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Cálculo Diferencial e Integral III Prof(a): Ana Lucia de Sousa Aula 9 Objetivos 2 Definir da Transformada de Laplace Conhecer a Tabela Encontrar a Transformada Inversa Resolver Problema de Valor Inicial 3 TRANSFORMADA DE LAPLACE Eq. diferencial Linear Equação algébrica Solução da eq. algébrica Solução da eq. diferencial Linear L L-1 4 Definição: Seja f(t) uma função definida para todos os valores positivos de t e s um parâmetro real positivo. A transformada de Laplace da função f(t) é denotada e definida por: 5 A função F(s) é chamada de a Transformada de Laplace da função original f(t). Ela é representada por L[f(t)] ou L {f(t)}. A função f(t) é chamada de a transformada inversa de F(s) é será representada por L-1(F) → f(t) = L-1 {F(s)}. 6 Veja que calcular a transformada de uma função f(t) significa resolver uma integral imprópria da função f(t) multiplicada por uma exponencial. 7 Exemplo usando a definição Determine a Transformada de Laplace da função f(t)=1. 8 Agora vamos calcular o limite Cálculo da integral: 9 Cálculo do limite: 0 10 Tabela com algumas transformadas importantes 11 Como calcular a Transformada de Laplace utilizando a tabela? 1. Determine a Transformada de Laplace da função f(t) = 4t2 + 5t – 8. L {f(t)} = L{4t2} + L{5t} – L{8} L {f(t)} = L{4t2} + 5L{t} – L{8} 12 F(s) = L {f(t)} = L{4t2} + 5L{t} – L{8} 13 2. Determine a Transformada de Laplace da função f(t) = 5cos2t + sen3t/4. L {f(t)} = 5L{cos2t} + 1/4L{sen3t} 14 3. Determine a Transformada de Laplace da função 15 16 TRANSFORMADA INVERSA Veja! Já sabemos determinar a Transformada de Laplace de uma função, isto é, transformar uma função f(t) em outra função F(s). Agora vamos determinar a transformada inversa. 17 Vamos determinar a transformada inversa do seguinte modo: Dada a função F(s) encontraremos uma função f(t) tal que a Transformada de Laplace seja a função F(s). 18 Como calcular a Transformada inversa? Notação: L-1 [F(s)] = f(t) Determine a Transformada inversa da função Vamos olhar na tabela a seguinte função: 19 20 PROBLEMA DE VALOR INICIAL Seja a equação diferencial ay”(t) + by’(t) + cy(t) = f(t). Considere y(0) = α e y`(0) = β. Precisamos da Transformada da derivada para determinarmos a transformada da equação diferencial. 21 TRANSFORMADA DA DERIVADA Definição: L[f`(t)] = s.L[f(t)] – f(0) L[f”(t)] = s2.L[f(t)] – s.f(0) – f`(0) 22 Vejamos um exemplo Resolver a equação diferencial através de Laplace. 23 Isolar na equação Y(s) 24 25 Agora vamos determinar a transformada inversa da função Y(s). 26 27 Fundamentos de Análise Prof(a): Ana Lucia de Sousa Atividade 29 Determine a Transformada inversa da função Vamos usar o método das funções racionais por frações parciais! 30 31