Ca_lculo_I_-_Semana_1

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FACULDADE DO CENTRO LESTE – UCL 
BÁSICO DAS ENGENHARIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO I 
FUNÇÕES – PARTE I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Serra 2019 
 Este trabalho contém uma compilação de 
textos de diversos autores, tendo sido elaborado 
com o objetivo exclusivo de ser um apoio didático 
para o aluno em sala de aula. 
 
Prof. Walquiria Torezani 
 
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Sumário 
1. FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES .................................................................... 3 
1.1. Ideia Intuitiva de Função .................................................................................... 3 
1.2. Conceito de Função .............................................................................................. 4 
1.3. Algumas Características das Funções ................................................................ 8 
1.4. Funções Compostas ............................................................................................ 18 
1.5. Funções Inversas ................................................................................................ 20 
1.6. Algumas Aplicações de Funções ....................................................................... 24 
2. FUNÇÕES LINEARES E FUNÇÕES QUADRÁTICAS ...................................... 26 
2.1. Funções Polinomiais .......................................................................................... 26 
2.2. Funções Lineares ................................................................................................ 27 
2.3. Função Quadrática ou Função do 2º grau ....................................................... 31 
2.4. Aplicações das Funções Lineares e Quadráticas ............................................. 36 
3. FUNÇÕES DEFINIDAS POR PARTES E FUNÇÕES MODULARES .............. 39 
3.1. Funções Definidas Por Partes ........................................................................... 39 
3.2. Funções Modulares ............................................................................................ 41 
 
 
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1. FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES 
 
1.1. Ideia Intuitiva de Função 
 
Ao contrário do que muitos pensam a primeira ideia de função não surgiu de conceitos 
matemáticos, mas de observações de fatos que ocorrem na natureza. Só muito mais tarde 
se conceituou a função de forma matemática. E hoje existe uma tendência muito grande de 
encarar as Ciências ditas Humanas, e entre elas a Economia, com técnicas quantitativas. 
A observação, frequente entre estudiosos de Ciências Naturais, deu motivo, muitas vezes, 
à enunciação de leis, que estabeleceram relações entre certas causas e seus efeitos. Essas 
relações são expressas frequentemente por fórmulas, equações ou mesmo funções. 
Intuitivamente, a palavra função evoca uma ideia de dependência. 
 
Exemplos: 
1) A área A de um círculo depende de seu raio r. A lei que conecta r e A é dada pela 
equação: 
2rA π= . 
A cada número r positivo está associado um único valor de A. Dizemos que A é uma 
função de r. 
 
2) O custo C de enviar uma encomenda pelo correio depende da distância w até o destino 
da encomenda. Embora não haja uma fórmula simples conectando w e C, o correio tem 
uma forma de calcular C quando é dado w. Assim, dizemos que C é uma função de w. 
 
3) O tempo t de duração da queda de uma pedra é uma função da altura h de onde ela foi 
abandonada: )(hft = . Dado h determina-se o tempo t . 
 
4) Certo banco empresta dinheiro aos pequenos agricultores de sua região. O total de cada 
empréstimo é uma função da área a ser cultivada: 
 
Área (hectares) Empréstimo (mil reais) 
100 ≤< A 20 
4010 ≤< A 80 
10040 ≤< A 180 
10>A 200 
 
Assim, dada a área a ser cultivada, determinamos o valor do empréstimo. Mas, não é 
verdade que dado o empréstimo obtido determinamos a área a ser cultivada, ou seja, a área 
não é uma função do empréstimo. 
 
5) A estatura de uma criança depende da sua idade. Devido ao fato de existirem faixas 
etárias de crescimento mais rápido e outras de crescimento mais lento, é possível 
estabelecer uma estatura-padrão considerada “normal” para cada idade e construir uma 
tabela de crescimento para crianças de certa região. Todavia, embora o crescimento de 
cada criança se aproxime dos dados da tabela, esses dados poderão não ser seguidos, com 
exatidão, por nem ao menos uma só criança. Mesmo assim, podemos afirmar que a 
estatura da criança é função da sua idade e tentar encontrar a expressão matemática que 
melhor descreve esse fato e reproduza mais de perto a tabela construída de forma 
estatística. 
 
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É claro que as funções que descrevem fenômenos biológicos, sociológicos, estatísticos ou 
econômicos não obedecem rigorosamente a uma fórmula matemática, mas podem 
obedecê-la apenas para um pequeno intervalo de valores. Às vezes, esses valores só 
podem ser positivos, como é o caso de preços ou quantidades, estaturas ou idades; às 
vezes, só podem ser expressos em números naturais, como, por exemplo, quando 
representam número de pessoas ou qualquer outra coisa indivisível. 
 
Por essa razão, enquanto as funções matemáticas são quase sempre expressas por 
sentenças matemáticas, as funções que descrevem fenômenos biológicos, sociológicos, 
estatísticos ou econômicos são muitas vezes expressas por tabelas ou gráficos. Expressões 
matemáticas para essas funções podem descrever apenas aproximadamente o fenômeno e 
com validade para o intervalo considerado de valores. 
 
1.2. Conceito de Função 
 
Sempre que duas grandezas yxe estão relacionadas de tal forma que: 
• x pode assumir qualquer valor de um conjunto A especificado; 
• Os valores que y assume dependem dos valores assumidos por x ; 
• A cada valor de x corresponde um único valor de y ; 
Dizemos que y é uma função de x , e escrevemos )(xfy = . 
 
Segue daí que uma função é uma lei a qual para cada elemento x em um conjunto A faz 
corresponder exatamente um elemento y = f(x), em um conjunto B. 
 
O conjunto A é chamado domínio da função e o conjunto B é chamado contradomínio da 
função. Como a definição não obriga que todos os elementos de B sejam atingidos pela 
função, o conjunto dos elementos atingidos chama-se imagem de A pela função f, ou 
simplesmente imagem da função. 
 
A variável x que representa os elementos do conjunto A é chamada de variável 
independente e a variável y = f(x) que representam os elementos do conjunto B é chamada 
de variável dependente, pois seus valores dependem dos valores de x. 
No nosso curso A e B serão sempre conjuntos de números reais. 
 
Representações de Funções 
 
É possível representar uma função de quatro maneiras: 
• Verbalmente – descrevendo-a com palavras. 
• Numericamente – por meio de tabela de valores 
 
 
 
 
 
• Algebricamente – Utilizando-se uma fórmula explícita )(xfy = 
• Visualmente - através de gráficos ou diagramas de flechas 
 
x 
1x 2x 3x ... 
y 
1y 2y 3y ... 
 
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Exemplo: Um professor que produziu apostilas para seus alunos gastou R$ 200,00 na 
preparação das matrizes e calculou o preço de custo de cada apostila em R$ 4,00. Podemos 
descrever o gasto desse professor (custo das apostilas) sob a forma de função. 
 
Observe que o custo desse professor é função da quantidade de apostilas que ele produziu, 
assim esse custo é de “200 reais mais 4 vezes a quantidade de apostilas que ele produziu”. 
Algebricamente temos que se x representa a quantidade de apostilas e C(x) o custo, então: 
 
( ) xxC 4200 += 
 
Neste caso o domínio da função custo é o conjunto A de todos os números que 
representam quantidades de apostilas produzidas e o contradomínio o conjunto B de 
números que representam os custos dessas apostilas. 
 
Para determinar o custo da produção de 10 apostilas, por exemplo, basta efetuar a seguinte 
conta: 
( ) 2404020010420010 =+=×+=C 
 
Logo, a imagem de x = 10 é C(10) = 240, isto é, para produzir 10 apostilas o professor 
gastará R$ 240,00. 
Essa função pode também ser representada por uma tabela com duas colunas,tendo a 
quantidade de apostilas figurando na primeira coluna e seus respectivos custos na segunda. 
 
x C(x) 
10 240 
15 260 
20 280 
25 300 
30 320 
 
Outra forma de ver essa função é em um diagrama de flechas como na figura abaixo: 
 
 
 
Cada flecha conecta um elemento de A com um elemento de B. A flecha indica, por 
exemplo, que 260 está associado a 15. Podemos escrever ainda que C(15) = 260. 
 
Para representar essa função no plano cartesiano, imagine que os elementos do conjunto A 
são pontos de um eixo horizontal e os elementos do conjunto B são pontos de um eixo 
vertical. As flechas seriam substituídas por pontos do plano determinados pelos eixos. 
 
 
 
 6
 
 
No gráfico cartesiano visualiza-se melhor o fenômeno estudado, pois os elementos podem 
ser ordenados ao serem referidos aos eixos e pode-se observar a ordem em que são 
tomados os elementos do conjunto B quando se tomam os elementos de A em ordem 
crescente, por exemplo. 
 
De modo geral, para construir um gráfico que representa a dependência entre duas 
variáveis yxe , utilizam-se dois eixos perpendiculares com origem comum, cada eixo 
representa uma variável. Essa estrutura é denominada plano Cartesiano, o eixo x é 
chamado eixo das abscissas e o eixo y é chamado eixo das ordenadas. 
Os pares ( )yx, que caracterizam a função )(xfy = determinam pontos no plano. O 
conjunto dos pontos do plano correspondentes aos pares ( ))(, xfx é o gráfico dessa 
função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Frequentemente, os pontos obtidos são ligados por uma curva, e isso significa que têm 
sentido os valores compreendidos entre dois pontos quaisquer que determinam essa curva. 
 
Podemos então nos perguntar quais curvas do plano cartesiano são gráficos de funções. 
Essa pergunta será respondida por meio do teste a seguir: 
 
Teste da Reta Vertical 
 
 Uma curva no plano cartesiano é o gráfico de uma função de x se, e somente se, nenhuma 
reta vertical corta a curva mais de uma vez. 
 
A razão da veracidade desse teste é que se cada reta vertical x = a interceptar a curva 
somente uma vez, então exatamente um valor está definido por f(a) = b. Mas se a reta x = 
a interceptar a curva em dois pontos, ou não interceptar a curva, então a curva não pode 
representar uma função, pois uma função não pode fazer corresponder dois valores 
deferentes para a e também não pode deixar de corresponder algum valor para a. 
 
 
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Exemplo 1: O gráfico abaixo representa uma função, pois toda reta vertical conduzida 
pelos pontos de abscissa A encontra sempre o gráfico de f num só ponto. 
 
 
Entretanto o gráfico abaixo não representa uma função, pois há retas verticais que 
encontram o gráfico de f em dois pontos. 
 
 
Exemplo 2: Use o teste da reta vertical para determinar quais das curvas abaixo 
representam funções de x. 
 
 
 
 Representa função Não representa função 
 
 
 
 Não representa função Representa função 
 
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Exemplo 3: O gráfico de uma função f é dado pela figura abaixo. Encontre os valores de 
f(1) e f(5). 
 
 
 
Observando este gráfico podemos afirmar que f(1) = 3 e f(5).= -0,8 
 
Notação de Função 
 
Para indicarmos uma função f , definida em A com contradomínio em B segundo a lei 
de correspondência )(xfy = , usaremos uma das seguintes notações: 
 
)(
:
xfx
BAf
a
→
 ou 
)(xfx
BA
f
a
→
 ou 
yx
BAf
a
→:
 tal que ( )xfy = 
 
Exemplos: Podemos dizer que: 
 
1) 
yx
IRIRf
a
→:
 tal que 32 +−= xy , é uma função que associa a cada x de IR um y de 
IR tal que 32 +−= xy . 
2) 
2
:
+
→+
xx
IRIRf
a
 é uma função que associa a cada +∈ IRx um IRy ∈ tal que 2+= xy . 
 
1.3. Algumas Características das Funções 
 
Domínio 
 
Quando o domínio de uma função não é especificado no problema, tomamos como 
domínio todos os valores reais de x para os quais existe a imagem y. Isto é, o domínio da 
função é o mesmo da expressão algébrica que a define. 
 
Exemplo 1: Dada a função 2)( −= xxf , determine, se possível: 
 
a) ( )27f b) ( )2f c) ( )1f 
 
Vamos calcular cada um desses valores: 
 
a) ( ) 52522727 ==−=f 
b) ( ) 00222 ==−=f 
c) ( ) R1211 ∉−=−=f 
 
9 
 
 
Observe que se x assumir certos valore, por exemplo, x = 1, a função não poderá ser calculada. 
Assim, nem todo número real pertence ao domínio dessa função. 
 
Para determinar o domínio de uma função é preciso obedecer duas regras básicas da matemática, 
que chamaremos de “Condições de Existência”. Essas regras são válidas sempre que estivermos 
tratando de números reais. 
 
• Em uma fração o denominador deve ser sempre diferente de zero. 





≠ 0bcom
b
a
 
• Em uma raiz de índice par o radicando deve ser sempre maior ou igual a zero. 
( )0≥acoma 
 
Exemplo 2: Determine o domínio das funções abaixo: 
a) 252 −+= xxy b) 
3
2
−
=
x
y c) 2−= xy d)
x
x
y
−
=
4
5
 e)
5
3
−
−
=
x
x
y 
 
a) Neste caso, não há qualquer restrição, portanto D = R. 
 
b) Aqui devemos respeitar a primeira condição de existência: 
 
 
303 ≠≠− xx 
Logo: D = R – {3} 
 
c) Aqui devemos respeitar a segunda condição de existência: 
 
202 ≥≥− xx 
Graficamente temos que: 
 
d) Este é um caso típico onde devemos satisfazer as duas condições de existência, pois temos 
uma raiz quadrada no denominador de uma fração: 
 
404 <>− xx 
Graficamente temos que: 
 
e) Aqui também usaremos as duas condições de existência; a primeira para o denominador da 
fração e a segunda para o numerador que é uma raiz quadrada: 
 
3x03-x
e 
505
≥≥
≠≠− xx
 
Graficamente temos que: 
 
 
Imagem 
 
10 
 
 
Dada uma função y = f(x) de A em B, definimos a imagem de f como o conjunto de todos os 
elementos By ∈ que estão relacionados com algum x de A. Isto é, 
 
( ){ }AxxfyByf ∈=∈= algum para /Im 
 
Exemplo: Determine a imagem de cada uma das funções abaixo: 
 
 
[,2[Im ∞−=f IRf =Im 
 
 
[ ]2.0Im =f { }2[,0]Im −∪∞=f 
 
Interceptos da Função 
 
Dada uma função y = ( )xf , os valores de x para os quais ( ) 0=xf são chamados de raízes da 
função ou interceptos - x. No gráfico cartesiano da função, as raízes são abscissas dos pontos onde 
o gráfico corta o eixo horizontal. 
No gráfico abaixo temos que ( ) 01 =xf , ( ) 02 =xf e ( ) 03 =xf . Assim 321 e , xxx são as raízes 
da função. 
 
 
 
 
 
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O valor de ( )0f é chamado de interceptos – y pois é a ordenado do ponto onde o gráfico corta o 
eixo vertical. 
 
Função Injetora e Função Sobrejetora 
 
Uma função BAf →: é dita injetora se para quaisquer elementos distintos do conjunto 
( )21 xxA ≠ correspondem elementos distintos do conjunto ( )21 yyB ≠ . 
Isto é, 
( ) ( )2121 xfxfxx ≠≠ 
 
Uma função é considerada injetora no diagrama de Venn se cada elemento de B for atingido por, 
no máximo, uma flecha. 
 
Exemplo: Observe cada uma das funções abaixo descrita através de seus diagramas de Venn: 
 
f(x) não é Injetora f(x) é injetora 
 
Em relação ao seu gráfico uma função é considerada injetora se qualquer reta horizontal intercepta 
o gráfico, no máximo, uma vez. 
 
Exemplo: Observe os gráficos abaixo: 
 
 
 f(x) não é injetora f(x) é injetora 
 
Uma função BAf →: é dita sobrejetora se seu conjunto imagem é igual ao conjunto B. 
 
Bf =)Im( . 
 
Para o diagrama de Vem de uma função representar uma função sobrejetora é preciso que todos os 
elementos B sejam atingidos por pelo menos uma flecha. 
 
 
 
 
Exemplo: Observe o diagrama de Vem das funções representadas abaixo: 
 
 
12 
 
 
 f(x) é sobrejetora f(x) não é sobrejetora 
 
Em relação ao seu gráfico uma função somente será sobrejetora se a projeção do gráfico sobre o 
eixo Oy for seu contradomínio. 
 
Exemplo: A função IRIRf →: dada por ( ) 2xxf = cujo gráfico está representado abaixo não é 
sobrejetora, pois sua imagem é o conjunto IR+. 
 
 
 
 
 
Uma função BAf →: é dita Bijetora se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
Para o diagramade Vem de uma função representar uma função bijetora é preciso que todos os 
elementos B sejam atingidos por uma única flecha. 
 
 
 f(x) é bijetora f(x) não é bijetora 
 
È fácil ver que as funções que são crescentes ou decrescentes em todo o seu domínio são funções 
bijetoras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: As funções esboçadas abaixo são funções bijetoras. 
 
 
13 
 
 
( ) 2
:
+=
→
xxf
IRIRf
 
( ) ( )xxf
IRIRf
2/1
*
log
:
=
→+ 
 
 
 
 
Dependendo do domínio A e do contradomínio B escolhido, a função f: A → B determinada pela 
mesma sentença aberta poderá ser somente sobrejetora, somente injetora, bijetora, ou nem 
sobrejetora, nem injetora. 
 
Exemplo: Considere a função determinada por ( ) 2xxf = . 
 
a) Considerando A = IR+ e B = IR, f(x) é somente injetora. 
 
 
 
b) Considerando A = IR e B = IR+, f(x) é somente sobrejetora. 
 
 
 
 
 
 
c) Considerando A = IR+ e B = IR+, f(x) bijetora. 
 
 
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d) Considerando A = IR e B = IR, f(x) não é injetora nem sobrejetora. 
 
 
 
 
Função Crescente e Decrescente 
 
Uma função y = f(x) é crescente se, atribuindo a x valores crescentes, se obtém para y valores 
também crescentes. Isto é: 
 
( ) ( )2121 xfxfxx << 
 
Exemplo 1: Os gráficos abaixo descrevem funções crescentes. Observe que, embora as três 
funções sejam crescentes, não crescem da mesma forma: 
 
 
 
Uma função y = f(x) é decrescente se, atribuindo a x valores crescentes, se obtém para y valores 
decrescentes. Isto é: 
 
( ) ( )2121 xfxfxx >< 
 
 
Exemplo 2: Os gráficos abaixo descrevem funções decrescentes. Observe que, embora as três 
funções sejam decrescentes, não decrescem da mesma forma: 
 
 
15 
 
 
 
Uma função y = f(x) é constante se, atribuindo a x valores crescentes, y permanece invariável. Isto 
é, 
( ) ( )21 xfxf = para todo fDxx ∈21 , 
 
Exemplo 3: O gráfico abaixo descreve uma função constante: 
 
 
 
Uma função que seja crescente ou constante num intervalo é chamada não decrescente naquele 
intervalo; se uma função for constante ou decrescente num intervalo ela é chamada não crescente 
naquele intervalo. 
 
Exemplo 4: Os gráficos abaixo descrevem uma função não decrescente e uma função não 
crescente: 
 
 
Não decrescente Não crescente 
 
Uma maneira simples de determinar os intervalos de crescimento ou decrescimento de uma função 
é aplicar o seguinte teste: 
 
“Da esquerda para a direita siga o traçado do gráfico da função com o dedo. Nos 
intervalos em que seu dedo sobe a função é crescente e nos intervalos em que ela desce a função é 
decrescente. Se seu dedo seguir na horizontal, a função é constante.” 
 
 
16 
 
Exemplo 5: Usando o teste acima, determine os intervalos de crescimento e decrescimento da 
função f(x) ilustrada abaixo: 
Resolução: 
 
 
 
Observando o gráfico vemos que: 
• f(x) é decrescente nos intervalos [2, 4], [7, 9] e [12, 15] 
• f(x) é constante no intervalo [4,7] 
• f(x) é crescente nos intervalos [9,12], [15,18] 
 
Máximos e Mínimos de uma Função 
 
Já vimos que uma função pode não ser crescente (ou decrescente) em todo o seu domínio, tendo 
intervalos em que cresce e intervalos em que decresce. Quando isso ocorre a função apresenta 
máximos ou mínimos locais, conforme o caso. 
 
Dizemos que ( )0xf é um máximo local (máximo relativo) de uma função ( )xfy = se 
( ) ( )xfxf ≥0 para qualquer outro x do domínio de f que estejam em um intervalo aberto 
[,] ba contendo 0x . Em outras palavras ( )0xf está “no topo de uma montanha”, pois em 0x a 
função passa de crescente para decrescente. 
 
Da mesma forma, ( )0xf é um mínimo local (ou mínimo relativo) de uma função ( )xfy = se 
( ) ( )xfxf ≤0 para qualquer outro x do domínio de f que estejam em um intervalo aberto 
[,] ba contendo 0x . Em outras palavras ( )0xf está “no fundo de um poço”, pois em 0x a função 
passa de decrescente para crescente. 
 
Se 0x é tal que ( )0xf é o maior valor que a função assume em todo o seu domínio, então 0x é dito 
ponto de máximo absoluto de f. 
 
Analogamente, se ( )0xf é o menor valor que a função assume em todo o seu domínio, então 0x é 
dito ponto de mínimo absoluto de f. 
 
 
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Exemplo : Determine os pontos de máximos e mínimos locais e absolutos da função cujo gráfico 
está ilustrado abaixo: 
 
 
 
Supondo que o domínio dessa função é o intervalo de zero a quinze temos: 
• Máximos locais: ( ) 2,47,1 =f , ( ) 97 =f e ( ) 5,35,12 =f . 
• Mínimos locais: ( ) 24 −=f e ( ) 210 −=f . 
• Máximo absoluto: ( ) 97 =f . 
• Mínimo absoluto: ( ) 315 −=f . 
 
Funções Pares e Ímpares 
 
Uma função f é par se ( ) ( )xfxf =− para todo fDx ∈ . 
 
Exemplo: São funções pares: 
( ) 2xxf = ( ) 34 −= xxf ( )
2
2
2
2
+
−
=
x
x
xf 
 
Os gráficos das funções pares são simétricos em relação ao eixo y. 
 
Exemplo: Observe o gráfico de 2xy = : 
 
 
 
Uma função f é ímpar se ( ) ( )xfxf −=− para todo fDx ∈ . 
 
 
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Exemplo: São funções ímpares: 
( ) 3xxf = ( ) xxxf 35 += ( )
42
3
−
=
x
x
xf 
 
Os gráficos das funções ímpares são simétricos em relação à origem. 
 
Exemplo: Observe o gráfico de 3xy = : 
 
 
 
Algumas funções não são nem pares nem ímpares. 
Por exemplo, ( ) 152 −+= xxxf não é nem par nem ímpar, pois calculando ( )xf − temos: 
 
( ) ( ) ( ) 1515 22 −−=−−+−=− xxxxxf 
 
Logo, ( ) ( )xfxf ≠− e ( ) ( )xfxf −≠− . 
 
1.4. Funções Compostas 
 
Considere as funções BAg →: e CBf →: . Chama-se função composta das funções f e g a 
função CAh →: definida por: 
( ) ( )( ) ( )( )xgfxgfxh == o 
 
 
A imagem de um determinado elemento x de A através da função composta ( )gf o é definida em 
duas partes: 
• A transformação do elemento x de A no elemento g(x) de B. 
• A transformação do elemento g(x) de B no elemento ( )( ) ( )( )xgfxgf o= de C. 
 
19 
 
 
O contradomínio de g é idêntico ao domínio de f, porém, para existir ( )gf o é preciso que 
( ) ( )fDg ⊂Im . 
Podemos dizer então, que o domínio de ( )gf o é o conjunto de todos os ( )gDx ∈ para os quais 
( )( ) IRxgf ∈ . 
( )( ){ }IRxgfDxD ggf ∈∈= /o 
 
Exemplo 1 - Dadas as funções ( ) 32 += xxf e ( ) xxg 5= , pede-se determinar ( )( )xfg o e 
( )( )xgf o . 
 
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 151032532 +=+=+== xxgxfgxfg o 
 
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 3103525 +=+=== xxxfxgfxgf o . 
Este exemplo nos mostra que de modo geral fggf oo ≠ , ou seja, a operação de "composição de 
funções " não é comutativa. 
Exemplo 2 – Para calcular o custo de uma viagem, Daniel levou em consideração o fato de que 
seu automóvel percorre em média 12 quilômetros com 1 litro de combustível e que gasta R$ 0,30 
a cada quilômetro percorrido. Essa situação envolve duas funções: 
 
• ( ) xxfy 12== – que indica que a quantidade de quilômetros percorridos (y) é função da 
quantidade de combustível (x). 
• ( ) yyg 30,0= – que indica que o custo total da viagem (g) é função da quantidade de 
quilômetros percorridos (y). 
 
 Podemos pensar em uma função h que, pela quantidade de combustível, forneça o custo total da 
viagem. Esta função é dada por: 
 
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) xxxgxfgxfgxh 6,312.30,012 ===== o . 
Assim, 
( ) xxh 6,3= . 
 
Exemplo 3 – Dadas as funções ( ) 162 −= xxf e ( ) xxg = , determine: 
a) ( )( )xgf o e o seu domínio. 
b) ( )( )xfg o e o seu domínio. 
 
Inicialmente note que IRD f = e [,0[ ∞=Dg 
 
 a) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 1616162 −=−=−=== xxxxfxgfxgf o 
 
Se considerássemos apenas a expressão final poderíamos a ser levados a crer que o domínio de 
gf o fosse IR. Entretanto, por definição, o domínio de gf o é o conjunto de todos os [,0[ ∞∈x 
tal que g(x) está em IR. 
Assim, [,0[ ∞=gfD o 
 b) ( )( ) ( )( ) ( ) 1616 22 −=−== xxgxfgxfg o 
 
20 
 
 
Por definição o domínio de fg o é conjunto de todos os x em IR tal que f(x) está em [,0[ ∞ . 
Logo devemos determinar os valores de x para os quais 40162 ≥≥− xx . 
Assim, [,4[]4,] ∞∪−∞−=fgD o 
 
Forma Funcional Composta 
 
Se f e g são funções tais que ( ) ( )xguufy== e 
 
 Então, substituindo o valor de u em ( )ufy = , temos ( )( ) xgfy = . 
 
Para certos problemas no cálculo, costumamos inverter este procedimento, ou seja, dado ( )xhy = 
para alguma função h, determinamos uma forma funcional composta ( ) ( )xguufy == e tal que 
( ) ( )( ) xgfxh = . 
 
Exemplo: Expresse ( ) 52 8+= xy sob a forma de uma função composta. 
 
Fazendo 
uy
52xu
8



=
+=
 temos que ( ) 8uufy == onde 52 += xu 
 
O método usado para resolver este exemplo pode ser aplicado a outras funções. 
Em geral suponha ( ) xhy = . Para escolher a expressão interior ( )xgu = em uma forma funcional 
composta, faça a seguinte pergunta: 
 
“Se estivesse usando uma calculadora que parte de ( ) xhy = seria calculada primeiro?” 
 
Isso conduz em geral a uma escolha adequada de ( )xgu = . Após escolher u, recorra a ( ) xh para 
determinar ( ) uhy = . 
 
Exemplo: Observe a tabela abaixo que ilustra a escolha de algumas formas funcionais compostas: 
 
Função Escolha de ( )xgu = Escolha de ( )ufy = 
( ) 152 53 −+= xxy 152
3
−+= xxu 5uy = 
24 xy −= 
24 xu −= uy = 
13
2
−
=
x
y 
13 −= xu 
 
2
u
y = 
 
1.5. Funções Inversas 
 
Se f é uma função bijetora com domínio A e contradomínio B, então para cada By ∈ , existe um 
único número Ax ∈ tal que ( )xfy = . Podemos então pensar na existência de uma função que a 
partir da imagem ( )xfy = determine o número x que a gerou, ou seja, uma função g tal que 
( ) xyg = . Essa função g que faz o caminho de volta da função f, é chamada de função inversa de f 
e recebe a notação 1−f . 
 
 
21 
 
 
Propriedades das funções inversas 
 
1. O domínio da função f é a imagem da função 1−f e o domínio da função 1−f é a imagem de f. 
 
2. Considerando que a função f leva o elemento a na imagem ( )afb = e que a função inversa 
1−
f traz a imagem de volta ao elemento a, ( ) abf =−1 , então vale: 
• ( )( ) xxff =−1 Para todo x em A e 
• ( )( ) xxff =−1 Para todo x em B. 
 
3. Podemos mostrar também que: 
• ( )( ) ( )xfxf =−− 11 e 
• ( ) 111 −−− = fggf oo 
 
4. Se o par ordenado ( )ba, pertencer ao gráfico de f então o par ( )ab, pertencerá ao gráfico de 
1−
f e isso representado no plano cartesiano nos proporcionará uma simetria dos pontos de f e 1−f 
em relação à reta xy = . 
Logo os gráficos de f e 1−f são simétricos em relação à reta xy = . 
 
 
 
Diretrizes para determinar 1−f . 
 
1 – Verifique se f pode ser definida com domínio e contradomínio nos quais ela é bijetora. 
2 – Resolva a equação ( )xfy = em relação à x em termos de y, obtendo uma equação da forma 
( )yfx 1−= . 
3 – Troque y por x na função encontrada em (2) para obter a função ( )xfy 1−= que será a função 
inversa de f. 
 
22 
 
4 – Verifique se valem as condições ( )( ) xxff =−1 e ( )( ) xxff =−1 para todo x nos domínios de f 
e 1−f . 
 
Exemplo 1: Seja ( ) 53 −= xxf . Para determinar a função inversa de f devemos seguir os quatro 
passos dados pelas diretrizes acima: 
 
1 - É fácil ver que o domínio e a imagem de f é todo o conjunto dos números reais, logo 
IRIRf →: é uma função bijetora. (observe seu gráfico) 
 
 
 
2 - Considere então a equação: 
 
Isolando x nesta equação temos: 
3
5
5353
+
=+=−=
y
xyxxy 
3 – Trocando x por y obtemos a função: 
( )
3
51 +
=
− xxf 
4 – Verificando as condições para e existência da inversa: 
( )( )
( )( ) ( ) x
xx
xfxff
xx
xx
fxff
==
+−
=−=
=−+=−
+
=




 +
=
−−
−
3
3
3
553
53
555
3
5
.3
3
5
11
1
 
 
Fazendo os gráficos de f e de 1−f em um mesmo plano cartesiano podemos observar que de fato 
são simétricos em relação à reta xy = . 
 
 
 
53 −= xy
 
23 
 
Exemplo 2: Seja ( ) 32 −= xxf para 0≥x . Determine a função inversa de f. 
 
Vamos seguir os quatro passos dados pelas diretrizes acima. 
 
1 – Observando o gráfico de f vemos que se [,0[ ∞=fD e [,3[Im ∞−=f então, 
[,3[[,0[: ∞−→∞f é bijetora. 
 
 
2 - Considere então a equação: 
 
Isolando x nesta equação temos: 
 
333 22 +=+=−= yxyxxy 
 
3 – Trocando x por y obtemos a função: 
 
( ) 31 +=− xxf 
 
4 – Verificando as condições para e existência da inversa: 
 
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) xxxxfxff
xxxxfxff
==+−=−=
=−+=−+=+=
−−
−
22211
21
333
33333
 
 
Fazendo os gráficos de f e de 1−f em um mesmo plano cartesiano podemos observar que de fato 
são simétricos em relação à reta xy = . 
 
 
 
 
32 −= xy
 
24 
 
1.6. Algumas Aplicações de Funções 
 
Numa situação prática, não costumamos utilizar x e y para representar as variáveis e sim letras que 
sugerem as grandezas estudadas, por exemplo: 
• Para representar o custo de um produto usamos C. 
• Para representar quantidades usamos q. 
• Para representar a receita de uma venda usamos R. 
Observe algumas situações: 
 
Exemplo 1: Uma livraria vende uma revista por R$ 5,00 a unidade. Seja q a quantidade vendida. 
a) Obtenha a função receita R(q). 
b) Calcule R(40) 
c) Qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita de R$ 700,00? 
 
Resolução: 
a) Como cada unidade custa 5 reais, se forem vendidas q unidades teremos uma receita de 5q. 
Assim: 
( ) qqR 5= 
b) Aqui estamos considerando q = 40. Logo: 
( ) 20040540 =⋅=R 
Isto é, se forem vendidas 40 revistas, a receita da livraria será de R$ 200,00. 
c) Devemos determinar o valor e q para o qual ( ) 700=qR . Portanto basta resolver a equação: 
140
5
700
7005 === qq 
Logo, para ter uma receita de R$ 700,00 a livraria deve vender 140 revistas. 
 
Exemplo 2: Suponha que o custo total da fabricação de q unidades de uma certa mercadoria seja 
dado pela função: 
( ) 20050030 23 ++−= qqqqC . 
a) Calcule o custo de fabricação de 10 unidades da mercadoria. 
b) Calcule o custo de fabricação da 10ª unidade, já tendo sido fabricados nove unidades da 
mercadoria. 
 
 
 
Resolução: 
a) O custo de fabricação de 10 unidades é o valor da função custo total quando q = 10. Logo: 
 
( ) 32002001050010301010 23 =+⋅+⋅−=C 
 
b) O custo de fabricação da 10ª unidade é a diferença entre o custo de fabricação de 10 unidades e 
o custo de fabricação de 9 unidades. 
Como ( ) 2999200950093099 23 =+⋅+⋅−=C temos: 
( ) ( ) 20129993200910 =−=− CC 
Logo, o custo para fabricar a 10ª unidade é de R$ 201,00. 
 
Exemplo 3: O saldo de uma aplicação financeira após t meses de aplicação é dado por: 
( ) ttS 402000 += . 
a) Qual o saldo inicial dessa aplicação? 
b) Após quanto tempo da aplicação o saldo dobrará? 
 
25 
 
 
Resolução: 
a) Para saber o saldo inicial basta fazer t = 0. Assim: 
( ) 200004020000 =⋅+=S 
Logo foram investidos inicialmente R$ 2.000,00. 
 
b) Devemos determinar t de forma que ( ) ( ) 400002 == StS . Portanto basta resolver a equação: 
4000402000 =+ t 
50
40
2000
2000402000400040 ===−= ttt . 
Logo, para dobrar o saldo da aplicação precisaremos de 50 meses. 
 
Exemplo 4: Uma caixa aberta em cima é tal que o comprimento da base é o dobro da largura e a 
altura é igual a 5/3 da largura. Para construir a base dessa caixa deve-se usar um material que custa 
R$10,00 o metro quadrado, ao passo que o material das laterais custa R$6,00 o metro quadrado. 
a) Expresse o custo total do material para a construção em função da largura da base. 
b) Determine o custo da construção de uma caixa com base de largura igual a 0,5 metros. 
 
Resolução: 
a) Observe a figura abaixo: 
 
Se chamamos a largura da base de w então, o comprimento é 2w e a altura w
3
5
. 
A área da base é ( ) 222 wwwB == . 
Quanto aos lados temos: 
• 2 com área 21 3
5
3
5
wwwL =





= 
• 2 com área ( ) 22 3
10
2
3
5
wwwL =





= 
Assim, o custo total do material será dado por: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) .80
6020
3
10
2
3
5
2621022610
2
22222
21
wwC
wwwCwwwwCLLBwC
=
+=





⋅+⋅+=++=
 
b) Se 5,0=w então: 
( ) ( ) 205,0805,0 2 =⋅=C 
 
Logo para construir uma caixa com 0,5 metros de largura temos um custo de R$20,00. 
 
Exemplo 5: A população P (em milhares) de uma dada cidade, de 1984 a 1994, está mostrada na 
tabela.t (tempo) 1984 1986 1988 1990 1992 1994 
P (população) 695 716 733 782 800 817 
 
26 
 
 
a) Use os registros da tabela para esboçar um gráfico de P como uma função do tempo. 
b) Use o gráfico para estimar a população em 1991. 
 
Resolução: 
a) Marcando esses pontos em um plano cartesiano e ligando-os por uma curva temos o seguinte 
gráfico: 
 
 
 
b) Pelo gráfico temos que ( ) 7981991 ≈P 
 
 
 
 
 
2. FUNÇÕES LINEARES E FUNÇÕES QUADRÁTICAS 
 
2.1. Funções Polinomiais 
 
Uma função polinomial de grau n é dada por: 
 
( ) 01
1
1 axaxaxaxf
n
n
n
n ++++=
−
−
L 
 
Onde nn aaaa ,,,, 110 −L são números reais, 0≠na e n é um inteiro positivo. 
O Domínio das funções polinomiais é todo conjunto dos números reais. 
 
Exemplo: São polinomiais as seguintes funções: 
 
1) ( ) →+−= 253 xxxf Função Polinomial de grau 3. 
 
2) ( ) →−= 12xxg Função Polinomial de grau 1. 
 
3) ( ) →= 4xk Função Polinomial de grau zero. 
 
 
27 
 
As funções Polinomiais estão entre as mais familiares de todas as funções. Particularmente 
estudaremos as Funções Polinomiais de graus 1 e 2. 
 
2.2. Funções Lineares 
 
Uma Função Linear é uma função polinomial de grau 1. Isto é, Função Linear é toda função do 
tipo: 
( ) baxxf += 
Sendo a e b constantes reais e 0≠a . 
 
Exemplo: São funções lineares: 
 
( )



=
−=
+−=
5
2
52
b
a
xxf ( )



−=
=
−=
9
1
9
b
a
xxf 
 
( )



=
=
+=
4
3
43
b
a
xxf ( )



=
−=
−=
0
7
7
b
a
xxf 
 
O gráfico de uma função linear é uma reta. Assim, o gráfico pode ser obtido por meio de dois 
pontos distintos, pois dois pontos distintos determinam uma reta. 
 
Exemplo: Vamos esboçar o gráfico da função 12 += xy : 
 
Observe que atribuindo a x os valores 0 e 1, por exemplo, temos: 
 



=+⋅==
=+⋅==
31121
11020
yx
yx
 
 
 
Colocando esses valores em uma tabela: 
 
x y 
0 1 
1 3 
 
Marcando esses pontos no plano e ligando-os obtemos o seguinte gráfico: 
 
 
 
 
28 
 
A constante b é chamada coeficiente linear e representa no gráfico o ponto onde a reta intercepta o 
eixo-y. 
 
 
 
A constante a é chamada de coeficiente angular e indica a inclinação ou direção da reta. Quando 
0>a , o gráfico corresponde a uma função crescente e quando 0<a o gráfico corresponde a uma 
função decrescente. 
 
 
 0>a 0<a 
Uma característica muito importante da função linear é que a variação do y é sempre a mesma 
quando x varia de 1 unidade. 
 
Exemplo: Considere a função ( ) 12 += xxf . Vamos fazer uma tabela com alguns valores de x 
(variando de 1 em 1) e seus respectivos y. 
 
 
 
x y 
-1 -1 
0 1 
1 3 
2 5 
3 7 
 
Observe, que, à medida que o x varia de 1 em 1, o y varia sempre de 2 em 2. 
 
Considere agora a função ( ) xxf 32 −= . Construindo outra tabela para essa função temos: 
 
x y 
-1 5 
 
29 
 
0 2 
1 -1 
2 - 4 
3 - 7 
 
Neste caso, o x varia de 1 em 1 enquanto o y varia de –3 em –3. 
 
Note que a variação do y não é a mesma da função anterior, mas durante este caso, ela não se 
modifica, mantendo-se sempre uma queda de três unidades entre um y e o posterior, desde que x 
aumente de uma unidade. 
 
Note também que essa variação, tanto neste caso quanto no anterior, é igual ao coeficiente angular 
das retas que representam ambas as funções. Então podemos concluir que: 
 
x
y
xx
yy
a
∆
∆
=
−
−
=
12
12 
 
O coeficiente angular de uma função f é, na verdade, a taxa de variação de f . 
 
Equação da reta dados um ponto e o coeficiente angular. 
 
Conhecendo um ponto ( )111 , yxP e o coeficiente angular a é possível, a partir deles, determinar a 
equação da reta, baxy += , que passa por 1P e tem coeficiente angular a. 
Para isso, necessitamos calcular o valor de b já que conhecemos previamente o valor de a. Essa 
tarefa pode ser executada por um dos dois os métodos abaixo: 
• Usando substituição direta dos valores de P 1 na fórmula baxy += . 
• Observando que segue diretamente da equação do coeficiente angular que a equação procurada 
é dada por: 
( )11 xxayy −=− 
Exemplo: Determine a equação da reta que passa pelo ponto ( )8,31P cujo coeficiente angular é 
2−=a . 
 Observe que ( )



=
=

8
3
8,3
1
1
1
y
x
P 
Assim, para resolver esse problema usaremos os dois métodos citados acima: 
 
1) Usando Substituição de 1P em baxy += 
Como já sabemos que 2−=a a equação acima se reduz a bxy +−= 2 
Substituindo os valores de x e y tomados em 1P temos: 
 
14328 =+⋅−= bb 
Portanto, a equação procurada é: 
 
142 +−= xy 
 
2) Usando a Fórmula ( )11 xxayy −=− 
Substituindo os valores de a 1x e 1y na equação acima temos: 
 
( ) 142862628328 +−=++−=+−=−−−=− xyxyxyxy 
 
30 
 
 
Portanto, a equação procurada é: 
142 +−= xy 
 
Equação da reta dados dois pontos. 
 
Conhecendo dois pontos, ( )111 , yxP e ( )222 , yxP , do gráfico de uma função é possível, a partir 
deles, determinar a equação da reta, baxy += , que passa por eles. 
Para isso, necessitamos calcular os valores de a e b. Essa tarefa pode ser executada por um dos 
dois os métodos abaixo: 
• Usando Sistema de Equações Lineares 
• Usando a Fórmula do Coeficiente Angular 
 
Exemplo 1: Determine a equação da reta que passa pelos pontos ( )3,11P e ( )7,32P . 
Seja baxy += a equação procurada. Colocando os pontos 1P e 2P em uma tabela temos: 
 
 x y 
→
1
x 1 3 
1
y← 
→
2
x 3 7 
2
y← 
 
Vamos resolver esse problema usando os dois métodos citados acima: 
 
1) Usando Sistema de Equações Lineares: 
Substituímos os valores de x e y dos pontos 1P e 2P na equação baxy += obtemos: 
 
( )
( ) bap
baP
+=
+=
377,3
33,1
2
1 
 
 
Resolvendo o sistema 



=+
=+
73
3
ba
ba
 encontramos os valores a = 2 e b = 1. 
 
Logo a equação é: 
12 += xy 
 
2) Usando a Fórmula do coeficiente angular 
Já vimos que o coeficiente angular de uma reta é dado por: 
 
12
12
xx
yy
a
−
−
= 
 
Assim substituindo os valores de 1P e 2P nessa equação temos: 
 
2
13
37
=
−
−
=a 
Então podemos escreve 
bxy += 2 
 
 
31 
 
Agora, substituímos um dos dois pontos para calcular b, por exemplo, o primeiro ponto: 
 
( ) 11.233,11 =+= bbP 
 
Portanto, a equação é: 
12 += xy 
 
Exemplo 2: Obtenha a função cujo gráfico é dado pela figura abaixo: 
 
 
Do gráfico obtemos ( )2,01P e ( )4,02P que dá origem à seguinte tabela: 
 
x y 
0 2 
4 0 
 
Seja baxy += a equação procurada. Substituindo os valores de x e y dos pontos 1P e 2P nessa 
equação temos o seguinte sistema: 
 
( )
( )


=+
=




+⋅=
+⋅=
IIba
Ib
ba
ba
04
2
40
02
 
 
Substituindo ( I ) em ( II ) obtemos: 
2
1
024 −==+ aa 
Logo a equação procurada é: 
 
2
2
1
+−= xy 
 
2.3. Função Quadrática ou Função do 2º grau 
 
Uma função Quadrática é uma Função Polinomial de grau 2. Isto é, Função Quadrática é toda 
função do tipo: 
( ) cbxaxxf ++= 2 
 
Em que a, b e c são constantes reais e 0≠a . 
 
Exemplo: São funções quadráticas: 
 
 
32 
 
( )





−=
=
=
−+=
3
2
5
325 2
c
b
a
xxxf 





=
−=
=
+−=
8
6
1
862
c
b
a
xxy 
 
( )





=
=
−=
+−=
9
0
2
92 2
c
b
a
xxf 





=
=
−=
+−=
0
10
1
102
c
b
a
xxy 
 
O gráfico desse tipo de função é uma curva chamada parábola. A concavidade da parábola é 
voltada para cima se 0>a e voltada para baixo se 0<a . 
 
 
 
 0>a 0<a 
 
O ponto V do gráfico acima é chamado Vértice da parábola e suas coordenadas são dadas por: 
( )vv yxV , Onde 
( )






=
∆−
=
−
=
vvv
v
xfy
a
y
a
b
x
ou 
4
2 
 
Observe que se 0>a , V é um ponto de mínimo da parábola e se 0<a , V é um ponto de máximo 
da parábola. 
A reta vxx = é chamada de eixo de simetria da Parábola. 
 
Os eventuais pontos de interseção da parábola com o eixo x são obtidos fazendo 0=y . 
Isto é, resolvendo a equação 02 =++ cbxax . 
Segue dos nossos estudos anteriores que: 
 
>∆ 0 A parábola corta o eixo x em dois pontos distintos 
=∆ 0 A parábolacorta o eixo x em um único ponto (que é o vx ) 
<∆ 0 A parábola não corta o eixo x 
 
A interseção com o eixo y é obtida fazendo-se 0=x . 
Portanto 
cycbayx =+⋅+⋅== 000 2 
 
Logo a parábola corta o eixo y no ponto cy = 
 
33 
 
 
Para esboçarmos o gráfico de uma parábola precisamos de, no mínimo, 3 pontos distintos sendo 
um deles o vértice da parábola e outros dois escolhidos de forma que um seja menor que vx e 
outro seja maior que vx . Observe que se a parábola corta o eixo x em dois pontos, esses pontos 
podem ser os escolhidos. 
 
Exemplo 1: Construa o gráfico das funções abaixo: 
 
a) 862 +−= xxy 
 
1) Cálculo dos pontos que cortam o eixo x 
Aqui, devemos resolver a equação: 0862 =+− xx 
Temos que: 
 
( )






=
+
=
=
−
=

±
=
±−−
=
=−=−−=∆
4
2
26
2
2
26
2
26
1.2
46
432368.1.4)6(
2
1
2
x
x
x
 
Colocando esses valores em uma tabela temos: 
 
x y 
2 0 
4 0 
 
2) Cálculo do vértice 
Usando as fórmulas de vx e vy temos: 
( )
1
14
4
3
12
6
−=
⋅
−
=
=
⋅
−−
=
v
v
y
x
 
 
Completando a tabela acima: 
 
x y 
2 0 
4 0 
3 -1 
 
 
 
3) Construção do gráfico 
Para esboçar o gráfico de y devemos marcar o ponto das tabelas acima no plano e ligá-los. 
 
 
34 
 
 
 
b) 210 xxy −= 
 
1) Cálculo dos pontos que cortam o eixo x 
Aqui, devemos resolver a equação: 010 2 =− xx 
Colocando x em evidência temos que: 
 
( )



=
=
=−==−
10
0
010ou 0010
2
1
x
x
xxxx 
 
Colocando esses valores em uma tabela temos: 
 
x y 
0 0 
10 0 
2) Cálculo do vértice 
Usando as fórmulas de vx e vy temos: 
 
( )
2525505510
5
2
10
12
10
2
=−=−⋅=
=
−
−
=
−⋅
−
=
v
v
y
x
 
 
Completando a tabela acima: 
x y 
0 0 
10 0 
5 25 
 
3) Construção do gráfico 
Para esboçar o gráfico de y devemos marcar o ponto das tabelas acima no plano e ligá-los. 
 
 
35 
 
 
 
c) 12 += xy 
 
1) Cálculo dos pontos que cortam o eixo x 
Aqui, devemos resolver a equação: 012 =+x . 
Isolando x temos que: 
−= 12x A equação não tem raízes reais. 
Portanto, a parábola não corta o eixo x. 
 
2) Cálculo do vértice 
Usando as fórmulas de vx e vy temos: 
110
0
12
0
2
=+=
=
⋅
−
=
v
v
y
x
 
 
3) Cálculo de outros dois pontos. 
Devemos escolher dois valores para x de forma que um seja maior que o vx e o outro seja menor. 
Tomando 11 −=x e 12 =x , por exemplo, temos: 
( ) ( )
( ) 211111
211111
2
2
=+=+=
=+=+−=−
y
y
 
 
Colocando esses valores em uma tabela temos: 
 
 
 
 
 
4) Construção do gráfico 
Para esboçar o gráfico de y devemos marcar o ponto das tabelas acima no plano e ligá-los. 
 
x y 
-1 2 
0 1 
1 2 
 
36 
 
 
 
Exemplo 2 – O gráfico abaixo representa a função cbxaxy ++= 2 . 
 
 
 
a) Observando o gráfico vemos que o vértice da parábola acontece no ponto ( )4,1 −P . Assim 



−=
=
4
1
v
v
y
x
 
b) Sabemos que o gráfico da parábola intercepta o eixo y na altura do c. Assim c = -3 
c) A parábola tem raízes em -1 e 3. Logo: 
( )
( ) 


−=−
=−







−=
−+=−
3/3
2
1.3
13
a
ab
a
c
a
b
 
Resolvendo esse sistema obtemos: 
 



−=
=
2
1
b
a
 
d) Usando os valores de a, b e c calculado nos itens anteriores obtemos: 
322 −−= xxy . 
e) Usando a lei de formação determinada acima 
( ) 036393.233 2 =−−−−=f 
Como já havíamos observado no gráfico. 
 
2.4. Aplicações das Funções Lineares e Quadráticas 
 
Vamos resolver alguns exemplos de situações do nosso cotidiano que podem ser modeladas usando 
funções de 1º e 2º Graus. 
Determine: 
a) As coordenadas do vértice. 
b) O valor de c. 
c) Os valores de a e b. 
d) A lei que define a função. 
e) O valor de y, para x = 3 
 
37 
 
 
Exemplo 1 – Uma empresa para construir uma estrada, cobra uma taxa fixa e uma taxa que varia 
de acordo com o número de quilômetros de estrada construída. O gráfico abaixo descreve o custo 
da obra, em milhões de dólares, em função do número de quilômetros construídos. 
 
 
 
a) Obtenha a lei ( )xfy = , para 0≥x , que determina este gráfico. 
b) Determine a taxa fixa cobrada pela empresa para a construção da estrada. 
c) Qual será o custo total da obra, sabendo que a estrada terá 50 km de extensão? 
 
Resolução: 
a) O gráfico é parte de uma reta que passa pelos pontos ( )4,0 e ( )5,10 . A lei de formação da 
função é baxy += . Devemos determinar os valores de a e b. 
 Substituindo os valores de x e y dos pontos da função nesta equação encontramos: 




=
=




=+
=+
10
1
4
510
4.0
a
b
ba
ba
 
Assim, a função procurada é ( ) 4
10
+=
x
xf . 
 
b) A taxa fixa é obtida fazendo 0=x , ou seja, o início da obra: 
( ) 44
10
0
0 =+=f 
Assim a taxa fixa cobrada pela construtora é de 4 milhões de dólares. 
 
c) Para calcularmos o custo total da obra, basta fazermos 50=x , ou seja, o término da obra: 
( ) 94
10
50
50 =+=f 
Logo o custo total da obra será de 9 milhões de dólares. 
 
Exemplo 2 – Um triângulo ABC, retângulo em A, possui os catetos AB e AC medindo, 
respectivamente, 4 cm e 8 cm. Um retângulo ADEF é inscrito nesse triângulo, de modo que os 
pontos D, E e F pertençam, respectivamente, aos lados AC, CB e AB. Calcule a área máxima que 
pode ter este retângulo. 
 
38 
 
 
Resolução: 
Sejam x a medida do lado AD do retângulo e y a medida do lado DE do retângulo. 
Usando semelhança entre os triângulos ABC e DEC, temos que: 
( )xy
yx
−==
−
8
2
1
48
8
 
A área ( )xS do retângulo é dada por: 
( )
( )
( ) ( )28
2
1
2
8
. xxxS
x
xxS −=
−
= 
O gráfico desta função é uma parábola com concavidade voltada para baixo de forma que seu 
valor máximo acontece em seu vértice. 
A coordenada x do vértice desta parábola é dada por: 
( )
4
1.2
8
=
−
−
=vx 
Logo, a área máxima do retângulo procurado é: 
( ) ( ) 22 844.8
2
1
4 cmS =−= . 
 
 
39 
 
 
3. FUNÇÕES DEFINIDAS POR PARTES E FUNÇÕES 
MODULARES 
 
3.1. Funções Definidas Por Partes 
 
Funções definidas por partes são funções definidas por fórmulas diversas em diferentes partes do 
seu domínio. 
Exemplo 1: Seja f a função definida por ( )



>−
≤−
=
1 se1
1 se 1
xx
xx
xf 
Calcule ( ) ( ) ( )2 e 1 ,0 fff e esboce seu gráfico. 
Lembre-se que toda função é uma regra. Para essa função em particular a regra é a seguinte: 
 
“Olhe primeiro o valor de x. Se 1≤x , então o valor de ( )xf será x−1 . Por outro lado, se 1>x , 
então o valor de ( )xf será 1−x .” 
 
Assim, 
( )
( )
( ) 1122 temos,12 Como
0111 temos,11 Como
1010 temos,10 Como
=−=>
=−=≤
=−=≤
f
f
f
 
 
Como fazer o gráfico de f? 
Observe que a parte do gráfico de f à esquerda da reta vertical 1=x deve coincidir com a reta 
xy −= 1 , enquanto que a parte do gráfico de f à direita da reta vertical 1=x deve coincidir com a 
reta 1−= xy . Neste caso, precisamos de apenas dois pontos de cada lado da reta 1=x para 
esboçar seu gráfico. 
Considere então as tabelas: 
 
1≤x 1>x 
 x y = 1 - x x y = x - 1 
0 1 1 0 
1 0 2 1 
 
Logo: 
 
 
Exemplo 2: Esboce o gráfico da função definida por ( )



−>
−≤+
=
2 se3
2 se 12
x
xx
xf 
 
40 
 
Seguindo os mesmos passos do exemplo anterior podemos construir as seguintes tabelas: 
 
2−≤x 2−>x 
x y = 2x + 1 x y = 3 
-3 -5 -2 3 
-2 -3 1 3 
Assim: 
 
 
 
 
Exemplo 3: Esboce o gráfico da função definida por ( )





≥−
<<−
−≤+
=
1 se 7
11 se 6
1 se 12
xx
x
xx
xf 
 
Neste caso precisamos construir três tabelas, pois a função tem três leis de formação. 
 
1−≤x 11 <<− x 1≥x 
x y = x2 + 1 x y = 6 x y = 7 - x 
-2 5 -1 6 1 6 
-1 2 1 6 2 5 
 
Assim: 
 
 
Exemplo 4: Em determinado país, o imposto de renda é igual a 10% da renda, para rendas até 
$900,00. Para rendas acima de $ 900,00, o imposto de renda é igual a $ 90,00 (10% de $900,00) 
mais 20% da parte da renda que excede $900,00. Chamando de x a renda e de ( )xI o imposto de 
renda, obtenha a função que calcula o imposto de renda desse país. 
 
41 
 
 
( )xI é um função definidapor partes pois para rendas diferentes temos regras diferentes. 
 
Se 900≤x então, o imposto será 10% de x. Isto é 
( ) xxI 1,0= 
Se 900>x então, o imposto será 90 mais 20% de ( )900−x . Isto é: 
 
( ) ( ) 902,09002,090 −=−+= xxxI 
 
Logo, 
( )



>
≤≤
=
900 se 9020
9000 se 1,0
x x-,
xx
xf 
Fazendo seu gráfico obtemos: 
 
 
 
3.2. Funções Modulares 
 
Dado um número real x, sempre existe x e seu valor é único. Podemos então, definir uma função 
+→ RRf : tal que ( ) xxf = chamada de Função Modular. 
Usando a definição de x temos que: 
( )



<−
≥
=
0 se
0se
xx
xx
xf 
 
Observe que a função modular é uma função definida por partes. 
Graficamente temos: 
 
 
 
 
42 
 
 
Exemplo 1: Dada a função ( ) 3−= xxf : 
a) Calcule os valores de ( )0f , ( )5f , ( )3f , ( )1−f e 





2
1
f 
b) Escreva ( )xf como uma função definida por partes. 
c) Esboce o gráfico de ( )xf . 
 
Resolução: 
 
a) ( ) 33300 =−=−=f ( ) 22355 ==−=f ( ) 00333 ==−=f 
 
( ) 44311 =−=−−=−f 
2
5
2
5
3
2
1
2
1
=−=−=





f 
 
b) Temos que: 
( )


<−−−
≥−−
=−
03 se3
03se3
3
xx
xx
x 
Assim, 
( )



<+−
≥−
=
3 se3
3se3
xx
xx
xf 
 
c) Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas: 
 
3<x 3≥x 
x y = - x + 3 x y = x - 3 
2 1 3 0 
3 0 4 1 
 
Marcando esses pontos no plano cartesiano temos: 
 
 
 
 
Observe que este é o gráfico de xy = deslocado de 3 unidades para a direita. 
 
Exemplo 2: Dada a função ( ) 1+= xxf : 
 
43 
 
a) Calcule os valores de ( )0f , ( )5f , ( )3f , ( )1−f e 





2
1
f 
b) Escreva ( )xf como uma função definida por partes. 
c) Esboce o gráfico de ( )xf . 
Resolução: 
 
a) ( ) 110100 =+=+=f ( ) 615155 =+=+=f ( ) 413133 =+=+=f 
 
( ) 211111 =+=+−=−f 
2
3
1
2
1
1
2
1
2
1
=+=+=





f 
 
b) Temos que: 



<−
≥
=
0 se
0se
xx
xx
x 
Somando 1 a cada uma das expressões acima temos: 
 
( )



<+−
≥+
=
0 se1
0se1
xx
xx
xf 
 
c) Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas: 
 
0<x 0≥x 
x y = - x + 1 x y = x + 1 
0 1 1 2 
-1 2 0 1 
 
Marcando esses pontos no plano cartesiano temos: 
 
 
 
Observe que este é o gráfico de xy = deslocado de 1 unidades para cima. 
 
Exemplo 3: Esboce o gráfico de ( ) xxf −= 
 
Temos que ( )



<
≥−
=
 0 se 
0 sex 
xx
x
xf 
 
 
44 
 
Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas: 
 
0<x 0≥x 
x y = x x y = - x 
0 0 1 -1 
-1 -1 0 0 
 
Marcando esses pontos no plano cartesiano temos: 
 
 
 
Observe que este gráfico é a reflexão do gráfico de xy = em relação ao eixo x. 
 
Exemplo 4: Dada a função ( ) 32 −+= xxf : 
a) Calcule os valores de ( )0f , ( )5f , ( )2−f e ( )6−f 
b) Calcule os valores de x para os quais ( ) 0=xf 
c) Escreva ( )xf como uma função definida por partes. 
d) Esboce o gráfico de ( )xf . 
 
Resolução: 
 
a) ( ) 132323200 −=−=−=−+=f ( ) 437373255 =−=−=−+=f 
 
 ( ) 330303222 −=−=−=−+−=−f ( ) 134343266 =−=−−=−+−=−f 
 
b) Temos que determinar x tal que 032 =−+x . Vamos resolver esta equação: 
 
( )
( )


−=+
=+
=+
=−+
IIx
Ix
x
x
32
32
32
032
 
Resolvendo ( )I e ( )II temos: 
( ) 132 ==+ xxI e ( ) 532 −=−=+ xxII 
 
c) Temos que: 
( )


<++−
≥++
=+
02 se2
02se2
2
xx
xx
x 
 
45 
 
Isto é, 



−<−−
−≥+
=+
2 xse 2
2 xse 2
2
x
x
x 
 
Subtraindo 3 a cada uma das expressões temos: 
 
( )



−<−−
−≥−
=
2 se5
2se1
xx
xx
xf 
 
d) Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas: 
 
2−<x 2−≥x 
x y = - x - 5 x y = x - 1 
-5 0 -2 -3 
-2 -3 1 0 
 
Marcando esses pontos no plano cartesiano temos: 
 
 
 
Observe que este é o gráfico de xy = deslocado de 2 unidades para a esquerda e de 3 unidades 
para baixo. 
 
Exemplo 5: Esboce o gráfico da função ( ) xxf 3= : 
 
Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas: 
 
0<x 0≥x 
x y = - 3x x y = 3x 
0 0 1 3 
-1 3 0 0 
 
Marcando esses pontos no plano cartesiano podemos observar que o gráfico de ( ) xxf 3= é o 
gráfico de xy = esticado verticalmente de 3 unidades: 
 
 
46 
 
 
 
Exemplo 6: Esboce o gráfico da função ( ) 22 xxf −= . 
 
O gráfico de ( )xfy = deve ser feito a partir do gráfico de 22 xy −= refletindo a parte negativa 
deste último em relação ao eixo x. 
Observe o gráfico de 22 xy −= . 
 
 
Assim podemos escrever ( )xf como uma função definida por partes: 
 
 
( )




>−
≤−
=
2 se 2
2 se 2
2
2
xx
xx
xf 
 
Dessa forma seu gráfico é dado por: 
 
 
 
 
 
47 
 
Exemplo 7: Esboce o gráfico da função ( )
x
x
xf = : 
Temos que: 



<−
≥
=
0 se
0se
xx
xx
x 
Dividindo por x temos que: 






<−
>
=
 0 se 
0 se 
x
x
x
x
x
x
x
x
 
Assim, 
 
( )



<−
>
=
 0 se 1
0 se 1
x
x
xf 
 
Portanto o gráfico de f(x) é uma reta horizontal na altura do 1 se 0>x e uma reta horizontal na 
altura do – 1 se 0<x . 
 
 
Exemplo 8: Esboce o gráfico da função ( ) 12 ++−= xxxf : 
 
Temos que: 



<+−
≥
=−
 2 se 2
2 se 2-
2
xx
xx
x e 



−<−−
−≥+
=+
 1 se 1
1 se 1
1
xx
xx
x 
 
Para escrever f(x) como uma função definida por partes, iremos usar uma tabela na qual 
escreveremos a lei de formação de cada um dos módulos nas diferentes partes de seus domínios. 
 
 1−<x 21 <≤− x 2≥x 
2−x 2+− x 2+− x 2−x 
1+x 1−− x 1+x 1+x 
12 ++− xx 12 +− x 3 12 −x 
 
Assim, 
 
 
48 
 
( )





<+−
<≤
≥
=
 -1 xse 12
21- se 3
2 se 1-x2
x
x
x
xf 
 
Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas: 
 
1−<x 21 <≤− x 2≥x 
x y = - 2x + 1 x y = 3 x y = 2x - 1 
-2 5 -1 3 2 3 
-1 3 2 3 3 5 
 
Marcando esses pontos no plano cartesiano temos que: 
 
 
 
 
 
Exemplo 9: Esboce o gráfico da função ( ) 13 −−+= xxxf : 
 
Temos que: 



−<−−
−≥+
=+
3 se 3
3 se 3
3
xx
xx
x e 



<+−
≥−
=−
 1 se 1
1 se 1
1
xx
xx
x 
 
Para escrever f(x) como uma função definida por partes, iremos usar uma tabela na qual 
escreveremos a lei de formação de cada um dos módulos nas diferentes partes de seus domínios. 
 
 3−<x 13 <≤− x 1≥x 
3+x 3−− x 3+x 3+x 
1−x 1+− x 1+− x 1−x 
13 −−+ xx 4− 22 +x 4 
 
Assim, 
 
( )





<−
<≤+
≥
=
 -3 xse 4
13- se 2x2
1 se 4
x
x
xf 
 
49 
 
 
Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas: 
 
3−<x 13 <≤− x 1≥x 
x y = - 4 x y = 2x + 2 x y = 4 
-4 - 4 -3 - 4 1 4 
-3 - 4 1 4 2 4 
 
Marcando esses pontos no plano cartesiano temos que: 
 
 
 
Exemplo 10: Dois veículos estão em uma mesma reta. Um deles parte de um ponto A com 
velocidade média de hkm /80 . No mesmo instante e em sentido oposto, um outro veículo parte de 
B com velocidade média de hkm /90 . Sabendo que a distância AB é de km340 , determine: 
a) As equações horárias dos dois veículos; 
b) O instante a posição de encontro dos dois veículos 
c) Os instantes em que a distância que os separa é de km170 . 
 
Resolução 
a) Adotando o sentido de A para B como positivo e lembrando que a equação do movimento 
retilíneo uniforme vtss += 0 , temos: 
Para o veículo A: Para o veículo B: 
( ) tts
v
s
A 8080
00
=



=
=
 ( ) tts
v
s
B 9034090
3400
−=



−=
=
 
 
b) No instante do encontro os dois automóveis devem se localizar na mesma posição, isto é, 
BA ss = , logo: 
hora 
2
1
17034017090809034080 ===+−= tttttt 
Neste instante a posição dos veículos será: 
kmsA 402
1
.80
2
1
==




 
 
Portanto os veículos se encontrarão à km40 do ponto A após 30min do início do movimento. 
 
c) Sabemos que a distância que separa os dois veículos é dada por AB ssd −= . 
Assim, 
A 
B 
 
50 
 
tdttd 1703408090340 −=−−= 
Como queremos determinar t para kmd 170= devemos resolvera equação: 
 



==−=−
===−
=−
httt
httt
t
3510170170170340
1170170170170340
170170340 
 
Assim, a distância entre os veículos será de km170 1h e 3h após o início do movimento.