Tutorial Software Maxima

Prévia do material em texto

1
 
 
 
- TUTORIAL - 
 
 
 
 
 
MAXIMA 5.9.2 
Para Windows 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por Bruno F. Milaré de Macêdo 
RA 042290 – MA111 – Turma A 
 
 
 2
- INTRODUÇÃO 
 
 
 
Este tutorial tem como objetivo fornecer informações para 
que iniciantes possam aprender a manipular o software MAXIMA, 
desde a instalação e a primeira impressão até manipulação de 
funções, assim aqui só serão vistos conteúdos que apareceram no 
curso de Cálculo I, porém não se intimidem com o software, pois 
ele tem grandes recursos, sendo capaz de realizar a maior parte dos 
cálculos matemáticos. 
 
Como no curso, aqui serão abordadas manipulações do 
MAXIMA em relação a Limites, Derivadas e Integrais, assim 
como suas propriedades e representações gráficas em duas e três 
dimensões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3
- ÍNDICE 
 
♦♦♦♦ O MAXIMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 04 
♦♦♦♦ Dowload e instalação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 05 
♦♦♦♦ Iniciando o uso do MAXIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . 07 
♦♦♦♦ Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 
♦♦♦♦ Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 
♦♦♦♦ Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 
♦♦♦♦ Integrais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 
♦♦♦♦ Gráficos em duas dimensões. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 
♦♦♦♦ Gráficos em três dimensões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4
- O MAXIMA 
 
 
O MAXIMA é um sistema para a manipulação de expressões 
simbólicas e numéricas, incluindo diferenciação, integração, 
equações diferenciais ordinárias, sistemas de equações lineares, 
vetores, matrizes, entre outros. O MAXIMA produz resultados de 
precisão elevada, e pode traçar funções e dados em duas e três 
dimensões. 
O código de fonte do MAXIMA pode ser compilado em 
muitos sistemas, incluindo Windows (no caso desse tutorial), 
Linux, e MacOS X. 
O MAXIMA é um descendente de Macsyma, o sistema 
legendário de álgebra do computador desenvolvido nos anos de 
1960 no Instituto de Tecnologia de Massachusetts. É o único 
sistema baseado em Macsyma ainda publicamente disponível e 
com uma comunidade de usuários ativa. 
A filial do MAXIMA de Macsyma foi mantida por William 
Schelter. Em 1998 obteve a permissão liberar o código fonte sob a 
GNU General Public License (GPL). Eram seus esforços e 
habilidade que fizeram a sobrevivência do MAXIMA possível. 
Desde então um grupo dos usuários e de colaboradores deu forma 
para trazer o MAXIMA a uma maior audiência. 
Assim sendo o MAXIMA é considerado um software livre, 
podendo então ser usado sem necessidade de registro e pagamento, 
isto é, um software gratuito. Um dos poucos nessa área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5
- DOWLOAD E INSTALAÇÃO 
 
A versão do MAXIMA utilizada neste tutorial é a versão 
5.9.2 para Windows e seu download pode ser feito através do 
seguinte link: 
 
http://ufpr.dl.sourceforge.net/sourceforge/maxima/maxima-5.9.2.exe 
 
- Tamanho do arquivo: 12.2 MB 
- Espaço necessário em disco: 60.7 MB 
 
Caso se interesse mais pelo software ou deseja ele para outras 
plataformas, como Linux, acesse o site oficial do MAXIMA: 
 
Site Oficial: http://maxima.sourceforge.net 
 
Instalando. Após o download ter sido concluído dê um duplo 
clique no arquivo baixado (maxima-5.9.2), e você vai se deparar 
com uma tela desse tipo: 
 
 
 
 6
Prossiga atendendo as recomendações do programa, clicando 
em Next, não se esqueça de verificar o local de instalação, mude se 
não for de seu agrado. 
Ao finalizar a instalação a seguinte mensagem surgirá 
determinando que a instalação foi concluída com êxito: 
 
 
 
 
Clicando em Finish um arquivo readme.txt será aberto 
contendo informações sobre o MAXIMA,e o próprio também será 
aberto. Após o término da instalação você poderá acessar o 
MAXIMA a qualquer hora a partir do menu Iniciar. 
 
 
 
 
 7
- INICIANDO O USO DO MAXIMA 
 
Primeira impressão: 
 
 
 
 8
Logo que iniciado o MAXIMA possui na parte inferior um 
sistema de ajuda, que poderá ser bem útil, mas não vamos entrar 
em detalhes nesse tutorial, por isso vamos escondê-lo, clicando em 
Options > Toggle Browser Visibility. Ficando assim apenas com o 
terminal, onde serão digitadas as operações. 
 
 
 
 
No terminal, a parte superior acima do ‘(%i1)’ pode ser 
desconsiderada, pois se tratam de informações sobre o programa. 
O ‘(%i1)’ representa a posição na memória de cada operação a ser 
realizada, para recomeçar a memória basta acessar File > Restart. 
 
 
Iniciando o trabalho com operações. Você sempre digitará a 
operação a frente do ‘(%ix)’, esse ‘i’ no meio significa INPUT, 
portanto sempre será entrada de informações. Logicamente a saída 
do programa será representada por ‘(%ox)’, com ‘o’ sendo 
OUTPUT. Depois de digitada a operação, para indicar ao 
 9
programa que a expressão já pode ser resolvida é necessário digitar 
um ‘; ’(ponto e vírgula) no fim da expressão, por exemplo: 
 
(%i1) 1 + 2; (INPUT – representada em azul no MAXIMA). 
(%o1) 3 (OUTPUT – representada em preto no MAXIMA). 
 
As operações básicas são facilmente representadas por: 
Adição (+), Subtração (-), Multiplicação (*), Divisão (/), 
Exponenciação(^). 
 
Os espaços não são necessários, apenas auxiliam na leitura. 
As funções vistas neste tutorial deverão ser escritas em letras 
minúsculas assim como seus parâmetros, por exemplo: 
 
(%i1) cos (%pi); 
(%o1) –1 
 
Obs. : como é possível observar o número ‘pi’ deve ser 
escrito desta forma ‘%pi’, como acontece com a maioria das 
constantes, por exemplo: 
O número e = exp(1) = %e 
A constante imaginária i = sqrt(-1) = %i 
 
(%i1) cos(%pi); 
(%o1) - 1 
(%i2) sqrt(-1); 
(%o2) %i 
(%i3) exp(1); 
(%o3) %e 
 
Para obter mais informações sobre determinados comandos, 
basta você digitar: 
 
(%i1) describe (assunto a ser pesquisado); 
 
E seguir as instruções do programa, o resultado será um 
breve texto sobre o termo procurado, com exibição de funções 
relacionadas. 
 10
 
Outros comandos úteis: 
abs(x) – retorna o valor absoluto de x. 
log(x) – logaritmo natural de x. 
sqrt(x) – raiz quadrado de x. 
 
Como naturalmente usado a ordem de preferência das 
operações deve ser demonstrada através de parênteses ‘( )’. 
 
(%i1) (20+10) * 3; 
(%o1) 90 
 
Um comando bastante usado é o ‘%’, que sozinho, representa 
o último resultado apresentado. 
 
(%i1) 4 * 5; 
(%o1) 20 
(%i2) % - 5; 
(%o2) 15 
 
O MAXIMA tenta tornar os resultados mais exatos possíveis, 
porém em alguns casos isso não é possível, pois o resultado é um 
tipo flutuante, como por exemplo: 
 
(%i1) log(10); 
(%o1) log(10) 
 
Porém se mesmo assim você deseja saber esse valor, basta 
você forçar o MAXIMA a retornar um ponto flutuante, assim: 
 
(%i1) float (log (10)); 
(%o1) 2.302585092994046 
 
Para atribuir valores a variáveis, basta apenas declarar da 
seguinte forma: 
 
(%i1) x : 2; 
(%o1) 2; 
 11
(%i2) y : 10; 
(%o2) 10; 
(%i3) x ^ y; 
(%o3) 1024; 
 
Para resolver alguma equação, basta utilizar a função ‘solve’, 
da seguinte maneira: 
 
(%i1) solve (3*x^2–6*x-9=0); 
(%o1) [x = 3, x = - 1] 
 
Esta função é bastante útil e pode ser usada de várias 
maneiras, como, por exemplo, resolver uma equação de duas 
incógnitas e deixar em função de uma delas, caso só existauma 
equação. 
 
(%i1) solve(x+y-2=0, y); 
(%o1) [y = 2 - x] 
 
Caso contrário se o número de equações for igual ao número 
de incógnitas, a função ‘solve’ pode dar conta do trabalho 
também, como por exemplo: 
 
(%i2) solve([x+y+4*z=0, y-z+2*x=8, z+3*x-2*y=4]); 
 18 26 46 
(%o2) [[z = - --, y = --, x = --]] 
 17 17 17 
 
 
Acima foram descritos os principais comandos para a 
manipulação dados no MAXIMA, assim sendo a partir daqui 
abordaremos assuntos mais específicos. 
 
 
 
 
 
 
 12
- FUNÇÕES 
 
É muito simples definir funções no MAXIMA, é muito 
parecido com o modo normal de se escrever, mudando somente o 
símbolo de atribuição que no caso é ‘:=’, como pode se observar o 
exemplo : 
 
(%i1) f(x):=x+2; 
(%o1) f(x) := x + 2 
 
(%i2) f(5); 
(%o2) 7 
 
 
Pode-se definir também funções de n variáveis, respeitando a 
mesma sintaxe da anterior, somente colocando as variáveis entre 
vírgulas, do seguinte modo: 
 
 
(%i1) g(x,y,z) := x * y + 2 * z; 
(%o1) g(x, y, z) := x y + 2 z 
 
(%i2) g(1,2,3); 
(%o2) 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13
- LIMITES 
 
Limites são facilmente interpretados pelo MAXIMA, e 
possui uma sintaxe bastante simples, observe o exemplo: 
 
limit(função, variável, valor que tende a variável); 
 
Aplicação: 
(%i1) limit( (2*x+1)/(3*x+2), x,inf ); 
 2 
(%o1) - 
 3 
 
(%i1) limit(((z^(2/3))/(z - sqrt(2 * z))), z, 8); 
(%o1) 1 
 
(%i2) limit((t^2 + 6*t + 9)/(9 - t^2), t, -3); 
(%o2) 0 
 
Limites trigonométricos: 
 
(%i1) limit(sin(x)/x, x, 0); 
(%o1) 1 
 
(%i2) limit((1 - cos(3*x))/(2*x^2), x, 0); 
 9 
(%o2) - 
 4 
 
Limites Laterais: 
 
Pela esquerda, basta adicionar um quarto parâmetro ‘minus’: 
 
(%i1) limit(sqrt(x * (5-x)), x , 5, minus); 
(%o1) 0 
 
(%i1) limit(1/x, x, 0, minus); 
(%o1) minf 
 
Obs. : minf = menos infinito. 
 
 14
 
Pela direita, basta adicionar o quarto parâmetro ‘plus’: 
 
 
(%i1) limit(sqrt((4*x)/(x-4)), x, 4, plus); 
(%o1) inf 
 
 
(%i2) limit(1/x, x, 0, plus); 
(%o2) inf 
 
Obs. : inf = infinito. 
 
 
Como a definição mais rudimentar de derivada provém da 
aplicação de limites, vamos realizar algumas operações, como 
introdução às derivadas. 
 
Tendo conhecimento de que : f ’(x) = lim ( f(x + h) – f(x) ) / h 
 x->0 
 
Podemos obter, a derivada de uma função, utilizando apenas 
limites, no caso g(x) = f ’(x), veja: 
 
 
(%i1) f(x):= 2 * x^2 + 3 * x; 
 
 2 
(%o1) f(x) := 2 x + 3 x 
 
 
(%i2) g(x) = limit((f(x + h)- f(x)) / h, h, 0); 
 
 
(%o2) g(x) = 4 x + 3 
 
Outro exemplo: 
 
(%i1) f(x):=x - 1/x; 
 1 
(%o1) f(x) := x - - 
 x 
 15
 
(%i2) g(x) = limit((f(x + h)- f(x)) / h, h, 0); 
 
 
 2 
 x + 1 
(%o2) g(x) = ------ 
 2 
 x 
 
 
Assim, visto como implementar limites no MAXIMA, 
passaremos então as derivadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16
- DERIVADAS 
 
A diferenciação de uma função pode ser rapidamente obtida 
pela função ‘diff’ : 
 
diff ( função, variável ); 
 
Aplicação: 
 
 
(%i1) diff((2*x^2+3*x), x); 
(%o1) 4 x + 3 
 
 
 
(%i2) diff((x - 1/x), x); 
 1 
(%o2) -- + 1 
 2 
 x 
 
 
(%i3) diff(sin(x), x); 
(%o3) cos(x) 
 
 
Um exemplo prático envolvendo máximos e mínimos. 
 
Determinar as dimensões do cilindro circular reto de maior 
volume que pode ser inscrito em um cone circular reto de raio R e 
altura h: 
 
 Primeiramente temos que fazer uma visualização do cilindro 
inscrito no cone (I), e representá-lo de forma a surgir uma 
semelhança de triângulos (II). 
 
 
 
 
 
 17
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto r/d = R/D. 
Como: 
(%i1) D : sqrt(R^2 + H^2); 
 2 2 
(%o1) sqrt(R + H ) 
 
(%i2) d : sqrt((H-h)^2 + r^2); 
 2 2 
(%o2) sqrt((H - h) + r ) 
 
Temos: 
r^2/((H-h)^2 + r^2) = R^2/(R^2 + H^2); 
 
Isolando r^2 : 
 
(%i3)eq1:solve((r^2*(R^2+H^2))=R^2*(H- 
h)^2+r^2*R^2,r^2); 
 
 2 2 2 
 2 (H - 2 h H + h ) R 
(%o3)[r = --------------------] 
 2 
 H 
 
 
 
Conhecido que o volume de um cilindro é (%pi*r^2)*h. 
 
(%i4) V(h):= (%pi * R^2 * (H-h)^2 * h)/H^2; 
 
(I) 
 
(II) 
 18
 2 2 
 %pi R (H - h) h 
(%o4) V(h) := ----------------- 
 2 
 H 
 
Para obtermos o volume máximo, devemos derivar V(h), e 
igualar a zero. 
 
(%i5) eq2:solve(diff(V(h),h)=0,h); 
 H 
(%o5)[h = H, h = -] 
 3 
 
Surgiram duas soluções para h, porém a partir de um h 
positivo, a solução a ser adotada é h = H/3. 
 
(%i8) eq1:solve (eq1, r); 
 (H - h) R (H - h) R 
(%o8) [r = - ---------, r = ---------] 
 H H 
 
Assim substituindo a eq2 em eq1, temos: 
 
(%i9) r : R*(H-H/3)/H; 
 2 R 
(%o9) --- 
 3 
 
Com isso, podemos concluir que o raio que gera o maior 
cilindro é: 
 
 2 R 
r = --- (resposta) 
 3 
 
 Para obter a segunda derivada, ou a n-ésima derivada basta 
adicionar um terceiro parâmetro na função indicando quantas vezes 
a função deve ser diferenciada. 
 
diff(função, variável, n); 
 19
 
Por exemplo: 
Achar a primeira e a quarta derivada de: 
 
f(x) = 2 * ( x ^ 3 ) + 1 / ( x ^ 2 ) + 16 * ( x ^ ( 7 / 2 ) ) 
 
(%i1) f(x) := 2*(x^3)+1/(x^2)+16*(x^(7/2)); 
 3 1 7/2 
(%o1) f(x) := 2 x + -- + 16 x 
 2 
 x 
 
(%i2) diff(f(x), x); 
 5/2 2 2 
(%o2) 56 x + 6 x - -- (primeira derivada) 
 3 
 x 
(%i3) diff(f(x), x, 4); 
 105 120 
(%o3) ------- + --- (quarta derivada) 
 sqrt(x) 6 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20
- INTEGRAIS 
 
Para integrar uma função basta utilizar a função: 
 
integrate(função, variável) ; 
para integrais indefinidas 
 
integrate(função, variável, início, fim); 
para integrais com intervalos definidos. 
 
Exemplos: 
- Integrais indefinidas 
 
 
(%i1) integrate(x^3*((1 + x^4)^5), x); 
 4 6 
 (x + 1) 
(%o1) --------- 
 24 
 
 
(%i2) integrate(x^2*cos(4*x^3), x); 
 3 
 sin(4 x ) 
(%o2) --------- 
 12 
 
- Integrais definidas 
 
 
(%i1) integrate((1+sqrt(t))^2/sqrt(t), t, 1, 4); 
 38 
(%o1) -- 
 3 
 
 
(%i2) integrate(6 - x^2 -x, x, -3, 2); 
 125 
(%o2) --- 
 6 
 
 21
No caso de funções descontínuas no intervalo dado, o 
programa acusará o seguinte erro: 
 
 
(%i6) integrate(1/x, x, -1, 0); 
Integral is divergent 
-- an error. Quitting. To debug this try 
debugmode(true); 
 
 
Nesse caso utilize os recursos de limites para verificar a 
condição de continuidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22
- GRÁFICOS EM DUAS DIMENSÕES 
 
Os gráficos gerados pelo MAXIMA aparecem em um 
programa anexo ao MAXIMA o gnuplot graph. 
A função mais conhecida para traçar gráficos em duas 
dimensões é a ‘plot2d’, que deve ser implementada da seguinte 
forma: 
 
plot2d(função, [eixo,início,final]); 
 
 
Exemplos: 
 
 
(%i1) plot2d(sin(x),[x,0,2*%pi]); 
(%o1)23
Caso você não goste da escala sugerida pelo programa, ou de 
uma série de outros fatores como cores, a maioria dessas coisas 
você pode alterar. 
Por exemplo, as cores das linhas, basta desativar o sistema de 
manuseio por mouse, pressionando ‘m’, depois disso clique com o 
botão direito em qualquer parte do gráfico e surgirá um menu com 
diversas opções, cores das linhas, tipo de fonte, copiar a imagem 
do gráfico, etc. 
Se você deseja realizar maiores operações com os gráficos 
basta pressionar ‘Espaço’, e você acessará a janela principal do 
gnuplot, com todas as suas opções disponíveis. 
 
Ou senão, na própria linha de comando podem ser feitas 
algumas operações, veja: 
 
 - nticks : Número de pontos iniciais usado pela rotina adaptativa 
de montagem do gráfico. 
[nticks, 20] 
O padrão para nticks é 10. 
 
- adapt_depth: O número máximo de quebras usada pela rotina 
adaptativa de montagem do gráfico. 
[adapt_depth, 5] 
O padrão para adapt_depth é 10. 
 
- grid: Escolhe o número de pontos da grade para usar nas direções 
x e y para montagem de gráficos tridimensionais. 
[grid, 50, 50] 
Escolhe a grade para 50 por 50 pontos. A grade padrão é 30 por 30. 
 
Voltando as funções mais básicas, você pode colocar duas 
funções em um mesmo gráfico, da seguinte forma: 
 
 
(%i1) plot2d([sin(x), cos(x)], [x, -2*%pi, 2*%pi]); 
(%o1) 
 24
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(%i1) plot2d([cos(2*x),x^3],[x,-%pi,%pi]); 
(%o1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
sin(x)
cos(x)
 
-40
-30
-20
-10
 0
 10
 20
 30
 40
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
cos(2*x)
x^3
 
 25
- GRÁFICOS EM TRÊS DIMENSÕES 
 
Para implementação de gráficos em três dimensões a 
função a ser usada é a plot3d, que se assemelha muito com 
a plot2d. 
O programa gerador de gráficos, o gnuplot, permite 
que em gráficos de três dimensões, possa ser feito o 
manuseamento do gráfico gerado de acordo com o usuário, 
bastando apenas clicar em cima do gráfico e girá-lo ao seu 
gosto. Você pode também remanejar a escala de acordo 
com seu gosto bastando apenas clicar com o botão 3 do 
mouse, isto é, o do meio. 
 
 plot3d(função,[eixo1,início1,fim1],[eixo2,início2, fim2]); 
 
Assim, temos: 
 
(%i1) plot3d(x^2-y^2,[x,-2,2],[y,-2,2]); 
(%o1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-1.5
-1
-0.5 0
 0.5
 1
 1.5
 2
-2
-1.5
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
x^2-y^2
 26
 
(%i1) plot3d(sin(x)*sin(y), [x, 0, 2*%pi], [y, 0, 
2*%pi]); 
(%o1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um outro famoso exemplo é o toro: 
 
(%i1) expr_1: cos(y)*(10.0+6*cos(x)); 
expr_2: sin(y)*(10.0+6*cos(x)); 
expr_3: -6*sin(x); 
 plot3d ([expr_1, expr_2, expr_3], [x, 0, 2*%pi], [y, 
0, 2*%pi], [grid, 40, 40]); 
(%o1) 
(%i2) 
(%o2) (6 cos(x) + 10.0) cos(y) 
(%i3) 
(%o3) (6 cos(x) + 10.0) sin(y) 
(%i4) 
(%o4) - 6 sin(x) 
 
 
 
 
 
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 0 1
 2 3
 4 5
 6 7
-1-0.8
-0.6-0.4
-0.2 0
 0.2 0.4
 0.6 0.8
 1
sin(x)*sin(y)
 27
 
 
-6
-4
-2
 0
 2
 4
 6
-20
-15
-10
-5
 0
 5
 10
 15
 20-20
-15
-10
-5
 0
 5
 10
 15
 20
-6
-4
-2
 0
 2
 4
 6
Function