fundamentos da matematica1 lista 06

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6a. lista de Fundamentos de Matemática 1
1. Prove a seguinte propriedades de logaritmos (usando as propriedades do exponencial). Obs.:
a > 0, a 6= 1.
(a) loga(1) = 0
(b) loga(a) = 1
(c) loga(1/a) = −1
(d) loga(xy) = loga(x) + loga(y)
(e) loga(x/y) = loga(x)− loga(y)
(f) loga(x
r) = r loga(x)
(g) loga(1/x) = − loga(x)
2. Mostre as seguintes propriedades (use as propriedades da exponencial). Obs.: a > 0, a 6= 1.
(a) loga(x) é crescente para a > 1.
(b) loga(x) é decrescente para a < 1.
(c) Se a > 1, loga(x) < 0 para 0 < x < 1 e loga(x) > 0 para x > 1.
(d) Se a < 1, loga(x) > 0 para 0 < x < 1 e loga(x) < 0 para x > 1.
3. Mostre que, para a, b, c > 0, a, b, c 6= 1
(a) loga b =
logc b
logc a
(b) loga b =
1
logb a
(c) logaβ(b) =
1
β
loga(b)
(d) (logac(b)) (1 + loga(c)) = loga(b).
4. Resolva a inequação para x ∈ R.
(a) 9x + 3x + 27 > 0.
(b) 4x + 3× 2x + 1 < 0
(c) 3x−1 < 22.
(d) 8x
2
> 22x+1.
(e)
√
2 ≤ 22x+1.
(f) (3x)e ≤ (2x2)2e com x > 0.
(g)
(
1
5
)x2+1 ≤ 1
15
.
5. obtenha a solução, caso exista. Justifique, caso contrário.
(a) xx+1 = 1
(b) xx+1 = x
1
(c) x2x−1 = 3
(d) xx
2+x = x3
6. Escreva em termos de exponencial e logaritmo na base e.
(a) 2x
(b) 3x(log2 x)
(c) log3 7
(d) logx(x+ 1)
7. Escreva os números na notação científica normalizada e em decimal.
(a) 213.586
(b) −0.0001
(c) 1.3E5
(d) −21.5E − 2
(e) 0.05E − 3
8. Obtenha o logaritmo em termos do logaritmo de base 10, do número entre 1 e 10.
(a) log10(256)
(b) log10(0.0025)
(c) log2(121)
(d) log2(0.035)
(e) ln(35)
(f) ln(0.05)
9. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) loga (loga x) = y ⇐⇒ (ay)a = x
(b) lnx ≤ log10(x) para x ≥ 1.
(c) log2 x ≥ lnx para x ≥ 1.
(d) a < b implica loga(x) ≤ logb(x) para x ≥ 1.
(e) loga (loga x) = y ⇐⇒ aay = x.
(f) log1/a(x) = − loga(x).
(g) ln
(
10kx
)
= k + lnx.
(h) log2
(
2kx
)
= k + log2(x)
2