Apostila de Topografia Olindo Savi

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2009
i 
Conteúdo 
 
1 INTRODUÇÃO 1 
1.1 Definição e Conceitos 1 
1.2 Levantamento topográfico 2 
1.3 Coordenadas geográficas 2 
1.4 Divisão da topografia 3 
1.5 Campos de aplicação da topografia 4 
1.6 Unidades de medidas empregadas na topografia 4 
1.7 Planos de projeção utilizados na topografia 5 
1.8 Instrumentos e equipamentos utilizados na topografia 6 
1.9 Medidas angulares 9 
1.10 Notação de medidas angulares 9 
1.11 Transformação de Grau Sexadecimal em Grau Decimal 9 
1.12 Transformação de Grau Decimal em Grau Sexadecimal 10 
1.13 Declinação magnética 11 
2 PLANIMETRIA 13 
2.1 Conceitos 13 
2.2 Cálculo de Azimutes a partir dos ângulos internos 14 
2.3 Conversão de Azimutes em Rumos 15 
2.4 Conversão de Rumos em Azimutes 17 
2.5 Cálculo de ângulos, lados e áreas de um triângulo 18 
2.6 Medição de ângulos horizontais com o uso de trena 21 
2.7 Medição de ângulos horizontais com o uso de bússola 21 
2.8 Medição de ângulos horizontais com o uso de teodolitos 22 
2.9 Possíveis causas de erros em medidas angulares 24 
2.10 Erros máximos admissíveis nas medidas angulares 25 
2.11 Sequência das atividades de um levantamento de ângulos horizontais 26 
2.12 Formas de obtenção de medidas de distâncias horizontais 28 
2.13 Formas de verificação das medidas de distâncias horizontais 29 
2.14 Erros cometidos em medição de distâncias horizontais 30 
2.15 Erros admissíveis para medidas lineares 30 
2.16 Formas de se fazer um alinhamento de uma direção por balizamento 31 
ii 
2.17 Métodos para levantamento planimétrico 33 
2.18 Escolha do método de levantamento planimétrico 35 
2.19 Procedimentos para levantamentos planimétricos 36 
2.20 Procedimento para levantamento de detalhes e benfeitorias 43 
2.21 Cálculo de distâncias horizontais 45 
2.22 Cálculo dos ângulos internos de uma poligonal 46 
2.23 Correção de erros angulares 48 
2.24 Verificação e correção de erros de fechamento de medidas lineares 56 
3 CÁLCULO DE ÁREAS 70 
3.1 Cálculo de áreas de figuras geométricas 70 
3.2 Cálculo de áreas extrapoligonais 71 
3.3 Cálculo de áreas de poligonais fechadas 73 
4 DESENHO 87 
4.1 Escala de desenho 87 
4.2 Escolha da escala de desenho 87 
4.3 Tipos básicos de desenho topográfico 88 
4.4 Formas de elaboração de um desenho 88 
4.5 Etapas para a execução do desenho 89 
4.6 Detalhes importantes no desenho 90 
4.7 Erros toleráveis de grafismo 90 
4.8 Convenções 90 
5 ALTIMETRIA 92 
5.1 Conceitos 92 
5.2 Tipos de nivelamento 93 
5.3 Equipamentos e aparelhos utilizados num levantamento altimétrico 94 
5.4 Princípios de um nivelamento geométrico 94 
5.5 Procedimento para o levantamento altimétrico 94 
5.6 Tipos de levantamentos altimétricos 95 
5.7 Métodos para realização de levantamentos planialtimétricos 96 
5.8 Formas de nivelamento 96 
5.9 Erro máximo admissível num nivelamento 97 
5.10 Forma de leitura na régua de MIRA 97 
5.11 Seqüência de procedimentos para o levantamento num nivelamento geométrico 99 
iii 
5.12 Cálculos das cotas num levantamento de nivelamento geométrico 100 
5.13 Verificações de erros num nivelamento geométrico 100 
5.14 Traçado de perfis topográficos 105 
5.15 Exemplo prático de utilização de perfis do terreno 106 
6 TOPOLOGIA 109 
6.1 Forma de análise de curvas de nível 109 
6.2 Representações geográficas do terreno 112 
6.3 Interpretação de curvas de nível 115 
6.4 Formas de se traçar as curvas de nível 116 
6.5 Métodos de Interpolação 118 
6.6 Procedimento para traçado de curvas de nível 122 
7 RESULTADOS DA ALTIMETRIA - CÁLCULOS DE VOLUMES 125 
7.1 Principio de cálculo de volumes 125 
7.2 Cálculo de volume - fórmula do prisma 126 
7.3 Cálculo de volume - fórmula do tronco de pirâmide 126 
7.4 Cálculo do volume de um sólido prismático de base retangular pelo método 
simplificado 126 
7.5 Cálculo do volume de um sólido prismático de base triangular pelo método 
simplificado 128 
7.6 Cálculo de volume de um sólido geométrico composto 130 
8 MÉTODOS INDIRETOS DE MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS 139 
8.1 Medição indireta de distância horizontal com o uso de trena 139 
8.2 Medição indireta de distância horizontal com utilização de teodolito 142 
8.3 Medição indireta de distância vertical entre dois pontos com o uso de teodolito 146 
8.4 Medidas indiretas de distâncias utilizando-se a taqueometria 147 
8.5 Medida indireta de distâncias pelo método das rampas 148 
9 LOCAÇÃO DE OBRAS 150 
9.1 Sistema de locação de obra 150 
9.2 Etapas da locação de uma obra 150 
10 MEMORIAL DESCRITIVO 158 
10.1 Elementos mínimos necessários no memorial descritivo 158 
10.2 Forma de elaboração de um memorial descritivo 158 
11 AULAS PRÁTICAS 160 
iv 
11.1 Uso de baliza e trena 160 
11.2 Uso do teodolito, nível, baliza e trena 165 
11.3 Divisão de poligonais 169 
11.4 Traçado de curvas de nível 175 
APÊNDICE 182 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 186 
 
 
UEM - Universidade Estadual de Maringá - Campus CTC Umuarama 1 
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1 INTRODUÇÃO 
1.1 Definição e Conceitos 
1.1.1 Topografia: 
Topografia é a técnica de representar em um plano as formas de um terreno, com 
os detalhes de seus elementos naturais e artificiais. Tem como significado etimoló-
gico “descrição do lugar”. 
1.1.2 Cartas geográficas: 
As cartas geográficas são representações gráficas que se utilizam dos conhecimen-
tos da Geodésica e do auxílio da matemática para sua composição. São geralmente 
utilizadas para representar grandes áreas. 
1.1.3 Cartas topográficas: 
As cartas tipográficas são representações gráficas que se utilizam dos conhecimen-
tos da Geometria e da Trigonometria para a sua composição. São utilizadas para 
representar pequenas áreas. 
1.1.4 Alinhamentos: 
Os alinhamentos são segmentos ou lados de um polígono (um dos lados de um 
terreno) ou ainda são linhas que une dois pontos, chamados de vértices do polígo-
no, ou ainda uma seqüência de pontos alinhados. 
1.1.5 Azimutes: 
Os azimutes são ângulos que os alinhamentos fazem em relação a uma direção 
constante. Azimutes magnéticos são ângulos entre o alinhamento e o meridiano 
magnético (norte magnético da terra). 
O termo azimute é empregado para se referir ao ângulo horizontal entre o norte 
(magnético ou verdadeiro) e a direção do alinhamento. Os azimutes podem ser li-
dos no sentido horário ou anti-horário, contudo, comumente sua medição se dá no 
sentido horário, e variam de 0º a 360º. Para efeito de convenção, utilizaremos pa-
ra referência e leitura de azimutes o sentido horário. 
1.1.6 Rumos: 
Os rumos são ângulos formados entre o alinhamento e a ponta da agulha da bús-
sola que lhe fica mais próxima, ou seja, é sempre o menor ângulo entre o meridia-
no magnético, ou geográfico, e o alinhamento. 
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1.1.7 Ângulos internos: 
Os ângulos internos são medidas angulares entre dois alinhamentos contíguos, ou 
seja, entre dois alinhamentos que concorrem num ponto comum entre estes (vér-
tice). 
1.2 Levantamento topográfico 
O levantamento topográfico é um procedimento necessário para o início de qual-
quer obra de engenharia. Este trabalho consiste basicamente no levantamento de 
ângulos e distâncias. 
O levantamento topográfico comporta basicamente duas operações, uma pura-
mente geométrica e outra puramente artística. 
1.2.1 Operação geométrica: 
A operação geométrica, também chamada de levantamento de cavenas, consiste 
no levantamento planialtimétrico da área de intervenção, área que se pretende 
prospectar. 
1.2.2 Operação artística: 
A operaçãoartística consiste na forma de representar todos os elementos a serem 
obtidos na operação geométrica, como suas dimensões, formas, e outros detalhes 
do terreno (divisas, matas, rios, estradas, benfeitorias, etc.). Nesta etapa é inte-
ressante a execução de bons croquis de campo, como por exemplo a conformação 
dos limites e representação da orografia da superfície, no caso de levantamento 
planialtimétrico para obtenção das curvas de nível, que serão tratadas adiante. 
1.3 Coordenadas geográficas 
Figura 1 - Representação do globo terrestre com indicação das referências para as coordenadas geográficas 
As coordenadas geográficas são definidas em um sistema de coordenadas esféri-
cas, que representam as medidas angulares entre um ponto e os dois planos fun-
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damentais pré-estabelecidos, que é o plano do equador e o do meridiano de Gre-
enwich. 
A notação das coordenadas geográficas é feita pela latitude e longitude. 
1.3.1 Latitude: 
A latitude é a medida em graus do ângulo formado pela interseção entre a normal 
que passa pelo ponto medido, localizado na superfície terrestre, e o plano do e-
quador. As latitudes são contadas, a partir do plano do equador, de 0º a 90º, em 
direção aos pólos Norte e Sul, chamadas de latitudes norte, representados pela le-
tra "N" e latitudes sul, representada pela letra "S". 
1.3.2 Longitude: 
A longitude é a medida em graus do ângulo diedro formado entre o plano do me-
ridiano que passa pelo ponto medido, localizado na superfície terrestre, e o plano 
do meridiano de Greenwich, que é tomado como meridiano inicial. As longitudes 
são contadas, a partir do meridiano de Greenwich, de 0º a 180º para Oeste, re-
presentada pela letra "O" (Oeste) ou "W" (West) e de 0º a 180º para Leste, cha-
madas de longitudes oeste e leste, representada pela letra "E" (East). 
Como exemplo na forma de citação, indicamos as coordenadas geográficas da ci-
dade de Umuarama: latitude 23º 54’ 45” S e longitude 53º 10’ 50” W. 
1.4 Divisão da topografia 
Visando atender aos seus objetivos, tradicionalmente a topografia é dividida em 
quatro partes principais: topometria, topologia, taqueometria e a fotogrametria, 
embora alguns autores modernos a dividam simplesmente em topometria e topo-
logia. 
1.4.1 Topometria: 
A topometria é num conjunto de operações, realizadas principalmente em terre-
nos, para a determinação métrica dos elementos para compor uma carta topográ-
fica. A topometria pode ser dividida em duas partes, de planimetria e de altimetria. 
A planimetria é a parte da topometria que se encarrega na determinação de medi-
das no plano horizontal, de distâncias e ângulos, e conseqüentemente de coorde-
nadas planas dos diversos pontos da área prospectada. 
A altimetria se encarrega na determinação de ângulos e distâncias verticais, ou di-
ferenças de nível entre os diversos pontos da área prospectada. 
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1.4.2 Topologia: 
A topologia consiste no estudo das formas da superfície do terreno, partes exterio-
res, permitindo a representação e a interpretação de sua superfície (relevo). 
1.4.3 Taqueometria: 
A taqueometria é considerada por alguns autores modernos como parte integrante 
da Topometria, e de fato sua função é complementar ao trabalho da topometria, 
pois se caracteriza pela medição indireta das distâncias horizontais e verticais. 
A taqueometria é portanto a parte da topografia que se ocupa da medida indireta 
das distâncias horizontais e verticais e é utilizada principalmente em situações nas 
quais o terreno oferece dificuldades de se realizar as medições pelos métodos tra-
dicionais, pela dificuldade de acesso aos locais a ser medidos, ou em áreas forte-
mente acidentadas que tornam a operação incomoda, ou ainda em situações que 
apresentam obstáculos intransponíveis, como a medição de distância de um a ou-
tro lado de um curso d'água de grande largura. Para sua aplicação, são utilizados 
instrumentos adequados, chamados taqueômetros, empregando-se cálculos ma-
temáticos. Os teodolitos tradicionais possuem linhas taqueométricas que conferem 
a este instrumento a condição da medição indireta de distâncias. 
1.4.4 Fotogrametria: 
A fotogrametria consiste na obtenção de formas e medidas através da utilização de 
fotografias orientadas. São utilizados os recursos da fotografia que tanto pode ser 
terrestre, quanto aérea, sendo neste último caso chamada de aerofotogrametria. A 
aerofotogrametria é bastante utilizada no levantamento planialtimétrico de grandes 
áreas, direcionadas principalmente para obras públicas. 
1.5 Campos de aplicação da topografia 
A topografia é amplamente empregada, principalmente nas obras de construção 
civil e na agricultura. Dentre os campos de aplicação da topografia, destacam-se: 
 Levantamentos expedidos de áreas; 
 Levantamentos completos de áreas; 
 Construção de estradas; 
 Construção de barragens; 
 Construção de canais, retificação de rios; 
 Locação de obras de construção civil; etc. 
1.6 Unidades de medidas empregadas na topografia 
Na topografia são utilizadas três espécies de grandezas de medida, lineares, super-
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ficiais e angulares. 
1.6.1 Grandezas lineares: 
As grandezas lineares são utilizadas para representar as distâncias horizontais ou 
verticais. 
A unidade padrão de medida linear é o metro, com suas derivações, km, cm, etc. 
1.6.2 Grandezas superficiais: 
As grandezas superficiais são utilizadas para quantificar e representar as superfí-
cies (áreas) e dos volumes. 
A unidade padrão de medida superficial é o metro quadrado (m2), utilizado princi-
palmente para pequenas áreas; ou o “are“, que corresponde à 100 m2, sendo esta 
ultima utilizada basicamente para grandes áreas. São utilizadas ainda as deriva-
ções do metro quadrado e do are, tais como: km2, ha, alqueire, etc. 
A unidade padrão para a medida de volume é o metro cúbico (m3). 
1.6.3 Grandezas angulares: 
As grandezas angulares são utilizadas para representar as medidas de afastamento 
entre dois alinhamentos que tem um ponto em comum (vértice), tanto nas medi-
ções nos planos horizontais, quanto nos planos verticais. 
A unidade padrão para a medida angular é o grau, representado por "º". 
1.7 Planos de projeção utilizados na topografia 
Segundo a forma de representação da superfície do terreno que se pretende, po-
demos classificar os planos de projeção em planimetria e altimetria, e ainda na 
forma conjugada de planialtimetria e na forma de cortes e perfis. 
1.7.1 Planimetria: 
A planimetria consiste na representação das projeções horizontais dos contornos e 
pontos medidos. 
1.7.2 Altimetria: 
A altimetria consiste na representação das alturas dos pontos e detalhes do terre-
no em relação à um plano horizontal de base, chamado de plano de referência ou 
RN (referência de nível). 
1.7.3 Planialtimetria: 
A altimetria é a conjugação da planimetria e da altimetria, se constituindo numa 
forma mais completa quando se pretende representar a planimetria e a altimetria. 
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1.7.4 Cortes e perfis: 
Os cortes e perfis são projeções de uma superfície do terreno sobre um plano ver-
tical, realizado num determinado alinhamento, de forma a mostrar as suas caracte-
rísticas. 
1.8 Instrumentos e equipamentos utilizados na topografia 
Os principais equipamentos e instrumentosnecessários e utilizados para a realiza-
ção do trabalho topográfico de campo são: piquetes, estacas, balizas, trenas, bús-
sola, teodolito, nível, mira, taqueômetros, estação total, GPS, distanciômetros, ca-
dernetas de campo, EPIs e equipamentos auxiliares. 
1.8.1 Piquetes: 
Os piquetes ou testemunhos são peças de madeira com seção transversal média 
em torno de 4x4cm e comprimento que varia de 12cm a 15cm, que são utilizados 
para delimitar as divisas do um terreno (polígono), indicando seus vértices. 
Figura 2 - Representação de um piquete utilizado na topografia 
1.8.2 Estacas: 
As estacas são peças de madeira com comprimento que variam de 30cm a 70cm e 
que são cravadas próximas aos piquetes, com a finalidade de indicar a localização 
destes, facilitando a sua futura localização. 
1.8.3 Balizas: 
As balizas são hastes roliças com diâmetro de 3/4" ou 5/8”, circulares, sextavadas 
ou oitavadas, com 2 metros de comprimento. Quando não metálicas, possuem 
ponta de ferro. São pintadas de branco e encarnado em faixas espaçadas de 20 
em 20cm ou de 50 em 50 cm. 
As balizas são utilizadas para auxiliar o topógrafo no estabelecimento dos alinha-
mentos dos lados de um polígono, a indicação dos vértices e ainda utilizada junto 
com a trena para medição e estabelecimento da distância entre dois pontos. 
1.8.4 Trenas: 
As trenas são fitas métricas, graduadas para medição de distâncias. São fabricadas 
em fibra de vidro, aço, ou outros materiais. As trenas são geralmente fabricadas 
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com comprimentos de 20, 30 e 50 metros. 
1.8.5 Bússolas: 
As bússolas são utilizadas para dar orientação magnética num levantamento pla-
nimétrico. São utilizadas para a medida de ângulos horizontais dos alinhamentos 
em relação ao norte magnético. Atualmente estão em desuso, sendo pouco em-
pregadas nos levantamentos planialtimétricos convencionais. 
1.8.6 Teodolito: 
O teodolito é um instrumento utilizado para a medida de ângulos horizontais e ver-
ticais. Alguns modelos, principalmente os mais antigos são providos de bússola. Os 
teodolitos modernos são eletrônicos, com leitura digital. 
1.8.7 Nível óptico: 
O nível óptico é um instrumento utilizado para a medida de distâncias verticais. Pa-
ra sua utilização é necessário um equipamento auxiliar, régua de Mira ou simples-
mente MIRA. 
1.8.8 Mira: 
A Mira, ou régua de Mira, ou ainda estádia, é um equipamento auxiliar do nível óp-
tico para a medida de distância vertical. Possui comprimento de 4 metros, fabrica-
da em alumínio ou madeira, em formato telescópico, o que facilita o armazena-
mento e transporte. 
As réguas normalmente possuem a precisão de leitura milimétrica. 
 
Figura 3 - Representação de dois modelos de régua de mira 
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1.8.9 Taqueômetros: 
Os taqueômetros são instrumentos utilizados para a obtenção de medidas indiretas 
de distâncias horizontal ou vertical. 
1.8.10 Estação total: 
A estação total é um equipamento eletrônico mais completo do que o teodolito. 
Possui um distanciômetro que possibilita, além da medição dos ângulos horizontais 
e verticais, a medição de distância. Possui também a capacidade de armazenamen-
to de dados e permite o envio dos mesmos para computadores, através das suas 
portas de comunicação de dados. 
A estação total, além de facilitar o trabalho do topógrafo, realiza as correções ne-
cessárias e minimizam os erros dos trabalhos de campo. 
1.8.11 Cadernetas de campo: 
As cadernetas de campo são elementos importantes para a perfeita caracterização 
e apontamento das leituras. 
 
Figura 4 - Caderneta de campo - Planimetria 
 
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Figura 5 - Caderneta de campo - Altimetria 
1.8.12 Equipamentos auxiliares no levantamento topográfico: 
Outros utensílios são importantes para a realização dos trabalhos topográficos, fer-
ramentas como o machado e a foice, e equipamentos de proteção individual como 
chapéus, botas, etc. 
1.9 Medidas angulares 
As medidas angulares podem ser feitas no plano horizontal ou vertical. No Plano 
horizontal são medidos os ângulos horizontais, também chamados de azimutais, 
enquanto que no plano vertical são medidos os ângulos verticais, também chama-
dos de zenitais. 
1.10 Notação de medidas angulares 
A forma de notação de medidas angulares comumente utilizada é em graus e da 
forma sexadecimal, expressa da seguinte forma: Go M’ S'', onde “G” representa a 
unidade grau, em que cada grau corresponde a 60 minutos; “M” representa o mi-
nuto, em que cada minuto corresponde a 60 segundos e “S” representa a medida 
do segundo. 
1.11 Transformação de Grau Sexadecimal em Grau Decimal 
A transformação de grau sexadecimal em grau decimal, se faz pelas somas do 
grau com a razão entre o minuto e 60 e a razão entre o segundo e 3600, utilizan-
do-se da seguinte fórmula: 
3600
Segundo
60
MinutoGraudecimalGrau  . 
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Exemplo 1: 
Transformar o ângulo 36º 25' 32'' em grau decimal. 
Solução: 
Gd = 
3600
32
60
25
36  = 36,425555555 
Exercício 1: 
Transformar o ângulo 22º 12' 40'' em grau decimal. 
Exercício 2: 
Transformar o ângulo 95º 00' 28'' em grau decimal. 
Exercício 3: 
Transformar o ângulo 270º 59' 10'' em grau decimal. 
 
1.12 Transformação de Grau Decimal em Grau Sexadecimal 
A transformação do grau decimal para sexadecimal se faz da seguinte forma: O 
grau decimal é obtido pela parte inteira do Grau decimal; o minuto é a parte intei-
ra do resultado da multiplicação da fração do grau decimal por 60; e o segundo é 
obtido pela multiplicação da fração do resultado obtido pela multiplicação da fração 
do grau decimal por 60 por 60, ou seja: 
 Grau = Parte inteira do Grau decimal; 
 Minuto = Parte inteira de (Grau decimal - Grau) x 60; 
 Segundo = [(Grau decimal - Grau) x 60 - Minuto] x 60; ou, 
 Segundo = [Grau decimal - Grau - (Minuto  60)] x 3.600; 
Exemplo 2: 
Transformar o ângulo 97,322568 em grau sexadecimal. 
Solução: 
Grau = 97. 
Minuto decimal = (97,322568 - 97) x 60 = 0,322568 x 60 = 19,35408 
Minuto = 19. 
Segundo = (19,35408 - 19) x 60 = 0,35408 x 60 = 21,2448. 
O ângulo em graus sexadecimal é: 97º 19' 21,2'' 
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Exemplo 3: 
Transformar o ângulo 188,3333333 em grau sexadecimal. 
Solução: 
Grau = 188. 
Minuto decimal = (188,3333333 - 188) x 60 = 0,3333333 x 60 = 19,999998 
Minuto = 19. 
Segundo = (19,999998 - 19) x 60 = 0,999998 x 60 = 59,99988, que arredondado 
corresponde a 60'' que equivale a 1'. 
O ângulo em graus sexadecimal é:1887º 20' 00'' 
Exercício 4: 
Transformar o ângulo 272,6305555 em sexadecimal. 
Exercício 5: 
Transformar o ângulo 180,00277778 em sexadecimal. 
Exercício 6: 
Transformar o ângulo 1,1472222222 em sexadecimal. 
Exercício 7: 
Transformar o ângulo 360,14722222 em sexadecimal. 
Exercício 8: 
Transformar o ângulo 0,002777778 em sexadecimal. 
1.13 Declinação magnética 
A declinação magnética é um ângulo variável entre a orientação do meridiano 
magnético (norte magnético) e o geográfico (norte verdadeiro). Ela é oriental 
quando a declinação é para direita, e ocidental quando é para esquerda. A declina-
ção magnética tem variação diária. O observatório nacional publica cartasanuais 
com informações sobre a variação da declinação magnética, em mapas chamados 
de isogonico-isopóricos, que são representados por linhas isogônicas e linhas iso-
póricas. 
As linhas isogônicas são linhas que representam os pontos (ou lugares) que pos-
suem a mesma declinação magnética. 
As linhas isopóricas são linhas que representam os pontos (ou lugares) de mesma 
variação da declinação magnética. 
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A declinação magnética é obtida a partir dos mapas isogonico-isopóricos, com a 
aplicação da formula:  1935tit   , onde “ t ” é a declinação magnética 
no instante “t”; “ i ” é a declinação magnética no ano de 1935; “ ” é a variação li-
da no mapa isogonico-isopórico; e “t” é o ano em forma decimal, ou seja: 
365
dia
12
mes
anot  . 
A declinação magnética pode ser obtida também de forma aproximada, através de 
medições de campo. Para isso são feitas leituras dos azimutes do nascer e do por 
do sol, com o mesmo ângulo zenital e com o teodolito instalado na mesma posi-
ção. Este procedimento somente é possível quando o horizonte estiver livre. O 
complemento da média das leituras, isto é, a diferença entre o azimute médio e 
180º, corresponde à declinação, que será ocidental quando o resultado for negati-
vo e oriental quando o resultado for positivo. 
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Apostila de Topografia - Professor Olindo Savi - 2009 
2 PLANIMETRIA 
2.1 Conceitos 
Nos levantamentos planimétricos trabalha-se com termos próprios que represen-
tam as diversas atividades desenvolvidas, como visada, visada de vante, visada de 
ré, ângulo de partida, fixar ângulo, alidade, limbo, vernier, etc. 
2.1.1 Visada: 
O termo visada é utilizado para designar o ato de se orientar o equipamento de lei-
tura para um determinado ponto. 
2.1.2 Visada de VANTE: 
O termo Visada de Vante é utilizado para indicar que a visada está sendo feita para 
um ponto (ou vértice da poligonal) que não se conhece ainda sua posição, ou seja 
é um ponto que se pretende conhecer sua localização. 
2.1.3 Visada de RÉ: 
O termo Visada de Ré é utilizado para indicar que a visada está sendo feita para 
um ponto (ou vértice da poligonal) cuja posição já é conhecida e que servirá de re-
ferência para a localização dos pontos subsequentes. 
2.1.4 Ângulo de partida: 
O ângulo de partida é aquele que dá inicio ao trabalho de levantamento ou para o 
reinicio deste. Este ângulo tanto poderá ser zero, quanto o valor do azimute de um 
alinhamento conhecido ou ainda o ângulo em relação ao norte magnético. 
2.1.5 Fixar o ângulo: 
É o termo utilizado neste trabalho para fazer referência ao ajuste do equipamento 
para o ângulo de partida para inicio ou para reinicio dos trabalhos. 
2.1.6 Alidade: 
Alidade é o termo utilizado neste trabalho representando o movimento circular do 
teodolito em torno do seu próprio eixo com o objetivo de se obter a leitura dos ân-
gulos. A alidade é também chamada de giro horizontal. 
2.1.7 Limbo: 
O limbo é o rebordo exterior graduado do teodolito convencional, onde são feitas 
as leituras dos ângulos. Os teodolitos digitais não possuem o limbo, que é substitu-
ído por um mostrador digital. 
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2.1.8 Vernier: 
O vernier é um dispositivo graduado existente junto ao limbo em teodolitos con-
vencionais, cuja finalidade é o da obtenção de leituras de maior aproximação. 
2.2 Cálculo de Azimutes a partir dos ângulos internos 
O cálculo para a obtenção dos azimutes, a partir dos ângulos internos conhecidos 
de uma poligonal é feito com a aplicação da seguinte fórmula: 
Azn = Azn-1 ± Ain ± 180°, 
onde: “Az” é o azimute; “Ai” o ângulo interno; e “n” o número do vértice em que 
se deseja determinar o azimute. 
O operador de “Ain” será positivo quando o caminhamento for à direita, e negativo 
quando o caminhamento for à esquerda. A referência do sentido do caminhamen-
to, para poligonais fechadas, é feita com o observador posicionado externamente 
ao polígono, voltado para este. Para poligonais abertas a referência é feita com o 
observador também voltado para a mesma, porém neste caso é considerado o ân-
gulo interno aquele medido no lado oposto ao que se encontra o observador. 
O operador do último termo da equação será positivo quando a soma dos dois 
primeiros termos do segundo membro da equação for menor que 180° e negativo 
em caso contrário. Quando o azimute exceder a 360º, o mesmo será decrescido de 
360º, ou seja, uma volta completa da luneta do teodolito. 
A fórmula acima também pode ser utilizada para obtenção do ângulo interno “Ain”, 
para tal, é desenvolvida a fórmula colocando em evidência o ângulo interno, e uti-
lizando-se os azimute do vértice e o anterior nos cálculos. O critério para o último 
termo da equação obedece aos mesmos critérios do cálculo do azimute, porém ca-
so o resultando seja negativo, este será acrescido de 360º. 
Exemplo 4: 
Calcular o azimute do vértice 5, sabendo-se que o azimute do vértice 4 é 235º 27' 
45'' e o ângulo interno do vértice 5 é 122º 55' 47''. 
Solução: 
Az5 = Az4 + Ai5  180º = 235º 27' 45'' + 122º 55' 47'' - 180º = 178º 23' 32'' 
Exemplo 5: 
Calcular o azimute do vértice 8, sabendo-se que o azimute do vértice 7 é de 335º 
58' 42'' e o ângulo interno do vértice 8 é de 222º 59' 58''. 
Solução: 
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Az8 = Az7 + Ai8  180º = 335º 58' 42'' + 222º 59' 58'' - 180º = 378º 58' 40'' = 
18º 58' 40''. 
Exemplo 6: 
Calcular o azimute do vértice 12, sabendo-se que o azimute do vértice 11 é de 33º 
50' 12'' e o ângulo interno do vértice 12 é de 42º 03' 02''. 
Solução: 
Az12 = Az11 + Ai12  180º = 33º 50' 12'' + 42º 03' 02'' + 180º = 225º 53' 14''. 
Exercício 9: 
Calcular o azimute do vértice 2, sabendo-se que o azimute do vértice 1 é de 73º 
25' 17'' e o ângulo interno do vértice 2 é de 106º 34' 43''. 
Exercício 10: 
Calcular o azimute do vértice 15, sabendo-se que o azimute do vértice 14 é de 
359º 12' 00'' e o ângulo interno do vértice 15 é de 36º 00' 03''. 
Exercício 11: 
Calcular o azimute do vértice 5, sabendo-se que o azimute do vértice 4 é de 11º 
17' 02'' e o ângulo interno do vértice 5 é de 22º 19' 07''. 
2.3 Conversão de Azimutes em Rumos 
Vimos anteriormente que os azimutes são medidos em relação à uma direção fixa, 
no caso o Norte e que os rumos são os menores ângulos que os alinhamentos fa-
zem em relação ao alinhamento norte-sul. 
Figura 6 - Divisão da circunferência em quadrantes 
Num sistema de eixos coordenados, dividindo a circunferência em 4 partes, temos 
os quatro quadrantes, figura 6. Segundo os pontos cardeais norte-sul, leste-oeste, 
os quadrantes são assim denominados: NE - Nordeste, de 0º a 90º; SE - Sudeste, 
de 90º a 180º; SO - Sudoeste, de 180º a 270º; e NO - Noroeste, de 270º a 360º. 
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Existem algumas particularidades para os ângulos retos, 0º e 360º - orientação 
norte, 90º - orientação leste, 180º - orientação sul e 270º - orientação oeste. 
Sendo os rumos definidos como os menores ângulos que o alinhamento forma com 
a orientação norte-sul, orientados sempre pela ponta da agulha mais próxima, en-
quanto os são azimutes são medidos no sentido horário, sempre referenciados na 
ponta norte da agulha magnética, os cálculos de transformação será feito com o 
uso da tabela abaixo.QUADRANTE REPRESENTAÇÃO AZIMUTE 
RUMO 
ÂNGULO ORIENTAÇÃO RECÍPROCO
1º 
 
Entre 0º e 90º = Azimute NE SO 
2º 
 
Entre 90º e 180º = 180º - Azimute SE NO 
3º 
 
Entre 180º e 270º = Azimute - 180º SO NE 
4º 
 
Entre 270º e 360º = 360º - Azimute NO SE 
- - 0º ou 360º = 0º N S 
- - 90º = 90º E O 
- - 180º = 0º S N 
- - 270º = 90º O E 
Todo o rumo possui uma segunda orientação que difere da primeira por uma dife-
rença de 180º, que chamamos de recíproco. Muitos profissionais, ao fazerem a o-
rientação de um rumo, o fazem colocando a orientação e o recíproco, um antes e 
outro após a indicação do ângulo do rumo, e neste caso, cada orientação estará 
posicionada de forma que indique o sentido do caminhamento, ou seja, ao se ler 
um rumo SO 30º 20' NE, sabe-se que está se indicando o caminhamento de sudo-
este para nordeste. 
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Exemplo 7: 
Qual é o rumo do azimute 225º 42' 37''? 
Solução: 
 Por estar no terceiro quadrante, a orientação é SO e o ângulo é 225º 42' 37'' - 
180º = 45º 42' 37''. 
Exercício 12: 
Calcular o rumo do azimute 270º 2' 12''. 
Exercício 13: 
Calcular o rumo do azimute 167º 28' 44''. 
Exercício 14: 
Calcular o rumo do azimute 227º 59' 59''. 
2.4 Conversão de Rumos em Azimutes 
A transformação de Rumos em Azimutes se faz de forma análoga à da transforma-
ção de Azimute em Rumos. A tabela abaixo exemplifica o procedimento. 
QUADRANTE REPRESENTAÇÃO AZIMUTE 
NE = Rumo 
SE = 180º - Rumo 
SO = 180º + Rumo 
NO = 360 - Rumo 
N - 0º 
E - 90º 
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QUADRANTE REPRESENTAÇÃO AZIMUTE 
S - 180º 
O - 270º 
Exemplo 8: 
Calcular o azimute do rumo 22º 35' 46'' SE. 
Solução: 
Az = 180º - 22º 35' 46'' = 157º 24' 14''. 
Exercício 15: 
Calcular o azimute do rumo 57º 29' 39'' NE. 
Exercício 16: 
Calcular o azimute do rumo 22º 19' 59'' NO. 
Exercício 17: 
Calcular o azimute do rumo 19º 29' 27'' SE. 
Exercício 18: 
Calcular o azimute do rumo 59º 58' 14'' SO. 
2.5 Cálculo de ângulos, lados e áreas de um triângulo 
O triângulo se constitui numa figura plana bastante importante para a Topografia, 
pois todas as figuras planas compostas que não contenham formas circulares, po-
dem ser reduzidas à um triângulo. Assim sendo, é importante o domínio das fór-
mulas clássicas da geometria plana e da trigonometria, para a realização dos cál-
culo de ângulos, lados e áreas de um triângulo qualquer de lados “a”, “b” e “c”, e 
de ângulos 
^^^
CeB,A ,representado na figura 7, abaixo. 
Figura 7 - Triângulo - referênciação de ângulos de lados 
2.5.1 Cálculo de ângulos e lados de um triângulo: 
Para o cálculo de ângulos e lados de um triângulo de forma qualquer, são utiliza-
das as leis de seno e co-senos. 
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A Lei dos Co-senos tem a seguinte fórmula: ÂCoscbcba  2222 , e é uti-
lizada quando se conhece pelo menos 2 lados do triângulo e um ângulo ou os três 
lados de um triângulo. 
A Leis dos Senos tem a seguinte fórmula: ^^^
CSen
c
BSen
b
ASen
a  , e é utilizada 
quando se conhece 2 ângulos e um lado oposto à qualquer dos ângulos conheci-
dos deste triângulo. 
Exemplo 9: 
Calcular os ângulos internos de um triângulo que possui as seguintes dimensões: 
9, 7 e 5. 
Solução: 
Adotando-se: a = 9, b = 7 e c = 5 temos: 
^
222 ACos572579  ; 1,0
70
812549
ACos
^  ; 
''21'44º9573917048,951,0arcCosA
^  
^
222 BCos592597  ; 6333333333,0
90
492581
BCos
^  ; 
''7,12'42º5070351976,5063333333,0arcCosB
^  
^
222 CCos792795  ; 83333333,0
126
254981
CCos
^  ; 
''3,26'33º3355730976,3383333333,0arcCosC
^  
Exemplo 10: 
Um triângulo possui dois lados com 120m e 88m respectivamente e um ângulo en-
tre estes dois lados de 22º. Qual é a outra dimensão do triângulo? 
Solução: 
º22Cos88120288120a 222  
a² = 14400+7744-21120x0,927183854=2561,877. 
a = 50,615m. 
Exemplo 11: 
Quais os outros ângulos internos do triângulo do exemplo 10. 
374606593,0
615,50
120
BSen;
BSen
120
º22Sen
615,50
;
BSen
b
ASen
a ^
^^^
 ; 
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''22'38º626394208,62B;888131803,0BSen
^^  . 
''38'21º95''22'38º6222180C;º180CBA
^^^^  . 
Exercício 19: 
Calcular os ângulos do triângulo que possui os seguintes lados: 22m, 36m e 17m. 
Exercício 20: 
Calcular o lado e os dois ângulos internos de um triângulo, onde são conhecidos 
dois lados contíguos e o ângulo entre estes, que são respectivamente: 49m, 72m e 
32º. 
Exercício 21: 
Para o polígono da figura ao lado,onde são conhecidos 
os quadro lados e um ângulo, calcular os demais ângu-
los internos. 
2.5.2 Cálculo da área de um triângulo: 
A partir do conhecimento dos três lados de um triângulo de qualquer forma, po-
demos calcular a sua área utilizando a seguinte fórmula: 
     csbsassÁrea  , onde “s” é o semi-perímetro, ou seja: 
2
cbas  . 
Exemplo 12: 
Calcular a área do polígono do exemplo 10. 
3075,129
2
615,5088120
s  
Área =      615,503075,129883075,1291203075,1293075,129  
Área = 674,181.912.3 =1.977,92 
Exercício 22: 
Calcular a área do polígono de 3 lados com as dimensões de 98,00 x 66,00 x 49,00 
metros. 
Exercício 23: 
Calcular a área do polígono de 3 lados, sendo dois lados conhecidos e o ângulo en-
tre estes, respectivamente: 57,00, 68,00 e 37º. 
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Exercício 24: 
Calcular a área do polígono do exercício 21. 
Exercício 25: 
Calcular a área do polígono de 4 lados com as dimensões de: a=35,00 m, b=42,00 
m, c=57,00 m e d=28,00 m e o ângulo entre os lados a e b igual a 100º. 
2.6 Medição de ângulos horizontais com o uso de trena 
É possível fazer os levantamentos de ângulos horizontais apenas com o uso de 
trena e balizas. O processo para este tipo de levantamento ou locação de ângulos 
horizontais é chamado de triangulação. Utiliza-se basicamente dois processos, por 
semelhança com o triângulo isósceles ou por um triângulo de formato qualquer. 
2.6.1 Medição de ângulos horizontais por semelhança com o triângulo isósceles: 
Para este processo, adota-se 2 lados com comprimentos iguais e um terceiro lado, 
que corresponde à corda de um setor circular. Para a obtenção do ângulo entre os 
dois lados iguais, aplica-se a seguinte fórmula: 






2
l
c
2
1
1ArcCos ; onde “” 
é o ângulo; “c” a corda; e “l” o comprimento dos lados iguais. 
2.6.2 Medição de ângulos horizontais utilizando um triângulo de formato qualquer: 
Para este processo, utiliza-se a lei dos co-senos, aplicando-se a seguinte fórmula: 
CosÂcb2cba 222  ; onde: “a”, “b” e “c”, onde "a" é o lado oposto ao 
vértice que se deseja obter o ângulo e "Â" é o ângulo desejado. 
2.7 Medição de ângulos horizontais com o uso de bússola 
A bússola é o instrumento mais simples para obtenção da direção de um alinha-
mento em relação à orientação do meridiano magnético da terra (norte-sul). Atu-
almente é pouco utilizada, pois os levantamentos tendem a ser feitos a partir de a-
linhamentos com orientação conhecidas. 
A operação com a bússola se faz da seguinte forma: Estaciona-se a bússola na ori-
gem do alinhamento, como prato devidamente nivelado, em seguida, dirige-se a 
alidade das pínulas ou a luneta para a baliza colocada no extremo do alinhamento, 
lendo-se então o ângulo formado com o norte magnético, o azimute. A boa prática 
estabelece que se faça a leitura nas duas pontas da agulha da bússola e extraia-se 
a média aritmética com a função de diminuir o erro. Este procedimento de medi-
ção de ângulos é feito tanto nas visadas de VANTE, quanto nas visadas de RÉ. 
Dentre os trabalhos possíveis com o uso da bússola estão: 
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 Traçar uma perpendicular a um alinhamento; 
 Traçar uma paralela a um alinhamento; 
 Prolongar um alinhamento contornando obstáculos; 
 Fazer medições indiretas entre dois pontos; 
 Fazer medições de dois pontos distantes. 
2.8 Medição de ângulos horizontais com o uso de teodolitos 
O teodolito é ainda hoje o equipamento utilizado mais utilizado para a medição dos 
ângulos horizontais num levantamento planimétrico. Ele é tanto utilizado para se 
realizar medidas simples de ângulos ou numa poligonação. 
2.8.1 Medição de ângulos horizontais simples com o uso de teodolitos: 
Chamamos de medida simples de ângulos horizontais, o levantamento dos ângulos 
internos, ou ângulos formados por dois alinhamentos que concorrem para um 
mesmo vértice da poligonal (alinhamentos sucessivos). 
O procedimento para a realização de medida simples é o seguinte: 
 Estaciona-se convenientemente o teodolito, de forma que fique bem centrado e 
nivelado sobre o piquete do vértice em que se pretende medir o ângulo; 
 Fixa-se o ângulo horizontal de partida em 0o; 
 Com o ângulo fixado e zerado, faz-se a visada na baliza mantida verticalmente 
no piquete do vértice extremo do alinhamento anterior; 
 Certificando-se de que o ângulo esteja zerado, libera-se o movimento horizontal 
do teodolito e faz-se a visada no pé da baliza mantida verticalmente no piquete 
do vértice extremo do piquete posterior; 
 Faz-se a leitura do ângulo interno. 
2.8.2 Medição de ângulos horizontais numa poligonação com o uso do teodolito: 
Num levantamento de uma poligonação, a medição dos ângulos se dá em duas si-
tuações distintas, uma quando se utiliza teodolitos providos de bússola, e portanto, 
se referencia o levantamento em relação ao norte magnético, e outra quando se 
conhece o ângulo de partida. Na primeira situação, a data do levantamento se 
constitui num elemento importante, pois da precisão da data é que se obtém a 
precisão da declinação magnética a ser considerada para referênciação ao norte 
verdadeiro. 
Levantamento numa poligonação com o uso do teodolito, utilizando-se o 
norte magnético como referência: 
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O levantamento de uma poligonal com o uso do teodolito, utilizando-se o norte 
magnético como referência, é feito obedecendo os seguintes passos: 
1. Estaciona-se convenientemente o teodolito, de forma que fique bem centrado 
e nivelado sobre o vértice onde se deseja iniciar o levantamento planimétrico 
(ponto inicial do polígono); 
2. Fixa-se o movimento horizontal do teodolito, fazendo a coincidência do norte 
da agulha magnética da bússola, com o alinhamento da luneta e zera-se o 
ângulo; 
3. Libera-se ângulo e o movimento horizontal do teodolito e faz-se a visada de 
VANTE no vértice (piquete) extremo do alinhamento seguinte e obtém-se a 
leitura do azimute. Em seguida fixa-se o ângulo para a mudança de estação; 
4. Com o ângulo fixado, faz-se o estacionamento do equipamento no piquete 
subseqüente e com a luneta invertida, faz-se uma visada de RÉ no piquete 
anterior; 
5. Volta-se a luneta para a posição normal, libera-se o ângulo, em seguida libe-
ra-se o movimento horizontal do teodolito; 
6. Faz-se a leitura dos ângulos de todos os detalhes previamente estabelecidos 
para levantamento. Por último, faz-se a visada de VANTE no piquete posteri-
or (vértice subseqüente da poligonal), obtem-se a leitura do azimute e fixa-se 
o ângulo para nova mudança da estação; 
7. Repete-se os procedimentos 4, 5 e 6 até o último vértice do polígono; 
8. No levantamento de poligonal fechada, repete-se o procedimento mais uma 
vez para o vértice inicial e faz-se uma segunda leitura deste ângulo, que ser-
virá para verificação do erro de fechamento. 
Levantamento numa poligonação com o uso do teodolito, utilizando-se 
como referência um ângulo de partida: 
O levantamento de uma poligonal com o uso do teodolito, utilizando-se um ângulo 
de partida, é feito obedecendo os seguintes passos: 
1. Estaciona-se convenientemente o teodolito, de forma que fique bem centrado 
e nivelado sobre o vértice onde se deseja iniciar o levantamento planimétrico 
(ponto inicial do polígono); 
2. Fixa-se o ângulo de partida, quando conhecido o azimute, ou zera-se o ângu-
lo em outro caso; 
3. Com a luneta invertida, faz-se uma visada de RÉ no piquete anterior; 
4. Repete-se os procedimentos 5 a 8 do levantamento de uma poligonação com 
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o uso de teodolito, utilizando o norte magnético. 
2.8.3 Cuidados a serem tomados nos levantamentos de ângulos com teodolito: 
Para que se tenha uma boa precisão no levantamento de ângulos com o uso de 
teodolito devem ser tomados os seguintes cuidados: 
 Estacionar o teodolito de forma a ficar bem centrado, isto é, o prolongamento 
do eixo principal, representado pelo prumo deve coincidir com a marca no pi-
quete (taxa, cruz ou outra marca que define o ponto exato do vértice). Uma va-
riação de 2 a 3mm é suficiente para provocar erros de leitura da ordem de 30'' 
para levantamentos de lados da ordem de 25 a 20 metros; 
 Nivelar convenientemente o teodolito; 
 Ajustar convenientemente o ângulo de partida (ou acertados os zeros). O des-
cuido nestes ajustes são grandes causadores de erros que exigem que os servi-
ços sejam refeitos; 
 Verificar, por ocasião da visada de RÉ, a exatidão do azimute acumulado, medi-
do no vértice anterior. 
2.9 Possíveis causas de erros em medidas angulares 
As principais causas de erros de medidas angulares são provocados por falhas de 
operação, podendo ainda ser provocadas por deficiência dos equipamentos. 
Dentre todas as causas de erros de medidas angulares podemos citar: 
 Negligência do operador, que opera o equipamento sem o cuidado necessário; 
 Imperfeição dos instrumentos; 
 Falta de calibragem no equipamento; 
 Desnível no prato, ou falta de nivelamento apropriado do teodolito; 
 Erro de visada. Ocorre principalmente quando a visada é feita num ponto muito 
alto da baliza, muito acima do nível do piquete. Nesta situação, qualquer falta 
de prumo da baliza acarretará em erros de leitura, que serão tanto maiores 
quanto menor for a distância entre o teodolito e o ponto visado. O erro pode ser 
ainda cometido pelo descuido do operador, que não observa corretamente o uso 
do reticulo central, tomando um dos retículos auxiliares como se fosse o retículo 
central; 
 Falta de pressão suficiente nos parafusos de travamento, que pode acarretar 
desvios no manuseio do equipamento; 
 Descuido no manuseio do equipamento com alteração no limbo ou do display. O 
descuido com mudança no ajuste do parafuso de chamada, no caso de teodolito 
convencional, ou falta de travamento do ângulo, pode alterar o ângulo medido; 
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 Falta de prumo na baliza. Nos casos onde não é possível se fazer a visadaao ní-
vel do topo do piquete, a falta de prumo na baliza é uma das causas de erros de 
leituras de ângulos horizontais; 
 Centragem imperfeita do teodolito. O esmero na instalação do teodolito sobre o 
vértice é responsável pela redução do erro. A centragem fora do ponto apropri-
ado provoca erro de leitura angular, que serão tão maiores quanto menor for a 
distância do ponto a ser medida; 
 Fixação inadequada do tripé de apoio ao teodolito. A falta de pressão suficiente 
no parafuso de fixação do teodolito sobre o tripé pode provocar pequenos des-
locamentos que promovem por sua vez erros de leitura. O mesmo pode aconte-
cer se o tripé não estiver suficientemente ancorado no chão; 
 Erro na leitura dos limbos (limbos são círculos graduados existentes nos equi-
pamentos convencionais) ou erros de leitura do painel no caso de teodolitos di-
gitais são causas freqüentes de erros; 
 Desvios nos alinhamentos das pontas da agulha de bússolas ou de teodolitos 
convencionais, quando em trabalho com o ângulo azimutal magnético também 
são causas de erros. Os desvios na ponta da agulha podem ser provocados por 
jazidas, corrente eletromagnética, chaves no bolso do operador, etc. 
2.10 Erros máximos admissíveis nas medidas angulares 
Para um trabalho de levantamento, são estabelecidos limites de erros para os 
quais o trabalho de campo tenha uma mínima confiabilidade, que variam com o 
grau de precisão que estes requerem. 
2.10.1 Erro máximo para levantamentos expeditos: 
Para levantamentos expeditos, que são aqueles que requerem pouca precisão, o 
erro máximo admissível é: n'2 , onde “n” é o número de ângulos lidos. 
2.10.2 Levantamentos extensos: 
Para levantamentos extensos (rodovias, ferrovias, etc), o erro admissível é da or-
dem de: n'1 , onde “n” é o número de ângulos lidos. 
2.10.3 Levantamentos em imóveis urbanos ou áreas valorizadas: 
Para levantamentos em lotes urbanos ou áreas valorizadas, como levantamento 
em cidades o erro admissível é da ordem de: n"30 , onde “n” é o número de ân-
gulos lidos. 
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Apostila de Topografia - Professor Olindo Savi - 2009 
2.11 Sequência das atividades de um levantamento de ângulos horizontais 
O levantamento de ângulos horizontais pode ser feito com o uso da trena, de teo-
dolito ou a bússola. 
Neste trabalho trataremos de levantamentos feitos com o uso da trena e com o 
uso do teodolito. Os levantamentos de ângulos horizontais feitos com o uso de te-
odolitos pode ser feito de duas formas, por leitura de ângulos internos e leituras de 
azimutes acumulados. 
A seguir será tratado especificamente de três formas de levantamento, quais se-
jam pelo uso de trena, uso de teodolito com leitura de ângulos internos e uso de 
teodolito com leituras de azimutes acumulados. 
2.11.1 Sequência de atividades de um levantamento de ângulos horizontais com o uso da 
trena: 
O trabalho de levantamento de ângulos horizontais com o uso da trena, são obser-
vadas as seguintes etapas: 
 Divisão da área a ser levantada em triângulos (triangulação); 
 Medição dos lados da poligonal e diagonais que formam cada triângulo; 
 Cálculo dos ângulos internos dos triângulos decompostos pela triangulação; 
 Obtenção dos ângulos internos de cada vértice da poligonal. Este será o resul-
tado da somatória dos ângulos internos de todos os vértices de triângulos que 
concorrem para cada vértice da poligonal; 
 Transformação dos ângulos decimais em seus correspondentes sexadecimais 
(Gº M’ S”); 
 Verificação dos ângulos internos da poligonal. A Verificação é feita com o uso da 
seguinte fórmula: SAi = (n - 2) x 180º, onde “Ai” são os ângulos internos dos 
vértices e “n” é o número de vértices; 
 Transformação dos ângulos internos em azimutes; 
 Determinação dos RUMOS, a partir dos azimutes obtidos. 
Alguns fatores são importantes e devem ser observados, quando dum levantamen-
to com utilização de trena, principalmente: 
1 - Ao se fazer a divisão do polígono em triângulos, deve-se escolher uma forma 
na qual as diagonais não sejam muito extensas, o que demanda um tempo 
maior para medição e também aumenta as probabilidades de se cometerem 
erros; 
2 - Deve-se evitar, na divisão do polígono em triângulos, a superposição dos 
mesmos, pois acarreta um maior número de operações de cálculo e trás tam-
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bém como conseqüência, o aumento da probabilidade de serem cometidos 
erros; 
3 - Deve-se evitar o estabelecimento de triângulos com ângulos muito agudos, 
pois conduzem a ângulos com valores pequenos (diminutos), cujo arredon-
damento de cálculo poderá conduzir a imprecisões (erros significativos) que 
podem inclusive comprometer o trabalho como um todo. 
2.11.2 Seqüência de um levantamento de ângulos horizontais com o uso de teodolito, pe-
la leitura dos ângulos internos: 
Num trabalho de levantamento ângulos internos horizontais com o uso do teodoli-
to, são observadas as seguintes etapas: 
 Levantamento dos ângulos internos de cada um dos vértices do polígono, con-
forme 2.8.1; 
 Verificação do erro de fechamento, com o emprego da fórmula: SAi = (n - 2) x 
180º, onde “Ai” é o ângulo interno e “n” é o número de vértices; 
 Verificação do limite máximo da tolerância do erro, que é a condição para que 
se possa dar continuidade ao trabalho, fazendo a correção do mesmo; 
 Transformação dos ângulos internos em azimutes; 
 Transformação dos azimutes em RUMOS. 
2.11.3 Seqüência de um levantamento de ângulos horizontais com o uso do teodolito, pe-
la leitura dos azimutes acumulados: 
O trabalho de levantamento de ângulos horizontais, com o uso do teodolito, pela 
leitura dos azimutes acumulados, observa as seguintes etapas: 
 Determinação do ângulo de partida (azimute inicial) de um dos alinhamentos da 
poligonal; 
 Levantamento, a partir do azimute inicial, dos azimutes de todos os vértices da 
poligonal, conforme 2.8.2; 
 No caso de poligonais fechadas, proceder o levantamento do azimute do vértice 
de partida, a partir do azimute acumulado no vértice “n” (último vértice do polí-
gono), para verificação do erro de fechamento. O erro de fechamento será o re-
sultado da subtração deste azimute com o azimute inicial (ângulo de partida); 
 Verificação do enquadramento do erro de fechamento dentro do limite máximo 
de tolerância, que é a condição para o prosseguimento do trabalho, em caso de 
não ser verificado o trabalho deve ser refeito; 
 Transformação dos azimutes dos alinhamentos em RUMOS. 
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Apostila de Topografia - Professor Olindo Savi - 2009 
2.12 Formas de obtenção de medidas de distâncias horizontais 
Existem diversas formas de se obter medidas de distâncias horizontais, tanto por 
métodos diretos, quanto indiretos. Os métodos diretos mais comuns são o uso de 
distanciômetros e trenas, enquanto que os indiretos mais comuns são por taqueo-
metria ou pelo uso de GPS. 
2.12.1 Formas de obtenção de distâncias horizontais com o uso de trenas: 
A forma mais comum para a obtenção de medidas de distâncias horizontais é com 
o uso da trena, e é feito da seguinte forma: 
Em terrenos planos: 
O operador percorre o alinhamento com a trena em punho e balizas, que são utili-
zadas para demarcar os pontos as serem medidos. A medida é feita em segmen-
tos, chamados de cordas, com distâncias geralmente de 20 metros. Ao se medir a 
trena deve ser convenientemente tracionada e orientada o mais horizontalmente 
possível como forma de minimizar os erros de leituras. A forma de medição é se i-
niciar num dos extremos do alinhamento até atingira extremidade oposta deste. 
Em terrenos inclinados: 
A forma de medição de distâncias horizontais em terrenos inclinados é a mesma 
utilizada para terrenos planos, porém com segmentos de cordas menores. A trena 
deve estar orientada o mais horizontalmente possível, de sorte que as medidas se-
rão feitas de forma escalonadas, isto é, em degraus, conforme a figura abaixo. 
Figura 8 - Representação da forma de medição de distâncias horizontais em terrenos inclinados 
Observações importantes: 
A trena deve estar orientada horizontalmente, ou seja nivelada, e deverá ser con-
venientemente tracionada a fim de se evitar a formação da catenária. 
As medidas com trenas são feitas geralmente com cordas de 20 metros, podendo-
se em condições especiais trabalhar com cordas de até 50 metros. Nos trabalhos 
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Apostila de Topografia - Professor Olindo Savi - 2009 
em superfícies inclinadas, ou com forte pressão de vento, as cordas deverão ser 
reduzidas. 
Como as distâncias são o resultado da somatória do número de cordas pelo com-
primento de cada corda, acrescido da leitura final com qualquer valor, é conveni-
ente se utilizar cordas com tamanho múltiplo de 10 metros, ou 5 metros, como 
forma de se reduzir a margem de erro de contagem e cálculo. 
2.12.2 Outras formas de medição de distâncias horizontais: 
 Por passos - A medição por passadas é uma forma de medição expedita, quan-
do não se exige precisão, assim sendo é utilizada apenas para levantamentos 
aproximados, e para isso, o passo do medidor deverá ser devidamente calibra-
do, o que se faz repetindo diversas vezes a medição de uma distância previa-
mente corrigida buscando auferir aquela distância; 
 Por odômetros - Os odômetros são dispositivos fixados à rodas de veículos. É 
uma forma bastante prática para medições aproximadas de longas distâncias; 
 Por taqueômetros - A utilização do taqueômetro ou teodolito para obtenção de 
medidas de distâncias horizontais se constitui numa forma indireta de medição, 
e geralmente é utilizada quando se deseja medir dois pontos que possuem al-
gum obstáculo à medição direta; 
 Com o uso do GPS - O GPS, cuja sigla é de “Global Position System”, Sistema de 
Posição Global, é um sistema que se utiliza do posicionamento de satélites que 
fornecem as coordenadas da posição do equipamento, conduzido por um ope-
rador, na superfície da terra. Trata-se de uma forma indireta de medida de dis-
tância, pois as coordenadas fornecidas devem ser convertidas para distâncias. 
Seu emprego é para a medição das distâncias de pontos conhecidos e não para 
a locação de pontos; 
 Por distanciômetros - Os distanciômetros são dispositivos que permitem a medi-
ção de distâncias pela propagação de ondas ou feixes de luz. Estes estão pre-
sentes nas Estações Totais, que são equipamentos parecidos com os teodolitos 
eletrônicos, porém com maior quantidade de recursos tecnológicos disponíveis. 
Os distanciômetros apresentam uma maior precisão para a medição de distân-
cia. 
2.13 Formas de verificação das medidas de distâncias horizontais 
Quando se deseja uma boa precisão na medida de distâncias horizontais com o 
uso de trenas, a medida de deve ser feita medindo-se repetidamente, num e nou-
tro sentido, até que se obtenha valores aceitáveis, isto é, valores que estejam bas-
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Apostila de Topografia - Professor Olindo Savi - 2009 
tante próximos, dentro da margem de erros admissíveis. O resultado da medição 
das distâncias horizontais, feitas com este critério, deve ser o valor médio obtido. 
2.14 Erros cometidos em medição de distâncias horizontais 
Os principais erros de medidas lineares horizontais são devidos a falhas na opera-
ção, e em algumas situações, por deficiência dos equipamentos utilizados. 
Dentre as causas de erros de medidas podemos citar: 
 Negligência do operador - ocorre quando, por descuido do operador, este faz 
leituras imprecisas, ou utiliza o equipamento de forma inadequada. 
 Imperfeição dos instrumentos - ocorre com equipamentos utilizados para a me-
dição estejam descalibrados ou sem aferição. 
 Desvios do alinhamento - quando a medição da distância horizontal não é feita 
dentro de um alinhamento perfeito, o que ocorre quando se faz o balizamento 
incorreto, provoca-se então desvios nas medidas, com erros a maior, pois se 
mede distância de segmentos maiores do que os reais. 
 Falta de horizontalidade da trena - a falta de horizontalidade na trena ocasiona 
erros de medidas pois ocorre a medição de linhas inclinadas e não a sua proje-
ção horizontal provocando assim leituras maiores do que a distância real. 
 Flexão da trena - a trena quando não tracionada convenientemente provoca a 
flexão, criando uma curvatura, que é chamada de catenária. Este efeito provoca 
a leitura de medida com valor maior do que a real. 
 Elasticidade da trena - As trenas são produzidas por materiais de baixa elastici-
dade, porém uma força de tração elevada exercida pelo operador ou o aqueci-
mento excessivo desta, pode conduzir ao rompimento de sua estrutura e provo-
car o escoamento desta, alongando-a, e causando desta forma leituras de me-
didas a menor do que a real. 
 Falta de alinhamento da trena - além do alinhamento do balizamento, é impor-
tante que a trena esteja alinhada com as balizas. A falta de alinhamento da tre-
na em relação às balizas provoca erros de leitura pela imprecisão da posição do 
ponto de medida. 
 Falta de prumo na baliza - A não observação da perfeita prumada da baliza pro-
voca erros de medição que podem variar para mais ou para menos. Esta é uma 
das maiores causas de erro e merecem cuidados constantes durante as medi-
ções. 
2.15 Erros admissíveis para medidas lineares 
A confiabilidade do trabalho está em ser observados erros máximos que são permi-
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Apostila de Topografia - Professor Olindo Savi - 2009 
tidos, e que dependem da precisão requerida nestes trabalhos. Dependendo da 
precisão dos levantamentos, são permitidos no máximo os seguintes erros: 
 Levantamentos expeditos: 1/1000 da distância total medida. Os levantamentos 
expeditos são levantamentos preliminares, e que requerem pouca precisão; 
 Levantamentos extensos: 1/3000 da distância total medida; 
 Levantamentos em cidades: entre 1/5000 e 1/10000. Os levantamentos em ci-
dades são para medição de lotes e obras. 
2.16 Formas de se fazer um alinhamento de uma direção por balizamento 
Quando não dispomos de teodolito ou bússola para orientar os alinhamentos, este 
é feito com o uso de balizas, de forma que as mesmas se sobreponham, uma às 
outras, ao longo do trecho. 
No alinhamento de um trecho com o uso de balizas, podem ocorrer duas situações 
básicas: uma quando todo o percurso do alinhamento, de um extremo ao outro, é 
totalmente visível, e outra, quando não há visibilidade entre um extremo e outro 
do alinhamento. 
2.16.1 Procedimento para realização de um alinhamento com balizas, quando há visibili-
dade entre os extremos 
Quando há visibilidade total entre as extremidades do trecho, o alinhamento de di-
reção feito com balizas é feito da seguinte forma: 
1. Inicialmente são posicionadas duas balizas, uma em cada extremidade do 
trecho, conforme a figura 9, observando que as mesmas estejam em posição 
vertical. 
Figura 9 - Forma de realização de balizamento para alinhamento de percurso inteiramente visível 
2. Estando posicionadas as balizas nas extremidades do trecho, com o operador 
posicionado antes da primeira baliza e o auxiliar posicionado entre esta e o 
extremo oposto, 1º passo, o operador orienta o posicionamento da balizaportada pelo auxiliar, de forma que a projeção da mesma esteja sobreposta 
às balizas inicial e final. 
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3. Uma vez feito o primeiro alinhamento, o operador avança até a posição do 
auxiliar e o auxiliar avance novamente entre esta posição e o extremo final 
do alinhamento, 2º passo, e repete-se o procedimento do 1º passo. 
4. Repetir os procedimentos até a extremidade final do trecho. 
Uma outra forma de se estabelecer o alinhamento é substituir o 2º passo, pelo 
procedimento alternativo indicado na figura 9, e que consiste no seguinte: o ope-
rador pode ultrapassar o auxiliar e posiciona sua baliza de fora a se sobrepor com 
as balizas inicial e a baliza do auxiliar. Neste caso o procedimento é repetido até 
que se encontre a extremidade final. 
2.16.2 Procedimento para realização de um alinhamento com balizas, quando não há visi-
bilidade entre os extremos 
Quando se necessita realizar alinhamentos numa direção onde não há visibilidade 
de todo o percurso, como nos levantamentos em uma coxilha, o alinhamento é fei-
to por tentativas de aproximação, da seguinte forma: 
1. Inicialmente são posicionados dois auxiliares, um em cada extremidade do 
trecho a ser alinhado, com as balizas em posição vertical, e um terceiro auxi-
liar e o operador posicionados entre os dois primeiros, conforme figura 10, de 
forma que o operador e o terceiro auxiliar possam ver as balizas posicionadas 
nos extremos. 
Figura 10 - Forma de realização de balizamento para alinhamento de percurso sem visibilidade entre as extremidades
2. Assim posicionados, o operador orienta o terceiro auxiliar para que posicione 
a baliza no alinhamento entre a baliza do operador e a baliza posicionada no 
vértice do extremo oposto ao operador. 
3. Uma vez estabelecido o alinhamento das balizas entre o operador e o terceiro 
auxiliar, este auxiliar assume a mesma tarefa, que é de reposicionar a baliza 
do operador com a da extremidade oposta ao terceiro auxiliar. 
4. Esta operação vai se alternando entre operador e terceiro auxiliar até que 
não seja necessário novos reposicionamentos. 
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Apostila de Topografia - Professor Olindo Savi - 2009 
Uma vez estabelecidos os posicionamentos das balizas do operador e do terceiro 
auxiliar, está estabelecido o alinhamento, e havendo necessidades de se fazer o 
percurso entre estas balizas com alinhamentos, os mesmos serão feitos como des-
crito em 2.16.1. 
2.17 Métodos para levantamento planimétrico 
Os levantamentos planimétricos podem ser feitos por métodos diretos, que são 
métodos de levantamento com teodolitos, estações totais, bússolas, trenas, distan-
ciômetros, GPS, etc., ou por métodos indiretos, que são métodos que se utilizam 
da taqueometria, da fotogrametria, e outros. 
Os métodos diretos são geralmente utilizados para levantamentos de pequenas á-
reas ou para levantamentos que requerem melhor precisão, excetuando-se o uso 
do GPS que possui a mesma precisão, tanto em pequenas, quanto em grandes á-
reas. Os métodos indiretos são geralmente utilizados para levantamentos de gran-
des áreas, ou para levantamentos que não necessitam de grande precisão. 
O GPS geodésico é um instrumento de grande precisão para levantamento por mé-
todo direto, contudo seu uso ainda é pouco difundido pelo elevado custo do equi-
pamento. 
Para os métodos tradicionais, existem basicamente três formas para levantamen-
tos planimétricos, que são: por ordenadas, por irradiação e por caminha-
mento. 
A triangulação é também um método direto, utilizado quando não se dispõe de 
teodolito ou bússola, e então com o uso de trena e balizas o levantamento pode 
ser feito e com grande precisão. A limitação deste método é que sua aplicação fica 
limitada para grandes áreas, pelas dificuldades de sua realização. 
A seguir, trataremos dos quatro métodos diretos básicos, que são: por ordenadas, 
por irradiação, por caminhamento e por triangulação. 
2.17.1 Método de levantamento planimétrico por ordenadas - método direto: 
O método de levantamento planimétrico por ordenadas utiliza-se do sistema de 
coordenadas retangulares (cartesianas) como referência. Para sua aplicação, é ne-
cessário que se definam dois alinhamentos de referencia que sejam ortogonais en-
tre si, chamados de abscissas (que representaremos neste trabalho como "x") e de 
ordenadas (que representaremos aqui representado por "y"). 
Assim sendo, o levantamento é feito a partir de alinhamentos com direções conhe-
cidas ou pré-estabelecida, e que possuem uma origem também definida, e consis-
te em se fazer o levantamento das distâncias dos pontos, medindo-os ortogonal-
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Apostila de Topografia - Professor Olindo Savi - 2009 
mente aos eixos das coordenadas (eixos imaginários pré-estabelecidos), conforme 
figura 11. 
Figura 11 - Sistema para levantamento planimétrico por ordenadas 
O levantamento planimétrico por ordenadas é utilizado basicamente em pequenas 
áreas ou no levantamento de benfeitorias existentes, localizadas entre muros que 
servem de alinhamento, o que só pode ser feito quando o alinhamento dos muros 
se mostrarem confiáveis. 
Utiliza-se também o sistema de coordenadas no levantamento de detalhes de um 
polígono, levantamento do traçado de estradas, levantamento de conformação de 
rios, etc. 
2.17.2 Método de levantamento planimétrico por irradiação - método direto: 
O método de levantamento planimétrico por irradiação, se utiliza dos conceitos de 
coordenadas polares, que consiste na medição de uma distância e um ângulo, para 
referenciar um determinado ponto, em relação à outro ponto e alinhamento previ-
amente conhecidos e devidamente orientados. 
Figura 12 - Sistema para levantamento planimétrico por irradiação 
O método de levantamento planimétrico por irradiação é utilizado como método 
principal de levantamento quando é possível posicionar o equipamento em um lo-
cal privilegiado no polígono e a partir desta estação, serem possíveis as visadas de 
todos os vértices deste polígono, o que normalmente acontece em levantamentos 
de pequenas áreas. 
Este método porém é empregado como complementar a outros métodos, no le-
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vantamento de detalhes e benfeitorias existentes. 
Não é aconselhável a sua utilização como método principal de levantamento, pois 
um erro de leitura dificilmente poderá ser detectado, diferente de outros métodos 
que possuem forma de aferição do levantamento, como é o caso do método de le-
vantamento planimétrico por caminhamento. 
2.17.3 Método de levantamento planimétrico por caminhamento - método direto: 
O método de levantamento planimétrico por caminhamento, consiste em se per-
correr os limites do polígono, vértice a vértice, medindo-se em cada vértice e lado 
o ângulo (azimute ou ângulo interno) e a distância. 
É um dos melhores métodos de levantamento a teodolito e trena, pois confere me-
lhor rigor nas operações. Nas operações de levantamento de poligonais fechadas, 
este método possibilita a detecção de possíveis erros, e assim fornece a oportuni-
dade de se fazer correções de ajustes necessários. 
Este método é considerado o principal método de levantamento, e é sempre prefe-
rível em relação aos demais, pois possibilita ao se realizar o levantamento por me-
dição de azimutes (azimutes acumulados), de se verificar, ainda no campo, o erro 
de fechamento angular. 
2.17.4 Método de levantamento planimétrico por triangulação - métododireto: 
O método de levantamento planimétrico por triangulação é utilizado quando não 
se dispõe de teodolito, bússola ou outra forma de medição de ângulos horizontais. 
Consiste na divisão do polígono em triângulos, e a partir das medidas horizontais 
dos lados destes triângulos, com o uso da geometria e trigonometria, determinar 
os ângulos internos dos triângulos decompostos, e por acumulação, a determina-
ção dos ângulos internos da poligonal. 
2.18 Escolha do método de levantamento planimétrico 
A escolha do método de levantamento depende da complexidade do trabalho a ser 
realizado e também da disponibilidade de equipamentos apropriados. Cada traba-
lho tem sua particularidade e característica. 
2.18.1 Método de levantamento planimétrico por caminhamento: 
É o melhor método para levantamento de poligonais, pois despende menor tempo 
de campo e, nos casos de poligonais fechadas, possibilita a verificação de erros de 
fechamento e consequentemente de realizar as devidas correções. 
Neste método, o levantamento de ângulos por azimutes acumulados se constitui 
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na melhor escolha, pois possibilita, ainda no campo, a verificação de erros de fe-
chamento angular. 
2.18.2 Método de levantamento planimétrico por irradiação: 
É o método recomendado, como procedimento complementar, para o levantamen-
to de detalhes e benfeitorias. 
2.18.3 Método de levantamento planimétrico por coordenadas: 
É o método utilizado para levantamento de detalhes e benfeitorias, quando se pos-
sui alinhamentos definidos e confiáveis, que podem ser utilizados como referências 
para o levantamento, e também para os casos de levantamentos expeditos. Este 
método é bastante utilizado nos levantamentos urbanos, quando os alinhamentos 
dos muros e cercas são verificados e considerados confiáveis. 
2.18.4 Método de levantamento planimétrico por triangulação: 
Utilizado basicamente quando não se dispõe de equipamentos tipo teodolitos ou 
similares, para levantamento de pequenas áreas. 
2.19 Procedimentos para levantamentos planimétricos 
Nesta seção serão tratadas as formas de levantamento planimétrico com o uso de 
trena, por triangulação e de teodolitos, por leituras de azimutes acumulados e ân-
gulos internos e por irradiação. 
2.19.1 Levantamentos planimétricos com o uso da trena - processo por triangulação: 
O levantamento planimétrico com a utilização de trena, sem uso de equipamentos 
para leitura de ângulos, é utilizado no reconhecimento de áreas (levantamentos 
preliminares) ou quando não há disponibilidade de bússolas, teodolitos, etc. 
Para o levantamento, são observados os seguintes passos: 
1 - Reconhecimento de todos os vértices da poligonal (terreno). Nesta etapa é 
elaborado um croqui (esquema) aproximado da poligonal, devidamente ano-
tado na caderneta de campo. É nesta etapa que são observadas as dificulda-
des para se proceder o levantamento, e definidas as diagonais a serem levan-
tadas (triangulação a ser feita); 
2 - Demarcação dos vértices, com a colocação de piquetes, acompanhados das 
estacas de reconhecimento; 
3 - Medição dos lados do polígono e das diagonais pré-estabelecidas (triângulos). 
A medida é feita com a utilização da trena, conforme 2.11.1; 
4 - Levantamento dos detalhes. Os detalhes são levantados através da medição 
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da distância dos pontos a pelo menos dois vértices conhecidos do polígono; 
5 - Cálculos para a obtenção dos ângulos, azimutes, rumos e áreas: 
Exemplo 13: 
Fazer o levantamento planimétrico do polígono abaixo, com 5 lados, com o uso da 
trena: 
 
Etapa 1: Reconhecimento e planejamento do trabalho. 
Nesta etapa do trabalho, depois de reconhecido o local, são estabelecidas as dia-
gonais a serem levantadas, isto é, fazendo-se a divisão do polígono em triângulos, 
de forma que cada um dos vértices pertença a um triângulo, sempre se levando 
em consideração a praticidade do levantamento e o tempo despendido, tanto no 
campo quanto no escritório. Neste exemplo o polígono foi dividido em na seguinte 
triangulação: 1-4-5; 1-2-4 e 2-3-4, figura abaixo: 
 
Etapa 2: Levantamento de campo: 
Nesta etapa são feitas as medições de campo, onde, para este exemplo, foram ob-
tidas as dimensões informadas na figura acima. 
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Etapa 3: Cálculos: 
Nesta etapa são feitos todos os cálculos necessários para a finalização do trabalho. 
Cálculo dos ângulos internos e áreas de cada triângulo decomposto: 
A obtenção da área e dos ângulos internos de cada triângulo se faz com a utiliza-
ção das fórmulas da geometria e trigonometria. 
Cálculo dos ângulos internos: 
A obtenção dos ângulos internos se dá com a utilização da lei dos co-senos, 
Âcoscb2cba 222  . Se Chamarmos de “” o ângulo correspondente ao 
lado “a”, “” o correspondente ao lado “b”, e “” o correspondente ao lado “c”, 
conforme figura abaixo, os valores serão obtidos pelas seguintes fórmulas: 





cb2
acbCosarc
222
; 




ca2
bcaCosarc
222
; e 




ba2
cbaCosarc
222
; 
e a área será determinada por: 
     csbsassÁrea  , onde: 
2
cbas  . 
Assim, são obtidos os seguintes resultados: 
 
Triângulo 1-4-5: 
a = 48; b = 77 e c = 50, conduzindo a 1 = 37,3018º; 1 = 103,5548º e 1 = 
39,1434º; e área de 1.166,576 m2; 
Triângulo 1-2-4: 
a = 64; b = 77 e c = 36, conduzindo a 2 = 55,6398º; 2 = 96,6923º e 2 = 
27,6680º; e área de 1.144,151 m2 
Triângulo 2-3-4: 
a = 64; b = 50 e c = 53, conduzindo a 3 = 76,7696º; 3 = 49,5095º e 3 = 
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Apostila de Topografia - Professor Olindo Savi - 2009 
53,7209º; e área de 1.289,831 m2. 
Determinação dos ângulos internos do polígono: 
Vértice 1: 
Ai1 = 1 + 2 = 37,3018º + 55,6398º = 92,9414º = 92º 56’ 30”; 
Vértice 2: 
Ai2 = 2 + 3 = 96,6923º + 49,5095º = 146,2018º = 146º 12’ 06”; 
Vértice 3: 
Ai3 = 3 = 76,7696º = 76º 46’ 11”; 
Vértice 4: 
Ai4 = 1 + 2 + 3 = 39,1434º + 27,6680º + 53,7209º = 120,5323º = 120º 31’ 
56”; 
Vértice 5: 
Ai5 = 1 = 103,5548º = 103º 33’ 17”; 
Área do polígono: 
Área = 1.166,576 + 1.144,151 + 1.289,831 = 3.600,558; 
Os resultados obtidos, estão informados na figura abaixo: 
 
Cálculos dos azimutes: 
Neste exemplo foi fornecido o azimute do alinhamento "1-5", que é 48º. Como foi 
adotado neste trabalho o caminhamento à direita, o azimute que nos interessa 
como ponto de partida é o azimute de "1-2", que será o azimute de "1-5", acresci-
do do ângulo interno do vértice "1", ou seja: 
Az1 = 48º + 92º 56’ 30” = 140º 56’ 30”. Os demais azimutes serão calculados pela 
fórmula: Azn = Azn-1  Ain  180º, como o caminhamento é à direita o termo “ A-
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in” será “+ Ain”, conforme visto anteriormente. 
Desta forma os valore dos azimutes serão: 
Az2 = Az1 + Ai2  180 = 140º 56’ 30” + 146º 12’ 06” - 180º = 107º 08’ 36”; 
Az3 = Az2 + Ai3  180 = 107º 08’ 36” + 76º 46’ 11” - 180º = 3º 54’ 47”; 
Az4 = Az3 + Ai4  180 = 3º 54’ 47” + 120º 31’ 56” + 180º = 304º 26’ 43”; 
Az5 = Az4 + Ai5  180 = 304º 26’ 43” + 103º 33’ 17” - 180º = 228º 00’ 00”; 
Obtenção dos Rumos: 
Alinhamento 1-2: 
O azimute do alinhamento "1-2" (Az1), que é 140º 56’ 30” está localizado no 2º 
quadrante, portanto