aula_14 Inequações lineares e quadraticas

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Inequac¸o˜es Lineares e Quadra´ticas
MO´DULO 2 - AULA 14
Aula 14 – Inequac¸o˜es Lineares e Quadra´ticas
Depois de estudar esta aula, voceˆ podera´
• Encontrar os subconjuntos do plano que representam soluc¸o˜es de uma
ou mais inequac¸o˜es.
• Resolver e representar geometricamente a soluc¸a˜o de sistemas de equa-
c¸o˜es lineares e quadra´ticas.
Nas aulas anteriores exploramos a ligac¸a˜o entre geometria e a´lgebra
atrave´s das equac¸o˜es lineares e quadra´ticas. Assim retas foram expressas em
termos de equac¸o˜es lineares, para´bolas, c´ırculos, elipses e hipe´rboles expressas
em termos de equac¸o˜es quadra´ticas.
Nesta aula vamos expandir os resultados estudados com o objetivo de
representar no plano conjuntos determinados como soluc¸o˜es de equac¸o˜es e
inequac¸o˜es quadra´ticas.
Inequac¸o˜es Lineares: Semi-planos
Considere uma reta r cuja equac¸a˜o e´ ax+ by + cz = 0. A reta r divide
o plano em dois semi-planos H1 e H2, veja a Figura 14.1.
r
H
2
H
1
Fig. 14.1: Semi-planos H1 e H2 determinados por uma reta
Tecnicamente, dizemos que a reta r provoca uma partic¸a˜o do plano em
dois semi-planos H1 e H2 tais que valem as propriedades:
H1 ∩H2 = ∅ e H1 ∪H2 = R2.
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Observe que os semi-planos H1 e H2 definidos atrave´s da reta r na˜o
conte´m a reta r como um subconjunto. Em topologia estes semi-planos
seriam ditos abertos. Tambe´m e´ u´til considerar os semi-planos fechados, H1
e H2, tais que
H1 = H1 ∪ r e H2 = H2 ∪ r.
Note que para os semi-planos fechados vale
H1 ∩H2 = r
Apo´s estas considerac¸o˜es geome´tricas e´ imperativa a pergunta:
- Como expressar algebricamente, cada um dos conjuntos H1 e H2?
Dentro da filosofia que esta disciplina deve ser eminentemente opera-
cional, em preparac¸a˜o a`s outras disciplinas de ca´lculo que vira˜o, vamos res-
ponder a` questa˜o formulada examinando exemplos concretos. Acompanhe a
sequ¨eˆncia de exemplos.
Exemplo
Vamos descrever o conjunto do plano definido pela inequac¸a˜o x+ 2 > 0.
Soluc¸a˜o. A reta r, cuja equac¸a˜o e´ x − 2 = 0, define dois semi-planos H1
e H2. Considere H1 o conjunto definido pela inequac¸a˜o x + 2 > 0. Ou
equivalentemente pela inequac¸a˜o x > −2. Portanto,
H1 = {x; x+ 2 > 0}.
Um exame direto na representac¸a˜o gra´fica apresentada na Figura 14.2,
identifica o conjunto H1 como a regia˜o hachurada.
x
y
2
r
H
1
Fig. 14.2: H1 o semi-plano x+ 2 > 0
Exemplo
Considere a inequac¸a˜o 2x− 3y+ 6 ≥ 0. Vamos determinar o conjunto H1 do
plano tal que
H1 = {(x, y) ∈ R2; 2x− 3y + 6 ≥ 0}.
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Soluc¸a˜o. Veja que a reta r cuja equac¸a˜o e´ 2x− 3y+ 6 = 0 separa o plano em
dois semi-planos H1 e H2. Na figura 14.3, esta´ identificado o semi-plano H1.
r
x
y
P
2
0
-3
y
y
0
x
y
y
1
~
x
1
Q
Fig. 14.3: O semi-plano 2x− 3y + 6 ≥ 0
Veja porque o conjunto H1 esta´ bem identificado na Figura 14.3. Como,
2x− 3y + 6 ≥ 0⇔ −y ≥ 2
3
x− 6
3
⇔ y ≤ 2
3
x+ 2.
Note o ponto P anotado no conjunto H1. Na Figura 14.3 o ponto
P0 = (x0, y0) pertence a` reta r. Portanto,
y0 =
2
3
x0 + 2.
Note que para o ponto P = (x0, y) temos que
y ≤ 2
3
x+ 2 e y < y0 ⇒ y < 2
3
x0 + 2⇒ P = (x0, y) ∈ H1.
O mesmo racioc´ınio pode ser aplicado para mostrar porque o ponto Q
esta´ no semi-plano H1. Veja que, como Q1 = (x1, y1) esta´ na reta r enta˜o
y1 =
2
3
x1 + 2.
Para o ponto Q = (x1, y˜) temos que
y1 =
2
3
x1 + 2 e y˜ < y1 ⇒ y˜ < 2
3
x1 + 2 ⇒ Q = (x1, y˜) ∈ H1
Sistemas de Inequac¸o˜es Lineares
O trabalho desenvolvido para identificar o semi-plano definido por uma
inequac¸a˜o linear, pode ser estendido para determinar a regia˜o do plano defi-
nido por um sistema de inequac¸o˜es lineares. Acompanhe o exemplo.
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Exemplo
Vamos determinar o conjunto A de pontos definidos pelo sistema de ine-
quac¸o˜es {
x+ y + 1 ≥ 0
−2x+ y + 2 ≤ 0 (∗)
Soluc¸a˜o. Note que as retas r e s definidas, respectivamente, pelas equac¸o˜es
x+ y + 1 = 0 e − 2x+ y + 2 = 0
sa˜o retas inclinadas, com respeito ao sistema de coordenadas x0y. Veja na
Figura 14.4, os gra´ficos destas retas.
Note, tambe´m, que o sistema de inequac¸o˜es pode ser expresso, de modo
equivalente, por{
x+ y + 1 ≥ 0
−2x+ y + 2 ≤ 0 (∗) ⇒
{
y ≥ −x− 1
y ≤ 2x− 2 (∗∗)
r
x
y
-1
A
-1
1
s
Fig. 14.4: O conjunto A = {(x, y); x+ y + 1 ≥ 0 e − 2x+ y + 2 ≤ 0}
Agora observe que os pontos P = (x, y) do plano que verificam a pri-
meira inequac¸a˜o do sistema (**) esta˜o acima da reta r, enquanto que os
pontos P = (x, y) que verificam a segunda inequac¸a˜o esta˜o abaixo da reta
s. Portanto, os pontos que satisfazem simultaneamente as inequac¸o˜es do
sistema e´ fornecido pela intersec¸a˜o dos conjuntos. Identifique este conjunto
soluc¸a˜o com a regia˜o hachurada na Figura 14.4.
Inequac¸o˜es Quadra´ticas
No nosso estudo as inequac¸o˜es quadra´ticas sa˜o eficientes para deter-
minar conjuntos de pontos que formam o interior ou exterior de c´ırculos e
elipses e, tambe´m, identificar regio˜es do plano determinadas pelos trac¸os de
para´bolas e hipe´rboles. Acompanhe os pro´ximos exemplos.
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Exemplo
Vamos determinar a regia˜o do plano associada a` inequac¸a˜o
x2 + 2x+ y2 − 3 ≥ 0.
Soluc¸a˜o. Veja que
x2 + 2x+ y2 − 3 = (x− 1)2 + y2 − 4.
Portanto, a inequac¸a˜o em estudo e´ equivalente a
(x− 1)2 + y2 ≥ 22.
Uma vez que (x− 1)2 + y2 = 22 e´ a equac¸a˜o do c´ırculo de centro C =
(1, 0) e raio r = 2. Enta˜o (x− 1)2 + y2 ≥ 22 representa os pontos do c´ırculo
(por conta da igualdade) adicionados a todos seus pontos exteriores (por
conta da desigualdade). Veja a Figura 14.5.
y
x2 310-1
E
Fig. 14.5: O conjunto E = {(x, y); x2 + 2x+ y2 − 3 ≥ 0}
Exemplo
Vamos encontrar o conjunto determinado pela inequac¸a˜o
−9x2 + 4y2 + 36 ≤ 0.
Soluc¸a˜o. Note que
−9x2 + 4y2 + 36 ≤ 0 ⇔ −x
2
4
+
y2
9
+ 1 ≤ 0 ⇔ x
2
4
− y
2
9
− 1 ≥ 0.
Ou seja,
x2
4
− y
2
9
≥ 1.
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Os pontos P = (x, y) do plano que verificam esta inequac¸a˜o esta˜o re-
presentados pela regia˜o hachurada na Figura 14.6.
y
x210-1
G
-2
1
2
3
-3
-1
G
Fig. 14.6: Regia˜o G =
{
(x, y);
x2
4
− y
2
9
≥ 1
}
Exemplo
Vamos identificar o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que
x2 − 2x ≥ y + 3.
Soluc¸a˜o. Note que a inequac¸a˜o e´ equivalente a
x2 − 2x− y − 3 ≥ 0 ⇔ −y ≥ −x2 + 2x+ 3 ⇔ y ≤ x2 − 2x− 3.
Uma vez que y = x2− 2x− 3 representa uma para´bola, como esboc¸ada
na Figura 14.7, identificamos no conjunto hachurado o que procuramos.
x
y
B
1 2
2
3
Fig. 14.7: O conjunto B = {(x, y); y ≤ x2 − 2x+ 3}
Sistemas de Equac¸o˜es Lineares e Quadra´ticas
Continuando a explorar as possibilidades de expressar geometricamente
atrave´s de conjuntos do plano as soluc¸o˜es de inequac¸o˜es, vamos tratar a
situac¸a˜o onde aparecem sistemas de inequac¸o˜es. Acompanhe o exemplo.
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Exemplo
Dadas a reta r e a para´bola P , onde
r −→ 2x− y − 1 = 0;
P −→ x2 − 2x+ y = 0.
Determine
a) Os pontos de intersec¸a˜o da reta com a para´bola;
b) O conjunto soluc¸a˜o do sistema de inequac¸o˜es{
2x− y ≤ 1
x2 ≤ 2x− y (∗)
Soluc¸a˜o. Para resolver o item a) partimos da equac¸a˜o da reta r para encontrar
que
y = 2x− 1.
Este resultado substitu´ıdo na equac¸a˜o da para´bola resulta que
x2 − 2x+ 2x− 1 = 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x1 = 1 e x2 = −1.
Estes dois valores para a varia´vel x, substitu´ıdos em y = 2x−1, resultam
quey1 = 1 e y2 = −3.
Portanto, os pontos A = (1, 1) e B = (−1,−3) sa˜o a intersec¸a˜o da reta
com a para´bola. Veja a Figura 14.8.
Note que o sistema de inequac¸o˜es (*) e´ equivalente a{
y ≥ 2x− 1
y ≤ −x2 + 2x (∗∗)
Portanto o conjunto F e´ obtido pela intersec¸a˜o do semi-plano abaixo
da para´bola (interior da para´bola) e acima da reta.
x
y
F
-1
r
1
1
-3B
A
0 2
1
Fig. 14.8: O conjunto F = {(x, y); 2x− y ≤ e x2 ≤ 2x− y} 47 CEDERJ