C I R C U I T O S E L É T R I C O S I

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CCIIRRCCUUIITTOOSS 
EELLÉÉTTRRIICCOOSS II 
 
 
CC ii rr cc uu ii tt oo ss ee ll éé tt rr ii cc oo ss ee mm :: 
 
CC oo rr rr ee nn tt ee CC oo nn tt ii nn uu aa 
 
CC oo rr rr ee nn tt ee AA ll tt ee rr nn aa dd aa 
 
 
 
 
 
 
PP RR OO FF :: MM AA SS SS II MM OO AA RR GG EE NN TT OO 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1 ; PROF MASSIMO ARGENTO ED. 2017 
 
 
- 1 - 
CAPÍTULO I - BIPOLOS E ASSOCIAÇÕES DE BIPOLOS LINEARES 
 
1) - BIPOLOS: 
 
DEF.: Definimos Bipolo Elétrico como sendo qualquer dispositivo elétrico que 
possua dois terminais acessíveis. Num Bipolo definem-se sempre duas variáveis: A 
tensão existente entre os seus terminais e a corrente que o atravessa . 
 
A tensão é medida através de voltímetros; a corrente é medida através de 
amperímetros. Tanto os voltímetros como os amperímetros possuem os seus terminais 
discriminados através do sinal (+) ou (-). O voltímetro é feito de tal forma que 
quando o seu terminal (+) for conectado ao terminal de maior potencial de um 
bipolo, a sua indicação seja positiva; de maneira análoga, o amperímetro é feito de 
tal forma que quando no seu terminal (+) entrar uma corrente positiva, a sua 
indicação seja positiva . Ou seja: 
 
 
 
 
1.1) - BIPOLOS ATIVOS E PASSIVOS: 
 
Um bipolo será dito Ativo quando est iver Fornecendo Energia num circuito; de 
maneira análoga, um bipolo será dito Passivo quando estiver Recebendo Energia 
num circuito. 
IMPORTANTE: Em bipolos ativos a tensão e a corrente possuem sentidos 
concordantes; em bipolos passivos os sentidos são discordantes. Se por exemplo num 
determinado instante tivermos num bipolo a tensão e a corrente como abaixo 
indicadas, concluiremos que: 
 
 
 
a ) - Bipolo A tivo
v
i
b) - B ipo lo Passivo
v
i
V
+
-
A
+ -
v Indicação
Positiva
V
+
-
v Indicação 
Negativa
;
i
Indicação
Positiva
i
A +-i
i
; IndicaçãoNegativa
a) : TENSÃO:
b) : CORRENTE:
 
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- 2 - 
1.2) - CONVENÇÕES - BIPOLOS GERADORES E RECEPTORES : 
 
Poderemos convencionar arbitrariamente um bipolo como gerador ou receptor. Note 
que convencionar é diferente de ser; ou seja: Nada impede que um bipolo 
convencionado como gerador se comporte como receptor ou vice-versa. Como regra 
geral poderemos dizer que se o produto v x i for positivo o bipolo realmente está se 
comportando conforme a convenção adotada; vice-versa, se o produto v x i for 
negativo, significará que o comportamento do bipolo é o contrário do que foi 
adotado. 
 
 
 
1.3) ASSOCIAÇÕES DE BIPOLOS POR CURVAS CARACTERISTICAS: 
 
 
CONSIDEREMOS INICIALMENTE AS LEIS DE KIRCHOFF: São duas leis 
aplicáveis aos nós e às malhas de uma rede qualquer num determinado instante: 
 
 
A) - LEI DOS NÓS (L K C): “ A soma algébrica das correntes que convergem para 
um nó, num determinado instante é igual a zero “, ou ainda: 
 
 
 
Pela convenção acima indicada: +i1(t) + i2(t) - i3(t) - i4(t) = 0 
 
OBS.: NÓ: Conexão perfeita entre três ou mais condutores ideais. 
 
 
B) - LEI DAS MALHAS (L K T): “ A soma algébrica das tensões medidas 
ordenadamente ao longo de uma malha, num determinado instante é igual a zero “, ou 
ainda: 
i (t)1
i (t)2
i (t)3
i (t)4
0)t(i
n
1j
j 

 (num Nó)
A
V
+
+
-
-
A
V
+
+
-
-
 
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- 3 - 
 
 
Pela convenção acima indicada: v1(t) + v2(t) + v3(t) - v4(t) - v5(t) = 0 
 
OBS.: MALHA: Subconjunto de bipolos de uma rede, interligados entre si de modo a 
constituirem uma trajetória fechada. 
 
 
 
 
ASSOCIAÇÃO SÉRIE - PARALELO DE BIPOLOS: 
 
 
 
DEFINIÇÕES PRELIMINARES (Válidas em qualquer circunstância num 
determinado instante): 
 
 
A) – Curva característica: Gráfico representativo do comportamento da tensão pela 
corrente de um bipolo qualquer 
 
 
B) - Associação Série: “N” bipolos estarão associados em série quando forem 
percorridos pela mesma corrente, ou ainda: quando a corrente que percorrer qualquer 
um deles, também percorrer todos os demais. A tensão total da associação será obtida 
pela soma algébrica ordenada das tensões de cada bipolo da associação. 
 
 
C) - Associação Paralelo: “N” bipolos estarão associados em paralelo quando forem 
submetidos à mesma tensão, ou ainda: quando estiverem conectados entre os mesmos 
pontos. A corrente total da associação será obtida pela soma algébrica das correntes 
de cada bipolo da associação. 
 
 
 
 
0)t(v
n
1j
j 

 (numa Malha)
v (t)1
v (t)2 v (t)3
v (
t)
4
v (t)5
+
 
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- 4 - 
ASSOCIAÇÃO GRÁFICA DE BIPOLOS: 
 
A partir das definições acima, podem ser executadas inclusive graficamente 
associações série - paralelo de bipolos quaisquer uma vez conhecidas as suas curvas 
característ icas. De fato, considerando-se que associações em série possuem a mesma 
corrente, e que associações em paralelo possuem a mesma tensão, teremos por 
exemplo: 
 
a)- Bipolo “B1” e respectiva 
 curva característica 
 b)- Bipolo “B2” e respectiva 
 curva característica 
 
 
 
Note então na associação que é proposta, as características de cada bipolo em relação 
à associação: 
 
 
 Igualdade de correntes 
 e soma de tensões : 
 






21
21
vvv
iii
 
 
A curva caracterist ica do bipolo resultante da associação proposta poderá ser obtida 
da seguinte forma: 
 
 
 
Para a obtenção da curva característica da associação em paralelo dos dois bipolos, 
procedemos de maneira análoga, i . é: Consideramos pontos de mesma tensão e 
obtemos a corrente da associação através da soma das correntes dos bipolos. 
 
 
v
i
2 41 = 3B1 B2
i1 i2
v1 v2
v1
i1
v2
i2
v = v + 1 2v
i = = i i1 2
1
2
i1
v1
B1
v1
i1 4
3
i2
v2
B2
v2
i2
v
i
2 4
1 = 3
B1 B2Associação Proposta:
v
i
2 4
1 = 3
B1 B2
 
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- 5 - 
EXERCICIOS DE APLICAÇÃO: 
 
 
a) SUPONDO CONHECIDAS AS CURVAS CARACTERISTICAS 
 
 
EXERCICIOS PROPOSTOS: 
 
 
1º) Sendo fornecidas as curvas características dos bipolos “A” e “B” conforme 
convenção indicada, pede-se determinar: 
1.a) A equação, e a curva característica de cada bipolo conforme convenção 
indicada; 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: Vamos inicialmente determinar a equação característica de cada bipolo, 
levando em consideração as equações de reta ; teremos: 
 
Bip. “A” : bi
3
6v AA  ; se: iA = 1  vA = 8  b = 10  vA = -2iA + 10 
 
Bip. “B” : bi
2
4v BB  ; se: iB = -1  vB = 7  b = 9  vB = 2iB + 9 
 
1.b) A equação, e a curva característica de cada associação pedida , conforme 
convenção indicada; 
 
ASSOCIAÇÕES PEDIDAS: 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
Note inicialmente a comparação das características dos bipolos com as caracterist icas 
da associação pedida: 
1
2
iA(A)
v (V)A
AvA
3
4
iB(A)
iB
vB(V)
B
vB
8
4
2
1
7
3
-1-3
iA
e:
A B A B
a) b)
v v
i i1 = 3 2 = 3
2 4 1 4
 
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- 6 - 
 
 
  





AB
BA
vvv
iii
 
 
teremos então: v = ( 2iB + 9 ) – (–2iA + 10)  v = 4i – 1 
 
 
 
 
 
  





BA
BA
vvv
iii 
 
teremos : v = – (–2iA + 10) – (2iB + 9 ) = – (–2i + 10) – (–2i + 9 ) v = 4i - 19 
 
 
1.c) supondo-se uma tensão v = 11V aplicada nas associações, determine a tensão 
em cada bipolo para cada caso 
 
Para a associação a) teremos: 11 = 4i – 1  i = 3A ; iA = 3A e iB = 3A 
 
vA = -2(3) + 10  vA = 4V ; vB = 2(3) + 9  vb = 15V ; Note de fato: 
 
 
 
Para a associação b) teremos: 11 = 4i – 19  i = 7,5A ; iA = 7,5A e iB = –7,5A 
 
vA = – 2(7,5) + 10  vA = – 5V ; vB = 2(–7,5) + 9  vb = – 6V; Note de fato: 
 
 
 
OBS: Note que em ambos os exercícios tivemos igualdade de correntes e soma de 
tensões! 
 
 
A B
v
i
1 = 3
2 4
vA
iA
vB
iB
Associação a) :
A B
v
i
2 = 3
1 4
vA
iA
vB
iB
Associação b) :
A B
1 = 3
2 4
4V 15V
11V
Associ ação a) :
3A 3A
3A
A B2=31 4Associ ação b) :
6V
11V
5V
7,5A
7,5A -7,5A
 
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- 7 - 
2º) Sendo fornecidas as curvas características dos bipolos “A” e “B” conforme 
convenção indicada, pede-se determinar: 
2.a) A equação, e a curva característica de cada bipolo conforme convenção 
indicada; 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: Vamos inicialmente determinar a equação característica de cada bipolo, 
levando em consideração as equações de reta ; teremos: 
 
Bip. “A” : bi
3
4v AA  ; Se: iA = -1  vA = 2  3
2b  
3
2i
3
4v AA  
 
Bip. “B” : bv
7
3i BB  ; Se vB = 0  iB = 3  b = 3  3v7
3i BB  
 
 
2.b) A equação, e a curva característica da associação pedida , conforme 
convenção indicada; Determine a corrente em cada bipolo supondo-se a corrente 
da associação: i = 2A 
 
 
 
ASSOCIAÇÃO PEDIDA: 
 
 
 
Note que o problema agora consiste em igualdade de tensões e soma de correntes! 
De fato, comparando as características de cada bipolo com a associação pedida, 
teremos: 
 
 
 
 







BA
BABA
vvv
iiiiii
 
 
 
1
2
iA(A)
v (V)A
AvA
3
4
iB(A)
iB
vB(V)
B
vB
6
-4
2
-1 7
3
iA
e:
1 3
2 4
i
vA BA
1 3
2 4
i
vA
i
A B
vA
iA
vB
iB
 
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- 8 - 
Da equação do bipolo “A”: 
 
2
1
4
v3ii42v32i4v3
3
2i
3
4v AAAAAAAA  
 
 
Da equação do bipolo “B”: 3
7
v3i BB  ; portanto teremos: 
 
2
61
28
v12v213
7
v3
2
1
4
v33
7
v3
2
1
4
v3i BA 



 



 



 



  
 
 
2
5
28
9vi  ; se i = 2A teremos: 
 
 
v14v;v14vv14v
28
v9
2
9
28
v9
2
52
2
5
28
9v2 BA  
 
A11
4
242
2
1
4
)14(3iA 
 ; A93
7
423
7
)14(3iB 
 
 
 
De fato: 
 
 
 
2.c) A equação, e a curva característica da associação pedida , conforme 
convenção indicada; Determine a corrente em cada bipolo supondo-se a corrente 
da associação: i = 1A 
 
 
 
ASSOCIAÇÃO PEDIDA: 
 
 
 
Note que o problema continua em igualdade de tensões e soma de correntes! 
Comparando as características de cada bipolo com a associação pedida, teremos: 
 
1
32
4
i
vA BB
1 3
2 4
A BB14V14V
14V I
11A
2A
9A
 
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- 9 - 
 
 
 







BA
BABA
vvv
)ii(i0iii
 
 
Da equação do bipolo “A”: 
2
1
4
v3i AA  
 
 
Da equação do bipolo “B”: 3
7
v3i BB  ; portanto teremos: 
 
 
2
61
28
v12v213
7
v3
2
1
4
v33
7
v3
2
1
4
v3i BA 



 



 



 



  
 
 
 
2
7
28
9vi  ; se i = 1A teremos: 
 
 
 
v14v;v14vv14v
28
v9
2
9
28
v9
2
71
2
7
28
9v1 BA  
 
 
A10
4
242
2
1
4
)14(3iA 
 ; A93
7
423
7
)14(3iB 
 
 
 
De fato: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
32
4
i
v
A BB
iA
vA
iB
vB
1
32
4
A BB
14V I
14V -14V
1A
-10A 9A
 
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- 10 - 
 
b) RESOLUÇÃO DE EXERCICIOS A PARTIR DA OBTENÇÃO DAS CURVAS 
CARACTERISTICAS DOS CIRCUITOS 
 
 
DEFINIÇÕES PRELIMINARES 
 
1) Gerador de Tensão: Bipolo que mantem uma determinada tensão entre os seus 
terminais, seja qual for a sua corrente. O gerador de tensão pode ser ativo ou 
passivo , dependendo da sua condição no circuito: 
 
2) Gerador de Corrente: Bipolo que impõe uma determinada corrente entre os 
seus terminais, seja qual for a sua tensão. O gerador de corrente pode ser 
ativo ou passivo , dependendo da sua condição no circuito: 
 
 
3) Resistor: Bipolo que fundamentalmente passivo, cuja tensão é diretamente 
proporcional à corrente que o atravessa (obedece à Lei de Ohm): 
 
 
 
 
+
-
I
V +
-
I
V
a) Gerador de Tensão
 funcionando como
 Bipol o Ativo
b) Gerador de Tensão 
 funcionando como
 Bipolo Passivo
IV IV
a) Gerador de Corrente
 funcionando como
 Bipol o Ativo
b) Gerador de Corrente 
 funcionando como
 Bipolo Passivo
V
I
R = VI I =
V
R V = R .I I
 
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- 11 - 
 
 
 
EXERCICIOS PROPOSTOS: 
 
 
 
a) Determinar a equação característica 
da associação de bipolos do circuito 
ao lado: 
 
 
 
 
Poderemos entender o circuito proposto como sendo a associação em paralelo de dois 
circuitos mais simples ou seja: 
 
E ainda interpretaremos cada bipolo como sendo: 
 
 
 
Nestas condições passemos ao levantamento da curva característica de cada bipolo, 
para em seguida executarmos a associação dos mesmos; teremos então: 
 
 
 
 Bipolo 1) : 
 
 v1 = 6 - 6.i1 
 
 
 
 Bipolo 2): 
 
 2 = 22 i3
v  
 
 
 
+
-
6
6V
i
v2A 3
+
-
1
2
3
4
+
-
3
4
+=
1 2
+
-
1
2
i1
v1
6
6V
32A
i
v
6
6V
32A
i2
v2
1 31
2 42
i2
i1 i2
v2v1 v2
+
-
2A
3
4
E:
B1 B2
6
6V
3
i1
v1
B1
B2
+
-
+
-
1
2
i1
v1
6
6V
6.i1
3
4
32A
i2
v2
3
v2
 
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- 12 - 
 
Podemos ainda entender a associação inicialmente proposta como sendo: 
 
 
 
 
 Donde: 






21
21
iii
:e;vvv
 
 
 
Pelo Bipolo 1 : 
6
v1iv6i6i66v 111111  ; 
 
 
Pelo Bipolo 2 : i2 = 2 - 
3
v2 ; sendo i = i1 + i2 e ainda v = v1 = v2 , 
 
teremos: 
 
6
v2v3i
3
v2
6
v1i 21 



 



   2
v3i  
 
 
 
( EQUAÇÃO CARACTERISTICA DO CIRCUITO INICIALMENTE PROPOSTO ) 
 
 
 
b) Supondo-se uma corrente i = 1A na associação , determine as correntes i1 e i2 de 
forma analítica e em seguida comprove os resultados no circuito 
 
Sendo i = 1A , teremos: V4v
2
v31  ; donde: v1 = v2 = 4V 
 
Ainda: A
3
1
6
2
6
41
6
v1i 11  e : A3
2
3
42
3
v2i 22  
 
No circuito teremos: 
 
 
1 3
2 4
i
v
BB2
i1
v1
i2
v2BB1
+
-
3
4
6
6V 3
2A 4V
2V
i = 1 13
A
4
3 A
2
3
Ai =2
v = 4V I
i = 1A
4V
 
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- 13 - 
2) Sendo dados os bipolos abaixo, com as convenções indicadas, pede-se: 
 
 
 
 
a) Determine a equação característica de cada bipolo, conforme convenção indicada; 
 
SOLUÇÃO: 
 Para B1 : 11 i312v   43
vi 11  
 
Para B2 : 
12
vi1 22   12
v1i 22   22 i1212v  
 
Para B3 : 6
v1i 33   6i6v 33  
 
 
b) Determine a equação característica da associação abaixo e determine a tensão em 
cada bipolo, supondo-se uma tensão de 48V na associação: 
 
 
SOLUÇÃO: Observe como podemos concluir a sentença da associação, em função das 
característ icas de cada bipolo: 
 
 
11
22
i1 i1 i2 i3 i3i2
v1 v1 v2 v3
v3
+
-
1A
1A
3 3
4 4
B1
3
12V
12;
5 5
6 6
6;v2
B2 B3
B1 B2 B31
2 = 4 3 = 6 5
i
v
B1 B2 B31
2 = 4 3 = 6 5
i
v1 v2 v3
i3i2
i1
v
 
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- 14 - 
1
2
i1
v1
B1
4
3
i2 i3
v2
B2
6
v3
B3
v
i
5
Donde concluiremos que: 






321
321
iiii
vvvv
 
 
Logo: v = (12 + 3i1) - (12 - 12i2) - ( 6i3 - 6 ) ; substituindo i1 , i2 e i3 : 
v = (12 - 3i) - (12 + 12i) - ( 6i - 6 )  i216v   21
v
7
2i 
se: v = 48  A2
21
486
21
48
7
2i  ; i1 = 2A ; i2 = 2A ; i3 = - 2A 
v1 = 12 + 3(2)  v1 = 18V ; v2 = 12 – 12(2)  v2 = -12V ; v3 = 6(-2)- 6  v3 = - 18V 
COMPROVAÇÃO: 
 
 
c) Determine a equação característica da 
associação ao lado; determine a corrente 
em cada bipolo, supondo-se uma corrente 
de 13A na associação: 
 
 
 
SOLUÇÃO: Observe ao lado como 
podemos concluir a sentença da 
associação, em função das características 
de cada bipolo: 
 
 
 
 
5 1
2 = 4
+ -3
12V
12 3 = 66V2A
2A2A
1A
1A
12V
2A2A
1A
63A
18V
2A2A
48V
1
2
B1
4
3
B2
6
B3
v
i
5
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1 ; PROF MASSIMO ARGENTO ED. 2017 
 
 
- 15 - 
 
Donde concluiremos que: 






321
321
iiii
:e
vvvv
 
 
logo: )()()(
6
v1
12
v14
3
vi 321  ; substi tuindo v1 , v2 e v3 : 
)()()(
6
v
1
12
v
14
3
vi    12
v76i   7
72
7
i12v  
se i = 13A  
7
84
7
7213x12v  = 12V ; v1 = -12V ; v2 = -12V ; v3 = 12V 
4
3
)12(i1 
  i1 = -8A ; 
12
)12(1i2
  i2 = 2A ; 
6
121i3   i3 = 3A 
 
 
COMPROVAÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2
3
12V12
8A
12V
12V
12V
24V
13A
5A
1A 1A
2A 3A
4 5
6
2A
1A 
3 6
3A
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1 ; PROF MASSIMO ARGENTO ED. 2017 
 
 
- 16 - 
CAPÍTULO II: 
 
1) DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS E LEIS DE KIRCHOFF 
2) ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES SÉRIE /PARALELO 
 
1 -DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS : para o estudo correto do funcionamento dos 
circuitos elétricos, torna-se muito conveniente a compreensão e o aprendizado 
rigoroso das definições (algumas delas já vistas) que veremos a seguir: 
 
a) bipolo elétrico: qualquer dispositivo elétrico que possua dois terminais acessíveis; 
 
b) bipolos at ivos: um bipolo será dito ativo, quando estiver fornecendo energia: ou 
ainda, quando chegarmos à conclusão que os seus sentidos de tensão e de corrente 
são concordantes; 
 
c) bipolos passivos: um bipolo elétrico será dito passivo, quando estiver recebendo 
energia; ou ainda, quando chegarmos a conclusão que os seus sentidos de tensão e de 
corrente são discordantes; 
 
d) Circuito elétrico: qualquer montagem executada com bipolos de forma a permitir a 
existência de uma corrente elétrica; 
 
e) Ponto elétrico: qualquer conjunto de condutores ideais que possuam o mesmo 
potencial, que pudermos definir em um circuito elétrico; (podemos ainda entender, 
como sendo ponto elétrico, qualquer caminho que possa ser realizado através de fios 
ideais interligados entre si em num circuito); 
 
f) Nó: qualquer conexão existente entre três ou mais condutores ideais em um 
circuito; 
 
Observação; Pelos i tens e) e f) podemos concluir que dois ou mais nós distintos, 
podem ser o mesmo ponto; notar que a recíproca não é verdadeira. 
 
g) Ramo: qualquer trecho com ou sem bipolo compreendido entre dois nós 
consecutivos de um circuito; 
 
h) Malha: qualquer contorno fechado, que pudermos definir dentro de um circuito, 
sem que se passe duas vezes por um mesmo ponto; 
 
 
i) Gerador de tensão contínua: bipolo que mantém uma tensão constante entre os seus 
terminais, seja qual for a corrente que por ele passa; note que um gerador de tensão 
pode ser um bipolo ativo ou passivo dependendo da conclusão da análise entre 
sentidos de tensão e corrente ( Veja a seguir): 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1 ; PROF MASSIMO ARGENTO ED. 2017 
 
 
- 17 - 
 
 a) Gerador de tensão b) Gerador de tensão 
 funcionando como funcionando como 
 bipolo ativo: bipolo passivo: 
 
 
 
j) Gerador de corrente contínua: bipolo que mantém uma corrente constante entre os 
seus terminais, seja qual for a tensão sobre ele; da mesma forma anterior, observe 
que um gerador de corrente pode ser um bipolo ativo ou passivo dependendo da 
conclusão da análise entre sentidos de tensão e corrente (Veja abaixo ): 
 
 a) Gerador de corrente b) Gerador de corrente 
 funcionando como funcionando como 
 bipolo ativo: bipolo passivo: 
 
 
 
para uma melhor compreensão de todas as definições dadas ilustramos abaixo um 
circuito elétrico qualquer: 
 
 
 
Imaginemos por hipótese que no circuito acima, por processos que veremos mais 
adiante, foram determinadas todas as correntes e tensões do mesmo: 
 
+
-
I
V +
-
I
V
IV IV
+
+
+
+
-
-
-
-
+-
I1V1
V2
V3
V4
V5
V6 V7 V8
V9V10
V11
V12
V13
V14
V15 V16V17 V18
I2
I3
I4
I5
I6
I7
I8
I9
I10I11
A
B
C
D E
F
G
H
K
I3
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1 ; PROF MASSIMO ARGENTO ED. 2017 
 
 
- 18 - 
 Notar que nos resistores , a tensão é essencialmente contrária à corrente, pois um 
resistor é um bipolo passivo (não existe um resistor capaz de fornecer energia 
elétrica num circuito) . 
 
 Notar que a tensão dos geradores de tensão é sempre do terminal (-) para o 
terminal (+), independentemente da corrente que por ele passa; 
 
 Notar que a corrente dos geradores de corrente é definida pelo próprio gerador, 
independentemente da tensão que está sobre ele aplicada; 
 
 Observar que temos geradores que são ativos, e outros que são passivos Por 
exemplo o Gerador de corrente I2 é ativo; o Gerador de tensão V9 é ativo; o 
Gerador de corrente I8 é passivo; o Gerador de tensão V1 0 é passivo, e assim por 
diante; concluir que um gerador é ativo ou passivo, é possível somente após a 
determinação dos sentidos reais das correntes e das tensões em um circuito. 
 
 Verificar que A, B, C e K são o mesmo ponto, embora B e K são Nós distintos. 
 
 Observar que AB, BC, CD, BK, AH, etc. são ramos, embora os ramos AB, BK, BC 
sejam ramos particulares denominados de ramos em curto-circuito; Obs: A 
corrente de um ramo esempre a mesma em qualquer local do mesmo! 
 
 O caminho definido pela seqüência de pontos ABKHA constitui uma 
malha; idem com o caminho HKFGH; o caminho 
ABCDEFKHA também é uma malha; Idem com o caminho 
ABCDEFGHA (Malha externa); observar que em todos os 
exemplos dados, o ponto de partida é igual ao ponto de chegada. 
 
 caminho ABKFEDKHA não constitui uma malha (pois passa 
duas vezes pelo ponto K); mas sim duas malhas ou seja: a malha ABKHA 
e a malha EDKFE. 
 
LEIS DE KIRCHOFF: uma ferramenta extremamente poderosa no estudo dos 
circuitos elétricos consiste no conhecimento das Leis de Kirchoff; As mesmas são 
duas, uma aplicada, aos nós, e outra aplicada às malhas; ou seja: 
 
a) Lei dos Nós ou Lei das Correntes: Esta Lei, unicamente aplicável aos Nós, afirma 
que a soma algébrica das correntes que entram num nó é igual a zero; ou ainda se 
melhor interpretada nos diz que a soma das correntes que entram num nó, é igual à 
soma das correntes que saem do nó. Retomando a título de exemplo o circuito da 
página anterior teremos: 
 
Nó K: I5 + I4 + I7 + I8 - I6 = 0  I5 + I4 + I7 + I8 = I6 
 
Nó F: I6 - I3 - I9 = 0  I6 = I3 + I9 
 
Nó D: I1 0 - I7 - I1 1 = 0  I1 0 = I7 + I1 1 , etc. 
 
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1 ; PROF MASSIMO ARGENTO ED. 2017 
 
 
- 19 - 
b) Lei das Malhas (Ou Lei das Tensões): esta lei, unicamente aplicável às malhas nos 
afirma que a soma algébrica das tensões ao longo de uma malha qualquer do circuito 
é igual a zero; no circuito da página anterior tem-se por exemplo: 
 
a) Malha ABHA (No sentido proposto): V2 - V3 - V1 = 0 
 
b) Malha KHGFK : V4 + V5 + V6 + V7 + V8 - V9 + V1 0 + V1 1 = 0 
 
 
O que acabamos de executar também denomina-se de circuitação das malhas. 
 
 
RESUMO DAS LEIS DE KIRCHOFF 
 
 
a) Lei dos Nós:  0IIII0I n321K
n
1K


 
 
b) Lei das Malhas:  0VVVV0V n321K
n
1K


 
 
2 - ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES: 
 
a) Conceito de Resistor equivalente de uma associação qualquer: Sendo dada uma 
associação qualquer com n resistores ligados entre si de todas as formas possíveis e 
imagináveis, tomemos dois terminais desta associação; um resistor R e será dito 
equivalente desta associação, quando e somente quando, se submetido à mesma 
tensão da associação, também for percorrido pela mesma corrente total da 
associação, ou seja: 
 
 Associação Qualquer: Resistor Equivalente: Re 
 
 
 
 
 
b) Conceito de Resistores em série: n Resistores serão ditos associados em série 
quando a corrente que percorrer qualquer um deles também percorrer todos os 
demais; ou ainda: n resistores serão ditos associados em série quando forem 
percorridos pela mesma corrente 
 
 
I
V
I
V Re
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1 ; PROF MASSIMO ARGENTO ED. 2017 
 
 
- 20 - 
c) Conceito de Resistores em Paralelo: n Resistores serão ditos associados em 
paralelo, quando a Tensão que estiver aplicada em qualquer um deles também estiver 
aplicada em todos os demais; ou ainda: n resistores serão ditos associados em 
paralelo quando estiverem ligados entre os mesmos pontos. 
 
Para melhor clareza dos conceitos que acabamos de expor, verifiquemos o circuito 
abaixo: 
 
 
 R1 , R2 e R3 estão em série (Mesmo ramo: mesma corrente); 
 R4 em série com R5 (Mesmo ramo: mesma corrente); 
 R8 , R9 , R1 0 , R1 1 , R1 2 e R1 3 em paralelo (verifique que estão ligados entre os 
mesmos pontos); 
 R6 em série com R7 (suponha uma corrente qualquer passando por R6 ; Quando 
a mesma chegar no nó A irá se repart ir; entretanto a mesma corrente será 
reconstituída no nó B, concluindo-se portanto que a mesma corrente que passa 
por R6 irá passar por R7). 
 
Resistor equivalente de uma associação série : Imaginemos uma associação de n 
resistores em série ; ou seja: 
 
Imaginemos também o resistor equivalente desta associação, RS a partir do conceito 
inicialmente exposto de equivalência ou seja: 
 
 
+
-
V3
I
I
V1
R3
R2
R1
A
R4
R5
R6
R7
R8
+
+
-
-
V2
R9 R10
R11
R12
R13
A A
AB B B
B
R1
V = R .I1 1 V = R .I3 3
R2 R3 RnI I
V = Tensão da associação
I = Corrente da Associação
I
V = R .In n
Associação em Série
RSI I
V = Tensão da associação
I = Corrente 
da Associação
I
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1 ; PROF MASSIMO ARGENTO ED. 2017 
 
 
- 21 - 
Notemos que: 
 
1) A corrente que percorre R1 , R2 . . . . . Rn é a mesma (definição de série) e ainda 
igual à corrente que percorre o resistor equivalente R s . 
 
2) As tensões: V1 , V2 , . . . . Vn não são necessariamente iguais entre si; poderão 
ser eventualmente iguais se os resistores: R1 , R2 . . . . . Rn forem iguais. 
 
3) Analisando a associação verificamos que: 
 
 V = V1 + V2 + V3 + V4 + . . . . + Vn (Lei das Malhas); 
 
entretanto considerando que: V1 = R1 . I; V2 = R2 . I; . . . ; Vn = Rn . I , e ainda que 
no resistor equivalente temos que: V = R s . I; concluímos que: 
 
 R s . I = R1 . I + R2 . I + R3 . I + . . . + Rn . I ; ou ainda: 
 
 R s . I = ( R1 + R2 + R3 + . . . + Rn ) . I ; portanto conclui-se 
 
que o resistor equivalente de uma associação série de n resistores é dado por: 
 
 
 R s = R1 + R2 + R3 + . . . + Rn 
 
 
Resistor equivalente de uma associação em paralelo : Imaginemos uma 
associação de n resistores em paralelo ; ou seja: 
 
 
imaginemos também o resistor equivalente desta associação Rp , a partir do mesmo 
conceito inicialmente exposto de equivalência, ou seja: 
 
 
 
 
V = Tensão 
da Associação
VRP
I = Corrente 
da Associação
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1 ; PROF MASSIMO ARGENTO ED. 2017 
 
 
- 22 - 
Notemos então que: 
 
1) A Tensão que é aplicada em R1 , R2 , . . . . Rn é a mesma ; (definição de paralelo), 
e ainda igual à tensão que é aplicada no resistor equivalente Rp . 
 
2) As correntes I1 , I2 . . . In não são necessariamente iguais entre si; poderão ser 
eventualmente iguais se os resistores R1 , R2 . . . . Rn forem iguais. 
 
3) Analisando a associação pode-se verificar que: 
 
I = I1 + I2 + . . . + In ( Lei dos Nós) ; mas considerando que: 
 
 
n
n
3
3
2
2
1
1 R
VI;;
R
VI;
R
VI;
R
VI  ; 
 
e ainda analisando o resistor equivalente RP temos que: 
PR
VI  ; portanto 
concluímos que: 
 
 
 


 
n21Pn21P R
1
R
1
R
1VR
V
R
V
R
V
R
V
R
V 
 
Donde concluímos que o resistor equivalente de uma associação em paralelo de n 
resistores será dado por: 
 
n321P R
1
R
1
R
1
R
1
R
1  
 
 
 
PARTICULARIZAÇÕES: 
 
a) Associação de dois resistores em Paralelo: Imaginemos dois resistores associados 
em paralelo, e o seu resistor equivalente; teremos: 
 
 
 
 








amoS
otudorP
RR
RRR
RR
RR
R
1
R
1
R
1
R
1
21
21
P
21
12
P21P
 
 
 
 
R2R1
A
B
RP
A
B
 
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- 23 - 
Exemplos: 
1) 6 //3  

 2
9
18
36
36R P ; 2) 10 //15  
6
25
150
5101
5101RP 
 
b) Associação de dois resistores sendo um deles múltiplo do outro: Imaginemos 
dois resistores associados em paralelo, de tal forma que um deles vale R e o outro 
vale: n
R : 
 
 
1n
RRR
n1
R
1
R
n
R
1
R
1
P
PP 

 
 
Exemplos: 
 
1) 12 //4 





 3
13
12
3
12//12 ; 2) 18 //9 


 612
18
2
18//18 
 
c) Utilização do conceito de condutância (G); As vezes, dependendo do problema 
considerado torna-se conveniente o uso do seguinte conceito: Definimos a 
condutância G de um resistor qualquer como sendo: 
 
   )Siemens(S1Ohm1G:onde;R1G  ; (no sistema MKS) 
 
 
A condutância de um resistor é então definida matematicamente como sendo o inverso da 
resistência, e fisicamente traduz a facilidade à passagem da corrente oferecida pelo 
resistor. Nestas condições se lembrarmos que a resistência equivalente RP, de uma 
associação em paralelo de n resistores é dada por: 
 
 
n321P R
1
R
1
R
1
R
1
R
1  
 
Se pensarmos em termos de condutância para a expressão acima teremos: 
 
 
 GP = G1 + G2 + G3 + . . . . + Gn 
 
 
Ou seja: “condutâncias em paralelo, são associadas como se fossem resistores em série”. 
 
 
RR n
A
B
RP
A
B
 
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- 24 - 
Exemplo: 
 
Seja calcular o Resistor equivalente paralelo da associação abaixo: 
 
 
 
Se utilizarmos a condutância de cada resistor teremos: 
 
 
 
 
Donde a condutância equivalente será dada por: 
 
 467,014,2
1R14,2R
1S14,2104,05,01,02,025,005,0G P
P
EQ
 
 
 
NOTAS IMPORTANTES FINAIS: 
 
 
a) Observe que associações série - paralelo são duais, isto é: tudo o que é válido em 
termos de tensão em uma delas, é válido em termos de corrente na outra e vice-versa. 
 
 
b) Numa associação em série o elemento chave que deve ser mantido é a corrente; 
numa associação em paralelo o elemento chave a ser mantido é a tensão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 1054 2 25 1
A
B
0,05S 0,1S0,2S0,25S 0,5S
A
B
0,04S 1S
 
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- 25 - 
 
EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO II 
 
 
10) Para o circuito abaixo, sendo conhecidas as correntes indicadas, pede-se 
determinar V1 e V2 através da util ização das Leis de Kirchoff, e da Lei de Ohm, e 
ainda caracterizar V1 e V2 em termos de bipolo ativo ou passivo. 
 
 
 
 
Respostas: V1 = 30V (Bipolo Ativo) ; V2 = -7V (Bipolo Ativo) 
 
 
 
20) Dado o circuito abaixo, empregando os mesmos conceitos do exercício 1) 
determine: 
 
 
a) Uma possível caracterização do bipolo B; b) os valores de R1 e R2 ; c) determinar 
a potência fornecida ou recebida pelo gerador de 3V. 
 
Respostas: a) O Bipolo B, pode ser um gerador de Tensão ou de Corrente com 0,5V 
de tensão, funcionado como bipolo passivo, e recebendo a potência de 1,0W ou ainda 
pode ser um resistor de 0,25 ; b) R1 = 3,5 ; R2 = 1 ; c) O gerador de 3V 
recebe 6W de potência (bipolo passivo) 
 
 
30) Para o circuito a seguir, levando em conta os mesmos conceitos anteriormente 
citados determine o valor de todas as correntes e tensões nos resistores, bem como o 
valor da tensão V, a partir do conhecimento da corrente I = 1A. Determine ainda a 
valor da Resistência Equivalente REQ vista pelo gerador (vista entre os pontos A e B) 
 
4A 1A
+
-
+
+
-
-
3
2
2
3
14
1
2
V1 V2
+ -
+
-
R1 0,5
B
R2
1A 1A
3A
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1 ; PROF MASSIMO ARGENTO ED. 2017 
 
 
- 26 - 
 
 
Respostas: V = 72V; RE Q = 8 
 
 
 
40) Determine o valor do resistor equivalente das associações abaixo entre os pontos 
A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: a): 4,0 ; b) : 1,2 ; c) 1,0 ; d): 1,0 
 
 
50) Determine o valor do resistor equivalente da associação abaixo entre os pontos A e B. 
 
 
 
 
Resposta: 6 
 
- V
A
B
+
3
3
3
1
11
2
222
515
I =1A
A B
12
12

30

20
4
10
A
B 12
8
4 6
2a)
A
B
4
2 6
12
12
c)
4
2 3
6
20 30
B
A
A
B 5
10
2
2
21
3
31
108
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1 ; PROF MASSIMO ARGENTO ED. 2017 
 
 
- 27 - 
60) No exercício abaixo, sabendo-se que o valor da Resistência equivalente vista 
entre os pontos A e B é de: 
8
153 , determine o valor de R. 
 
 
 
Resposta: R = 7 
 
EXTRAS: 
 
1) Determine o valor da 
resistência equivalente entre 
os pontos A e B na 
montagem ao lado, que se 
trata de um “cubo” cujas 
arestas se constituem de 
resistores exatamente iguais 
entre si, cada um deles 
sendo de 30 . 
 
Dica: Pense no conceito de 
Resistor Equivalente de uma 
associação qualquer , visto 
na pag. 21 
 
 
Resposta: RAB = 25 
 
 
2) O esquema abaixo, representa uma composição de um número muito grande 
(infinitamente grande ) de células resist ivas iguais; Nestas condições determine o 
valor da resistência equivalente vista entre os pontos A e B em função de R 
 
 
 
Resposta:  51RR AB  
 
A
B
R R R R
R
R
R R R
R R R
I
I
R R
R R
R
R
R
R
R
RR
R
A
B
A
B
R R R R
2R
R
2R 2R 2R
R R R