3-SistemasLineares-Resumo

Prévia do material em texto

Profs.:  Bruno Correia da Nóbrega Queiroz
José Eustáquio Rangel de Queiroz
Marcelo Alves de Barros
Resolução Numérica de
Sistemas Lineares – Parte I
Cálculo NuméricoCálculo Numérico
Módulo VMódulo V
2
Sistemas Lineares
 Forma Geral
onde:
aaijij  coeficientes
xxii  incógnitas
nnnn22n11n
2nn2222121
1nn1212111
bxa...xaxa
bxa...xaxa
bxa...xaxa
=+++
=+++
=+++

3
 Exemplo 01
2, 4, ­5, 4, 1, ­5, 2, 4 e 5  coeficientes
x1, x2 e x3   incógnitas
Sistemas Lineares
1x5x4x2
2x5x1x4
5x5x4x2
321
321
321
−=++
=−+
=−+
4
Sistemas Lineares
 Forma Matricial
onde:
4
Ax = bAx = b










=
nn3n2n1n
n22221
n11211
aaaa
aaa
aaa
A











=
n
2
1
b
b
b
b
 







=
n
2
1
x
x
x
x

5
Sistemas Lineares
1x5x4x2
2x5x1x4
5x5x4x2
321
321
321
−=++
=−+
=−+
5
 Exemplo 02
Forma Geral
Forma Matricial




−
=







−
−
1
2
5
x
x
x
.
542
514
542
3
2
1
6
Sistemas Lineares
 Classificação I
 ImpossívelImpossível   NãoNão possui solução
 Exemplo 03
6



=+
=+
9x2x2
3xx
21
21
7
Sistemas Lineares
 Classificação II
 PossívelPossível   Possui 1 ou mais soluções
 DeterminadoDeterminado    Solução únicaúnica
 Exemplo 04



=−
=+
8xx
4xx
21
21
8
 Classificação III
 PossívelPossível   Possui 1 ou mais soluções
 IndeterminadoIndeterminado  Mais de umaMais de uma solução
 Exemplo 05
Sistemas Lineares



=+
=+
8x2x2
4xx
21
21
9
Sistemas Lineares
 Classificação IV
 PossívelPossível   Possui 1 ou mais soluções
 HomogêneoHomogêneo    Vetor  b=0b=0  (x=0  sempre 
existe solução)
 Exemplo 06



=+
=+
0x3x2
0xx
21
21
10
Sistemas Lineares










=
nn3n2n1n
333231
2221
11
aaaa
0aaa
00aa
000a
A





 Sistemas Triangulares:
Possibilidade  de  resolução  de  forma 
RetroativaRetroativa
 InferiorInferior
11
Sistemas Lineares










=
nn
n333
n22322
n1131211
a000
aa00
aaa0
aaaa
A





 Sistemas Triangulares:
Possibilidade  de  resolução  de  forma 
RetroativaRetroativa
 SuperiorSuperior
12
Solução Retroativa
 Exemplo 7:
Dado o sistema:
Primeiro passo para sua resolução:
2x2
3x5x4
1x2xx
10xx5x4x3
4
43
432
4321
=
=−
−=−+
−=+−+
1
2
2x4 ==
13
Solução Retroativa
 Exemplo 7:
Segundo passo:
Terceiro passo:
2x
315x4
3x5x4
3
3
43
=
=⋅−
=−
1x
1122x
1x2xx
2
2
432
−=
−=⋅−+
−=−+
14
Solução Retroativa
 Exemplo 7:
Último passo:
1x
10125)1(4x3
10xx5x4x3
1
1
4321
=
−=+⋅−−⋅+
−=+−+
15
Métodos Numéricos
 DiretosDiretos
 Solução  pode  ser  encontrada  através  de  um 
número finito de passos
 Método de GaussMétodo de Gauss
 Método da Eliminação de JordanMétodo da Eliminação de Jordan
 Fatoração LUFatoração LU
16
Métodos Numéricos
 IterativosIterativos
 Solução  a  partir  de  uma  seqüência  de seqüência  de 
aproximações aproximações para o valor do vetor solução  xx   , 
até  que  seja  obtido  um  valor  que  satisfaça  à 
precisão pré­estabelecida
 Método de JacobiMétodo de Jacobi
 Método de Gauss – SiedelMétodo de Gauss – Siedel
17
Método de Gauss
 Propósito
 Transformação do sistema linear a ser resolvido 
em um sistema linear triangularsistema linear triangular;
 Resolução do sistema linear triangular de forma 
retroativaretroativa
18
Método de Gauss
 Transformação do Sistema Linear
 Troca da ordem das linhas;
 Multiplicação de uma das equações por um 
número real não nulo;
 Substituição  de  uma  das  equações  por 
uma  combinação  linear  dela  mesma  com 
outra equação.
19
Método de Gauss
 Passos do Método de Gauss
Construção da matriz aumentada AbAb
19
[ ]








=
nnn3n2n1n
2n22221
1n11211
baaaa
baaa
baaa
Ab



20
Método de Gauss
 Passos do Método de Gauss
Passo 1:
 Eliminar os coeficientes de xEliminar os coeficientes de x11  presentes nas 
linhas 2,3,...,n ­ sendo a21 = a31, = ... = an1 = 0 ­ 
sendo aa1111  chamado de pivô da colunapivô da coluna
 Substituir  a  linha  2,  LL22,  pela  combinação 
linear
11
21
211212 a
am:onde,LmL =⋅−
21
Método de Gauss
11
31
3113133 a
am:onde,LmLL =⋅−=
 Passos do Métdo de Gauss
Substituir  a  linha  3,  L3,  pela  combinação 
linear:
22
Método de Gauss
 Passos do Método de Gauss
Deve­se continuar a substituição até a linha 
n;
Caso  algum  elemento  app=0,  achar  outra 
linha  k  onde  akp≠  0  e  trocar  tais  linhas. 
Caso  a  linha  k  não  exista,  o  sistema 
linear não possui solução.
23
Método de Gauss
 Passos do Método de Gauss
Eliminar os coeficientes de x2  nas  linhas 3, 
4, ..., n (fazer a32=a42=...=an2 = 0);
Eliminar os coeficientes de x3  nas  linhas 4, 
5,  ...,  n  (fazer  a43=a53=...=an3  =  0)  e  assim 
sucessivamente.
24
Método de Gauss
 Exemplo 8:
Resolver o sistema:
 Matriz aumentada Ab
1xx3x2
3x3x4x4
5xx3x2
321
321
321
−=+−
=−+
=−+
[ ] 



−−
−
−
=
1132
3344
5132
Ab
25
Método de Gauss
 Exemplo 8:
Faz­se:
Assim:
2
a
am,LmLL
11
21
2112122 ==⋅−=
[ ] [ ][ ]7120L 513223344L22 −−−=
−⋅−−=
26
Método de Gauss
 Exemplo 8:
Faz­se:
Assim:
1
a
am,LmLL
11
31
2313133 ==⋅−=
[ ] [ ]
[ ]6260L
513211132L
3
3
−−=
−⋅−−−=
27
Método de Gauss
 Exemplo 8:
Obtém­se a matriz:
[ ] 



−−
−−−
−
=
6260
7120
5132
Ab
28
Método de Gauss
 Exemplo 8:
Substituindo a linha 3 por:                     
Têm­se:
3
a
am,LmLL
22
32
3213233 ==⋅−=
[ ] [ ]
[ ]15500L
712037260L
3
3
=
−−−⋅−−−=
29
Método de Gauss
 Exemplo 8:
A matriz  [Ab]  fica  assim com os  seguintes 
valores:
[ ] 



−−−
−
=
15500
7120
5132
Ab
30
Método de Gauss
 Exemplo 8:
Usa­se a solução retroativa:



=⇒=⇒=−+⇒=−⋅+
=⇒=−−⇒−=−−
=⇒=
2x2x2536x25xx3x2
2x73x27xx2
3x15x5
111321
2232
33
31
Método de Gauss
 Exemplo 9:
 Resolver o sistema. 
 Representando  o  sistema  pela  matriz 
aumentada:
38x14x2x22
134x3x110x27
57x52x4x
321
321
321
=++
=−+
=++




−=
3814222
134311027
575241
]AB[
32
Método de Gauss
 Exemplo 9:
Escolhendo  a  primeira  linha  como  pivô, 
obtém­se:
[ ] [ ]
[ ]
[ ] ( ) [ ]
[ ]12101130860L
5752411/223814222LmLL
1410140020L
575241)1/27(134311027LmLL
3
13133
2
12122
−−−=
⋅−=⋅−=
−−=
⋅−−=⋅−=
33
Método de Gauss
 Exemplo 9:
Representando  o  sistema  pela  matriz 
aumentada:




−−−
−−=
12101130860
1410140020
575241
]AB[
34
 Exemplo 9:
Escolhendo  agora  a  segunda  linha  como 
pivô, têm­se:
Obtêm­se a seguinte matriz ampliada:
Método de Gauss
[ ] ( ) [ ]
[ ]618006130000L
14101400202/8612101130860LmLL
3
13133
−−=
−−⋅−−−−−=⋅−=




−−
−−=
618006130000
1410140020
575241
]AB[
35
Método de Gauss
 Exemplo 9:
 O que termina com a triangulação:


×−=⋅×−⋅+⋅
×−=⋅×−⋅+⋅
=⋅+⋅+
4
3
4
21
3
3
3
21
321
106.18x106.13x0x0
1014.1x10 40.1x2x0
57x52x4x
36
Método de Gauss
 Exemplo 9:
Com solução:
Um pouco diferente da solução exata:
 XX11=1,X=1,X22=1 e X=1 e X33=1=1
x3 = ­61800/(­61300)=1.01
x2 =[ ­1410 – (­1400)⋅1.01]/2 = 0.0
x1 = [57 ­ 52⋅1.01 ­4⋅0.0]/1 = 4.5
37
Método do Pivoteamento Parcial
 Semelhante ao método de Gauss;
 Minimiza  a  amplificação  de  erros  de 
arredondamento durante as eliminações;
 Consiste em escolher o elemento de maior 
módulo em cada coluna para ser o pivô.
38
Método do Pivoteamento Parcial
 Exemplo 10:
 Resolver  o  sistema  com  precisão  de  3 
casas decimais



=⋅+⋅+⋅
=⋅−⋅+⋅
=⋅+⋅+
38x14x2x22
134x3x110x27
57x52x4x     
321
321
321
39
Método do Pivoteamento Parcial
 Exemplo 10:
Matriz  aumentada  original  deve  ser 
ajustada:




−
3814222
134311027
575241



 −
3814222
575241
134311027
40
Método do Pivoteamento Parcial
 Exemplo 10:
Sistema inalterado, elemento pivô 2727.
Encontrar as novas linhas:
]715.166.870[L
]134311027[)27/22(]3814222[LmLL
]521.5207.00[L
]134311027[)27/1(]575241[LmLL
3
13133
2
12122
−−=
−⋅−=⋅−=
−=
−⋅−=⋅−=
41
Método do Pivoteamento Parcial
 Exemplo 10:
A matriz ampliada fica da forma:
 Usando o elemento ­87.6­87.6 como pivô, tem­se:




−−
−
−
715.166.870
521.5207.00
134311027




−
−−
−
521.5207.00
715.166.870
134311027
]56.5208.5200[L
]715.166.870[)6.87/07.0(]521.5207.00[LmLL
3
23233
=
−−⋅−−=⋅−=
42
Método do Pivoteamento Parcial
 Exemplo 10:
A matriz ampliada fica na forma:








−−
−
56.5208.5200
715.166.870
134311027
43
Método do Pivoteamento Parcial
 Exemplo 10:
A  solução  do  sistema  triangular  que 
resultou dessas operações é:
Solução muito próximamuito próxima da exata.
x3 = 52.08/52.56 = 0.991
x2 = [­71­16.5⋅0,991]/(­87.6) = 0.997
x1 = [134 – (­3)⋅0,991 – 110⋅0.997]/27 = 1.011
44
Método de Jordan
 Consiste  em  efetuar  operações  sobre  as 
equações  do  sistema,  com  a  finalidade  de 
obter um sistema diagonal equivalente;
 Um  sistema  diagonal  é  aquele  em  que  os 
elementos  aaijij  da  matriz  coeficiente  [A]  são 
iguais a zero, para ii≠j≠j,
     i, j = 1,2,...,n.
45
Método de Jordan
 Sistema diagonal equivalente:










=
nn
n333
n222
n111
a000
aa00
a0a0
a00a
]A[





46
Método de Jordan
 Exemplo 11:
A partir do sistema:
Com matriz aumentada:
4x2x3x2
2x3x2x5
1xx5x
321
321
321
=++
=++
=++
[ ] 



=



=
4232
1151
1325
4232
2325
1151
Ab
47
Método de Jordan
 Exemplo 11:
Substituindo a linha 2 por:
Substituindo a linha 3 por :
[ ] [ ]
[ ]8.04.06.40L
2.05/1
a
am,1325)5/1(1151LmLL
2
11
212112122
=
===⋅−=⋅−=
[ ] [ ]
[ ]6.38.02.20L
4.05/2
a
am,1325)5/2(4232LmLL
3
11
31
3113133
=
===⋅−=⋅−=
48
Método de Jordan
 Exemplo 11:
A matriz ampliada resulta em:
Substituindo a linha 3 por:
[ ] 



=
6.38.02.20
8.04.06.40
1325
Ab
[ ] [ ]
[ ]217.3609.000L
478.06.4/2.2
a
am,8.04.06.40)6.4/2.2(6.38.02.20LmLL
3
22
32
3223233
=
===⋅−=⋅−=
49
Método de Jordan
 Exemplo 11:
A matriz ampliada resulta em:
Substituindo a linha 2 por
[ ] 



=
478.0609.000
8.04.06.40
1325
Ab
[ ] [ ]
[ ]3141.106.40L
217.3609.000)609.0/4.0(8.04.06.40LmLL
2
32322
−=
⋅−=⋅−=
50
Método de Jordan
 Exemplo 11:
Matriz ampliada resulta em:
Substituindo a linha 1 por
[ ] 



−=
478.0609.000
314.106.40
1325
Ab
[ ] [ ]
[ ]5714.1305L
6.4/2
a
am,314.106.40)6.4/2(1325L
1
22
12
121
=
==−⋅−=
51
Método de Jordan
 Exemplo 11:
Substituindo a linha 1 por:
A matriz ampliada fica da seguinte forma:
[ ] [ ]
[ ]277.14005L
609.0/3
a
am,478.0609.000)609.0/3(5714.1305L
1
33
13
131
−=
==⋅−=
[ ] 



−
−
=
478.0609.000
314.106.40
277.14005
Ab
52
Método de Jordan
 Exemplo 11:
E as soluções são:
   x1 =0.78 , x2= ­0.28, x3=­2.85x1 =0.78 , x2= ­0.28, x3=­2.85
53
Decomposição em LU
 O  objetivo  é  fatorar  a  matriz  dos 
coeficientes  AA  em  um  produto  de  duas 
matrizes LL e UU.
Seja:
[ ]










⋅










=
nn
n333
n22322
n1131211
nn3n2n1n
3231
21
u000
uu00
uuu0
uuuu
mmmm
0
01mm
001m
0001
LU










54
Decomposição em LU
 E a matriz coeficiente A:
Têm­se:








=
nn3n2n1n
n22221
n11211
aaaa
aaa
aaa
A



[ ]










⋅










==








=
nn
n333
n22322
n1131211
nn3n2n1n
3231
21
nn3n2n1n
n22221
n11211
u000
uu00
uuu0
uuuu
mmmm
0
01mm
001m
0001
]LU[
aaaa
aaa
aaa
A













55
Decomposição em LU
 Para se obter os elementos da matriz LL e da 
matriz UU, deve­se calcular os elementos das 
linhas de UU e os elementos da colunas de LL
como segue.
56
Decomposição em LU
 1ª linha de U: Faze­se o produtoproduto da 1ª 1ª linha 
de  LL  por  todas  todas  as  colunas de  U  U  e  a  iguala 
com  todos  os  elementos  da  1ª1ª  linha  de  AA, 
assim:



==
=⇒=⋅
=⇒=⋅
=⇒=⋅
.n,...,2,1j,au
,auau1
,auau1
,auau1
j1j1
n1n1n1n1
12121212
11111111

57
Decomposição em LU
 1ª  coluna  de  L:  Faz­se  o  produto  de  todas 
as  linhas  de  L,  (da  2ª  2ª  a  até  a  nª nª),),   pela  1ª 
coluna de U e a iguala com os elementos da 
1ª  coluna  de  A,  (abaixo  da  diagonal abaixo  da  diagonal 
principalprincipal), obtendo ,









==
=⇒=⋅
=⇒=⋅
=⇒=⋅
.n,...,2,1l,
u
am
,
u
amaum
,
u
amaum
,
u
amaum
11
1l1l
11
1l
1l1l111l
11
31
31311131
11
2121211121

58
Decomposição em LU
 2ª  linha de U: Faz­se o produto da 2ª  linha 
de L por todas as colunas de U, (da 2ª  2ª até a
nªnª),  e  igualando  com  os  elementos  da  2ª 
linha  de  A,  (da  diagonal  principal  em da  diagonal  principal  em 
diantediante), obtêm­se ,



=⋅−=
⋅−=⇒=+⋅
⋅−=⇒=+⋅
⋅−=⇒=+⋅
.n,...,3j,umau
,umauauum
,umauauum
,umauauum
j121j2j2
n121n2n2n2n2n121
1321232323231321
1221222222221221

59
Decomposição em LU
 2ª  coluna  de  L:  Faz­se  o  produto  de  todas 
as linhas de L (da 3ª  3ª até a nª nª) pela 2ª coluna 
de  U  e  a  iguala  com  os  elementos  da  2ª 
coluna de A, (abaixo da diagonal principalabaixo da diagonal principal), 
obtendo ,









=
⋅−
=
⋅−
=⇒=⋅+⋅
⋅−
=⇒=⋅+⋅
⋅−
=⇒=⋅+⋅
.n,...,3l,
u
umam
,
u
umamaumum
,
u
umamaumum
,
u
umamaumum
22
121l2l
2l
22
121l2l
2l2l222l121l
22
124142
424222421241
22
123132
323222321231

60
Decomposição em LU
 Temos a seguinte fórmula geral:



>⋅−=
≤⋅−=
∑
∑
−
=
.jl,u/)uma(m
,jl,umau
jjkjlkljlj
1l
1k
kjlkljlj
61
Decomposição em LU
 Resumo de Passos:
Seja um sistema Ax = bAx = b  de ordem n, ondeA 
satisfaz as condições da fatoração LU.
Então,  o  sistema  Ax  =  bAx  =  b  pode  ser  escrito 
como:
 Lux = bLux = b
62
Decomposição em LU
 Resumo dos Passos:
Fazendo  Ux = yUx = y, a equação acima reduz­se 
a Ly = bLy = b.
Resolvendo o sistema triangular inferior  Ly Ly 
= b= b, obtém­se o vetor yy.
63
Decomposição em LU
 Resumo dos Passos:
 Substituição do valor de yy no sistema    Ux Ux 
=  y=  y  ⇒  Obtenção de um sistema  triangular 
superior  cuja  solução  é  o  vetor  xx
procurado;
 Aplicação da fatoração LU na resolução de 
sistemas  lineares  ⇒  Necessidade  de 
solução de dois sistemas triangulares
64
Erros ­ Avaliação de Erros
 No sistema AA⋅⋅x = bx = b , onde:
o erro da soluçãoerro da solução  é  x – x’x – x’  .








=








=








=
n
2
1
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
b
b
b
]b[
a
a
a
]x[
aaa
aaa
aaa
]A[





65
Procedimento de Determinação do Erro
 Determinar:
 AA⋅⋅x’ = b’x’ = b’  
Erros ­ Avaliação de Erros
66
Erros – Resíduo 
Procedimento de Determinação do Erro
 Fazer:
  Resíduo Resíduo = b – b’ 
Resíduo =Resíduo = b – b’ = A⋅x ­ A⋅x’ = A⋅(x – x’) = AA⋅⋅erroerro  
67
Erros – Resíduo 
 Verifica­se que:
O  resíduo  nãonão  é  o  erro,  apenasapenas  uma 
estimativa do mesmo;
Quanto  menormenor  for  o  resíduo,  menormenor  será  o 
erro.
68
 Exemplo 12:
Refinar a solução do sistema:
Cuja  solução  encontrada  através  pelo 
método  de  Gauss,  utilizando  a  solução 
retroativa é:



−=+−−
−=+−−
−=−+−
=+++
3,106x5,21x2,13x0,81x0,21
8,80x4,11x5,23x8,8x3,53
7,49x1,45x5,11x8,8x5,24
4,16x0,11x3,9x0,3x7,8
4321
4321
4321
4321
]´00,197,098,197,0[x )0( −=
Erros – Resíduo 
69
 Exemplo 12:
O resíduo calculado é:
Vê­se  pelo  resíduo  que  a  precisão 
alcançada não foi satisfatória.
O vetor xx(0)(0) é chamado de vetor soluçãovetor solução.








−
=−=
594,0
594,0
214,0
042,0
Axbr )0()0(
Erros – Resíduo 
70
 Exemplo 12:
Com  o  intuito  de  melhorar  a  solução, 
considera­se um novo vetor xx(1)(1) chamado de 
vetor solução melhoradovetor solução melhorado.
Erros – Resíduo 
71
 Exemplo 12:
De  forma  que  :  xx(1)  = (1)  =  xx(1)  + (1)  +  δδ(0)(0),  onde δ(0)  é  o 
vetor de correçãovetor de correção. Assim: 
)0()0(
)0()0(
)0()0(
)0()0(
)1(
rA
AxbA
bAAx
b)x(A
bAx
=δ
−=δ
=δ+
=δ+
=
Erros – Resíduo 
72
 Exemplo 12:
Calcular o vetor de correção:








−
=








δ
δ
δ
δ








−−
−−
−−
594,0
594,0
214,0
042,0
5,212,130,810,21
4,115,238,83,53
1,455,118,85,24
0,113,90,37,8
4
3
2
1
Erros – Resíduo 
73
 Exemplo 12:
A solução é:








−
=δ
0000,0
0294,0
0195,0
0295,0
)0(
Erros – Resíduo 
74
 Exemplo 12:
Desta forma, a solução melhorada será:








−
=δ+=
0000,1
9999,0
0000,2
0000,1
xx )0()0()1(
Erros – Resíduo 
75
 Exemplo 12:
Cujo novo resíduo é:








−
−
=−=
013,0
024,0
011,0
009,0
Axbr )1()1(
Erros – Resíduo 
76
 Exemplo 12:
Utilizando  o  mesmo  procedimento,  têm­se 
que:
xx(2)(2)=x=x(1)(1)++δδ(1)(1)
Assim, o vetor correção, calculado por     A A 
δδ(1)(1)=r=r(1)(1), é:








−
−
−
=δ
0000,0
0007,0
0002,0
0002,0
)1(
Erros – Resíduo 
77
 Exemplo 12:
Acha­se assim uma solução melhorada:








−
=
0000,1
0000,1
0000,2
0000,1
x )2(
Erros – Resíduo 
78
 Exemplo 12:
Que possui resíduo:








=
0
0
0
0
r )2(
Erros – Resíduo 
79
Sistemas Lineares ­ Bibliografia
 Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Cálculo Cálculo 
Numérico:  Aspectos  teóricos  e  computacionaisNumérico:  Aspectos  teóricos  e  computacionais. . 
MAKRON Books, 1996, 2MAKRON Books, 1996, 2ªª ed. ed.  
 Asano,  C.  H.  &  Colli,  E. Asano,  C.  H.  &  Colli,  E.  Cálculo  Numérico: Cálculo  Numérico: 
Fundamentos  e  AplicaçõesFundamentos  e  Aplicações.  Departamento  de .  Departamento  de 
Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.
 Sanches,  I.  J.  &  Furlan,  D.  C. Sanches,  I.  J.  &  Furlan,  D.  C.  Métodos  NuméricosMétodos  Numéricos. . 
DI/UFPR, 2006.DI/UFPR, 2006.
 Paulino,  C.  D.  &  Soares,  C.  Erros  e  Propagação  de Paulino,  C.  D.  &  Soares,  C.  Erros  e  Propagação  de 
Erros, Erros,  Notas  de  aulaNotas  de  aula,  SE/  DM/  IST  [Online] ,  SE/  DM/  IST  [Online] 
http://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semestre_1_20http://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semestre_1_20
04­2005/PE_erros.pdf04­2005/PE_erros.pdf  [Último acesso 07 de Junho de  [Último acesso 07 de Junho de 
2007].2007].