Biot Savart resumo

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capítulo 5�q 138
45°
x
y
z
i
B
&
1,2sen45°
1,2cos45°
F = 16,97 k
&&
ATENÇÃO
Corrente não é vetor. O sentido do fluxo das cargas é indicado pelo vetor d l
r
, e não 
por i. Se o condutor for curvo, a corrente i será a mesma em todos os pontos ao longo do seu 
comprimento, mas d l
r
 mudará de direção e sentido. 
Na figura a seguir, o campo magnético 
r
B é uniforme e perpendicular ao plano da figura, 
para dentro do plano da página. O condutor possui um segmento retilíneo de comprimento 
L no lado esquerdo. A seguir, o fio continua sobre uma semicircunferência de raio R. O con-
dutor transporta uma corrente i. Calcule a força magnética total sobre os segmentos do fio.
y
R
XB
i
x
i
L
&
capítulo 5�q 139
Lei de Biot-Savart
Na eletrostática, a Lei de Coulomb permite analisar a relação entre o campo 
elétrico e as cargas elétricas. Será que existe uma lei correspondente para o mag-
netismo? A resposta é sim, e ela é conhecida como Lei de Biot-Savart, que será 
discutida a seguir. Como foi visto anteriormente, deƒnimos o campo magnético 
por meio da força magnética. Agora queremos deƒni-lo por meio de sua fonte, 
que é a corrente elétrica.
Segundo o livro Introduction to Electrodynamics, de Gri!ths, D.J. p .215, 
cargas estacionárias produzem campos elétricos que são constantes no tempo 
(eletrostática), e correntes invariáveis ou estáveis produzem campos magnéticos 
constantes (magnetostática). Entende-se que correntes invariáveis ou estáveis não 
existem na prática, assim como não existem cargas totalmente estáticas. Por isso, 
tanto a eletrostática como a magnetostática descrevem mundos artiƒciais onde 
as "utuações reais são razoavelmente lentas. Na verdade, para a maioria dos efei-
tos, a magnetostática se aplica muito bem às correntes domésticas, que alternam 
60 vezes por segundo!
Quando uma corrente invariável "ui em um ƒo, sua magnitude I deve ser a 
mesma ao longo do ƒo. Caso contrário, a carga seria acumulada em algum lugar, 
e não seria uma corrente estável. Da mesma forma, a densidade volumétrica de 
carga elétrica (ρ) é constante ou 
∂
∂
=
ρ
t
0
Como isso se aplica a qualquer volume, concluímos que, porque a carga é 
conservada, o que "ui para fora através da superfície deve vir à custa daquele que 
permanece dentro de um volume V. O sinal negativo re"ete o fato de que um "u-
xo externo diminui a carga deixada em V. Na magnetostática, a equação da conti-
nuidade (6), que é a aƒrmação matemática precisa para conservação de carga local.
∇ ⋅ = − ∂
∂
J
t
ρ
torna-se
∇ ⋅ =J 0
capítulo 5�q 140
Divergente da densidade de corrente é zero na magnetostática.
O campo magnético de uma corrente invariável é dado pela lei de Biot-Savart:
r
r
r
B r
I dl r
r
( ) = ×∫µpi0 24 ˘
u
0
 = constante de permeabilidade do vácuo.
r^ é o vetor unitário
r˘
r
r
=
r
r
A equação (7) é a Lei de Biot-Savart. Podemos usar essa lei para determinar 
o campo magnético 
r
B produzido em qualquer ponto do espaço por uma corrente 
invariável que "ui em um circuito completo.
Aplicações da Lei de Biot-Savart
Campo magnético de um "o único
Um condutor retilíneo longo conduz uma corrente invariável de 1,0 A. Para 
qual distância, a partir do eixo do condutor, o módulo do campo magnético pro-
duzido pela corrente é igual ao módulo aproximado do campo magnético médio 
da Terra, que é de 0,5 · 10-4 T?
P
y
xx
l
2
– l
2
r
&
capítulo 5�q 141
r
r
r r
r
r r
r
r r r
B
i dl r
r
d l d x i
r x i y j
B
i dx i x i y j
=
×
=
= − +
=
× − +
∫
∫
µ
pi
µ
pi
0
2
0
4
4
˘
(( )
+( )
=
+( )∫
x y
B
i y dx
x y
k
2 2
3
2
0
2 2
3
2
4
r rµ
pi
Usando que 
∫
+( )
=
+
dx
x y
y
x
x y2 2
3
2
2 2 2
1
E integrando nos limites de −
l
2
 até 
l
2
r r
r r
B
i y
y
x
x y
k
B
i
y
l
l
y
k
=
+
=
  +
µ
pi
µ
pi
0
2 2 2
0
2
2
4
4
2
2
2
Se considerarmos o ƒo inƒnito l >>y
r r
r r
B
i
y
l
l
k
B
i
y
k
=
=
µ
pi
µ
pi
0
0
4 2
2
2
2
Calculando a distância 
y
i
B
m= =
⋅ ⋅
=
⋅
−
−
µ
pi pi
0
7
42
410 1
2 0 5 10
0 004r
,
,
capítulo 5�q 142
COMENTÁRIO
O campo magnético deve ter o mesmo módulo em todos os pontos sobre uma circunfe-
rência centralizada no fio condutor e situada em um plano perpendicular a ele, e a direção de 
r
B é dada pela tangente em cada um dos pontos dessa circunferência. Logo, em qualquer 
ponto ao longo de uma circunferência de raio r, centralizada no condutor, o módulo 
r
B é 
dado por
r
B
i
r
=
µ
pi
0
2
Próximo de um condutor longo e retilíneo que transporta corrente
Campo magnético no eixo de uma espira circular. Calcule o campo magné-
tico no eixo de uma espira circular em um ponto P. L
dl
T
TR
O
I
x xP
90° – T
&
dv
&
dBy
&
dBx
&
dB
y
&
r
&
O campo magnético é dado pela Lei de Biot-Savart.
r
r
B
i dl r
r
=
×∫µpi0 24 ˘