Métodos Quantitativos para Tomada de Decisões

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Métodos Quantitativos para a 
tomada de decisões 
 
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Prof. Marcelo Leite 
v Programação Linear; 
v Teoria dos Jogos; 
v Teoria da Decisão; 
v Teoria das Filas; 
v Teoria dos Grafos; 
v Programação Dinâmica. 
}  São todas ferramentas que combinam instrumentos 
matemáticos com rotinas analíticas dedicadas ao 
desenvolvimento do processo de tomada de decisão. 
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}  Os problemas de Programação Linear (PL) buscam a 
distribuição eficiente de recursos limitados para atender 
um determinado objetivo, em geral, maximizar lucros 
(MaxZ) ou minimizar custos (MinZ). Em se tratando de PL, 
esse objetivo é expresso através de uma função linear, 
denominada de “Função objetivo”. 
}  Problemas que sejam expressos por, no máximo, duas 
variáveis de decisão. 
}  Com isso, a forma-padrão de se apresentar estes 
“problemas” é realizada com apenas restrições do tipo 
menor ou igual (≤) e com constantes das restrições e 
variáveis não negativas. 
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}  O Método Simplex é uma técnica utilizada para se 
determinar, numericamente, a solução ótima de um 
modelo de Programação Linear. 
}  Requisitos para restrições do problema: 
 
v  Todas as restr ições (com exceção da não 
negatividade das variáveis) são equações cujos lados 
direitos são não negativos; 
v  Todas as variáveis são não negativas (x1≥ 0 e x2≥ 0). 
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}  Requisitos para formulação matemática: 
v  Apresentação das restrições como inequações do tipo 
MENOR OU IGUAL (≤); 
v  A representação da utilização dos recursos descritos para 
realização da(s) atividade(s), que são as variáveis do 
modelo, deve estar do lado esquerdo da inequação. 
Enquanto do lado direito, deve-se representar o limite 
imposto para o recurso, ou seja, sua disponibilidade. 
v  A diferença entre o lado direito e o lado esquerdo da 
restrição (≤) resulta na quantidade de recurso não 
utilizada, ou seja, “folga”. 
Exemplo 1: 
Uma transportadora possui dois tipos de caminhão: 
•  tipo A - com 2 metros cúbicos (m3) de espaço refrigerado e 
4 metros cúbicos (m3) de espaço não refrigerado e 
•  tipo B - com 3 metros cúbicos (m3) refrigerados e 3 m3 não 
refrigerados. 
Ao precisar transportar 90 m3 de produto refrigerado e 120 
m3 de produto não refrigerado, precisa definir quantos 
caminhões, de cada tipo, deve empregar de modo a 
minimizar seu custo, dado que: o custo operacional do 
caminhão A é R$ 0,30 por km e do caminhão B é de R$ 
0,40 por km. 
Elabore o modelo de programação linear. 
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}  Primeiro passo 
v  Defina a condição de maximização ou minimização (Z) 
solicitada: 
MinZ = 0,30X1+ 0,40X2 
}  Segundo passo 
v  Elabore um quadro demonstrativo, onde as variáveis de 
decisão estejam apresentadas de acordo com sua 
utilização e limitações: 
 
 
 
 
 
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CAMINHÃO m3 refrigerado m3 não-refrigerado 
Tipo A. (X1) 2 4 
Tipo B. (X2) 3 3 
transporte 90 120 
}  Primeiro passo 
v  Defina a condição de maximização ou minimização (Z) 
solicitada: 
MinZ = 0,30X1+ 0,40X2 
}  Segundo passo (outra forma possível de representação) 
v  Elabore um quadro demonstrativo, onde as variáveis de 
decisão estejam apresentadas de acordo com sua 
utilização e limitações: 
 
 
 
 
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CAMINHÃO Tipo A. (X1) Tipo B. (X2) transporte 
m3 refrigerado 2 3 90 
m3 não-refrigerado 4 3 120 
}  Terceiro passo 
v  Formule as inequações a partir das variáveis explicativas 
ou de decisão, definidas como parâmetros para sua 
tomada de decisão: 
2X1+ 3X2 ≤ 90 - restrição do transp. Refrigerado 
4X1+ 3X2 ≤ 120 - restrição do transp. não refrigerado 
X1 ≥ 0 
X2 ≥ 0 
 
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}  Quarto passo 
v  Transforme as inequações em equações (=) e encontre o 
valor de uma das condições (X1 ou X2) em razão da 
outra: 
2X1+ 3X2 = 90 -> 2X1 = 90 - 3X2 -> X1 = 90/2 – 3/2X2 
-> X1 = 90/2 – 3/2X2 -> 
 
4X1+ 3X2 = 120 -> 4X1 = 120 – 3X2 -> 
-> X1 = 120/4 – 3/4X2-> 
 
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X1 = 45 – 1,5X2 
X1 = 30 – 0,75X2 
}  Quinto passo 
v  Resolva a identidade entre as equações, para encontrar o 
valor da condição (X1 ou X2) selecionada: 
X1 = 45 – 1,5X2 e X1 = 30 – 0,75X2 
Logo: 
 45 – 1,5X2 = 30 – 0,75X2 
(1,5 – 0,75)X2 = 45 – 30 
0,75X2 = 15 
X2 = 15/0,75 = 20 
(utilizaremos 20 caminhões do Tipo B) 
 
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}  Sexto passo 
v  A partir do valor da condição (X1 ou X2) selecionada, encontre, em 
qualquer uma das equações, o valor da outra: 
Se X2 = 20 substituindo em 2X1+ 3X2 = 90 
Temos: 
2X1+ 3.20 = 90 -> 2X1= 90 - 60 -> X1= 30/2 = 15 
(assim, utilizaremos 15 caminhões do Tipo A) 
Logo: 
 X1 = 15 (2x15 = 30 e 4x15 = 60 ) e 
X2 = 20 (3x20 = 60 e 3x20 = 60 ) 
 90 m3 120 m3 
Resolvendo a condição Z solicitada: 
Min Z = 0,30.15+ 0,40.20 = 4,50 + 8 = 12,50 
 
 
 
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Exemplo 2: 
Um jovem precisa decidir entre duas alternativas de 
programa para seus finais de semana: 
Boate e Samba. Sabe, por experiência, que: 
v A Boate é mais elegante e mais cara, de modo 
que uma ida, de 5 horas, custará R$240,00; 
v E o Samba, mais simples e mais popular, nas 
mesmas 5 horas, custará R$160,00; 
v Seu orçamento permite dispor de R$960,00 
mensais para diversão; 
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Seus afazeres escolares lhe darão liberdade de 
dispor de, no máximo, 25 horas/mês e 40.000 
calorias de sua energia para atividades sociais; 
Cada ida a Boate consome 5.000 calorias, 
enquan to no Samba , onde há ma io r 
aglomeração (bagunça), o gasto de energia é o 
dobro. 
Ele gosta com a mesma intensidade dos dois 
programas. 
Como deve planejar sua vida social para obter o 
número máximo de saídas? 
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}  Ex.2: 
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Recurso/Prog. Boate (X1) Samba (X2) Disponibilidade 
Dinheiro 240,00 160,00 960,00 
Energia 5.000 10.000 40.000 
Tempo 5 5 25