dois resultados possíveis: 
 2) Se lançarmos duas moedas, são quatro resultados possíveis: 
11
unidade 1
 
1.1. Potenciação: 
Objetivo 
 Definir potenciação. 
Vamos responder: 
 a) Numa estrada, encontrei sete mulheres. Cada mulher tinha sete sacos, Cada saco tinha sete gatinhos. Quantos gatinhos eu encontrei na estrada? Essa brincadeira, adaptada de um verso inglês, é solucionada, usando também a potenciação: 7 x 7 x 7 x 7 = 74 = 2 401 
 b) Se você lançar uma moeda, quantos e quais resultados você pode obter? Veja: 1) Se lançarmos uma moeda, são dois resultados possíveis: 
 2) Se lançarmos duas moedas, são quatro resultados possíveis: 
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 3) Se lançarmos três moedas, quantos serão os resultados possíveis? 
 
Fonte: (GIOVANNI, 2005, p. 8) Vamos então estabelecer uma relação entre o número de moedas lançadas ao ar e o número de resultados possíveis. Veja no quadro: Nº de moedas Nº de resultados possíveis 1 2 = 21 2 4 = 2x2 = 22 3 8 = 2x2x2 = 23 4 16= 2x2x2x2 = 24 5 32 = 2x2x2x2x2 = 25 ... ............ 
 
Concluímos então, no lançamento simultâneo de n moedas, o número de resultados possíveis é dado por 2n. Que também é potenciação. 
Resolva você: Em uma colônia, cada bactéria se reproduz dividindo-se em quatro bactérias por minuto. Partindo de uma só bactéria, quantas serão produzidas em 6 minutos de divisão? ( r: 4 094 bactérias) Agora então, podemos definir o que é a operação potenciação de números reais. 
Definição 
 
A potência 23, por exemplo, indica que a base, o número 2, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja 2x2x2. Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base (71 = 7), enquanto que com um expoente 0, devido as propriedades da potência, o resultado é sempre igual a 1 (160 = 1). 
Então vamos ver estas propriedades!!! 
1.1.1. Propriedades da potenciação 
Objetivo 
 Aplicar as propriedades da potenciação. 
1) Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. 
As potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um 
número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes 
por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é 
multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado 
expoente, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesma. As 
potências apresentam-se na forma xn, onde n é o expoente e x é a base. 
13
unidade 1
13
 
 3) Se lançarmos três moedas, quantos serão os resultados possíveis? 
 
Fonte: (GIOVANNI, 2005, p. 8) Vamos então estabelecer uma relação entre o número de moedas lançadas ao ar e o número de resultados possíveis. Veja no quadro: Nº de moedas Nº de resultados possíveis 1 2 = 21 2 4 = 2x2 = 22 3 8 = 2x2x2 = 23 4 16= 2x2x2x2 = 24 5 32 = 2x2x2x2x2 = 25 ... ............ 
 
Concluímos então, no lançamento simultâneo de n moedas, o número de resultados possíveis é dado por 2n. Que também é potenciação. 
Resolva você: Em uma colônia, cada bactéria se reproduz dividindo-se em quatro bactérias por minuto. Partindo de uma só bactéria, quantas serão produzidas em 6 minutos de divisão? ( r: 4 094 bactérias) Agora então, podemos definir o que é a operação potenciação de números reais. 
Definição 
 
A potência 23, por exemplo, indica que a base, o número 2, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja 2x2x2. Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base (71 = 7), enquanto que com um expoente 0, devido as propriedades da potência, o resultado é sempre igual a 1 (160 = 1). 
Então vamos ver estas propriedades!!! 
1.1.1. Propriedades da potenciação 
Objetivo 
 Aplicar as propriedades da potenciação. 
1) Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. 
As potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um 
número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes 
por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é 
multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado 
expoente, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesma. As 
potências apresentam-se na forma xn, onde n é o expoente e x é a base. 
14
 
baba xx.x 
Observe que: 27 x 9 = 243 , 27 = 33 e 9 = 32 , isto implica que 33 x 32 = 243 = 35 = 33+2 
2) Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. 
ba
b
a
x
x
x 
Usando o mesmo exemplo: 27 / 9 = 3 então : 33 / 32 = 3 = 33-2 
Agora podemos justificar porque 160 = 1 Temos: 16 : 16 = 24 : 24 = 1, usando a propriedade teremos: 24 : 24 = 2 4-4 = 20 = 1 
 
3) Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes. 
(xa)b = xab 
Observe: 
93 = 729 , (32)3 = 729 = 36 = 3 2X3 
 4) Ao elevar um produto ou um quociente a um expoente, elevamos cada um dos fatores a esse expoente ou, no caso do quociente, elevamos o dividendo e também o divisor ao mesmo expoente. 
O número real x, diferente de zero, 
elevado a zero sempre será 1. 
 
 
aaa y.x)y.x( 
a
aa
y
x
y
x 
Observe:6 2 = 36 vamos lá, usando o mesmo método: 62 = ( 3x2)2 = 32 x 22 = 9 x 4 = 36 62 = ( 2)
2
12 = 36
4
144
2
12
2
2 
 
E o expoente negativo? Com esta propriedade e o estudo de frações poderemos compreender a definição se o expoente for um número real negativo. 
Exemplo 9 : 27 = 13232 333331279 isto implica então que (3)-1 = 31 Verifique se é valido para este exemplo: ( 2)
3
2 = ( 2)
2
3 = 
4
9 . Se a base for um número real negativo é preciso colocar entre parênteses. 
 
Exemplo (-2)2 = ( -2) x ( -2) = 4 , -22 = - ( 2 x 2 ) = -4 
 Vamos resolver: 1) Escreva na forma de potência os seguintes produtos: a) 12 x 12 x 12 (r: 123) b) (-15) x ( -15) x (-15) x ( -1 (r: -15)4 
Então, diremos que se o expoente for negativo 
invertemos a base e colocamos o expoente 
positivo. 
 
15
unidade 1
 
baba xx.x 
Observe que: 27 x 9 = 243 , 27 = 33 e 9 = 32 , isto implica que 33 x 32 = 243 = 35 = 33+2 
2) Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. 
ba
b
a
x
x
x 
Usando o mesmo exemplo: 27 / 9 = 3 então : 33 / 32 = 3 = 33-2 
Agora podemos justificar porque 160 = 1 Temos: 16 : 16 = 24 : 24 = 1, usando a propriedade teremos: 24 : 24 = 2 4-4 = 20 = 1 
 
3) Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes. 
(xa)b = xab 
Observe: 
93 = 729 , (32)3 = 729 = 36 = 3 2X3 
 4) Ao elevar um produto ou um quociente a um expoente, elevamos cada um dos fatores a esse expoente ou, no caso do quociente, elevamos o dividendo e também o divisor ao mesmo expoente. 
O número real x, diferente de zero, 
elevado a zero sempre será 1. 
 
 
aaa y.x)y.x( 
a
aa
y
x
y
x 
Observe: 6 2 = 36 vamos lá, usando o mesmo método: 62 = ( 3x2)2 = 32 x 22 = 9 x 4 = 36 62 = ( 2)
2
12 = 36
4
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2
12
2
2 
 
E o expoente negativo? Com esta propriedade e o estudo de frações poderemos compreender a definição se o expoente for um número real negativo. 
Exemplo 9 : 27 = 13232 333331279 isto implica então que (3)-1 = 31 Verifique se é valido para este exemplo: ( 2)
3
2 = ( 2)
2
3 = 
4
9 . Se a base for um número real negativo é preciso colocar entre parênteses. 
 
Exemplo (-2)2 = ( -2) x ( -2) = 4 , -22 = - ( 2 x 2 ) = -4 
 Vamos resolver: 1) Escreva na forma de potência os seguintes produtos: a) 12 x 12 x 12 (r: 123) b) (-15) x ( -15) x (-15) x ( -1 (r: -15)4 
Então, diremos que se o expoente for negativo 
invertemos a base e colocamos o expoente 
positivo. 
 
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c)   
nvezes
3,0......3,0.3,0.3,0.3,0 (r: 0,3)n 
 Calcule: a) (-2)5 (r: -32) b) (0,8) 3 (r: 0,512) c) (11/6) 2 (r:121/36) d) -54 (r: -625) e) (5)-2 (r: 1/25) f) (-2)-5 (r: -1/32) g) (-2/3)3 (r: -27/8) h) 60 (r: 1) 2) Usando as propriedades transforme numa só potência cada uma das expressões: a) 32 . 3 . 3 -4 (r: 3-1) b) 67 : 6-2 (r: 69) c) 2-3 : 2-1 (r: 2-2) d) (102)-5 (r: 10-10) e) (7-1)-3 (r: 73) 4) (Fuvest – SP) Qual é a metade de 222? (r: 221) 
1.1.2. Aplicações de Potências: Segundo (ANDRINI, 2002, p. 13): 
 Observe que 0,01 = 22 101011001 e 10000000000 = 1010 Então, outra aplicação da potenciação é a “notação científica”: A distância entre o planeta Vênus e o Sol é de 108 000 000 quilômetros. A notação científica permite registrar esse número numa forma mais simples: 
Um ótimo truque algébrico: 29 x 31 = ( 30 – 1) x ( 30 + 1) = 302 - 12 = 900 – 1 = 899 Este truque nada mais é do que a aplicação da chamada da diferença de dois quadrados: (a – b) ( a + b) = a2 – b2 , que veremos na unidade 3. 
 
Os registros de números na notação científica apresentam um número entre 1 e 10 multiplicado por uma potência de base 10. Assim: 108 000 000 Km = 1,08 .108 km Você sabe qual é a distância entre a Terra e o Sol? Responda a essa pergunta, usando a notação científica. (r: 1,5. 108) 
 
Exemplo: Certo vírus tem espessura aproximada de 0,000006 milímetros. Expresse esse valor em notação científica. 0,000006 mm = 6. 10-6 Veja mais um exemplo de aplicação da potência: Escrever na forma de produto a expressão 5100 + 5101 + 5102 . 5100 + 5101 + 5102 = 5100(1 + 5 + 52) = 5100(1 + 5 + 25) = 5100(31) 5100 + 5101 + 5102 = 31. 5100 Então agora: 
Vamos resolver: 1) A velocidade da luz é de 300.000Km/s. Use a notação científica para escrever esta velocidade. (r: 3.105) 2) Se x = 0,000011 e y = 0,003. Escreva o produto de x por y usando a notação científica. (r: 33. 109) 3) Simplifique a expressão 4221 3223 )10.()10.(3 )10.()10.(18 , dizendo o seu valor na forma de número decimal. (r: 0,06) 4) Qual é a forma mais simples de escrever a expressão: a) 2 45 )( ).()( abcacab (r: a7b3c2) 
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unidade 1
 
c)   
nvezes
3,0......3,0.3,0.3,0.3,0 (r: 0,3)n 
 Calcule: a) (-2)5 (r: -32) b) (0,8) 3 (r: 0,512) c) (11/6) 2 (r:121/36) d) -54 (r: -625) e) (5)-2 (r: 1/25) f) (-2)-5 (r: -1/32) g) (-2/3)3 (r: -27/8) h) 60 (r: 1) 2) Usando as propriedades transforme numa só potência cada uma das expressões: a) 32 . 3 . 3 -4 (r: 3-1) b) 67 : 6-2 (r: 69) c) 2-3 : 2-1 (r: 2-2) d) (102)-5 (r: 10-10) e) (7-1)-3 (r: 73) 4) (Fuvest – SP) Qual é a metade de 222? (r: 221) 
1.1.2. Aplicações de Potências: Segundo (ANDRINI, 2002, p. 13): 
 Observe que 0,01 = 22 101011001 e 10000000000 = 1010 Então, outra aplicação da potenciação é a “notação científica”: A distância entre o planeta Vênus e o Sol é de 108 000 000 quilômetros. A notação científica permite registrar esse número numa forma mais simples: 
Um ótimo truque algébrico: 29 x 31 = ( 30 – 1) x ( 30 + 1) = 302 - 12 = 900 – 1 = 899 Este truque nada mais é do que a aplicação da chamada da diferença de dois quadrados: (a – b) ( a + b) = a2 – b2 , que veremos na unidade 3. 
 
Os registros de números na notação científica apresentam um número entre 1 e 10 multiplicado por uma potência de base 10. Assim: 108 000 000 Km = 1,08 .108 km Você sabe qual é a distância entre a Terra e o Sol? Responda a essa pergunta, usando a notação científica. (r: 1,5. 108) 
 
Exemplo: Certo vírus tem espessura aproximada de 0,000006 milímetros. Expresse esse valor em notação científica. 0,000006 mm = 6. 10-6 Veja mais um exemplo de aplicação da potência: Escrever na forma de produto a expressão 5100 + 5101 + 5102 . 5100 + 5101 + 5102 = 5100(1 + 5 + 52) = 5100(1 + 5 + 25) = 5100(31) 5100 + 5101 + 5102 = 31. 5100 Então agora: 
Vamos resolver: 1) A velocidade da luz é de 300.000Km/s. Use a notação científica para escrever esta velocidade. (r: 3.105) 2) Se x = 0,000011 e y = 0,003. Escreva o produto de x por y usando a notação científica. (r: 33. 109) 3) Simplifique a expressão 4221 3223 )10.()10.(3 )10.()10.(18 , dizendo o seu valor na forma de número decimal. (r: 0,06) 4) Qual é a forma mais simples de escrever a expressão: a) 2 45 )( ).()( abcacab (r: a7b3c2) 
18
 
 b) 
).).(.(
)..()..(.
2112
214212
baba
bababa (r: b3/ a2) 
Um pouco de história: Segundo (GIOVANNI, 2005, p. 9) “Os babilônios,(denominação genérica para diversos povos na antiguidade, que durante 3000 anos, ocuparam sucessivamente a Mesopotâmia, região aproximadamente correspondente ao Iraque de hoje), usavam as potências como auxiliares da multiplicação, enquanto os gregos tinham preferência pelos quadrados e pelos cubos. No século III, o matemático grego Diofante idealizou as seguintes notações das potências: x para expressar a primeira potência, xx a segunda e xxx para expressar a terceira potência. No século XVII, o pensador e matemático francês René Descartes ( 1596 -1650) introduziu as notações x , x2 , x3, . . . , para potências, notações essas que usamos hoje.” 
1.2. Radiciação 
 
Objetivos 
 Definir radiação. 
 Resolver problemas usando radiciação. 
 
Definição 
Radiciação de números relativos é a operação inversa da 
potenciação. Ou seja, 
0n,abab nn 
 
Em outros termos, dado um número relativo a denominado radicando e dado um número inteiro positivo n denominado índice da raiz, é possível determinar outro número relativo b, denominado raiz enésima de a (ou raiz de índice n de a), representada pelo símbolo n a , tal que b elevado a n seja igual ao valor a. 
Exemplo 
749 , pois 7. 7 = 72 = 49 7 = 49 
3 8 = -2, pois (-2) . (-2) . (-2) = (-2)3 = -8 -2 = 3 8 Para determinarmos a raiz enésima de um número real a, temos dois casos a examinar: 1º caso: O índice n é par: bn = a a 0 , pois multiplicaremos b n ( par) vezes . Então a potência “a” será sempre positiva. Assim não se define no conjunto de números reais raiz de índice par e radicando negativo, pois o radicando será a potência da operação inversa. 
Exemplo 
49 = não se define nos números reais, pois (-7) . (-7) = 49 Este fato se estende quando consideramos a raiz quarta, sexta, oitava... e assim por diante, de um número real negativo. 
Mas atenção: - 749 49 E também 
2)7( = 749 
 
Então vamos definir: 
n na = a , quando n é par 
49 2)7( =-7 e 49 2)7( = +7 
19
unidade 1
 
 b) 
).).(.(
)..()..(.
2112
214212
baba
bababa (r: b3/ a2) 
Um pouco de história: Segundo (GIOVANNI, 2005, p. 9) “Os babilônios, (denominação genérica para diversos povos na antiguidade, que durante 3000 anos, ocuparam sucessivamente a Mesopotâmia, região aproximadamente correspondente ao Iraque de hoje), usavam as potências como auxiliares da multiplicação, enquanto os gregos tinham preferência pelos quadrados e pelos cubos. No século III, o matemático grego Diofante idealizou as seguintes notações das potências: x para expressar a primeira potência, xx a segunda e xxx para expressar a terceira potência. No século XVII, o pensador e matemático francês René Descartes ( 1596 -1650) introduziu as notações x , x2 , x3, . . . , para potências, notações essas que usamos hoje.” 
1.2. Radiciação 
 
Objetivos 
 Definir radiação. 
 Resolver problemas usando radiciação. 
 
Definição 
Radiciação de números relativos é a operação inversa da 
potenciação. Ou seja, 
0n,abab nn 
 
Em outros termos, dado um número relativo a denominado radicando e dado um número inteiro positivo n denominado índice da raiz, é possível determinar outro número relativo b, denominado raiz enésima de a (ou raiz de índice n de a), representada pelo símbolo n a , tal que b elevado a n seja igual ao valor a. 
Exemplo 
749 , pois 7. 7 = 72 = 49 7 = 49 
3 8 = -2, pois (-2) . (-2) . (-2) = (-2)3 = -8 -2 = 3 8 Para determinarmos a raiz enésima de um número real a, temos dois casos a examinar: 1º caso: O índice n é par: bn = a a 0 , pois multiplicaremos b n ( par) vezes . Então a potência “a” será sempre positiva. Assim não se define no conjunto de números reais raiz de índice par e radicando negativo, pois o radicando será a potência da operação inversa. 
Exemplo 
49 = não se define nos números reais, pois (-7) . (-7) = 49 Este fato se estende quando consideramos a raiz quarta, sexta, oitava... e assim por diante, de um número real negativo. 
Mas atenção: - 749 49 E também 
2)7( = 749 
 
Então vamos definir: 
n na = a , quando n é par 
49 2)7( =-7 e 49 2)7( = +7 
20
 
Chegaríamos à conclusão que -7 = +7, que é um absurdo!!!!!!! Generalizando: x o radicando, n o expoente par e k 0 uma constante. 
Xn = kn n nx = n nk x = k 
kx
ou
kx , observe que a raiz é sempre 
positiva, o radicando xn é que poderia ter valor para x positivo e valor para x negativo. 
Exemplo 
X2 = 49 2x 49 x = 7 
7
7
x
ou
x 
2º caso: O índice n é impar: 
3 8 = -2, pois (-2).(-2).(-2) = (-2)3 = -8 -2 = 3 8 
Então concluímos que: , isto é, dado um número real a e sendo n um número natural ímpar, a expressão n a é o número real b, tal que bn = a . 
A raiz de um número real com índice 
par é sempre um número real positivo. 
 
 
Sendo n um número natural diferente 
de zero, define-se: 
 00n 
 
Então agora: 
Vamos Resolver: 1) Calcule: a) 1 (r: 1) b) 3 8000 (r: 200) c) 49,0 (r: 0,7) 
d) 4 625 (r: 5) e) 
25
4 (r: 2/5) f) 3 001,0 (r: -0,1) 
g) 21,1 (r: 1,1) 2) Calcule, caso exista no conjunto dos números reais: a) 64 (r: 8 ) b) 64 (r: Não existe) c) 3 1 (r: -1) d) 6 1 (r: Não existe) 
E o expoente fracionário? Os expoentes racionais relacionam a potenciação e a radiciação da seguinte maneira: Consideremos um número real x, tal que x = 3 25 . Usando a definição, temos: x = 3 25 x3 = 52 (1) Agora, se tivermos outro número y, tal que y = 5 32 Usando as propriedades da potência temos: y = 5 32 y3 = (5 32 )3 y3 = 5 332 y3 = 52 (2) 
Comparando as igualdades (1) e (2), temos: 
yxyx
y
x 33
23
23
5
5 
Então podemos escrever que: 3 25 = 5 32 
21
unidade 1
 
Chegaríamos à conclusão que -7 = +7, que é um absurdo!!!!!!! Generalizando: x o radicando, n o expoente par e k 0 uma constante. 
Xn = kn n nx = n nk x = k 
kx
ou
kx , observe que a raiz é sempre 
positiva, o radicando xn é que poderia ter valor para x positivo e valor para x negativo. 
Exemplo 
X2 = 49 2x 49 x = 7 
7
7
x
ou
x 
2º caso: O índice n é impar: 
3 8 = -2, pois (-2).(-2).(-2) = (-2)3 = -8 -2 = 3 8 
Então concluímos que: , isto é, dado um número real a e sendo n um número natural ímpar, a expressão n a é o número real b, tal que bn = a . 
A raiz de um número real com índice 
par é sempre um número real positivo. 
 
 
Sendo n um número natural diferente 
de zero, define-se: 
 00n 
 
Então agora: 
Vamos Resolver: 1) Calcule: a) 1 (r: 1) b) 3 8000 (r: 200) c) 49,0 (r: 0,7) 
d) 4 625 (r: 5) e) 
25
4 (r: 2/5) f) 3 001,0 (r: -0,1) 
g) 21,1 (r: 1,1) 2) Calcule, caso exista no conjunto dos números reais: a) 64 (r: 8 ) b) 64 (r: Não existe) c) 3 1 (r: -1) d) 6 1 (r: Não existe) 
E o expoente fracionário? Os expoentes racionais relacionam a potenciação e a radiciação da seguinte maneira: Consideremos um número real x, tal que x = 3 25 . Usando a definição, temos: x = 3 25 x3 = 52 (1) Agora, se tivermos outro número y, tal que y = 5 32 Usando as propriedades da potência temos: y = 5 32 y3 = (5 32 )3 y3 = 5 332 y3 = 52 (2) 
Comparando as igualdades (1) e (2), temos: 
yxyx
y
x 33
2323
5
5 
Então podemos escrever que: 3 25 = 5 32 
22
 
Sendo a , m , n , m > 0, n > 0, podemos escrever: 
n mn
m
aa Exercícios Calcule: a) 64 21 (r: 8) b) 1000,5 (r: 10) c) (
27
8 ) 31 (r: 2/3) 
d) (-32) 51 (r: -2) e) 6250,25 (r: 5) 
 
1.2.1. Propriedades das potências fracionárias: 
Objetivo 
 Conhecer a aplicar as propriedades de potências fracionárias. As mesmas propriedades que foram estudadas para expoentes inteiros valem para as potências com expoentes fracionários. 
 
Vamos resolver: 1) Escreva em forma de uma só potência cada uma das seguintes expressões: a) 2 32 . 2 51 (r: 2 1513 ) b) 5 21 : 5 81 (r: 5 83 ) c) (7 74 ) 27 (r: 49) d) 
4
3
10
10 (r: 101/4) 
 
As potências de base positiva e expoente racional 
podem ser escritas na forma de radical, e os radicais 
podem ser escritos na forma de potência com 
expoente racional. 
 
2) Determine o valor da sentença: 27 32 + 9 25 (r: 252) 3) Se A = (4 21 + 81 41 ) , determine A-1. (r: 1/5) 
Um pouco de história: Segundo (GIOVANNI, 2005. p.43), “Contam os historiadores da Matemática que o número 2 foi responsável pela primeira grande crise entre os matemáticos gregos. O teorema de Pitágoras garantia que 2 é a medida da diagonal do quadrado de lado unitário. Aí é que as coisas começaram a se complicar, pois na Antiguidade eram conhecidos apenas os números inteiros (positivos) e fracionários. Como 2 não é inteiro nem fracionário, que número é então? Para os Pitagóricos os números regulavam o universo. Euclides de Alexandria (séc. III a.c) provou que 2 não é racional usando um raciocínio denominado “redução ao absurdo”. A palavra radical vem do latim radix ou radicis, que significa raiz.. O símbolo de radical (adotado talvez porque lembra um r minúsculo, de raiz) introduzido em 1525, por Christoff Rudolff em seu livro de álgebra intitulado Die coss.” 
1.2.2. Propriedades da Radiciação: 
Objetivo 
 Aplicar as propriedades da radiciação. 
 
1ª propriedade: Se a 0 , então n na = a Ex: 27 = 7, 2x = x, se x 0 
 
 
23
unidade 1
23
 
Sendo a , m , n , m > 0, n > 0, podemos escrever: 
n mn
m
aa Exercícios Calcule: a) 64 21 (r: 8) b) 1000,5 (r: 10) c) (
27
8 ) 31 (r: 2/3) 
d) (-32) 51 (r: -2) e) 6250,25 (r: 5) 
 
1.2.1. Propriedades das potências fracionárias: 
Objetivo 
 Conhecer a aplicar as propriedades de potências fracionárias. As mesmas propriedades que foram estudadas para expoentes inteiros valem para as potências com expoentes fracionários. 
 
Vamos resolver: 1) Escreva em forma de uma só potência cada uma das seguintes expressões: a) 2 32 . 2 51 (r: 2 1513 ) b) 5 21 : 5 81 (r: 5 83 ) c) (7 74 ) 27 (r: 49) d) 
4
3
10
10 (r: 101/4) 
 
As potências de base positiva e expoente racional 
podem ser escritas na forma de radical, e os radicais 
podem ser escritos na forma de potência com 
expoente racional. 
 
2) Determine o valor da sentença: 27 32 + 9 25 (r: 252) 3) Se A = (4 21 + 81 41 ) , determine A-1. (r: 1/5) 
Um pouco de história: Segundo (GIOVANNI, 2005. p.43), “Contam os historiadores da Matemática que o número 2 foi responsável pela primeira grande crise entre os matemáticos gregos. O teorema de Pitágoras garantia que 2 é a medida da diagonal do quadrado de lado unitário. Aí é que as coisas começaram a se complicar, pois na Antiguidade eram conhecidos apenas os números inteiros (positivos) e fracionários. Como 2 não é inteiro nem fracionário, que número é então? Para os Pitagóricos os números regulavam o universo. Euclides de Alexandria (séc. III a.c) provou que 2 não é racional usando um raciocínio denominado “redução ao absurdo”. A palavra radical vem do latim radix ou radicis, que significa raiz.. O símbolo de radical (adotado talvez porque lembra um r minúsculo, de raiz) introduzido em 1525, por Christoff Rudolff em seu livro de álgebra intitulado Die coss.” 
1.2.2. Propriedades da Radiciação: 
Objetivo 
 Aplicar as propriedades da radiciação. 
 
1ª propriedade: Se a 0 , então n na = a Ex: 27 = 7, 2x = x, se x 0 
 
 
24
 
2ª propriedade: 
n ma = p:n p:ma , com p 0 e p divisor comum de m e n. 
Observe: 
12 122 = 2, pela 1ª propriedade 
22 = 2, pela 1ª propriedade Então, 12 122 = 6:12 6:122 = 22 = 2 
3ª propriedade: 
.11,,,,. penmnacomaa pnn p 
Observe: 
5
1
35 3 )7(7 = 151515131 77)7( 
4ª propriedade: 
1,.. ,, nenbadadosbaba nnn 
Observe: 
7.37.3)7.3(7.3 2
1
2
1
2
1 5ª propriedade: 
1nenbadados,
b
a
b
a
,,n
n
n Observe: 
7/37/3)7/3(7/3 2
1
2
1
2
1 Adicionando algebricamente dois ou mais radicais: Se uma expressão contém radicais semelhantes, podemos reduzi-los a um só radical. 
 
Acompanhe: 7 228252 = 2 ( 7 + 5 – 8 + 1 ) = 5 2 Multiplicando e dividindo expressões com radicais de índices diferentes: Neste caso, convém transformar dois ou mais radicais de índices diferentes em radicais equivalentes e que tenham o mesmo índice, que já sabemos calcular: Observe: 
33 5 2.3 = 6 9156 96 153.2 3.32.3 2.5 2.3232.3 Potenciação de expressões com radicais: 
n ppn aa )( Acompanhe: 
3 43333343 5555555555 ......)( 
 
1.2.3. Racionalização: 
Objetivos 
 Racionalizar frações que envolvem radical no denominador. 
 Aplicar a racionalização para facilitar o cálculo de expressões. Antigamente, quando ainda não existiam as calculadoras, era muito complicado calcular, 
por exemplo, .
2
1 Teriam que dividir ....414213562,1 1 Então eles multiplicaram o numerador e o denominador por 2 
.
2
1
2
2 = 
2
2
4
2
2.2
2 = 2 ...41421,1 , esta é uma conta muito mais fácil de fazer. Esta transformação, ou qualquer transformação deste tipo, é dada o nome de Racionalização de denominadores. 
25
unidade 1
 
2ª propriedade: 
n ma = p:n p:ma , com p 0 e p divisor comum de m e n. 
Observe: 
12 122 = 2, pela 1ª propriedade 
22 = 2, pela 1ª propriedade Então, 12 122 = 6:12 6:122 = 22 = 2 
3ª propriedade: 
.11,,,,. penmnacomaa pnn p 
Observe: 
5
1
35 3 )7(7 = 151515131 77)7( 
4ª propriedade: 
1,.. ,, nenbadadosbaba nnn 
Observe: 
7.37.3)7.3(7.3 2
1
2
1
2
1 5ª propriedade: 
1nenbadados,
b
a
b
a
,,n
n
n Observe: 
7/37/3)7/3(7/3 2
1
2
1
2
1 Adicionando algebricamente dois ou mais radicais: Se uma expressão contém radicais semelhantes, podemos reduzi-los a um só radical. 
 
Acompanhe: 7 228252 = 2 ( 7 + 5 – 8 + 1 ) = 5 2 Multiplicando e dividindo expressões com radicais de índices diferentes: Neste caso, convém transformar dois ou mais radicais de índices diferentes em radicais equivalentes e que tenham o mesmo índice, que já sabemos calcular: Observe: 
33 5 2.3 = 6 9156 96 153.2 3.32.3 2.5 2.3232.3 Potenciação de expressões com radicais: 
n ppn aa )( Acompanhe: 
3 43333343 5555555555 ......)( 
 
1.2.3. Racionalização: 
Objetivos 
 Racionalizar frações que envolvem radical no denominador. 
 Aplicar a racionalização para facilitar o cálculo de expressões. Antigamente, quando ainda não existiam as calculadoras, era muito complicado calcular, 
por exemplo, .
2
1 Teriam que dividir ....414213562,1 1 Então eles multiplicaram o numerador e o denominador por 2 
.
2
1
2
2 = 
2
2
4
2
2.2
2 = 2 ...41421,1 , esta é uma conta muito mais fácil de fazer. Esta transformação, ou qualquer transformação destetipo, é dada o nome de Racionalização de denominadores. 
26
 
Podemos também, simplificar um radical, retirando fatores do radicando: 
500 = 100.5 = 210.5 = 210.5 = 10 5 
2304 = 28 3.2 = 28 3.2 = 24 .3 = 48 Ou podemos também introduzir um fator externo no radicando: 10 5 = 5.102 = 5.102 = 500 
 
Aplicação de Radiciação: A figura a baixo é um quadrado cujo lado mede l. A área desse quadrado é 2304 cm2. Qual é o valor de l em cm? 
 Como sabemos, a área do quadrado é l. l = l2 l2 = 2 304 l = 2304 = 24 .3 = 48 Então o valor de l = 48 cm 
Vamos resolver: 1) Um terreno quadrado tem 900m2 de área. a) Quantos metros medem o seu perímetro? (r: 120 m) b) Qual será a área, em m2, de um terreno com o triplo da medida do lado deste quadrado? (r: 8.100 m2) 2) Certo ou errado? Justifique dizendo a propriedade ou operação usada. a) 5 521 = 21 (r: c) b) 2)4.3( = 2 3 (r: e) c) 286 (r: c) d) 2 2010 (r: e) e) 2410 1024 5)5( yxyx (r: c) f) 268.9 (r: c) 3) Se a 0,0 b , escreva na sua forma mais simples possível o seguinte produto: 
l
c
m 
 
 4 3 63 3 . ba (r: a2b2) 4) Vamos simplificar cada um dos radicais: a) 5 352 (r: 2 5 11 ) b) 3 250 (r: 5 3 2 ) 5) Introduza o fator externo no radicando: a) 2 4 10 (r: 4 160 ) b) 5y3 3 y (r: 3 10125y ) c) ( x + y ) yx = (r: 3223 yxyyxx ) 6) Simplifique as frações: 
a) 
8
324 (r: 
2
21 ) b) 
x
yxx 22 (r: x - y ) 7) Se X = 3 527 e Y = 3 527 Determine: a) 
2
YX (r: 73 ) b) X – Y (r: 54 ) c) (X + Y) (X – Y) (r: 43) 8) Dadas as igualdades 246 1010x e 2010 22y , determine o valor de x + y (r: 6) E aí? Compreenderam? Esperamos ter conseguido, neste capítulo, alcançar nossos objetivos. Vamos então para a próxima unidade... 
 
 
 
 
 
 
 
27
unidade 1
27
unidade
 
Podemos também, simplificar um radical, retirando fatores do radicando: 
500 = 100.5 = 210.5 = 210.5 = 10 5 
2304 = 28 3.2 = 28 3.2 = 24 .3 = 48 Ou podemos também introduzir um fator externo no radicando: 10 5 = 5.102 = 5.102 = 500 
 
Aplicação de Radiciação: A figura a baixo é um quadrado cujo lado mede l. A área desse quadrado é 2304 cm2. Qual é o valor de l em cm? 
 Como sabemos, a área do quadrado é l. l = l2 l2 = 2 304 l = 2304 = 24 .3 = 48 Então o valor de l = 48 cm 
Vamos resolver: 1) Um terreno quadrado tem 900m2 de área. a) Quantos metros medem o seu perímetro? (r: 120 m) b) Qual será a área, em m2, de um terreno com o triplo da medida do lado deste quadrado? (r: 8.100 m2) 2) Certo ou errado? Justifique dizendo a propriedade ou operação usada. a) 5 521 = 21 (r: c) b) 2)4.3( = 2 3 (r: e) c) 286 (r: c) d) 2 2010 (r: e) e) 2410 1024 5)5( yxyx (r: c) f) 268.9 (r: c) 3) Se a 0,0 b , escreva na sua forma mais simples possível o seguinte produto: 
l
c
m 
 
 4 3 63 3 . ba (r: a2b2) 4) Vamos simplificar cada um dos radicais: a) 5 352 (r: 2 5 11 ) b) 3 250 (r: 5 3 2 ) 5) Introduza o fator externo no radicando: a) 2 4 10 (r: 4 160 ) b) 5y3 3 y (r: 3 10125y ) c) ( x + y ) yx = (r: 3223 yxyyxx ) 6) Simplifique as frações: 
a) 
8
324 (r: 
2
21 ) b) 
x
yxx 22 (r: x - y ) 7) Se X = 3 527 e Y = 3 527 Determine: a) 
2
YX (r: 73 ) b) X – Y (r: 54 ) c) (X + Y) (X – Y) (r: 43) 8) Dadas as igualdades 246 1010x e 2010 22y , determine o valor de x + y (r: 6) E aí? Compreenderam? Esperamos ter conseguido, neste capítulo, alcançar nossos objetivos. Vamos então para a próxima unidade... 
 
 
 
 
 
 
 
29
unidade 2
M.M.C. (Mínimo Múltiplo Comum) e
M.D.C (Máximo Divisor Comum)
Problematizando
•	 Como calcular o M.M.C. de dois ou mais números?
•	 Como determinar o M.D.C. de dois ou mais números?
•	 Quais as aplicações do M.M.C. e do M.D.C.?
•	 O que são números primos?
•	 Como decompor um número em fatores primos?
 
2.1. Definições 
2.1.1. Múltiplos e Divisores: 
Objetivo 
 Definir e determinar múltiplos e divisores de números naturais. 
 Você sabe o que é múltiplo de um número? A palavra “múltipla” vem de multiplicação. Observe: 2 x 8 = 16 Em uma multiplicação, o produto (resultado da multiplicação) é sempre múltiplo de cada um dos fatores. Assim, i) 2 x 8 = 16 Logo 16 é múltiplo de 2 e de 8. ii) 3 x 45 = 135 Logo 135 é múltiplo de 3 e de 45. Para encontrarmos o conjunto dos múltiplos de um número, basta multiplicá-lo pela sucessão de números naturais. Desta forma, quais são os múltiplos de 12? 12 x 0 = 0 12 x 6 = 72 12 x 1 = 12 12 x 7 = 84 12 x 2 = 24 12 x 8 = 96 12 x 3 = 36 12 x 9 = 108 12 x 4 = 48 12 x 10 = 120 12 x 5 = 60 12 x n = 12n Então o conjunto dos múltiplos de 12 pode ser representado por M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132,...} 
31
unidade 2
 
2.1. Definições 
2.1.1. Múltiplos e Divisores: 
Objetivo 
 Definir e determinar múltiplos e divisores de números naturais. 
 Você sabe o que é múltiplo de um número? A palavra “múltipla” vem de multiplicação. Observe: 2 x 8 = 16 Em uma multiplicação, o produto (resultado da multiplicação) é sempre múltiplo de cada um dos fatores. Assim, i) 2 x 8 = 16 Logo 16 é múltiplo de 2 e de 8. ii) 3 x 45 = 135 Logo 135 é múltiplo de 3 e de 45. Para encontrarmos o conjunto dos múltiplos de um número, basta multiplicá-lo pela sucessão de números naturais. Desta forma, quais são os múltiplos de 12? 12 x 0 = 0 12 x 6 = 72 12 x 1 = 12 12 x 7 = 84 12 x 2 = 24 12 x 8 = 96 12 x 3 = 36 12 x 9 = 108 12 x 4 = 48 12 x 10 = 120 12 x 5 = 60 12 x n = 12n Então o conjunto dos múltiplos de 12 pode ser representado por M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132,...} 
32
 
Este conjunto é infinito? A resposta é sim. Como o conjunto dos números naturais é infinito, se você continuar multiplicando o número 12 por todos os elementos deste conjunto obterá um conjunto também infinito. Agora, encontre o conjunto de todos os múltiplos de 8. Note que o conjunto dos múltiplos de 12 e 8 é infinito. E aí? O que podemos concluir? Todos os números naturais possuem o conjunto dos múltiplos infinito? A resposta é não! Observe o conjunto dos múltiplos de zero. 0 x 0 = 0 0 x 6 = 0 0 x 1 = 0 0 x 7 = 0 0 x 2 = 0 0 x 8 = 0 0 x 3 = 0 0 x 9 = 0 0 x 4 = 0 0 x 10 = 0 0 x 5 = 0 0 x n = 0 O conjunto dos múltiplos de zero é unitário e pode ser representado por M(0) = {0} Portanto, 
 Agora observe e analise: 60 = 1 x 60 60 = 2 x 30 60 = 3 x 20 60 = 4 x 15 
O conjunto dos múltiplos de um número não – nulo é 
infinito. 
 
60 = 5 x 12 60 = 6 x 10 Os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 são fatores do número natural 60. E se você dividi-lo por todos estes fatores, a divisão dará resto zero, ou seja, será exata. 
 Assim podemos afirmar que: O 12 é divisor de 60 e 60 é divisível por 12. Mas como encontrar o conjunto de todos os divisores de um número? Daremos uma sugestão para a resolução desta situação. Divida um número n por 1, por 2, por 3, por 4, e vá dividindo até chegar em n. Considere como resposta adequada a pergunta acima apenas as divisõesexatas. Logo todos os números em que o resto da divisão foi zero, são divisores de n. Faça este exemplo utilizando situações reais, como por exemplo, sua sala de aula tem 20 alunos. Desejamos distribuí-los em grupos menores de forma que nenhum de vocês fique sem grupo. Quais as possibilidades de formar grupos em que todos tenham o mesmo número de elementos? Observe a tabela: Número de grupos Número de alunos 1 20 2 10 4 5 5 4 10 2 20 1 
 Os divisores de um número natural a são todos os números naturais que ao 
dividirem a, resultarão em uma divisão exata. 
33
unidade 2
 
Este conjunto é infinito? A resposta é sim. Como o conjunto dos números naturais é infinito, se você continuar multiplicando o número 12 por todos os elementos deste conjunto obterá um conjunto também infinito. Agora, encontre o conjunto de todos os múltiplos de 8. Note que o conjunto dos múltiplos de 12 e 8 é infinito. E aí? O que podemos concluir? Todos os números naturais possuem o conjunto dos múltiplos infinito? A resposta é não! Observe o conjunto dos múltiplos de zero. 0 x 0 = 0 0 x 6 = 0 0 x 1 = 0 0 x 7 = 0 0 x 2 = 0 0 x 8 = 0 0 x 3 = 0 0 x 9 = 0 0 x 4 = 0 0 x 10 = 0 0 x 5 = 0 0 x n = 0 O conjunto dos múltiplos de zero é unitário e pode ser representado por M(0) = {0} Portanto, 
 Agora observe e analise: 60 = 1 x 60 60 = 2 x 30 60 = 3 x 20 60 = 4 x 15 
O conjunto dos múltiplos de um número não – nulo é 
infinito. 
 
60 = 5 x 12 60 = 6 x 10 Os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 são fatores do número natural 60. E se você dividi-lo por todos estes fatores, a divisão dará resto zero, ou seja, será exata. 
 Assim podemos afirmar que: O 12 é divisor de 60 e 60 é divisível por 12. Mas como encontrar o conjunto de todos os divisores de um número? Daremos uma sugestão para a resolução desta situação. Divida um número n por 1, por 2, por 3, por 4, e vá dividindo até chegar em n. Considere como resposta adequada a pergunta acima apenas as divisões exatas. Logo todos os números em que o resto da divisão foi zero, são divisores de n. Faça este exemplo utilizando situações reais, como por exemplo, sua sala de aula tem 20 alunos. Desejamos distribuí-los em grupos menores de forma que nenhum de vocês fique sem grupo. Quais as possibilidades de formar grupos em que todos tenham o mesmo número de elementos? Observe a tabela: Número de grupos Número de alunos 1 20 2 10 4 5 5 4 10 2 20 1 
 Os divisores de um número natural a são todos os números naturais que ao 
dividirem a, resultarão em uma divisão exata. 
34
 
Neste caso, poderemos formar 1 grupo de vinte alunos, 2 grupos de 10 alunos, 4 grupos de 5 alunos, 5 grupos de 4 alunos, 10 grupos de 2 alunos e 20 grupos de um aluno, de forma que não sobre nenhum aluno sem grupo, ou seja, que o resto da divisão entre alunos e grupos seja zero. Quando isto acontecer, dizemos que 20 será divisível por todos os números que a divisão for exata, isto é, por 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Concluindo, teremos que: Dados dois números naturais a e b, dizemos que a é divisor de b se existir um número natural c tal que a.c = b. Nestas condições, podemos dizer ainda que a divide b e que b é 
múltiplo de a ou que b é divisível por a. Usando a linguagem matemática: a│b ↔ c N / a.c = b Vamos praticar: 1) Escreva os seis primeiros múltiplos de 15. (r: 0, 15, 30, 45, 60, 75) 2) Quais são os divisores de 15 que também são divisores de 25? (r: 1 e 5) 3) Quantos múltiplos comuns de 3 e 5 há de 0 a 30? (r: 3 números) 4) Determine: a) os divisores de 14 que não são divisores de 35. (r: 2 e 14) b) os divisores de 35 que não são divisores de 14. (r: 5 e 35) c) os divisores de 14 que são também divisores de 35. (r: 1 e 7) 5) A idade de Paulo corresponde ao maior divisor par de 60, sem ser o número 6. Qual a idade de Paulo? (r: 30 anos) 6) Os números 143 e 91 são múltiplos de 13. Verifique se a soma desses números, bem como a diferença entre eles, também são múltiplos de 13. (r: Tanto a soma como a diferença entre eles é múltipla de 13) 7) É fácil saber quando um ano é bissexto. É só verificar se o número que representa esse ano é divisível por 4, ou no caso dos anos terminados em 00, se é divisível por 400. 
 
a) Diga se foi ano bissexto - o ano do descobrimento do Brasil (1500) (r: Não, pois 1500 não é divisível por 400) - o ano da Proclamação da Independência (1822) (r: Não, pois 1822 não é divisível por 4) b) A década de 90 (de 1991 a 2000) teve quantos anos bissextos? (r: três: 1992, 1996 e 2000) c) Qual o primeiro ano bissexto do século XXI (iniciado em 2001)? (r: 2004) 
2.1.2. Números primos 
Objetivos 
 Definir números primos. 
 Decompor um número natural em fatores primos. Antes de iniciarmos o estudo dos algoritmos de M.M.C. e M.D.C., faremos uma breve recordação sobre os números primos. O que vocês entendem por números primos? 
 
Um pouco de história: Segundo (OLIVEIRA, 2005, p.1), “Primus é uma palavra de origem latina, que significa: “primeiro e único”. Ela foi escolhida para designar o grupo de números naturais que não podem ser decompostos em fatores, a não ser por um e por ele mesmo, mas que são fatores dos demais números inteiros.” Assim sendo, podemos classificar os números naturais em: 
 Primos: números diferentes de zero e um, que possuem apenas dois divisores, o 1 e ele mesmo. 
 Compostos: números que possuem mais de dois divisores. 
 
 
O número 2 é o único número natural, primo que é 
par. 
 
 
 
par. 
 
35
unidade 2
35
 
Neste caso, poderemos formar 1 grupo de vinte alunos, 2 grupos de 10 alunos, 4 grupos de 5 alunos, 5 grupos de 4 alunos, 10 grupos de 2 alunos e 20 grupos de um aluno, de forma que não sobre nenhum aluno sem grupo, ou seja, que o resto da divisão entre alunos e grupos seja zero. Quando isto acontecer, dizemos que 20 será divisível por todos os números que a divisão for exata, isto é, por 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Concluindo, teremos que: Dados dois números naturais a e b, dizemos que a é divisor de b se existir um número natural c tal que a.c = b. Nestas condições, podemos dizer ainda que a divide b e que b é 
múltiplo de a ou que b é divisível por a. Usando a linguagem matemática: a│b ↔ c N / a.c = b Vamos praticar: 1) Escreva os seis primeiros múltiplos de 15. (r: 0, 15, 30, 45, 60, 75) 2) Quais são os divisores de 15 que também são divisores de 25? (r: 1 e 5) 3) Quantos múltiplos comuns de 3 e 5 há de 0 a 30? (r: 3 números) 4) Determine: a) os divisores de 14 que não são divisores de 35. (r: 2 e 14) b) os divisores de 35 que não são divisores de 14. (r: 5 e 35) c) os divisores de 14 que são também divisores de 35. (r: 1 e 7) 5) A idade de Paulo corresponde ao maior divisor par de 60, sem ser o número 6. Qual a idade de Paulo? (r: 30 anos) 6) Os números 143 e 91 são múltiplos de 13. Verifique se a soma desses números, bem como a diferença entre eles, também são múltiplos de 13. (r: Tanto a soma como a diferença entre eles é múltipla de 13) 7) É fácil saber quando um ano é bissexto. É só verificar se o número que representa esse ano é divisível por 4, ou no caso dos anos terminados em 00, se é divisível por 400. 
 
a) Diga se foi ano bissexto - o ano do descobrimento do Brasil (1500) (r: Não, pois 1500 não é divisível por 400) - o ano da Proclamação da Independência (1822) (r: Não, pois 1822 não é divisível por 4) b) A década de 90 (de 1991 a 2000) teve quantos anos bissextos? (r: três: 1992, 1996 e 2000) c) Qual o primeiro ano bissexto do século XXI (iniciado em 2001)? (r: 2004) 
2.1.2. Números primos 
Objetivos 
 Definir números primos. 
 Decompor um número natural em fatores primos. Antes de iniciarmos o estudo dos algoritmos de M.M.C. e M.D.C., faremos uma breve recordação sobre os números primos. O que vocês entendem por números primos? 
 
Um pouco de história: Segundo(OLIVEIRA, 2005, p.1), “Primus é uma palavra de origem latina, que significa: “primeiro e único”. Ela foi escolhida para designar o grupo de números naturais que não podem ser decompostos em fatores, a não ser por um e por ele mesmo, mas que são fatores dos demais números inteiros.” Assim sendo, podemos classificar os números naturais em: 
 Primos: números diferentes de zero e um, que possuem apenas dois divisores, o 1 e ele mesmo. 
 Compostos: números que possuem mais de dois divisores. 
 
 
O número 2 é o único número natural, primo que é 
par. 
 
 
 
par. 
 
36
 
2.1.3. Decomposição de um número natural em fatores primos: Vamos decompor os números 6, 10 e 15. 6 = 2 x 3 (2 e 3 são números primos, e 6 é o produto de fatores primos) 10 = 2 x 5 (2 e 5 são números primos, e 10 é o produto de fatores primos) 15 = 3 x 5 (3 e 5 são números primos, e 15 é o produto de fatores primos) Agora, vamos decompor o número 36. 36 = 2 x 18 (18 é um número composto) 18 = 2 x 9 (9 é um número composto) 9 = 3 x 3 Assim, percebemos que 36 = 2 x 2 x 3 x 3 e podemos afirmar que 36 é composto por números primos. Calculando o produto destes números primos, teremos 2 x 2 x 3 x 3 = 36. Vejamos outros exemplos: 
 25 = 5 x 5 (5 é um número primo) 
 39 = 3 x 13 (3 e 13 são números primos) 
 42 = 2 x 21 21 = 3 x 7 (2, 3 e 7 são números primos) Então 42 = 2 x 3 x 7. Existe uma maneira mais prática para decompor um número natural, mas para isso é importante recordarmos os principais critérios de divisibilidade. Veja: 
 
 Divisibilidade por 2: Um numero natural é divisível por 2 quando ele é par, ou seja quando termina em 0, 2, 4, 6, 8. 
Veja a divisão do número 1020 por 2. Note que 1020 termina em zero e o resto da divisão por 2 é zero: Logo, 1020 é divisível por 2. Esta regra vale para todos os múltiplos de 2. 
 Divisibilidade por 3: Um número natural é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é divisível por 3. Examine a divisão do número 261 por 3. Como o resto da divisão é zero, temos que 261 é divisível por 3. Agora, observe que somando os algarismos do número 261, obtemos 2 + 6 + 1 = 9, que é um número divisível por 3. Esta regra vale para todos os múltiplos de 3. 
 Divisibilidade por 4: Um número natural é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um número divisível por 4. Veja a divisão do número 548 por 4 e a divisão do número 48 por 4. Os dois últimos algarismos do número 548 formam 48, que é um número divisível por 4. Isso ocorre com todos os múltiplos de 4. 
1020 2 
 020 510 
 0 
 
261 3 
 021 87 
 0 
 548 4 
 014 137 
 028 
 0 
 
 48 4 
 08 12 
 0 
37
unidade 2
 
2.1.3. Decomposição de um número natural em fatores primos: Vamos decompor os números 6, 10 e 15. 6 = 2 x 3 (2 e 3 são números primos, e 6 é o produto de fatores primos) 10 = 2 x 5 (2 e 5 são números primos, e 10 é o produto de fatores primos) 15 = 3 x 5 (3 e 5 são números primos, e 15 é o produto de fatores primos) Agora, vamos decompor o número 36. 36 = 2 x 18 (18 é um número composto) 18 = 2 x 9 (9 é um número composto) 9 = 3 x 3 Assim, percebemos que 36 = 2 x 2 x 3 x 3 e podemos afirmar que 36 é composto por números primos. Calculando o produto destes números primos, teremos 2 x 2 x 3 x 3 = 36. Vejamos outros exemplos: 
 25 = 5 x 5 (5 é um número primo) 
 39 = 3 x 13 (3 e 13 são números primos) 
 42 = 2 x 21 21 = 3 x 7 (2, 3 e 7 são números primos) Então 42 = 2 x 3 x 7. Existe uma maneira mais prática para decompor um número natural, mas para isso é importante recordarmos os principais critérios de divisibilidade. Veja: 
 
 Divisibilidade por 2: Um numero natural é divisível por 2 quando ele é par, ou seja quando termina em 0, 2, 4, 6, 8. 
Veja a divisão do número 1020 por 2. Note que 1020 termina em zero e o resto da divisão por 2 é zero: Logo, 1020 é divisível por 2. Esta regra vale para todos os múltiplos de 2. 
 Divisibilidade por 3: Um número natural é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é divisível por 3. Examine a divisão do número 261 por 3. Como o resto da divisão é zero, temos que 261 é divisível por 3. Agora, observe que somando os algarismos do número 261, obtemos 2 + 6 + 1 = 9, que é um número divisível por 3. Esta regra vale para todos os múltiplos de 3. 
 Divisibilidade por 4: Um número natural é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um número divisível por 4. Veja a divisão do número 548 por 4 e a divisão do número 48 por 4. Os dois últimos algarismos do número 548 formam 48, que é um número divisível por 4. Isso ocorre com todos os múltiplos de 4. 
1020 2 
 020 510 
 0 
 
261 3 
 021 87 
 0 
 548 4 
 014 137 
 028 
 0 
 
 48 4 
 08 12 
 0 
38
 
 Divisibilidade por 5: Um número natural é divisível por 5 quando termina em zero ou 5. Observe a divisão do número 570 por 5 e a divisão do número 835 por 5: O número 570 termina em zero e é divisível por 5 e o número 835 termina em 5 e é divisível por 5. Este fato, terminar em zero ou 5, acontece com todos os múltiplos de 5. 
 Divisibilidade por 6: Um número natural é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 simultaneamente. Veja a divisão do número 624 por 6: Note que o número 624 é divisível por 2, pois ele é par e 624 também é divisível por 3, pois 6 + 2 + 4 = 12 e 12 é divisível por 3. Esta regra é válida para todos os múltiplos de 6. 
 Divisibilidade por 8: Um número natural é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos formam um número divisível por 8. Observe a divisão do número 1 320 por 8 e a divisão do número 320 por 8. 
 570 5 
 07 114 
 020 0 
 
 835 5 
 033 167 
 035 
 0 
 
 624 6 
 02 104 
 024 0 
 
 
 Os três últimos algarismos do número 1320 formam 320, que é um número divisível por 8. Isso acontece com todos os múltiplos de 8. 
 Divisibilidade por 9: Um número natural é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é divisível por 9. Examine a divisão do número 4212 por 9. Já sabemos que como o resto da divisão é zero, temos que 4 212 é divisível por 9. Agora, veja que somando os algarismos do número 4 212, obtemos 4 + 2 + 1 + 2 = 9, que é um número divisível por 9. Esta regra vale para todos os múltiplos de 9. 
 Divisibilidade por 10: Um número natural é divisível por 10 quando termina em zero. Observe a divisão do número 4 530 por 10: O número 4 530 termina em zero e é divisível por 10. Este fato, terminar em zero, acontece com todos os múltiplos de 10. 
Vamos praticar: 1. Considere os números a seguir: 
 
 
 
 320 8 
 00 40 
 0 
 
 
 1320 8 
 052 165 
 040 
 0 
 
 4212 9 
 061 468 
 072 
 0 
 4530 10 
 053 453 
 030 0 
 
6930 
72 048 16 664 24 000 
4 032 680 
39
unidade 2
 
 Divisibilidade por 5: Um número natural é divisível por 5 quando termina em zero ou 5. Observe a divisão do número 570 por 5 e a divisão do número 835 por 5: O número 570 termina em zero e é divisível por 5 e o número 835 termina em 5 e é divisível por 5. Este fato, terminar em zero ou 5, acontece com todos os múltiplos de 5. 
 Divisibilidade por 6: Um número natural é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 simultaneamente. Veja a divisão do número 624 por 6: Note que o número 624 é divisível por 2, pois ele é par e 624 também é divisível por 3,pois 6 + 2 + 4 = 12 e 12 é divisível por 3. Esta regra é válida para todos os múltiplos de 6. 
 Divisibilidade por 8: Um número natural é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos formam um número divisível por 8. Observe a divisão do número 1 320 por 8 e a divisão do número 320 por 8. 
 570 5 
 07 114 
 020 0 
 
 835 5 
 033 167 
 035 
 0 
 
 624 6 
 02 104 
 024 0 
 
 
 Os três últimos algarismos do número 1320 formam 320, que é um número divisível por 8. Isso acontece com todos os múltiplos de 8. 
 Divisibilidade por 9: Um número natural é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é divisível por 9. Examine a divisão do número 4212 por 9. Já sabemos que como o resto da divisão é zero, temos que 4 212 é divisível por 9. Agora, veja que somando os algarismos do número 4 212, obtemos 4 + 2 + 1 + 2 = 9, que é um número divisível por 9. Esta regra vale para todos os múltiplos de 9. 
 Divisibilidade por 10: Um número natural é divisível por 10 quando termina em zero. Observe a divisão do número 4 530 por 10: O número 4 530 termina em zero e é divisível por 10. Este fato, terminar em zero, acontece com todos os múltiplos de 10. 
Vamos praticar: 1. Considere os números a seguir: 
 
 
 
 320 8 
 00 40 
 0 
 
 
 1320 8 
 052 165 
 040 
 0 
 
 4212 9 
 061 468 
 072 
 0 
 4530 10 
 053 453 
 030 0 
 
6930 
72 048 16 664 24 000 
4 032 680 
40
 
Descubra quais são divisíveis por: a) 5 (r: 6930, 680, 24 000) b) 6 (r: 6930, 72 048, 24 000, 4032) c) 8 (r: 680, 24 000, 72 048, 4 032, 16 664) 2. O número 58X tem três algarismos, mas o algarismo das unidades está escondido. Sabendo-se que este número é múltiplo de 9, qual o algarismo escondido? (r: 5) 3. Qual o menor natural de quatro algarismos que é divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo? (r: 1.008) Agora que já sabemos os critérios de divisibilidade mais utilizados, retornaremos aos nossos estudos da decomposição em fatores primos... Vamos decompor o número 135. 135 3 45 3 15 3 5 5 1 3x3x3x5 = 33x5 Logo. 135 = 33x5 Escrevemos: 135 = 3 x 3 x 3 x 5, ou seja, o número 135 é composto pelos fatores primos 3 e 5. Podemos ainda representá-lo utilizando potências 135 = 33x5. Analisando o que fizemos acima, podemos dizer que decompomos o número 135 em fatores primos, ou seja, que ele foi dividido sucessivamente pelos seus fatores primos. Os divisores foram colocados à direita do traço vertical e os quocientes obtidos, à esquerda. O processo terminou quando encontramos o quociente 1. Isso pode ser verificado através de um teorema muito importante no conjunto dos números naturais, que está especificado mais abaixo: 
 
 
divisores primos quociente 
 
2.1.4. Teorema Fundamental da Aritmética 
 
Objetivos 
 Aplicar o teorema fundamental da aritmética. 
 Determinar números primos pelo método “crivo de Eratóstenes”. 
 
 
 
 
Fique por dentro... 
 Segundo (OlIVEIRA, 2005, p.1), “Eratóstenes (do grego Ερατοσθένης) foi um matemático, bibliotecário e astrônomo grego. Nasceu em Cirene, Grécia, por volta de 276 a.C, passando grande parte de sua juventude em Atenas. Aos 40 anos de idade, foi convidado pelo rei Ptolomeu III, do Egito, para o honroso cargo de bibliotecário da Universidade de Alexandria. Seus feitos foram notáveis. Ele criou um método para encontrar números primos, hoje conhecido como crivo de Eratóstenes. No quadro, estão os números de 1 a 100. 
 
 Os fatores primos podem ser escritos na ordem em que 
forem lembrados, pois a multiplicação atende a 
comutatividade, embora eles estejam em ordem 
crescente devido a uma questão de organização. 
 
Todo número natural maior que 1 ou é primo ou pode ser escrito de forma 
única (a menos da ordem dos fatores) como um produto de números primos. 
 
41
unidade 2
 
Descubra quais são divisíveis por: a) 5 (r: 6930, 680, 24 000) b) 6 (r: 6930, 72 048, 24 000, 4032) c) 8 (r: 680, 24 000, 72 048, 4 032, 16 664) 2. O número 58X tem três algarismos, mas o algarismo das unidades está escondido. Sabendo-se que este número é múltiplo de 9, qual o algarismo escondido? (r: 5) 3. Qual o menor natural de quatro algarismos que é divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo? (r: 1.008) Agora que já sabemos os critérios de divisibilidade mais utilizados, retornaremos aos nossos estudos da decomposição em fatores primos... Vamos decompor o número 135. 135 3 45 3 15 3 5 5 1 3x3x3x5 = 33x5 Logo. 135 = 33x5 Escrevemos: 135 = 3 x 3 x 3 x 5, ou seja, o número 135 é composto pelos fatores primos 3 e 5. Podemos ainda representá-lo utilizando potências 135 = 33x5. Analisando o que fizemos acima, podemos dizer que decompomos o número 135 em fatores primos, ou seja, que ele foi dividido sucessivamente pelos seus fatores primos. Os divisores foram colocados à direita do traço vertical e os quocientes obtidos, à esquerda. O processo terminou quando encontramos o quociente 1. Isso pode ser verificado através de um teorema muito importante no conjunto dos números naturais, que está especificado mais abaixo: 
 
 
divisores primos quociente 
 
2.1.4. Teorema Fundamental da Aritmética 
 
Objetivos 
 Aplicar o teorema fundamental da aritmética. 
 Determinar números primos pelo método “crivo de Eratóstenes”. 
 
 
 
 
Fique por dentro... 
 Segundo (OlIVEIRA, 2005, p.1), “Eratóstenes (do grego Ερατοσθένης) foi um matemático, bibliotecário e astrônomo grego. Nasceu em Cirene, Grécia, por volta de 276 a.C, passando grande parte de sua juventude em Atenas. Aos 40 anos de idade, foi convidado pelo rei Ptolomeu III, do Egito, para o honroso cargo de bibliotecário da Universidade de Alexandria. Seus feitos foram notáveis. Ele criou um método para encontrar números primos, hoje conhecido como crivo de Eratóstenes. No quadro, estão os números de 1 a 100. 
 
 Os fatores primos podem ser escritos na ordem em que 
forem lembrados, pois a multiplicação atende a 
comutatividade, embora eles estejam em ordem 
crescente devido a uma questão de organização. 
 
Todo número natural maior que 1 ou é primo ou pode ser escrito de forma 
única (a menos da ordem dos fatores) como um produto de números primos. 
 
42
 
 
 Ele primeiramente eliminou o 1, depois eliminou os múltiplos de 2, exceto o 2. Em seguida, riscou os múltiplos de 3, exceto o 3. E assim continuou com o 5, o 7, o 11..., até que não existissem números compostos neste quadro. Os números em azul são os números primos menores que 100.” 
2.2. Mínimo Múltiplo Comum – M.M.C. 
 
Objetivos 
 Construir o conceito de mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais. 
 Determinar o M.M.C. de dois ou mais números naturais através de algoritmos 
 Vamos escrever os múltiplos de 24 e 6. M(24) = {0, 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216,...} M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, ...} Os múltiplos que são comuns, que se repetem, em 24 e 6 são respectivamente { 0, 24, 72,...}. Observando este conjunto, verificamos com exceção do zero, que o menor 
 
múltiplo comum é o 24. O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM de 24 e 6 pode ser indicado da seguinte maneira: M.M.C.(6,24) = 24 
 
Generalizando... Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.) desses números o menor dos múltiplos comuns dados, diferente de zero. 
 Este procedimento que acabamos de ver não é práticopara números muito grandes. Vejamos agora outras maneiras de calcularmos o M.M.C.: 
 
Primeiro dispositivo: Vamos determinar o M.M.C. de 135 e 42: Primeiramente devemos decompor 135 em fatores primos e em seguida o número 60. O M.M.C. é o produto dos fatores primos comuns e não comuns com maiores expoentes. Observe: 135 = 33 x 5 42 = 2 x 3 x 7 M.M.C. (135, 42) = 2 x 33 x 5 x 7 = 2 x 27 x 5 x 7 = 1890 Portanto, o M.M.C. (135, 42) = 1890 
O zero é múltiplo de qualquer número e o 
único múltiplo de zero é o próprio zero. 
3 x 3 x 3 x 5 = 33 x 5 2 x 3 x 7
135 3 42 2
45 3 21 3
15 3 7 7
5 5 1
1
 
43
unidade 2
 
 
 Ele primeiramente eliminou o 1, depois eliminou os múltiplos de 2, exceto o 2. Em seguida, riscou os múltiplos de 3, exceto o 3. E assim continuou com o 5, o 7, o 11..., até que não existissem números compostos neste quadro. Os números em azul são os números primos menores que 100.” 
2.2. Mínimo Múltiplo Comum – M.M.C. 
 
Objetivos 
 Construir o conceito de mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais. 
 Determinar o M.M.C. de dois ou mais números naturais através de algoritmos 
 Vamos escrever os múltiplos de 24 e 6. M(24) = {0, 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216,...} M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, ...} Os múltiplos que são comuns, que se repetem, em 24 e 6 são respectivamente { 0, 24, 72,...}. Observando este conjunto, verificamos com exceção do zero, que o menor 
 
múltiplo comum é o 24. O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM de 24 e 6 pode ser indicado da seguinte maneira: M.M.C.(6,24) = 24 
 
Generalizando... Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.) desses números o menor dos múltiplos comuns dados, diferente de zero. 
 Este procedimento que acabamos de ver não é prático para números muito grandes. Vejamos agora outras maneiras de calcularmos o M.M.C.: 
 
Primeiro dispositivo: Vamos determinar o M.M.C. de 135 e 42: Primeiramente devemos decompor 135 em fatores primos e em seguida o número 60. O M.M.C. é o produto dos fatores primos comuns e não comuns com maiores expoentes. Observe: 135 = 33 x 5 42 = 2 x 3 x 7 M.M.C. (135, 42) = 2 x 33 x 5 x 7 = 2 x 27 x 5 x 7 = 1890 Portanto, o M.M.C. (135, 42) = 1890 
O zero é múltiplo de qualquer número e o 
único múltiplo de zero é o próprio zero. 
3 x 3 x 3 x 5 = 33 x 5 2 x 3 x 7
135 3 42 2
45 3 21 3
15 3 7 7
5 5 1
1
 
44
 
Observação: O número que foi obtido, ou seja, 1890 é múltiplo de 42 e de 135. 
 
Segundo dispositivo: Podemos determinar o M.M.C. de 135 e 42 por decomposição simultânea, isto é, podemos encontrar os fatores primos dos dois números 135 e 42 de uma só vez. Veja: 135, 42 2 _________ apenas o 42 é divisível por 2 135, 21 3 _________ 135 e 21 são divisíveis por 3 45, 7 3 _________ apenas o 45 é divisível por 3 15, 7 3 _________ apenas o 15 é divisível por 3 5, 7 5 _________ apenas o 5 é divisível por 5 1, 7 7 _________ apenas o 7 é divisível por 7 1, 1 2 x 3 x 3 x 3 x 5 x 7 = 1890 M.M.C. (135, 42) = 1890 De modo análogo ao anterior, encontraremos o M.M.C. de três números. Acompanhe o raciocínio 35, 75, 25 3 _________ apenas o 35 é divisível por 3 7, 25, 25 5 _________ apenas o 25 é divisível por 5 7, 5, 5 5 _________ apenas o 5 é divisível por 5 7, 1, 1 7 _________ apenas o 7 é divisível por 7 1, 1, 1 3 x 5 x 5 x 7 = 525 M.M.C. (35, 75, 25) = 525 
 
2.3 - Máximo Divisor Comum – M.D.C. 
 
Objetivos 
 Construir o conceito de mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais. 
 Determinar o M.D.C. de dois ou mais números naturais através de algoritmos. 
 Utilizar o M.D.C. na resolução de problemas do cotidiano O maior dos divisores comuns de dois ou mais números chama – se máximo divisor comum. Por exemplo, analise a decomposição de fatores do número 12 e 54: 12 = 1 x 12 54 = 1 x 54 12 = 2 x 6 54 = 2 x 27 12 = 3 x 4 54 = 3 x 18 54 = 6 x 9 Daí temos que o conjunto dos divisores de 12 e 54 é respectivamente: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} D(54) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54} Selecionando os divisores em comum entre 12 e 54, teremos 1, 2, 3 e 6. O maior destes divisores comuns é o número 6. Então podemos concluir que o maior divisor comum de 12 e 54 é o número 6, isto é, 6 é o máximo divisor comum. O que podemos indicar por M.D.C. (12, 54) = 6. 
 
Generalizando... 
 Estamos caminhando... Você compreendeu o processo que utilizamos para encontrar o M.D.C.? Mas será que não existe outro método para facilitar o seu cálculo? 
Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se MÁXIMO 
DIVISOR COMUM (M.D.C.) desses números ao maior dos seus divisores comuns. 
45
unidade 2
 
Observação: O número que foi obtido, ou seja, 1890 é múltiplo de 42 e de 135. 
 
Segundo dispositivo: Podemos determinar o M.M.C. de 135 e 42 por decomposição simultânea, isto é, podemos encontrar os fatores primos dos dois números 135 e 42 de uma só vez. Veja: 135, 42 2 _________ apenas o 42 é divisível por 2 135, 21 3 _________ 135 e 21 são divisíveis por 3 45, 7 3 _________ apenas o 45 é divisível por 3 15, 7 3 _________ apenas o 15 é divisível por 3 5, 7 5 _________ apenas o 5 é divisível por 5 1, 7 7 _________ apenas o 7 é divisível por 7 1, 1 2 x 3 x 3 x 3 x 5 x 7 = 1890 M.M.C. (135, 42) = 1890 De modo análogo ao anterior, encontraremos o M.M.C. de três números. Acompanhe o raciocínio 35, 75, 25 3 _________ apenas o 35 é divisível por 3 7, 25, 25 5 _________ apenas o 25 é divisível por 5 7, 5, 5 5 _________ apenas o 5 é divisível por 5 7, 1, 1 7 _________ apenas o 7 é divisível por 7 1, 1, 1 3 x 5 x 5 x 7 = 525 M.M.C. (35, 75, 25) = 525 
 
2.3 - Máximo Divisor Comum – M.D.C. 
 
Objetivos 
 Construir o conceito de mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais. 
 Determinar o M.D.C. de dois ou mais números naturais através de algoritmos. 
 Utilizar o M.D.C. na resolução de problemas do cotidiano O maior dos divisores comuns de dois ou mais números chama – se máximo divisor comum. Por exemplo, analise a decomposição de fatores do número 12 e 54: 12 = 1 x 12 54 = 1 x 54 12 = 2 x 6 54 = 2 x 27 12 = 3 x 4 54 = 3 x 18 54 = 6 x 9 Daí temos que o conjunto dos divisores de 12 e 54 é respectivamente: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} D(54) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54} Selecionando os divisores em comum entre 12 e 54, teremos 1, 2, 3 e 6. O maior destes divisores comuns é o número 6. Então podemos concluir que o maior divisor comum de 12 e 54 é o número 6, isto é, 6 é o máximo divisor comum. O que podemos indicar por M.D.C. (12, 54) = 6. 
 
Generalizando... 
 Estamos caminhando... Você compreendeu o processo que utilizamos para encontrar o M.D.C.? Mas será que não existe outro método para facilitar o seu cálculo? 
Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se MÁXIMO 
DIVISOR COMUM (M.D.C.) desses números ao maior dos seus divisores comuns. 
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De modo análogo ao cálculo do M.M.C., vamos decompor