Guia de Estudos Mecânica dos Sólidos 03

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Mecânica dos Sólidos
UNIDADE 3
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MECÂNICA DE SÓLIDOS
UNIDADE III
Para início de conversa
Olá estudante!
Espero que esteja preparado (a) para darmos continuidade ao nosso estudo. Conto com a sua dedicação 
em nossa jornada de estudos. Seu comprometimento é essencial para que você ao final das nossas uni-
dades tenha total domínio da nossa disciplina. 
orientações da disciPlina
Olá pessoal, nesta unidade convido você, caro (a) aluno (a), ao estudo de uma das grandezas mais impor-
tante desta disciplina: o momento de uma força. No decorrer desta unidade estenderemos o conceito de 
momento de uma força em relação a um ponto, que mede a tendência de rotação desta força, em relação 
a este ponto, para o momento de uma força em relação a um eixo.
Para uma boa compreensão dos conceitos desta unidade será imprescindível a compreensão dos vetores 
cartesianos no plano e no espaço, as operações de produto escalar (interno) e o produto vetorial e suas 
propriedades. Não deixe e ler o conteúdo de seu livro texto Você tem à sua disposição a nossa Biblioteca 
virtual para fazer pesquisas e buscar novas informações. Ao final da nossa III unidade acesse o ambiente 
e responda as atividades. Em caso de dúvida pergunte ao seu tutor.
Nesta III unidade vamos estudar os seguintes tópicos:
Ø	Momento de uma Força.
Ø	Princípio da Transmissibilidade
Ø	Membros de Duas Forças
Ø	Equilíbrio de um corpo rígido
Vamos lá!
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MoMento de UMa Força
A grandeza física momento de uma força mede a ten-
dência de rotação de um corpo extenso em relação a um 
ponto ou a um eixo. Sempre que aplicamos uma força em 
um determinado ponto de uma estrutura, esta força pode 
causar dois efeitos distintos sobre ela, uma de translação 
e outra de rotação, esta tendência de rotação será aferida 
pela grandeza momento.
Momento de uma Força (formulação vetorial)
A formulação vetorial para a solução de problemas de momento 
de uma força torna-se á mais simples para problemas espaciais, 
ou seja, em R3, muito embora a solução em R2 também será exe-
cutável.
 
dica
Daí a dica que segue é a seguinte, sempre que se tratar de problemas espaciais é 
conveniente utilizar a formulação vetorial, dada à dificuldade de resolver o problema 
de forma escalar, embora o formalismo.
 cuidado, aqui temos um produto vetorial.
Palavras do ProFessor
Caro (a) aluno (a), verifique que o momento , , é um vetor que possui o seu sentido dado pela regra da 
mão direita e sua direção dada por uma reta suporte perpendicular ao plano definido pelos vetores r e F.
Na definição acima r é um raio vetor que parte necessariamente do ponto no qual queremos calcular o 
momento até o ponto de aplicação da força, uma vez que r é um vetor, este sentido não pode ser invertido.
Da definição do produto vetorial, observamos que o vetor momento (Mo) é ortogonal simultaneamente ao 
vetor posição ( r ) e o vetor força ( F ).
Intensidade: 
Direção e sentido: Regra da mão direita
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PrincíPio da transMissiBilidade
Considere a força F aplicada no ponto A da figura ao lado. O momento criado por F em relação à O é: 
. Entretanto “r” pode se deslocar sobre a linha de ação de F. Logo, F pode ser aplicada no 
ponto B ou no C. Em outras palavras você pode calcular o momento da força em relação a qualquer ponto 
sobre a linha de ação da força.
Formulação vetorial cartesiana
rx, ry, rz: Representam os componentes x, y, z do vetor posição traçado do ponto O até qualquer ponto 
sobre a linha de ação da força;v
Fx, Fy, Fz: Representam os componentes x, y, z do vetor força.
Resolvendo o determinante:
Para a solução vetorial precisaremos expressar tanto o raio vetor r quanto a força na forma cartesiana, o 
raio vetor r é obtido através das coordenadas do ponto inicial e ponto final obtidos assim no problema.
A dificuldade maior seria expressar o vetor força na forma cartesiana, logo, recorremos ao conceito de 
versor uma vez que um vetor é dado por sua intensidade multiplicado pelo seu respectivo versor.
Momento resultante de um sistema de Forças
Se um corpo está sujeito à ação de um sistema de forças, o momento 
resultante das forças em relação ao ponto 0 pode ser determinado 
pela soma vetorial por meio de aplicações sucessivas da equação 
, ou seja:
4
Ou, onde, é um versor do vetor . = { - 40 i – 20 j + 40 k } N = 160 i – 120 j + 100 k = 0,3841 i – 0,5121 
j + 0,7682 k Princípios dos Momentos.
Também conhecido como teorema de Varignon: “O momento de uma força 
em relação a um ponto é igual à soma dos momentos dos componentes das 
forças em relação ao mesmo ponto.” 
exeMPlo
A força F é aplicada nos terminais de cada suporte em ângulo, como mostrado na figura abaixo. Determine 
o momento da força em relação ao ponto O. Calcule de forma escalar e de forma vetorial.
Forma escalar
O sinal negativo indica que a tendência de rotação da força F é de girar a estrutura em torno do ponto o 
é de sentido antihorário.
Forma Vetorial:
Raio vetor r.
r = { 0,4 i – 0,2 j } m
Escrevendo a força na forma vetorial.
F = { 400 sen ( 30 ) i – 400 cos ( 60 ) j } N = { 200 i – 346,4 j } N
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Palavras do ProFessor
Olá! Estamos a finalizar mais uma etapa desta nossa caminhadam e espero que tenha compreendido os 
conceitos aqui abordados, verdade que uma dúvida e outra sempre existirão, pois faz parte do processo 
de aprendizagem, mas há alguns pontos que devem ser reforçados, daí farei a seguir uma sintese deste 
capítulo.
A grandeza momento de uma força em relação a um ponto foi discutido aqui em dois aspectos, a for-
mulação escalar, onde a grandeza momento era calculada apenas a sua intensidade e acrescido de um 
sinal -/+ a fim caracterizar o seu sentido de rotação. Vejamos figura a seguir.
Considere o sólido abaixo.
 
Na forma escalar o momento é calculado da seguinte forma: , onde o sinal aqui será con-
vencionado da seguinte forma:
equilíbrio de um corpo rígido
No equilíbrio de um ponto material as equações de forças são suficientes para estabelecer o equilíbrio, 
mas quando tratamos de um corpo rígido estas equações passam a serem insuficientes, introduzindo 
assim mais uma equação nas condições de equilíbrio que são as equações de momento que estabelece 
o equilíbrio total tanto de translação quanto de rotação.
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corpo rígido
Aqui na Mecânica dos Sólidos consideraremos um corpo rígido aquele que quando solicitado por um 
determinado esforço não se deforma. Daí deve ficar claro pra você que esta hipótese na prática não 
ocorre, pois um corpo sempre se deformará quando solicitado a um determinado esforço, mas não muito 
obstante esta hipótese é razoável para os objetivos do nosso curso.
equações de equilíbrio
As duas primeiras equações estabelecem o equilíbrio de translação e a última o equilíbrio de rotação.
Segue abaixo uma tabela com os tipos de apoios ou vínculos e as reações solicitantes.
reações de apoio
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MeMBros de dUas Forças
As soluções para alguns problemas de equilíbrio podem ser simplificadas pelo reconhecimento dos 
membros que estão sujeitos a apenas duas forças.
Membros de duas forças: um membro de duas forças possui forças aplicadas em apenas dois de seus 
pontos.
Para satisfazer o equilíbrio as forças, FA e FB precisam ser iguais em intensidade, mas opostas em sen-
tindo. Além disso, o equilíbrio de momentos exige que FA e FB compartilhem a mesma linha de ação, o 
que só pode ocorrer se eles estiverem direcionados ao longo da linha unindo os ponto A e B.
GUarde essa ideia!
Em todo problema de equilíbrio de um corpo rígido o primeiro procedimento a tomar é 
construir o diagrama de corpo livre da estrutura em questão e este diagrama é cons-
truído indicando todas as forças (cargas) atuantes nas estruturas e suas respectivas 
reações de apoio, que estas dependem do tipo de vínculo que a estrutura possui.8
Palavras do ProFessor
Caro (a) aluno (a), é necessário você compreender e diferenciar as condições de equilíbrio de um ponto 
material, estudado no capítulo anterior e as condições de equilíbrio de um corpo rígido, pois as equa-
ções de força são suficientes para estabelecer o equilíbrio de um ponto material enquanto que para um 
corpo rígido, além das equações de forças incluem-se as equações de momento de uma força a fim de 
estabelecer as condições de equilíbrio. 
Sempre que um sólido sofre efeito de um carregamento este se deforma e dependendo da carga e da 
rigidez do material que constitui o sólido esta deformação pode ser visível ou não, pois a casos que 
estas deformações são mesmos microscópicas. Aqui na mecânica dos sólidos um corpo rígido é aquele 
que sofre efeito de uma carga sem que haja deformação, isto é tudo hipótese, pois na prática estas de-
formações sempre ocorrem, mas por serem pequenas, podem ser desprezadas.
exeMPlos
01) Determine os módulos das forças C e T, que juntamente com as outras três forças mostradas, atuam 
no nó de uma treliça de uma ponte.
solução:
Pela condição de equilíbrio temos:
 
Substituindo a equação II na equação I temos:
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A viga aB esta apoiada em a por um pino fixo (dobradiça) e neste caso solicita reação horizontal e ver-
tical e em B por um cabo solicitando reação na direção do cabo.
Construção do diagrama de corpo livre da viga aB.
 
O somatório dos momentos em relação ao ponto a é igual a zero.
Somatório das forças no eixo x igual a zero.
	
  
25o	
  
	
  
T	
  
0,25	
  m	
  
0,12	
  m	
  
A	
  
10
Somatório das forças no eixo y igual a zero.
Determine os componentes, horizontal e vertical, da reação para a viga carregada. Despreze o peso da 
viga
Solução
Em a temos um apoio simples ou rolete, solicitando apenas reação vertical e em B temos um pino ou 
dobradiça solicitando reação vertical e horizontal.
Na construção do diagrama de corpo livre indicaremos as cargas atuantes na viga aB e as reações nos 
apoios.
Em a temos um apoio do 1˚ gênero, logo este solicita apenas uma reação de apoio, pois trata-se de um 
rolete que solicita apenas reação vertical.
Em B temos um apoio de 2˚ gênero que solicita reação vertical e horizontal, uma vez que se trata de um 
pino fixo.
Construção do diagrama de corpo livre da viga aB.
	
  
45o	
  
By	
  
0,2	
  m	
  	
  
Bx	
  
Ay	
  
600	
  N	
  
200	
  N	
  
2	
  m	
   3	
  m	
   2	
  m	
  
B	
  A	
  
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dica
Para solução de equilíbrio de um corpo rígido comece com a equação de momento e 
pelo ponto que possui mais incógnita neste exercício pelo ponto B.
A corda mostrada abaixo suporta uma força de 100 lb apoiando-se numa polia sem atrito. Determine a 
força de tração na corda em c e nos componentes horizontal e vertical da reação no pino em a. 
Solução:
A haste mostrada na figura abaixo é conectada por um 
pino em A e sua extremidade B tem o movimento limitado 
pelo apoio liso em B. Calcule os componentes horizontal e 
vertical da reação no pino A.
Solução:
Para facilitar a compreensão a cerca da solução do exercício é conveniente construir um diagrama de 
corpo livre de forças da estrutura em questão. Isso é feito a seguir:
	
  
0,75	
  m	
   Ay	
  
300	
   NB	
  
Ax	
   90	
  N
.m	
  
A	
  
60	
  N	
  
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Uma vez que estrutura encontra-se em equilíbrio é fato que qualquer ponto dela também estará, daí co-
meçando pela equação de momento e escolhendo o ponto A , pois é aquele que possui mais incógnita, e 
aplicando as equações de equilíbrio sobre a estrutura temos:
A chave de boca mostrada na figura abaixo é utilizada para apertar o parafuso em a. Se a chave não 
gira quando a carga é aplicada ao seu cabo, determine o torque e o módulo da força da chave aplicada 
nos parafusos.
Solução
 
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Determine a intensidade da força no pino a e no cabo Bc necessária para sustentar a carga de 500 lb. 
Despreze o peso da haste aB.
 
 
 
 
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Palavras do ProFessor
Prezado (a) aluno (a) encerramos a nossa III unidade acredito que depois do estudo do conteúdo e os 
exemplos práticos dos exercícios você já assimilou os conteúdos estudados até o momento. Caso tenha 
alguma dúvida o que é normal, faça uma nova leitura de seu livro texto. Agora acesse o AVA e responda 
as atividades avaliativas surgindo alguma dificuldade não perca tempo pergunte ao seu tutor!
Bom estudo e até breve!