Aplicações da Programação Linear

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DESCRIÇÃO
Modelagem de problemas clássicos de programação linear: fabricação versus compra, problemas de
mistura, planejamento, produção e estoques, transporte, transbordo e alocação.
PROPÓSITO
Discutir os problemas clássicos de programação linear a fim de entender a técnica de modelagem e a
importância desse campo do conhecimento, essencial para a sua formação e atuação no processo de
decisão de problemas complexos.
PREPARAÇÃO
Tenha em mãos uma calculadora ou um software editor de planilhas eletrônicas para que possa realizar as
operações matemáticas necessárias.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar a técnica de modelagem em problemas clássicos de programação linear
MÓDULO 2
Aplicar a técnica de modelagem nos problemas de transporte e transbordo
MÓDULO 3
Aplicar a técnica de modelagem em problemas de alocação
INTRODUÇÃO
Os modelos são simplificações do objeto ou problema de decisão que representam. Você pode estar se
perguntando: como a modelagem matemática pode auxiliar o processo de tomada de decisão, em especial
em problemas complexos? A modelagem matemática possibilita examinar diferentes cenários, em geral, de
forma mais rápida e barata do que analisar a situação na realidade.
O foco deste conteúdo é a programação linear, uma das técnicas mais difundidas na Pesquisa Operacional
(PO). Aqui, reforçaremos os conceitos sobre a construção de modelos de programação linear na
modelagem de problemas clássicos de programação linear, abordando suas diferentes aplicações. Com
isso, passaremos a dominar a técnica de modelagem e entenderemos melhor a importância desse campo do
conhecimento, em especial, a sua aplicação no planejamento de redes logísticas, por meio do problema de
transporte e transbordo, e de alocação, problemas clássicos de programação linear que merecem ser
destacados!
APRESENTAÇÃO DO TEMA
No vídeo a seguir, o especialista apresenta o tema programação linear como ferramenta de gestão (Crédito
Digital), reforçando a importância da modelagem e apresentando alguns problemas clássicos que podem ser
solucionados pela programação linear.
MÓDULO 1
 Aplicar a técnica de modelagem em problemas clássicos de programação linear
MODELAGEM DE PROBLEMAS DE
PROGRAMAÇÃO LINEAR
O processo de modelagem consiste em transformar a linguagem do problema em linguagem matemática.
Para isso, devemos começar definindo as variáveis de decisão e, posteriormente, a função objetivo e as
restrições, conforme os passos ilustrados abaixo:
IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO

IDENTIFICAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO

IDENTIFICAÇÃO DO CONJUNTO DE RESTRIÇÕES
 ATENÇÃO
O passo mais importante no desenvolvimento de modelos de programação linear consiste na definição
correta das variáveis de decisão. Um equívoco na seleção das variáveis de decisão implica erros na
identificação da função objetivo e do conjunto de restrições.
Existem classes de modelos de programação linear que são adaptáveis a uma série de situações práticas,
sendo considerados como “problemas típicos.” Esses modelos seguem padrões semelhantes, de modo que
podemos considerar que formam diferentes “classes” de problemas. Assim, se soubermos modelar um
destes problemas típicos, provavelmente conseguiremos modelar os demais problemas da mesma classe.
Por isso, é tão importante conhecer esses padrões e entender a lógica por trás da construção destes
modelos matemáticos (RODRIGUES et al., 2014).
Neste módulo, serão abordados alguns dos principais modelos de programação linear considerados
“típicos.” Devemos entender como funciona o padrão de modelagem para cada problema típico para que,
então, possamos aplicar essa mesma lógica a outros problemas da mesma classe, ou seja, que seguem o
mesmo padrão.
 DICA
Estude e faça a maior quantidade de exercícios possível. Apenas com a prática você internalizará a lógica e
desenvolverá seus modelos com maior facilidade.
Trataremos, a seguir, dos problemas da mistura, do planejamento de produção e de estoques, e fazer versus
comprar. Estes são problemas clássicos que podem ser aplicados em diferentes setores produtivos.
PROBLEMA DA MISTURA
Muitos modelos de programação linear representam situações em que o tomador de decisão deseja
minimizar o custo para atender a determinadas condições (restrições). O problema da mistura, também
conhecido como o problema da dieta, é um dos modelos clássicos que se encaixa neste tipo de padrão.
Veja mais informações sobre o problema da dieta:
O PROBLEMA DA DIETA
O problema da dieta foi proposto pela primeira vez por Stiger (1945), tendo sido um dos primeiros problemas
de otimização linear a ser implementado na prática com sucesso. Neste tipo de problema, o tomador de
decisão deseja determinar níveis de utilização de matérias-primas na composição de uma ração alimentar,
que deve respeitar certas características nutricionais, estando limitado à disponibilidade de matérias-primas
e insumos, bem como ao atendimento da demanda. É importante destacar que este tipo de problema não se
limita à dieta humana, sendo aplicado também à elaboração de rações para gado, peixe, aves etc.
Entretanto, de forma mais ampla, o problema da mistura não se restringe apenas à composição de rações
alimentares. O problema da mistura pode ser aplicado à produção de ligas metálicas, à especificação de
combustíveis, à fabricação de remédios ou de produtos químicos em geral, à produção de adubos ou de
papel. Em suma, o problema da mistura representa uma classe de modelos clássicos, que podem ser
aplicados a diferentes setores. Neste tipo de problema, diferentes insumos devem ser misturados em uma
proporção ideal para fabricar produtos para a comercialização.
TEORIA NA PRÁTICA
EXEMPLO - PROBLEMA DA DIETA
Uma mãe está muito preocupada com a alimentação de seus filhos. Ela deseja que as crianças tenham uma
alimentação equilibrada e, assim, consultou uma nutricionista que lhe recomendou que eles comam, no
mínimo, 10mg de vitamina A, 70mg de vitamina C e 250mg de vitamina D por dia.
Porém, além de se preocupar com a qualidade da alimentação, essa mãe também está preocupada com os
custos. Ela deseja oferecer aos seus filhos essa dieta equilibrada, porém ao menor custo possível. Por isso,
ela fez uma pesquisa e descobriu as informações nutricionais para diferentes tipos de alimento, conforme
apresentado na tabela a seguir:
Vitamina Leite (l) Carne (kg) Peixe (kg) Salada (100g)
A 2 2 10 20
C 50 20 10 30
D 80 70 10 80
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Tabela de informações nutricionais em mg 
Fonte: Adaptado de Goldbarg e Luna (2005)
A mãe também foi ao supermercado e verificou que um litro de leite custa R$2,00, um quilo de carne custa
R$20,00, um quilo de peixe custa R$25,00 e para preparar 100g de salada ela gastaria R$3,00.
Vamos usar nossos conhecimentos de programação linear para ajudar essa mãe a escolher a melhor dieta
para seus filhos com o menor custo possível!
RESOLUÇÃO
DEFINIR VARIÁVEIS DE DECISÃO
O primeiro passo para a modelagem deste exemplo de um clássico problema da dieta é a definição das
variáveis de decisão. A variável de decisão deve ser xi, sendo x a quantidade de alimento do tipo “i” a ser
consumida por dia. Logo, temos:
x1 = litros de leite a serem consumidos por dia pelas crianças;
x2 = quilos de carne a serem consumidos por dia pelas crianças;
x3 = quilos de peixe a serem consumidos por dia pelas crianças;
x4 = 100g de salada a serem consumidos por dia pelas crianças.
IDENTIFICAR A FUNÇÃO OBJETIVO
Em seguida, devemos identificar a função objetivo. Sabemos que a mãe deseja gastar o menor valor
possível, de modo que este deve ser um problema de minimização! A mãe já fez a pesquisa de preços,
então só nos falta montar a função objetivo:
MIN Z= 2X1+20X2+25X3+3X4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
IDENTIFICAR O CONJUNTO DE INEQUAÇÕES
Porém, não se esqueça de que a mãe também está preocupada com a qualidade nutricionalda
alimentação de seus filhos e que a nutricionista indicou que as crianças devem comer, no mínimo, 10mg
de vitamina A, 70mg de vitamina C e 250mg de vitamina D por dia. As informações nutricionais em mg de
vitamina A, C e D dos alimentos leite, carne, peixe e salada são apresentadas na tabela de informações
nutricionais, já apresentada. Assim, podemos identificar o conjunto de inequações que representam estas
restrições. São elas:
2x1+2x2+10x3+20x4≥10→Vitamina A
50x1+20x2+10x3+30x4≥70→Vitamina C
80x1+70x2+10x3+80x4≥250 →Vitamina D
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não podemos nos esquecer das restrições de não negatividade para as variáveis de decisão. Logo, temos
que:
x1,x2,x3,x4≥0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MODELO
Enfim, temos que o modelo para este exemplo do problema da dieta é:
Min Z= 2x1+20x2+25x3+3x4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
2x1+2x2+10x3+20x4≥10
50x1+20x2+10x3+30x4≥70
80x1+70x2+10x3+80x4≥250
 x1,x2,x3,x4≥0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PROBLEMA DO PLANEJAMENTO DE PRODUÇÃO
E DE ESTOQUES
Neste tipo de problema, deseja-se determinar níveis para atividades de produção, considerando que a
capacidade de produção de cada atividade sofra restrições de caráter tecnológico e prático.
O problema do planejamento de produção pode ser estático ou dinâmico.
PROBLEMA ESTÁTICO
No problema estático, considera-se a produção em determinado horizonte de programação finito, de modo
que as formulações contemplam apenas um período, conforme verificaremos no exemplo a seguir:
TEORIA NA PRÁTICA
PROBLEMA DO PLANEJAMENTO DE PRODUÇÃO ESTÁTICO
Uma fábrica de bicicletas está planejando seus níveis de produção para o próximo semestre. O custo
unitário da produção da bicicleta infantil é de R$280,00, enquanto o custo unitário da produção da bicicleta
para adultos é de R$620,00.
São necessários seis trabalhadores para fazer um lote de 8 bicicletas infantis por dia, enquanto três
trabalhadores conseguem fabricar 5 bicicletas de adulto por dia. Existem 200 pessoas disponíveis para a
produção de bicicletas, podendo ser alocadas em qualquer um dos dois serviços.
A fábrica tem capacidade máxima de produção de 300 bicicletas. Ainda, para atender à demanda existente,
devem ser produzidos, no mínimo, 20 lotes de bicicletas infantis e 15 lotes de bicicletas de adultos. Formule
o modelo de programação linear para minimizar o custo de produção da fábrica.
RESOLUÇÃO
O primeiro passo para a construção de qualquer modelo consiste em identificar as variáveis de decisão
para o problema. Neste caso, a variável de decisão deve ser xi, sendo x a quantidade de bicicletas do tipo
“i” a ser produzida por dia. Logo, temos:
x1 = número de bicicletas infantis a serem produzidas por dia;
x2 = número de bicicletas infantis a serem produzidas por dia.
 
Em seguida, passamos à definição da função objetivo. A fábrica tem como meta minimizar o seu custo de
produção diário. Assim, como o custo unitário da produção da bicicleta infantil é de R$280,00, e da
bicicleta de adulto é de R$620,00, temos a seguinte função objetivo:
Min Z= 280x1+620x2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A fábrica emprega 200 funcionários por dia. São necessários seis trabalhadores para fazer um lote de 8
bicicletas infantis por dia, logo, cada trabalhador produziria 0,75 bicicletas por dia. Três trabalhadores
fabricam 5 bicicletas de adulto por dia, logo, cada trabalhador produziria 0,625 bicicletas. Com esses
dados, conseguimos definir a restrição da fábrica com relação à capacidade de mão de obra:
0,75x1+0,6x2 ≤200
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A fábrica tem capacidade máxima de produção de 300 bicicletas. Logo, a restrição com relação à
capacidade da fábrica é:
x1+x2 ≤300
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Além disso, para atender à demanda existente devem ser produzidos, no mínimo, 20 lotes de bicicletas
infantis. Como cada lote é composto por 8 bicicletas infantis, devem ser produzidas, ao menos, 160
bicicletas infantis.
x1 ≥160
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por sua vez, devem ser produzidos 15 lotes de bicicletas de adultos, com 5 bicicletas em cada um, de
modo que:
x2 ≥75
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Enfim, temos que o modelo para este exemplo do problema de planejamento da produção estático é:
Min Z= 280x1+620x2
Sujeito a:
0,75x1+0,6x2 ≤200
x1+x2 ≤300
x1 ≥160
x2 ≥75
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que, neste caso, não são necessárias as restrições de não negatividade das variáveis de decisão
devido às restrições para o atendimento mínimo da demanda.
Neste exemplo, resolvemos um problema de planejamento de produção estático. Contudo, em situações
reais, é mais comum realizar o planejamento para diferentes períodos de tempo. Nesses casos, são
necessários modelos dinâmicos, ou seja, que utilizam formulações do tipo multiperíodo.
PROBLEMA DINÂMICO
Nos modelos de programação dinâmica, as disponibilidades de matéria-prima e de mão de obra, e até os
lucros, podem variar ao longo do tempo. Também são considerados os níveis de estoque, visando sempre
atender à demanda em todos os períodos, com o menor custo possível.
A seguir, vamos desenvolver o modelo matemático para um problema de planejamento de produção
dinâmico.
TEORIA NA PRÁTICA
PROBLEMA DO PLANEJAMENTO DE PRODUÇÃO DINÂMICO
Uma fábrica de bicicletas está planejando seus níveis de produção para os próximos seis meses. A fábrica
tem capacidade máxima de estocar 6.000 bicicletas. Os dados com relação à produção máxima mensal, ao
custo unitário de produção e à demanda mensal são apresentados na tabela a seguir:
Mês 1 2 3 4 5 6
Custo unitário
de produção
(R$)
240,00 250,00 265,00 285,00 280,00 260,00
Demanda
(unidades)
1.000 4.500 6.000 5.500 3.500 4.000
Produção
máxima
(unidades)
4.000 3.500 4.000 4.500 4.000 3.500
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Dados de produção de bicicletas. 
Fonte: Adaptado de Ragsdale (2009).
Sabe-se que o estoque inicial do semestre é de 2.750 unidades, e que o custo de estoque é equivalente a
1,5% do custo unitário de produção no mesmo mês. Desenvolva o modelo matemático para minimizar o
custo total da fábrica no próximo semestre.
RESOLUÇÃO
O primeiro passo para a modelagem deste exemplo de um clássico problema de planejamento de
produção dinâmico é a definição das variáveis de decisão. As variáveis de decisão devem ser xi, sendo x o
número de unidades de bicicletas a serem produzidas no mês “i”, e ei, sendo e o inventário inicial do mês
“i”. Logo, temos:
xi = número de unidades a produzir no mês i, i=1 a 6
ei = inventário inicial mês i, i=1 a 6
 COMENTÁRIO
Repare que pela primeira vez estamos modelando um problema em que o índice da variável de decisão se
refere ao período de tempo, pois estamos analisando a situação ao longo do tempo.
Conhecendo o custo unitário de produção e o custo de estoque de cada mês, conseguimos determinar a
função objetivo para a minimização dos custos da fábrica:
Min Z= 240x1+250x2+265x3+285x4+280x5+260x6 + 3,6(e1+e2)/2 + 3,75(e2+e3)/2 + 3,98(e3+e4)/2+
4,28(e4+e5)/2 + 4,20(e5+ e6)/2 + 3,9(e6+e7)/2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que o estoque inicial em dado mês equivale ao estoque final do mês anterior, e que estamos
considerando o custo do estoque médio no mês. Assim, para o custo de estoque, consideramos que o
nível de estoque é a média entre o valor de inventário inicial e final do mês.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalA produção de unidades de bicicleta por mês deve ser, no mínimo, o suficiente para atender à demanda,
porém não pode superar a produção máxima mensal. Logo, temos as seguintes restrições com relação
aos níveis de produção.
2.000≤x1 ≤ 4.000 } mês 1
1.750 ≤ x2 ≤3.500 } mês 2
2.000 ≤ x3 ≤4.000 } mês 3
2.250 ≤ x4 ≤ 4.500 } mês 4
2.000 ≤ x5 ≤4.000 } mês 5
1.750 ≤ x6 ≤3.500 } mês 6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sabe-se também que a capacidade máxima de estoque na fábrica é de 6.000 unidades de bicicletas. Logo,
o estoque final em cada mês não pode ser superior a essa capacidade máxima, de modo que esta
restrição será do tipo ≤.
Como o Estoque final = Estoque inicial + produção - unidades vendidas, temos:
x1 + e1 - 1.000 < 6.000 } mês 1
em =
ei + ei+1
2
x2 + e2 - 4.500 < 6.000 } mês 2
x3 + e3 - 6.000 < 6.000 } mês 3
x4 + e4 - 5.500 < 6.000 } mês 4
x5 + e5 - 3.500 < 6.000 } mês 5
x6 + e6 - 4.000 < 6.000 } mês 6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ainda em relação ao estoque, é necessário o balanço do inventário, representado pelas seguintes
restrições:
e1 = 2750
e2 = e1 + x1 – 1.000
e3 = e2 + x2 - 4.500
e4 = e3 + x3 - 6.000
e5 = e4 + x4 - 5.500
e6 = e5 + x5 - 3.500
e7 = e6 + x6 - 4.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Enfim, temos que o modelo para este exemplo do problema de planejamento da produção dinâmico é:
Min Z= 240x1+250x2+265x3+285x4+280x5+260x6 + 3,6(e1+e)/2 + 3,75(e2+e3)/2 + 3,98(e3+e4)/2+
4,28(e4+e5)/2 + 4,20(e5+ e6)/2 + 3,9(e6+e7)/2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
2.000≤x1 ≤ 4.000 } mês 1
1.750 ≤ x2 ≤3.500 } mês 2
2.000 ≤ x3 ≤4.000 } mês 3
2.250 ≤ x4 ≤ 4.500 } mês 4
2.000 ≤ x5 ≤4.000 } mês 5
1.750 ≤ x6 ≤3.500 } mês 6
x1 + e1 - 1.000 < 6.000 } mês 1
x2 + e2 - 4.500 < 6.000 } mês 2
x3 + e3 - 6.000 < 6.000 } mês 3
x4 + e4 - 5.500 < 6.000 } mês 4
x5 + e5 - 3.500 < 6.000 } mês 5
x6 + e6 - 4.000 < 6.000 } mês 6
e1 = 2750
e2 = e1 + x1 – 1.000
e3 = e2 + x2 - 4.500
e4 = e3 + x3 - 6.000
e5 = e4 + x4 - 5.500
e6 = e5 + x5 - 3.500
e7 = e6 + x6 - 4.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PROBLEMA FAZER X COMPRAR
As organizações enfrentam, no seu dia a dia, o dilema de fazer ou comprar.
AO SE DECIDIR ENTRE A FABRICAÇÃO INTERNA OU A
AQUISIÇÃO DE DETERMINADO COMPONENTE NO MERCADO,
AS EMPRESAS COSTUMAM REALIZAR A ANÁLISE
ECONÔMICA, OU SEJA, COMPARAR OS CUSTOS DE
FABRICAÇÃO AO CUSTO DE AQUISIÇÃO.
DiSERIO; SAMPAIO, 2001
De acordo com Slack et al. (1997), fornecedores externos podem se especializar na produção de certos
componentes e produzi-los a custos menores e com melhor qualidade que a própria empresa. Assim sendo,
as empresas devem decidir entre “fazer ou comprar” determinado componente.
Modelos de programação linear podem ser utilizados para auxiliar no processo decisório em relação à
terceirização, tal como podemos verificar no exemplo a seguir.
TEORIA NA PRÁTICA
PROBLEMA FAZER X COMPRAR
Uma fábrica de bicicletas acaba de receber um pedido de R$750.000,00. Foram encomendadas 3.000
bicicletas do modelo 1, 2.000 do modelo 2 e 1.000 do modelo 3.
São necessárias 2 horas para a montagem da bicicleta do modelo 1 e 1 hora para sua pintura. Para a
bicicleta do modelo 2, leva-se 1,5 horas para a montagem e 2 horas para a pintura. Para a bicicleta do
modelo 3, são necessárias 3 horas de montagem e 1 hora de pintura. A fábrica tem disponibilidade de
10.000 horas para montagem e 6.000 horas para pintura até a entrega da encomenda.
Os custos para a fabricação das bicicletas são: R$350,00 para a bicicleta 1, R$400,00 para a bicicleta 2 e
R$430,00 para a bicicleta 3.
A fábrica teme não ter tempo hábil para produzir toda a encomenda e, por isso, cotou o custo de terceirizar a
sua fabricação. O custo para comprar uma bicicleta do modelo 1 seria de R$460,00, de R$540,00 para a
bicicleta do modelo 2 e de R$ 580,00 para a bicicleta do modelo 3.
Desenvolva o modelo de programação linear para minimizar o custo de produção da encomenda de
bicicletas.
RESOLUÇÃO
A fábrica teme não ter tempo hábil para realizar a produção de bicicletas para a entrega e, por isso, precisa
decidir entre fabricá-las ou comprá-las de outro fabricante. Assim, teremos dois tipos de variáveis de
decisão na modelagem deste problema.
xi = quantidade de bicicleta do modelo i a ser fabricada internamente;
ci = quantidade de bicicleta do modelo i a ser comprada de concorrente.
Logo, as variáveis de decisão para este exemplo são:
x1 = quantidade de bicicleta do modelo 1 a ser fabricada internamente;
x2 = quantidade de bicicletas do modelo 2 a ser fabricada internamente;
x3 = quantidade de bicicletas do modelo 3 a ser fabricada internamente;
c1 = quantidade de bicicletas do modelo 1 a ser comprada de concorrente;
c2 = quantidade de bicicletas do modelo 2 a ser comprada de concorrente;
c3 = quantidade de bicicletas do modelo 3 a ser comprada de concorrente.
Conhecendo os custos de produção e de aquisição dos diferentes modelos de bicicletas, temos a seguinte
função objetivo:
Min Z= 350x1+400x2+430x3+ 460c1+540c2+580c3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Foram encomendadas 3.000 bicicletas do modelo 1, 2.000 do modelo 2 e 1.000 do modelo 3, de modo que
a restrição de demanda é representada pelas seguintes equações:
x1 + c1 = 3.000 } demanda para o modelo 1
x2 + c2 = 2.000 } demanda para o modelo 2
x3 + c3 = 900 } demanda para o modelo 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A fábrica tem disponibilidade de 10.000 horas para montagem e 6.000 horas para pintura até a entrega da
encomenda. Essas restrições são:
2x1 + 1,5x2 + 3x3 ≤10.000 } montagem
1x1 + 2x2 + 1x3 ≤ 5.000 } pintura
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Além disso, há a condição de não negatividade das variáveis de decisão:
 x1, x2, x3, c1, c2, c3 >= 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Enfim, temos que o modelo para este exemplo do problema de fazer x comprar é:
Min Z= 350x1+400x2+430x3+ 460c1+540c2+580c3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
x1 + c1 = 3.000
x2 + c2 = 2.000
x3 + c3 = 900 
2x1 + 1,5x2 + 3x3 ≤10.000
x1 + 2x2 + x3 ≤ 5.000
x1, x2, x3, c1, c2, c3 >= 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante ressaltar que a decisão sobre a terceirização é um pouco simplificada, pois focam-se apenas
os aspectos econômicos. Contudo, a terceirização de determinados produtos ou serviços deve incluir outras
considerações além de questões econômicas, devendo, além disso, considerar aspectos estratégicos como
competências essenciais e vantagens competitivas. Ao delegar certos serviços a terceiros (outsourcing), a
empresa pode se concentrar em sua competência central, mantendo-se competitiva no mercado.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. A FÁBRICA XYZ PRODUZ RAÇÕES PARA A ALIMENTAÇÃO DE GADO. AS
RAÇÕES SÃO ELABORADAS A PARTIR DA MISTURA DE TRÊS DIFERENTES TIPOS
DE GRÃOS: GRÃO 1, 2 E 3. TRÊS NUTRIENTES SÃO CONSIDERADOS NO
PRODUTO FINAL: O NUTRIENTE A, B E C. 
SABE-SE QUE O GRÃO DO TIPO 1 CUSTA R$35,00 POR KG. UM QUILO DE GRÃO 1
POSSUI 30MG DE NUTRIENTE A, 10MG DE NUTRIENTE B E 43MG DE NUTRIENTE C.
O GRÃO DO TIPO 2 CUSTA R$23,00 POR KG. ALÉM DISSO, 1KG DO GRÃO 2
POSSUI 28MG DO NUTRIENTE A, 17MG DO NUTRIENTE B E 40MG DO NUTRIENTE
C. O GRÃO DO TIPO 3 POSSUI APENAS 70MG DO NUTRIENTE TIPO A, E 1KG
DESTE TIPO DE GRÃO CUSTA R$78,00. 
A RAÇÃO PARA GADO DEVE CONTER, NO MÍNIMO, 1.250MG DE NUTRIENTE A,
380MG DO NUTRIENTE B E 980MG DO NUTRIENTE C. 
O ANALISTA DESEJA DETERMINAR A COMPOSIÇÃO DA RAÇÃO QUE MINIMIZE OS
CUSTOS DE PRODUÇÃO, CONSIDERANDO QUE AS NECESSIDADES MÍNIMAS DOS
NUTRIENTES SEJAM ATENDIDAS. LOGO,É POSSÍVEL AFIRMAR QUE:
A) As variáveis de decisão que devem ser usadas na modelagem são: xa a quantidade de nutrientes A, xb a
quantidade de nutrientes B e xc a quantidade de nutrientes C.
B) A função objetivo do modelo é Máx Z=30xa+28xb+70xc, sendo xa a quantidade de nutrientes A, xb a
quantidade de nutrientes B e xc a quantidade de nutrientes C.
C) O modelo possui apenas duas restrições que garantem o suprimento mínimo da quantidade de
nutrientes.
D) As variáveis de decisão do modelo não precisam atender à condição de não negatividade.
E) A função objetivo do modelo é Min Z= 35x1+23x2+78x3, sendo x1 = quilos de grão tipo 1 usado na
produção de um quilo de ração, x2 = quilos de grão tipo 2 usado na produção de um quilo de ração, e x3 =
quilos de grão tipo 3 usado na produção de um quilo de ração.
2. UMA FÁBRICA DE ELETRODOMÉSTICOS ESTÁ PLANEJANDO SEUS NÍVEIS DE
ESTOQUE PARA AS PRÓXIMAS QUATRO SEMANAS. A LOJA TEM CAPACIDADE
MÁXIMA DE ESTOQUE DE 100 GELADEIRAS. OS DADOS COM RELAÇÃO À
PRODUÇÃO MÁXIMA SEMANAL, AO CUSTO UNITÁRIO DE PRODUÇÃO E À
DEMANDA SEMANAL SÃO APRESENTADOS NA TABELA A SEGUIR. 
30X1+28X2+70X3≥1250
10X1+17X2≥380
43X1+40X3≥980
X1,X2,X3,X4≥0
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
MÊS 1 2 3 4
CUSTO
UNITÁRIO DE
PRODUÇÃO (R$)
1.240,00 1.300,00 1.265,00 1.285,00
DEMANDA
(UNIDADES)
60 50 65 70
PRODUÇÃO
MÁXIMA
100 100 100 100
(UNIDADES)
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃOCOMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
DADOS DE PRODUÇÃO DE GELADEIRAS. FONTE: RENATA ALBERGARIA DE
MELLO BANDEIRA
 
SABE-SE QUE O ESTOQUE INICIAL DO MÊS É DE 30 UNIDADES E QUE O CUSTO
DE ESTOQUE É EQUIVALENTE A 2% DO CUSTO UNITÁRIO DE PRODUÇÃO DA
SEMANA. AO DESENVOLVER O MODELO MATEMÁTICO PARA MINIMIZAR O CUSTO
TOTAL DA FÁBRICA NO PRÓXIMO MÊS, CONSIDERAMOS QUE AS VARIÁVEIS DE
DECISÃO DEVEM SER XI, SENDO X O NÚMERO DE UNIDADES DE GELADEIRAS A
SEREM PRODUZIDAS NA SEMANA “I”, E EI, SENDO E O INVENTÁRIO INICIAL DA
SEMANA “I”. ASSIM, A(S) RESTRIÇÃO(ÕES) REFERENTE(S) AO ESTOQUE NA
SEMANA 3 É(SÃO) REPRESENTADA(S) PELA(S) SEGUINTE(S) EQUAÇÃO(ÕES):
A) x3 + e3 - 65 < 100
B) e3 = e2 + x2 – 50
C) e4 = e3 + x3 – 65
D) x3 + e3 - 65 < 100 e e3 = e2 + x2 – 50
E) x3 + e3 - 65 < 100, e3 = e2 + x2 – 50 e e4 = e3 + x3 – 65
GABARITO
1. A fábrica XYZ produz rações para a alimentação de gado. As rações são elaboradas a partir da
mistura de três diferentes tipos de grãos: grão 1, 2 e 3. Três nutrientes são considerados no produto
final: o nutriente A, B e C. 
Sabe-se que o grão do tipo 1 custa R$35,00 por kg. Um quilo de grão 1 possui 30mg de nutriente A,
10mg de nutriente B e 43mg de nutriente C. O grão do tipo 2 custa R$23,00 por kg. Além disso, 1kg
do grão 2 possui 28mg do nutriente A, 17mg do nutriente B e 40mg do nutriente C. O grão do tipo 3
possui apenas 70mg do nutriente tipo A, e 1kg deste tipo de grão custa R$78,00. 
A ração para gado deve conter, no mínimo, 1.250mg de nutriente A, 380mg do nutriente B e 980mg do
nutriente C. 
O analista deseja determinar a composição da ração que minimize os custos de produção,
considerando que as necessidades mínimas dos nutrientes sejam atendidas. Logo, é possível
afirmar que:
A alternativa "E " está correta.
 
Como as rações são elaboradas a partir de três diferentes tipos de grãos, temos que as variáveis de decisão
são:
x1 = quilos de grão tipo 1 usado na produção de um quilo de ração;
x2 = quilos de grão tipo 2 usado na produção de um quilo de ração;
x3 = quilos de grão tipo 3 usado na produção de um quilo de ração.
Como se deseja minimizar o custo de produção, conhecendo o custo do quilo de cada tipo de grão, temos a
seguinte função objetivo:
MIN Z= 35X1+23X2+78X3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, podemos afirmar que a resposta certa para o exercício é a alternativa E. Porém, vamos seguir na
construção do modelo matemático para este problema.
A ração deve conter, no mínimo, 1250mg de nutriente A, 380mg do nutriente B e 980mg do nutriente C.
Assim, teremos três restrições com relação à quantidade dos diferentes tipos de nutrientes. São elas:
30x1+28x2+70x3≥1250→Nutriente A
10x1+17x2≥380→Nutriente B
43x1+40x3≥980→Nutriente C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, temos que o modelo para este exercício é:
MIN Z= 35X1+23X2+78X3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
30x1+28x2+70x3≥1250
10x1+17x2≥380
43x1+40x3≥980
x1,x2,x3,x4≥0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Uma fábrica de eletrodomésticos está planejando seus níveis de estoque para as próximas quatro
semanas. A loja tem capacidade máxima de estoque de 100 geladeiras. Os dados com relação à
produção máxima semanal, ao custo unitário de produção e à demanda semanal são apresentados
na tabela a seguir. 
30x1+28x2+70x3≥1250
10x1+17x2≥380
43x1+40x3≥980
x1,x2,x3,x4≥0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mês 1 2 3 4
Custo unitário de
produção (R$)
1.240,00 1.300,00 1.265,00 1.285,00
Demanda (unidades) 60 50 65 70
Produção máxima
(unidades)
100 100 100 100
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Dados de produção de geladeiras. Fonte: Renata Albergaria de Mello Bandeira
 
Sabe-se que o estoque inicial do mês é de 30 unidades e que o custo de estoque é equivalente a 2%
do custo unitário de produção da semana. Ao desenvolver o modelo matemático para minimizar o
custo total da fábrica no próximo mês, consideramos que as variáveis de decisão devem ser xi,
sendo x o número de unidades de geladeiras a serem produzidas na semana “i”, e ei, sendo e o
inventário inicial da semana “i”. Assim, a(s) restrição(ões) referente(s) ao estoque na semana 3
é(são) representada(s) pela(s) seguinte(s) equação(ões):
A alternativa "E " está correta.
 
As variáveis de decisão são:
xi = número de unidades a produzir na semana i, i=1 a 4
ei = inventário inicial na semana i, i=1 a 4
Conhecendo o custo unitário de produção e o custo de estoque de cada mês, conseguimos determinar a
função objetivo para a minimização dos custos da fábrica, considerando o custo do estoque médio da
semana
Min Z= 1.240x1+1.300x2+1.265x3+1.285x4+24,8(e1+e2)/2+26(e2+e3)/2+25,3(e3+e4)/2+ 25,7(e4+e5)/2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A produção de unidades de geladeira por semana deve ser, no mínimo, o suficiente para atender à
demanda, porém não pode superar a produção máxima semanal. Logo, temos as seguintes restrições com
relação aos níveis de produção:
60≤x1 ≤ 100 } semana 1
50 ≤ x2 ≤100 } semana 2
65 ≤ x3 ≤100 } semana 3
70 ≤ x4 ≤ 100 } semana 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sabe-se também que a capacidade máxima de estoque na fábrica é de 100 geladeiras. Logo, o estoque final
em cada semana não pode ser superior a tal capacidade máxima, de modo que esta restrição será do tipo ≤.
Como o Estoque final = Estoque inicial + produção - unidades vendidas, temos:
x1 + e1 - 60 < 100 } semana 1
x2 + e2 - 50 < 100 } semana 2
x3 + e3 - 65 < 100 } semana 3
x4 + e4 - 70 < 100 } semana 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ainda em relação ao estoque, é necessário o balanço do inventário, que é representado pelas seguintes
restrições:
e1 = 30
e2 = e1 + x1 – 60
(es = ) :
ei + ei+1
2
e3 = e2 + x2 - 50
e4 = e3 + x3 - 65
e5 = e4 + x4 - 70
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Enfim, temos que o modelo para este exemplo do problema de planejamento da produção dinâmico é:
Min Z= 1.240x1+1.300x2+1.265x3+1.285x4+24,8(e1+e2)/2+26(e2+e3)/2+25,3(e3+e4)/2+ 25,7(e4+e5)/2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
60≤x1 ≤ 100 } semana 1
50 ≤ x2 ≤100 } semana 2
65≤ x3 ≤100 } semana 3
70 ≤ x4 ≤ 100 } semana 4
x1 + e1 - 60 < 100 } semana 1
x2 + e2 - 50 < 100 } semana 2
x3 + e3 - 65 < 100 } semana 3
x4 + e4 - 70 < 100 } semana 4
e1 = 30
e2 = e1 + x1 – 60
e3 = e2 + x2 - 50
e4 = e3 + x3 - 65
e5 = e4 + x4 - 70
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, as equações que representam as restrições referentes ao estoque na semana 3 são:
x3 + e3 - 65 < 100 } semana 3
e3 = e2 + x2 - 50
e4 = e3 + x3 – 65
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Aplicar a técnica de modelagem nos problemas de transporte e transbordo
PROBLEMAS DE TRANSPORTE
O problema de transportes é a aplicação de programação linear mais frequente na logística.
Esse padrão de problema envolve decisões como o volume a ser transportado entre localidades, podendo
envolver ou não decisões referentes ao desenho da cadeia e também problemas de localização.
O problema de programação linear para o problema clássico de transportes consiste em definir o melhor
caminho (ou rota) para fazer com que determinada quantidade de produtos de um ponto de suprimento
chegue a um ponto de demanda. O objetivo pode ser minimizar as distâncias percorridas, o custo de
transporte ou até mesmo maximizar os níveis de serviço ou o lucro com vendas.
O problema de transporte é um modelo fluxo em grafo bipartido, de modo que não existem nós
intermediários de transbordo ou transição para fluxo, conforme ilustrado .
 
Imagem: Renata Albergaria de Mello Bandeira.
 Rede do problema de transportes.
 ATENÇÃO
Na rede de transportes, os nós representam os pontos de suprimento e de demanda, enquanto os arcos
representam a conexão entre os nós.
Conforme pode ser observado, no problema de transportes, há m pontos de suprimento, cada um com
capacidade de oferta máxima designada por Si, onde o índice i representa o ponto de suprimento em
questão (i = 1,…, m). Existem ainda n pontos de demanda a serem abastecidos por estes pontos de
suprimento. Cada ponto de demanda recebe pelo menos Dj unidades do produto a ser transportado, sendo
que o índice j representa os pontos de demanda, tal que j = 1, …, n. Para cada unidade do ponto de
fornecimento i remetida ao ponto de demanda j incorre um custo cij, que é o custo de fornecer o produto ao
ponto de demanda j a partir do ponto de suprimento i.
Assim sendo, para modelar o problema de transportes, consideramos a variável de decisão xij, que
representa o número de unidades do produto específico despachadas do ponto de suprimento i para o ponto
de demanda j. Considerando que a função objetivo seja minimizar o custo total de transporte, temos que a
função objetivo é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As condições de transporte estão sujeitas a restrições de fornecimento e de demanda. Logo, o total
transportado para o ponto de demanda tem que, ao menos, atender à quantidade mínima demandada,
enquanto o total transportado a partir do ponto de suprimento não pode ser superior à sua capacidade de
oferta. Logo, as restrições para o problema clássico de transportes podem ser representadas pelas
seguintes equações:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em suma, o modelo matemático para o problema clássico de transporte é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
Min 
m
∑
i=1
n
∑
j=1
cijxij
n
∑
j=1
xij ≤ si  (i = 1,   … ,  m)
mn
∑
i=1
xij ≥ dj  (j = 1,   … ,  n)
Min 
m
∑
i=1
n
∑
j=1
cijxij
n
∑
j=1
xij ≤ si  (i = 1,   … ,  m)
m
∑
i=1
xij ≥ dj  (j = 1,   … ,  n)
xij ≥ 0 ∀i, j
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para facilitar o entendimento do modelo matemático para o problema clássico de transportes, vamos
resolver o exemplo a seguir:
TEORIA NA PRÁTICA
PROBLEMA DE TRANSPORTE
Uma empresa fabricante de bicicletas conta com duas plantas, uma localizada em São Paulo e outra em
Recife. A empresa atende ao público por meio de três revendedores, localizados em Porto Alegre, Brasília e
Manaus.
 
Imagem: Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Rede do problema de transportes.
Plantas
Custos de envio por unidade
OfertasMercados
Porto Alegre Brasília Manaus
SP 25 30 70 600
Recife 60 35 50 700
Demandas 450 500 300 
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Distâncias para a rede do problema de transportes. 
Fonte: Renata Albergaria de Mello Bandeira
Formule o problema de programação linear que minimize os custos de distribuição da empresa.
RESOLUÇÃO
Consideramos que i=1 para São Paulo e i=2 para Recife, enquanto j=1 para Porto Alegre, j=2 para Brasília
e j=3 para Manaus. Logo, as variáveis de decisão são:
x11= quantidade de produtos transportados de São Paulo para Porto Alegre;
x12= quantidade de produtos transportados de São Paulo para Brasília;
x13= quantidade de produtos transportados de São Paulo para Manaus;
x21= quantidade de produtos transportados de Recife para Porto Alegre;
x22= quantidade de produtos transportados de Recife para Brasília;
x23= quantidade de produtos transportados de Recife para Manaus.
 
A função objetivo para minimizar o custo total de transporte é:
Minz Z=25X11+30X12+70X13+60X21+35X22+50X23
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O total transportado para Porto Alegre tem que ser, ao menos, igual a 450, para atender à demanda
mínima da cidade. Para Brasília e Manaus, devem ser transportadas, no mínimo, 500 e 300 bicicletas,
respectivamente. Assim, as restrições referentes à demanda são:
X11+X21 ≥450 à restrição quanto → demanda para Porto Alegre;
X12+X22 ≥500à restrição quanto → demanda para Brasília;
X13+X23 ≥300à restrição quanto → demanda para Manaus.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O total transportado de São Paulo não pode ser superior a 600 unidades, pois trata-se da capacidade
máxima de oferta da planta. Já o total transportado de Recife deve ser inferior a 700 unidades, que é a
capacidade máxima de oferta desta planta. Assim, as restrições referentes à oferta são:
X11+X12+X13+≤600à restrição quanto ao suprimento de São Paulo;
X21+X22+X23≤700à restrição quanto ao suprimento de Recife.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O modelo matemático deste problema é:
Minz Z=25X11+30X12+70X13+60X21+35X22+50X23
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
X11+X21 ≥450
X12+X22 ≥500
X13+X23 ≥300
X11+X12+X13≤600
X21+X22+X23≤700
X11, X12, X13, X21, X22, X23≥0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 SAIBA MAIS
Os problemas de transporte são casos particulares de problemas de programação linear, de modo que sua
resolução algébrica pode ser desenvolvida por algoritmos de programação linear. Entretanto, é possível
aproveitar as particularidades do problema de transporte para resolvê-lo de forma mais eficiente que o caso
geral do simplex. Assim, existem algoritmos específicos para a solução do problema de transporte, como o
Método do Canto Noroeste e o Método de Vogel, porém não vamos abordá-los aqui. Caso você tenha
interesse em aprofundar os seus conhecimentos, recomenda-se a leitura do capítulo 7 de Winston (2004).
PROBLEMA DE TRANSBORDO
O problema de transbordo segue lógica semelhante ao problema de transportes, porém este não é um
modelo fluxo em grafo bipartido, pois existem nós intermediários de transbordo ou de transição para
fluxo, conforme ilustrado na figura a seguir:
 
Imagem: Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Rede do problema de transbordo.
Além de um conjunto de m nós, que representam os pontos de suprimentos, e n nós, que representam os
pontos de demanda, a rede também dispõe de l pontos de transbordo.
É importante que você saiba bem a diferençaentre estes diferentes tipos de nó:
PONTOS DE SUPRIMENTO
São responsáveis pelo fornecimento de insumos, de modo que podem remetê-los para outros pontos, porém
não podem recebê-los.
PONTOS DE DEMANDA
São os pontos de consumo, de modo que devem receber insumos de outros pontos, porém não podem
recebê-los.
PONTOS DE TRANSBORDO
Podem tanto receber insumos de outros pontos quanto remeter insumos para outros pontos, ou seja, são
locais onde é possível realizar a transferência da carga. Um centro de distribuição, por exemplo, pode
funcionar como um ponto de transbordo em uma cadeia logística, recebendo insumos de diversas plantas ou
diversos fornecedores, realizando a consolidação da carga e remetendo insumos para outras plantas, outros
centros de distribuição ou clientes. Um depósito também é um bom exemplo de um ponto de transbordo.
Uma particularidade do problema de transbordo é que aquilo que é transportado das unidades
intermediárias (de transbordo) aos mercados consumidores não deve ultrapassar a quantidade de produto
que chega a tais pontos.
A quantidade que insumos que chega a um ponto de transbordo deve ser igual à quantidade de insumos
que sai dele.
Com essa restrição, garantimos o equilíbrio do fluxo neste nó, ou seja, o fluxo que entra deve ser igual a
todo o fluxo que sai. Portanto, o modelo matemático para o problema de transbordo é semelhante ao do
problema clássico de transporte, porém acrescenta-se a restrição de equilíbrio nos nós que representam
pontos de transbordo.
Temos que o modelo matemático para o problema de transbordo é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para facilitar o entendimento do modelo matemático para o problema clássico de transbordo, vamos resolver
o exemplo a seguir:
TEORIA NA PRÁTICA
PROBLEMA DE TRANSBORDO
Uma empresa fabricante de bicicletas conta com duas plantas, uma localizada em São Paulo e outra em
Recife, e atende o público por meio de dois revendedores, localizados em Porto Alegre e Manaus. A
empresa também dispõe de um centro de distribuição, localizado em Brasília, que pode ser usado como
ponto de transbordo caso contribua para reduzir o custo total de transporte.
 
Imagem: Renata Albergaria de Mello Bandeira
Min 
m
∑
i=1
n
∑
j=1
cijxij
n
∑
j=1
xij ≤ si  (i = 1,   … ,  m)
m
∑
i=1
xij ≥ dj  (j = 1,   … ,  n)
m
∑
i=1
xik =
n
∑
j=1
xkj  (k = 1,   … ,  l) →Equilíbrio nos nós de transbordo T
xij ≥ 0 ∀i, j
 Rede do problema de transbordo.
Plantas/CD
Custos de envio por unidade
OfertasMercados/CD
Porto Alegre Manaus Brasília
SP 25 70 30 600
Recife 60 50 35 700
Brasília 45 65 0 
Demandas 450 500 
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Demandas e custos de transporte por unidade. 
Fonte: Renata Albergaria de Mello Bandeira
RESOLUÇÃO
Consideramos que i=1 para São Paulo, i=2 para Recife e i=3 para Brasília, enquanto j=1 para Porto Alegre,
j=2 para Manaus e j=3 para Brasília. Logo, as variáveis de decisão são:
x11= quantidade de produtos transportados de São Paulo para Porto Alegre;
x12= quantidade de produtos transportados de São Paulo para Manaus;
x13= quantidade de produtos transportados de São Paulo para Brasília;
x21= quantidade de produtos transportados de Recife para Porto Alegre;
x22= quantidade de produtos transportados de Recife para Manaus;
x23= quantidade de produtos transportados de Recife para Brasília;
x31= quantidade de produtos transportados de Brasília para Porto Alegre;
x32= quantidade de produtos transportados de Brasília para Manaus.
 
A função objetivo para minimizar o custo total de transporte é:
Min Z=25X11+70X12+30X13+60X21+50X22+35X23+45X31+65X32
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O total transportado para Porto Alegre tem que ser, ao menos, igual a 450, para atender à demanda
mínima da cidade. Para Brasília e Manaus, devem ser transportadas, no mínimo, 500 e 300 bicicletas,
respectivamente. Assim, as restrições referentes à demanda são:
X11+X21 +X31≥450 → restrição quanto à demanda para Porto Alegre;
X12+X22 +X32≥500 → restrição quanto à demanda para Manaus.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O total transportado de São Paulo não pode ser superior a 600 unidades, pois esta é a capacidade máxima
de oferta da planta. Já o total transportado de Recife deve ser inferior a 700 unidades, que é a capacidade
máxima de oferta desta planta. Assim, as restrições referentes à oferta são:
X11+X12+X13+≤600 → restrição quanto ao suprimento de São Paulo;
X21+X22+X23≤700 → restrição quanto ao suprimento de Recife.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se ainda da restrição de equilíbrio nos nós que representam pontos de transbordo. Tudo o que
chega no centro de distribuição de Brasília deve ser igual ao que sai de Brasília, conforme indicado na
equação a seguir:
X11+ X23+=X31+X32
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O modelo matemático deste problema é:
Min Z=25X11+70X12+30X13+60X21+50X22+35X23+45X31+65X32
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
X11+X21 +X31≥450
X12+X22 +X32≥500
X11+X12+X13+≤600
X21+X22+X23≤700
X11+ X23+=X31+X32
X11, X12 , X13, X21, X22, X23, X31,X32 ≥0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PROBLEMA DE TRANSPORTE E TRANSBORDO
A seguir, o especialista apresenta os problemas de transporte e de transbordo, abordando as
particularidades deste tipo de problema de programação linear e a importância de sua aplicação no
ambiente gerencial.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UMA FÁBRICA DE BEBIDAS TEM TRÊS DEPÓSITOS (O1, O2 E O3) NA CIDADE
DO RIO DE JANEIRO QUE SUPREM DUAS LOJAS (D1 E D2). AS DISTÂNCIAS, BEM
COMO AS QUANTIDADES OFERTADAS DE CADA DEPÓSITO E A DEMANDA DE
CADA LOJA, SÃO APRESENTADAS NA TABELA A SEGUIR: 
 
DEPÓSITOS
DISTÂNCIA
OFERTAS
MERCADOS
D1 D2 
O1 15 35 60 
O2 43 27 90 
O3 6 38 200 
DEMANDAS 150 200 
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃOCOMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
FONTE: RENATA ALBERGARIA DE MELLO BANDEIRA
 
A FÁBRICA DESEJA PLANEJAR SUA DISTRIBUIÇÃO DE MODO A MINIMIZAR A
DISTÂNCIA TOTAL DE TRANSPORTE. ASSIM, EM RELAÇÃO AO MODELO
MATEMÁTICO QUE REPRESENTA ESTE PROBLEMA, É POSSÍVEL AFIRMAR QUE:
A) Deve possuir três variáveis de decisão.
B) Possui três inequações que representam as restrições com relação à demanda a ser atendida.
C) Possui duas inequações que representam as restrições com relação à capacidade de suprimento.
D) As restrições quanto à demanda devem ser do tipo ≤.
E) As restrições quanto à capacidade de suprimento devem ser do tipo ≤.
2. UMA EMPRESA DE BEBIDAS TEM TRÊS FÁBRICAS (O1, O2 E O3) E UM CENTRO
DE DISTRIBUIÇÃO (C1) NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO QUE SUPREM DUAS
LOJAS (D1 E D2). AS DISTÂNCIAS, BEM COMO AS QUANTIDADES OFERTADAS DE
CADA DEPÓSITO E A DEMANDA DE CADA LOJA, SÃO APRESENTADAS NA
TABELA A SEGUIR: 
 
FÁBRICAS E
CENTRO DE
DISTRIBUIÇÃO
 DISTÂNCIA
 OFERTAS
 MERCADOS E CENTRO DE
DISTRIBUIÇÃO
 D1 D2 C1 60
 01 15 35 11 90
 02 43 27 21 200
 03 6 38 15 
 C1 10 20 - 
 DEMANDAS 150 200 
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃOCOMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
FONTE: RENATA ALBERGARIA DE MELLO BANDEIRA
 
A FÁBRICA DESEJA PLANEJAR SUA DISTRIBUIÇÃO DE MODO A MINIMIZAR A
DISTÂNCIA TOTAL DE TRANSPORTE. PARA DESENVOLVER O MODELO
MATEMÁTICO QUE REPRESENTA ESTE PROBLEMA, CONSIDERAMOS A VARIÁVEL
DE DECISÃO XIJ, QUE REPRESENTA O NÚMERO DE UNIDADES DO PRODUTO
ESPECÍFICO DESPACHADAS DO PONTO DE SUPRIMENTO OU DO CENTRO DE
DISTRIBUIÇÃO I PARA O PONTO DE DEMANDA OU CENTRO DE DISTRIBUIÇÃO J.
ASSIM, É POSSÍVEL AFIRMAR QUE:
A) Deve possuir 3 variáveis de decisão.
B) Deve possuir 6 variáveis de decisão.
C) Deve possuir8 variáveis de decisão.
D) Deve possuir 11 variáveis de decisão.
E) Deve possuir 12 variáveis de decisão.
GABARITO
1. Uma fábrica de bebidas tem três depósitos (O1, O2 e O3) na cidade do Rio de Janeiro que suprem
duas lojas (D1 e D2). As distâncias, bem como as quantidades ofertadas de cada depósito e a
demanda de cada loja, são apresentadas na tabela a seguir: 
 
Depósitos
Distância
Ofertas
Mercados
D1 D2 
O1 15 35 60 
O2 43 27 90 
O3 6 38 200 
Demandas 150 200 
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Fonte: Renata Albergaria de Mello Bandeira
 
A fábrica deseja planejar sua distribuição de modo a minimizar a distância total de transporte. Assim,
em relação ao modelo matemático que representa este problema, é possível afirmar que:
A alternativa "E " está correta.
 
As variáveis de decisão a serem adotadas neste modelo matemático são:
X11= quantidade de produtos transportados de O1 para D1;
X12= quantidade de produtos transportados de O1 para D2;
X21= quantidade de produtos transportados de O2 para D1;
X22= quantidade de produtos transportados de O2 para D2;
X31= quantidade de produtos transportados de O3 para D1;
X32= quantidade de produtos transportados de O3 para D2.
Logo, o modelo matemático deste problema é:
Minz Z=15X11+35X12+43X21+27X22+6X31+38X32
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
X11+X21 +X31 ≥150
X12+X22 +X321 ≥200
X21+X22 ≤90 
X11+X12≤60 [As restrições de capacidade são do tipo ≤.]
X31+X32 ≤200
X11, X12, X21, X22, X31, X32≥0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Uma empresa de bebidas tem três fábricas (O1, O2 e O3) e um centro de distribuição (C1) na
cidade do Rio de Janeiro que suprem duas lojas (D1 e D2). As distâncias, bem como as quantidades
ofertadas de cada depósito e a demanda de cada loja, são apresentadas na tabela a seguir: 
 
Fábricas e
Centro de
Distribuição
 Distância
 Ofertas
 Mercados e Centro de Distribuição
 D1 D2 C1 60
 01 15 35 11 90
 02 43 27 21 200
 03 6 38 15 
 C1 10 20 - 
 Demandas 150 200 
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Fonte: Renata Albergaria de Mello Bandeira
 
A fábrica deseja planejar sua distribuição de modo a minimizar a distância total de transporte. Para
desenvolver o modelo matemático que representa este problema, consideramos a variável de
decisão xij, que representa o número de unidades do produto específico despachadas do ponto de
suprimento ou do centro de distribuição i para o ponto de demanda ou centro de distribuição j.
Assim, é possível afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
 
As variáveis de decisão a serem adotadas neste modelo matemático são:
X11= quantidade de produtos transportados de O1 para D1;
X12= quantidade de produtos transportados de O1 para D2;
X13= quantidade de produtos transportados de O1 para C1;
X21= quantidade de produtos transportados de O2 para D1;
X22= quantidade de produtos transportados de O2 para D2;
X23= quantidade de produtos transportados de O2 para C1;
X31= quantidade de produtos transportados de O3 para D1;
X32= quantidade de produtos transportados de O3 para D2;
X33= quantidade de produtos transportados de O3 para C1;
X41= quantidade de produtos transportados de C1 para D1;
X42= quantidade de produtos transportados de C1 para D2.
Assim, temos 11 variáveis de decisão e a função objetivo para o modelo deste problema é:
Minz Z=15X11+35X12+11X13 +43X21+27X22+21X23+6X31+38X32+15X33+10X41+20X42
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Aplicar a técnica de modelagem em problemas de alocação
PROBLEMAS DE ALOCAÇÃO
No problema de alocação, também denominado problema de designação ou de matching, existem dois
conjuntos e devem ser formados pares entre os elementos destes dois conjuntos.
O problema consiste em determinar a formação destes pares, ou seja, a combinação destes elementos de
modo a minimizar o custo total de todas as alocações, respeitando as restrições existentes.
 ATENÇÃO
O problema da alocação visa designar tarefas a designados, podendo ser pessoas, máquinas, veículos ou
até mesmo fábricas. Neste tipo de problema, há um custo associado para o designado desempenhar cada
tarefa. Assim, o objetivo final é determinar a combinação de alocações que minimiza o custo total.
Também pode ser considerado que cada designado i tem determinado interesse em efetuar cada tarefa j,
dado por pij. Logo, o objetivo é realizar a alocação de maneira que a soma dos interesses seja maximizada.
 ATENÇÃO
Destaca-se que, no problema de alocação, o número de designados e de tarefas devem ser iguais. Assim,
temos n designados e n tarefas. Cada tarefa deve ser atribuída a apenas um designado, que também só
deve realizar uma única tarefa. Além disso, todas as tarefas devem ser executadas.
O problema da alocação pode ser considerado um caso especial do modelo de transportes, no qual cada
origem tem uma unidade disponível e cada destino requer também uma unidade. Assim, o problema de
alocação é um problema de transporte balanceado, no qual todas as demandas e capacidades são iguais a
1. Desse modo, o problema de alocação utiliza variáveis binárias. A variável binária, ou booleana, pode
assumir apenas dois valores, zero ou 1. No problema de alocação, a variável de decisão xij recebe o valor
igual a “1” se decidirmos que a tarefa “i” será alocada para o designado “j”, sendo “0” se decidirmos o
contrário. De tal forma, temos que o modelo matemático para o problema da alocação é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
Xij ꞓ {0,1}, (i=1,...n; j=1,...,n)
Xij=1, se o designado i for alocado para realizar a tarefa j.
Xij=0, caso contrário.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 SAIBA MAIS
Os modelos de alocação podem ser adotados para auxiliar no processo de tomada de decisão em diversas
situações reais, tal como na determinação da escala de vendedores para pontos de venda, na distribuição
de atividades para membros de uma equipe ou na alocação de máquinas para resolver diferentes tarefas.
MinZ = ∑
i
∑
j
cijxij
∑
j
xij = 1  (i = 1,   … ,  n) →cada designado é alocado a uma só tarefa.
∑
i
xij = 1  (j = 1,   … ,  n) →cada tarefa é alocada a apenas um trabalhador.
Para facilitar o entendimento do modelo matemático para o problema clássico de alocação, vamos resolver o
exemplo a seguir:
TEORIA NA PRÁTICA
A supervisora de uma equipe de limpeza em um hotel necessita formar equipes de camareiras para realizar
a limpeza dos quartos na hora de troca de hóspedes. Os hóspedes que estão realizando check-out precisam
sair do quarto até às 12h, enquanto os novos hóspedes podem realizar o check-in a partir de 14h. Assim, as
esquipes têm pouco tempo para organizar e limpar todos os cômodos. Logo, a supervisora precisa organizar
as equipes de modo que os serviços sejam realizados o mais rápido possível.
A supervisora precisa formar a equipe para cuidar dos quartos do terceiro andar do hotel. As tarefas a serem
realizadas são: arrumar as camas, limpar o banheiro, varrer o quarto e tirar o pó. As camareiras
desempenham as tarefas, por quarto, nos seguintes tempos:
Camareira
Tarefa
Arrumar cama
Limpar
banheiro
Varrer quarto Tirar o pó
Lara 2 min 5 min 7 min 3 min
Ana 3 min 6 min 8 min 4 min
Julia 4 min 4 min 6 min 5 min
Talita 2 min 5 min 7 min 2 min
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Tempo para execução das tarefas 
Fonte: Renata Albergaria de Mello Bandeira
Formule o problema de programação linear que minimize o tempo de arrumação do quarto.
RESOLUÇÃO
Neste problema de alocação, a variável de decisão xij recebe o valor igual a “1” se decidirmos que a tarefa
“i” será alocada para o designado “j”, sendo “0” se decidirmos o contrário.De tal forma, temos:
x11= 1, se Lara arruma a cama; zero, caso contrário;
x12= 1, se Lara limpa banheiro; zero, caso contrário;
x13 =1, se Lara varre o quarto; zero, caso contrário;
x14=1, se Lara tira o pó; zero, caso contrário;
x21= 1, se Ana arruma a cama; zero, caso contrário;
x22= 1, se Ana limpa banheiro; zero, caso contrário;
x23= 1, se Ana varre o quarto; zero, caso contrário;
x24= 1, se Ana tira o pó; zero, caso contrário;
x31= 1, se Julia arruma a cama; zero, caso contrário;
x32= 1, se Julia limpa banheiro; zero, caso contrário;
x33= 1, se Julia varre o quarto; zero, caso contrário;
x34= 1, se Julia tira o pó; zero, caso contrário;
x41= 1, se Talita arruma a cama; zero, caso contrário;
x42= 1, se Talita limpa banheiro; zero, caso contrário;
x43= 1, se Talita varre o quarto; zero, caso contrário;
x44= 1, se Talita tira o pó; zero, caso contrário.
 
O modelo matemático para o problema da alocação é:
Min Z= 2X11+5X12+7X13+3X14+3X21+6X22+8X23+4X24+4X31+4X32+6X33+5X34+2X41+5X42+7X43+2X44
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
X11+X12+X13+X14=1
X21+X22+X23+X24=1
X31+X32+X33+X34=1 Cada trabalhador desempenha apenas uma tarefa.
X41+X42+X43+X44=1
X11+X21+X31+X41=1
X13+X23+X33+X43=1
X12+X22+X32+X42=1 Cada tarefa é alocada para apenas um trabalhador.
X14+X24+X34+X44=1
 
 
X11, X12, X13, X14, X21, X22, X23, X24, X31, X32, X33, X34, X41, X42, X43, X44 ꞓ {0,1}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 SAIBA MAIS
Assim como o problema de transportes, o problema da alocação também é um caso particular de problemas
de programação linear, de modo que sua resolução algébrica pode ser desenvolvida por algoritmos de
programação linear. Porém, tal como o problema de transportes, possui particularidades específicas que
podem ser aproveitadas para resolvê-lo de forma mais eficiente. Assim como para a solução do problema de
transporte, com o Método do Canto Noroeste e o Método de Vogel, também existem algoritmos específicos
para a solução do problema de alocação, a exemplo do algoritmo húngaro. Porém, não vamos abordá-los
aqui. Caso você tenha interesse em aprofundar os seus conhecimentos, recomenda-se a leitura do capítulo
7 de Winston (2004).
EXEMPLO DE PROBLEMA DE ALOCAÇÃO
No vídeo a seguir, o especialista apresenta um problema de alocação e desenvolve a resolução
detalhadamente, até a obtenção do resultado final.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UM TREINADOR NECESSITA FORMAR UM TIME DE NADADORES PARA
COMPETIR EM UMA PROVA OLÍMPICA DE 400 METROS MEDLEY. OS NADADORES
APRESENTAM AS SEGUINTES MÉDIAS DE TEMPO EM CADA ESTILO: 
 
NADADOR
TEMPO (S) / 100M
LIVRE PEITO GOLFINHO COSTAS
1 54 54 51 53
2 51 57 52 52
3 50 53 54 56
4 56 54 55 53
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃOCOMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
FONTE: RENATA ALBERGARIA DE MELLO BANDEIRA
 
O TREINADOR DESEJA DESIGNAR OS NADADORES PARA OS DIFERENTES
ESTILOS, A FIM DE OBTER O MENOR TEMPO POSSÍVEL PARA COMPLETAR O
MEDLEY. SOBRE O MODELO MATEMÁTICO QUE REPRESENTA ESTE PROBLEMA,
É POSSÍVEL AFIRMAR QUE:
A) As variáveis de decisão que devem ser usadas na modelagem são: x1 que representa o nadador alocado
ao nado livre, x2 que representa o nadador designado para o peito, x3 que representa o nadador alocado
para o golfinho, e x4 que indica o nadador alocado para o estilo de costas.
B) As variáveis de decisão que devem ser usadas na modelagem são: x1 que representa o estilo designado
para o nadador 1, x2 que representa o estilo designado para o nadador 2, x3 que representa estilo designado
para o nadador 3, e x4 que indica o estilo alocado para o nadador 4.
C) As variáveis de decisão usadas no modelo devem ser inteiras, porém não precisam ser binárias.
D) O modelo matemático possui 16 variáveis de decisão, que são variáveis binárias.
E) Não é possível tratar este problema como um problema de alocação, pois o número de tarefas (estilos) a
serem alocadas é igual ao número de designados (nadadores).
2. UM TREINADOR NECESSITA FORMAR UM TIME DE NADADORES PARA
COMPETIR EM UMA PROVA OLÍMPICA DE 400 METROS MEDLEY. OS NADADORES
APRESENTAM AS SEGUINTES MÉDIAS DE TEMPO EM CADA ESTILO: 
 
NADADOR
TEMPO (S) / 100M
LIVRE PEITO GOLFINHO COSTAS
1 54 54 51 53
2 51 57 52 52
3 50 53 54 56
4 56 54 55 53
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃOCOMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
 
O TREINADOR DESEJA DESIGNAR OS NADADORES PARA OS DIFERENTES
ESTILOS, A FIM DE OBTER O MENOR TEMPO POSSÍVEL PARA COMPLETAR O
MEDLEY. CONSIDERE QUE A VARIÁVEL DE DECISÃO DO MODELO MATEMÁTICO
PARA ESTE PROBLEMA SEJA XIJ, QUE RECEBE O VALOR IGUAL A “1” SE
DECIDIRMOS QUE O ESTILO “I” SERÁ ALOCADO AO DESIGNADO “J”, SENDO “0”
SE DECIDIRMOS O CONTRÁRIO. LOGO, É POSSÍVEL AFIRMAR QUE:
A) A equação X11+X12+X13+X14=1 restringe que o estilo 1 será desempenhado por apenas um nadador.
B) A equação X11+X12+X13+X14=1 restringe que o nadador 1 desempenha apenas um estilo.
C) A equação X11+X12+X13+X14=1 restringe que o estilo 1 pode ser desempenhado por todos os nadadores.
D) A equação X11+X21+X31+X41=1 restringe que o nadador 1 pode desempenhar todos os estilos.
E) A equação X11+X21+X31+X41=1 não é uma restrição do modelo.
GABARITO
1. Um treinador necessita formar um time de nadadores para competir em uma prova olímpica de 400
metros medley. Os nadadores apresentam as seguintes médias de tempo em cada estilo: 
 
Nadador Tempo (s) / 100m
Livre Peito Golfinho Costas
1 54 54 51 53
2 51 57 52 52
3 50 53 54 56
4 56 54 55 53
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Fonte: Renata Albergaria de Mello Bandeira
 
O treinador deseja designar os nadadores para os diferentes estilos, a fim de obter o menor tempo
possível para completar o medley. Sobre o modelo matemático que representa este problema, é
possível afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
 
Neste problema de alocação, a variável de decisão xij recebe valor igual a “1” se decidirmos que o estilo “i”
será alocado ao designado “j”, sendo “0” se decidirmos o contrário. De tal forma, temos:
X11= 1, se o nado livre é alocado ao nadador 1; zero, caso contrário;
X12= 1, se o estilo de peito é alocado ao nadador 1; zero, caso contrário;
X13 =1, se o estilo de golfinho é alocado ao nadador 1; zero, caso contrário;
X14=1, se o estilo de costas é alocado ao nadador 1; zero, caso contrário;
X21= 1, se o nado livre é alocado ao nadador 2; zero, caso contrário;
X22= 1, se o estilo de peito é alocado ao nadador 2; zero, caso contrário;
X23= 1, se o estilo de golfinho é alocado ao nadador 2; zero, caso contrário;
X24= 1, se o estilo de costas é alocado ao nadador 2; zero, caso contrário;
X31= 1, se o nado livre é alocado ao nadador 3; zero, caso contrário;
X32= 1, se o estilo de peito é alocado ao nadador 3; zero, caso contrário;
.X33= 1, se o estilo de golfinho é alocado ao nadador 3; zero, caso contrário;
X34= 1, se o estilo de costas é alocado ao nadador 3; zero, caso contrário;
X41= 1, se o nado livre é alocado ao nadador 4; zero, caso contrário;
X42= 1, se o estilo de peito é alocado ao nadador 4; zero, caso contrário;
X43= 1, se o estilo de golfinho é alocado ao nadador 4; zero, caso contrário;
X44= 1, se o estilo de costas é alocado ao nadador 4; zero, caso contrário.
Logo, temos 16 variáveis de decisão binárias, o que faz com que a alternativa D seja a resposta correta.
O modelo matemático para este problema da alocação é:
Min Z=
54X11+54X12+51X13+53X14+51X21+57X22+52X23+52X24+50X31+53X32+54X33+56X34+56X41+54X42+55X43+53X44
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
X11+X12+X13+X14=1
X21+X22+X23+X24=1 Cada nadador desempenha apenas um estilo.
X31+X32+X33+X34=1
X41+X42+X43+X44=1
 
X11+X21+X31+X41=1 
X13+X23+X33+X43=1 Cada estilo é alocado para apenas um nadador.
X12+X22+X32+X42=1
X14+X24+X34+X44=1 
 
X11, X12, X13, X14, X21, X22, X23, X24, X31, X32, X33, X34, X41, X42,X43, X44 ꞓ {0,1}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um treinador necessita formar um time de nadadores para competir em uma prova olímpica de 400
metros medley. Os nadadores apresentam as seguintes médias de tempo em cada estilo: 
 
Nadador Tempo (s) / 100m
Livre Peito Golfinho Costas
1 54 54 51 53
2 51 57 52 52
3 50 53 54 56
4 56 54 55 53
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 
O treinador deseja designar os nadadores para os diferentes estilos, a fim de obter o menor tempo
possível para completar o medley. Considere que a variável de decisão do modelo matemático para
este problema seja xij, que recebe o valor igual a “1” se decidirmos que o estilo “i” será alocado ao
designado “j”, sendo “0” se decidirmos o contrário. Logo, é possível afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
 
A equação X11+X12+X13+X14=1 restringe que o estilo 1 será desempenhado por apenas um nadador, pois
determina que apenas uma das variáveis X11, X12, X13 e X14 pode receber o valor 1. As demais passam a
ser zero, para que a soma seja igual a 1.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Vimos como a Pesquisa Operacional pode auxiliar no apoio a processos de decisão, em especial para
problemas complexos. Ao longo dos módulos, aprendemos sobre modelos matemáticos e como estes
podem nos ajudar na análise de decisão, em especial por permitirem avaliar a solução do problema em
diferentes cenários a um menor tempo e custo. Além disso, colocamos estes conceitos em prática à medida
que aprendemos a construir modelos matemáticos para problemas de programação linear.
Entretanto, é preciso ter em mente que a modelagem não é uma tarefa simples, principalmente para aqueles
que estão iniciando neste campo do conhecimento. Assim, para nos familiarizarmos com a técnica de
modelagem e podermos construir modelos com mais facilidade, é preciso praticar por meio de exercícios. A
prática é essencial para nos ajudar a entender e a dominar a lógica por trás da modelagem matemática.
Outro ponto que também facilita a internalização deste conhecimento é entender que alguns modelos,
conhecidos como problemas típicos, seguem padrões semelhantes. Portanto, se entendemos a lógica por
trás dessa “categoria” de problemas, conseguiremos modelar os demais problemas desta mesma classe.
Por isso, é importante conhecer esses padrões!
No módulo 1, apresentamos os problemas clássicos da mistura, do planejamento de produção e de
estoques, e fazer versus comprar. Dedicamos os módulos 2 e 3 para entender a lógica do problema de
transporte e de seus casos particulares. O destaque para o problema de transporte ocorre porque trata-se
do modelo de programação linear mais aplicado na área da logística. Abordamos, ainda, no módulo 2 o
problema de transbordo, enquanto no módulo 3 tratamos especificamente do problema de alocação.
Até o momento, aprendemos a solucionar os modelos matemáticos por meio da aplicação do Método
Gráfico. Contudo, tal método é restrito a problemas mais simples, com até duas variáveis de decisão.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
DiSERIO, L.; SAMPAIO, M. Projeto da cadeia de suprimento: uma visão dinâmica da decisão fazer versus
comprar. In: Revista de Administração de Empresas, v. 41, n. 1, p. 54-66, 2001.
GOLDBARG, M. C.; LUNA, H. P. Otimização combinatória e programação linear. 2. ed. São Paulo:
Campus, 2005.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
RAGSDALE, C. T. Modelagem e análise de decisão. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
RODRIGUES, L. H.; AHLERT, F.; LACERDA, D. P.; CAMARGO, L. F. R.; LIMA, P. Pesquisa operacional:
programação linear passo a passo: do entendimento do problema à interpretação da solução. São Leopoldo:
Unisinos, .
SLACK, N.; CHAMBERS, S.; HARLAND, C.; HARRISON, A.; JOHNSTON, R. Administração da produção.
São Paulo: Atlas, 1997.
STIGER, G. J. The cost of Subsistence. Journal of Farm Economics 27(2), p. 303-314, 1945.
WINSTON, W. L.; GOLDBERG, J. B. Operations research: applications and algorithms. Vol. 3. Boston:
Cengage Learning, 2004.
EXPLORE+
Para obter mais conhecimento sobre os conteúdos discutidos, sugerimos a seguinte leitura:
WINSTON, W. L.; GOLDBERG, J. B. Operations research: applications and algorithms. Vol. 3.
Boston: Cengage Learning, 2004.
CONTEUDISTA
Renata Albergaria de Mello Bandeira
 CURRÍCULO LATTES
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