MODULO_VII_eletromagnetismo_final

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FFFÍÍÍSSSIIICCCAAA     III III III    
 
 
 
Paulo Henrique Ribeiro Barbosa 
Francisco Ferreira Barbosa Filho 
Departamento de Física 
Universidade Federal do Piauí 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fevereiro de 2010 
 
   
  2 
 
PRESIDENTE DA REPÚBLICA 
MINISTRO DA EDUCAÇÃO 
GOVERNADOR DO ESTADO 
REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA DO MEC 
COORDENADORIA GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL 
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DO PIAUÍ 
COORDENADOR GERAL DO CENTRO DE DUCAÇÃO ABERTA À DISTÂNCIA 
DA UFPI 
SUPERITENDENTE DE EDUCAÇÃO SUPERIOR NO ESTADO 
DIRETOR DO CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA 
COORDENADOR DO CURSO DE FÍSICA 
COORDENADORA DE MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI 
DIAGRAMAÇÃO 
 
 
FICHA CATALOGRÁFICA 
Serviço de Processamento Técnico da Universidade Federal do Piauí 
Biblioteca Comunitária Jornalista Carlos Castello Branco 
 
 
   
 
 B238f Barbosa, Paulo Henrique Ribeiro 
 Barbosa Filho, Francisco Ferreira. 
 Física III /Paulo Henrique Ribeiro Barbosa 
 Francisco Ferreira Barbosa Filho. – Teresina : CEAD/UFPI, 2010. 
 200 p. 
 
 1. Física. 2. Física – Eletromagnetismo. I. Título. 
 CDD 530 
  3 
 
 
 
Este  texto  é  destinado  aos  estudantes  que  participam  do 
programa  de  Educação  à  Distância  da  Universidade  Aberta  do  Piauí 
(UAPI)  vinculada  ao  consórcio  formado  pela  Universidade  Federal  do 
Piauí (UFPI), Universidade Estadual do Piauí (UESPI) e Centro Federal de 
Educação Tecnológica (CEFET – PI), com apoio do Governo do Estado do 
Piauí, através da Secretaria de Educação. 
O  texto  é  composto  de  duas  unidades,  constituídas  de  cinco 
capítulos  cada  uma.  Nos  cinco  capítulos  iniciais  (primeira  unidade), 
iremos  tratar  da  eletrostática,  e  nos  cinco  capítulos  finais  (segunda 
unidade)  trataremos  de  correntes  elétricas,  circuitos  elétricos,  campo 
magnético, lei de Ampère e Lei de Faraday. 
A  bibliografia  para  leitura  complementar  é  indicada  ao  final  de 
cada  unidade,  bem  como  exercícios  resolvidos  e  exercícios  visando 
avaliar o entendimento do  leitor serão apresentados ao  longo do texto 
de cada unidade. 
   
Apresentação 
  4 
Sumário Geral 
 
 
UNIDADE I  
 
1. A LEI DE COULOMB 
1.1  Introdução  10 
1.2  A carga elétrica  11 
1.3  Condutores, Isolantes e Cargas induzidas  13 
1.4  Processos de Eletrização  14 
1.5  Lei de Coulomb  16 
1.6  Problemas Resolvidos  16 
1.7  Problemas Propostos  21 
1.8  Referências bibliográficas  23 
1.9  Web‐bibliografia  23 
 
2 O CAMPO ELÉTRICO 
2.1  Introdução  26 
2.2  Ação à Distância e o Campo Elétrico  26 
2.3  Dipolo Elétrico  28 
2.4  Linhas de Campo Elétrico  29 
2.5  Carga Elétrica na Presença de um campo Elétrico  31 
2.6  Dipolo Elétrico Sob Ação de um Campo elétrico Externo  32 
2.7  Problemas Resolvidos  33 
2.8  Problemas Propostos  35 
  Referências bibliográficas  37 
  Web‐bibliografia  37 
 
3 LEI DE GAUSS 
3.1  O Fluxo de Campo Vetorial  40 
3.2  O Fluxo do Campo Elétrico ܧሬሬሬԦ e a Lei de Gauss  42 
3.3  Aplicações da Lei de Gauss  44 
  5 
3.4  Usando  a  Lei  de Gauss  para Discutir  o  Campo  Elétrico  em 
Condutores 
 
49 
3.5  Problemas  Propostos  51 
  Referências bibliográficas  54 
  Web‐bibliografia  54 
 
4 POTENCIAL ELÉTRICO 
4.1  Definindo Capacitor  57 
4.2  Energia Armazenada em um Capacitor  57 
4.3  Associação de Capacitores  62 
4.4  Capacitores com Dielétricos  64 
4.5  Potencial de um dipolo dielétrico  65 
4.6  Potencial de uma linha de carga  66 
4.7  Diferença  de  potencial  elétrico  entre  as  placas  de  um 
capacitor 
 
67 
4.8  O cálculo do campo elétrico a partir do potencial elétrico  68 
4.9  Superfícies equipotenciais  69 
4.5  Problemas Propostos  71 
4.6  Referências bibliográficas  72 
4.7  Web‐bibliografia  73 
 
5 CAPACITORES E DIELÉTRICOS 
 
5.1  Definindo Capacitor  75 
5.2  Energia Armazenada em um Capacitor  78 
5.3  Associação de Capacitores  81 
5.4  Capacitores com Dielétricos  84 
4.5  Problemas Propostos  85 
4.6  Referências bibliográficas  87 
4.7  Web‐bibliografia  87 
 
 
 
 
  6 
UNIDADE II 
 
6 CORRENTE E RESISTÊNCIA ELÉTRICA 
6.1  A corrente elétrica  90 
6.2  Corrente e velocidade de deriva  92 
6.3  Densidade  de  corrente,  lei  de  Ohm,  condutividade, 
resistência e resistividade 
 
96 
6.4  Resistência e temperatura  102
6.5  Avanços na área: supercondutividade  104
6.6  Potencia elétrica  105
  Questões  109
  Problemas  110
  Bibliografia  111
 
7 CIRCUITOS ELÉTRICOS 
7.1  Elementos e diagramas de circuitos  115
7.2  Força eletromotriz  117
7.3  Associação de resistores  119
7.3.1  Resistores em série  119
7.3.2  Resistores em paralelo  120
7.4  Leis de Kirchoff e circuito básico  122
7.5  Circuitos RC  129
  Questões  136
  Problemas  137
  Bibliografia  139
 
8 O CAMPO MAGNÉTICO 
8.1  Magnetismo  142
8.2  O campo magnético e suas fontes  145
8.3  Movimento  de  uma  partícula  carregada  em  um  campo 
magnético 
 
148
8.4  Aplicações envolvendo movimento de partículas carregadas 
na presença de campo magnético 
 
150
8.5  A  força  magnética  agindo  sobre  um  condutor  portando   
  7 
corrente elétrica  152
8.6  Torque  157
  Questões  161
  Problemas  163
  Bibliografia  165
 
9 A LEI DE AMPÈRE 
 
9.1  Lei de Biot – Savart  168
9.2  Lei de Ampère  173
9.3  A lei de Ampère e os solenóides  176
  Questões  178
  Problemas  179
  Bibliografia  181
 
10 A LEI DE FARADAY 
9.1  Introdução  185
9.2  O fluxo magnético  185
9.3  A lei de Lenz  188
  Questões  194
  Problemas  196
  Bibliografia  200
   
  8 
 
UNIDADE 1 
 
 
A LEI DE COULOMB 
 
 
 
 
Resumo 
 
Nesta  unidade  iremos  discutir  os  fenômenos  elétricos  numa  visão 
eletrostática,  onde  idealizamos  as  cargas  em  repouso.  Começaremos 
discutindo a natureza da carga elétrica, sua conservação a quantização e 
os  processos  de  eletrização.  Em  um  ponto  culminante  da  unidade 
veremos como calcular a força elétrica estática entre cargas distribuídas 
discretamente a partir da lei de Coulomb.   
 
 
 
 
 
 
 
 
   
  9 
 
Sumário 
UNIDADE 1: Lei de Coulomb 
Paulo Henrique Ribeiro Barbosa 
1.1  Introdução  10 
1.2  A carga elétrica  11 
1.3  Condutores, Isolantes e Cargas induzidas  13 
1.4  Processos de Eletrização  14 
1.5  Lei de Coulomb  16 
1.6  Problemas Resolvidos  16 
1.7  Problemas Propostos  21 
1.8  Referências bibliográficas  23 
1.9  Web‐bibliografia  23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
  10 
1.1 ‐ Introdução 
     O  fenômeno  eletromagnético  está  associado  a  uma  propriedade 
fundamental  das  partículas,  chamada  “carga  elétrica”.  Entretanto, 
diferentemente  da  massa  de  um  corpo  que  somente  pode  exercer 
atração gravitacional sobre outra massa, as cargas podem exercer tanto 
atração quanto  repulsão umas  sobre outras, através de uma  interação 
denominada  de  eletromagnética.  Das  quatro  interações  até  então 
conhecidas,  podemos  dizer  que  a  interação  eletromagnética  é  a mais 
importante, pois está presente desde a escala microscópica até a escala 
macroscópica.  No  momento  iremos  tratar  apenas  de  eventos  que 
ocorrem  na  escala  macroscópica,pois  a  descrição  do  fenômeno 
eletromagnético em escala microscópica demandaria conhecimentos de 
mecânica quântica. Ocasionalmente poderemos  fazer uma  abordagem 
microscópica de um sistema, mas numa visão clássica.  
        Ações  comuns  como  o  acionamento  do  interruptor  de  uma 
lâmpada,  o  apertar  de  uma  tecla  de  um  computador  ou  o  simples 
acionamento  de  um  controle  remoto  para  ligar  uma  TV  ou  abrir  um 
portão,  envolvem  aplicações  de  fenômenos  eletromagnéticos.  Ao 
acionar o  interruptor de uma  lâmpada, por exemplo, estabelecemos ou 
interrompemos a passagem de uma corrente elétrica através de um fio, 
onde presenciamos concomitantemente efeitos elétricos e magnéticos. 
Até  o  fim  do  século  XVIII  os  fenômenos  elétricos  e magnéticos  eram 
tratados como mera curiosidade e completamente descorrelacionados. 
Esta visão deixou de existir com a verificação experimental, no início do 
século XIX, de que  correntes elétricas originam  campos magnéticos. A 
descoberta de Faraday da indução magnética, onde campos magnéticos 
variáveis produzem campos elétricos demonstrou mais uma vez que os 
fenômenos elétricos e magnéticos  são  facetas diferentes de um único 
fenômeno,  o  eletromagnetismo.  Com  a  reestruturação  do  estudo  do 
eletromagnetismo por Maxwell, e a reformulação da lei de Ampère com 
a  inclusão da corrente de deslocamento pela  invocação de argumentos 
de  simetria,  foi  possível  prever  a  geração  de  ondas  eletromagnéticas, 
posteriormente comprovadas por Hertz.  
  11 
       Apresentaremos aqui as bases do eletromagnetismo seguindo uma 
seqüência  que  coincide  com  a  construção  cronológica  do 
eletromagnetismo.  Neste  primeiro  capítulo,  e  nos  próximos  três 
capítulos,  iremos  discutir  os  fenômenos  elétricos  do  ponto  de  vista 
eletrostático,  onde  idealizamos  as  cargas  em  repouso.  Começaremos 
discutindo  a  natureza  da  carga  elétrica,  sua  conservação,  sua 
quantização,  e  os  processos  de  eletrização.  Ainda  neste  capítulo 
veremos  como  calcular  a  força  elétrica  entre  cargas  a partir da  lei de 
Coulomb. 
1.2 – Carga Elétrica 
         Primeiramente  devemos  fazer  algumas  considerações  de  caráter 
microscópico. A matéria é formada de pequenas partículas, os átomos. 
Cada átomo, por sua vez, é constituído de partículas ainda menores, os 
prótons, os elétrons e os nêutrons. Os prótons e os nêutrons localizam‐
se na parte central do átomo, e formam o núcleo. Os elétrons giram em 
torno  do  núcleo  na  região  denominada  eletrosfera.  Os  prótons  e  os 
elétrons  apresentam  uma  importante  propriedade  física,  a  carga 
elétrica.  A  carga  elétrica  do  próton  e  a  do  elétron  tem  a  mesma 
intensidade, mas sinais contrários. A carga do próton é, por convenção, 
positiva  e  a  do  elétron,  negativa.  Num  átomo  neutro  não  existe 
predominância  de  cargas  elétricas;  o  número  de  prótons  é  igual  ao 
número  de  elétrons.  O  átomo  é  um  sistema  eletricamente  neutro. 
Entretanto quando ele perde ou ganha elétrons, fica eletrizado. O átomo 
está eletrizado positivamente quando tem mais prótons que elétrons e 
negativamente  quando  tem  mais  elétrons  que  prótons.  A  carga  do 
elétron  é  a menor  quantidade  de  carga  elétrica  estável  existente  na 
natureza,  sendo  por  isso  tomada  como  carga  padrão  nas medidas  de 
carga  elétricas.   No  Sistema  Internacional  de Unidades,  a  unidade  de 
medida de carga elétrica é o coulomb (C). 
A carga do elétron, quando tomada em módulo, é chamada de carga 
elementar e é representada por e,com valor absoluto de 1,6.10 ‐ 19 C. 
• carga do elétron:  ‐ 1,6.10 ‐ 19 C 
• carga do próton:  + 1,6.10 ‐ 19 C 
  12 
        Do  ponto  de  vista macroscópico,  uma  forma  de  construirmos  um 
conceito  acerca  de  carga  elétrica  consiste  em  realizar  um  pequeno 
número de experimentos, descritos abaixo. Considere (ver Fig. 1.1a) dois 
bastões  de  plástico  e  esfregue  um  pedaço  de  camurça  em  cada  um 
deles. Ao tentar aproximar os bastões constatar‐se‐á uma repulsão  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
entre os mesmos. Ao repetir o mesmo experimento usando dois bastões 
de vidro e um pedaço de seda verificará, também, uma repulsão entre 
os bastões de vidro  (Fig.1.1b). Entretanto, ao aproximar um bastão de 
plástico esfregado com camurça de um bastão de vidro esfregado com 
seda verifica‐se uma atração entre os mesmos  (Fig.1.1c). Experimentos 
dessa  natureza  revelam  que  existem  dois  tipos  de  cargas  elétricas:  o 
tipo  de  carga  elétrica  acumulada  no  bastão  de  plástico  e  na  seda 
(convencionada  de  carga  negativa)  e  o  tipo  de  carga  acumulada  no 
bastão de vidro e na camurça (carga positiva). Conclusão: 
                                “Cargas elétricas de mesmo sinal se repelem, 
enquanto     
                      cargas elétricas de sinais opostos se atraem”. 
  Há dois princípios  importantes acerca das cargas elétricas. Para 
apresentar o primeiro princípio consideremos a eletrização do bastão de 
 
Figura  1.1:  (a)  Eletrização  de  bastões  de  plástico  com  camurça.  (b) 
Eletrização  de  bastões  de  vidro  com  lã.  (c) Atração  entre  bastões  de 
plástico e de vidro
  13 
plástico com camurça. Inicialmente estes corpos estão descarregados, e 
depois  de  atritados  ficam  carregados.  O  primeiro  princípio,  da 
“conservação da carga elétrica”, afirma que: 
A soma algébrica de todas as cargas elétricas antes da eletrização é 
igual a soma das cargas depois da eletrização. 
  Assim, em qualquer processo de eletrização no qual um corpo é 
carregado,  a  carga  elétrica  não  é  nem  criada  nem  destruída,  mas 
meramente  transferida  de  um  corpo  a  outro.    O  segundo  princípio 
importante acerca da carga é o que diz respeito à sua quantização: 
O módulo da carga elétrica do elétron ou do próton é uma unidade de 
carga natural “e”. 
Qualquer  quantidade  de  carga  elétrica  observada  é  sempre  um 
múltiplo  inteiro  dessa  unidade  básica,  caracterizando  assim  a 
quantização  da  carga.  Entretanto,  existem  fortes  evidências  de  que  o 
próton  não  seja  uma  partícula  elementar,  e  de  que  o  mesmo  seja 
formado de três partículas menores denominadas de quarks, sendo dois 
com carga +2e/3 e um com carga –e/3. Entretanto, como os quarks não 
são  encontrados  livres  na  natureza  fica  valendo  a  carga  do  elétron 
como a unidade fundamental. 
1.3 Condutores, Isolantes e Cargas induzidas 
  Alguns materiais  permitem  a migração  de  cargas  elétricas  de 
uma  região para outra, enquanto outros  impedem esta movimentação 
de cargas dentro do material e entre materiais. Grosso modo podemos 
classificar os materiais quanto à mobilidade das cargas elétricas em: 
• Condutores elétricos  
              Meios materiais  nos  quais  as  cargas  elétricas movimentam‐se 
com  facilidade. Pertencem a esta  categoria os metais,  como ouro, 
cobre,  alumínio  e  outros.  Estes  elétrons  que  podem  se mover  ao 
longo  do  material  geralmente  são  os  periféricos  e  que  estão 
fracamente  presos  aos  núcleos  de  seus  átomos.  Quando  uma 
quantidade de carga é colocada no  interior de um condutor esta se 
distribuirá por toda a sua superfície. 
• Isolantes elétricos ou dielétricos 
  14 
  Meios materiais nos quais as cargas elétricas não têm facilidade 
de  movimentação.  A  borracha,  vidro  etc.  Ao  contrário  dos 
condutores  seus  elétrons  estão  fortemente  ligados  aos  seus 
respectivos núcleos. Ao colocarmos uma quantidade de carga nestes 
materiaisisolantes  a  carga  não  se  espalha  por  todo  o  material, 
permanecendo localizada na região em que foi colocada.  
Existem  ainda  os  semicondutores,  que  são materiais  de  propriedades 
intermediárias entre os isolantes e condutores.  
1.4 ‐ Processos de Eletrização 
Um  material  pode  ser  eletrizado  através  de  dois  processos:  (a) 
Eletrização  por  atrito,  ocorre  quando  materiais  não  condutores  são 
atritados uns contra os outros. Nesse processo, um dos materiais perde 
elétrons e outra ganha, de modo que um tipo de material fica positivo e 
outro fica negativo. Uma experiência típica e simples consiste em atritar 
a  lã no vidro, como mostrado na Figura 1.2. A comprovação de que ele 
ficou carregado é obtida atraindo‐se pequenas partículas, por exemplo, 
de pó de giz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) A Eletrização por indução se dá geralmente entre um corpo 
carregado e um descarregado (geralmente um condutor). A figura 1.3 
ilustra as etapas essenciais do processo de eletrização por indução. Na 
ilustração, tem‐se inicialmente (Fig.1.3a) uma esfera condutora 
descarregada e isolada por um suporte não condutor. A aproximação do 
corpo negativamente carregado atrai as cargas positivas da esfera  
 
Figura 1.2: Após serem eletrizadas por atrito vidro e lã se atraem. 
  15 
eletricamente neutra (Fig.1.3b). A extremidade próxima ao corpo 
carregado fica positiva, enquanto a extremidade oposta fica negativa. 
Mantendo‐se o corpo carregado próximo, liga‐se o corpo eletricamente 
neutro a terra (Fig.1.3c). Elétrons descerão pra terra. Cortando‐se a 
ligação com terra (Fig.1.3d), obtém‐se um corpo positivamente 
carregado (Fig.1.3e).  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O  processo  de  carregamento  de  um  corpo  por  indução  funcionaria 
igualmente bem se as cargas móveis sobre a esfera fossem positivas em 
vez de negativos, ou ate mesmos se existissem simultaneamente cargas 
móveis  positivas  e  negativas.  Em  um  condutor  as  cargas móveis  são 
sempre elétrons. 
É bom observar que um corpo carregado pode exercer força de atração 
sobre objetos descarregados  (neutros). O  exemplo  ilustrado na  Figura 
1.3 é uma demonstração desse fato. Entretanto, a atração pode ocorrer 
entre  um  corpo  carregado  e  um  isolante,  onde  as  cargas  negativas  e 
positivas  do  isolante  neutro  ficam  ligeiramente  separadas 
espacialmente. Este caso pode ser observado quando aproximamos um 
pente eletrizado de pequenos pedaços de papel.   
 
 
 
Figura 1.3: Etapas do processo de eletrização por indução 
  16 
 
1.5 – Lei de Coulomb 
As  principais  interações  entre  partículas  devem‐se  à  sua  massa 
(interação  gravitacional)  e  a  sua  carga  (interação  elétrica). Motivado 
pelos estudos de Cavendish da interação gravitacional, Charles Augustin 
Coulomb  (1736‐1806)  estudou  a  força  de  interação  entre  partículas 
carregadas.  Podemos  dizer  que  dois  corpos  eletrizados  estacionários 
exercem predominantemente uma força elétrica entre si, uma vez que a 
interação  gravitacional  é  desprezível  em  comparação  a  primeira.  A 
eletrostática é a área do eletromagnetismo que aborda interações entre 
cargas  estacionárias  ou  quase  estacionárias.  Coulomb  descobriu, 
experimentalmente, que o módulo da  força elétrica entre duas  cargas 
puntiformes q1 e q2, separadas por uma distância r, é dada por: 
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௥మ
   (lei de Coulomb)                      (1.1) 
onde  k  é  a  constante  elétrica  e  tem  o  seguinte  valor  no  Sistema 
Internacional:  ݇ ൌ ଵ
ସగఌబ
ൌ 8,988ݔ10ଽܰ.݉ଶ/ܥଶ.  A  constante  ε0 
(=8,854x10‐12C2/N.m2) é a permissividade do vácuo. 
Podemos  expressar  a  Eq.1‐1  na  forma  vetorial  usando  a  Figura  1.4a, 
onde as cargas q1 e q2 de mesmo sinal são ligadas pelo vetor posição ݎԦଵଶ, 
que tem origem em q2 e extremidade em q1. O sentido da força ܨԦଵଶ, que 
a  partícula  1  sofre  devido  a  carga  da  partícula  2,  aponta  no mesmo 
sentido  do  vetor  ݎԦଵଶ  depende  do  sinal  de  suas  cargas.  Podemos 
representar a força como 
ܨԦଵଶ ൌ
ଵ
ସగఌ
௤భ௤మ
௥భమమ
̂ݎଵଶ                                                        (1.2) 
Da mesma  forma  a  força  ݎԦଶଵ,  que  a  partícula  1  exerce  na  partícula  2 
aponta  no  sentido  oposto  (ܨԦଵଶ ൌ െܨԦଶଵ). A  Figura  1.4b  esquematiza  o 
caso em que as cargas têm sinais opostos. Consideremos agora a carga 
pontual  q1  interagindo  com  um  conjunto  de  N  cargas  pontuais  qi  (i= 
2,3,...,N). Cada  
uma  das  cargas  qi  exercem  uma  força  ܨԦଵ௜   sobre  a  carga  q1.  Pode‐se 
representar a força total sofrida pela partícula 1 como 
 
ܨԦଵ ൌ ܨԦଵଶ ൅ ܨԦଵଷ ൅ ڮ൅ ܨԦଵே ൌ ∑ ܨԦଵ௜ே௜ୀଶ                                 (1.3) 
  17 
 
Figura 1.4 (a) Força entre cargas de mesmo sinal. (b) Força entre 
cargas 
 
Figura 1.5: Átomo de hidrogênio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde a força ܨԦଵ௜  é a força que a i‐ésima carga exerce sobre a partícula 1. 
No  próximo  capítulo  descreveremos  como  calcular  a  força  elétrica  de 
uma distribuição  contínua de  cargas  sobre uma  carga pontual,  após  a 
introdução do conceito de campo elétrico. 
 
1.6 – Problemas Resolvidos 
Exemplo 1.1 – Para se ter uma idéia da ordem de grandeza da interação 
eletrostática  comparativamente  à  força  gravitacional  entre  duas 
partículas de cargas q1 e q2, com respectivas massas m1 e m2, considere 
o átomo de hidrogênio cuja separação média entre o elétron e o próton 
é de 5,3x10‐11m. Calcule a  razão entre a  sua 
interação  elétrica  e  a  sua  interação 
gravitacional. 
Solução:  Um  esquema  do  átomo  de 
hidrogênio  seguindo  o  modelo  de  Bohr  é 
apresentado  na  Figura  1.5.  Sabendo  que  o 
valor da  carga elementar e = 1,602x10‐19C e 
as massas  do  elétron, me  =  9,1x10‐31kg  e  a 
massa do próton mp =1 ,6x10‐27kg podemos 
 
 
  18 
Calcular o módulo da  forças elétricas, Fe, e da gravitacional, Fg. Assim, 
como ܨ௘ ൌ
ଵ
ସగఌ
௘మ
௥మ
 e ܨ௚ ൌ ܩ
௠೐௠೛
௥మ
, sua razão é: 
ி೐
ி೒
ൌ ଵ
ସగఌబீ
௘మ
௠೐ ௠೛
ൌ
ଽ,଴௫ଵ଴వே.௠మ/஼మ
଺,଺଻௫ଵ଴షభభே.௠మ/௞௚మ
ሺଷ,ଶ௫ଵ଴షభవ஼ሻమ
ሺଽ,ଵ௫ଵ଴షలభ௞௚ሻ௫ሺଵ,଺௫ଵ଴షమళ௞௚ሻ
ൌ 2,3ݔ10ଷଽ. 
Isto mostra que na escala microscópica a  interação gravitacional pode 
ser  ignorada.  Outra  diferença  entre  estas  duas  interações  é  que 
enquanto a força gravitacional é somente atrativa, a força elétrica pode 
ser atrativa ou repulsiva. 
 
Caso Especial: As semelhanças entre a interação gravitacional e  
a eletrostático é muito grande. No caso gravitacional, estabeleceram‐se 
duas propriedades da  força exercida por uma  casca esférica de massa 
específica  uniforme  sobre  uma massa  pontual:  (a)  a  força  sobre  uma 
partícula  dentro  desta  casca  esférica  é  zero  e  (2)  a  força  sobre  uma 
partícula  externa  é  a mesma  como  se  toda  a massa da  casca  esférica 
estivesse  concentrada em  seu  centro. Vamos  importar estes  teoremas  
da interação gravitação sem prová‐los, por enquanto, e estender ao caso 
de uma casca esférica com distribuição uniforme de cargas: 
Uma casca esférica uniformemente carregada não aplica nenhuma 
força  eletrostática  sobre  uma  carga  pontual  posicionada  em 
qualquer ponto no seu interior 
   
Uma  casca  esférica  uniformemente  carregada  aplica  uma  força 
eletrostática  sobre  uma  carga  pontual  do  lado  de  fora  da  casca 
como se todas as cargas da casca estivessem concentradas em uma 
carga pontual no seu centro 
 
Usaremos este resultado para calcular a força entre uma esfera de carga 
com distribuição uniforme e uma carga pontual situada tantoem pontos 
internos  quanto  externos  à  esfera.  Podemos  estender  o  primeiro 
teorema a uma distribuição não‐uniforme de  cargas na  superfície de 
uma esfera? Qual é o campo elétrico no  interior de condutores? Nos 
próximos  capítulos  (campo  elétrico  e  lei  de Gauss)  discutiremos  estas 
questões com mais detalhes. 
  19 
Exemplo 1.2 – Duas cargas puntiformes positivas, Q1 e Q2 de módulos 
iguais a q,  são colocadas ao  longo do eixo y nas posições y=‐a e y=+a. 
Considere  uma  terceira  carga  positiva, Q3=q,  posicionada  ao  longo  do 
eixo  x  na  posição  x.  (a)  Calcule  o módulo  da  força  resultante  sobre  a 
carga Q3.  (b)  Encontre  a  posição  ao  longo  do  eixo  x  em  que  a  força 
resultante é máxima. 
Solução:  (a)  O  problema  está  esquematizado  na  Figura  1.6. 
Considerando a simetria do  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
problema  decorrente  do  arranjo  geométrico  (cargas  eqüidistantes  em 
relação ao eixo  x) e o  fato de que as  cargas  têm o mesmo módulo q, 
vemos que a força resultante aponta ao longo do eixo x. Assim, 
 
ܨ ൌ ܨଵ cos ߠ ൅ ܨଶ cos ߠ
ൌ
1
4ߨߝ଴
ݍଶ
ሺݔଶ ൅ ܽଶሻ
ݔ
ሺݔଶ ൅ ܽଶሻ
ଵ
ଶ
൅
1
4ߨߝ଴
ݍଶ
ሺݔଶ ൅ ܽଶሻ
ݔ
ሺݔଶ ൅ ܽଶሻ
ଵ
ଶ
 
 
ܨ ൌ ௤
మ
ଶగఌబ
௫
ሺ௫మା௔మሻయ/మ
,  
 
onde usamos o fato de que cos ߠ ൌ ݔ/ሺݔଶ ൅ ܽଶሻଵ/ଶ . 
(b)  Para  encontrarmos  o  ponto  em  que  a  força  resultante  atinge  um 
máximo ao  longo do eixo  x derivamos a expressão da  força obtida no 
item (a) e igualamos a derivada à zero, o valor de x encontrado é o que 
 
Figura 1.6: Ação das cargas Q1 e Q2 sobre Q3. 
  20 
 
Figura1.7: (a) Calculo da força para uma carga q0 no interior da 
esfera de raio R. (b) Força entre a carga q0 e a esfera para 
pontos no exterior. 
maximiza  a  força  desde  que  a  segunda  derivada  seja  negativa  neste 
ponto:  
ௗி
ௗ௫
ൌ ௤
మ
ଶగఌబ
ሺ௔మିଶ௫మሻ
ሺ௔మା௫మሻఱ/మ
ൌ 0, leva a ݔ ൌ േ௔
ଶ
. Para verificarmos que este valor 
maximiza a força calculemos a segunda derivada: ௗ
మி
ௗ௫మ
ൌ ௤
మ
ଶగఌబ
ሺ଺௫యିଽ௔మ௫ሻ
ሺ௔మା௫మሻళ/మ
, 
substituindo x=a/2 constata‐se que ௗ
మி
ௗ௫మ
൏ 0 e portanto a força atinge o 
máximo em x=±a/2. 
 
Exemplo  1.3  –  Calcule  a  força  de  interação  entre  uma  esfera maciça 
uniformemente carregada com densidade volumétrica ρ(carga total Q) e 
uma carga pontual q0 situada em um ponto (a) no interior da esfera e (b) 
no seu exterior. 
Solução: Para resolver este problema vamos usar o fato de que o campo 
no  interior de uma casca esférica uniforme de cargas não exerce  força 
sobre  cargas  no  seu  interior  e  quando  a  carga  está  no  seu  exterior  a 
esfera  de  carga  uniforme  pode  ser  tratada  como  uma  carga  pontual. 
Sendo assim, para um ponto  interno à esfera de  raio R  (Figura 1.7(a)), 
podemos  considerar  que  toda  a  carga  q’  na  esfera  de  raio  r  está 
concentrada no seu centro. Os valores da carga total Q e da carga q’ são: 
ܳ ൌ ߩ ସ
ଷ
ߨܴଷ e ݍᇱ ൌ  ߩ ସ
ଷ
ߨݎଷ.  
Dessa  forma  temos  ݍᇱ ൌ ܳሺ௥
ோ
ሻଷ.  Aplicando  a  lei  de  Coulomb  temos  o 
módulo da forçaܨ ൌ ଵ
ସగఌబ
௤ᇱ௤బ
௥మ
. Substituindo q’ temos ܨ ൌ ଵ
ସగఌబ
ொ௤బ
ோయ
ݎ.  (b) 
  21 
Para r>R (Fig. 1.7(b)) a carga se comporta com estivesse concentrada no 
centro da esfera: ܨ ൌ ଵ
ସగఌబ
ொ௤బ
௥మ
. 
 
1.7 – Problemas Propostos  
Problema  1.1  ‐  Duas  partículas  igualmente  carregadas,  com  um 
afastamento de 3x10‐3 m entre elas, são  largadas a partir do  repouso. 
As  partículas  têm  massas  iguais  a  7,0x10‐7  kg  e  5,4x10‐7  kg,  e  a 
aceleração  inicial da primeira partícula é de 700 m/s2. Quais são:  (a) a 
aceleração da segunda partícula? (b) O módulo da carga comum? 
R.: 900 m/s2; 7x10‐10 C. 
Problema 1.2  ‐ Duas  cargas pontuais  livres, +q e  +9q, estão  afastadas 
por  uma  distância  d. Uma  terceira  carga  é  colocada  de  tal modo  que 
todo o sistema fica em equilíbrio. (a) Determine a posição, o módulo e o 
sinal da terceira carga. (b) Mostre que o equilíbrio é instável. 
R.: Carga –9q/16, colocada entre as cargas +q e +9q, a uma distância d/4 
a partir da carga +q. 
Problema  1.3  ‐  Cargas  iguais  a  +Q  são  colocadas  nos  vértices  de  um 
triângulo eqüilátero de  lado L. Determine a posição, o módulo e o sinal 
de uma carga colocada no interior do triângulo, de modo que o sistema 
fique em equilíbrio. 
R.: Carga ݍ ൌ െ ொ
√ଷ
 colocada na bissetriz, a uma distância ܮ/√3a partir 
do vértice. 
Problema 1.4 ‐ Uma carga Q igual a 2x10‐19 C é dividida em duas, (Q‐q) 
e  q,  de  modo  que  a  repulsão  coulombiana  seja  máxima.  Calcule  a 
distância que uma  carga deve  ficar da outra, para que esta  força  seja 
igual 9x10‐9 N. 
R.: 1Å 
 
Problema 1.5  ‐ Duas cargas pontuais  idênticas, de massa m e carga q, 
estão  suspensas por  fios não condutores de comprimento L, conforme 
ilustra a figura 1.8. Considerando o ângulo q tão pequeno de modo que 
seja válida a aproximação tan ߠ ൎ sin ߠ, mostre que 
  22 
 
Figura 1.9 
࢞ ൌ ሺ ࢗ
૛ࡸ
૛࣊ࢿ૙࢓ࢍ
ሻ૚/૜, 
onde x é a separação entre as bolas. (b) Se L=122 cm, m=11,2 g e x=4,70 
cm, qual o valor de q? 
 
 
 
 
 
 
 
Problema  1.5  –  Cinco  cargas  Q  estão  igualmente  espaçadas  em  um 
semicírculo de raio R como mostrado na Figura 1.9. Encontre a força na 
carga q localizada no centro do semicírculo. 
 
Problema  1.6  –  Três  cargas  de  q1=‐1.o  μC,  q2=2.0  μC  e  q3=4.0μC  têm 
suas  localizações  dadas  pelos  pares  ordenados,  respectivamente  em 
metros, (0,0), (0,0.1),(0.2,0). Encontre as forças que atuam em cada uma 
das três cargas. 
Problema 1.7 –  (a) Se a convenção de sinal da carga  fosse mudada de 
modo que a  carga do elétron  fosse positiva e a  carga do próton  fosse 
negativa, a lei de Coulomb ainda valeria? (b) Discuta as semelhanças e as 
diferenças entre as leis de Coulomb e a lei de gravitação universal.   
Problema  1.8  –  Quando  duas  cargas  de  iguais  massas  e  cargas  são 
liberadas sobre uma mesa horizontal e sem atrito, cada massa terá uma 
 
Figura 1.8 
  23 
aceleração inicial a0. Se ao invés disso mantivermos uma das cargas fixas 
e a outra livre, qual será sua aceleração inicial: a0, 2a0 ou a0/2? Explique. 
 
1.8 Referências bibliográficas 
 
Livro Texto 
HALLIDAY,  D.;  RESNICK,  R.;  KRANE,  K.  S.    Física.  V.  3,  4.  ed.  Rio  de 
Janeiro: LTC, 1996. 
 
Bibliografia complementar 
HEWITT, Paul G. Física conceitual. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2002. 
TIPLER, P. Física 3. 4. ed. Rio da Janeiro: Guanabara Dois, 1999. 
NUSSENZVEIG,  H. M.  Curso  de  Física  Básica  3: mecânica.  São  Paulo: 
Edgard Blücher, 1996. 
SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros: com Física Moderna. 
V. 3. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 
1.9  Web‐bibliografia 
 
http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm  
http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.ht
ml 
 
 
 
 
 
 
 
  24 
UNIDADE 2 
O CAMPO ELÉTRICO 
 
 
RESUMO 
 
 
 
Nesta  unidade  vamos  introduzir  o  conceito  de  campo  elétrico, 
importante  para  o  entendimento  de  como  as  interações  à  distância 
entre  cargas  se estabelecem, principalmente  se estas  cargas estão em 
movimento, como poderá ser discutido em um estudo mais avançado da 
eletrodinâmica  clássica. Neste  capítulo discutiremos  somente o  campo 
elétrico estático devido a cargas em repouso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  25 
Sumário 
UNIDADE 2: O campo Elétrico 
Paulo Henrique Ribeiro Barbosa 
2 O CAMPO ELÉTRICO 
 
2.1  Introdução  26 
2.2  Ação à Distânciae o Campo Elétrico  26 
2.3  Dipolo Elétrico  28 
2.4  Linhas de Campo Elétrico  29 
2.5  Carga Elétrica na Presença de um campo Elétrico  31 
2.6  Dipolo Elétrico Sob Ação de um Campo elétrico Externo  32 
2.7  Problemas Resolvidos  33 
2.8  Problemas Propostos  35 
2.9  Referências bibliográficas  37 
2.9  Web‐bibliografia  37 
 
 
 
 
   
  26 
2.1 – Introdução 
  Qual é o mecanismo pelo qual uma partícula consegue exercer 
uma  força  sobre  outra  atravessando  o  espaço  vazio  que  as  separa? 
Supondo que uma partícula em um determinado ponto é  subitamente 
movida, a força que uma segunda partícula a uma distância r exercia na 
primeira  é  subitamente  alterada?  Neste  capítulo  vamos  introduzir  o 
conceito de campo elétrico,  importante para o entendimento de como 
as interações à distância entre cargas se estabelecem, principalmente se 
estas  cargas  estão em movimento,  como poderá  ser discutido  em um 
estudo  mais  avançado  da  eletrodinâmica  clássica.  Neste  capítulo 
discutiremos  somente  o  campo  elétrico  estático  devido  a  cargas  em 
repouso.  
 
2.2 ‐ Ação à Distância e o Campo Elétrico 
A força coulombiana, assim como a força gravitacional, é uma interação 
à distância  e  algo mal  compreendido  até meados do  século dezenove 
quando Michael Faraday introduziu o conceito de campo que permite‐os 
raciocinar como se dá a ação à distância. De acordo com o conceito de 
campo, a interação entre duas cargas, q1 e q2, ocorre através da ação do 
campo elétrico de uma delas  sobre a outra. Definimos então o campo 
elétrico ܧሬԦ, em um ponto, produzido por um conjunto de cargas, como a 
força  elétrica ܨԦ଴  que  atua  sobre  uma  carga  q0  neste  ponto  devido  às 
outras, dividida pela carga q0, 
                                                       ܧሬԦ ൌ ி
Ԧబ
௤బ
,                                              (2.1) 
onde q0 é a carga de prova, convencionalmente tomada como positiva. 
No Sistema  internacional  (SI) a unidade de campo elétrico é 1 newton 
por coulomb (1N/C). Operacionalmente devemos considerar a carga de 
prova, q0,  tão pequena quanto possível para que  esta não perturbe o 
arranjo original de cargas do qual se quer medir o campo elétrico.  Isto 
pode ser resumido na equação abaixo 
ܧሬԦ ൌ lim
௤బ՜బ
ܨԦ଴
ݍ଴
 
Assim,  para  se  conhecer  o  valor  do  campo  elétrico  em  determinado 
ponto, basta colocar uma carga de prova naquele ponto e dividir a força 
medida pelo valor da carga de prova q0. 
  27 
  Considere q uma carga puntiforme positiva como uma fonte de 
campo elétrico. Coloquemos a carga de prova positiva q0 a uma distância 
r desta (ver Figura 2.1a). A carga de prova experimentará uma força de 
repulsão  de módulo ܨ଴ ൌ
ଵ
ସగఌబ
|௤௤బ|
௥మ
.  Substituindo  F0  no módulo  da  Eq. 
(2.1) temos 
                                                                         ܧ ൌ ଵ
ସగఌబ
|௤|
௥మ
                          (2.2) 
Vetorialmente, temos 
ܧሬԦ ൌ ଵ
ସగఌబ
|௤|
௥మ
̂ݎ,                                                          (2.3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde  ̂ݎ é o vetor unitário que aponta na direção do ponto P, onde  foi 
aferido o campo elétrico. Observe que o campo elétrico de uma carga 
positiva aponta na mesma direção da força que atua na carga de prova e 
é, portanto de afastamento. Se q for negativa (Fig. 2.1b) a força será de 
atração sobre a carga de prova e o campo elétrico será de aproximação. 
Também  se  observa  que  o módulo  do  campo  elétrico  de  uma  carga 
pontual  para  uma  mesma  distância  ao  redor  da  fonte  é  o  mesmo. 
Campos elétricos cujo módulo  independem da orientação espacial, mas 
tão  somente  da  distância  da  fonte  ao  ponto  de  observação  são 
denominados de radiais. 
  Considere  uma  pequena  carga  de  prova  q0  em  um  ponto  P 
distante ri0 de uma carga qi. A força na carga de prova devido à carga 
qi é 
ܨԦ௜଴ ൌ
ଵ
ସగఢబ
௤೔௤బ
௥೔బమ
̂ݎ௜଴  
e o campo elétrico é, usando Eq.(2‐1) 
Figura 2.1: Campo Elétrico de uma carga pontual q.(a) carga fonte 
poisitiva e (b) carga fonte negativa
  28 
 
Figura  2.3:  (a)Molécula  de  água  como  dipolo  permanente  e  (b) 
dipolo induzido 
  ܧሬԦ௜ ൌ
ଵ
ସగఢబ
௤೔
௥೔బమ
̂ݎ௜଴ , 
onde  ̂ݎ௜଴ é o vetor unitário apontado da carga qi ao ponto onde se quer 
medir  o  campo ܧపሬሬሬԦ.  Para  uma  distribuição  discreta  de  cargas  o  campo 
total no ponto P é 
 ܧሬԦ ൌ෍ܧሬԦ௜
௜
ൌ ෍
1
4ߨ߳଴
ݍ௜
ݎ௜଴ଶ
̂ݎ௜଴
௜
.                                ሺ2.4ሻ   
A propriedade acima é conhecida como princípio da superposição, que 
decorre  da  existência  de  respostas  lineares  do  sistema  de  cargas 
discretas ou contínuas. A propósito, para uma distribuição   contínua de 
cargas a equação acima é escrita como 
ܧሬԦ ൌ න݀ܧሬԦ ,                                                      ሺ2.4ܾሻ 
onde  em  coordenadas  cartesianas    ݀ܧሬԦ ൌ ଓ̂݀ܧ ൅ ଔ̂݀ܧ ൅ ෠݇݀ܧ  ,  e 
݀ܧ ൌ ଵ
ସగఢబ
ௗ௤
௥మ
, sendo r a distância do elemento de carga dq ao ponto de 
observação. 
2.3 ‐ Dipolo Elétrico  
Um  sistema  formado  de  duas  cargas  de mesmo módulo  e  de  sinais 
opostos  separadas por uma pequena distância  L é  chamado de dipolo 
elétrico.  Sua  amplitude  e  orientação  são  descritos  pelo  vetor  dipolo 
elétrico ࢖ሬሬԦ, que é um vetor que aponta da carga negativa para a carga 
positiva e tem módulo qL (ver Figura 2.2). 
 
 
 
 
Um  sistema  pode  naturalmente  apresentar  propriedades  polares 
(chamados de dipolos permanentes) ou estas podem ser  induzidas pela 
aplicação de um  campo  elétrico no  sistema  (dipolos  induzidos). Como 
um  exemplo  de  um  dipolo  permanente  podemos  citar  o  caso  da 
molécula  de  água  (Fig2.3a),  onde  os  elétrons  “preferem”  passar mais 
 
Figura 2.2: Dipolo Elétrico 
  29 
tempo  próximos  ao  oxigênio  do  que  dos  hidrogênios. No  caso  de  um 
dipolo  induzido  podemos  ter  uma  molécula  em  que  inicialmente  os 
centros  das  distribuições  das  cargas  positivas  e  negativas  coincidem, 
mas são deslocados pela ação de um campo elétrico externo  (Fig2.3b). 
Em muitas investigações em ciências físicas e químicas somos solicitados 
a verificar se um determinado sistema pode apresentar comportamento 
dipolar. Por  isso é  importante  calcularmos o  campo do dipolo elétrico 
para  conhecermos  suas  propriedades matemáticas. O  exemplo  abaixo 
ilustra este procedimento. 
 
Exemplo  2.1: A  figura  2.4 mostra  um  dipolo  elétrico  com  suas  cargas 
posicionadas ao longo do eixo x nas posições x=‐a e x=+a. (a) Encontre o 
campo elétrico em um ponto x>a.  (b) Encontre a forma matemática do 
campo elétrico para a situação limite x>>a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: (a) Considere um ponto x>a, e aplique a Eq.(2‐4): 
ܧሬԦ ൌ ଵ
ସగఢబ
ቂ ௤
ሺ௫ା௔ሻమ
ଓ̂ ൅ ି௤
ሺ௫ି௔ሻమ
ଓ̂ቃ ൌ ଵ
ସగఢబ
ସ௤௔௫
ሺ௫మି௔మሻమ
ଓ̂. 
(b) O comportamento do campo elétrico do dipolo para x>>a é  
ou 
ܧሬԦ ൌ ଵ
ସగఢబ
ସ௤௔௫
ሺ௫మି௔మሻమ
ଓ̂ ൎ ଵ
ସగఢబ
ଶ௣Ԧ
௫య
,                             (2.5) 
onde  fizemos  a  aproximação    ሺݔଶ െ ܽଶሻଶ ൎ ݔସ  e  ݌Ԧ ൌ 2ݍܽ.  A  Eq.(2.5) 
mostra  que  para  pontos  afastados  das  cargas  o  campo  do  dipolo  cai 
mais rapidamente e com o cubo da distância.  
 
 
 
Figura 2.4: Dipolo elétrico formado de duas cargas de módulo q e 
distância L=2a 
  30 
2.4 ‐ Linhas de Campo Elétrico 
  Podemos  representar  o  campo  elétrico  traçando  linhas  que 
indicam  a  sua  direção.  As  linhas  de  campo  elétrico,  introduzidas  por 
Faraday,  são  também  conhecidas  como  linhas  de  força.  Em  qualquer 
ponto o  campoelétrico, ܧሬԦ,  é  tangente  à  linha. A  Figura  2.5(a) mostra 
que  para  uma  carga  pontual  positiva  o  campo  elétrico  aponta 
radialmente  para  fora,  como mostram  as  linhas  de  força. No  caso  de 
uma carga pontual negativa as  linhas de força convergem para o ponto 
aonde se encontra a carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe como a representação do campo elétrico em termos de  linhas 
de  força  é  útil.  Por  exemplo,  a medida  que  nos  afastamos  da  carga 
pontual  positiva  as  linhas  de  força  estarão  cada  vez mais  afastadas, 
mostrando que o campo vai ficando cada vez mais fraco.  Considere uma 
esfera de raio r centrada em torno de uma carga pontual. Se N linhas de 
força emergem da carga, o número de  linhas de  força por unidade de 
área que atravessarão a superfície da esfera é N/πr2. Assim, a densidade 
de  linhas  decresce  com  a  distância  com  1/r2,  que  é  o  mesmo 
comportamento do  campo  elétrico. As  Figuras  2.6(a)  e  (b) mostram  a 
representação  do  campo  elétrico  em  termos  de  linhas  de  força 
respectivamente  para  duas  cargas  iguais  e  positivas  e  para  um dipolo 
elétrico. É muito intuitiva a construção de tal representação baseada na 
justaposição das representações em termos das linhas de força de cada  
 
 
 
Figura 2.5: Representação do campo elétrico por meio de linhas 
de força para (a) carga positiva e (b) carga negativa   
Figura 2.6: (a) Cargas iguais e positivas e (b) cargas iguais e opostas 
  31 
carga  isoladamente.  É  muito  instrutivo  resumir  em  um  conjunto  de 
regras  a  serem  seguidas  na  representação  do  campo  elétrico  de  um 
conjunto de cargas elétricas pontuais: 
2 As  linhas  de  campo  elétrico  começam  nas  cargas  positivas  (ou  no 
infinito) e terminam nas cargas negativas (ou no infinito); 
3 As linhas de campo são traçadas simetricamente entrando ou saindo 
de uma carga isolada; 
4 O  número  de  linhas  de  campo  deixando  uma  carga  positiva  ou 
entrando  em  uma  carga  negativa  é  proporcionais  à magnitude  da 
carga; 
5 A densidade de linhas de campo (o número de linhas por unidade de 
área perpendicular  às  linhas)  em qualquer ponto  é proporcional  à 
magnitude do campo elétrico naquele ponto; 
6 Á grandes distâncias de um conjunto de cargas, as  linhas de campo 
são igualmente espaçadas e radiais, como se elas se originassem de 
uma carga pontual de carga líquida igual à do conjunto; 
7 Linhas de campo resultante não se cruzam. 
 
2.5 ‐ Carga Elétrica na Presença de um campo Elétrico 
  Quando uma carga elétrica pontual q é colocada em um ponto 
com campo elétrico ܧሬԦ, a carga fica submetida a uma força ܨԦ ൌ ݍܧሬԦ. Se a 
força elétrica é a única força significativa a que a carga q está submetida, 
esta sofrerá uma aceleração dada pela segunda lei de Newton  
Ԧܽ ൌ
∑ܨԦ௜
݉
ൌ
ݍ
݉
ܧሬԦ,                                               ሺ2.6ሻ 
onde  m  é  a  massa  partícula  com  carga  q.  No  caso  do  elétron  a 
velocidade  envolvida  é muito  grande  e  devemos  considerar  correções 
relativísticas. Se o campo elétrico é conhecido a  relação q/m pode  ser 
calculada pela medida da aceleração. Esta foi a base da experiência de J. 
J. Thomson  em 1897 para a determinação da existência do elétron. Este 
experimento é  a base de  funcionamento de uma  série de dispositivos 
eletrônicos,  como  osciloscópios, monitores  de  computador, monitores 
de TV, etc.  
Exemplo 2.2: Considere um elétron projetado em um campo elétrico  
  32 
 
Figura 2.7: Elétron na presença de um campo elétrico uniforme. 
 
Figura 2.8: Dipolo elétrico sob ação de um campo elétrico externo 
uniforme,    ܧሬԦ ൌ ቀ1000 ே
஼
ቁ ଓ̂  ,  com  uma  velocidade  inicial  ݒԦ ൌ
ቀ2 ൈ 10଺ ௠
௦
ቁ ଓ̂ na direção do campo (ver Fig.2.7).  Que distância o elétron 
viajará na região de campo antes de parar? 
Solução:  Considerando  que  a  única  força  significativa  é  a  elétrica  e 
sendo a  carga do elétron negativa esta  força é ܨԦ ൌ െ݁ܧሬԦ,  constante e 
apontando  no  sentido  oposto  ao  do  campo  elétrico.  Assim,  podemos 
usar  as  equações  do  movimento  uniformemente  variado  para 
encontrarmos a variação da posição até repouso instantâneo do elétron: 
1. O deslocamento Δx esta relacionado às velocidades inicial e final 
pela equação de Torricelli: ݒଶ ൌ ݒ଴ଶ ൅ 2ܽ∆ݔ,  
2. O módulo da aceleração é ܽ ൌ ி
௠
ൌ ି௘ா
௠
, 
3. Quando v=0 temos ∆ݔ ൌ ି௩బ
మ
ଶ௔
ൌ ௠௩బ
మ
ଶ௘ா
ൌ 1.14 ൈ 10ିଶ݉. 
 
2.6 – Dipolo Elétrico Sob Ação de um Campo elétrico Externo 
Já discutimos o caso do campo elétrico gerado por um dipolo elétrico, 
que  pode  ser  uma  molécula  de  água  ou  uma  molécula  de  ácido 
clorídrico,  que  são  moléculas  polares.  Vamos  discutir  agora  o  que 
acontece com um dipolo quando este é submetido a um campo elétrico 
externo. Para simplificar vamos considerar que este campo é uniforme.  
Vamos mostrar que o campo externo não exerce nenhuma força externa 
no dipolo, mas exerce um torque que fará com que o dipolo gire de um 
  33 
determinando ângulo. Considere a figura 2.8, que mostra o dipolo numa 
região de campo elétrico uniforme.   Observe que as forças ܨԦଵ e ܨԦଶ têm 
mesmo  módulo,  F1=F2=qE,  mas  sentidos  opostos,  o  que  dá  uma 
resultante  nula.  Por  outro  lado,  estas  forças  exercem  um  torque  que 
tende a girar e alinhar o dipolo com o campo externo.  Por exemplo,  o 
torque  em  torno  da  carga  negativa  tem  módulo    ߬ ൌ ܨଵܮ sin ߠ ൌ
ݍܧܮ sin ߠ ൌ ݌ܧ sin ߠ. A direção do torque, pela regra da mão direita, é 
aquela  entrando  na  página.  Em  notação  vetorial  podemos  escrever  o 
torque como : 
Ԧ߬ ൌ ݌Ԧ ൈ ܧሬԦ.                                                      ሺ2.7ሻ 
  Quando um dipolo gira de um ângulo dθ, o trabalho realizado 
pelo torque é ܹ݀ ൌ െ߬݀ߠ ൌ െ݌ܧ sin ߠ݀ߠ. O sinal vem do fato de que 
o torque tende a decrescer θ. Como este trabalho é igual ao decréscimo 
da energia potencial, temos 
ܷ݀ ൌ െܹ݀ ൌ ݌ܧ sin ߠ݀ߠ. 
Integrando, obtemos  
ܷ ൌ െ݌ܧ cos ߠ ൅ ܷ଴. 
Escolhendo U0=0 para θ=π/2, temos 
ܷ ൌ െ݌ܧ cos ߠ ൌ െ݌Ԧ · ܧ,ሬሬሬԦ                                ሺ2.8ሻ 
Que é a energia potencial elétrica armazenada no dipolo elétrico. 
  Fornos  de  micro‐ondas  exploram  o  fato  de  que  existe  uma 
grande  quantidade  de  água  (moléculas  polares)  nos  alimentos  para 
poder cozinhá‐los. Ao  funcionar na  faixa de vibração das moléculas de 
água estas vibram por ressonância e os alimentos são aquecidos  
 
2.7 – Problemas resolvidos 
Exemplo 2.3: Uma carga pontual q1=8 nC está na origem , e uma 
segunda carga q2=12 nC está no eixo x, em a=4m (Figura 2.9). Encontre o 
campo elétrico total (a) em P1, no eixo x,  a x=7 m e (b) em P2 no eixo x 
em x=3 m. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.9: Duas cargas pontuais dispostas ao longo do eixo x 
  34 
Solução:  Como o ponto P1 está à direita das duas cargas e as mesmas 
são ponto P2 (x=3 m), que está mais próximo da carga q2, o campo 
elétrico resultante apontará para a esquerda. Vejamos isto 
quantitativamente: 
(a) Usando a Eq. (2.4) para o ponto P1 temos  
ܧሬԦ ൌ ଵ
ସగఢబ
௤భ
௥భబమ
ଓ̂ ൅ ଵ
ସగఢబ
௤మ
௥మబమ
ଓ̂ ൌ ଵ
ସగఢబ
௤భ
௫మ
ଓ̂ ൅ ଵ
ସగఢబ
௤మ
ሺ௫ି௔ሻమ
ଓ̂, 
 
Usando  x=7  m,  a=4  m,  q1=8  nC  e  q2=12  nC,  temos  ܧሬԦ ൌ
ቀ13.5 ே
஼
ቁ ଓ̂. 
(b) Para o ponto P2 temos  
ܧሬԦ ൌ ଵ
ସగఢబ
௤భ
௥భబమ
ଓ̂ ൅ ଵ
ସగఢబ
௤మ
௥మబమ
ଓ̂ ൌ ଵ
ସగఢబ
௤భ
௫మ
ଓ̂ ൅ ଵ
ସగఢబ
௤మ
ሺ௔ି௫ሻమ
ଓ̂,  o  que  dá 
ܧሬԦ ൌ ቀെ100 ே
஼
ቁ ଓ̂. 
 
A Figura 2.10 mostra graficamente o comportamento do campo elétrico 
para todos os pontos ao longo do eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.4:Encontre o campo elétrico no eixo y a y=3 m para as cargas 
vistas na Figura 2.9. 
Solução: Observe que para um ponto sobre o eixo y o campo elétrico, 
ܧሬԦଵ, devido à carga q1, aponta ao longo do eixo y, enquanto o campo ܧሬԦଶ , 
devido  à  carga  q2,  faz  um  ângulo  θ  com  o  eixo  y  (Figura  2.11a).  Para 
encontrar  o  campo  resultante  procedemos  com  a  decomposição 
analítica,  encontrando  as  componentes  x  e  y  de  cada  campo,  como 
mostrado na figura 2.11b. 
 
Figura 2.10: Gráfico do campo elétrico resultante da configuração de 
cargas vista na Fig. 2.9 ao longo do eixo x 
  35 
 
Figura 2.12 
Observe que o campo da carga q1 tem módulo ܧଵ ൌ
ଵ
ସ஠஫బ
୯భ
୷మ
ൌ 7.99 N/C, 
ܧଵ௫ ൌ 0, ܧଵ௬ ൌ 7.99
ே
஼
.   O campo da carga q2 tem módulo ܧଶ ൌ 4.32
ே
஼
. 
Suas  componentes  são  ܧଶ௫ ൌ െܧଶ cos ߠ,  ܧଶ௬ ൌ ܧଶ sin ߠ.  Da  Figura 
2.11a  obtemos  sin ߠ ൌ 0.8  e  cos ߠ ൌ 0.6.  Assim  temos, ܧ௫ ൌ
െ3.46 ܰ/ܥ  e  
ܧ௫ ൌ 10.6
ே
஼
. Dessas componentes obtemos a magnitude do campo 
 
 resultante,  ܧ ൌ ටܧ௫ଶ ൅ ܧ௬ଶ ൌ 11.2 ܰ/ܥ,  fazendo  um  ângulo  ߠଵ ൌ
tanିଵ ቀா೤
ாೣ
ቁ ൌ 108°, com o eixo x. 
  
2.8 –Problemas Propostos 
Problema 2.1‐ As linhas de campo de 
duas esferas condutoras são 
mostradas na Figura 2.12. Qual o sinal 
relativo das cargas e a magnitude das 
cargas das duas esferas?  
 
 
Problema  2.2‐   Um  elétron  entra  em 
uma  região  de  campo  elétrico 
Figura 2.11: Calculo do campo resultante ao longo em um ponto no eixo x. 
  36 
 
Figura 2.13: Quadrado de lado a 
ܧሬԦ ൌ ቀെ2000 ே
஼
ቁ ଔ̂  com  uma  velocidade  inicial  ݒԦ଴ ൌ ቀ10଺
௠
௦
ቁ ଓ ̂
perpendicular  ao  campo.  (a)    Faça  uma  comparação  entre  as  forças 
gravitacional  e  elétrica  que  agem  no  elétron.  Qual  é  a  deflexão  do 
elétron após ele ter percorrido 1 cm na direção x? 
 
 Problema 2.3‐  Calcule o campo elétrico no centro do quadrado da 
figura 2.13 abaixo.  
Problema  2.4‐  Em  um  particular  ponto  do  espaço,  uma  carga  Q  é 
posicionada e não sobre nenhuma força elétrica. Analise cada uma das 
alternativas abaixo, justificando sua resposta: 
(a) Não existem cargas nas proximidades; 
(b) Se existem cargas próximas, estas têm sinais opostos ao de Q; 
(c)  Se  existem  cargas próximas,  a  carga  total positiva deve  ser  igual  a 
carga total negativa; 
(d) Nenhuma das alternativas acima precisa ser verdadeira. 
Problema 2.5‐ Uma carga de +5.0 μC está localizada em x=‐3.0 cm e uma 
segunda carga de ‐8.0 μC está  localizada em x=+4.0 cm. Onde devemos 
posicionar uma  terceira  carga de +6.0  μC de modo a  termos o  campo 
elétrico nulo em x=0.0 cm?   
Problema 2.6‐ Duas cargas +4q e ‐3q estão separadas por uma pequena 
distância. Trace as linhas de campo elétrico para este sistema. 
Problema  2.7‐  Três  cargas  iguais  e  positivas  são  posicionadas  nos 
vértices  de  um  triângulo  eqüilátero.  Esquematize  as  linhas  de  campo 
elétrico para este sistema. 
Problema  2.8‐ Um  elétron,  partindo  do  repouso,  é  acelerado  por  um 
campo elétrico uniforme de módulo 8 x 104 N/C que se estende por uma 
região de 5.0 cm. Encontre a velocidade do elétron depois que ele deixa 
a região de campo elétrico uniforme. 
  37 
Problema  2.9‐Duas  cargas  pontuais,  q1=+2.0  pC  e  q2=‐2.0  pC  estão 
separadas por uma distância de 4μm.  (a) Qual é o momento de dipolo 
do  par  de  cargas?  (b)  Esquematize  o  dipolo  e  mostre  a  direção  do 
momento de dipolo.  
 
2.8 Referências bibliográficas 
Livro Texto 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S.  Física. V. 3, 4. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 1996. 
 
Bibliografia complementar 
HEWITT, Paul G. Física conceitual. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2002. 
TIPLER, P. Física 3. 4. ed. Rio da Janeiro: Guanabara Dois, 1999. 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 3: mecânica. São Paulo: 
Edgard Blücher, 1996. 
SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros: com Física Moderna. 
V. 3. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 
 
2.9 Web‐bibliografia 
 
http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm  
http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.ht
ml 
 
 
 
   
  38 
UNIDADE 3 
A LEI DE GAUSS 
 
 
RESUMO 
 
Nesta unidade discute‐se uma alternativa à lei de Coulomb, chamada de 
lei de Gauss, que permite uma abordagem mais prática e  instrutiva no 
cálculo  do  campo  elétrico  ܧሬԦ  em  situações  que  apresentam  certas 
simetrias.  Entretanto,  o  cálculo  do  campo  elétrico  na  forma  como 
apresentada  na  unidade  anterior  permanece  infalível,  embora 
trabalhosa em muitos casos. Neste capítulo apresentaremos o conceito 
de  fluxo de um  campo  vetorial,  importante na apresentação da  lei de 
Gauss e depois faremos aplicações. 
 
 
 
   
  39 
Sumário 
UNIDADE 3: A Lei de Gauss 
Paulo Henrique Ribeiro Barbosa 
 
3.1  O Fluxo de Campo Vetorial  3.1 
3.2  O Fluxo do Campo Elétrico ܧሬሬሬԦ e a Lei de Gauss  3.2 
3.3  Aplicações da Lei de Gauss  3.3 
3.4  Usando  a  Lei  de Gauss  para Discutir  o  Campo  Elétrico  em 
Condutores 
3.4 
3.5  Problemas  Propostos  3.5 
3.6  Referências bibliográficas   
3.7  Web‐bibliografia   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
  40 
3.1 O Fluxo de Campo Vetorial  
Uma  forma de entendermos o  significado de  fluxo é  imaginarmos que 
estamos às margens de uma auto ‐ estrada e realizando a contagem da 
quantidade de carros que cruzam a via em determinado ponto durante 
certo  tempo.  Ao  fazer  isto  estamos  calculando  o  fluxo  de  carros  na 
estrada naquele ponto. Se associarmos um vetor velocidade a cada carro 
que  ocupam  a  via  teremos  vários  vetores  velocidade  espacialmente 
distribuídos,  compondo  o  que  denominamos  campo  vetorial  de 
velocidades ݒԦ.  
Para  uma  análise  quantitativa  do  fluxo  vetorial  consideremos  o 
escoamento  de  um  fluido  em  regime  estacionário,  representado  pela 
especificação  do  vetor  velocidade  em  cada  ponto  (ver  Fig.3.1).  Na 
Fig.3.1a  colocam‐se  um  fio  retangular  de  modo  que  seu  plano  seja 
perpendicular ao vetor velocidade,ݒԦ, associado ao fluxo do fluido que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
escoa  ao  longo  de  um  canal.  Definindo‐se  o  fluxo  do  campo  de 
velocidades de modo que seu valor absoluto seja dado por  
                                                              |ߔ| ൌ ݒܣ,                                          (3.1) 
onde v é a intensidade da velocidade no local em que está posicionado o 
fio retangular. A unidade do fluxo do fluido é m3/s, que é o mesmo que a 
vazão  do  fluido  que  passa  através  da  área  A  delimitada  pelo  fio 
retangular.  Em  termos  do  conceito  de  campo,  podemos  considerar  o 
fluxo  como  uma  medida  do  número  de  linhas  de  campo  que 
 
Figura 3.1: (a) Fio retangular em um fluido com área normal ao vetor 
velocidade. (b) Fio retangular com área formando um ângulo Ф com 
o vetor velocidade.
  41 
atravessam a área do fio retangular. Se  inclinarmos o fio retangular de 
forma que o seu plano não seja mais perpendicular à direção do vetor 
velocidade  (ver Fig. 3.1b), o número de  linhas do campo de velocidade 
atravessando  a  área,  A,  do  retângulo  não  será  mais  o  mesmo  e 
diminuirá. Para calcular o fluxo do fluido observemos que o número de 
linhas  do  campo  de  velocidade  que  atravessam  a  área,  A,  na  forma 
inclinada é o mesmo número de linhas que atravessam a área projetada, 
Acosφ, perpendicularmente às linhas de ݒԦ. Assim, a intensidade do fluxo 
correspondente a situação retratada na Fig. 3.1b é|Φ| ൌ vA cosԄ.                              (3.2) 
Se  o  fio  retangular  for  girado  de modo  que  sua  área  seja  paralela  ao 
vetor  velocidade  (φ=90°),  nenhuma  linha  de  velocidade  atravessará  a 
área  e  o  fluxo  de  velocidades  é  nulo  (|ߔ| ൌ 0ሻ.  Podemos  dar  uma 
interpretação  vetorial  à  Eq.(3.2),  introduzindo  o  vetor  área,  ܣԦ,  que 
emerge  perpendicularmente  (normal)  à  superfície  de  área  A  do  fio 
retangular: 
ߔ ൌ ݒԦ · ܣԦ.                                                      ሺ3.3ሻ 
Observe  que  esta  definição  nos  coloca  diante  da  possibilidade  de  um 
fluxo  de  ݒԦ  positivo  (ߔ ൐ 0 ݌ܽݎܽ Ԅ ൏ 90°),  bem  como  um  fluxo  de  ݒԦ 
negativo  (ߔ ൏ 0 ݌ܽݎܽ Ԅ ൐ 90°).  Assim,  no  caso  de  uma  superfície 
aberta  deve‐se  escolher  um  sentido  para  a  normal  à  superfície  em 
questão. No caso de uma superfície  fechada, na qual se refere a  lei de 
Gauss, adota‐se o  sentido do  vetor área, ܣԦ,  como  sendo o  sentido da 
normal saindo da superfície. Dessa forma, o fluxo associado a um campo 
vetorial  que  atravessa  a  superfície  e  deixa  o  volume  será  um  fluxo 
positivo (fonte de linhas de campo), caso contrário o fluxo será negativo 
(sumidouro de  linhas de  campo). Podemos estender a definição acima 
para uma superfície qualquer considerando que a mesma é formada de 
um  número  muito  grande  de  superfícies  retangulares  de  área, ߂ܣԦ௜, 
elementares, cujo fluxo de  linhas de ݒԦ através da superfície de área ΔA 
será  ሺ߂ߔሻ௜ ൌ ݒԦ · ߂ܣԦ௜.  Em  seguida  somamos  e  tomamos  o  limite  de 
|߂ܣԦ௜| tendendo a zero,  
  42 
ߔ ൌ lim
௱஺೔՜బ
෍ݒԦ · ߂ܣԦ௜
ஶ
௜ୀ଴
ൌ නݒԦ . ݀ܣԦ ൌ නݒԦ. ො݊݀ܣ 
                                                  ߔ ൌ ׬ݒԦ . ො݊݀ܣ ,                                     (3.4) 
onde  ො݊ é o vetor unitário normal à superfície de área elementar dA no 
ponto considerado.  
3.2 – O Fluxo do Campo Elétrico ࡱሬሬሬԦ e a Lei de Gauss 
O  fluxo do  campo elétrico, ܧሬԦ, é análogo ao  fluxo de ݒԦ,  resultando em 
expressão  idêntica quando substituímos ݒԦ por ܧሬԦ em todas as etapas da 
dedução. A Fig. (3.2) mostra as linhas de campo elétrico não uniforme e 
o elemento de área   ߂ܣԦ௜. Tomando os devidos  limites o  fluxo elétrico, 
ΦE, será dado por  
                                                      ߔா ൌ ׬ܧሬԦ . ො݊݀ܣ                               (3.4) 
Esta  integral  indica que  a  superfície  em questão deve  ser dividida  em 
elementos infinitesimais de área ࢊ࡭ሬሬԦ, que é atravessado por um campo  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
elétrico,  ۳ሬԦሺܚԦሻ,  e  que  a  quantidade  escalar ࡱሬሬԦ. ࢔ෝࢊ࡭  deve  ser  calculada 
para  cada  elemento  e  somada,  contemplando‐se  toda  a  área  da 
superfície. No caso da  lei de Gauss, a superfície considerada é fechada, 
sendo a Eq.(3.4) modificada para  
ߔா ൌ ׯܧሬԦ . ො݊݀ܣ, 
onde o círculo na integral sinaliza que a mesma é fechada.  
 
Figura 3.2: Linhas de campo atravessando uma 
superfície S.   
  43 
  Dissemos  acima que o  fluxo de ݒԦ  através de uma  superfície  é 
uma medida do número de  linhas de campo que atravessam a mesma, 
ou  que  é  uma  medida  da  vazão  do  fluido.  Podemos  dar  uma 
interpretação  análoga  para  o  caso  do  campo  elétrico,  dizendo  que  o 
fluxo  elétrico ߔா é uma medida do número de  linhas  que  atravessam 
uma superfície. Como não existem linhas de campo sem cargas elétricas, 
podemos  dizer  que  para  uma  superfície  fechada  o  fluxo  elétrico  está 
diretamente  ligado  à  carga  elétrica  envolvida  por  esta.  Imagine  uma 
superfície  fechada,  que  chamaremos  a  partir  de  agora  de  superfície 
gaussiana,  contendo  uma  certa  quantidade  de  carga  q  (discreta  e/ou 
contínua). A  lei de Gauss  afirma que o  fluxo elétrico ߔா através desta 
superfície fechada é proporcional à quantidade de carga q envolvida: 
ߝ଴ߔா ൌ ݍ ,  
ou 
ߝ଴ ׯܧሬԦ . ݀ܣԦ=q.                                            (3.5) 
A Eq.  (3.5) contabiliza o número de  linhas que atravessam a superfície 
gaussiana  ou  a  quantidade  total  de  cargas  internas  a  esta  superfície. 
Embora a escolha da superfície gaussiana seja arbitrária e não altere o 
resultado da integral na Eq. (3.5), deve‐se fazer uma escolha que explore 
a  simetria  da  distribuição  de  cargas.  A  lei  de  Gauss  estabelece  uma 
relação entre grandezas (o fluxo elétrico ߔா  e a carga total q envolvida 
pela  superfície S) que, em princípio, não  são definidas para um ponto, 
pelo menos na forma como está expressa na Eq. (3.5). Assim sendo, não 
é  de  se  estranhar  que  a mesma  não  sirva  para  calcular  o módulo  do 
campo elétrico de uma distribuição qualquer. Na próxima seção vamos 
mostrar que a  lei de Gauss pode  ser útil no  cálculo do campo elétrico 
(que é uma  grandeza  local) de um número  relativamente  reduzido de 
distribuições de cargas que geram campos elétricos com determinadas 
simetrias,  desde  que  se  faça  uma  escolha  apropriada  da  superfície 
gaussiana. 
A  lei de Gauss e a  lei de Coulomb  são  formas diferentes de abordar o 
mesmo  problema,  e  conseqüentemente  fornecem  a mesma  resposta. 
Então, quando e por que usar uma ou outra lei? O uso de uma ou outra 
lei é determinado pelas seguintes circunstâncias: (a) se a distribuição de 
  44 
cargas apresenta um alta  simetria a  resposta é obtida mais  facilmente 
usando  a  Lei  de  Gauss,  (b)  Entretanto  se  a  distribuição  de  cargas 
apresenta  um  baixa  grau  de  simetria  a  Lei  de  Coulomb  é  a  mais 
adequada. 
 
3.3 – Aplicações da Lei de Gauss 
(a) Carga Puntiforme e a Lei de Coulomb 
Por  argumentos  de  simetria  conclui‐se  que  o  campo  de  uma  carga 
puntiforme  tem  simetria  esférica  (campo  é  o  mesmo  para  qualquer 
ponto  sobre  uma  esfera  de  raio  r  e  é  perpendicular  a  superfície  da 
esfera). Assim, ao escolhermos como superfície gaussiana uma esfera de 
raio r com a carga q em seu centro (Fig.3.3) teremos a possibilidade de 
obter o campo elétrico da carga Q. Como ݀ܣԦ é paralelo a ܧሬԦ em qualquer 
ponto  sobre  a  Gaussiana,  o  produto  escalar  destes  dois  vetores  na 
superfície da esfera gaussiana  será  sempre ܧሬԦ · ݀ܣԦ=EdA. Tomando a  lei 
de Gauss temos, 
ׯܧሬԦ · ݀ܣԦ ൌ ׯܧ݀ܣ ൌ ܧ ׯ݀ܣ ൌ ܧ4ߨݎଶ ൌ ܳ/ߝ଴, ou 
ܧ ൌ ଵ
ସగఌబ
ொ
௥మ
,                                                                (3.6) 
que é a eq. 2.3, o campo de uma carga puntiforme.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.3: Carga pontual Q envolvida por uma superfície 
esférica de raio r. 
  45 
 
Figura 3.4: Linha de carga positiva envolvida por uma superfície 
gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento l. 
No  cálculo  da  integral  fechada  sobre  a  superfície  esférica  tiramos  o 
módulo do campo de baixo do símbolo da  integral porque o mesmo é 
constante. 
 
(b) Linha Infinita de Cargas 
Considere uma  linha  infinita de carga com densidade  linear, positiva e 
constante λ, conforme mostrado na Fig.3.4. Deseja‐se calcular o campo 
elétrico  a  uma  distância  perpendicular  r  da  linha  de  carga.  Por 
considerações de simetria conclui‐se que as linhas de campo são radiais. 
Ou  seja,  o  campo  elétrico,  ܧሬԦ,  é  perpendicular  à  linha  de  carga.  A 
superfície gaussiana mais apropriada para o cálculo do campo elétrico é 
uma superfície cilíndrica de raio r, comprimento  l, com a  linha de carga 
passando pelo seu eixo. Observe que ܧሬԦ é constante ao  longo de toda a 
superfície  cilíndrica  e  perpendicular  a  ela. O  fluxo  de ܧሬԦ  através  desta 
superfície é  
ׯܧሬԦ · ݀ܣԦ ൌ׬ ܧሬԦ · ݀ܣԦௌభ ൅ ׬ ܧ
ሬԦ · ݀ܣԦௌమ ൅ ׬ ܧ
ሬԦ · ݀ܣԦௌయ ൌ ݍ/ߝ଴. 
Como para as superfícies S1, S2 e S3 o campo elétricoܧሬԦ e o elemento de 
área  mantém  as  respectivas  relações  ܧሬԦ צ ݀ܣԦ, ܧሬԦ ٣ ݀ܣԦ ݁ ܧሬԦ ٣ ݀ܣԦ,  que 
darão produto interno não‐nulo somente para a integral na superfície S1. 
Assim, usando q=λl temos,  
  46 
 
Figura 3.5: Superfície gaussiana cilíndrica envolvendo uma parte da 
carga de um  plano infinito de carga uniforme contida na área A. 
ܧሺ2ߨݎ݈ሻ ൌ ߣ݈/ߝ଴ 
ou 
ܧ ൌ ఒ
ଶగఌబ௥
 .                                                  (3.7) 
 
(c) Plano Infinito de Cargas 
A Fig. 3.5 mostra parte de uma placa fina, não‐condutora e infinita, com 
densidade superficial de carga σ (carga por unidade de área) constante e 
positiva.  Deseja‐se  calcular  o  campo  elétrico  em  pontos  próximos  à 
placa. Devido à simetria retangular da placa o campo é perpendicular a 
superfície da mesma. A  superfície  gaussiana  adequada  é um pequeno 
cilindro  de  comprimento  2r  e  área  A,  como  ilustrado  na  Fig.3.5.  Da 
simetria,  o  campo  tem  a  mesma  intensidade  nas  extremidades  do 
cilindro. Assim, da lei de Gauss temos  ߝ଴ ׯܧሬԦ . ݀ܣԦ ൌ ݍ,      ou  
ߝ଴ሺܧܣ ൅ ܧܣሻ ൌ ߪܣ. 
Isolando E temos 
 ܧ ൌ ఙ
ଶఌబ
                                                (3.8) 
 
 
  47 
 
Figura 3.6: Casca esférica com distribuição uniforme de carga. 
Ilustração da superfície gaussiana esférica de raio r>R. 
(d) Casca Esférica de Carga 
A  Fig.3.6 mostra  uma  casca  esférica  fina  de  raio  R,  com  uma  carga  q 
uniformemente distribuída em sua superfície. A casca está envolvida por 
uma superfície esférica de raio r. Dos estudos anteriores sabe‐se que o 
campo tem somente a componente radial. Deseja‐se encontrar o campo 
elétrico para pontos  em que  r>R  e  r<R. Aplicando‐se  a  lei de Gauss  à 
superfície esférica de raio r>R, obtém‐se 
ߝ଴ܧ௥ሺ4ߨݎଶሻ ൌ ݍ, 
ou 
ܧ௥ ൌ
ଵ
ସగ௥మఌబ
௤
௥మ
  (casca esférica, r>R)                  (3.9) 
• Uma  casca  esférica  uniformemente  carregada  comporta‐se 
como uma carga pontual para todos os pontos exteriores a ela. 
Se  considerarmos  que  a  superfície  gaussiana  tem  um  raio  r  <R,  ao 
aplicarmos a lei de Gauss encontraremos  
ߝ଴ ׯܧሬԦ . ݀ܣԦ ൌ ݍ ൌ 0, 
pois  não  há  nenhuma  carga  interna  à  superfície.  Como  a  carga  está 
distribuída  uniformemente  sobre  a  superfície  esférica  conclui‐se  que 
ܧ௥ ൌ 0  para  qualquer  ponto  interno  à  casca  esférica  de  raio  R. 
Resumindo, 
ܧ௥ ൌ 0,  (casca esférica com σ uniforme e r<R)                 (3.10) 
• Uma  casca  esférica  uniformemente  carregada  não  exerce 
nenhuma  força elétrica em uma partícula  carregada  localizada 
em seu interior, em qualquer ponto, pois Er=0.  
  48 
 
Figura  3.7:  Comportamento  do  campo  elétrico  de  uma  casca 
esférica em função do raio. 
 
Figura 3.8: Esfera carregada uniformemente. Superfície gaussiana 
esférica com (a) raio r>R e (b) r<R. 
A  Fig.3.7 descreve o  comportamento  gráfico do  campo  em  função do 
raio desde r=0 até r infinito. 
 
(e) Distribuição de Carga com Simetria Esférica 
A  Fig.3.8 mostra uma  esfera de  raio R uniformemente  carregada  com 
densidade  volumétrica  de  carga  positiva  ρ  (coulombs  por  metros 
cúbicos)  ao  longo  de  todo  o  seu  volume  esférico.  Pergunta‐se  pelo 
campo elétrico para pontos interiores ou exteriores à esfera. Tomando‐
se uma superfície gaussiana de raio r>R (Fig.3.8a) (análogo ao caso (d)) e 
usando a lei de Gauss temos, 
  49 
 
Figura 3.9: Comportamento gráfico do campo elétrico da esfera 
uniformemente carregada da figura 3.8. 
ߝ଴ ׯܧሬԦ . ݀ܣԦ ൌ ݍ ou ܧ௥ ൌ
ଵ
ସగ௥మఌబ
௤
௥మ
  (esfera de carga q, r>R). 
Ou seja, a carga distribuída uniformemente por todo o volume da esfera 
comporta‐se como uma carga pontual localizada no centro da esfera. No 
caso da Fig.3.8b a superfície gaussiana envolve somente uma carga q’, 
uma fração da carga total q. Assim, da lei de Gauss temos, ߝ଴ ׯܧሬԦ · ݀ܣԦ ൌ
ݍԢ   ou ܧ௥ ൌ
ଵ
ସగ௥మఌబ
௤ᇱ
௥మ
  (r<R). Como  a densidade de  carga  ρ  é uniforme, 
podemos  escrever  q’  em  termos  de  q:  ݍᇱ ൌ ݍ ቀ௥
ோ
ቁ
ଷ
,  de  forma  que  o 
campo interno à esfera é  
ܧ௥ ൌ
ଵ
ସగ௥మఌబ
௤௥
ோయ
                                         (3.11). 
Graficamente  o  módulo  do  campo  elétrico  para  pontos  internos  e 
externos à esfera é dado na Fig.3.9 
3.4 – Usando a Lei de Gauss para Discutir o Campo Elétrico em 
Condutores 
Pode‐se usar a lei de Gauss para discutir as propriedades de condutores 
em que circule carga elétrica. Uma das mais interessantes propriedades 
é a seguinte: 
• Uma  carga  excedente  localizada  em  um  condutor  isolado 
desloca‐se  totalmente  para  a  superfície  externa  do  condutor. 
Nenhuma  carga  excedente  permanece  no  interior  do  corpo  do 
condutor. 
  50 
O que acontece quando uma quantidade de carga elétrica é armazenada 
em qualquer ponto no  interior de um  condutor  isolado? Quando esta 
carga elétrica  (elétrons) é depositada em qualquer ponto do condutor, 
esta estabelece um campo elétrico no  interior do condutor que exerce 
uma  força elétrica entre as  cargas,  fazendo‐se  com que as mesmas  se 
empurrem ao máximo e se redistribuam ao longo da superfície externa. 
Este processo leva em torno de 10‐9s, levando a um campo interno nulo 
e  ao  estabelecimento  do  equilíbrio  eletrostático.  Se  houvesse  algum 
campo  no  interior  do  condutor  isolado,  haveria  uma  força  elétrica 
atuando nos elétrons de condução do metal. Um fio transportando uma 
corrente elétrica não pode ser considerado um condutor isolado, porque 
este  está  sob  influência  de  uma  ação  externa  (uma  bateria,  por 
exemplo),  que  estabelece  um  campo  elétrico  interno.  A  lei  de  Gauss 
pode  ser  usada  para mostrar  que  qualquer  excesso  de  carga  em  um 
condutor em equilíbrio eletrostático deve estar exclusivamente na  sua 
superfície  externa.  Para mostrar  isso  considere  a  Fig.3.10,  onde  uma 
superfície gaussiana é traçada,  internamente, bem próxima à superfície 
do condutor. Se o campo elétrico é nulo em todos os lugares no interior 
do condutor, este será nulo em todos os pontos da superfície gaussiana, 
que  se encontra  totalmente dentro do condutor. Assim  sendo, o  fluxo 
total através da superfície gaussiana é nulo. Se o fluxo total é nulo, pela 
lei de Gauss, conclui‐se que a carga  total  líquida dentro do condutor é 
nula. 
 
 
 
 
 
Deve  ficar  claro  que  o  campo  elétrico  nulo  no  interior  de  condutor 
isolado  não  é  devido  simplesmente  ao  fato  das  cargas  estarem  na 
superfície externa, mas também devido à adequada distribuição destas 
cargas na parte externa deste. Além disso, se o condutor isolado possui 
uma superfície interna (um buraco, por exemplo), não deve haver carga 
 
Figura 3.10: Condutor de forma arbitrária e o seu 
campo interno.
  51 
 
Figura 3.11: Campo elétrico imediatamente acima de uma superfície 
condutora. 
na  sua  superfície  interna. Outra  característica do  campo elétrico ܧሬԦ na 
superfície externa de um  condutor em equilíbrio eletrostático é que o 
mesmo  é  normal  a  esta  superfície.  Se  existisse  uma  componente 
tangencial na superfície externa haveria uma corrente elétrica nesta. 
Uma vez que o excesso de carga de um condutor isolado permaneça na 
sua superfície externa deve‐se calcular o campo nas proximidades desta 
superfície. Para determinar a amplitude do campo próximo à superfície 
de um condutor usaremos a lei de Gauss aplicada à superfície gaussiana 
cilíndrica desenhada na Fig. 3.11, cujas superfícies retas são paralelas à 
superfície  do  condutor.  Parte  do  cilindro  está  dentro  do  condutor  e 
parte  fora. Da  condição de equilíbrioeletrostático, o  campo elétrico é 
nulo dentro do condutor e perpendicular externamente. O fluxo através 
do cilindro vem somente da parte externa de sua superfície. Assim, 
ߔா ൌ ׯܧሬԦ · ݀ܣԦ ൌ ܧܣ ൌ
௤
ఌబ
ൌ ఙ஺
ఌబ
, 
Resolvendo para E temos, 
ܧ ൌ ఙ
ఌబ
  ,                                                                  (3.12) 
Este  campo,  imediatamente acima da  superfície, é normal à  superfície 
do condutor. 
 Problemas  Propostos  
Problema 1‐ Uma rede de caçar borboleta está numa região onde existe 
um campo elétrico uniforme, como  ilustra afigura 3.12. A extremidade 
  52 
aberta é limitada por um aro de área A, perpendicular ao campo. Calcule 
o fluxo de EሬሬԦ através da rede. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2 ‐ A figura 3.13 mostra parte de dois longos e finos cilindros 
concêntricos de raios a e b. Os cilindros possuem cargas iguais e opostas, 
com densidade  linear  λ. Use  a  lei de Gauss para mostrar que:  (a) E=0 
para r<a e (b) que entre os cilindros 
ܧ ൌ ଵ
ଶగఌబ
ఒ
௥
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3 ‐ Qual é o fluxo elétrico através de cada uma das superfícies 
na Fig. 3.14? Dê sua resposta em termos de múltiplos de q/ε0. 
 
 
 
Figura 3.13: Cilindros concêntricos com cargas iguais 
e opostas, 
 
Figura 3.12: Fluxo elétrico que atravessa uma 
rede de borboletas. 
  53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema  4  ‐  A  esfera  (A)  e  o  elipsóide  (B)  na  Fig.  3.  14  são  duas 
superfícies gaussianas que envolvem a mesma quantidade de  carga q. 
Quatro  estudantes estão discutindo a situação. 
André diz que o  fluxo através de A e B é o mesmo porque as 
superfícies  têm  o  mesmo  raio  médio.  Luís  concorda  que  os 
fluxos  são  iguais, mas  porque  A  e  B  envolvem  cargas  iguais. 
Pedro diz que o campo elétrico não é perpendicular à superfície 
de B, e por  isso o fluxo através de B é menor que através de A. 
Paulo acha que a lei de Gauss não é aplicável à situação de B, de 
forma que não devemos comparar os fluxos através de A e B. 
Você concorda com algum destes estudantes? Explique.  
 
 
 
 
 
 
Problema 5 – Um dos vértices de um cubo de  lado L é posicionado na 
oriem de um sistema de eixos, como mostra a figura 3.16. Suponha que 
o mesmo  é  atravessado por um  campo  elétrico uniforme, ܧሬԦ ൌ െܤଓ̂ ൅
ܥଔ̂ െ ܦ ෠݇, onde B, C e D  são  constantes positivas,  (a) Encontre o  fluxo 
elétrico através de cada uma das seis faces do cubo, S1, S2, S3, S4, S5 e S6. 
(b) Encontre o fluxo elétrico total através do cubo. 
  54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 6 – Falso ou verdadeiro (justifique) 
(a) A  lei de Gauss é válida somente para uma distribuição de carga 
simétrica? 
(b) Podemos usar a lei de Gauss para mostrar que E=0 dentro de um 
condutor? 
Problema 7 – Um esfera condutora de raio R=0.1 m tem uma densidade 
volumétrica de carga ρ=2.0 nC/m3. A magnitude do campo elétrico em 
r=2R é E=1883 N/C. Encontre a magnitude do campo elétrico em r=0.5R. 
Problema 8 – Um cilindro infinitamente longo, de raio R, contém uma 
carga uniformemente distribuída, com densidade r. Mostre que a uma 
distância r do eixo do cilindro (r<R), 
 
3.6.‐Referências bibliográficas 
 
Livro Texto 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S.  Física. V. 3, 4. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 1996. 
 
Bibliografia complementar 
HEWITT, Paul G. Física conceitual. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2002. 
TIPLER, P. Física 3. 4. ed. Rio da Janeiro: Guanabara Dois, 1999. 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 3: mecânica. São Paulo: 
Edgard Blücher, 1996. 
 
Figura 3.16 
  55 
SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros: com Física Moderna. 
V. 3. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 
3.7‐Web‐bibliografia 
 
http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm  
http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.ht
ml 
 
   
  56 
UNIDADE 4 POTENCIAL ELÉTRICO 
 
 
RESUMO 
 
Nesta unidade discutiremos   e apresentaremos os conceitos de energia 
potencial elétrica e potencial elétrico,  importantes no desenvolvimento 
do formalismo escalar na solução de problemas eletrostáticos. Veremos 
que a mesma pode  ser armazenada no campo de  forças eletrostáticas 
conservativas. 
   
  57 
Sumário 
UNIDADE 4: Potencial Elétrico 
Paulo Henrique Ribeiro Barbosa 
4.1  Introdução  57 
4.2  Energia Potencial e Energia Potencial Elétrica  57 
4.3  Potencial Elétrico  62 
4.4  Cálculo do Potencial Elétrico a Partir do Campo Elétrico  64 
4.5  Potencial de um dipolo dielétrico  65 
4.6  Potencial de uma linha de carga  66 
4.7  Diferença  de  potencial  elétrico  entre  as  placas  de  um 
capacitor 
 
67 
4.8  O cálculo do campo elétrico a partir do potencial elétrico  68 
4.9  Superfícies equipotenciais  69 
4.5  Problemas Propostos  71 
4.6  Referências bibliográficas  72 
4.7  Web‐bibliografia  73 
 
 
 
 
   
  58 
4.1 ‐Introdução 
Nas unidades anteriores abordou‐se o problema eletrostático usando‐se 
o  formalismo  vetorial.  Naquele  momento  o  interesse  básico  era  a 
determinação  do  campo  elétrico  em  um  ponto  devido  a  uma 
distribuição  de  cargas.  O  campo  produzido  por  esta  distribuição  de 
cargas age em qualquer corpo carregado imprimindo‐lhe uma força que 
modifica  seu  estado de movimento. A  realização de  trabalho da  força 
elétrica  sobre  o  corpo  carregado  mostra  que  energia  pode  ser 
transferida  da  distribuição  de  cargas  para  o  corpo  carregado  e  vice‐
versa.  
Nesta unidade discutiremos a natureza dessa energia e veremos que a 
mesma  pode  ser  armazenada  no  campo  de  forças  eletrostáticas 
conservativo,  levando  aos  conceitos  de  energia  potencial  elétrica  e 
potencial eletrostático associados a um conjunto de cargas. 
 
4.2 ‐ Energia Potencial e a Energia Potencial Elétrica 
Uma forma simples de entender a energia associada às forças elétricas, 
é explorar as semelhanças entre a interação eletrostática entre cargas e 
a gravitacional entre massas: 
 
ܨா ൌ
ଵ
ସగఌబ
|௤భ||௤మ|
௥మ
              eletrostática,                           (4.1)   
 
ீܨ ൌ ܩ ௠భ௠మ
௥మ
                   gravitacional.                           (4.2) 
Foi  visto  em  cursos  anteriores  que  o  trabalho  realizado  pela  força 
gravitacional  para  transportar  uma massa m2  na  presença  do  campo 
gravitacional da outra massa m1 depende somente das posições inicial e 
final da massa m2  relativa  à partícula de massa m1 e não do  caminho 
percorrido  por  esta.  Por  causa  desta  propriedade  esta  força  foi 
denominada de  força conservativa. E quando uma  força é conservativa 
podemos associar a esta uma energia potencial, ܷሺݎԦሻ. Assim, a diferença 
de energia potencial, ߂ܷሺݎԦሻ, à medida que um  corpo  se move de  sua 
posição inicial à sua posição final é igual ao trabalho com sinal negativo 
realizado pela força: 
 
  59 
߂ܷሺݎԦሻ ൌ ௙ܷ െ ௜ܷ ൌ െ ௜ܹ௙ ൌ െ׬ ܨԦ · ݀ݏԦ
௙
௜ ,       (4.3) 
onde  ௜ܹ௙é  o  trabalho  realizado  pela  força  ܨԦ  quando  o  objeto 
move‐se de i para f. No caso da força gravitacional entre as massas 
m1 e m2 usando a Eq.4.3 encontra‐se que a diferença de energia 
potencial quando a massa m2 move‐se de r1 à r2 é 
߂ܷሺݎԦሻ ൌ െܩ݉ଵ݉ଶ ቀ
ଵ
௥భ
െ ଵ
௥మ
ቁ.                       (4.4) 
Observe  que  esta  diferença  de  energia  potencial  está  associada 
com  todo o sistema composto por m1 e m2, e não com cada um 
dos objetos separadamente.  
Embora a força eletrostática entre cargas