Lista 3 derivadas II

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Lista 3 - Derivadas II
Prof. André Mandolesi
Derivação Implícita
1) Resolva por derivação implícita.
a) Dada a equação xy + sen y = x2 − 4, calcule dy
dx
no ponto (2, 0).
b) Ache a reta tangente à curva descrita por x3y2 + x = y3 + y no ponto (1, 1).
c) Ache os pontos nos quais a reta tangente à curva x2 − xy + y2 = 4 é horizontal.
d) Se x e y estão relacionados por
√
xy + 2y =
√
x, calcule dx
dy
.
Dica: considere x = x(y) e derive a equação em relação a y.
Taxas Relacionadas
2) O raio r, altura h, e volume V de um cone circular são relacionados por V = pir
2h
3
.
Ache a equação relacionando as taxas de variação dessas três quantidades (em relação
ao tempo).
3) Uma placa de gelo retangular está derretendo, com sua largura e seu comprimento
diminuindo 2mm/min e 5mm/min, respectivamente. A que taxa sua área diminui
quando a largura for 4 cm e o comprimento 10 cm?
4) Uma escada de 5m está apoiada em um muro, sua base está escorregando a uma
velocidade de 20 cm/s. A que velocidade o topo da escada estará caindo quando a
base estiver a 3m do muro?
5) Estima-se que, quando certo produto custa p reais, vendem-se x mil unidades dele,
sendo que x2 + 3xp− p2 = 12. Se o preço atual é R$ 2,00 mas está caindo a uma taxa
de 30 centavos por mês, a que taxa as vendas devem estar aumentando?
Trigonométricas Inversas
6) Dê os valores de:
a) arcsen
√
2
2
b) arccos(−
√
3
2
)
c) arctan(−√3)
d) arcsec(2)
e) sen(arcsen(−1
2
))
f) cos(arccos 0,3)
g) tan(arctan 25)
h) sen(arccos 1
2
)
i) cos(arctan(−1))
j) arcsen(sen pi
3
)
k) arcsen(sen 5pi
4
)
l) arccos(cos 2pi)
m) arcsen(sen 7pi
8
)
n) arccos(cos 6pi
5
)
o) arctan(tan 9pi
7
)
7) Resolva a equação senx =
√
2−√2
2
, sabendo que arcsen
(√
2−√2
2
)
=
pi
8
.
8) Prove que:
a) cosx = y ⇒ x = ± arccos y + 2kpi (k ∈ Z)
b) arcsenx+ arccosx = pi
2
c) arccos(−x) = pi − arccosx
d) sen(arccosx) =
√
1− x2
e) sec(arctanx) =
√
1 + x2
f) (arccosx)′ = − 1√
1− x2
g) (arctanx)′ =
1
1 + x2
9) Trace o gráfico de f(x) = arccos(cos x) com um software, e tente entendê-lo.
Funções Hiperbólicas
10) Prove que:
a) coshx+ senhx = ex
b) cosh2 x− senh2 x = 1
c) senh(−x) = − senhx
d) senh(a+ b) = senh a · cosh b+ senh b · cosh a
e) cosh(a+ b) = cosh a · cosh b+ senh a · senh b
f) senh 2x = 2 senh x coshx
g) cosh 2x = cosh2 x+ senh2 x
h) senh−1 x = ln(x+
√
1 + x2)
i) (coshx)′ = senhx
j) (tanhx)′ = sech2 x
k) (sechx)′ = − sechx tanhx
l) (senh−1 x)′ =
1√
1 + x2
Teoremas
11) Use os Teoremas de Fermat, de Rolle, do Valor Intermediário, e do Valor Médio para
mostrar que:
a) f(x) = x3 − 6x2 + 15x− 12 não tem extremos locais.
b) f(x) = x3 − 6x2 + 15x− 12 não pode ter mais que uma raiz real.
c) f(x) = x3 − 6x2 + 15x− 12 tem exatamente uma raiz real.
d) a equação 2x5 + x3 + 3x = 2 tem exatamente uma solução real.
e) se k > 1, a equação cosx = kx tem no máximo uma solução real.
f) g(x) = 4x3 − 4x+ 1 tem pelo menos uma raiz no intervalo [0, 1].
Dica: observe que g = f ′, com f(x) = x4 − 2x2 + x.
g) se um carro levou 2h para percorrer uma estrada do quilômetro 50 ao 240, então
houve pelo menos um instante no qual sua velocidade foi exatamente 95 km/h.
12) Use o corolário do Teorema do Valor Médio para provar que:
a) se f ′(x) = 1 + 2 cos3 x e f(0) = 3, então 1 ≤ f(2) ≤ 9.
b) lnx < x− 1 para todo x > 1.
c) 0 < senx < x para todo 0 < x < pi
2
.
d)
√
y −√x < y − x
2
√
x
se 0 < x < y.
e)
x
1 + x2
< arctanx < x para todo x > 0.
Crescimento
13) Estude o sinal da derivada para determinar em que intervalos as funções abaixo são
crescentes ou decrescentes:
a) f(t) = t5 − 10t3
b) f(x) = x3 − 6x2 + 15x− 12
c) h(x) = xe−x
d) g(x) =
x2
1− x
e) f(x) = ln(x2 + 2x+ 2)
Extremos
14) Ache e classifique os extremos locais das funções.
a) f(x) = x3 − 3x2
b) y(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2
c) f(x) = x3 − 6x2 + 9x+ 1
d) f(x) =
x2
x− 3
e) g(x) = x lnx
f) u(x) = 3x5 − 5x3
g) h(x) =
ex
x
h) f(t) = ln(t2 − 4t+ 5)
i) f(x) = 3
√
2x− x2 − 1
j) y(x) = |x2 − 9|
15) Ache os extremos absolutos das funções nos intervalos dados.
a) f(x) = x4 + 4x3 − 8x2 − 6, em [0, 2]
b) f(x) = (x2 − 1)3, em [−1, 2]
c) f(x) = x4 − x2, em [−1, 1]
d) f(x) = x+ 2 cosx, em [0, pi
2
]
e) f(x) = ln(x2 + x+ 1), em [−1, 1]
f) f(x) = 2 cosx+ sen 2x, em [0, pi
2
]
Dica: use cos 2x = 1− 2 sen2 x em f ′, substitua senx = y, resolva a equação do 2o
grau em y, e volte para x.
g) f(x) = 3
√
(x− 2)2, em [1, 4]
Problemas de Otimização
16) Um retângulo de papelão de 16 cm × 10 cm será cortado e dobrado, como na figura,
para formar uma caixa, com tampa, de maior volume possível. Determine quais serão
o comprimento C, a largura L, e a altura H da caixa.
Dica: expresse C e L em termos de H, e ache a fórmula do volume em função de H.
17) Ache o raio r e a altura h do cilindro circular reto de maior volume que possa ser
inscrito em um cone circular reto com raio da base R = 15 cm e altura H = 36 cm.
Dica: por semelhança de triângulos, mostre que
H − h
r
=
H
R
.
18) Mostre que, dos retângulos com certo perímetro p, o que tem maior área é o quadrado.
19) Uma lata cilíndrica, sem tampa, deve ter uma área total (somando a base e a lateral)
igual a A. Mostre que o seu volume será máximo se o raio e a altura forem iguais.
20) Uma fábrica vende um produto a $200 por unidade, e o custo para produzir x unidades
em um mês é C(x) = 500.000 + 80x+ 0,003x2. Se a capacidade máxima de produção
for de 25.000 unidades por mês, e puder ser toda vendida, quantas unidades devem ser
produzidas por mês para maximizar o lucro? Qual seria esse lucro?
Dica: o lucro é dado por L(x) = 200x− C(x). Use notação científica para facilitar as
contas (0,003 = 3 · 10−3; 500.000 = 500 · 103, etc.).
21) Calcule a distância do ponto (0, 1) até a parábola y = x2.
Dica: a distância de (0, 1) até um ponto (x, x2) da parábola é d(x) =
√
x2 + (x2 − 1)2.
Como a raiz é crescente, minimizar d(x) equivale a minimizar f(x) = x2 + (x2 − 1)2.
22) Se um triângulo isósceles tem lado L dado, qual base B dará a maior área possível?
Dica: mostre que a altura é H =
√
4L2 −B2
2
, e maximize a área como função de B.
23) Um disco de papel de raio R, cortado para sobrar um setor circular de ângulo θ, é
dobrado para formar um cone circular reto, como na figura. Determine θ para que o
cone tenha o maior volume possível.
Dica: o arco restante é C = θR, e será a circunferência da base do cone. Use-a para
achar o raio r da base. A geratriz do cone (segmento do vértice até a circunferência
da base) é o raio R do disco, use-o para achar a altura h. Ponha o volume V =
pir2h
3
do cone em termos de θ e R, e maximize-o em relação a θ.
24) Um agricultor sai de sua casa C, a 50m da margem reta de um rio, pega água em um
ponto P, e a leva até sua horta H, a 30m do rio, como na figura. Se a distância AB é
de 200m, determine a distância AP para o trajeto ser o menor possível.
Dica: se chegar à equação
x√
2500 + x2
=
200− x√
900 + (200− x)2 , eleve ao quadrado,
multiplique cruzado, expanda os produtos e quadrados, e simplifique para obter uma
equação do 2o grau. Use notação científica para trabalhar com números grandes.
Obs: há uma maneira bem mais fácil de resolver, sem usar cálculo. Tente descobrir!
Regra de L'Hopital
25) Calcule os limites (pela Regra de L'Hopital, se possível).
a) lim
x→2
x3 − 2x− 4
x2 − 2x
b) lim
x→1
xn − 1
x− 1
c) lim
x→0+
ex − 1
x2
d) lim
x→3−
x2 + 9
x− 3
e) lim
x→0
sen 4x
tan 3x
f) lim
x→∞
lnx
x4
g) lim
x→∞
√
x
lnx
h) lim
x→0
√
1 + x−√1− x
x
i) lim
x→0
sen2 x
ex − x− 1
j) lim
x→∞
x3
ex
k) lim
x→0
x− senxx3
26) Um resultado útil é que, para t grande o bastante, et é muito maior que qualquer tn (o
crescimento exponencial é muito mais rápido que o polinomial), e ln t é muito menor
que
n
√
t (o crescimento logarítmico é muito mais lento que o de qualquer raiz). Para
provar isso, mostre que:
a) lim
t→∞
et
tn
=∞ b) lim
t→∞
ln t
n
√
t
= 0
27) Reescreva os limites para calculá-los usando a Regra de L'Hopital.
a) lim
x→∞
x sen( 1
x
)
b) lim
x→∞
x3e−x
2
c) lim
x→0+
(
1
x
− 1
ex − 1
)
d) lim
x→pi
2
(secx− tanx)
e) lim
x→∞
(x− lnx)
f) lim
x→1+
x
1
1−x
g) lim
x→∞
x
1
x
h) lim
x→0+
x
√
x
Análise de Gráficos
28) Esboce o melhor gráfico que puder das funções abaixo. Dê as coordenadas dos pontos
mais importantes, e mostre seus cálculos.
a) f(x) = x3 + 6x2 + 9x
b) f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 2
c) f(x) =
6x2
3x2 + 1
d) f(x) =
(x2 + 3)(x+ 1)
x2 − 1
e) f(x) =
√
x2 + x− 2
f) f(x) = 5
3
√
x2 − 3
√
x5
g) f(x) = x lnx
h) f(x) = sen4x
Diferenciais
29) Encontre o diferencial da função.
a) y = x5
b) y = x2 senx
c) u = x2y4
d) u =
lnx
x
e) x = cos
√
t
30) Usando diferenciais, estime quanto y varia quando x passa de x1 para x2. Compare
com a variação exata, obtida com uma calculadora.
a) y = x3, x1 = 1, x2 = 1,2
b) y =
1
x
, x1 = 2, x2 = 2,1
c) y = lnx, x1 = 5, x2 = 4,95
d) y = ex, x1 = 0, x2 = 0,1
31) Resolva usando diferenciais.
a) Uma mancha circular tem 1 cm de raio. Estime o aumento na sua área se o raio
aumentar 1mm.
b) Uma embalagem deve ser produzida no formato de um cubo com 20 cm de aresta.
Se o volume da embalagem pode ter um erro máximo de 300 cm
3
, estime qual deve
ser a precisão no tamanho da aresta.
c) Uma casca esférica de metal deve ter 10 cm de raio interno e 4mm de espessura.
Estime o volume de metal necessário para fabricá-la.
d) A imprecisão nas medidas de uma mesa retangular de 4m× 1,5m é de até 2 cm em
cada lado. Calcule sua área, e estime a imprecisão do resultado.
e) Uma estrada de 50 km tem limite de velocidade de 100 km/h. Estime o aumento
no tempo de viagem se esse limite for reduzido para 90 km/h.
Obs: ache o valor exato e veja que, embora ∆v seja grande, a estimativa é boa.
f) A variação percentual de uma quantidade x é definida como sendo
∆x
x
· 100%.
Estime a variação percentual do volume de uma esfera, se seu raio aumentar 5%.
Dica: usando V =
4pir3
3
, mostre que
dV
V
= 3
dr
r
.
Aproximação Linear
32) Ache a aproximação linear das funções, para pequenos valores de x (isto é, use x0 = 0):
a)
√
9− x
b)
3
√
1 + x
c) (1 + x)n
d) senx
e) cosx
f) tanx
g) sen(pi + x)
h) ex
i) ln(1 + x)
33) Use aproximações lineares para estimar os seguintes valores (escolha um x0 adequado).
Compare com o valor de uma calculadora, para ver se a estimativa foi razoável.
Dica: quando for possível, pode aproveitar os resultados do exercício anterior.
a)
√
8,88
b)
√
23
c) 1,016
d) 0,98
e) sen 2◦
f) sen
11pi
10
g) tan
27pi
100
h) e0,5
i) ln 0,9
Polinômios de Taylor
34) Dada f(x), ache o polinômio de Taylor pedido.
a) f(x) = cos x, ache P6 com x0 = 0
b) f(x) = sen x, ache P5 com x0 = pi
c) f(x) =
√
1 + x, ache P3 com x0 = 0
d) f(x) = ln x, ache P4 com x0 = 1
35) Use os polinômios do exercício anterior para estimar os valores abaixo. Use a fórmula
do resto para estimar o erro da aproximação.
a)
√
2 b) ln 1,5
36) a) No Wolfram Alpha, digite:
taylor arctan(x) order 25 at x=0
Deve aparecer o polinômio de Taylor de ordem 25 de f(x) = arctanx em x0 = 0
(desconsidere o +O(27), ele indica apenas que o próximo termo seria de grau 27).
b) Use esse polinômio para estimar o valor de pi = 4 · arctan(1). Digite:
4*(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+1/17-1/19+1/21-1/23+1/25)
A aproximação é ruim, pois os termos diminuem devagar (cada novo termo pode ser
visto como uma correção no cálculo feito até o anterior). Sabendo que os polinômios
de Taylor de maior ordem do arctan seguem o mesmo padrão, note que mesmo o
de ordem 1000 dá precisão só até a 2ª casa decimal. Esse exemplo mostra que nem
sempre as aproximações por Taylor são eficientes. Veja na Wikipedia (em inglês)
uma lista de métodos melhores para o cálculo de pi:
https://en.wikipedia.org/wiki/Approximations_of_%CF%80
37) Uma função importante em Probabilidade é a função erro, definida por uma integral :
erf(x) =
1√
pi
∫ x
−x
e−t
2
dt.
Infelizmente, nenhum dos métodos usuais de integração funcionam com ela, e é possível
mostrar que essa função não pode ser escrita em termos das funções elementares. Mas
podemos aproximá-la usando polinômios de Taylor.
a) Mostre que erf(x) = 2√
pi
· f(x), onde f(x) = ∫ x
0
e−t
2
dt.
b) Use o Teorema Fundamental do Cálculo para obter f ′(x).
c) Ache o 5º polinômio de Taylor de erf(x).
d) Use esse polinômio para estimar o valor de erf(1).
e) No Wolfram Alpha, digite e^(-x^2), erf(x) para ver o gráfico dessas funções.
Tente entendê-los.
Respostas e Dicas
1) a)
4
3
b) y = 2x− 1
c)
(
2
√
3
3
, 4
√
3
3
)
e
(
−2
√
3
3
,−4
√
3
3
)
d)
dx
dy
=
x+4
√
xy√
y−y
2)
dV
dt
= 2pirh
3
· dr
dt
+ pir
2
3
· dh
dt
3) −4 cm2/min
4) −15 cm/s
5) 60 unidades por mês
6) a)
pi
4
b)
5pi
6
c) −pi
3
d)
pi
3
e) −1
2
f) 0,3
g) 25
h)
√
3
2
i)
√
2
2
j)
pi
3
k) −pi
4
l) 0
m)
pi
8
n)
4pi
5
o)
2pi
7
7) x =
pi
8
+ 2kpi ou x =
7pi
8
+ 2kpi (k ∈ Z).
8) a) A partir da solução x = arccos y, use simetrias do cosseno para achar as outras.
b) Faça x = sen θ e use a identidade cos(pi
2
− θ) = sen θ.
c) Faça x = cos θ e use a identidade cos(pi − θ) = − cos θ
d) Se x > 0, tome um triângulo retângulo de hipotenusa 1 e um cateto x, e seja θ o
ângulo adjacente ao x. Ache o outro cateto, e use para calcular sen θ. O caso x < 0
pode ser obtido fazendo x = −|x|, e usando simetria para cair no caso anterior.
e) Se x > 0, tome um triângulo retângulo de catetos 1 e x, e seja θ o ângulo adjacente
ao 1. Ache a hipotenusa, e use para calcular cos θ e então sec θ. O caso x < 0 pode
ser obtido fazendo x = −|x|, e usando simetria para cair no caso anterior.
f) Use a fórmula da derivada da inversa, e o item (d).
g) Use a fórmula da derivada da inversa, e o item (e).
9)
Para entender o gráfico, acompanhe, à medida que um
ângulo x varia no ciclo trigonométrico, qual ângulo x˜
no intervalo [0, pi] tem cos x˜ = cosx. Por definição,
arccos(cosx) = x˜.
10) Para a maioria, basta reescrever as funções hiperbólicas em termos de exponenciais,
de acordo com suas definições. Algumas dicas específicas:
d) Desenvolva primeiro o lado direito da equação.
e) Idem.
f) Use o item (d).
g) Use o item (e).
h) Faça y = senh−1 x, de modo que senh y = x. Reescreva essa equação em termos
de exponenciais. Faça a mudança de variáveis w = ey para obter uma equação
do 2º grau em w. Resolva e escolha a raiz positiva (já que w = ey > 0). A partir
de w ache y, que é o senh−1 x.
j) Reescreva a tanhx em termos de senhx e coshx.
l) Derive (h) usando a regra da cadeia. Para simplificar a expressão obtida, tire o
m.m.c. após derivar a função de dentro.
11) a) Mostre que f é diferenciável e f ′ não se anula, e use o Teorema de Fermat.
b) Se houvesse duas raízes a e b, ou seja, f(a) = f(b) = 0, pelo Teorema de Rolle f ′
se anularia em algum ponto.
c) Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que há uma raiz em [0, 2].
d) Use o Teorema do Valor Intermediário com f(x) = 2x5 + x3 + 3x em [0, 1], e o
Teorema de Rolle.
e) Use o Teorema de Rolle com f(x) = cos x− kx.
f) Como g(0) e g(1)têm mesmo sinal, não dá para usar o Teor. do Valor Intermediário.
Mas dá para aplicar o Teorema de Rolle a f em [0, 1].
g) Aplique o Teorema do Valor Médio à função posição s(t).
12) a) Observe que −1 ≤ 1 + 2 cos3 x ≤ 3, e use o corolário.
b) Use o corolário com f(x) = ln x e o intervalo [1, x]. Note que f ′(c) < 1 se c > 1.
c) Use o corolário com f(x) = sen x e o intervalo [0, x]. Observe que −1 < f ′(c) < 1
se 0 < c < pi
2
.
d) Idem, com f(x) =
√
x e [x, y]. Como a raiz é crescente, 1√
c
< 1√
x
se c ∈ (x, y).
e) Idem, com f(x) = arctan x e [0, x]. Observe que 1
1+x2
< 1
1+c2
< 1 se c ∈ (0, x).
13) a) Crescente em (−∞,−√6] e em [√6,∞), e decrescente em [−√6,√6].
b) Crescente em (−∞,∞).
c) Crescente em (−∞, 1] e decrescente em [1,∞).
d) Crescente em [0, 1) e em (1, 2], e decrescente em (−∞, 0] e em [2,∞) .
Obs: não é crescente em [0, 2] por causa da descontinuidade em x = 1.
e) Crescente em [−1,∞) e decrescente em (−∞,−1].
14) a) máx. local: (0, 0)
mín. local: (2,−4)
b) máx. local: (0, 0)
mín. locais: (−1,−5) e (2,−32)
c) máx. local: (1, 5)
mín. local: (3, 1)
d) máx. local: (0, 0)
mín. local: (6, 12)
Em x = 3 a função não existe.
e) mín. local: (1
e
,−1
e
)
Em x ≤ 0 a função não existe
f) máx. local: (−1, 2)
mín. local: (1,−2)
x = 0 é estacionário mas não extremo.
g) máx. local: (1, e)
Em x = 0 a função não existe.
h) mín. local: (2, 0)
i) máx. local: (1, 0)
j) máx. local: (0, 9)
mín. locais: (−3, 0) e (3, 0)
Dica: lembre que |x|′ = x|x|
15) a) Máx. (2, 10), Mín. (1,−9)
b) Máx. (2, 27), Mín. (0,−1)
c) Máx. (0, 0) e (±1, 0), Mín. (±
√
2
2
,−1
4
)
d) Máx. (pi
6
, pi
6
+
√
3), Mín. (pi
2
, pi
2
)
e) Máx. (1, ln 3), Mín. (−1
2
, ln 3
4
)
f) Máx. (pi
6
, 3
√
3
2
), Mín. (pi
2
, 0)
g) Máx. (4, 3
√
4), Mín. (2, 0)
16) C = L = 6 cm e H = 2 cm.
17) r = 10 cm, h = 12 cm.
18) Mostre que, com o comprimento x e a largura y relacionados por 2x + 2y = p, a área
A = xy será máxima quando x = y =
p
4
.
19) Isole h na condição pir2 + 2pirh = A e substitua no volume V = pir2h para obter uma
função V (r). Mostre que seu máximo ocorre quando r = h =
√
A
3pi
.
20) 20.000 unidades, lucro de $700.000.
21) d =
√
3
2
, obtida nos pontos
(
±
√
2
2
,
1
2
)
.
22) B = L
√
2.
23) θ =
2pi
√
6
3
.
24) 125m.
25) a) 5
b) n
c) ∞
d) −∞ ( 18
0− , NÃO pode L'Hopital)
e)
4
3
f) 0
g) ∞ (L'Hopital, depois simplifique)
h) 1
i) 2 (L'Hopital 2 vezes)
j) 0 (L'Hopital várias vezes)
k)
1
6
(L'Hopital várias vezes)
26) a) A cada uso de L'Hopital, o numerador não muda, e o expoente do denominador
diminui uma unidade. Após n vezes, sobra et dividida por uma constante.
b) Use L'Hopital uma vez, simplifique a expressão, e recalcule o limite.
27) a) 1 (escreva como
sen( 1
x
)
1
x
)
b) 0 (escreva como
x3
ex2
)
c)
1
2
(tire o m.m.c.)
d) 0 (escreva como quociente de sen e cos)
e) ∞ (escreva como x · (1− lnx
x
)
e use
L'Hopital no
lnx
x
)
f)
1
e
(escreva como e
ln x
1−x
)
g) 1 (escreva como e
ln x
x
)
h) 1 (escreva como e
√
x·lnx = exp
(
lnx
1√
x
)
)
28) a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
29) a) dy = 5x4dx
b) dy = (2x senx+ x2 cosx) · dx
c) du = 2xy4 dx+ 4x2y3 dy
d) du =
(
1−lnx
x2
) · dx
e) dx = − sen
√
t
2
√
t
· dt
30) a) ∆y ∼= dy = 0,6
b) ∆y ∼= dy = −0,025
c) ∆y ∼= dy = −0,01
d) ∆y ∼= dy = 0,1
31) a) 0,63 cm2
b) 0,25 cm
c) 500 cm
3
d) A = 6± 0,11m2
e) 3min
f) 15%
32) a)
√
9− x ∼= 3− x
6
b)
3
√
1 + x ∼= 1 + x
3
c) (1 + x)n ∼= 1 + nx
d) senx ∼= x
e) cosx ∼= 1
f) tanx ∼= x
g) sen(pi + x) ∼= −x
h) ex ∼= 1 + x
i) ln(1 + x) ∼= x
33) a) 2,98 (use x0 = 9, ou o item 1a)
b) 4,8 (use x0 = 25)
c) 1,06 (use o item 1c)
d) 0,2 (estimativa ruim!)
e) 0,035 (use 1d com 2◦ em rad)
f) −0,314 (use x0 = 10pi
10
= pi)
g) 1,126 (use x0 =
25pi
100
=
pi
4
)
h) 1,5 (use 1h, estimativa não tão boa)
i) −0,1 (use 1i)
34) a) P6(x) = 1− x
2
2
+
x4
24
− x
6
720
b) P5(x) = −(x− pi) + (x− pi)
3
6
− (x− pi)
5
120
c) P3(x) = 1 +
x
2
− x
2
8
+
x3
16
d) P4(x) = (x− 1)− (x− 1)
2
2
+
(x− 1)3
3
− (x− 1)
4
4
35) a)
√
2 ∼= P3(1) = 1,4375
|f (4)(c)| = 15
16
√
(1 + c)7
≤ 15
16
se c ∈ (0, 1) ⇒ |R3| ≤
15
16
4!
· |1− 0|4 ∼= 0,039
b) ln 1,5 ∼= P4(1,5) ∼= 0,401
|f (5)(c)| = 24
c5
≤ 24 se c ∈ (1 , 1,5) ⇒ |R4| ≤ 24
5!
· |1,5− 1|5 = 0,00625
36) a) arctanx ∼= 1− x
3
3
+
x5
5
− x
7
7
+
x9
9
− x
11
11
+
x13
13
− x
15
15
+
x17
17
− x
19
19
+
x21
21
− x
23
23
+
x25
25
b) pi ∼= 3,218...
37) (a) Mostre que e−t
2
é uma função par.
(b) f ′(x) = e−x
2
.
(c) P5(x) =
2√
pi
(
x− x3
3
+ x
5
10
)
.
(d) erf(1) ∼= 0,865 (obs: o valor exato é 0,8427 . . .).