ProposicoesMatematicas

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M. M. BARBOSA 
M 
n iiiiii A 
4 Hl UAI ,1 X I l(|lJUi) 
Aluiiiii A 6 B. 
Todo A é C. 
4.10) 
4.12) 
4.14) 
4.16) 
Algum B é C. 
(EAO - 3.a Figura) 
Nenhum A é B. 
Todo A é C. 
.". Algum C é não-B. 
(ElO - 3.a Figura) 
Nenhum A é B. 
Algum A é C. 
.'. Algum C é não-B. 
(AEE - 4.a Figura) 
Todo A é B. 
Nenhum B é C. 
.". Nenhum A é C. 
(EAO - 4.a Figura) 
Nenhum A é B. 
Todo B é C. 
.'. Algum C é não-A. 
4 /) (Ali 3." Figura) 
Todo A é B. 
Todo A é C. 
.'. Algum B é C. 
4.9) (AM - 3.a Figura) 
Todo A é B. 
Algum A é C. 
.". Algum B é G. 
4.11) (OAO - 3.a Figura) 
Algum A é não-B. 
Todo A é C. 
.". Algum C é não-B. 
4.13) (AAI - 4.a Figura) 
Todo A é B. 
Todo B é C. 
.". Algum A é C. 
4.15) (lAI - 4.a Figura) 
Algum A é B. 
Todo B é C. 
.'. Algum A é C. 
4.17) '(ElO - 4.a Figura) 
Nenhum A é B. 
Algum B é C. 
.'. Algum C é não-A. 
5. Mostre com diagramas que o modo AAA - 2.a Figura não é válido. 
RESPOSTAS DA SEQUÊNCIA XI 
1) 1.1) V 
1.5) F 
1.2) V 
1.6) F 
1.3) V 
1.7) V 
1.4) V 
2) V 
3) 3.1) e 3.2) Algum C é não-B. 3.3) Algum B é não-C. 
Tudo cresce gradativamen-
te rw natureza, nada aos 
saltos. 
Leibniz 
CAPITULO VI 
T E O R E M A S 
A. TEOREMA - PROVA E CREDIBILIDADE 
Nas primeiras lições de Geometria Elementar o estudante já se encontra 
com a noção de teoremas: proposições que podem ser provadas. Costuma-se 
mesmo dizer que um teorema consta de duas partes, a hipótese H e a tese T. 
Os teoremas são dados em geral por implicações H ===^ T, cujo significado se 
entende: quando H se verifica, teremos a produção (a verificação) de T. Do ponto 
de vista do vocábulo, tese significa "proposição que se avança, se obtém", e o 
prefixo " h i p o " tem o sentido de "anter ior " , de " supor te " ; portanto a hipótese 
surge como fundamento capaz de suportar o edifício que constitui a tese. 
Hipótese é para a tese a condição suficiente, e 
Tese é uma consequência necessária da hipótese. 
Dada uma proposição na forma condicional H y T, considerando a 
hipótese verdadeira, por intermédio da demonstração chega-se à verdade de T ; 
isto é, obtemos T por intermédio de raciocínios ou cálculos, baseando-nos em 
proposições anteriormente estabelecidas (verdadeiras). Sabemos que temos 4 
possibilidades para a condicional: VV, VF, FV, FF. Ora, as duas últimas são 
verdadeiras, portanto partindo de V para H, e se cons^uimos mostrar que o valor 
lógico de T é V, não se verifica a segunda possibilidade VF. Em resumo a 
proposição possui valor lógico V, logo, para a prova, considera-se a condicional 
mas basta partir de H verdadeira e obter T verdadeira. 
Entretanto, fixe-se que provar não é verificar alguns casos particulares; 
ela deve ser feita de tal maneira que independa de dados particulares. Assim, em 
Geometria, ela não pode depender das particulares medidas da figura desenhada. 
Ilustrações: 
1. TEOREMA: Se dois números são ímpares, então seu produto é ímpar. 
H: X e y são ímpares. T : x y é ímpar. 
84 R. M. BARBOSA 
ii) Você poderia tornar H verdadeira tomando por exemplo 3 para x e 5 para 
y; o produto 3 - 5 = 1 5 daria valor lógico V para T, ou tomar outros valores: 
Impares escolhidos Produto 
1 1 1 (ímpar) 
3 1 3 (ímpar) 
3 3 9 (ímpar) 
3 7 21 (ímpar) 
Verificamos que o produto é ímpar para essas escolhas, apenas verificamos, 
não prova, é apenas crível ou verossímil. 
Admita que você continue a verificar com outras escolhas: 
5 1 5 (ímpar) 
5 5 25 (ímpar) 
5 7 35 (ímpar) 
Como você não esgotará todos os casos, conforme aumenta o número de casos 
confirmados apenas torna mais credível, aumenta a credibilidade. O máximo 
que poderá conseguir é provar para um subconjunto dos ímpares. 
b) Para a prova independer dos particulares números escolhidos, tomemos números 
ímpares nas suas formas gerais: 
x = 2 a + 1 e y = 2 b + 1 
com a e b números naturais quaisquer. 
Façamos o produto: 
x-y = ( 2a+1 )- (2b + 1) 
desde que já se conheçam as propriedades (admitidas estabelecidas) das 
operações com naturais (cálculo algébrico simples) temos: 
X • y = 4ab + 2a + 2b + 1 
=4> x-y = 2(2ab + a + b) + 1 
= 5 > x-y = 2 n + 1 , com n natural 
portanto o produto é um número da forma dos números ímpares, e a tese T é 
verdadeira. 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 85 
2. TEOREMA: Se dois lados de um triângulo são congruentes, então os ângulos 
opostos a esses lados são congruentes. 
A • 
a) Poderíamos construir um triângulo de 
tal maneira que H tivesse valor V; 
por exemplo: 
med AB = 3 cm 
med AC = 3 cm 
med BC = 1 , 5 cm 
Medindo com um transferidor os seus ângulos opostos obteríamos med B = 60° 
e med 0 = 60° , o que apenas verifica a proposição para o caso particular 
tomado. Repetindo para outros triângulos em que H é verdadeira, iríamos 
tornando a proposição mais credível, mais provavelmente verdadeira. 
A 
b) Para independermos das particulares 
medidas, consideremos um triângulo 
ABC no qual é considerada H verda-
deira, e o segmento AM , com M 
ponto médio do lado BC. 
Façamos os seguintes raciocínios: 
M 
AB = AC (1) Por hipótese (H é considerada V) . 
AM = AM (2) Pela propriedade reflexiva (todo segmento é 
congruente a si próprio). 
BM = MC (3) O ponto M é médio do segmento BC. 
A A M B = A A M C (4) Pelas considerações (1), (2) e (3) (e se admiti-, 
mos conhecido que dois triângulos são con-
gruentes se possuem os três lados respectiva-
mente congruentes). 
— > B = C Pela (4) (se admitimos conhecido que ângulos 
opostos a lados congruentes de triângulos con-
gruentes são congruentes). 
O leitor observará que a figura desenhada está mal feita, o que importa são as 
considerações de veracidade da hipótese. 
O estudioso verá no entanto que não deve abusar, pois poderá fazer raciocínios 
apenas aparentemente corretos como mostraremos na ilustração c). 
HO R. M. BARBOSA 
c) Considere um AABC. 
(1) Considere a bissetriz r do 
ângulo Â. 
(2) Considere a mediatriz s do lado 
BC. 
(3) Considere o ponto 1 da inter-
secção r e s. 
(4) Considere os segmentos de per-
pendiculares ID e lE respecti-
vamente aos lados AB e AC. 
D y 
1 ^ 
(5) Considere IB e IC. ' 1 M 
Temos: 
ID = IE (6) Pois ler (1) (considerada conhecida a proprieda-
de que todo ponto da bissetriz eqúidista dos 
lados). 
I B ^ I C (7) Pois les (2)- (considerada conhecida a proprieda-
de que todo ponto da mediatriz eqúidista dos 
extremos), 
> A I D B=A I E C (8) Pela (6) e (7) (considerada conhecida a proprieda-
de de congruência de triângulos retângulos: 
Triângulos retângulos que possuem a hipotenusa 
e um cateto respectivamente congruentes são 
congruentes). 
= :$>DB = EC (9) Pela (8). 
AD = AE (10) (Conhecida a propriedade: Perpendiculares baixa-
das de um ponto da bissetriz determinam seg-
mentos congruentes sobre os lados). 
>AD-i-DB = AE + EC (11) Pela (9) e (10). 
= = > AB = AC 
Conclusão: 
Aparentemente provamos que o triângulo ABC possui lados congruentes, 
"mas como ele era qualquer", o que aparentemente provamos é que todo 
triângulo possui lados congruentes, isto é, não existe triângulo escaleno. 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 87 
A falha está nas construções mal feitas, as retas r e s interseccionam-se 
em geral abaixo do ponto M. 
B. COROLÁRIO - LEMA 
B.1. COROLÁR IO 
É usual o emprego do termo COROLÁR IO , designando um teorema que 
resulta de um teorema anterior; é, portanto, uma consequência, muitas vezes até 
imediata. 
ilustrações: 
1) O teorema seguinte é corolário do teorema que provamos sobre o produto de 
ímpares; 
Se dois números são ímpares, então seu produto não é múltiplo de quatro. 
De fato: 
Um múltiplo qualquer de quatro é da forma 4m, mas 4m = 2(2m), 
portanto um múltiplode 4 é par; e não pode ser produto de dois ímpares, pois 
provamos (teorema anteriqr) que o produto de ímpares é ímpar. 
2) O teorema seguinte é corolário do teorema que provamos sobre lados congruen-
tes de um triângulo: 
Se um triângulo é equilátero, então ele é eqúiângulo. 
De fato: 
Seja ABC o triângulo equilátero. 
Temos: 
A B ^ A C (1) (por hipótese) 
A B ^ B C (2) (pór hipótese) 
J B = C (pelo teorema anterior e (D) 
1 A = C (pelo teorema anterior e (2)) 
portanto o AABC é eqúiângulo. 
w R. M. BARBOSA 
1.2. LEMA 
Quando a prova de um teorema é por demais complicada, ou extensa, 
costume separar-se em dois ou mais teoremas, de tal maneira que a demonstração 
lo primeiro auxilie a demonstração do outro (ou outros). Diz-se que esse teorema 
ireliminar é um LEMA. 
Lema é um teorema auxiliar para outro; sob certo aspecto existe certa 
orrespondência entre lema-teoremas e teorema-corolários. Mais exatamente um 
Borema é lema para algum outro se ele fornece a linha mestre da demonstração 
o outro. 
lustrações: 
EMA: Se uma função é definida pela forma y = ax"^ +bx+c (função quadrática), 
então pode ser dada pela forma y = a(x +-^)^ - -~- (com à = - 4ac). 
2a 4a 
(Forma padrão dada) 
(Propriedade distributiva) 
(Adicionando o elemento neutro 0) 
(Propriedade distributiva) 
(Fatorando) 
(Adicionando) 
(Indicando b^-4ac com A ) 
y = ax^ bx -H c 
? = > y = a(x^ + x) + c 
y = a{x^ + | x + ^ - ^ 
.2 ^ b 
) + c 
y = a(x^ + f x + - i V ) - ^ + c 
^ V = a ( x . - ^ ) ^ - | i . c 
4a^ 4a 
2 
a 
2 
^ y = a ( x . - ^ ) ^ - ^ 
EOREMA: Se uma função é da forma y = ax^ + bx + c, então o contradomínio 
é o conjunto dos reais maiores ou iguais a (- - ^ - ) se a > O; e 
A 
menores ou iguais a (- se a <.0. 
(x + - ^ ) ^ > O (Todo quadrado é não-negativo) 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 89 
a ( x + ^ ) ^ > 0 
a { x + ^ ) ^ < 0 
a ( x - H # ) ^ - ^ 
2a 4a 
Pelo Lema podemos escrever: 
A 
(Se a > 0 
(Se a < 0 
4a 
A_ 
4a 
4a 
A_ 
4a 
(Se a > 0 ) 
(Se a < 0 ) 
(Se a > 0 ) 
(Se a < 0 ) 
COROLÁR IO 1: Se uma função é da forma y = ax^ + bx + c então, se a>0,a 
curva tem ponto mínimo; se a <,0,a curva tem ponto máximo. 
De fa to : 
Pelo teorema, se a > O temos o contradomínio: 
portanto a curva está inteiramente acima da ordenada y = —— (mínimo). 
4a 
y = - 4a 
Analogamente, se a < O, a curva está inteiramente abaixo da ordenada 
, portanto possui máximo. 
COROLÁR IO 2: Se uma função é definida pela forma y = ax^ + bx + c, então 
as coordenadas do extremante (máximo ou mínimo) são 
X =- 2a e y = ~ 4a 
De fato: 
Pelo corolário 1 o extremante (máximo ou mínimo) possui ordenada 
V = - ; e na própria demonstração do teorema vimos que o sinal de igualdade 
se verifica quando x + = O, portanto a abscissa é x = - • 
R. M. BARBOSA 
C. NÃO-VALIDADE DE UM TEOREMA 
Vimos que provar um teorema consiste em mostrar que a proposição 
)oral na forma condicional) é sempre verdadeira; diz-se então que o teorema é 
). A rigor dizer que o teorema é válido é uma redundância, ou temos o teorema 
lo temos, a proposição que pode ser verdadeira ou não; mas o uso consagrou 
iprego da expressão "teorema válido". Analogamente é de antigo uso a 
ssão "teorema não-válido"; assim, provar que um "teorema não é válido", 
verdade provar que o teorema não existe, entende-.-e que consiste em provar a 
ade da proposição. 
Sendo o teorema da forma condicional, a sua negação será dada por: 
~ ( H - > T ) <r-> ~ [ ~ ( H A ~ T ) ] (Lei de passagem) 
< — > H A ~ T (Dupla negação) 
Portanto basta mostrar que se pode ter a hipótese verificada conjunta-
com a negação da tese. Entretanto, isto equivale a provar que é verdadeira 
ição da proposição de maneira tota l , o que se faz é provar que a condicional 
verdadeira em um caso pelo menos. A esse procedimento denomina-se 
so do contra-exemplo. 
çio: Seja a proposição na forma condicional: 
"Se dois ângulos são congruentes, então são opostos pelo vértice". 
Construímos uma figura (basta um contra-exemplo) onde se tem verificada 
tese e a negação da tese, portanto a proposição não é um teorema. 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 91 
D. TEOREMAS APARENTADOS i % 
D. 1. CONDICIONAIS APARENTADAS . ^ 
Dada qualquer condicional p »• q, a ela correspondem três proposições 
na forma condicional: 
p, ~ p > ~ q, ~ q >. ~ p 
Denominam-se, respectivamente, recíproca, contrária e contrapositiva da 
direta p >• q. 
As denominações dependem daquela que é fixada inicialmente; assim se a 
primeira (a direta) fosse q > p, então a p y q seria a sua recíproca, 
~ q y ~ p a sua contrária, e ~ p y ~ q a contrapositiva. 
Pelo fato de ~ q y ~ p ser contrária da q y p, denomina-se à 
contrapositiva também contra-recíproca. 
Ilustrações: 
Dada a condicional: 
Se um número inteiro é par, então seu quadrado é par. 
Temos: 
Recíproca: "Se o quadrado de um número inteiro é par, então o número inteiro 
é par" . 
Contrária: "Se um número inteiro não é par, então o seu quadrado não é par". 
Contrapositiva: "Se o quadrado de um número não é par, então o número inteiro 
não é par" . 
D.2. EQU IVALÊNC IAS ENTRE CONDICiONAIS APARENTADAS 
1. Contra-recíproca com direta. 
Seja a direta p y q , temos: 
p >-q < — > ~ { p A ~ q ) (Lei de passagem) 
< > ~ (~ q A P) (Comutativa da conjunção) 
< > ~ (~ q A P) (Lei de dupla-negação) 
< — > ~ q — > ~ p (Lei de passagem - volta) 
92 R. M. BARBOSA 
Deste resultado concluímos que: 
A direta equivale à contra-recíproca. 
2. Recíproca com contrária. 
Seja a direta p >-q, temos: 
q y p <é=#> ~ (q A ~ P) 
< = $ > ~ ( ~ p A q ) 
<^=#> ^ ( ~ p A ~ ~ q ) 
~ p — > ~ q 
De onde concluímos que: 
A recíproca equivale à contrária. 
(Lei de passagem) 
(Comutativa da conjunção) 
(Dupla-negação) 
(Lei de passagem — volta) 
ESQUEMAS DAS EQU IVALÊNC IAS 
recíprocos 
C CR 
recíprocos 
D.3. TEOREMAS APARENTADOS 
Às denominações direta, recíproca, contrária e contra-recíproca corres-
pondem as denominações dos teoremas (se "válidos"): teorema direto, teorema 
recíproco, teorema contrário e teorema contra-recíproco. 
Das equivalências resulta que, para as quatro proposições (teoremas 
possíveis), teremos sempre ou O, ou 2, ou 4 teoremas (válidos), nunca 1 ou 3. 
A vantagem dessas equivalências é óbvia, pois, provados dois, um de cada 
par, podemos afirmar a validade (existência) dos outros dois teoremas. 
Para fins metodológicos essas equivalências são de suma importância, 
pois permitem utilizar no ensino os mais convenientes didaticamente, também 
tomando como direto o que mais convém. 
Para o estudo, tgmbém são úteis, pois, se não conseguimos provar um 
(deficiência individual) podemos optar pela prova do equivalente. 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Ilustrações: 
Ilustração 1 — Vejamos as quatro condicionais dadas anteriormente. 
Teorema D: "Se um número inteiro é par, então seu quadrado é par". 
H: X é par, T : x* é par. 
Prova: Se x é par, é da forma 2k. 
X = 2k x^ = (2k)^ ^ > x^ = 4k^ = ^ x^ = 2(2k*) ' 
= ^ x ^ = 2 - n (que é par) 
Pela equivalência entre a direta e a contra-recíproca podemos garantir a 
existência do teorema contra-recíproco, e não precisamos prová-lo pois já 
provamos o di reto: 
Teorema CR: "Se o quadrado de um número inteiro não épar, então o número 
inteiro não é par". 
Teorema R: "Se o quadrado de um número inteiro é par, então o número 
inteiro é par". 
Seja que, usando x^ = 2n, não conseguimos chegar a x = 2k. Podemos 
então abandonar a prova deste e tentar provar o seu equivalente: 
Teorema C: "Se um número inteiro não é par, então o seu quadrado não é par". 
H: x é ímpar, T : x^ é ímpar. 
A forma de x é x = 2 k - H . 
X = 2 k - H x^ = (2k - H l)^ = ^ x^ = 4k^ + 4 k - H 
= $ > x ^ = 2 ( 2 k ^ + 2 k ) - H = $ > x ^ = 2 n - H (ímpar) 
Ilustração 2 
Teorema D: "Se um ponto pertence à mediatriz de um segmento, então eqúidista 
dos extremos do segmento". 
Sejam: AB o segmento. 
r a mediatriz de AB 
em M. 
H: Per, T : PA = PB. 
Basta provar a congruência dos 
triângulos AMP e BMP, o que deixamos 
a cargo do leitor. A M B 
94 R. M. BARBOSA 
Provado o teorema D, podemos garantir o contra-recíproco: 
Teorema CR: "Se as distâncias de um ponto aos extremos de um segmento são 
desiguais, então o ponto não pertence à rnediatrié do segmento". 
H: med PA med PB. 
T : PA-
r P 
A 
/ , 1 
A M B 
Teorema C: "Se um ponto não pertence à mediatriz de um segmento, então o 
ponto não eqúidista dos extremos do segmento". 
H: P^r. 
T : med PA ^ med PB. 
Por hipótese P^r, portanto P pertence a um dos semipianos determi-
nados por r; seja que Pesemiplano rB. 
P A n r # 0 (PA possui extremos em semipianos opostos de r). 
Seja PAn r = { Q }. 
. med PB < med PQ + med QB (em qualquer triângulo qualquer lado é 
menor que a soma dos outros dois). 
> med PB < med PQ + med QA (pelo teorema D). 
===> med PB < med PA 
> med PB # med PA 
Provado o teorema C, podemos garantir o recíproco: 
Teorema R: "Se um ponto eqúidista dos extremos de um segmento, então 
pertence à mediatriz". 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 95 
E. PROVAS INDIRETAS 
A ideia fundamental é admitir verdadeira a hipótese e tentar obter a tese; 
mas, muitas vezes esta linha de trabalho não é simples, outras vezes não encontra-
mos os recursos. 
Podemos no entanto lançar mão de provas indiretas, um exemplo é tentar 
provar a contra-recíproca como já o fizemos anteriormente. Veremos mais um 
recurso de prova indireta, um que usa outra equivalência lógica. 
E.1. R EDUÇÃO A ABSURDO 
Provemos a equivalência lógica: 
H y T <^==$> ( H A ~ T ) > f 
onde f é a proposição logicamente falsa. 
( H A ~ T ) — s - f <$==^ ~ [ ( H A ~ T ) A ~ f ] (Lei de passagem) 
< — > ~ [ ( H A ~ T ) A v] (Negação da logicamente falsa) 
« = > ~ ( H A ~ T ) (Lei de v) 
< — > H >-T (Lei de passagem - volta) 
O procedimento consiste também em anexar à hipótese a negação da tese, 
mas procura-se chegar a uma contradição, isto é, a duas proposições contraditórias 
p e ~ p pois p A ~ P <ê==> f • 
E.2. I LUSTRAÇÃO 
Teorema: "Se duas retas são concorrentes e uma delas é paralela a uma terceira, 
então a outra, é concorrente com a terceira reta". 
T : tns^0 
96 R. M. BARBOSA 
Por redução a absurdo: 
Nova H: 
t n r = { A ^ 
rfís Nova T; f. 
t n s = 0 
Temos: 
t//s (pois t n s = 0 por H ) 
r//s (por H ) 
=r=#> Por A existem duas retas paralelas à reta s. 
Mas peio postulado de Euclides temos: 
Por A existe só uma reta paralela à reta s, portanto temos uma 
contradição (um absurdo). 
F. TEOREMAS COM HIPÓTESES OU TESES COMPOSTAS 
F.l. TEOREMAS COM TESE CONJUNTIVA 
Os teoremas do t ipo H > (T i A T 2 ) , portanto de hipótese composta 
por conjunção, se desdobram em dois teoremas parciais, visto que â condicional 
é distributiva em relação à conjunção: 
H . ( T l A T 2 ) « = # > ( H V T I ) A ( H y J n ) 
De fato: 
( H - * T I ) A ( H - * T 2 ) < | = = ^ [ ~ ( H A ~ T I ) ] A [ ~ ( H A ~ T 2 ) ] (Lei de passagem) 
< ^ = ^ _ [ ( H A ~ T I ) V ( H A - T z ) ] (Lei de Morgan) 
<^==$> .^ [ H A ( ~ T I V ~ T 2 ) ] (Distributiva) 
< í = ^ ~ [ H A ~ (Tl A T 2 ) ] (Lei de Morgan) 
< $ = ^ H » - ( T I A T 2 ) (Lei de passagem) 
Desta equivalência resulta que um teorema com tese conjuntiva á compos-
to de teoremas parciais com a mesma hipótese e tese de cada um com uma das 
componentes da tese. 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 97 
Ilustração 
Teorema: "Se um ângulo de um triângulo é reto, então os outros ângulos do 
triângulo são agudos". 
H: med  = 90° 
T : 
med B < 9 0 o 
^med C < 9 0 o 
O teorema se desdobra nos dois teoremas parciais: 
I . O T . P . : 
2.0 T . P . : 
H: med  = 90o 
H: med  = 90° 
T i : med B < 9 0 O 
T 2 : med C < 90 ° 
Provemos o I .0 T.P. por redução a absurdo: 
med  = 90O 
Nova H:^ 
med B > 9 0 o 
Nova T i : f. 
Sabemos que em todo triângulo temos: 
med  -I- med B + med C = 180° 
===> 90o + 90o-i-x-i-medC= I8O0 ( c o m x > 0 ) 
X H- med C = O 
= ^ > X = - med C 
= $ > x < 0 .'^Sx. . 
portanto temos um absurdo. 
O 2.0 T.P. neste caso não precisa ser provado, vista a identidade com o 
1.0 T.P., mas em geral são necessárias as demonstrações de ambos. 
F.2. TEOREMA COM H IPÓTESE CONJUNTIVA 
Vários são os teoremas que possuem a hipótese H constituída de várias 
hipóteses parciais conectadas por conjunção. 
Analisemos o caso de duas hipóteses parciais H i e H 2 . 
O teorema é do t ipo (H , A H 2 ) y T. 
98 R. M. BARBOSA 
F.2.1. NÃO DECOMPOSIÇÃO EM TEOREMAS PARCIAIS 
É fácil verificar por tabela-verdade que se tem a não equivalência: 
( H , A H 2 ) . T < è = ^ ( H i > T ) A (H j . T ) 
portanto um teorema com hipóteses ligadas por conjunção não pode ser desdobrado 
em dois teoremas parciais. 
Entretanto, com a mesma tabela-verdade verifica-se facilmente que: 
[ ( H , ^ T ) A ( H 2 > T ) ] = > ( H , A H 2 ) . T 
isto é, provados os dois teoremas parciais, podemos garantir a validade do teorema 
com a hipótese conjunta, a recíproca que não é verdadeira. Provado o teorema 
de hipótese conjunta, não podemos garantir os dois teoremas parciais, nem mesmo 
um deles isoladamente. 
Aliás, o leitor poderá verificar facilmente que: 
(Hl > T ) = $ > ( H , A H 2 ) >J e ( H 1 A H 2 ) .T=jí=$>(Hi v T ) 
( H 2 . T ) = ^ ( H I A H 2 ) . T e ( H I A H I ) . T = ^ ( H 2 ^ T ) 
isto é, provado um só dos teoremas parciais, podemos afirmar o teorema de 
hipótese conjunta. 
F.2.2. I LUSTRAÇÕES 
Ilustração 1 
Teorema: Todo quadrado é paralelogramo. 
Í QL O conjunto dos quadrados P o conjunto dos paralelogramos 
o teorema é da forma: H: xeQ. T : xeP. 
{)
R é o conjunto de retângulos 
L é o conjunto de losangos 
H i : xeR 
T : xeP. 
H 2 : x e L 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
1.0 T . P.: Todo retângulo é paralelogramo. 
H l : xeR . T : xeP. 
Como xeR , os ângulos são 
congruentes (retos), logo os lados opostos 
de X são paralelos, por possuírem 
ângulos colaterais internos congruentes. 
Provado este T.P., podemos afir-
mar o teorema anterior. O ici:or poderá 
optar por provar u 2.° T.P.: 
Todo losango é paralelogramo. 
D c 
J L 
n r 
A B 
Ilustração 2 
Teorema: "Se um quadrilátero é quadrado, então sua diagonal mede o produto 
da medida do seu lado por sfT. " 
Seja a medida do lado e d da diagonal do quadrado. 
H : xeQ. J:à=&\f2. 
Este teorema é um corolário 
conhecido do teorema de Pitágoras. 
(med A O ' = (med AB)^ + (med BC)^ 
=$> d ' = a^ + a' 
^ d ' =2a^ = ^ d = a sfY 
Ora, a hipótese do teorema pode ser escrita: 
' ^ H i : x eR 
H 2 : x e L 
H : T : d = a x / r 
Provado o teorema anterior, não podemos decompô-lo, isto é, não 
podemos afirmar qualquer dos dois teoremas parciais. 
O leitor sabe mesmo que: 
Para o retângulo: d = \ J ( a e b medidas dos lados). 
Para o losando em geral as diagonais são desiguais, dependentes do lado 
e do ângulo. 
100 
R. M. BARBOSA 
F.3. TEOREMA COM HIPÓTESE DISJUNTIVA 
Alguns teoremas possuem hipótese constituída de várias hipóteses parciais 
conectadas por disjunção: 
( H 1 V H 2 ) ^T 
Para eles vale a equivalência curiosa: 
( H 1 V H 2 ) . T ^ = â > ( H i . T ) A ( H 2 >T) 
isto é, um teorema com hipótese disjuntiva pode ser decomposto em teoremas 
parciais: 
(H l v T ) A ( H 2 ^ T ) < ^ = ^ 
< g— > [~ (H l A ~ T ) ] A . [ ~ ( H 2 A ~ T ) ] (Lei de passagem) 
<#=5> ~ [ ( H l A ~ T ) V ( H 2 A ~ T ) ] (Lei de Morgan) 
< é=^ ~ [ (H l V H 2 ) A ~ T ] (Distributiva)<í=$> ( H 1 V H 2 ) > T (Lei de passagem) 
Esta decomposição é muito útil em geral em problemas de Aritmética 
teórica, como veremos nos dois exemplos seguintes, onde se separa em todos os 
casos possíveis. 
Ilustração 1 
Teorema: O produto de dois números inteiros consecutivos é par. 
H: a e b consecutivos. T : a b é par. 
Decompomos: 
1 ° T . P . : H , : ( ^ i ^ í r » T : a-b é par. \1 (ímpar) 
FUNDAMENTOS DE MA TEMA IICA mi 
De fato: a • b = (2k) • (2k + 1) = 4k^ + 2k = 2(2k^ + k) 
= ^ a • b = 2n (par) 
a = 2 k + 1 (impar) 
2 (par) T : a • b é par. 
De fato: a • b = (2k + 1) • (2k + 2) = 4k^ + 4k + 2k + 2 = 2(2k^ + 2 k + 1) 
= 5 > a • b = 2n (par) 
Ilustração 2 
Teorema: "A medida do ângulo inscrito é metade da medida do arco da 
circunferência interceptado pelos seus lados." 
Separamos em três casos possíveis: H < — > H i v H 2 V H 3 . 
H l : Um lado possui o centro da circunferência. 
H 2 : Os lados estão em semipianos opostos. 
H3: Os lados estão no mesmo semiplano em relação ao diâmetro do vértice. 
Para todos os casos (hipóteses possíveis para o ângulo) a tese é a mesma: 
Para H i teremos o AAOM com 
OA = OM, portanto os ângulos opostos 
são congruentes; e como a medida do 
externo é igual à soma dos internos não 
adjacentes, segue que: 
j} = a + a = 5 > a = -|-
Para H 2 consideramos o diâme-
t ro AP e estamos no primeiro caso: 
medPÃM= " ^ ^ yÕM 
medNÂP^ "^^'^^NÔP 
^ ^ _ med PÔM + med NÕP _ )3 
^ a - 2 - 2 
É Ê L I I M IIAUHOSA 
l'inil l l | llllnMIII» lllllllllljll ; 
iniuilK «111111111,1111 
mml \'Cm itiiid NÔr^ J £ 
" - 2 - 2 ! 
Nota i 
O leitor observará que é imprtsoinuivel esgotar 
todos os casos possíveis. 
M, 
a 
o 
F.4. TEOREMAS COM TESES DISJUNTIVAS 
Alguns looriímas são com tese composta por disjunção de duas teses 
parciais. 
Para eles vale a equivalência: 
H . ( T i VT2 )<ê==>(H •T i ) V ( H yJ2) 
visto que a condicional é também distributiva em relação à disjunção: 
(H . T , ) V { H y T 2 )<è=^ 
<^=4> [ ~ ( H A ~ T i ) ] V [ ~ { H A - T j ) ] 
<è=^ ~ [ (H A ~ T i ) A ( H A ~ T 2 ) ] 
< í = ^ ~ [ ( H A H ) A ( ~ T , A ~ T 2 l ] 
~ [ H A { ~ T , A ~ T 2 ) ] 
< í = ^ ~ [ H A ~ ( T , V T 2 ) ] 
<SF=^ H . ( T l V T 2 ) 
(Lei de passagem) 
(Lei de Morgan) 
(Associativa e Comutativa) 
(Idempotência) 
(Lei de Morgan) 
(Lei de passagem) 
Esta eqiJivalência parece-nos poder ser aceita intuitivamente, pois nos é 
intuit ivo que podemos provar um dos teoremas parciais ou aríibos. 
Ilustrações 
Teorema: "Se adicionamos uma unidade ao produto de dois números ímpares 
consecutivos, então a soma é múltiplo de 4 ou múltiplo de 16." 
fa e b ímpares 
H: 
[consecutivos 
T : 
a • b + 1 = múltiplo de 4 ou 
La-b + 1 = múltiplo de 16 
Sejam a = 2k + 1 e b = 2k + 3. 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 103 
Temos: a • b + 1 = 4k^-^ 8k + 4 = 4(k^ + 2 k - H ) = 4 ( k -H ) ^ 
===5> a • b + 1 = múltiplo de 4. 
Se k é ímpar, temos: a • b + 1 = 4(2r + 2 ) ' = 16(r + 1)^ 
= $ > a - b + 1 = múltiplode 16. 
Teorema: Se a i b e a l e então a//c ou a = c. 
. lipótese anc = 0 ou ....a^ 
isoladamente não contraditórias com as proposições de H : 
= ^ ° " «"tão a n c # ( ? que são 
a 1 b 
c 
H: . b i c T i : a//c 
a n c = 0 b r; 
N 
As retas a e c formam com b ângulos colaterais, internos, congruentes 
( a i b e b i c ) , portanto a//c. 
2.0 T.P.: H: J 
a i b 
b i c T j : a = c 
a O c ^ O 
Provemos por redução a absurdo, anexando à hipótese a negação da tese.; 
Nova H: J 
Nova T , : f 
a i b 
b i c 
anc#:|Z) 
a^ tc 
m conjunto Sendo a n c 9 t 0 e a ^ c a intersecção de a com c é u 
unitário. 
Seja a n c = { P } . 
rr,. . t H """^ " " ' ' " 3 " ' ° â"9ulos retos (por hipótese) 
mas todo triangulo so pode possuir um ângulo reto; temos, po r t an to 'um absurdo.' 
106^ R. M. BARBOSA 
2.0 Teorema PCR: 
H" : 
ÁBgfcAC 
s i r / " 
T " : a |3 
B/ 
s 
H. TEOREMAS RECÍPROCOS DE TEOREMAS COM 
HIPÓTESE CONJUNTIVA 
Analogamente ao que vimos para teoremas contra-recíprocos, para a 
reciprocidade temos tipos de recíprocos: 
H.1. RECIPROCO PERFEITO 
Dado o teorema da forma ( H i A H j ) T, o seu recíproco perfeito 
é T (Hl A H2) que evidentemente como qualquer recíproca pode ser 
verdadeira ou não. 
Ilustração 
Teorema D: "Se do ponto médio de um lado de um triângulo traçamos a 
paralela a um segundo lado, então ela possui o ponto médio do 
terceiro lado." 
A_ 
H i : AM = MB 
H2: MN//BC M, 
H: 
T: AN = NC 
Construindo NP II AB, é fácil provar que AAMN é congruente ao A NPC, 
portanto AN = NC. 
AM ^MB ; 
Teorema R? (não-válido) H': AN = NC T ' : 
MN//BC 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 107 
Contra-exemplo: 
AN = NC 
A M t ^ M B 
M N « B C 
H. 2. PSEUDORECIPROCOS 
Temos para o Teorema D: ( H 1 A H 2 ) 
1.0 Pseudorecíproco: H i A T >• H2 
2.0 Pseudorecíproco: TAH2 >• H i 
não equivalentes entre si. 
Ilustração 
I . 0 Teorema PR: 
r A M = M B 
H: { 
1^ AN = NC 
T: MN // BC 
Provemos por redução a absurdo: 
• T os dois pseudorecíprocos: 
Nova H: 
AM = MB 
AN = NC 
MN « B C 
Nova T : f 
Com MN « BC deve existir um ponto N'eAC tal que MN'//BC. 
Pelo teorema D, usando AM = MB e MN ' « BC, temos A N ' = N'C ou l 
um a b s u r d o ' " ' " " ' ' ' '^'^ " N ' ^ N que é também médio de AC, portanto temos 
2.0 Teorema PR: H: AN = NC 
MN // BC T : AM = MB 
Este pseudorecíproco é o próprio teorema D, portanto também é válido. 
08 R. M. BARBOSA 
I. TEOREMA GERAL DE RECIPROCIDADE 
Alguns teoremas são tais que: 
) as hipóteses completam os casos admissíveis para uma hipótese mais geral, 
i) as respectivas teses são exclusivas duas a duas. 
ustração: 
EOREMA 1: Se num triângulo ABC temos med à = 90°, então = + . 
EOREMA 2: Se num triângulo ABC temos med  <900,então < ò ' . 
EOREMA 3: Se num triângulo ABC temos medà > 90°, então a'^ >b'^ +c'^. 
Observemos que as Várias hipóteses são: 
H i : med  = 900 
H2: m e d  O O O 
H3: med  > 900 
)ortanto elas completam os casos admissíveis para med Â. 
Obsen/emos ainda que as teses são exclusivas duas a duas, pois não se 
jodem verificar simultaneamente. 
Para teoremas nessas condições pode-se afirmar que: 
TODOS OS TEOREMAS RECÍPROCOS SÃO VERDADEIROS. 
De fato: 
Sejam n teoremas nessas condições: 
H i = > T i (i = 1 ,2 ,3 n) 
Provemos que cada recíproco Tj > Hj é verdadeiro. 
Caso tivéssemos para um particular i: 
T| = = > Hj (com um qualquer j # i> 
pelo teorema D (Hj = = > Tj ) , portanto, se tivermos H j , teremos T j , mas temos T j , 
isto é, temos Tj A T J que é falso por hipótese (se excluem), logo Tj ==$> Hj . 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA III!/ 
Faremos outro raciocínio mais simples. 
Sejam 3 os teoremas possíveis nas condições: 
H l : A é B, T , : M é N 
H j : A é C , T2 :M é P 
H3: A é D , T 3 : M é a / 
Provemos o recíproco T , = = 5 > H j . 
Consideremos T i ; M é N, caso levasse a:A é C, pelo segundo teorema 
direto teríamos M é P; mas M é N, portanto a hipótese T i : M é N não pode ter 
conseqiJência A é C . 
Caso T i : M é N conduzisse a :A é D, analogamente usando o terceiro 
direto teríamos M é Q que é inconsistente com M é N. Resta só a possibilidade 
A é B. 
Analogamente provaríamos os outros recíprocos. 
ilustração 
Provemos os 3 teoremas da ilustração anterior: 
TEOREMA 1 (Teorema de Pitágoras) 
Se em um triângulo um ângulo é reto, então o quadrado da medida do 
lado oposto é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois. 
A 
H: med  = 90o 
T : a^ = b* + c* 
Temos a semelhança: 
A A BH — AABC (possuem um ângulo reto e um ângulo comum). * 
•V, med AB ^ med BH 
med BC medAB 
= ^ i = ^ = ~ > c^ = an (1) v - í * -
Analogamente da semelhi^nça: AACH ~ AABC ,obtém-se: 
= a m , . (2) , 
110 R. M. BARBOSA 
Adicionando (1) e (2) obtemos: : , 
b^ + = a m + a n 
= 5 > b^ + c^ = a(m + n) = ==> b^ + c^ = a^ 
TEOREIVIA 2: 
Se em um triângulo um ângulo é agudo, então o quadrado da medida do 
lado oposto é menor que a soma dos quadrados das medidas dos outros dois. 
H: m e d  O O O 
T: a' < b^ + 
Pelo Teorema 1 no AABH temos: 
c^ = + m ' 
= > = c^ - m^ (1) 
3 " C 
Pelo teorema 1 no A BHC temos: 
a2 = + n^ =«=> = a^ - n^ (2) 
Comparando (1) e (2) obtemos: 
- n^ = c^ - m ' = > a^ = c^ - m^ + n^ (3) 
Substituindo o valor de n = b - m em (3): 
a^ = c' - m^ + (b - m ) ' 
= > a^ = c^ - m^ + b' - 2bm + m^ 
= > a^ = b^ + c^ - 2bm ===> a^ < b^ + c' 
TEOREMA 3: 
Se em um triângulo um ângulo é obtuso, então o quadrado da medida 
do lado oposto é maior que a soma dos quadrados das medidas dos outros dois. 
H: med  > 90O 
T : a^ > b* + c^ 
B C 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 111 
Analogamente o leitor obterá a expressão (3): 
a^ = c^ - m^ + n2 
e substituindo o valor de n = b + m em (3): 
a ' = c^ - m^ + (b + m p 
= | > a^ = c' + b ' + 2bm = = > a^ > b' + c^ 
NOTA: Considerando o teorema gerai de reciprocidade, podemos garantir 
ps seguintes teoremas recíprocos: 
TEOREMA R i : 
Se o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das 
medidas dos outros dois, então o ângulo oposto a é reto. (Recíproco do T. de 
Pitágoras) 
H: a^ * = b^ + c' T : med = 90O 
TEOREMA R2: 
Se o quadrado da medida de um lado é menor que a soma dos quadra-
dos das medidas dos outros dois, então o ângulo oposto é agudo. 
H: a^ < b ' + c^ T : med  < 90O 
TEOREMA R3 : 
Se o quadrado da medida de um lado é maior que a soma dos quadra-
dos das medidas dos outros dois, então o ângulo oposto é obtuso. 
H: a* > b* + c' T : m e d  > 9 0 O 
112 R. M. BARBOSA 
J - SEQUÊNCIA XII 
E X E R C Í C I O S P A R A R E S O L V E R ( I T EN S A-B-C) 
1) Considere a condicional: 
"Se são dados dois números inteiros (mpares, então a soma é par". 
a) Estude a credibilidade com casos particulares. 
b) Prove o teorema. 
2) Considere a condicional: 
"Se num triângulo a medida de um lado é maior que a medida de outro, então a medida 
do ângulo oposto ao primeiro é maior que a medida do ângulo oposto ao segundo". 
a) Estude a credibilidade com figuras particulares. 
b) Prove o teorema. 
3) Passe os enunciados seguintes mais claramente para a forma: se . . . então. . . 
a) Todo ponto da mediatriz de um segmento eqúidista dos extremos do segmento. 
b) Todo ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer dos ângulos internos não 
adjacentes. 
c) Todo triângulo retângulo possui dois ângulos agudos. 
d) Todo ponto da bissetriz de um ângulo eqúidista dos lados do ângulo. 
e) Do teorema de Pitágoras. 
4) Usando o lema dado no texto sobre função quadrática, prove o teorema: 
a) Se uma função é da forma y = ax ' + bx + c, com A = - 4ac > O então pode ser de-
composta em fatores do primeiro grau. 
Sugestões: 
a.1) Coloque a em evidência. 
a.2) Escreva {s/E)^ no lugar de A. 
a.3) Fatore a diferença de quadrados, e encontrará y = a(x - x')(x - x" ) com: 
-b + VÃ~' - b - V Ã ^ 
x' = e x " = 
2a 2a 
5) Prove o corolário do teorema anterior para A = 0. 
"Se uma função é da forma y = ax^ + bx + c, com A = b^ - 4ac = O, então pode ser 
colocada na forma y = a(x - x ' ) ' " . 
6) Usando o lema dado no texto, prove o teorema: 
"Se uma função é da forma y = ax^ + bx + c, então ela é simétrica em relação ao eixo de 
b 
simetria de abscissa x = " . 
2a b 
Sugestões: a) Use o lema e troque x por (- — + m). 
b) Use o lema e troque x por ' " ~ 
c) Verifique que a s duas ordenadas são iguais. 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 113 
7) Prove o corolário do teorema do exercício 6. 
"Se uma função é da forma y = ax^ + c, 
ordenadas". 
então é simétrica em relação ao eixo das 
8) Considere o teorema: 
"Se a, b e c são ângulos internos de um triângulo, então a soma de suas medidas é 180°" 
Dê os corolários: 
a) Para ângulos internos de um quadrilátero (convexo). 
b) Para ângulos de um polígono (convexo). 
9) Dadas as proposições, mostre a não-validade de cada uma com contra-exemplos: 
a) S e A C B e A C D então D C B. 
b) No conjunto dos inteiros a adição é distributiva em relação à multiplicação. 
c) S e a < b e c < d então a - c < b - d. 
d) Se a.b = a.c então b = c. 
e) Se A C B e C C B então A C C. 
f) Se o produto da matriz M a b' 
c d pela matriz N = 
e f 
.9 h. 
é a matriz nula O O 
O O 
então a = b = c = d = 0 ou e = f = g = h = 0 . 
K - SEQUÊNCIA XIII 
E X E R C Í C I O S P A R A R E S O L V E R ( I T E N S D e E ) 
1) Dê a recíproca, a contrária e contra-recíproca das proposições: 
a) Se Maria é rica, então Paulo se casará com Maria. 
b) Se Luís é médico, então seu filho é médico. 
c) Se Ivonete é professora, então sua filha não será professora. 
d) Se duas Vetas ooplanares cortadas por uma transversal formam ângulos alternos, inter-
nos, congruentes, então elas são paralelas (cuidado). 
2) Dado o teorema: "Se um ponto pertence à bissetriz de um ângulo, então eqúidista dos 
lados do ângulo": 
a) Dê os enunciados aparentados. 
b) Prove a validade dos 4 provando só dois. 
3) Dado o teorema: "Se duas retas ooplanares interseccionadas por uma terceira formam 
ângulos correspondentes congruentes, então elas são paralelas": 
a) Dê os enunciados aparentados. 
b) Prove a validade dos 4 provando só dois. 
Nota: Prove o direto e o recíproco por redução a absurdo. 
114 fí. M. BARBOSA 
4) Dado o teorema: "Se dois lados de um triângulo são congruentes, então os ângulos o-
postos aos lados congruentes são congruentes": 
a) Dê os enunciados aparentados. 
b) Prove-os. 
5) Dado o teorema: "Se um núrnero a é divisor de um número b, então a é divisor dos múl-
tiplos de b": 
a) Dê os enunciados aparentados. 
b) Prove os teoremas aparentados verdadeiros e dê contra-exemplos aos não válidos. 
6) Dado o teorema: "Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então são congruentes"; 
a) Dê os enunciados aparentados. 
b) Prove os teoremas aparentados verdadeiros e dê contra-exemplos dos não válidos. 
7) Prove por tabela-verdade: 
a) A equivalência do contra-recíproco e direto. 
b) A equivalência do recíproco e contrário. 
8) Dado o teorema de Pitágoras, dê os aparentados. São todos válidos? Prove. 
9) Dado o teorema (^? relação métrica de Euclides): 
H: med A = 90° T : b^ = a.m 
a) Dê os aparentados. 
b) Prove-os. 
10) Dado o teorema (2? relação métrica de Euclides): 
H: med = 90° T : = m.n 
a) Dê os aparentados. 
b) Prove-os. 
11) Dados os problemas: 
a) Num triângulo retângulo os catetos medem 15,6cm e 20,8cm, então qual o valor 
da hipotenusa? 
b) Num triângulo os lados medem 31,5cm, 75,6cm e 81,9 cm, determine se os ângulos 
são retos, agudos ou obtusos. 
c) Num triângulo os lados medem 4 cm, 5cm e 7 cm, determine se os ângulos são retos, 
agudos ou obtusos. 
Resolva-os e indique qual teorema empregou. 
L - SEQUÊNCIA XIV 
EXERCÍC IOS PARA RESOLVER (ITENS F, G e H) 
1) Prove por tabela-verdade que: 
a) a condicipnal é distributiva pela esquerda em relação à conjunção. 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
b) a condicional não é distributiva pela direita em relação à conjunção. 
c) (Hl -> T) = > (Hl H2) -» T 
d) {H i '^ H2) -> T =tÍ=#> Hl ^ T 
è) [ (H , T) ^ (H2 ->T)] = = > ( H i H2) ->T 
f) [ (H l ^ T ) (H2 - *T ) ] < = > (Hl V H2) -:*T 
g) H -y (Tl V T 2 ) < ^ > (H - * T i ) V (H -» T j ) 
h) (Hl H2) ->T < $ = > ( H i ~ T ) ( ~ H 2 ) ' 
2) Prove o teorema: "Todo quadrado é paralelogramo", mas provando o parcial relativo a 
losango que o implica: "Todo losango é paralelogramo". • • ' 
3) Prove o teorema: " Em todo paralelogramo os lados opostossão congruentes e os ângulos 
opostos são congruentes." 
Nota: DesdQbre em dois teoremas parciais. 
4) Dê as pseudocontra-recíprocas equivalentes de: "Se Pedro é rico e Pedro é bonito, então 
Jane casar-se-á com Pedro". 
5) Prove o teorema: "Se duas retas distintas são paralelas a uma terceira, então são paralelas 
entre s i " . 
Sugestão: Use um pseudocontra-recfproco. 
6) Mostre que o recíproco perfeito do teorema do exercício 5 não é válido. Estude o 
pseudo-recíproco. 
7) Prove o teorema: "Se r e s são os gráficos de y = ax + b e y = ax + c, respectivamente, 
com b c, então r // s". 
Sugestão: Use um pseudocontra-recíproco. 
8) É válido o recíproco perfeito do teorema do exercício 7? Prove. 
9) Prove os teoremas de Geometria no espaço abaixo, provando um só deles e explique 
por que os outros são também válidos. 
Teorema 1: Se uma reta a é paralela a um plano a, o ponto A pertence a uma reta b, e 
ainda A e a , então a reta b é contida no plano a. 
Teorema 2: Se uma reta a é paralela a um plano O, o ponto A pertence a uma reta b, e 
A pertence a O, e a reta b não é contida em a, então a reta b não é para-
lela à reta a. 
Teorema 3: Se uma reta a é paralela a um plano a, o ponto A pertence à reta b para-
lela à reta a, e a reta b não é contida em Oí, então o ponto A não pertence 
ao plano Oi 
Teorema 4: Se por um ponto A de um plano a, traça-se uma reta b paralela a uma reta 
a, mas não contida em a, então a reta a não é paralela ao plano OL. 
116 fí. M. BARBOSA 
10) Dê recíprocos ou pseudo-recíprocos dos teoremas anteriores. Estude a sua validade. 
11) Dado o teorema de Geometria Plana: 
"Se a//b e aPlc = { P } e bD e = { Q } , então P Q". 
a) Prove. 
b) Dê todos os pseudocontra-recfprocos do teorema anterior. 
12) Prove os teoremas de Geometria Plana seguintes, provando um só deles e explique 
por que os outros são válidos: 
T.1: Se a//b e a i c então b i c . 
T .2 : Se a//b e b J íc então a jíc. 
T .3 : Se a i c e b / c então a K c . 
13) Para os teoremas do exercício 12 dê os pseudo-recíprocos. Examine a validade. 
14) Dado o teorema: 
"Se uma reta "b" é paralela a uma reta "a" ortogonal a um plano a, então a reta " b " é 
ortogonal a a"-
a) Prove. 
b) Dê os pseudocontra-recfprocos. 
c) Dê o recíproco perfeito e os pseudo-recíprocos. Analise a validade. 
15) Prove o teorema de Aritmética: 
"Se três núrneros inteiros são consecutivos, então o produto é múltiplo de 3 " . 
Sugestão: 
Use hipótese disjuntiva (separe em 3 casos para o primeiro: é múltiplo de 3, múltiplo de 
3 mais 1, múltiplo de 3 mais 2). 
M - SEQUÉMCIAXV 
E X E R C Í C I O S P A R A R E S O L V E R ( I T EM U 
1) a) Prove os teoremas (com A = - 4ac para a equação do 2.° grau): 
T.1: Se A > O, então as raízes são desiguais (2 rafzes). 
T .2 : Se A = O, então as raízes são iguais (1 raiz). , ' 
T .3: Se A < O, então as raízes não são reais (O raiz). 
b) Os teoremas preenchem as condições do teorema geral de reciprocidade? Por quê? 
c) Dê os recíprocos verdadeiros. 
2) a) Prove os teoremas (a rigor só dois) de Geometria; , 
T. 1: Se b > c então med B > med C. 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
T.2: Se b = c então med B = med C. 
T.3: Se b < c então med B < med C. 
b) Os teoremas preenchem as condiçSes do teorema geral de reciprocidade? Por quê? 
c) Dê os recíprocos. 
3) Sendo A um ponto não pertencente a uma reta r, e B pé da perpendicular, e C e D 
pontos de r: 
a) Prove os teoremas: 
T.1: Se AC > AD então BC > BD. 
b) T.2: Se AC = AD então BC = BD. 
T.3: Se AC < AD então BC < BD. 
b) Preenchem as condições do T.G.R.? Por quê? 
c) Dê os recíprocos. 
4) Utilize o T.G.R. papa sistemas lineares estudando o determinante do sistema (A = O e 
A ^ 0). 
5) a) Prove os teoremas: 
T.1: Se (x; y) pertence à circunferência de centro C(m; n) e raio R então 
(x - m ) ' + (y - n)^ = R^. 
T.2: Se (x; y) pertence ao interior do círculo cte centro C(m; n) e raio R, então 
(x - m)^ + (y - n)^ < R .^ 
T.3: Se (x; y j é exterior ao círculo de centro C(m; n) e raio R, então (x - m)^ + 
+ ( v - n ) ^ > R ^ 
b) Aplique o T.G.R.. 
o desejo como a esperança 
são doh; ventos necessários 
CAPÍTULO VH à viagem da vida. 
Campoamor 
CONDIÇÃO SUFICIENTE, CONDIÇÃO NECES-
SÁRIA E LUGARES GEOMÉTRICOS 
A. CONDIÇÃO SUFICIENTE 
Dado um teorema da forma H ->• T, vimos que sendo teorema é porque 
temos a implicação H = ==> T ; portanto, admitida a hipótese H, obtemos a tese 
T. Observemos que é SUFICIENTE termos H para obtermos T, Dizemos que H 
é CONDIÇÃO SUFICIENTE de T (ou para T ) . É suficiente H se verificar para se 
verificar T, 
Ilustrações: 
TEOREMA 1: Uma condição suficiente para que um quadrilátero seja retân-
gulo é ser quadrado. 
Entendemos na forma condicional: 
Se um quadrilátero é quadrado, então é retângulo. 
TEOREMA 2: Uma condição suficiente para que um número seja múltiplo de 
3 é que seja múltiplo de 9. 
Entendemos na forma condicional: 
Se um número é múltiplo de 9, então é múltiplo de 3. 
O leitor verifica no T.1 e no T.2 que: 
É suficiente (basta) ser quadrado para ser retângulo. 
É suficiente (basta) ser múltiplo de 9 para ser múltiplo de 3. 
B. CONDIÇÃO NECESSÁRIA 
Dado um teorema da forma H ^ T , isto é a implicação H ===> T, con-
siderada H verdadeira, consequentemente obteremos T. Observemos que T é 
NECESSÁRIO se verificar se verificado H. Dizemos que T é CONDIÇÃO NECES-
SÁRIA de H, isto é, T é uma consequência necessáriaH. 
120 R. M. BARBOSA 
Ilustrações: 
TEOREIVIA 3: Uma condição necessária para que um quadrilátero seja retân-
gulo é ser paralelogramo. ' , 
Entendemos na forma condicional; 
Se um quadrilátero é retângulo, então necessariamente é para-
lelogramo. 
TEOREMA 4: Uma condição necessária para que um número seja múltiplo de 
36 é que seja múltiplo de 9. 
Entendemos na forma condicional: 
Se um número é múltiplo de 36, então necessariamente é múl-
tiplo de 9. 
C. CONDIÇÃO SUFICIENTE E CONDIÇÃO NECESSÁRIA 
Seja que temos os dois teoremas: 
H = > T e T = = > H 
isto é, temos o direto a o recíproco. 
a) Pelo direto sabemos que: 
H é condição suficiente para T. 
T é condição necessária de H. 
b) Pelo recíproco sabemos que: 
T é condição suficiente para H. 
H é condição necessária de T. 
Reunindo podemos dizer: 
1) H é condição suficiente e necessária de T (ou para T) . 
2) T é condição suficiente e necessária de H (ou para H). 
Pelo fato de haver a equivalência lógica H <===> T é que qualquer uma 
das proposições é condição suficiente e necessária para a outra. 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 121 
Ilustração: 
TEOREMA 5: Uma condição necessária e suficiente para que um quadrilátero 
seja retângulo é que ele seja um paralelogramo com um ângulo 
reto. 
a) Suficiente (T. Direto) : 
£ suficiente um quadrilátero ser paralelogramo c om um ângulo 
reto para ser retângulo. 
H: 
AB // CD 
BC // AD 
med  = 90 ° 
T : ABCD é retângulo 
D c 
J 
90O 
~1 r 
A B 
De fato: 
Sendo AB // CD (Hipótese) os ângulos colaterais internos formados por 
AB e CD com a secante AD são suplementares, portanto: 
med à + med D = 180° 
med D = 90» (pela hipótese) 
Analogamente provaríamos que med B = 90° e med C = 90° , isto é, o 
quadrilátero ABCD possui todos os ângulos retos, ou que é retângulo. 
b) Necessária (T. Recíproco): 
É necessário para um quadrilátero ser retângulo que seja para-
lelogramo com um ângulo reto. 
AB // CD 
T : BC//AD 
possui um ângulo reto 
H: ABCD é retângulo 
Se ABCD é retângulo temos med  = 
= med B = med C = med D = 90° ; portanto 
está verificada a terceira parte da tese. 
Como med  = med D = 90°, temos 
med  + med D = 180°, ou que as retas AB 
e DC formam ângulos colaterais internos com 
a reta AD suplementares, portanto AB // CD. 
Analogamentese provaria que AD // BC. 
-^90° 90 ° ' -
90O 90° 
r 
722 fí. M. BAfíBOSA 
TEOREMA 6: Uma condição necessária e suficiente para que ^ - ( r y ' ^ ^ 7 
e l— estejam em progressão aritmética é que a'^, e c^ 
a + b 
também estejam (a, b, c não nulos nem opostos dois a dois). 
a) Suficiente (T. D.): 
H: Existe a progressão aritmética: | ^ • ^ | g " g + b ' 
T: Existe a progressão aritmética: a^.b^.c' . • 
Por hipótese temos: 
1 1 - -i L 
c + a b + c a + b c + a 
b - a ^ c - b b - a c - b 
(c + a) (b + c) (a + b) (c + a) b + c a + b 
-> b^ - a' = c^ - b^ = = > T 
b) Necessária (T.R.): 
H: Existe a progressão aritmética: a^.b^.c^. 
T : Existe a progressão aritmética: l ^ • •^-T~7 ' a + b ' 
Por hipótese temos: " ' 
- = c^ - b^ = > (b + a ) (b-a) = (c + b ) ( c -b ) 
b - a c - b . (b + c)-(c + a) ^ (c + a)-(a + b) 
=^ TT^~b~n ^ c + b b + a 
(b + c)-(c + a) ^ (c + a)-(a + b) 
(c + b) (c + a) (b + a) (c + a) 
1 1 _ 1 _ _J = = ^ T 
c + a ' c + b b + a c + a 
NOTAS: 
a) Considere o T . 1 , verifique que: 
"Ser quadrado não é condição necessária para ser retângulo". 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 123 
Pois um quadrilátero pode ser retângulo e não necessariamente é qua-
drado. 
b) Considere o T.2, verifique que: 
"Ser múltiplo de 9 não é condição necessária para ser múltiplo de 3" . 
É o caso, por exemplo, do número 6 (ou do próprio 3 ) , que é múltiplo 
de 3 e não é múltiplo de 9. 
c) Considere o T.3, verifique que: 
"Ser paralelogramo não é suficiente para ser retângulo". 
Pois podemos ter paralelogramo sem que seja retângulo. 
d) Considere,o T.4, verifique que: 
"Ser múltiplo de 9 não é suficiente para ser múltiplo de 3 6 " . 
É o caso, por exemplo, do 18 (ou do próprio 9 ) , que é múltiplo de 9 
mas não basta para ser múltiplo de 36. 
D. CONDIÇÃO SUFICIENTE E NECES-
SÁRIA E BI-CONDICIONAL 
Como as condições necessária e suficiente existem no caso da existência 
de teorema direto e teorema recíproco, concluímos que todo teorema do t ipo 
condição necessária e suficiente pode ser dado na forma de bi-condicional. 
Assim, para ilustração: 
Nova fomria do TEOREMA 5: 
Um quadrilátero é retângulo se e só se é paralelogramo com um ângulo 
reto. 
Nova forma do TEOREMA 6: 
A sequência dos números -7—^ , — e —{—- é progressão arit-
b + c c + a a+b 
mética se e só se a sequência dos números a^, b^ e c^ é progressão aritmética. 
Reciprocamente, no caso da existência de um teorema na forma bi-
condicional, a ele corresponde uma condição necessária e suficiente. 
124 R. M. BARBOSA 
Ilustração: 
TEOREIVIA 7: Um triângulo é retângulo se e só se o quadrado da medida de 
um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos 
outros dois lados. 
Obs.: Este teorema 7 é válido pois é o teorema de Pitágoras e o seu reci% 
proco simultaneamente, já provados. 
Forma de CN e S: 
Uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja retân-
gulo é que o quadrado da medida de um dos lados seja igual a soma dos quadra-
dos das medidas dos outros dois lados. 
E. LUGAR GEOMÉTRICO 
E . 1 . C0NCE1TUAÇÃ0 
Dizemos que uma certa figura é um LUGAR GEOMÉTRICO quando: 
a) seus pontos satisfazem uma dada propriedade. 
b) e os únicos pontos que satisfazem essa propriedade são os pertencentes à figura. 
Indicando com F a figura e p(X) a propriedade temos: 
a) Se AeF , então p(A) é verdadeira. 
b) Se Al^F, então p(A) é falsa. 
Portanto, para uma figura F ser um lugar geométrico devemos ter teorema 
direto e teorema contrário. 
Ilustração: 
Consideremos os teoremas: 
TEOREIVIA D: Se um ponto pertence à mediatriz de um segmento, então e-
quidista dos extremos do segmento. 
TEOREIVIA C: Se um ponto não pertence à mediatriz de um segmento, então 
não eqúidista dos extremos do segmento. 
Nota: O leitor encontrará as demonstrações no capítulo anterior. 
Temos o direto e o contrário para a figura "mediat r iz " e a propriedade 
"eqúidista dos extremos"; então podemos dizer: 
1 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 125 
A mediatriz de um segmento é o lugar geométrico dos pontos de um 
plano que èqúidistam dos extremos do segmento. 
E.2. LUGAR GEOMÉTR ICO E CONDIÇÃO NECESSÁR IA E SUFICIENTE 
Como o teorema contrário equivale ao teorema recíproco, concluímos 
que podemos, para provar que uma figura é lugar geométrico, usar o teorema D 
e o teorema R. 
Entretanto, provado o teorema D e o teorema R, temos uma condição 
suficiente e condição necessária. Podemos então dizer que: 
Para provar que uma figura é lugar geométrico, devemos provar que a 
propriedade é condição necessária e suficiente para a figura. 
Ilustração: 
TEOREIVIA DE L.G.: 
O lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma dos quadrados 
das distâncias a dois pontos fixos é igual ao quadrado da distância dos pontos é 
a circunferência cujos dois pontos são diametralmente opostos. 
Podemos desdobrá-lo em: 
CN: Os pontos que gozam da propriedade necessariamente pertencem à circun-
ferência. 
H: PA^ + PB^ = AB* 
T : P é da circunferência 
Utilizemos recursos de Geometria. Anairt ica, colocando A(-a; 0) , B(a; O) 
e P(x; y ) . 
Temos pela fõnmula da distância de dois pontos: 
PA^ = (X + a)* +{v - 0)2 = x* + 2ax + a* + y^ 
PB* = (x -a)2 -I- (y - 0)2 = x* - 2ax + a* + y* 
Substituindo na expressão da hipótese: 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 127 
? ~ SEQUÊNCIA XVI 
EXERCrCIOS P A R A R E S O L V E R 
1) Verifique se: 
a) É suficiente para que um número seja par que ele seja múltiplo de 8. 
b) É necessário para que um número seja par que ele seja múltiplo de 8. 
c) É necessário existir a igualdade: 
2(b - a) (b - c) = (b + a) (b - c) + (b + c) (b - a) 
para que os números — , -r e — estejam em progressão aritmética, a b e 
d) É suficiente os números J ' ^ ^ ^ estarem em progressão aritmética para que exis-
ta a igualdade: 
2(b - a) (b - c) = (b + a) (b - c) + (b + c) (b - a) 
e) É suficiente para um quadrilátero ser losango que seja paralelogramo. 
f) Tomar 8 termos é condição suficiente para que a soma dos termos de uma progressão 
aritmética de primeiro termo 5 e razão 3 seja maior que 61. 
g) Tomar 9 termos pelo menos é condição necessária para que a soma dos termos de uma 
progressão aritmética de primeiro termo 5 e razão 3 seja maior que 125. 
Respostas: a) V b) F c) V d) V e) F f) V g)V 
2) Prove que: 
Uma condição necessária e suficiente para que um quadrilátero .seja losango é que as dia-
gonais se interceptam perpendicularmente nos pontos médios. 
3) Prove as condições necessárias e suficientes (c. n. e s.); 
a) Para que uma reta não contida num plano seja paralela a ele, é c.n. e s. que seja para-
lela a uma reta contida no plano. 
b) Para que um triângulo tenha dois lados congruentes, é c.n. e s. que tenha os ângulos 
opostos congruentes. 
c) Para que um número seja par, é c.n. e s. que seu quadrado .seja par. 
d) Para que a soma dos termos de uma progressão geométrica de primeiro termo 2 e 
razão 3 seja maior que 230, é c.n. e s. tomar pelo menos 5 termos. 
4) a) Prove o teorema: "Se AB = AC, então a intersecção das bissetrizes de B e de C per-
tence à altura AH i BC" . 
b) Existe o recíproco? O contrário? O contra-recíproco? 
c) A propriedade dada em (a) é condição necessária e suficiente F>ara que um triângulo 
tenha AB = AC? 
725 R. M. BARBOSA 
5) Prove que: 
"As medidas dos lados de um triângulo estarem em progressão aritmética é condição 
necessária e suficiente para as medidas dos senos dos ângulos opostos estarem em pro-
gressão aritmética". 
6) Prove que: 
a) A bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos do plano que èqúidistam 
dos lados do ângulo. 
b) O plano mediador (possui o pomo médio e é ortogonal ao Segmento) de um segmento 
é o lugar geométrico dos pontos do espaço que èqúidistam dosextremos do segmento. 
c) O lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença dos quadrados das dis-
tâncias a dois pontos fixos é igual ao quadrado da distância entre os pontos é o con-
junto de duas retas perpendiculares ao segmento nos pontos fixos. 
d) Idem, se é igual ao quadrado do dobro da distância entre os pontos, é o conjunto de 
duas retas perpendiculares ao segmento simétricas em relação ao ponto médio distantes 
o quádruplo da distância entre os pontos. 
CAPÍTULO VIII 
Pela certeza indubitável de 
suas conclusões constitui a 
Matemática o ideal da Ci-
ência. 
Bacon 
INDUÇÃO - CONJECTURAS 
A. ELEMENTOS 
Considere uma pessoa que tem uma porção A de um líquido W e verifica 
que ela ferve a uma temperatura X, toma uma outra porção B do mesmo líquido 
e verifica que ferve também a temperatura X, e novamente verifica para outra 
porção C o mesmo fato. Nessas condições o experimentador raciocina assim: 
porção A do líquido W ferve a X graus, 
porção B do líquido W ferve a X graus, 
porção C do líquido W ferve a X graus. 
Ora: O líquido é sempre o mesmo: é W. 
Logo tira a seguinte conclusão: o líquido W ferve a X graus. 
O experimentador usou um argumento que consiste em: 
a) considerar dados particulares, 
b) observar para todos eles a verificação de um certo fato, 
c) inferir uma conclusão geral (universal). 
Dizemos que se fez uma INDUÇÃO, que é portanto: 
uma argumentação em que de dados singulares 
(casos particulares) o espírito infere uma con-
^ clusão universal. 
O leitor verificou que a indução procede das partes para o todo, do par-
ticular para o geral. A indução frequentemente começa com a observação, o que 
exige do cientista, do matemático, uma atitude indutiva, isto é, estar atento a 
observar e relacionar propriedades que servem a um ou outro elemento em parti -
cular. Mas também estar sempre pronto a rejeitar ou invalidar outras. 
Surgirá com certeza ao leitor a seguinte indagação: 
— quando estudamos os teoremas, aprendemos que a verificação de alguns casos 
particulares não é uma demonstração de um teorema, apenas torna-o mais 
credível. 
— agora, da verificação pura e simples de alguns casos particulares, passa-se ao 
geral! 
— haverá um número de casos que seja SUFICIENTE?