CIRCUITOS ELET 1 CAP 4 pgs 58 a 70

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CIRCUITOS ELÉT RICOS 1; PROF MASSIMO ARGENTO ED.2017 
 
 
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CAP IV - EQUIVALENTE THEVENÌM DE UM CIRCUITO 
 
1) TEOREMA DE THEVENÌM - MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA 
 
TEOREMA DE THEVENÌM: “Dois pontos quaisquer de uma rede elétrica, podem 
ser substituídos pela associação em série de um Gerador de tensão, com um Resistor. 
O modelo em série Gerador-Resistor deve apresentar a mesma tensão em vazio, e a 
mesma corrente de curto-circuito dos dois pontos considerados da rede” : 
 
Para que o modelo acima mostrado apresente a mesma tensão em vazio do que os dois 
pontos A e B da rede, é necessário que VT = VAB ; ou seja: 
 
 
Ainda, para que o modelo apresente a mesma Corrente de curto circuito, que a rede 
original, RT deverá ser tal que: 
CC
T
T
I
VR  ; ou seja: 
 
 
 
Com estas considerações feitas, o Modelo Gerador-Resistor em série assim 
determinado, substituirá a rede (Entre “A” e “B” ) em qualquer circunstância; 
óbviamente, se desejarmos um modelo Gerador de Corrente em paralelo com um 
Resistor R para substituir a rede entre os dois pontos considerados, bastará 
executarmos a transformação Thevenìm – Northon , do modelo série encontrado. 
 
 
MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA 
 
Vimos que dado um circuito qualquer, é possível transformá-lo na associação de um 
Gerador de Tensão VT , em série com uma resistência RT . Imaginemos então o 
equivalente Thevenìm de dois pontos quaisquer de um circuito, alimentando uma 
Resistência de carga RC ; teremos: 
 
RT+
-
A
B
VAB
A
B
VABV = VT AB=
Icc
 
R = T+
-
A
B
A
B
VT
VT
Icc
Icc
 
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Nestas condições teremos : 
CT
T
RR
VI

 ; 
CT
C
TRC RR
RVV

 ; 
 
Finalmente a Potência em RC será dada por P = 2
CT
C2
T )RR(
RV

 ; 
 
Se fizermos uma análise gráfica da função acima, perceberemos que o aspecto da 
curva obtida será do tipo: 
 
 
 
 
Sabemos porém que quando uma função assume o Valor Máximo, neste ponto a sua 
derivada é nula; portanto vamos descobrir qual será o valor “R’que teremos para RC : 
 
 
0
)RR(
)RR(R2)RR(V
dR
dP
4
CT
CTC
2
CT2
T
C


 ; ou ainda: 
 
 
 
RT + RC - 2RC = 0  RC = RT 
 
 
 
 
Ou seja: “Para que exista Máxima transferencia de Potência , de um circuito elétrico 
para uma Resistência a ser conectada entre dois pontos quaisquer do mesmo , é 
necessário que esta Resistência seja igual á Resistência do Modelo Equivalente 
Thevenìm do circuito em questão nos pontos de conexão. 
 
 
 
V cR
+
-
RT
VT RC
I
R RC
PMAX
P
 
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Exemplo de Aplicação : Para o circuito abaixo, determine: 
 
a) Qual o valor da resistência a ser conectada entre os pontos “A” e “B” do circuito, 
de modo a absorver a máxima potência do mesmo? Qual seria esta Potência ? 
b) Qual o valor da potência absorvida por um resistor de 1,2 , quando conectado 
entre os pontos “A” e “B” do circuito? 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: Vamos determinar o equivalente Thevenìm do circuito, entre os pontos 
“A” e “B”, por técnicas de simplificação ; ou seja: Se conseguirmos reduzir o 
circuito todo num gerador de tensão em série com um resistor , esta associação será 
o equivalente Thevenìm do circuito; portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ + +- -
-
24
3 1
2
4V
5A
18V
15V
A
B
+ + +- -
-
24
3 1
2
4V
5A
18V
15V
A
B
A
B
+ + +- -
-
24
3 1
2
4V
5A 5A
18V
15V
A
B
+ +
+
+- -
-
-
24
3 12
4V
18V
20V
15V
10V
+-
A
B
+ + +- -
-
2
3 16
24V
18V
15V
10V
+-
 
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a) Note que o circuito simplificado final obtido é o circuito equivalente de Thevenìm 
entre os pontos “A” e “B” do circuito original ; nestas condições, o resistor mais 
apropriado à ser conectado entre estes pontos, de modo a absorver a máxima potência 
é um resistor de 0,8 ; Uma vez conectado teremos: 
 
 
 
Logo: A25,11
8,08,0
18I 

 ; V = 0,8 x 11,25 = 9V ; PM AX = 11,25 x 9 =101,25W 
 
 
0,8
0,8
B
A
22,5A
+
- 18V B
A
0,8
0,8
+
- 18V B
AI
VR
+
-
3
1
6
15V
B
+-
2
2
2
A
10V
4A 6A
+
-
15V
B
+- A
10V
10A1
1
2
2
+
-
1
15V
B
+- A
10V
+
- 20V
4 47,5A 15A
B
A
 
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c) Ao conectarmos um resistor de 1,2 entre os pontos “A” e “B” do circuito 
original, será o mesmo que conectar um resistor entre os pontos “A” e “B” do 
circuito equivalente de Thevenìm; portanto teremos: 
 
 
 
Logo: A9
2,18,0
18I 

 ; V = 1,2 x 9 = 10,8V ; P = 10,8x 9 = 97,2W 
 
 
Observe como esta transferência de Potência é menor, do que quando o resistor era 
de 0,8 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Para os exercícios a seguir: 
 
 Qual o valor da resistência a ser conectada entre os novos pontos “A” e “B” 
dos circuitos a seguir, de modo a absorver a máxima potência do mesmo? Qual 
seria esta Potência ? 
 
 Para: os exercicios a), c) e d) Qual a potência absorvida por um resistor de 2 
quando conectado entre os pontos “A” e “B” do circuito? ; Para b) : Qual a 
potência absorvida por um resistor de 7,5 quando conectado entre os pontos 
“A” e “B” do circuito? 
 
 
 
 
 
 
0,8
1,2
+
- 18V B
AI
VR
+ + +- -
-
24
3 1
2
4V
5A
18V
15V
A
B
+
+
-
-
15
50
8A
102A
+
-
40V
160V
100V 50
A
B
a) b)
 
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EXERCICIOS ENVOLVENDO GERADORES VINCULADOS: 
 
 
1º) Para o circuito abaixo, pede-se a determinação do seu circuito equivalente de 
Thevenìm visto entre os pontos A e B: 
 
 
 
 
LEMBRETE: 
 
“O circuito equivalente de Thevenìm obtido entre dois pontos de um circuito 
qualquer, é dado pela associação em série de um gerador de tensão com um resistor 
de tal forma que esta associação, apresente a mesma tensão em vazio e ainda que 
apresente a mesma corrente de curto circuito do circuito original” 
 
Ou seja: 
 
 
 
SOLUÇÃO: a) Vamos então inicialmente com o circuito devidamente transformado, 
proceder à determinação da tensão em vazio ; note que a tensão de vinculo será dada 
por e1 e o valor de e2 , será a própria tensão de Thevenìm: 
 
4
v
18V+
3
6
-
1
3
A
B
v
+
+
-
-
3
1
6
6
6
14V
9V B
+-
2
A
10V
4A
5A
+
+
-
-
3
1
6
6
6
14V
9V
+-
210V
4A
5A
B
Ac) d)
Circuito
Qualquer VTH
+
- VTH
VTH
RTH
Circuito
Qualquer
+
- VTH
RTH
E: Icc Icc
A
A A A
B
B B B
 
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Teremos então: 
 











 




 
4
ee
3
11e1
6e1e1
6
1
3
1
1
21
21
  











 



 




 
0e
3
11e
4
11
6e1e1
6
1
3
1
21
21
 
 
Multipl icando cada equação pelo m.m.c dos denominadores envolvidos;teremos: 
 






0e16e15
36e6e9
21
21
  p = 1615
69

 = 9x16 – 6x15 = 54 
 
 
Ainda: e2 = 
015
369

 = 0 + 15x36 = 540 ; portanto : 
 
e2 = VTH = 
54
540
P
2e 

 = 10V 
 
b) Determinação da corrente de Curto-circuito: Ao colocarmos em curto, os pontos A 
e B observe-se a configuração do circuito: 
 
 
 
Note que em função do curto teremos : v = 6x(3 //6 // 1)  v = 4V ; 
 
Então: Ix = 
1
v = 4 ; Ig = 
4
v = 1  Ic c = Ig + Ix = 5A ; portanto 
teremos para o nosso equivalente Thevenìm: 
4
v6
1
3
A
B
v = e1
e1 e2
3
6A
Zp
Ig
Icc
4
v
6
1
3
A
B
v
3
6A
Icc
I = 0
v Ix
 
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2º) Determine o equiv. Thevenìm visto entre os pontos A e B do circuito abaixo: 
 
 
 
 
Solução: configurando o circuito p/ análise nodal teremos: 
 
 











 




 
4
e
4
ee
3
1
6
1e
6
1
8e
6
1e
6
1
3
1
3
1
21
21
21
  











 



 




 
0e
4
1
3
1
6
1e
4
1
6
1
8e
6
1e
6
1
3
1
3
1
21
21
 
 
  






0e9e5
48e1e5
21
21
  p = 
95
15


 = 45 – 1x5 = 40 
 
Ainda: e2 = 
05
485

 = 0 + 5x48 = 240  e2 = VTH = V6
40
240  
 
 
 
A configuração com a saída em curto fornece: 
 
Icc = 5A
A
B
+
- V = 10VT H
RT H
A
B
+
- V = 10VT H
R = 2 T H 
4
v
24V+
3
3
-
6
3
A
B
vv
4
v3
6
3
A
B
v = e e1 2 -
e1 e2
3
8A
 
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Note que em função do curto teremos : V = 8x(3 //3 // 6)  V = 
5
48 V ; 
Então: Ix = 
5
8
6
1
5
48
6
V  ; Ig = 
5
12
4
1
5
48
4
V   Icc = Ig + Ix ; 
 
 Icc = 
5
12
5
8  = 
5
20 = 4A ; portanto o nosso equiv. Thevenìm fica: 
 
 
 
 
3º) Determine o equiv. Thevenìm visto entre os pontos A e B do circuito abaixo: 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: Note que não é possível a transformação do gerador de tensão para 
gerador de corrente, porquanto o mesmo não se encontra em série com nenhum 
resistor. Uma solução mais adequada, consiste na utilização do deslocamento do 
gerador de tensão; ou seja: 
 
 
 
 
Zp
Ig
Icc
4
v
3
3
A
B
v
3
8A
I = 0
v Ix
6
Icc
Icc = 4A
A
B
+
- V = 6VT H
RT H
A
B
+
- V = 6VT H
R = 1,5 T H 
5
v
20V+
1
5
-
12
4
A
B
v
5
v20V +
1
5
-
12
4
A
B
v+
-
20V
5
v20V +
1
5
-
12
4
A
B
v+
-
20V
 
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Podemos pois visualizar o circuito após o deslocamento do gerador de tensão; 
teremos: 
 
 
 
Equacionando o circuito, e fazendo a transformação para gerador de corrente, 
obtemos os resultados abaixo: 
 
 
 
A tensão VTH pode ser calculada por: VTH = V15)12//4(
3
5
3
10
12
20
3
10
3




 


 
; 
Facilmente visualizamos a corrente de curto circuito: 
 
 
 
Logo teremos para a corrente de curto-circuito: 
 
A15
3
5
3
10
12
20
3
10Icc  ; Tendo-se portanto para o equivalente Thevenìm: 
 
 
 
 
 
 
 
5
v20V +
1
5
-
4
A
B
v
20V
+
-
12
5
v
20V +
1
5
-
4
A
B
v =
20
6
A
50
3
V
Ig =
10
3
A
12
20 12
5
v
20V +
1
5
-
4
A
B
v =
20
6
A
50
3
V
Ig =
10
3
A
12
20 12 Icc
Icc = 5A
A
B
+
- V = 15VT H
RT H
A
B
+
- V = 15VT H
R = 3 T H 
 
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4º) Determine o equiv. Thevenìm visto entre os pontos A e B do circuito abaixo: 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: Note como fica a configuração do circuito, ao fazermos o deslocamento 
do gerador de tensão: 
 
 
 
 
 
Por outro lado também verifique como fica a tensão de Thevenìm ao fazermos a 
transformação do gerador de 32V em série com o resistor de 12 ,para o equivalente 
gerador de corrente em paralelo com o mesmo resistor: 
 
 
 
 
 
 
Ao compararmos os dois resultados obtemos: 
 
32 - V = 
3
)4//12(
5
V
12
32





   32 - V = 8 + 
5
V3  
5
V8 = 24 
 
Portanto: V = 15V donde : VTH = 32 - V  VTH = 17V 
 
 
 
 
 
 
 
B
A
+
- 32V
V
V
1
5
12
45
B
A
+
- 32V
V V
1
5 4
12
5 V = 32 - VTH
+
- 32V
B
A
+
- 32V
V
1
5 45 V = TH
32
12 12 V5
32
12+ x 12 // 4
 
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DETERMINAÇÃO DA CORRENTE DE CURTO CIRCUITO: Note como fica a 
configuração do circuito: 
 
 
Portanto: Icc = A13,6
12
32
5
32  ; portanto: RTH =  77,2
13,6
17 
 
 
5º) Determine o equiv. Thevenìm visto entre os pontos A e B do circuito abaixo: 
 
 
 
SOLUÇÃO: Vamos inicialmente proceder ao deslocamento do gerador de corrente e 
verifiquemos como fica o circuito: 
 
Transformando, o único gerador possível teremos: 
 
 
 
 
B
A
+
- 32V
V
1
5
4
5
Ig
I = 0
V = 32V 12
+
- 32V
32
5=
32
12
Icc
5 2
5
20V 10V
30V
+ +
- -
I 3.I +
-
B
A
5
2
5
20V 10V
30V
3.I
3.I
3.I
B
A
+
-
+
-
+
-I
15.I
V TH I1
5
2 5
20V 10V
30V
B
A
+
-
+
-
+
-I
I2
B
A
+ -
 
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Donde montamos o sistema: 
 






30)II(.1510I7I2
1020I2I7
1221
21
  






20I22I17
10I2I7
21
21
 
 
 
Note que para determinarmos a tensão de Thevenìm entre os pontos A e B, basta 
determinarmos simplesmente I1 ; teremos então: 
 
 
P = 7 x 22 - (-17) x (-2)  P = 120 ; I1 = 10 x 22 - (-2) x (-20) = 180 
 
 
 
Portanto teremos: A5,1
120
180I1  
 
Note então como obtemos a tensão de Thevenìm: 
 
 
Passemos então à análise da corrente de curto; teremos: 
 
 
 
 
Tendo-se portanto: RTH =  4167,0
30
5,12 : 
 
 
 
 
I1 = 1,5A
V TH
5
20V+
-
B
A
7,5V
= 12,5V
7,5V
15.I
5
2
5
20V
20V
4A
10V
10V
30V
B
A
+
-
+
-
+
-I =5A
+ -9A
105V
21A
75V
105V
Icc =30A
Icc = 30A
A
B
+
- V = 12,5VT H
RT H
A
B
+
- V = 12,5VT H
R = 0,4167T H 