apostila de trigonometria

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MATEMÁTICA PARA OFICINA 
 ADRIANO MANTOVANI 1 
GEOMETRIA APLICADA 
 
As teorias da geometria podem ser abordadas por um dos dois caminhos seguintes: sob o 
aspecto matemático ou sob o aspecto da sua aplicação prática, o qual veremos a seguir, 
devido à grande importância dos princípios geométricos na tecnologia e na indústria. Uma 
máquina raramente pode ser projetada ou um trabalho executado sem a aplicação de 
diversos teoremas geométricos. O prático das oficinas verificará que uma compreensão 
dos mais comuns teoremas e figuras geométricas é de freqüente utilidade. Numerosas 
relações matemáticas, nos trabalhos práticos, serão melhor confirmadas por um 
conhecimento dos princípios geométricos nos quais elas se baseiam. 
 
ÂNGULO: Um ângulo é a abertura entre duas linhas que se encontram num ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(fig. 1) 
 
 
O ponto C, no qual as linhas se encontram, é chamado o vértice do ângulo. 
 
Quando uma linha reta encontra outra linha reta, fazendo ângulos adjacentes iguais, estas 
linhas são perpendiculares entre si. Os ângulos formados são ângulos retos (fig. 1 c). 
 
Um ângulo reto contém 90 partes iguais, cada uma delas denominadas um grau, donde 
dizemos que um ângulo reto contem 90º. 
 
Um ângulo agudo contém menos do que 90° (fig. 1 a). 
 
Um ângulo obtuso contém mais do que 90° e menos do que 180° (fig. 1 b). 
 
Medidas de ângulos – Os ângulos são medidos em graus, minutos e segundos. 
Cada grau e dividido em 60 partes iguais denominadas minutos e cada minuto é divido em 
60 partes iguais denominadas segundos. Na fig. 2, o ângulo ACB contém 40 graus, 25 
minutos e 37 segundos, que escrevemos assim: 40° 25’ 37’’. 
 
 
 
 
 
 
A 
1º C 
A 
B 
C 
D 
A 
B 
C 
90º 90º 
(a) (b) 
(c) 
(fig. 2) 
40° 25’ 37” 
c b 
a 
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 ADRIANO MANTOVANI 2 
 
 
SOMA DOS ÂNGULOS. SUBTRAÇÃO DOS ÂNGULOS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRIANGULO: Triângulo é uma figura plana limitada por três lados retos. Todo triangulo 
tem três ângulos cuja a soma é 180°; por conseguinte, se conhecermos os valores de dois 
ângulos quaisquer do triangulo, podemos achar o valor do terceiro ângulo. A fig. 3 nos 
mostra um triangulo com o valor de cada ângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A altura de um triângulo é a perpendicular baixada do vértice sobre a base. A base é o 
lado sobre qual o triângulo esta pousado. Como o triângulo pode ser colocado sobre 
qualquer de seus lados um triângulo tem três altura, tomando-se em consideração cada 
um de seus lados como base. 
 
Triângulo isósceles: - Um triângulo isósceles tem dois lados iguais (fig.4). No 
triângulo isósceles da fig.4 o lado AB = lado AC. Alem disso, num triângulo isósceles, 
o ângulo B é igual ao ângulo C. A altura baixada do vértice sobre o terceiro lado do 
triângulo isósceles, divide este lado e forma dois triângulos retângulos iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10º 25’ 50” 
15º 20’ 07” 
25º 45’ 57” 
25º 30’ 32” 
21º 45’ 35” 
47º 16’ 07” 
90º 
87º 35’ 
177º 35’ 
 75 
46 15 67 
47º 16’ 07” 
25º 30’ 32” 
21º 45’ 35” 
 
179 59 
180º 60 60 
 35º 25’ 59” 
144º 34’ 01” 
 
 
90º 
87º 35’ 
02º 25’ 
(fig.3) 
30° 53° 
97° 
h 
55° 55° 
h 
(fig.4) 
A 
C B 
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 ADRIANO MANTOVANI 3 
 
 
Triângulo retângulo: - Um triângulo retângulo tem um ângulo reto. A fig. 5 nos mostra 
um triângulo retângulo. O lado AC oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa do 
triângulo retângulo. O lado AB é a altura e o lado BC é a base do triângulo retângulo. 
Pela definição de altura dada, qualquer dos dois lados do ângulo reto pode ser a altura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O triângulo retângulo é um triângulo muito importante na pratica das oficinas e em 
projetos. Na fig. 5 o ângulo B é o ângulo reto igual a 90°. Como a soma dos três 
ângulos de um triângulo é igual a 180°, o ângulo A e o ângulo C são ângulos agudos 
cuja a soma é igual a 90°. 
 
Sendo dado o valor de um ângulo agudo de um triângulo retângulo podemos achar os 
valores de todos os ângulos deste triângulo. Se o valor de um ângulo agudo de um 
triângulo retângulo é igual a 40°, os valores dos outros ângulos serão 90° e 50°. 
 
Para acharmos a relação entre os três lados de um triângulo retângulo, empregamos o 
Teorema de Pitágoras, que é um dos teoremas mais citados em geometria. Este 
teorema menciona que o quadrado da hipotenusa é igual á soma dos quadrados 
dos outros dois lados (catetos). 
Na fig. 5a, estão construídos quadrados sobre a hipotenusa, altura e base do triângulo 
retângulo ABC. A hipotenusa tem 5 unidades, a base 4 e a altura 3 unidades. Donde, 
de acordo com o teorema de Pitágoras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(fig.5) 
90° 
al
tu
ra 
base 
hipotenusa 
C 
A 
B 
A² = B² + C ² 
B² = A² - C² 
C² = A² - B² 
 
A área da hipotenusa é igual 
a soma das áreas dos catetos. 
5 ² = 4 ² + 3 ² 
 
25 = 16 + 9 
 
 
 MATEMÁTICA PARA OFICINA 
 ADRIANO MANTOVANI 4 
 
 
 
 
Triângulo eqüilátero: - O triângulo eqüilátero tem três lados iguais e tres ângulos 
iguais. Como a soma dos três ângulos de um triângulo é igual a 180°, cada ângulo do 
triângulo eqüilátero é igual a 60°. As alturas baixadas de qualquer dos vértices de um 
triângulo eqüilátero, dividem este triângulo em dois triângulos retângulos iguais e, ao 
mesmo tempo, divide em partes iguais o lado sobre ao qual baixamos a altura. Na fig. 6, a 
altura AD separa o triângulo eqüilátero em dois triângulos retângulos iguais, CD é 
igual a DB e o ângulo CAB é dividido em dois ângulos iguais de 30° CAD e BAD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulo escaleno – Num triângulo escaleno, não há dois lados iguais e nenhum dos 
ângulos do triângulo é igual a 90°. 
 
A 
B 
C 
60° 60° 
30° 30° 
A 
C B 
D 
(fig.6) 
C 
A 
B 
(fig. 5a) 
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 ADRIANO MANTOVANI 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulos especiais – Há três triângulos retângulos especiais que merecem nossa 
atenção devido á sua grande aplicação na prática de oficinas e em projetos de 
engenharia. 
 
O primeiro é denominado triângulo 30° - 60° - 90° (fig. 8). No triângulo 30-60-90, o lado 
oposto ao ângulo de 30° é a metade da hipotenusa. Na fig. 8 a hipotenusa é 10 e o 
lado oposto do ângulo de 30° é 5. Devido a esta relação entre a hipotenusa e o lado 
oposto de 30°, podemos achar os outros lados do referido triângulo quando for dado o 
comprimento da hipotenusa ou o comprimento do lado oposto de 30°. 
Devemos notar que a altura de um triângulo eqüilátero divide este triângulo em dois 
triângulos de 30-60-90. 
Os esquadros dos desenhistas constituem um bom exemplo da aplicação prática do 
triângulo de 30-60-90. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O segundo triângulo especial é denominado triângulo 45° - 45° - 90°. A sua aplicação é 
tão importantequanto a do triângulo 30-60-90. Na fig.9 temos um triângulo 45° - 45° - 90°. 
Neste triângulo os dois lados do ângulo reto 90° são iguais. Na fig.9, o lado BC é igual 
ao AC e os ângulos agudos B e A são iguais a 45°. Podemos achar os lados deste 
triângulo, sendo dado um dos seus lados. Devemos notar que este triângulo também é 
isósceles, motivo pelo qual é, algumas vezes denominado triângulo retângulo isósceles. 
 
 
O terceiro triângulo especial é denominado triângulo reto 3-4-5. Isso significa que os 
três lados devem estar na razão de 3-4-5. por exemplo, 6-8-10 estão na razão 
indicada. Devemos notar que, elevando-se a base e a altura ao quadrado e somando-
se os resultados, obtemos o quadrado da hipotenusa. Assim, 3² + 4² = 5², o que é o 
mesmo que 9 + 16 = 25 
Escaleno: 
3 lados diferentes 
 
(fig.7) 
90° 
30° 
60° 
10 
5 
(fig.8) 
(fig.9) 
45° 
90° 45° 
5 
5 
B 
C A 
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 ADRIANO MANTOVANI 6 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Achar o valor do terceiro ângulo dos seguintes triângulos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Se um ângulo agudo de um triângulo retângulo vale 18°42’, quais são os 
valores dos outros ângulos? 
 
 Resp: 71° 18’ e 90° 
 
3. Achar o valor de cada ângulo marcado (?) no triângulo isósceles da fig. A. 
 
 
 Resp: 64° 
 
 
 
 
 
 
4. Achar a altura do triângulo isósceles da fig. B. 
 
R: H = 4 
 
 
 
 
 
 
 
5. Achar o comprimento da base do triângulo isósceles da fig. C. 
R: BASE É IGUAL 15,87450787 
 
6. Achar a altura de um triângulo eqüilátero cujos os lados iguais medem 10. 
105° 25°
 
32° 
55°20’ 
40° 35° 
 ? 
 ? 
 ? 
? ? 
 52° 
 
105° 50° 92°40’ 
 
 
 6 
5 5 (fig.B) 
(fig.A) 
 
 
 ? 
12 12 (fig.C) 
9 
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 ADRIANO MANTOVANI 7 
R: 8,660254038 
 
 
 
 
 
7. Achar a altura do triângulo eqüilátero da fig. D. 
 R: 5,196152423 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Na fig.E achar o comprimento da linha quebrada BC. 
 R: 10 
 
9. Qual o comprimento do lado C da fig. F. 
 R: 2,828427125 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE TALLES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Teorema de Tales, devido a 
Tales de Mileto, afirma que quando 
retas paralelas são cortadas por 
retas transversais, as medidas dos 
segmentos correspondentes 
determinados nas transversais são 
proporcionais. 
A = D =E = H 
B = C = F = G 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
r 
s 
s 
 r 
(fig.D) 
3 
? 
10 
5 
30° 
90° 
A B 
C 
(fig.E) 
45º 
90º 45º 
C 
2 
(fig.F) 
(fig.10) 
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 ADRIANO MANTOVANI 8 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
DESCUBRA O VALOR DE X 
 
A) 
 
 
 r A= 9x E + 6x = 180º 
 G= 6x 9x+6x = 180º 
 E= 9x 15x = 180º 
 s x= 180 x=12 
 15 
 
 
 
 
 
 
 
B) 
 
 125º X= 163º 
 +38º 
 163º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
9x 
E 
6x 
G 
142º 
125º 
X 
125º 
 
38º 
 
38º 
 
 MATEMÁTICA PARA OFICINA 
 ADRIANO MANTOVANI 9 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Ache o valor de X: 
 
 A) 
 
 
 
 
 
 
 
 
B) 
 
 
 
X 
 
 
 
 
 
 
C) 
 
 
Ø 40 30 
X 
X 
12 
20 
30 
7 
13 
18 
X² = 18² + 13² 
X² = 34 + 169 
X² = 493 
X = √493 
X = 22,2036 
15² + 20² = R² 
R² = 225 + 400 
R² = 625 
R = √ 625 
R = 25 
30 
40 
20 
15 
A² = B² + C² 
20² = 10² + C² 
C² = 20² - 10² 
C = √ 300 
C = 17,3205 
 
 
 
X = 17,32 . 2 
X = 34,641 
X = R . 2 
X = 25 . 2 
X = 50 
 
10 
20 
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D) 
 
 
 
 
 
 
 
 
E) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA PARA OFICINAS 
 
A trigonometria, neste capitulo, trata da resolução de triângulos retângulos e de 
triângulos quaisquer. A capacidade do estudante em aplicar a trigonometria nos 
problemas práticos de oficinas dependerá da sua perícia em achar os elementos do 
triângulo retângulo e do triângulo qualquer, quando estes forem encontrados em posições 
diversas. 
 
Funções trigonométricas – As funções trigonométricas são relações. Existem 6 
funções trigonométricas, denominadas: seno, coseno, tangente, secante, cosecante 
X 
3 
5 
X² = 5² + 3² 
X² = 25 + 9 
X² = 34 
X = √34 
X = 5,8309 
 
Ø 65 
50 
65 
X 
50 32,5 
B 
A² = B² + C² 
50² = B² + 32,5² 
B² = 50² - 32,5² 
B² = 2500 – 1056,25 
B = √ 14443,75 
B = 37,99 
 
 
 
X = 50 – 37,99 
X = 12,01 
A² = B² + C² 
35² = 20² + C² 
C² = 35² - 20² 
C² = 1225 - 400 
C = √ 825 
C = 28,72 
 
X = 28,72 x 2 
X = 57,44 
 
 
 
35 
20 
C 
X Ø 80 
50 
15 
 35 
 MATEMÁTICA PARA OFICINA 
 ADRIANO MANTOVANI 11 
e cotangente. As suas abreviaturas são: seno (sen), coseno (cos), tangente (tg), secante 
(sec), cosecante (cosec) e cotangente (cotg). 
 
Neste texto trataremos das funções trigonométricas seno, coseno e tangente, dos 
ângulos agudos. Na fig. 11, o triângulo retângulo ABC tem dois ângulos agudos A e C. A 
hipotenusa a é o lado oposto ao ângulo reto. A hipotenusa não é chamada um lado do 
triângulo retângulo para distingui-las dos dois lados b e c (algumas vezes denominados 
catetos). 
Na fig. 11, c é o lado oposto ao ângulo A, e b é o lado adjacente do ângulo agudo A. Se 
considerarmos o ângulo agudo C, o lado oposto é b e o lado adjacente é c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMETRICAS 
 
 
SEN = CO HIP = CO CO = SEN . HIP 
 HIP SEN 
 
COS = CA HIP = CA CA = COS . HIP 
 HIP COS 
 
TG = CO CA = CO CO = TG . CA 
 CA TG 
 
Estas funções trigonométricas devem ser decoradas,de modo que o estudante 
possa escrever qualquer função de um ângulo agudo, independente da posição do 
triângulo retângulo. 
 
 
TABELA DE RAZÕES TRIGONOMETRICAS 
 
Para fins de estudo, temos uma tabela das razões trigonométricas (seno, coseno e 
tangente) dos ângulos entre 0° a 90°, grau a grau, no final desta apostila. 
Sabemos que existem ângulos envolvendo frações do grau. entretanto para esses casos, 
existem atualmente, maquinas de calcular que fornecem os valores das razões 
trigonométricas com a precisão desejada. 
 
A 
(Hip) 
a 
(Ca) b 
(Co) 
 c 
(fig.11) 
B 
 MATEMÁTICA PARA OFICINA 
 ADRIANO MANTOVANI 12 
 
TRIÂNGULO RETANGULO E A TRIGONOMETRIA 
 
Acentuamos a importância do teorema de Pitágoras nas resoluções que envolvem os dois 
lados e a hipotenusa dos triângulos retângulos. A aplicação desse teorema, que afirma 
que o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a soma dos quadrados 
dos outros dois lados, não se refere aos ângulos do triângulo retângulo. 
 
 
 
 
A resolução dos triângulos retângulos, por meio da trigonometria, envolve os lados, a 
hipotenusa e os ângulos do triângulo retângulo. Todo triângulo retângulo tem dois ângulos 
agudos, um ângulo reto, dois lados e a hipotenusa. Sendo dado um dos ângulos agudos 
do triângulo retângulo, é possível acharmos o valor dos ângulos restantes, visto como a 
soma dos ângulos de qualquer triângulo é igual 180º e que o ângulo reto tem 90º. Sendo 
dado um dos ângulos agudos e um dos lados ou a hipotenusa, é possível achar os 
elementos restantes do triângulo retângulo pelo uso da trigonometria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução de triângulos retângulos (tipo I) – Os seguintes problemas ilustram a 
resolução de triângulos retângulos, quando são dados um ângulo agudo e um lado ou a 
hipotenusa. 
 
a) Achar os outros elementos do triângulo retângulo, sendo dados o ângulo C e o lado 
c (fig.12). 
 
ângulo A + ângulo B + ângulo C = 180° ---- ângulo B = 90° 
 
Então, ângulo A + ângulo C = 90° 
ângulo A = 90° - 41°10’ = 48°50’ 
 
 
sen C = c ou sen 41°10’ = 14 0,65825 = 14 b = 14 = 21,27 
 b b b 0,65825 
 
 
tg C = c ou tg 41°10’ = 14 0,87441 = 14 a = 14 = 16,01 
 a a a 0,87441 
Para acharmos os elementos de um 
triângulo retângulo pelo emprego 
da trigonometria, precisam ser 
dados dois elementos, um dos quais 
devem ser um dos lados ou a 
hipotenusa. 
a 
 b 
c=14 
 A 
 C 
 B 
 41º10´ 
(fig.12) 
 MATEMÁTICA PARA OFICINA 
 ADRIANO MANTOVANI 13 
 
 
A = 48°50’, B = 90°, C = 41°10’, c = 14, a = 16,01 e b = 21,27. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Achar os outros elementos do triângulo 
retângulo, sendo dados o ângulo A e a 
hipotenusa b (fig13). 
 
 
 
 
 
ângulo A + ângulo C + ângulo B = 180° ---- ângulo B = 90° 
 
Então, ângulo A + ângulo C = 90° 
ângulo C = 90° - 62°30’ = 27°30’ 
 
 
sen C = c ou sen 27°30’ = c 0,46175 = c c = 0,46175 x 30 = 13,853 
 b 30 30 
 
 
cos C = a ou cos 27°30’ = a 0,88701 = a a = 0,88701 x 30 = 26,61 
 b 30 30 
 
 
A = 62°30’, B = 90°, C = 27°30’, a = 26,61, b = 30 e c = 13,853 
 
 
c) Achar os outros elementos do triângulo retângulo, sendo dado o ângulo C e o lado a 
 (fig14). 
 
ângulo A + ângulo C + ângulo B = 180° ---- ângulo B = 90° 
 
Então, ângulo A + ângulo C = 90° 
ângulo A = 90° - 55°20’ = 34°40’ 
 
tg C = c ou tg 55°20’ = c - 1,446 = c c = 1,446 x 15 = 21,69 
 a 15 15 
 
 
a 
b = 30 
c 
 A 
 C 
 B 
 62º30’ 
(fig.13) 
 
b 
c 
 A 
 
55º20
´ 
(fig.14) 
 MATEMÁTICA PARA OFICINA 
 ADRIANO MANTOVANI 14 
cos C = a ou cos 55°20’ = 15 0,5688 = 15 b = 15 = 26,371 
 b b b 0,5688 
 
 
A= 34°40’, B= 90°, C= 55°20’, a= 15, b= 26,371 e c= 21,69 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução de triângulos retângulos (tipo II) – Os seguintes problemas ilustram a 
resolução de triângulos retângulos, quando são dados dois lados ou um lado e a 
hipotenusa. 
 
a) Achar A, C e c, sendo a hipotenusa igual a 12 a a igual 9 (fig. 15). 
 
Para acharmos os outros elementos de um triângulo retângulo, quando conhecemos dois 
lados deste procuramos achar primeiro um dos ângulos agudos. 
 
 
 cos C = a = 9 = 0,7500 C= 41°24,5’ 
 b 12 
 
 
ângulo A + ângulo C = 90° 
ângulo A = 90° - 41°24,5’ A = 48°35,5’ 
 
sen C = c ou sen 41°24,5’ = c - 
 b 12 
 
0,66142 = c c = 0,66142 x 12 = 7,937 
 12 
 
 
 
A= 48°35,5’, B= 90°, C= 41°24,5’, c= 7,937 
 
O lado c poderia ser obtido pelo teorema de Pitágoras assim: 
 
c² = b² - a² 
c² = 12² - 9² 
c² = 144 – 81 
c = √ 144 – 81 
c = √ 63 
c = 7,937 
 
 
a=9 
 b=12 
c 
 A 
 C 
 B 
 
(fig.15) 
 MATEMÁTICA PARA OFICINA 
 ADRIANO MANTOVANI 15 
Triângulo eqüilátero – A trigonometria pode ser usada, freqüentemente, com vantagem, 
na resolução do triângulo eqüilátero.Qualquer ângulo do triângulo eqüilátero é igual a 60° 
e a altura divide ao meio o ângulo do vértice e a base. 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 
Achar o comprimento de um lado 
o triângulo eqüilátero da fig.16 
sabendo-se que a altura A 
é igual a 10. 
 
 
 
 
 
Como o ângulo B = 60° e o triângulo ABD é um triângulo retângulo, temos: 
 
sen B = AD ou sen 60° = 10 
 AB AB 
 
0,86603 = 10 AB = 10 . = 11,55 
 AB ,86603 
 
Triângulo isósceles – Em qualquer triângulo isósceles, existem dois lados iguais e os 
ângulos opostos a êsses lados iguais, são iguais. Na fig. 17, AB é igual AC e o ângulo B é 
igual ao ângulo C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 
 
A 
B C 
D 
60° 60° 
(fig.16) 
A 
B C 
D 
 
A altura de um triângulo isósceles, 
baixada sobre o terceiro lado, divide 
este ao meio. Na fig17, BD é igual 
DC. A altura de um triângulo 
isósceles divide ao meio o lado 
sobre o qual ela é baixada somente 
quando este for o lado o lado 
desigual. A altura divide o triângulo 
isósceles em dois triângulos 
retângulos iguais. 
(fig.17) 
 MATEMÁTICA PARA OFICINA 
 ADRIANO MANTOVANI 16 
Achar a altura AD, sendo o ângulo B igual 42°30’ e AB, um dos lados iguais do triângulo 
isósceles, igual a 15,5. 
 
Sen B = AD ou sen 42°30’= AD . 
 AB 15,5 
 
,67559 = AD. AD = ,67559 x 15,5 = 10,472 
 15,5 
 
 
Espaçamento de furos em círculos – Os cálculos necessários para achar o 
espaçamento de furos em círculos envolvem a resolução de um triângulo retângulo. 
 
 
 
Na fig. 18, é necessário traçar 8 furos igualmente espaçados num circulo de 100mm de 
diâmetro. A distancia entre os centros de 2 furos consecutivos, medida pelo arco, será de 
45° e o ângulo central, compreendido pelo arco, será também igual a 45°, isto porque há 
8 furos igualmente espaçados no circulo. OC é traçado perpendicularmente à corda AB, 
de onde resulta ser AC igual CB e o ângulo AOB estar dividido ao meio, formando dois 
ângulos em O, de 22,5° cada um. 
 
Para acharmos o comprimento da corda AB, que é a distância entre os centros de dois 
furos consecutivos, ao longo de uma linha reta, multiplicamos o diâmetro pelo seno de 
uma metade do ângulo central compreendido. Sendo d o diâmetro do circulo, a a 
metade do ângulo compreendido, c o comprimento da corda, a formula empregada para o 
espaçamento de furos num circulo é: 
A 
B 
C 
a 
O ~ c 
d 
(fig.18) 
 MATEMÁTICA PARA OFICINA 
 ADRIANO MANTOVANI 17 
 
c = d . sen a 
 
c = 100 x sen 22° 30’ 
 
c = 100 x 0,38268 = 38,268mm 
 
 
 
 
TEOREMA DA TANGENTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCICIOS USANDO A TRIGONOMETRIA 
 
1.Achar o lado de um triângulo eqüilátero cuja a altura é de 15mm. 
 
 
 
 
 
 
 2) Achar o valor dos catetos B e C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3) Achar o valor do ca (B) e hip (A). 
40 
32º 
B 
C 
B= COS 32º . 40 
B= 0,848 . 40 
B= 33,92 
C= SEN 32º . 40 
C= 0,529 . 40 
C= 21,19 
B= 33,92 
C= 21,19 
A= 8 . 
 SEN 27º 
A= 8 . 
 0,4539 
B= 8 . 
 TG 27º 
B= 8 . 
 0,509 
hip = 15 . 
 Cos30º 
hip = 15 
 0,866 
hip = 17,321 
Uma reta que tangencia a 
circunferência traçando uma 
perpendicular do centro da 
circunferência até o ponto de 
tangência forma-se um ângulo 
de 90º 
 MATEMÁTICA PARA OFICINA 
 ADRIANO MANTOVANI 18 
 = 1 + 90º 
 = 34,2868 +90º 
 = 124,2868º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4) Achar o valor de X e dos ângulos a e a1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Achar os valores de A, B, C, D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Achar o valor de X. 
 
 
 
A 
27º 
B 
8 
A= 17,62 
B= 15,70 
X= 55-40 
X= 15 
TG 1 = 15 
 22 
TG 1= 0,681 
 TG 1 =34,2868 
45º 
15º 
Ø 80 
B 
A 
C 
D 
D = SEN 15º . 40 
D = 0,2588 . 40 
D = 10,352 
A = SEN 45º . 40 
A = 0,7071 . 40 
A = 28,2842 
B = COS 45º . 40 
B = 0,7071 . 40 
B = 28,2842 
C = COS 15º . 40 
C = 0,9659 . 40 
C = 38,6370 
Ø30 
53º 
x 
Tg 26,5 = 15 
 x 
x = 15 . 
 0,4985 
x =30,0853 
22 
55 
40 
X 
 1 
15 
22 
a1 
26,5 
15 
 MATEMÁTICA PARA OFICINA 
 ADRIANO MANTOVANI 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Achar o valor de X. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Achar o valor de X e Y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Achar o valor de x. 
 
 
 
 
 
Ø106 
48º 
Ø72 
50 
15 
x 
48º 
17 
b 
Tg 48º = 17 
 b 
b = 17 . 
 1.1106 
b = 15,307 
x = b +15 
x = 15,307 + 15 
x = 30,307 
90º - 18º = 72º 
90º - 72º = 18º 
CO = SEN 18º . 10 
CO = 0,309 . 10 
CO = 3,09 
CA = COS 18º . 10 
CA = 0951 . 10 
CA = 9,51 
18º 
10 
CO 
CA 
y = 9,51 . 2 
y = 19,02 
x = 58 – 10 – 6,91 
x = 41,09 
58 
Ø40 
18º 
R10 
10 
x 
Ø y 
6,91 
90 
x 25º 
45 
B 
B= 45 . 
 Tg 25º 
B= 45 . 
 0,4663 
B= 96,50 
25º 
30 
A 
Ø60 
30 
x 
1º 
2º 
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 ADRIANO MANTOVANI 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Achar o valor de X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Achar o valor de X. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50º 
96,5 
A= 30 . 
 SEN 25º 
A= 30 . 
 0,4226 
A= 70,98 
 
96,50 
70,98 
25,52 
 
X= 4,48 
30,00 
25,52 
4,48 
r15 
20 
35 
3º 
35 
co 
3º 
CO = TG 3° . 35 
CO= 0,052 . 35 
CO = 1,82 
 
1,82 . 2 = 3,64 
 
20 - 3,64 = 16,36 
 
16,36 / 2 = 8,18 
ca 
8,18 
15 
ca² = 15² - 8,18² 
ca² = 225 – 66,912 
ca² = 158,087 
ca = 12,573 
X = 35 + 12,573 + 15 
X = 62,573 
X 
20 
40º 
C 
B 
A = 20 - C 
A = 20 - 12,8557 
A = 7,1443 
 
D = 100 – (50 + B) 
D = 100 – (50 + 15.3208) 
D = 100 – 65,3208 
D = 34,6792 
E = 34,6792 
 TAN40º 
E = 34,6792 
 0.839 
E = 41.3339 
40º 
34.6792 
E 
20 
100 
50 
40º 
X 
A 
D 
10 
E 
C = SEN40º . 20 
C = 12,8557 
C = 12,8557 
 
B = COS40º . 20 
B = 15.3208 
 
1º 
2º 
3º 
3º 
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 ADRIANO MANTOVANI 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Achar o valor de R1 – R2 – R3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Achar o valor de X. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X = A + E + 10 
X = 7,1443+41,3339+10 
X = 58,4782 
10 
18 
14 
R1 
R2 R3 
10 – R3 + 18 – R3 = 14 
28 – 2R3 = 14 
-2R3 = 14 – 28 
-2R3 = -14 ¯¹ 
2R3 = 14 
R3 = 14 
 2 
R3 = 7 
R2 = 10 – R3 
R2 = 10 – 7 
R2 = 3 
 
R1 = 14 - R2 
R1 = 14 - 3 
R1 = 11 
45º 
15 
 B 
A = 21,2132 – 15 
A = 6,2132 
30 
X 
A 
B = 15 . 
 COS45° 
B = 15 . 
 0,7071 
B = 21,2132 X = A . 2 
X = 6,2132 . 2 
X = 12,4264 
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 ADRIANO MANTOVANI 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Na fig. abaixo há três furos distantes 120° um do outro. Calcular a distância dos 
centros de dois furos sendo o diâmetro do circulo dos furos 80mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Achar a distancia entre os centros dos dois furos ao longo de uma linha reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 
c= d . sen a 
c = 80 . sen 60° 
c = 80 . 0,866025 
c = 69,28203 
? 
R8 
30° 
c = d . sen a 
c = 16 . sen 15° 
c = 16 . 0,258819 
c = 4,141104 
c = R . 2 
c = 8 . 2 
c = 16 
 MATEMÁTICA PARA OFICINA 
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