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MECÂNICA GERAL – CCE1041
Profº.: Elenildo Silva
Vetores de força
Prof. Elenildo
MECÂNICA GERAL
Objetivos do capítulo
 Mostrar como adicionar forças e decompô-las em componentes
usando a lei do paralelogramo;
 Expressar a força e sua posição na forma de um vetor cartesiano
e explicar como determinar a intensidade e a direção do vetor;
 Introduzir o produto escalar para determinar o ângulo entre dois
vetores ou a projeção de um vetor sobre outro.
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MECÂNICA GERAL
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Leis de Newton
1ª Lei (Princípio da Inércia): Se uma partícula está em
repouso ou em movimento retilíneo uniforme, ela
permanecerá indefinidamente neste estado caso não venha
atuar nela qualquer força ou cuja resultante das forças nela
atuantes seja nula.
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MECÂNICA GERAL
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
2ª Lei (Princípio fundamental da dinâmica):
Se numa partícula de massa m atuar uma força F esta
partícula adquire uma aceleração a na mesma direção e
sentido da força, conforme a seguinte equação:
F = m.a
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MECÂNICA GERAL
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
3ª Lei (Princípio da ação e reação)
A toda ação de uma força corresponde a uma força de
reação com mesma intensidade, mesma direção e sentido
contrário.
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MECÂNICA GERAL
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MECÂNICA GERAL
Definição de Mecânica: É o ramo das ciências físicas
dedicado ao estudo do estado de repouso ou movimento de
corpos sujeitos à ação de forças.
 Mecânica dos corpos rígidos;
 Mecânica dos corpos deformáveis;
 Mecânica dos fluidos.
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MECÂNICA GERAL
Mecânica Geral: Estática dos corpos rígidos, discutindo e
estudando os esforços internos (momento fletor, esforço
cortante, esforço normal e momento torsor) nas estruturas
planas isostáticas correntes na Engenharia Civil, como vigas,
pórticos, grelhas e treliças. Esses esforços internos são
advindos de cargas (esforços externos).
Considerações importantes:
 Diagrama de corpo livre;
 Considerar todas as forças que atuam sobre o corpo;
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Mecânica Geral: 
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MECÂNICA GERAL
Mecânica Geral: 
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MECÂNICA GERAL
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Grandezas Escalares: Uma grandeza escalar é caracterizada por um
número real. Como exemplo de escalares podem se citar: o tempo, a
massa, o volume, o comprimento, etc.
Grandezas Vetoriais:
 Intensidade; 
 Direção; 
 Sentido. 
Na Estática
 Posição;
 Força;
 Momento.
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RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Grandezas Vetoriais:
Representação gráfica de dois vetores força atuando ao longo dos
cabos de fixação de um poste.
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RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Lei dos Senos:
“Num triângulo qualquer a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é
constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita”.
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RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Lei dos Cossenos:
“Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma
dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das
medidas dos dois lados pelo cosseno do ângulo que eles formam”.
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RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Lei do Paralelogramo:
A resultante de duas forças concorrentes é igual à diagonal principal do
paralelogramo que tem como lados iniciais os vetores destas forças.
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RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Regra do Triângulo:
Regra derivada da lei do paralelogramo.
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Exercícios:
1) O parafuso mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine
o módulo e a direção da força resultante.
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Exercícios:
Solução:
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Exercícios:
2) Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com
problemas em seus motores. Sabendo-se que a força resultante é igual a
30kN, encontre suas componentes nas direções AC e BC.
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MECÂNICA GERAL
Exercícios:
2)
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MECÂNICA GERAL
Problema de Engenharia: 
Para um caixote de
75 kg, conforme
ilustrado na figura
ao lado, calcular a
tração nos cabos
AB e AC .
Diagrama Espacial
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Triângulo de Forças
P=m.a
sendo a = g(aceleração
gravitacional) g = 9,81 m/s2
P = 75 kg x 9,81 m/s2
P = 736 N
TAB
TAC
736N
60º
80º
40º
TAB = 647 N
TAB = 480 N
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MECÂNICA GERAL
Atividade Estruturada (2,0):
Critérios para avaliação da ponte:
- Formada por até 600 palitos; - Equipes com três pessoas;
- Não pesar mais do que 550 gramas; - 13/11 e 14/11;
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Pontos importantes
 Escalar é um número positivo ou negativo.
 Vetor é uma quantidade que possui intensidade, direção e
sentido.
 A multiplicação ou divisão de um vetor por um escalar
muda a intensidade do vetor. O sentido dele mudará se o
escalar for negativo.
 Como um caso especial, se os vetores forem colineares, a
resultante será formada pela adição algébrica ou escalar.
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Adição de um sistema de forças coplanares
Quando uma força é decomposta em duas componentes ao
longo dos eixos x e y, as componentes são, então, chamadas
de componentes retangulares.
 notação escalar.
 notação de vetor cartesiano.
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Notação escalar
Como essas componentes formam um triângulo retângulo, suas
intensidades podem ser determinadas por:
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Notação escalar
No entanto,
Como esse triângulo e o triângulo maior sombreado são semelhantes,
o comprimento proporcional dos lados fornece:
e
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Notação vetorial cartesiana
Também é possível representar as componentes x e y de
uma força em termos de vetores cartesianos unitários i e j.
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Notação vetorial cartesiana
Como a intensidade de cada componente de F é
sempre uma quantidade positiva, representada
pelos escalares (positivos) Fx e Fy, então,
podemos expressar F como um vetor cartesiano.
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Resultante de forças coplanares
Qualquer um dos dois métodos descritos pode ser usado para determinar a
resultante de várias forças coplanares. Por exemplo:
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Resultante de forças coplanares
Usando a notação vetorial cartesiana, cada força é
representada como um vetor cartesiano, ou seja,
F1 = F1xi + F1yj
F2 = – F2xi + F2yj
F3 = F3xi – F3yj
O vetor resultante é, portanto,
FR = F1 + F2 + F3
= F1xi + F1yj – F2xi + F2yj + F3xi – F3yj
= (F1x – F2x + F3x) i + (F1y + F2y – F3y) j
= (FRx) i + (FR y) j
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Resultante de forças coplanares
Se for usada a notação escalar, temos então:
(→ + ) FRx = F1x – F2x + F3x
(+ ↑) FRy = F1y + F2y – F3y
As componentes da força resultante de qualquer número de forças
coplanares podem ser representadas simbolicamente pela soma
algébrica das componentes x e y de todas as forças, ou seja,
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MECÂNICA GERAL
Resultante de forças coplanares
Uma vez que estas componentes são determinadas, elas
podem ser esquematizadas ao longo dos eixos x e y com
seus sentidos de direção apropriados, e a força
resultante pode ser determinada pela adição vetorial.
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MECÂNICA GERAL
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MECÂNICA GERAL
Resultante deforças coplanares
Pelo esquema, a intensidade de FR é determinada pelo teorema de
Pitágoras, ou seja,
Além disso, o ângulo θ, que especifica a direção da força resultante, é
determinado através da trigonometria:
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MECÂNICA GERAL
Pontos importantes
 A resultante de várias forças coplanares pode ser determinada
facilmente se for estabelecido um sistema de coordenadas x e y e as
forças forem decompostas ao longo dos eixos.
 A direção de cada força é especificada pelo ângulo que sua linha de
ação forma com um dos eixos, ou por um triângulo da inclinação.
 A orientação dos eixos x e y é arbitrária e sua direção positiva pode ser
especificada pelos vetores cartesianos unitários i e j.
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Exercícios
1) O elo da figura está submetido as forças F1 e
F2, determine a intensidade e a orientação da
força resultante.
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Exercícios
2) A extremidade da barra está submetida a três
forças concorrentes e coplanares. Determine a
intensidade e a orientação da força resultante.
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Bibliografia Complementar
• FONSECA, Adhemar. Curso de Mecânica - Vol. 2, 2ª ed. Rio de
Janeiro, LTC - Livros Técnicos e Científicos, 1974.
• MERIAM, James L. Estática, Rio de Janeiro, LTC - Livros Técnicos
e Científicos, 1999.
• FRANÇA, Luis Novaes Ferreira e MATSUMURA, Amadeu Z.,
Mecânica Geral, São Paulo, Edgard Blücher, 2001
• SHAMES, Irving H. Estática: Mecânica para engenheiros. 4ª ed.
São Paulo, Pearson Education do Brasil, 2002.
• MELCONIAN, Sarkis. Mecânica Técnica e Resistência dos
Materiais. 19 ed. São Paulo: Érica, 2014