APOSTILA DE LÓGICA MATEMÁTICA 1

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MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LÓGICA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Prof :.Jorge 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
SUMÁRIO 
1.0 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................3 
1.1 O RACIOCÍNIO E A LÓGICA .......................... .............................................................. 4 
1.2 LINGUAGEM NATURAL E SIMBÓLICA ....................................................................4 
1.3 GRAMÁTICA ....................................................................................................................4 
1.4 SIMBOLIZAÇÃO DE EXPRESSÕES ..............................................................................5 
2.0 CÁLCULO PROPOSIÇIONAL .........................................................................................5 
2.1 PROPOSIÇÃO SIMPLES...................................................................................................5 
2.2 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS -CONECTIVOS..............................................................5 
2.3 TABELAS VERDADE ....................................................................................................5 
2.4 ORDEM DE PRECEDÊNCIA DOS CONECTIVOS.........................................................5 
2.5 IMPLICAÇÃO LÓGICA.....................................................................................................8 
2.6 TAUTOLOGIA CONTRADIÇÃO CONTINGÊNCIA......................................................9 
2.7 EQUIVALÊNCIA LÓGICA ............................................................................................12 
2.8 CONJUNTO ADEQUADO DE CONECTIVOS.............................................................15 
2.9 FORMAS NORMAIS; CONJUNTIVA ...........................................................................15 
2.10 FORMA NORMAL DISJUNTIVA ................................................................................16 
2.11 O PROBLEMA DE POST..............................................................................................16 
2.12 VALIDADE DE ARGUMENTOS POR TABELA VERDADE ..................................21 
2.13 MÉTODO DA . ATRIB DE VALORES PROVA DA NÃO VALIDADE ..................21 
2.14 VALIDADE DE ARGUMENTOS POR REGRAS DE INFERÊNCIAS......................23 
2.15 VALIDADE POR DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL E POR ABSURDO .........27 
3.0 PREDICADOS.................................................................................................................30 
3.1 CONJUNTO UNIVERSO CONJUNTO VERDADE ......................................................30 
3.2 QUANTIFICADORES ....................................................................................................30 
3.3 VARIÁVEIS LIGADAS. ALCANCE DOS QUANTIFICADORES ..............................30 
3.4 NEGAÇÃO DE FÓMULAS QUANTIFICADAS ...........................................................30 
3.5 RELAÇÕES LÓGICAS ....................................................................................................30 
3.6 ARGUMENTOS E REGRAS DE INFERÊNCIAS ADICIONAIS .................................31 
4.0 MÉTODOS DE DEMONSTRAÇÃO ...............................................................................33 
4.1 VACUIDADE TRIVIAL DIRETA E INDIRETA ...........................................................33 
4.2 CONTRADIÇÃO OU REDUÇÃO AO ABSURDO .......................................................33 
4.3 TÉCINAS ADICIONAIS ENVOLVENDO QUANTIFICADORES ..............................34 
 
 
 
UNIDADE II 
5.1 SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA LISTA 1 A .............................................................39 
5.2 SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA LISTA 2 A .............................................................41 
5.3 SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA LISTA 3 A .............................................................45 
5.4 SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA LISTA 4 A .............................................................48 
5.5 SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA LISTA 4 B ............................................................51 
5.6 SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA LISTA 5 A .............................................................55 
5.7 SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA LISTA 6 A .............................................................58 
5.8 SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA LISTA 7 A .............................................................60 
5.9 SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA LISTA 8 A .............................................................64 
5.10 SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA LISTA 9 A ..........................................................67 
5.11 SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA LISTA 9 B ..........................................................71 
6.0 BIBLIOGRAFIA ...............................................................................................................76 
7.0 PLANEJAMENTO DAS ATIVIDADES PARA 2006/02................................................77 
 
 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO. 
 
Esta apostila tem o objetivo de servir de apoio aos estudos da disciplina Lógica Matemática. 
Os tópicos foram selecionados em função da ementa da disciplina FIM 0922 do curso de 
licenciatura de matemática da UNESA. Trata-se de apenas um breve resumo onde uma 
seleção de importantes exercícios são oferecidos para estudo. Assim este trabalho servirá 
como um complemento às anotações de sala de aula e guia para orientação ao estudo que 
vamos desenvolver. 
Inclui exercícios resolvidos em cada tópico e ao final uma lista de exercícios e uma lista 
alternativa com a solução de alguns exercícios selecionados. 
 
 
Objetivos Gerais. 
 Construir uma linguagem precisa, adequada ao tratamento científico. 
 Fornecer ferramentas básicas para uma melhor compreensão, aproveitamento e aplicação às 
disciplinas afins. 
 
Objetivos Específicos. 
Identificar proposições e construir tabelas verdade. 
Utilizar a Implicação e a Equivalência lógica. 
Apresentar predicados e trabalhar com quantificadores e suas negações. 
Desenvolver a capacidade de raciocinar logicamente. 
Perceber intuitivamente os argumentos válidos e os inválidos 
Aprimorar e desenvolver o raciocínio lógico matemático através da análise crítica dos 
argumentos. 
Reconhecer argumentos dedutivamente válidos e inválidos utilizando as regras de inferência. 
Apresentar e aplicar algumas técnicas de demonstrações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
UNIDADE I 
NOÇÕES PRELIMINARES 
 
LÓGICA MATEMÁTICA. LÓGICA MAT 1 
1.1 O RACIOCÍNIO E A LÓGICA. 
A Lógica matemática se preocupa em desenvolver técnicas para distinguir os raciocínios 
corretos dos incorretos. De um modo geral, uma pessoa quando raciocina, apresenta esse 
raciocínio por meio de afirmações e pode ou não apresentar evidências em apoio a suas 
afirmações. Uma afirmação que está apoiada pela evidência é a conclusão de um raciocínio 
(Argumento). A Análise lógica examina as relações que existe entre uma conclusão e a 
evidência que lhe serve de apoio. 
Apresentaremos a Lógica Matemática como ferramenta básica para desenvolver, direcionar e 
analisar raciocínios. Além de desenvolvermos raciocínios que serão ferramentas necessários à 
diversas demonstrações, no decorrer do curso estudaremos e aprenderemos analisar se são 
logicamente válidos argumentos como os abaixo: 
1)Se o mordomo cometeu o crime, então estará nervoso ao ser interrogado.(Premissa) 
 O mordomo estava nervoso ao serinterrogado.(Premissa) 
 Logo, o mordomo cometeu o crime.(Conclusão) 
2) Se um triângulo possui dois lados iguais então é isósceles. 
 O triângulo possui três lados iguais. 
 Logo, é um triângulo isósceles. 
Será que estes argumentos são logicamente válidos? 
1.2 LINGUAGEM NATURAL E LINGUAGEM SIMBÓLICA. 
A linguagem natural é vaga ambígua e imprecisa, sendo adequada para Poesia, Literatura e 
Folclore mas não para a Ciência e a Tecnologia. Por isso nos serviremos de uma Linguagem 
simbólica, que retrata de forma concisa tudo o que é dito na linguagem natural. Dentre 
diversos símbolos usaremos mais os da tabela abaixo. 
 
1.3 GRAMÁTICA 
Conceito de proposição: Chama-se proposição todo conjunto de palavras ou símbolos que 
exprimem um pensamento de sentido completo, isto é, é uma sentença declarativa que é ou 
verdadeira (v) ou falsa (f), dentro de certo contexto. Os valores verdadeiro ou falso são 
chamados de valores lógicos. 
 
1.4 SIMBOLIZAÇÃO DE EXPRESSÕES : Utiliza-se uma letra minúscula .EX: O número 
2 é primo : p . O quadrado é um polígono regular : q. Existe um único inteiro par : s. Todos 
os inteiros são ímpares : t . O número 15 é múltiplo de 3 : u . 
 
Proposição simples: é aquela que não contém nenhuma outra como parte integrante de si 
mesma. É composta de sujeito verbo e complementos. Ex: Carlos é careca :c . Pedro é 
estudante :e. 
 
Proposição Composta: é a formada por duas ou mais proposições ligadas por conectivos. Ex: 
Carlos é careca e Pedro é feliz. Se Carlos é careca então é feliz. 
 
Conectivos Símbolo Operação Proposição Como ler 
não ~ ou 
 
 negação ~p não p 
e 

 conjunção p q p e q 
ou 

 disjunção p q p ou q 
se ...então 

 condicional p

q Se p então q 
se e só se 

 bicondicional p

q p se e só se q 
 5 
 
1)Na condicional p

q, p é dito o antecedente e q é dito conseqüente. 
 Lê-se também: p condicional q; ou q se p; p é condição suficiente para q: ou 
q é condição necessária para p, ou Todo p é q. 
 Exemplo: Se Maria tem R$100.00, então tem R$10.00 
 A recíproca de p

q é a condicional q

p. 
 A contrapositiva de p

q é a condicional ~q

~p. 
 A inversa é 
~ ~p q
 
 
2)Dois aspectos do conectivo “ ou “ : 
 a) OU Inclusivo (

): Carla é Matemática ou Engenheira. 
 b) OU Exclusivo ( v ): Mário é paulista ou carioca. Neste caso lê-se Ou p ou 
q. Lê-se também: p ou q mas não ambos. 
 
3)Na negação (~), lê-se também : Não é verdade que p. É falso que p. 
 
4)Na bicondicional p

q, lê-se também : p bicondicional q. p unicamente se q. q é 
condição necessária e suficiente para p. Não p exceto se q. 
 
2.0 CÁLCULO PROPOSIÇIONAL 
2.1 PROPOSIÇÃO SIMPLES 
Exprimem apenas um pensamento. São designadas por letras minúsculas p,q,r,s,t... 
EX: Roberto é alto. 
2.2 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS -CONECTIVOS 
Exprimem mais de um pensamento. São designadas por letras maiúsculas P,Q,R,S,T... 
EX: Roberto é alto e magro. 
:P p q
 
 
2.3 TABELAS VERDADE. 
O valor lógico, ou v ou f de uma proposição composta fica completamente determinado pelo 
valor lógico de cada proposição e pela forma como estas sejam ligadas pelos conectivos 
utilizados. Se a proposição tem n proposições simples a tabela terá 
2n
linhas. Como revisão 
preencha as tabelas abaixo: 
 NEGAÇÃO. CONJUNÇÃO. DISJUNÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 OU EXCLUSIVO. CONDICIONAL. BICONDICIONAL 
 
 
 
 
 
 
2.4 ORDEM DE PRECEDÊNCIA DOS CONECTIVOS 
Ordem de precedência dos conectivos ( ),
~, , , , .   
 Quando há empate, a prioridade 
é a do primeiro da esquerda para direita. 
 
p q 
p q
 
 
 
 
 
p q 
p q
 
 
 
 
 
p ~p 
 
 
p q p v q 
 
 
 
 
p q 
p q
 
 
 
 
 
p q 
p q
 
 
 
 
 
 6 
EXERCÍCIOS LÓGICA MAT 1A EX REVISÃO 
LÓGICA MATEMÁTICA. 
1) Escreva em linguagem simbólica, considerando: p: Paulo é médico e q: Paulo é professor. 
a) Paulo é médico ou professor. 
b) Paulo não é médico nem professor 
c) Paulo é médico e professor. 
d) Não é verdade que Paulo seja médico se não for professor 
 
2) Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições compostas: 
 Considere as proposições: p: Sueli é rica e q: Sueli é feliz. 
a)Sueli é pobre, mas é feliz. 
b)Sueli é rica ou infeliz. 
c)Não é verdade que Sueli é pobre e infeliz. 
d)Sueli é pobre ou rica, mas é infeliz 
 
3)Considerando p: João é esperto e q : José é tolo, escreva em linguagem simbólica: 
a) Ou João é esperto ou José é tolo. 
b) João e José são tolos. 
c) Não é verdade que João e José são tolos. 
d) Se João é tolo, então José não é tolo. 
 
4) Sejam p, q e r as seguintes proposições: p : Rosa são vermelhas. q: Violetas são azuis. r: 
Açucar é doce. Escreva as proposições compostas a seguir em notação simbólica. 
a) Rosas são vermelhas e violetas são azuis. 
b) Rosas são vermelhas apenas se violetas não forem azuis e se açúcar for amargo. 
c) Rosas são vermelhas, e se açúcar for amargo, então ou violetas não são azuis ou açúcar é 
doce. 
 
5) Use p, q ou r do exercício anterior para escrever as seguintes proposições compostas na 
linguagem usual. 
   ) ~ b) ~ c) ~ ~a q r q p r q r p    
 
 
6)Considerando verdadeira a proposição:”Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado”, podemos 
afirmar que : 
a) Rodrigo mentiu. 
b) Se Rodrigo é culpado, então ele mentiu. 
c) Se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu. 
d) Rodrigo não é culpado. 
e) Se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado. 
 
7)Escreva o antecedente e o conseqüente de cada uma das proposições a seguir.( Sugestão 
coloque cada proposição na forma se .... então) 
a) Se a chuva continuar, então o rio vai transbordar. 
b) Uma condição suficiente para a falha de uma rede elétrica é que a chave central desligue. 
c) Uma boa dieta é condição necessária para um gato ser saudável. 
 
8)Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo: 
a) Seu esforço é condição necessária para vencer. 
b) Se você não se esforçar, então não irá vencer. 
c) Seu esforço é condição suficiente para vencer. 
d) Você vencerá só se se esforçar. 
 7 
e) Mesmo que se esforce, você não vencerá. 
 
9)Elimine o maior número possível de parênteses: 
                ) ~ ~ b) p q ~ra p q r q s r s q r q          
 
c)
      ~ ~ ~ ~p t q t q p    
 
 
10)Construa a tabela verdade de cada uma das proposições abaixo: 
   
     
) b) ~ ~ ~ c) ~
) e) p ~ f) ~
a p q q p p r p r p p
d p q r q q r p p p
      
      
 
      g) ~ h) p ~p q r q r q p     
 
 
11) Sabendo-se que 
 
é f, 

é v, 

 é f, e 

 é v dê o valor lógico das seguintes proposições: 
     ) b) c) ~a                  
12)Sabendo-se que 
         ~ s r t p z x p w      
é v, dê o valor lógico das 
proposição 
 ~t r l 
. 
13) Sabendo que a proposição 
         ~p q r s r s q r q       
é falsa, dê o 
valor lógico de 
     ~ ~ ~ )p t q t q p    
. 
 
14) Verificar se a informação dada é suficiente para determinar o valor lógico as proposições: 
 )a p p r 
 se r é v. b)
     ~ ~ ~p q r q r p    
 se p é v 
c)
  p p q r  
 se r é v. d) 
   ~ ~p q p r  
 se r é V. 
e) 
   ~ ~p p q r  
 se r é V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
 
LÓGICA MATEMÁTICA. LOGICA MAT 2 
 
2.5 IMPLICAÇÃO LÓGICA. 
Diz-se que P(p,q,r....) implica em Q(p,q,r....), 
P Q
 se Q é verdade todas as vezes que P for 
verdade. Ou seja, se 
P Q
 é uma tautologia então
P Q
. 
Assim os símbolos 
 e  
são distintos. O primeiro é de uma operação lógica. 
O segundo é de relação. Estabelece que a condicional 
P Q
 é uma tautologia. 
Exemplo: 
 
A proposição 
p q
 é verdadeira somente na 1ª linha 
e, nesta linha, as proposições 
p q
 e 
p q
 também 
são verdadeiras. Logo, a primeira proposição implica 
cada uma das duas outras duas proposições. 
 
 
 
 
 
TABELA DAS IMPLICAÇÔES LÓGICAS: ( TABELA IL ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tabela abaixo comprova a regra a regra MODUS TOLLENS. 
Seja P: 
  ~p q q 
 e Q: 
~ p
. Observe na tabela que quando P é v*** temos que Q é v 
 
**MODUS TOLLENS 
p q 
p q
 ~q 
  ~p q q 
 
  ~ ~p q q p  
 
v v v f f v 
v f f v f v 
f v v f f v 
f f v v v*** v 
 
Por atribuição de valores: 
p q 
p q
 
p q
 
p q
 
v v v v v 
v f f v f 
f v f v f 
f f f f v 
p p q 
 ADIÇÃO 
p q p 
 SIMPLIFICAÇÃO 
  ~p q p q  
 SILOGISMO DISJUNTIVO 
 p q p q  
 MODUS PONENS 
  ~ ~p q q p  
** MODUS TOLLENS 
   p q q r p r    
 SILOGISMO HIPOTÉTICO 
~p p f 
 PRINCÍPIO DA INCONSISTÊNCIA 
 p q p q  
 xxxxxxxxxxxxx 
 p q q r p r    
 xxxxxxxxxxxxx 
   p q r s p r q s      
 xxxxxxxxxxxxxx 
   p q q r p r    
 xxxxxxxxxxxxxx 
 e 
 e 
p p q q p q
p q p p q q
   
   
 nao
 
p q p q mas p q p q
p q p q mas p q p q
     
     
 9 
 Podemos concluir que se
  ~p q q 
é v, 
~ p
, será 
sempre v. Observe *** na tabela. A última coluna 
comprova a implicação pela tautologia associada 
 
 
 
2.6 TAUTOLOGIA CONTRADIÇÃO CONTINGÊNCIA 
Tabela Verdade – Interpretação 
 Já sabemos que a tabela verdade de uma proposição composta com n proposições simples 
tem 
2n
linhas. Considerando que cada linha é uma interpretação, diz-se também que uma 
proposição composta com n proposições simples tem 
2n
interpretações. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
Pela tabela, observamos que a proposição é verdadeira segundo a 1ª e 4ª interpretação. 
Uma proposição composta é consistente se e só se é verdadeira segundo alguma 
interpretação. Assim a proposição acima é consistente. 
 
Uma proposição composta é inconsistente se e só se é falsa em todas as interpretações. 
 
Uma proposição composta é válida se e só se é verdadeira em todas as interpretações. 
 
Uma proposição composta é inválida se e só se é falsa segundo alguma interpretação. 
 
Tautologia, Contradição e Contingência. 
Tautologia: é toda proposição composta cujo valor lógico é sempre verdadeiro, 
independentemente de valores lógicos das proposições simples componentes. No cálculo 
proposicional as proposições válidas são chamadas de tautologias. 
Exemplos: 
 ~ ~p p
 Princípio da não contradição. 
 
~p p
 Princípio do terceiro excluído. 
 
p q p q  
 
 
 p q p p  
 
Como exemplo faça a Tabela Verdade e confirme que 
~p r q r  
 é uma Tautologia. 
 
Contradição: é toda proposição composta cujo valor lógico é sempre falso, 
independentemente dos valores lógicos das proposições simples componentes. No cálculo 
proposicional as proposições inconsistentes são chamadas de contradição. Assim a negação de 
uma Tautologia é uma Contradição. 
Exemplos: 
 ~ ~ ~ p p p p p q p q    
 
Confirme que 
 ~p q p q  
 é uma Contradição. 
Contingência: é toda proposição composta que não é uma tautologia nem uma contradição. 
Faça as tabelas das proposições abaixo e confirme as contingências. 
Exemplos: 
~ p p p q p p q r    
 
 
p q 
p q
 
p q
 
   p q p q  
 
v v v v v 
v f v f f 
f v v f f 
f f f f v 
~ ~
f vf f
vv
v
p q q p
 
   
 
 
 10 
EXERCÍCIOS LÓGICA MATEMÁTICA. LÓGICA MAT 2A 
1)Classifique as proposições, em inválida, válida, inconsistente, consistente, tautologia ou 
contradição ou uma combinação delas. 
a) 
 ~ ~ ( )p p q 
 b)
 ~ ~p q q 
 c)
 p q p q  
 
 
2) Determine composições compostas X e Y de modo que a proposição abaixo seja uma 
contradição:
           ~ ~ ~p q Y X Y p p q X       
. 
 
3)É possível encontrar uma proposição composta A de modo que a proposição abaixo seja 
válida? Se possível encontre-a. Caso contrário justifique. 
 ( ~ )p p q A  
 
 
4)É possível encontrar uma proposição composta B de modo que a proposição abaixo seja 
válida? Se possível encontre-a. Caso contrário justifique. 
 ( ) ~p q p q p B    
 
 
5)Considerando a previsão: “ Se o prefeito não agir mas o governador intervir, então o 
promotor especial será indicado ou o prefeito será obrigado a retirar-se”. 
Em quais condições a previsão resultará falsa? Justifique a sua resposta. (Sugestão: Traduza a 
previsão em linguagem simbólica e analise-a) 
 
6)Mostre que as proposições abaixo não pedem ser uma Tautologia: 
  )a p q q p  
 (Sem fazer a tabela verdade) 
 ) ~ ~b p q p q  
 (Com o auxílio da tabela verdade) 
 ) ~ ~c p q p q r   
(Com o auxílio da tabela verdade) 
7) Falso (F) ou Verdadeiro(V) 
 a) Toda contradição é inconsistente. ( ) 
 b) Toda contradição é inválida. ( ) 
 c) Toda proposição inválida é uma contradição. ( ) 
 d) A negação de uma tautologia é uma contradição. ( ) 
 e) Toda contingência torna a proposição inválida. ( ) 
 f) Toda proposição inválida é inconsistente. ( ) 
 g)Toda proposição ou é verdade ou é falsa. ( ) 
 h) Uma proposição pode ser simultaneamente falsa ou verdade. ( ) 
 
EXERCÍCIOS SOBRE IMPLICAÇÃO 
 
1) Demonstre sem usar tabela verdade: 
   ) b) p q ~q ~p c)a p p q p q p q       
 
 
) e) d q p q q p q p    
 
2) Usando tabela verdade prove que: 
 
     ) b) a p q q r p r p q p p       
 
3) Mostre que~p q
 não implica 
p q
. 
 
4) Mostre que p não implica 
p q
e que 
p q
 não implica p. 
 
 11 
5) Verifique, justificando, se 
        ~ ~ ~ ~ ~p q p q p q p q      
. 
 
6) Verifique, justificando, se 
~ ~ ~p q r q r p    
. 
 
7) Sabendo que A é proposição composta 
  p q r s  
,determine uma proposição B 
de modo que 
B A
. 
 
8) Sabendo-se que 
p q r 
, prove que 
~p q r 
 é uma contradição. 
 
9)Três pessoas prestam depoimento e o que dizem está registrado a seguir: 
 Bernardo: “João é culpado e Saul é inocente”. 
 João: ”Se Bernardo é culpado, Saul também é culpado”. 
 Saul: Eu sou inocente, mas, pelo menos, um dos outros é culpado. 
A partir desses depoimentos pede-se: 
a) Identifique os inocentes e os culpados, supondo todos os depoimentos verdadeiros. 
b) Identifique os mentirosos, admitindo-se que todos sejam inocentes. 
 
 
10)Mostre que a proposição p implica a proposição q : 
) : 3 ; : 45º 1
) : 30º 1 : 2 3
a p q tg
b p sen q
  
 
 
c)p: ABCD é um Losango. q:ABCD é um paralelogramo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
MÉTODO DEDUTIVO LÓGICA MAT 3 
2.7 EQUIVALÊNCIA LÓGICA 
Diz-se que P(p,q,r....) é equivalente a uma proposição Q(p,q,r....), 
P Q
 se as tabelas 
verdade dessas duas proposições forem idênticas. Ou seja, 
P Q
 é uma tautologia 
Indica-se com a notação 
P Q
. 
 
Propriedades: 
1) Se 
P Q Q P 
 
2) Se 
 e P Q Q R 
 então 
P R
 
Vejamos as Equivalências 
~~ e p p p p q p q    
 
 
 
 
 
 
 
 
TABELA DAS EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS ( TABELA EL ) 
1) 
p p p 
 2) 
p p p 
 (Idempotência) 
3) 
p q q p  
 4) 
p q q p  
 (Comutatividade) 
5)
( ) ( )p q r p q r    
 6)
( ) ( )p q r p q r    
(Associatividade) 
7)
   ( )p q r p q p r     
 8)
   ( )p q r p q p r     
(Distributividade) 
9)
 ~ ~ ~p q p q  
 10) 
 ~ ~ ~p q p q  
(Leis de De Morgan) 
11) 
p v v 
 12) 
p v p 
 
13) 
p f p 
 14) 
p f f 
 
15) 
~p p v 
 16) 
~p p f 
 
17)
~~p p
 (Dupla Negação) 18) 
~p q p q  
(Implicação) 
19) 
   p q p q q p    
 20) 
   p q r p q r    
(Exportação) 
21) 
   ~ ~p q p q p   
(Absurdo) 22) 
~ ~p q q p  
(Contrapositiva) 
23) 
 ~ ~p q p q  
 24)
   ~ ~p q p q p q    
 
25) 
~ ~p q p q  
 26) 
~ ~p q p q  
 
 
NEGAÇÃO DISJUNTA 
 p q
 NEGAÇÃO CONJUNTA. 
 p q
 
 
~ ~p q p q  
 
~ ~p q p q  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p ~p ~~p 
v f v 
f v f 
p q 
p q
 
p p q 
 
p q
 
v v v v v 
v f f f f 
f v f v v 
f f f v v 
p q 
p q
 
v v f 
v f v 
f v v 
f f v 
p q 
p q
 
v v f 
v f f 
f v f 
f f v 
 13 
EXERCÍCIOS LÓGICA MATEMÁTICA. LÓGICA MAT 3A 
1)Simplifique:    
   
   
  
) ~
) ~
) ~
) ~ ~ ~
a p q p q
b p q p q
c p q r p
d p q p
  
  
  
 
 
 
2)Demonstre as equivalências: 
 
   
   
 
) ( )
) ~
)
) ~ ~ ~
a p q p v verdade
b p q p q v
c p q p r q r p q r
d p q q q p
  
   
       
   
 
 
3) Demonstre: 
               
        
) ~ c)
) d) ~ ~
a p q p r p q p r p r q s p q r s
b p q p r q p q r p r q
             
        
 
 
4)Mostre que as proposições abaixo são tautologias sem usar tabelas verdade. 
  
      
)
) ~
a p q p v
b q p p q q q p
  
     
 
 
5)Usando equivalências lógicas encontre uma proposição equivalente a proposição abaixo que 
use somente 
 e ~
: 
  ~p q r p  
 
 
6) Demonstre a implicação 
 p q p q  
, usando equivalências lógicas e a implicação 
p q q 
. 
 
7)Indique um par das expressões abaixo relacionadas através de uma equivalência 
 
) ~ ~
) ~
) ~
) ~ ~
) ~ ~
)
) ~ ~
a q r p
b p q
c p q
d p q r
e p q
f q p
g p q
 


 



 
 
 
8)Verificar, justificando por EL (equivalência lógica) se são equivalentes as afirmações: 
“Se está quente e úmido não choverá”. 
“Se chover, então o céu não está quente ou não está úmido”. 
 
 14 
 
LÓGICA MAT 3A 
9)Quais das proposições abaixo representa ~A se A é a proposição: ‘Se é caro, então a comida 
é boa e o serviço é excelente? 
a) É caro e é falso que a comida é boa ou o serviço é excelente. 
b) Se não é caro, então a comida não é boa ou o sérviço não é excelente. 
c) É caro, e a comida é ruim ou o serviço também. 
d) Não é caro ou a comida e os serviços são ruins. 
e) É caro e a comida é ruim, ou é caro e o serviço não é excelente. 
 
10)Exprimir a bicondicional 
p q
em função dos três conectivos 
 ~ 
. 
 
11)Mostrar que as proposições p e q são equivalentes: 
    2) : 1 3 4 : 1+3 16
) : 0º 1 : cos0º 0
a p q
b p sen q
  
 
 
12)Demonstrar que o conectivo v exprime-se em função do três conectivo 
 ~ 
do seguinte 
modo: 
 p v q 
   ~p q p q   
 
13) Demonstrar que o conectivo “

”exprime-se unicamente em função conectivo “

” do 
pela seguinte equivalência: 
 p q p q p   
 
 
14) O conectivo de Scheffer 

( não p e não q) é definido pela tabela abaixo: 
 Prove que : 
  
   
) ~
)
a p q p q
b p q p q p q
  
    
 
 
 
 
15) A loja de Abdul tornou a ser roubada, mas as jóias foram recuperadas.Novamente havia 
três suspeitos: seus nomes eram Abu, Ibn e Hassib. No julgamento, os acusados deram os 
seguintes depoimentos: Abdul: Não fui eu que cometi o roubo. Ibn; Não foi Hassib quem 
roubou a loja. Hassib: Sim, o ladrão fui eu! 
Mais tarde, dois deles confessaram ter mentido. Quem era o ladrão? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p q 
p q
 
 v v f 
v f f 
f v f 
f f v 
 15 
LÓGICA MATEMÁTICA. LÓGICA MAT 4 
ÁLGEBRA DOS CONECTIVOS – MÉTODO DEDUTIVO.Propriedades CONJUNÇÃO DISJUNÇÃO 
IDEMPOTENTE 
p p p 
 
p p p 
 
COMUTATIVA 
p q q p  
 
p q q p  
 
ASSOCIATIVA 
( ) ( )p q r p q r    
 
( ) ( )p q r p q r    
 
IDENTIDADE 
/p v p p f f   
 
/p v v p f p   
 
 
Propriedades CONJUNÇÃO/DISJUNÇÃO DISJUNÇÃO/CONJUNÇÃO 
DISTRIBUTIVA 
 p q r p q p r     
 
 p q r p q p r     
 
ABSORÇÃO 
 p p q p  
 
 p p q p  
 
DE MORGAN 
 ~ ~ ~p q p q  
 
 ~ ~ ~p q p q  
 
 
A condicional não goza das propriedades idempotente, comutativa e associativa, pois suas 
tabelas verdade são diferentes.Veja que 
p q p 
 
p q q p  
 e 
( ) ( )p q r p q r    
 
 
NEGAÇÃO DA CONDICIONAL: 
 ~ ?p q 
 
Usando-se as equivalências já conhecidas temos: 
   ~ ~ ~ ~~ ~ ~p q p q p q p q      
 
Assim 
 ~ ~p q p q  
 
 
NEGAÇÃO DA BICONDICIONAL: 
 ~ ?p q 
 
Usando-se as equivalências já conhecidas temos: 
     p q p q q p    
 
Assim 
          
 
   
~ ~ ~ ~
~ (~ ) ~ ~ ~~ ~ ~~ ~
( ~ ) ~ ( ~ ) ~
p q p q q p p q q p
p q q p p q q p
p q q p p q p q
        
       
       
 
E 
     ~ ~ ~p q p q p q    
 . 
 
2.8 CONJUNTOS ADEQUADOS DE CONECTIVOS. 
São conjuntos onde qualquer proposição composta pode ser escrita com o uso apenas dos 
conectivos deste conjunto. Exemplos: 
     ~, ; ~ ; ~  
 
Vamos exprimir 

 em função de 
 ~,
. Seja 
p q
. 
Então 
 ~~ ~~ ~ ~ ~p q p q p q    
 
FORMA NORMAL (FN). Uma proposição está na forma normal se e somente se, quando 
muito, contém 
~  
. Para isto basta eliminar todos os 
 e  
. Use as equivalências. 
 
2.9 FORMA NORMAL CONJUNTIVA (FNC). Devem ser satisfeitas as seguintes 
condições: 
1) Conter apenas os conectivos 
~  
. 
2) A negação não alcança os conectivos 
 e  
, e sim somente letras. 
 16 
3) 

 não tem alcance sobre 

, isto é não há componentes do tipo 
 p q r 
 
Toda proposição pode determinar uma FNC assim: 
1) Substitua os conectivos 
 e  
pelos seus equivalentes. 
2) Elimine as negações duplas e as seguidas de parênteses. ( “Dupla negação e De 
Morgan) 
3) Substitua 
    e p q r p q r   
 pelas suas equivalentes 
  ( ) ( )p q r p q p r     
 e 
( ) ( ) ( )p q r p r q r     
 
Exemplo: 
          
      
 
~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~~ ~ ~ (~ ~ ) ~ ~
(~ ) (~ ) ~ ~
p q q q r p q q q r
p q q q r p q q q r
p q q q q r
        
         
     
 
2.10 FORMA NORMAL DISJUNTIVA (FND). Devem ser satisfeitas as seguintes 
condições: 
1)Conter apenas os conectivos 
~  
. 
 2)A negação não alcança os conectivos 
 e  
, e sim somente letras. 
3) 

não tem alcance sobre 

, isto é não há componentes do tipo 
 p q r 
 
Toda proposição pode determinar uma FND assim: 
4) Substitua os conectivos 
 e  
pelos seus equivalentes. 
5) Elimine as negações duplas e as seguidas de parênteses. ( “Dupla negação e De 
Morgan) 
Substitua 
    e p q r p q r   
 pelas suas equivalentes, isto é: 
 p q r p q p r     
 
e 
   p r q r  
. 
Exemplo: 
Determinar a FND da proposição: 
  ( )p q q p  
 
Pelas equivalências temos: 
           
       
( ) ~ ~ ~ ~ ~
~ ~ ~ ~
p q q p p q q p p q q p q p
p q q q p p p q
            
       
 
2.11 O PROBLEMA DE POST. 
Já sabemos construir a tabela verdade de qualquer proposição composta. Um problema 
inverso, conhecido como o problema de Post, consiste em se conhecendo a tabela verdade 
achar a proposição composta. Isto pode ser resolvido pela construção de uma FND completa 
ou de uma FNC completa.Exemplo: 
1) Construir para a tabela abaixo uma proposição composta na FND e na FNC. 
a) 
Observe que a 1ª e a 3ª linhas a conclusão é verdadeira. 
Portanto tomemos a seguinte FND: 
Seja
 p q
,pois ambos são (v), para 1ª linha. 
Seja (
~ p q
),pois são f e v respectivamente, para a 3ª linha. 
Assim vamos compor nossa FND como 
  (~ )p q p q  
 
Para a FNC observamos as linhas do (f) (todos os elementos devem ser falsos). 
Assim a FNC que procuramos é: 
   ~ p q p q  
. 
 
p q ? 
v v v 
v f f 
f v v 
f f f 
 17 
ÁLGEBRA DOS CONECTIVOS. FND E FNC EXERCÍCIOS LÓGICA MAT 4A 
1)Quais das proposições abaixo representa ~A se A é a proposição: “ Júlia gosta de manteiga 
mas detesta creme”. 
a) Júlia detesta manteiga e creme. 
b) Júlia não gosta de manteiga nem de creme. 
c) Júlia não gosta de manteiga mas adora creme. 
d) Júlia odeia manteiga ou gosta de creme. 
 
2)Obtenha as FNC e a FND das proposições abaixo: 
 
 
)
) ~ ~
a p p q
b p q r
 
 
 
3)Construir para tabela abaixo uma proposição composta na FND completa e na FNC 
completa: 
V (P) = vvfv 
 
4) Determine A como uma FND e A como uma FNC para satisfazer a tabela verdade abaixo. 
p q r A 
v v v v 
v v f v 
v f v f 
v f f f 
f v v f 
f v f v 
f f v v 
f f f f 
 
5)Suponha que A, B e C representem condições que são verdadeiras ou falsas quando um 
certo programa é executado. Suponha, ainda, que você quer que o programa realize uma 
determinada tarefa somente quando A ou B for verdade ( mas não ambos) e C falsa. Usando 
A, B e C e os conectivos e, ou e não, escreva uma proposição que será verdadeira apenas 
nessas condições. 
 
6)Uma firma vende batons, perfumes e Xampus pelo correio.Como um bônus é incluído um 
condicionador em qualquer pedido que inclua pelo menos dois artigos diferentes. Suponha 
que B, P e X representem esses produtos e que quando o pedido contém o produto seu valor 
será verdadeiro e falso caso contrário. Determine uma proposição que será verdadeira quando 
um condicionador é colocado no pacote de pedido e falsa caso contrário. 
 
7)Suponha que A, B e C representem condições que serão falsas ou verdadeiras quando um 
certo programa é executado. 
Sabendo-se que: 
a)Qualquer condição verdadeira o programa se realiza. 
b)Quaisquer duas condições verdadeiras o programa não se realiza. 
c) As três condições verdadeiras o programa não se realiza. 
d)As três condições falsas o programa não se realiza. 
Usando A, B e C e os conectivos e, ou e não, escreva uma proposição que será verdadeira 
apenas nessas condições. 
 
8)Dê, uma negação, na linguagem usual, para dada uma das proposições abaixo. 
a) O tempo será frio e chuvoso. 
 18 
b) Ela estudou muito ou teve sorte na prova. 
c) Se o tempo está chuvoso então está frio. 
 
9) Verdadeiro ou Falso: 
 a) A conjunção é distributiva em relação à disjunção. ..................................................( ) 
 b) A disjunção não é distributiva em relação à conjunção.............................................( ) 
 c) A condicional é distributiva à esquerda em relação à conjunção...............................( ) 
 d) A condicional é distributiva à esquerda em relação à disjunção. ..............................( ) 
 e) A negação transforma a conjunção em disjunção e a conjunção em disjunção. ........( ) 
 f) A condicional não é distributiva à direita em relação à disjunção. ............................( ) 
 
10) Demonstre pelo método dedutivo (sem usar tabela verdade, isto é, usando equivalências e 
álgebra das proposições) a propriedade comutativade uma bicondicional. 
 
11) Dar a negação em linguagem corrente das proposições: 
 a) “ Rosa são vermelhas e violetas são azuis”. 
 b) “É falso que não está frio ou que está chovendo”. 
 c) “ Não é verdade que o pai de Marcos é Pernambucano ou que a mãe é Gaúcha’. 
 d) “Não é verdade que as vendas estão diminuindo e que os preços estão aumentando”. 
 e) “Não é verdade que Jorge estuda Física mas não Química”. 
 
12) Demonstrar pelo o Método Dedutivo 
 
)
)
a p q p
b p q p q
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
LÓGICA MATEMÁTICA LÓGICA MAT4B 
EXERCÍCIOS PARA AV 1 
 
1)Considere as proposições: 
p: Aracajú é a capital da Bahia. q: 7 é primo. 
Determine o valor Lógico de : 
) : b) Q: c) R: d) S:a P p q p q p q p q   
 
V(P) = v V(Q) = f V(R) = v V(S) = f 
 
2)Suprimir o maior número de parênteses possível. 
 
) ( ( ( (~ ))))a p q r q s   
 
 
3)Construa a Tabela verdade da proposição: Q: 
s t p s  
 
 
4)Falso(F) ou Verdadeiro(V) 
 
Toda proposição inválida é uma contradição ( ) 
Toda inconsistência é uma contradição ( ) 
Toda contradição é uma negação de u ma tautologia ( ) 
Toda proposição pode ser verdadeira e falsa ( ) 
Toda condicional é comutativa ( ) 
Uma bicondicional não é comutativa ( ) 
Uma FND é um “ou” de “e” ( ) 
A proposição 
p q
 pode ser uma FND ( ) 
 
5)Dada a tabela verdade abaixo determine uma FND e uma FNC que satisfaça aos valores 
lógicos da 3ª coluna: 
p q ? 
v v f 
v f v 
f v v 
f f v 
 
6)Dê a negação na linguagem usual: 
a) Se um número é impar, então, o seu quadrado é impar. 
b) Se ele fosse rico, então, seria infeliz. 
c) Se Mario ou José são amigos de Pedro então são irmãos. 
 
 
7)Desenvolva usando as convenientes equivalências lógicas: 
 
 
( ) ( ) ?p q q p   
 
 
8)Verificar se a operação 

 é distributiva em relação à 

. 
 
9)Verificar se a operação definida como 
~p q p q 
 é distributiva em relação a 
operação 

. 
 
10)Determine a proposição B sabendo-se que 
( ( )) ~p q r p B   
. Sugestão: Observe a 
regra do Silogismo disjuntivo. 
 20 
11)Usando o método de atribuição de valores mostre que 
( )p q p q  
 é uma implicação 
válida. 
 
12)Usando tabela verdade justifique: 
a) 
p q p q  
 b) ~
p q p q  
 c) ~
q p p q  
 
 
13)Usando o método da atribuição de valores mostre que ~
p q p q  
. 
 
14)Use tabela verdade para demonstrar: 
 
( )p q r p q p r     
 
 
 
15)Verifique por equivalência lógica ou tabela verdade se as expressões abaixo são 
equivalentes: 
“Quem tem dinheiro não compra fiado.” 
“Quem não tem compra.” 
 
16)Demonstre que 
21 0 1x x   
 é falso. Sugestão: use atribuição de valores. 
 
17)Usando a tabela de equivalência mostrar cada passo das equivalências lógica justificando 
com o número da regra usada: 
 
a) 
~ (~ ( ))p q p q  
 
 
b) 
~ ~ ( ~ )p q p q p q    
 
 
c) 
( ) ~ ( )p q p p q   
 
 
d) 
( ) ( ) ( )p q p r p q r     
 
 
e) 
( )q p q p q   
 
 
f) 
( )p q p q q   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21 
LÓGICA MATEMÁTICA. LÓGICA MAT 5 
2.12 VALIDADE DE ARGUMENTOS 
POR TABELAS VERDADE 
Dado um argumento cumpre constatar se é ou não possível ter V(Q)= f quando 
V(
1P
)=V(
2P
)=...V(
nP
)= v , pois neste caso o argumento será inválido, um sofisma. 
Para isso depois de montar sua tabela verdade vamos observar se existe alguma linha em que , 
onde todos as premissas são verdade se a correspondente conclusão é também verdade. 
Exemplos: 
 
1)Verificar se é válido o argumento: 
, p q q p
 
Observe que a 1ª premissa 
p q
é v na 1ª, 3ª e 4ª linhas e a 
conclusão p correspondente é v na 1ª linha. Agora observe a 2ª 
premissa q; é v na 1ª e 3ª linhas. No entanto na 3ªlinha as duas 
premissas são v e a conclusão é falsa. Isto é suficiente para 
invalidar o argumento qualificando-o como um sofisma; o 
“Sofisma do Afirmar o conseqüente”. 
 
2) Testar a validade do argumento: 
Observe na tabela as linhas 3 e 4 . 
Conclua que pela linha 3 o 
Argumento é também um sofisma. 
 
 
3) Verificar se é válido o 
argumento:
, ~ , p q q p r r 
 
As premissas do argumento figuram nas colunas 4, 
5 e 6 e a conclusão na coluna 3. As três premissas 
são verdadeiras somente na 3ªlinha , e nesta linha a 
conclusão (r) também é verdadeira, isto é , não é 
possível ter premissas verdadeiras e conclusão 
falsa. 
Logo o argumento é válido. 
 
 
2.13 MÉTODO DA ATRIBUIÇÃO DE VALORES 
PROVA DE NÃO VALIDADE. 
Devemos indicar uma atribuição de valores às proposições das 
premissas que as tornem verdadeiras e ao mesmo tempo a conclusão 
falsa, ou seja, mostramos que o argumento é falso. 
 
Exemplo: Demonstrar a não validade do argumento ao lado: Se atribuirmos V(r)=V(s)= v e 
V(p)=V(q)= f teremos 1ª premissa: 
 ( ) ~f f v v v   
 
A 2ª premissa 
f v v 
 e a conclusão 
v f f 
 Logo o argumento é não válido (sofisma) 
 
 
 
 
 
 
 
 p q 
p q
 
1 v v v 
2 v f f 
3 f v v 
4 f f v 
 p q 
p q
 ~p ~q 
1 v v v f f 
2 v f f f v 
3 f v v v f 
4 f f v v v 
p q r 
p q
 
~ q
 
p r
 
v v v v f v 1 
v v f v f f 2 
v f v v v v 3 
v f f v v f 4 
f v v v f v 5 
f v f v f v 6 
f f v f v v 7 
f f f f v v 8 
1 2 3 4 5 6 
~
~
p q
p
q


   ~ ( )
 (v) 
 (f) 
p q r s v
p s
r q
  


 22 
EXERCÍCIOS LÓGICA MATEMÁTICA. LÓGICA MAT 5A 
VALIDADE DE ARGUMENTOS POR TABELAS VERDADE E ATRIBUIÇÃO DE 
VALORES. 
 
1) Usar tabelas verdades para verificar se os argumentos abaixo são ou não válidos: 
 
) , ~ ~
) ~ , ,~
) , , ~
a p q r q r p
b p q p q r p r
c p q q r r s s
  
  
  
 
 
2) Usar tabelas verdades para verificar se os argumentos abaixo são ou não válidos: 
 
 
 
 
 
 
 
3) Verificar pela Condicional associada: 
 
 
 
 
 
 
4)Demonstrar a não-validade dos seguintes argumentos pelo “Método de atribuição de valores 
lógicos”: 
 ~
~ ~
) b)
~
)
~
p qp q
r s p q r s
p s s r
a
q r r
p q r
s r
p q
c
p q

   
 
 
 



 
 
5)Demonstrar a não validade do argumento pelo Método da atribuição de valores lógicos: 
 
) , ,a p q r s p s q r   
 
 
6)Passar para a forma simbólica e testar a validade do argumento: 
 Se trabalhar, não posso estudar. 
 Trabalho ou passo em Física. 
 Trabalhei. 
 Logo, passei em Física. 
 
 
 
 
~~ ~
) b)
~
p q
p q q
r q p r s
a
r p r s


  
   
~
~ ~
) b)
~
p q p q
r q q r
r r s
a
p s
 
 

 
 23 
2.14 VALIDADE DE ARGUMENTOS MEDIANTE AS REGRAS DE INFERÊNCIAS 
E EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS. 
REGRAS DE INFERÊNCIAS. 
Os argumentos básicos abaixo são usados para fazer “Inferências” isto é executar os passos 
de uma Dedução ou Demonstração. Escreve-se na forma padronizada como indicado abaixo: 
colocam-se as premissas sobre um traço horizontal e a conclusão sob este traço. 
Exemplo: Regra de Adição:
) b)
p p
a
p q q p 
; Regra Modus Ponens 
p q
p
q

 
ARGUMENTOS VÁLIDOS FUNDAMENTAIS 
1. ADIÇÃO(AD)......................................... 
) b)a p p q p q p 
 
2. SIMPLIFICAÇÃO(SIMP)........................
) b)a p q p p q q 
 
3. CONJUNÇÃO(CONJ)..............................
) , b) , a p q p q p q q p 
 
4. ABSORÇÃO(ABS)...................................
 )a p q p p q  
 
5. MODUS PONENS(MP)............................
) , a p q p q
 
6. MODUS TOLLENS(MT)..........................
) , ~ ~a p q q p
 
7. SILOGISMO DISJUNTIVO(SD).............
) , ~ b) , ~a p q p q p q q p 
 
8. SILOGISMO HIPOTÉTICO(SH).............
) , a p q q r p r  
 
9. DILEMA CONSTRUTIVO(DC)..............
) , , a p q r s p r q s   
 
10. DILEMA DESTRUTIVO(DD).................
) , , ~ ~ ~ ~a p q r s q s p r   
 
 
REGRA DE 
INFERÊNCIA 
Tautologia Nome 
P
P Q 
 P P Q 
 ADIÇÃO 
(AD) 
P Q
P


 P Q P 
 SIMPLIFICAÇÃO 
(SIMP) 
P
P Q
Q


 
 P P Q Q  
 MODUS 
PONENS 
(MP) 
~
~
Q
P Q
P


 
 ~ ~Q P Q P  
 MODUS 
TOLLENS 
(MT) 
~
P Q
P
Q


 
  ~P Q P Q  
 SILOGISMO 
DISJUNTIVO 
(SD) 
P Q
Q R
P R


 
 
( ) ( ) ( )P Q Q R P R    
 SILOGISMO 
HIPOTÉTICO 
(SH) 
P
Q
P Q 
 
P Q P Q  
 CONJUNÇÃO 
(CONJ) 
 
 
 24 
1)Verificar que é válido o argumento: 
, p q p r s p s   
 
 (1) 
p q
 
1P
 Da 1ª premissa 
p q
,pela regra da Simplificação (SIMP) inferimos p 
 (2) 
p r s 
 
2P
 De p pela regra da adição(AD) inferimos 
p r
 
 _______________ De 
p r
 por (2) e (4) pela regra do MP inferimos s 
 (3) p 1 – SIMP De s e de p (2) e (4) da conjunção inferimos 
p s
que é a. 
 (4) 
p r
 3 - AD conclusão do argumento que buscávamos. 
 (5) s 2,4 – MP 
 (6) 
p s
 3,5 – CONJ 
 
2)Verificar se argumento é válido:
   , q , ~r, p r s p q r s s    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VALIDADE MEDIANTE AS REGRAS DE INFERÊNCIAS E EQUIVALÊNCIAS. 
Agora usaremos também as Equivalências Lógicas juntamente com as Regras de Inferências. 
 
Regras da substituição: Uma proposição pode ser substituída por uma proposição 
equivalente: 
EQUIVALÊNCIAS 
1) ; .........................................ID 
2) ; ..................
p p p p p p
p q q p p q q p
   
     
       
           
.................COM
3) ; .................ASSOC
4) ; .......DIST
5) ~~ ..................................................................
p q r p q r p q r p q r
p q r p q p r p q r p q p r
p p
         
           

   
............................DN
6) ~ ~ ~ ~ ~ ~~ .................DM
7) ~ ..................................................................................COND
8)
p q p q p q p q
p q p q
p q p
     
  
         
 
 ~ ~ ..BICOND
9) ~ ~ ...............................................................................CP
10) .........................................................
q q p p q p q p q
p q q p
p q r p q r
      
  
     .........EI
 
Exemplos: 
Demonstrar: 
, ~ ~p q r q p r  
 
 
 
 
 
 
 
   
(1) 
(2)
(3) ~
(4)
(5) 4-SIMP
(6)r 1,2,5-DC
(7)s 3,6-SD 
p r
q s
r
p q r s
p q
s


  


(1) 
(2) ~ 
(3) ~~ ~ 2-CP
(4) ~ 3-DN
(5) ~ 1,4-SH
p q
r q
q r
q r
p r





 25 
2) Demonstrar a validade do argumento: “Se estudo, então não sou reprovado em Física. Se 
não jogo Basquete, então estudo. Mas fui reprovado em Física. Portanto, joguei Basquete.” 
Façamos : Estudo: p Sou reprovado em Física: q Jogo Basquete: r 
Argumento; 
~ , ~ , p q r p q r 
 
1
2
3
~ , ~ , 
(1) ~ P
(2) ~ P
(3) P
(4) ~~ 3-DN
(5)~ 1, 4 MT
(6)~~ 2-COND
(7) 6-DN
(8) 
p q r p q r
p q
r p
q
q
p
r p
r p
r
 





 5,7-SD
 
Logo o argumento é Válido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
LÓGICA MATEMÁTICA. LÓGICA MAT 6A 
VALIDADE DE ARGUMENTOS POR REGRAS DE INFERÊNCIAS E 
EQUIVALÊNCIAS 
 
1)Demonstrar a validade dos seguintes argumentos. Se necessário use equivalências lógicas. 
 
~ ~p ~q
~q ~r ~ ~
~ r
) b) c)
p
( ~ ) ~
~ ~
) e) f
~ ~
p q r p q
q p q
p r s r s
a
r s s
r t s
p q p s
q p q
d
p t r
   
 
  
 
 
 

  
 
 
(~ )
~ ( ) ~
)
~ ( ) ( )
~ ~
) h)
~
p q r
p s r
q
p q r
r p q r s
p q s q
g
s p s
 
 
 
  
 
 
 
 
~
~ ~ ( )
( ) ~
) j) k)
p q
s r p q r p q r
p r t r p r s t
i
q s p q s

    
    
 
 
 
 
 
2)Verificar se os conjuntos de proposições são compatíveis para formarem um conjunto de 
premissas deduzindo uma contradição por atribuição de valores. 
 
)(1)q p
 (2)~ p r
 (3)q r
a 


 
)(1)p s q
 (2)q ~r
 (3)t p
 (4)t r
b  



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)(1)p ~q
 (2)~(q r)
 (3)~r s
c 


 27 
LÓGICA MATEMÁTICA. LÓGICA MAT 7 
 
2.15 VALIDADE DE ARGUMENTOS DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL E 
INDIRETA ( POR ABSURDO). 
 
1. DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL (DC) 
A demonstração condicional só pode ser usada se a conclusão tem a forma condicional.Seja o argumento: 
1 2, ,...., nP P P A B
. Sabemos que este argumento será válido se e 
somente se a condicional associada: 
1 2( .... ) ( )nP P P A B    
for tautológica. 
Aplicando-se a regra da Importação esta condicional é equivalente à: 
1 2(( .... ) ) )nP P P A B    
. Assim o argumento inicial é válido se o argumento: 
1 2, ,...., ,nP P P A B
,também for válido. Assim, A transforma-se em premissa adicional (PA). 
Exemplo: 1)Demonstre a validade do argumento: 
  , ~ p q r r q p  
 
 
 
 
1
2
(1) P
(2) ~ P
(3)q PA 
(4) ~ 1-COND
(5) p ~q 4-ASSOC
(6)p ~q 2,5-SD
(7)~~q 
p q r
r
p q r
r
 
 
 

 3-DN
(8)p 6,7-SD
 
 
DEMONSTRAÇÃO INDIRETA (DI) OU DEMONSTRAÇÃO POR ABSURDO. 
Consiste em admitir a negação ~Q da conclusão Q, isto é, supor que ~Q é verdadeira, e a 
partir daí deduzir logicamente uma contradição qualquer C ( por exemplo 
~A A
), a partir 
das premissas 
1 2, ,...., ~nP P P e Q C
. Se isto acontece é porque o argumento é válido. 
Pelo que vimos acima 
1 2, ,...., ~nP P P Q C
 
Agora observe que 
~ ~~Q C Q C Q C Q     
, o que prova a validade do 
argumento. 
Na regra de demonstração indireta (DI): introduz-se “~Q “, como uma premissa adicional e 
deduz-se uma contradição C ( por exemplo 
~A A
). 
 
Exemplo:Demonstrar a validade: 
 ~ , ~p q r q p r  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2
~ , ~
(1) ~ P 
(2) P
(3)p r PA
(4)p 3-SIMP
(5)r 
p q r q p r
p q
r q
  



 3-SIMP
(6)~q 1,4-MP
(7)q 2,5MP
(8)q ~ q 6,7-CONJ ( contradiçao)
 28 
 
EXERCÍCIOS LÓGICA MATEMÁTICA. LÓGICA MAT 7A 
VALIDADE DE ARGUMENTOS POR DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL E 
INDIRETA 
 
1)Usar a regra DC para mostrar que são válidos os seguintes argumentos. 
 
 
 
~~ ~
~ ~
) b)
~ ~
) d)
~
~
~~
~~
) f)
~ ~ ~
p qr s
r pq s
a
r q q r
r s r p
s q s t
r s p t r
c
q p s s p q
p q
qp q
r sp r
p s ts t r
e
s q t r


  
 
 
  
     



  
   
 
 
2) Usar a regra DI para mostrar que são válidos os seguintes argumentos. 
 
 
 
   
~
~~
~ ~~
) b)
~ ~
~ ~ ~
~
~ ~
) d)
p qp q r
q rq p
s rs r
a
p s p
p q r p q r s
s r t p t s
p s r
s t
c
q t q
 


 
    
   

  
 
3)Justifique cada passo. 
Afirmação Razão 
 (1)P Q R 
 P1(Premissa) 
(2) ~ Q
 P2 
(3) ~ R
 P3 
(4) ~ ~Q R
 
 (5) ~ Q R
 
(6) ~ P
 
 
 
Afirmação Razão 
(1) ~ P
 P1 
(2)Q
 P2 
 (3)Q P R 
 P3 
(4)P R
 
 (5) ~ ~ P R
 
(6) ~ P R
 
(7)R
 
 29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4)Demonstrar que os conjuntos de proposições são incompatíveis para formarem um conjunto 
de premissas deduzindo uma contradição. 
 
)(1)q p
 (2)~ p r
 (3)q r
a 


 
)(1)p s q
 (2)q ~r
 (3)t p
 (4)t
b
r
 



 
 
5) Escreva em linguagem simbólica cada argumento, realçando as proposições simples 
envolvidas, e demonstre a validade, construindo uma prova. 
a) Meu cliente é canhoto, mas, se o diário não tiver sumido então meu cliente não é canhoto; 
portanto o diário sumiu. 
 
b) A colheita é boa, mas não há água suficiente. Se houver muita chuva ou se não houver 
muito sol, então haverá água suficiente. Portanto, a colheita é boa e há muito sol. 
 
c) O aluno é aprovado se e somente se é estudioso. Se o aluno tem tempo e não é estudioso 
então, não é reprovado. Se o aluno é estudioso e não tem tempo, então, ele é aprovado ou não. 
Segue-se que se o aluno tem tempo, então ele é estudioso. 
 
d) Se o candidato é experiente então não é incompetente. O candidato erra sempre. Se o 
candidato é competente então não erra sempre. Logo, o candidato não é experiente. 
 
e) Se ele estuda medicina então se prepara para ganhar dinheiro. Se ele estuda artes então se 
prepara para uma vida interessante. Se ele se prepara para ganhar dinheiro ou ter uma vida 
interessante, então suas taxas escolares não estão sendo desperdiçadas. Suas taxas escolares 
estão sendo desperdiçadas. Logo, ele não estuda nem medicina nem artes. 
 
 
 
 
 
 
 
Afirmação Razão 
 (1)P Q R 
 P1 
(2)Q R S 
 P2 
(3)P Q R 
 
(4)R Q S 
 
 (5)R Q S 
 
 (6)P Q Q S  
 
(7)P Q Q S  
 
(8)P Q S 
 
 (9)P Q S 
 
 30 
LÓGICA MATEMÁTICA. LÓGICA MAT 8 
CÁLCULO DOS PREDICADOS 
3.0 PREDICADOS CONJUNTO UNIVERSO CONJUNTO VERDADE 
 
3.0 PREDICADO: é uma sentença a qual não se pode atribuir um valor lógico v ou f. 
Exemplo: P(x): x = 3 P(x,y): x + y = 7 S( x,y,z): x + y = z 
3.1 CONJUNTO UNIVERSO: depois de substituídas as variáveis por elementos de um 
conjunto chamado Universo (U) e que se pode decidir se o resultado é falso ou verdadeiro. 
Exemplo: P(x): x é par U = N ou U = Z 
CONJUNTO VERDADE (VP): são os elementos do Universo que tornam P(x) verdade. Ou 
seja 
 pV = x|x U P(x) = verdade 
 Exemplo: P(x): x é par
U=N VP={0,2,4,6...}
U = Z VP={...-4,-2,0,2,4...}
 
 
 
 
3.2 QUANTIFICADORES 
COMO TRANSFORMAR UM PREDICADO EM PROPOSIÇÃO: 
1º Atribuindo valores as variáveis. Exemplo: P(x): x é par, U=N; P(6): 6 é par (v) ou 
 P(7): 7 é par (f). 
2º Usando quantificadores. Exemplo: 
, 1( )x Z x x v   
; 
; 1( )x Z x x f   
; 
! ; 1( )x N x v  
 
3.3 VARIÁVEIS LIVRES E LIGADAS: 
Numa afirmação uma variável é dita livre se não vem acompanhada de um quantificador. 
Caso contrário é dita ligada. Exemplos: 
( , , )xP x y z
tem duas variáveis livres; 
( ) ( )xP x R y 
tem a variável livre y. Assim um predicado sem variáveis livres é uma 
proposição. 
ALCANCE DE QUANTIFICADOR: é a parte da afirmação em que estão as variáveis as 
quais o quantificador se refere. Exemplos: Em 
( ( ) ( ))x P x Q x 
o alcance do quantificador 
universal é
( ( ) ( ))P x Q x
; em 
( ) ( )xP x Q x 
 o alcance é somente P(x). 
3.4 NEGAÇÃO DE FÓRMULAS QUANTIFICADAS. 
Quando U é finito podemos transformar uma afirmação dada pelo quantificador em 
proposições compostas pelos conectivos. Exemplo: U={1,2,3} temos 
( ) (1) (2) (3)xP x P P P   
 ou 
( ) (1) (2) (3)xP x P P P   
. Então 
~ ( ) ~ ( )xP x x P x 
. Assim negar o para todo é admitir que existe algum x que não é P(x). 
EQUIVALÊNCIAS: 
~ ( ) ~ ( ) ~ ~ ( ) ( )
~ ( ) ~ ( ) ~ ~ ( ) (
xP x x P x x P x xP x
xP x x P x x P x xP x
     
   
 
3.5 RELAÇÕES LÓGICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) ( ) ( ); 8)( ) ( ) ( ) ( )
2) ( ) ( ); 9) ( ) ( ) ( ) ( )
3) ~ ( ) ~ ( ) 10) ( ) ( ) 
4)
xP x P c c U xP x xQ x x P x Q x
P c xP x c U xP x xQ x x P x Q x
xP x x P x xP x Q x P x Q
      
      
      
  
 
( ) ( ) 11) ( ) ( )
5) ~ ( ) ~ ( ) 12) ( ( ) ( )) ( ) ( ) 
6) ( ) ( ) 13) ( ) ( ) ( ( ) ( )) 
7)
xP x xP x xP x Q x P x Q
xP x x P x x P x Q x xP x xQ x
xP x Q x P x Q xP x xQ x x P x Q x
     
       
        
  ( ) ( )xP x Q x P x Q  
 31 
3.6 ARGUMENTOS E REGRAS DE INFERÊNCIAS ADICIONAIS 
Para provarmos a validade de um argumento no cálculo de predicados, necessitamos de 4 
novas regras de dedução ditas de Regras de Inferências Adicionais. 
Individualização universal (IU). Ind. existencial(IE) Generalização universal (GU) 
 
 
 
 
Generalização existencial (GE) 
 
Certos enunciados se apresentam freqüentemente na Lógica Clássica e tradicionalmente são 
chamados de Enunciados Categóricos. 
Relacionaremos os quatro enunciados mais comuns que são representados pelas letras A, E, I, 
O : 
A - da forma "Todo P é Q" (universal afirmativa) 
E - da forma "Nenhum P é Q" ou "Todo P não é Q" (universal negativa) 
I - da forma "Algum P é Q" (particular afirmativa) 
O - da forma "Algum P não é Q" (particular negativa) 
simbolizados respectivamente como: 
A - (x)(P(x)  Q(x)) 
E - (x)(P(x) Q(x)) 
I - (x)(P(x)  Q(x)) 
O - (x)(P(x) Q(x)) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
,
( )
xP x
c U
P c


 ( )
, e ( ) (verdade)
( )
xP x
c U P c
P c



( )
( )
P x
xP x
( )
( )
P c
xP x
 32 
LÓGICA MATEMÁTICA. LÓGICA MAT 8A 
1)Para cada predicado e conjunto universo dado abaixo, determine o conjunto verdade: 
 a) P(x): x + 5 > 3 e U = N 
 b) P(x): x + 1> 8 e U = N 
 c) P(x): x + 7 < 5 e U = N 
2) Dê o valor lógico: 
 
) , 1 ( ) b) ; 1( ) c) ! ; 1( ) 
) , 3 ( ) e) ; 3( ) f) ! ; 1( ) 
a x Z x x x Z x x x N x
d x Z x x Z x x N x
          
        
 
3)Considerando U = Z e os predicados N(x):x é um inteiro primo não negativo, P(x): x é um 
inteiro par, I(x): x é um inteiro impar, e R(x): x é um inteiro primo, traduzir em linguagem 
simbólica as afirmações abaixo: 
 a) Existe um inteiro par. b) Todo inteiro é par ou impar. 
c) Todos os inteiros primos são não negativos. d) O único par primo é o 2. 
4)Dê o valor lógico: 
) ( ) : 1 e U=N b) ( , ) : e´ casado com y e U={pessoas casadas sem bigamia}
 ( ) ( ) x yC(x,y) ( )
 xP(x) ( ) 
a P x x x C x y x
xP x
 
  
 y xC(x,y) ( )
c)P(x,y,z):x+y=z e U=NxNxN d)P(x)e´ primo e Q(x): x e´ impar e U=N
 x y zP(x,y,z) ( ) xP(x) ( ) ( ) 
 x y zP(x,y,z) ( 
xQ x
 
    
   ) x(P(x) ( )) ( ) 
 x P(x,y,z) ( ) xP(x) ( ) ( ) 
Q x
z y Q x
 
    
 
5)Negar as afirmações: 
a) Todos os alunos da turma A são bem comportados. 
b) Alguns homens são sábios. 
c) Se todos os homens são sábios então existem animais roedores. 
6)Construir uma prova para a validade dos argumentos abaixo: 
 
   x H(x) M(x) x P(x) (x)( )
( ) ( ) ( ) ~ ( )
) b) c)
( ) ( ) ~ ( )
QxR x
xR x xS x H S Q y
a
xS x M S P y
   
 
  
 
7) Prove a validade dos argumentos abaixo: 
a) Todo homem tem duas pernas. Renato é um homem. Logo, Renato tem duas pernas. 
 (U={pessoas}, P(x): x é um homem, Q(x): x tem duas pernas e R: Renato) 
b) Nenhum mortal é perfeito. Todos os homens são mortais. Logo todos os homens são 
imperfeitos. (U={pessoas}, P(x): x é mortal, Q(x): x é perfeito e R(x):x é homem). 
c) Paulo é estudioso e simpático. Todos que são simpáticos ou inteligentes são populares. 
Portanto existe alguém estudioso e popular. (U={pessoas}, P(x): x é estudioso, Q(x): x é 
simpático e R(x): x é inteligente. S(x):x é popular e P: Paulo.) 
d)
 
   
( ( ) ( ) ( ))
( ) ~ ( )
~ ( ) ~ ( ) ( ( ( ))
x M x T x S x R x
T b S a
x M x T x y S y R y
   

   
 
8)Demonstre: 
     ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( )a x P x R x x R x S x x y P x Q y xP x        
 
 
 
 
 
 
 33 
LÓGICA MATEMÁTICA. LÓGICA MAT 9 
4.O MÉTODOS DE DEMONSTRAÇÃO: 
 
Uma forma elementar de um teorema é a “Implicação” por nós já estudada. 
Exemplo: O inteiro 3 é par ou é impar ou p: x=3 q: x é par ou impar. 
p q
 
Vimos que p é chamado de premissa e q conclusão. Nos teoremas chamamos p de hipótese e a 
conclusão de tese. 
 
Teorema: todo número primo maior que 2 é impar. 
p: n é primo 

hipótese. 
q: n é impar. 

tese 
p q
 
 
Lema: é um teorema preparatório para a demonstração de outro teorema. 
 
Corolário: è um teorema que segue como conseqüência de outro. 
 
Assim um teorema será provado toda vez que a condicional associada seja tautológica. 
 
4.1 Técnicas usadas em demonstrações: 
1)Vacuidade. 
P Q
 será verdadeiro sempre que o antecedente P for falso. 
 Exemplo: a) Se 2 é impar então 4 é par. b) Se 4 é primo então 6 é primo 
 
2) Trivial. 
P Q
 será verdadeiro sempre que o conseqüente Q for verdade. 
 Exemplo: a) Se 7 ´par então 2 é primo. b) Se 2 é par então 5 é primo. 
 
3)Direta. A veracidade de Q segue como conseqüência lógica de P. ( assuma P verdadeiro e 
obtenha Q também verdadeiro) 
 Exemplo: a) A soma de dois números pares é um número par. 
 b) O quadrado de um número inteiro par é um número inteiro par. 
 
4)Indireta ou Contrapositiva. 
( ~ ~ )P Q Q P  
Aplica-se a prova direta para 
~ ~Q P
. 
Assuma Q falso e obtenha p também falso. 
 Exemplo: a) Se o quadrado de um número inteiro é par então esse inteiro é par. 
 
4.2 Prova por contradição ou redução ao absurdo. 
Para provar que P é (v) negamos P, ou seja, assumimos p falso e obtemos um absurdo ou uma 
negação de um resultado previamente conhecido como verdade. 
 
Técnicas adicionais. 
1)Uma afirmação da forma: 
~ ( )xP x
 é provada mais freqüentemente por contradição. 
 Exemplo: Não existe um número inteiro x tal que 
2 1x 
 é negativo. 
 
2) Uma afirmação da forma: 
( )xP x
 é provada mais freqüentemente por prova construtiva. 
 ( Basta exibir um valor c tal que 
( )P c
é verdadeiro). 
 Exemplo: 
( )
( )
( )
P c
GE
xP x
 A soma de pelo menos dois números primos é um número primo. 
 34 
3)
~ ( )xP x
 é provada pela equivalência 
~ ( ) ~ ( )xP x x P x 
 e a seguir com uma prova 
construtiva. ( Basta exibir um valor c tal que 
( )P c
é falso, “c” é dito contraexemplo para a 
afirmação 
~ ( )xP x
. 
 Exemplo: É falso que a soma de quaisquer dois nº primo é um nº primo. 
 
4) 
( )xP x
 é geralmente provado com o uso da regra GU ( generalização universal) 
( )
( )
P x
xP x
 Exemplo: 
x
( x é múltiplo de 3

2x
 é múltiplo de 3) 
Exemplos de provas 
 
Prova direta:Quando supomos verdadeira a hipótese(premissa) e a partir desta provamos a tese(conclusão) 
 
Teorema I 
A soma de dois números pares é um número par. 
 
Na forma 
p q
 Se n e m são dois nº pares então n+m é um nº par. 
 
Seja n=2r e m=2s então n+m = 2r + 2s = 2( r+s) Como r+s é natural n + m também 
é par 
 
Assim está provado o teorema I 
 
 
Prova Indireta. 
Ao invés de provarmos 
p q
 provamos 
~ ~q p
 
 
Exemplo 
Teorema II 
 
Se a soma de dois nº é irracional então pelo menos um deles é irracional. 
 
x +y é irracional então x é irracional ou y é irracional. 
 
Contrapositiva: Se x é racional e y é racional então x + y é racional. 
Então usamos o método direto. 
Seja x=p/q y= r/s x+y=p/q+r/s x+y=(ps+rq)/qs Assim x+y é racional e o Teorema II fica 
provado. 
 
Prova por Redução ao absurdo 
 
Tomamos o teorema 
p q
 onde p é premissa (hipótese) e se o teorema for válido ao 
negarmos a conclusão devemos chegar a um absurdo. 
 
( ~ )p q p q f   
 
 
Prove que 
2
 é irracional. 
 
Vamos supor 
2
 racional. Assim 
2
=p/q com mdc(p,q)=1 
 35 
 
2 2 22 p q p
é par da forma p=2k e assim 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 (2k) 2 4k 2 2.2k 2 (2 )p q q q q q k        
 
2q
é par 
então q é par 
 
Ora se p é par e q é par isto é um absurdo, pois supomos que o mdc(p,q)=1. 
Logo 
2
 não pode ser escrito na forma p/q. 
 
 
Prove que 
3
 é irracional. 
 
Vamos supor 
3
 racional. Assim 
3
=m/n com mdc(m,n)=1 
 
2 23m n
 Isto mostra que 2m é divisível por 3. Então m também é divisível por 3. Isto é 
3m p
com p inteiro. Então 
2 2 2 2 2 2 23 3 9 3 3p n p n n p    
 Desta última igualdade 
vemos que n também é divisível por 3. 
Logo chegamos a um a contradição. No inicio dizemos que o mdc(m,n)=1 e no entanto 
concluímos que tanto m quanto n são divisíveis por 3. Logo a suposição inicial não é válida. 
 
4.3 TÉCINAS ADICIONAIS ENVOLVENDO QUANTIFICADORES 
Vide itens 3.6 
 
4.4 APLICAÇÃO NA TEORIA DOS CONJUNTOS 
Vide itens 3.6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 36 
LÓGICA MATEMÁTICA. LÓGICA MAT 9A 
MÉTODOS DE DEMONSTRAÇÃO: EXERCÍCIOS 
 
1)Prove indicando a técnica usada, ou invalide, exibindo um contra exemplo,as afirmações 
abaixo: 
a) A soma de quaisquer dois números pares é um número par. 
b) Se a soma de dois números é irracional pelo menos um deles é irracional 
c) Para todos os inteiros, x é múltiplo de 3 se e só se 
2x
é múltiplo de 3. 
d) Se 2 = 3 o quadrado de qualquer inteiro é positivo. 
e) 
3
 é um número irracional. 
f) 
2 3
 é um número irracional. 
g) A soma de dois nº irracional é um nº irracional. 
h) A diferença entre dois nº múltiplo de 3 é um nº múltiplo de 3. 
i) X ser irracional é condição suficiente para que 2x também seja irracional. 
 
2)Prove indicando a técnica usada, ou invalide, exibindo um contra exemplo,as afirmações 
abaixo: 
 a) Se a soma dos quadrados de dois nº inteiros é impar então a soma desses nº é impar. 
 b) A soma de quaisquer dois nº impar é um nº impar 
 c) A soma de pelo menos dois nº primos é um nº primo 
 d) Se um inteiro divisível por 6, então duas vezes esse inteiro é divisível por 6. 
 e) O produto de quaisquer dois nº impares é um nº impar. 
 f) O quadrado de um nº par é divisível por 4. 
 g) O nº n é um nº inteiro impar se e somente se 3n + 3 é um inteiro par. 
 h) O produto de dois nº primo é um nº primo. 
 i) Se 
2 25x 
, então 
5 0x 
 
 
3)Muitas questões, mesmo de outras disciplinas, necessitam de um conhecimento de Lógica 
Matemática, em especial de técnicas de demonstrações, para sua solução. Leia com atenção as 
questões abaixo e faça o que se pede: 
 
Considerando a afirmação: “ O triângulo ABC ter dois ângulos agudos B e C é uma condição 
necessária para que o triângulo ABC seja retângulo em A.” 
a) Traduza afirmação em linguagem coloquial na forma do “Se... então..” 
b) Prove, indicando a técnica usada, ou invalide com um contra exemplo, a afirmação 
obtida em a). 
c) Traduza a recíproca da afirmação obtida em a. 
d) Prove, indicando a técnica usada, ou invalide com um contra exemplo, a afirmação 
obtida em c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 37 
LÓGICA MATEMÁTICA. REVISÃO PARA A PR-2. LÓGICA MAT 9B 
1)Usar tabela verdade para verificar se o argumento abaixo é válido: 
Justifique sua resposta 
 
) ,~a p q r r p q  
 
2) Usar tabela verdade para verificar pela Condicional associada se o argumento é válido: 
Justifique sua resposta 
 
 
3)Demonstrar a não-validade dos seguintes argumentos pelo “Método de atribuição de 
valores lógicos”: Justifique sua resposta 
 
~
)
~
r s
q s
a
r q


 
 
 
 
4)Demonstrar a validade do argumento pelo Método da atribuição de valores lógicos: 
Justifique sua resposta 
 
) ~ ( ~ ), , ,( ) ( )a p r p q r s q s t s s t      
 
 
5) Primeiro verifique se o argumento é válido ( Atribuição de valores). A seguir use Regras de 
Inferências, Equivalências Lógicas, Demonstração Condicional ou a Indireta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Escreva em linguagem simbólica e demonstre a validade do argumento abaixo, usando as 
Regras Lógicas, Regras de Inferências e Equivalências lógicas. 
a) Alguns astrônomos não são míopes. 
 Todos os que usam óculos são míopes. 
 Todos usam óculos ou lentes de Contato. 
 Logo, alguns astrônomos usam lentes de contato. 
(U={pessoas}, A(x): x é astrônomo; M(x): x é míope; O(x): x usa óculos; L(x): x usa lentes 
de contato) 
 
b)Todos os lógicos são matemáticos. 
 Alguns filósofos são não matemáticos. 
 Logo, alguns filósofos são não lógicos. 
 (U= {pessoas}, P(x): x é lógico Q(x): x é matemático R(x): x é filósofo ) 
7) Prove 
( ) ( ) ( ( ) ( ))xP x xQ x x P x Q x   
 
8) Demonstre: a)A soma de quaisquer dois números pares é um número par. 
 b) A soma de quaisquer dois nº impar é um nº impar 
 
 
 
 
a) ,~ ,~ ~p q q p r s 
 
~ ~
~ ~
~ ~
) c)
~ ~
p q r p q
q p q r
s r s r
b
p s p
  
 
 
 
~
~
~ ~
~ (~ ) ~
a) b) c) d)
~ ~ ~ ~
p q
r p q p q
p q r s s t r s p r
r t r p s t q s
p s p q t r r s

 
     
   
       
 38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE II 
 
SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39 
 
 
 
LÓGICA MATEMÁTICA. LÓGICA MAT 1A RESPOSTAS 
1)Considerando: p: Paulo é médico e q: Paulo é professor, escreva em linguagem simbólica: 
a) 
p q
 b) 
~ ~p q
 c) 
p q
 d) 
 ~ ~ q p
 
 
2)Sejam as proposições: p: Sueli é rica e q: Sueli é feliz. Traduzir para a linguagem simbólica 
as seguintes proposições compostas: 
a)
~ p q
 b)
~p q
 c)
 ~ ~ ~p q
 d)
 ~ ~p p q 
 
 
3)Considerando p: João é esperto e q: José é tolo, escreva em linguagem simbólica: 
a) p v q b) 
~ p q
 c) 
 ~ ~ p q
 d) 
~ ~p q