Bases Matemáticas Parte 1

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Bases Matemáticas para Engenharia 
Prof. Antônio Marcos de Lima Araújo 
 
AMARTEMÁTICA 
2 Antônio Marcos de Lima Araújo 
 
AMARTEMÁTICA 
3 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Sinais, símbolos e significados. 
Os números literais como ݔ, ݕ; os índices (݅, ݆, ݇); as constantes (ܽ, ܾ, ܿ); os elementos dos 
conjuntos e; funções são impressos em itálico (inclinado). 
Os números, na forma de dígitos, são impressos em estilo romano (vertical). 
Os conjuntos são impressos em letras maiúsculas itálicas ܣ, ܤ, ܥ. 
A Tabela 1 lista alguns dos sinais e símbolos mais utilizados, e seus equivalentes verbais de acordo 
com a norma NBR ISO 80000-2 (ABNT, 2012). 
Sinal, símbolo, 
expressão 
Significado, 
equivalente verbal Observações e exemplos 
Lógica 
݌ ⟹ ݍ ݌ implica ݍ; se ݌, então q ⟹ é o símbolo de implicação. 
݌ ⟺ ݍ ݌ é equivalente a ݍ ⟺ é o símbolo de equivalência. 
ݔ ⟶ ܽ ݔ tende para ܽ 
∀ݔ para todo ݔ ∀ é o quantificador universal. 
∃ݔ existe um ݔ ∃ é o quantificador universal e existencial. 
∃! ݔ existe exatamente um ݔ 
| tal que ∃ݔ|ݔ > 0 (existe um ݔ tal que ݔ é maior que zero). 
 
Conjuntos 
ݔ ∈ ܣ ݔ pertence a ܣ, ݔ é elemento do conjunto ܣ 
ݕ ∉ ܣ ݕ não pertence a ܣ, ݕ não é elemento do conjunto ܣ 
{ݔଵ, ݔଶ, ⋯ , ݔ௡} conjunto com elementos ݔଵ, ݔଶ, ⋯ , ݔ௡ {ݔ௜|݅ ∈ ܰ}, onde ݅ significa um conjunto de subscritos. 
{ݔ ∈ ܣ|݌(ݔ)} conjunto daqueles elementos de ܣ para os quais a proposição ݌(ݔ) é verdadeira EXEMPLO {ݔ ∈ ℤ|ݔ ≤ 4} = {0, 1, 2, 3, 4} 
card ܣ número de elementos em ܣ A cardinalidade pode ser um número transfinito. 
∅ conjunto vazio 
ܣ ∪ ܤ união de ܣ e ܤ Conjunto dos elementos que pertencem a ܣ e ܤ ou a ambos. 
ܣ ∩ ܤ interseção de ܣ e ܤ Conjunto dos elementos que pertencem a ܣ e ܤ. 
ܣ\ܤ diferença de ܣ e ܤ, ܣ menos ܤ Conjunto dos elementos que pertencem a ܣ, porém não a ܤ. Convém que ܣ − ܤ não seja utilizado. 
(ܽ, ܾ) par ordenado ܽ,ܾ; par ܽ,ܾ Se a vírgula puder ser confundida, então o ponto e vírgula (;) ou um traço separador (|) pode ser utilizado como separador. 
ܣ × ܤ Produto cartesiano dos conjuntos A e B Conjunto de pares ordenados (ܽ, ܾ) de modo que ܽ ∈ ܣ e ܾ ∈ ܤ 
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Conjuntos numéricos 
ۼ ou ℕ conjunto dos números naturais ۼ = {0,1,2,3, ⋯ } 
܈ ou ℤ conjunto dos números inteiros ܈ = {⋯ , −2 − 1,0,1,2, ⋯ } 
ۿ ou ℚ conjunto dos números racionais 
܀ ou ℝ conjunto dos números reais 
۱ ou ℂ conjunto dos números complexos 
 
Intervalos 
 
[ܽ, ܾ] intervalo fechado de ܽ incluído até ܾ incluído [ܽ, ܾ] = {ݔ ∈ ℝ|ܽ ≤ ݔ ≤ ܾ} 
(ܽ, ܾ] intervalo semiaberto à esquerda de ܽ excluído até ܾ incluído (ܽ, ܾ] = {ݔ ∈ ℝ|ܽ < ݔ ≤ ܾ} 
[ܽ,ܾ) intervalo semiaberto a direita de ܽ incluído até ܾ excluído [ܽ, ܾ] = {ݔ ∈ ℝ|ܽ ≤ ݔ < ܾ} 
(ܽ, ܾ) intervalo aberto de ܽ excluído até ܾ excluído (ܽ, ܾ) = {ݔ ∈ ℝ|ܽ < ݔ < ܾ} 
 
Comparações 
ܽ = ܾ ܽ é igual a ܾ 
ܽ ≠ ܾ ܽ é diferente de ܾ 
ܽ ∶= ܾ ou ܽ ≝ ܾ ܽ é por definição igual a ܾ 
ܽ~ܾ ou ܽ ∝ ܾ ܽ é proporcional a ܾ 
ܽ < ܾ ܽ é menor que ܾ 
ܽ > ܾ ܽ é maior que ܾ 
ܽ ≤ ܾ ܽ é menor ou igual a ܾ 
ܽ ≥ ܾ ܽ é maior ou igual a ܾ 
 
Operações 
ܽ + ܾ ܽ mais ܾ 
ܽ − ܾ ܽ menos ܾ 
ܽ ∙ ܾ ܽ vezes ܾ Alternativas, ܽ × ܾ, ܽ ܾ, ܾܽ. O ponto ou a cruz de altura média. 
ܽ/ܾ ܽ dividido por ܾ Alternativas, ௔௕ , ܽ ∙ ܾିଵ 
ܽ௣ ܽ elevado a potência ݌ 
̅ݔ valor médio de ݔ, média aritmética de ݔ 
sgn ܽ sinal de ܽ sgn ܽ = ൝ 1, ܽ > 00, ܽ = 0−1, ܽ < 0 , ܽ ∈ ℝ, 
abs ܽ módulo de ܽ, valor absoluto de ܽ Alternativa, |ܽ| 
int ܽ parte inteira do número real ܽ 
frac ܽ parte fracionária do número real ܽ 
min(ܽ, ܾ) mínimo de a e b. 
max(ܽ, ܾ) máximo de a e b. 
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݊! fatorial de ݊ ݊! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ⋯ ∙ ݊ (݊ > 0), 0! ≝ 1 
 
Geometria 
AB ∥ CD A linha reta AB é paralela à linha reta CD 
AB ⊥ CD A linha reta AB é perpendicular à linha reta CD 
∢ABC ângulo no vértice B no triângulo ABC 
݀(A, B) distância entre os pontos A e B 
 
Especiais 
∞ infinito Não denota um número. 
e base do logaritmo natural e ≝ lim௡→ஶ ൬1 +
1
݊൰
௡ = 2,718 281 8 ⋯ 
ߨ razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro ߨ = 3,141 592 6 ⋯ 
Tabela 1: Lista de sinais e símbolos matemáticos, 
 
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Índice 
SINAIS, SÍMBOLOS E SIGNIFICADOS. .............................................................................................................................. 3 
OBJETOS E AÇÕES MATEMÁTICAS BÁSICAS ................................................................................................................. 11 
OBJETOS BÁSICOS ................................................................................................................................................................ 12 
AÇÕES MATEMÁTICAS BÁSICAS ............................................................................................................................................... 14 
CONTAGEM ........................................................................................................................................................................ 15 
ADIÇÃO ............................................................................................................................................................................. 16 
SUBTRAÇÃO ........................................................................................................................................................................ 17 
MULTIPLICAÇÃO .................................................................................................................................................................. 19 
DIVISÃO ............................................................................................................................................................................. 19 
POTENCIAÇÃO ..................................................................................................................................................................... 20 
POTENCIAÇÃO RACIONAL UNITÁRIA ......................................................................................................................................... 25 
LOGARITMO........................................................................................................................................................................ 29 
DEFINIÇÕES ASSOCIADAS ....................................................................................................................................................... 33 
CONJUNTOS NUMÉRICOS ....................................................................................................................................................... 34 
LEIS E PROPRIEDADES DAS AÇÕES ELEMENTARES ......................................................................................................................... 37 
PRINCÍPIO DA AÇÃO INDIVIDUALIZADA ...................................................................................................................................... 47 
REGRAS DE SINAIS ................................................................................................................................................................
49 
EXPRESSÕES ................................................................................................................................................................ 53 
AÇÕES INTRAEXPRESSÃO ....................................................................................................................................................... 55 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS ....................................................................................................................................................... 59 
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS ....................................................................................................................................................... 71 
PRODUTOS NOTÁVEIS ................................................................................................................................................. 90 
QUADRADO DA SOMA DE BINÔMIOS ........................................................................................................................................ 90 
QUADRADO DA DIFERENÇA DE BINÔMIOS ................................................................................................................................. 91 
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE BINÔMIOS .................................................................................................................... 91 
CASOS FREQUENTES ............................................................................................................................................................. 92 
FATORAÇÃO ................................................................................................................................................................ 93 
FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA ............................................................................................................................................... 93 
DIFERENÇA DE QUADRADOS ................................................................................................................................................... 93 
TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO ............................................................................................................................................ 93 
CUBO DA SOMA E DA DIFERENÇA ............................................................................................................................................. 93 
FATORAÇÕES POLINOMIAIS .................................................................................................................................................... 94 
DIVISÃO POR ZERO ............................................................................................................................................................... 96 
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PROPORCIONALIDADE ................................................................................................................................................. 97 
RAZÃO ............................................................................................................................................................................... 97 
PROPORÇÕES E ESCALA ......................................................................................................................................................... 98 
REGRA DE TRÊS SIMPLES ...................................................................................................................................................... 101 
PORCENTAGEM ................................................................................................................................................................. 105 
PROPORCIONALIDADE EM TRIÂNGULOS RETÂNGULOS ............................................................................................. 108 
RELAÇÕES NO TRIANGULO RETÂNGULO .................................................................................................................................. 109 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS .......................................................................................................................................... 113 
TRIÂNGULOS RETÂNGULOS ESPECIAIS ..................................................................................................................................... 115 
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA ...................................................................................................................................... 118 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS................................................................................................................................. 122 
EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................................................... 125 
VETORES .................................................................................................................................................................... 126 
ELEMENTOS BÁSICOS .......................................................................................................................................................... 126 
ADIÇÃO DE VETORES ........................................................................................................................................................... 127 
REPRESENTAÇÕES .............................................................................................................................................................. 129 
MATRIZES .................................................................................................................................................................. 134 
HOMOGENEIDADE MATRICIAL .............................................................................................................................................. 135 
IGUALDADE DE MATRIZES .................................................................................................................................................... 135 
TIPOS DE MATRIZES ............................................................................................................................................................ 136 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES ...................................................................................................................................... 139 
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES .............................................................................................................................................. 142 
DETERMINANTE DA MATRIZ ................................................................................................................................................. 147 
RELAÇÕES E FUNÇÕES ............................................................................................................................................... 154 
DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................................................... 154 
RELAÇÃO E FUNÇÃO (OPCIONAL) ........................................................................................................................................... 159 
VALOR DA FUNÇÃO ............................................................................................................................................................ 161 
PONTOS ESPECIAIS ............................................................................................................................................................. 162 
CARACTERÍSTICAS ESPECIAIS .................................................................................................................................................
165 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA ................................................................................................................................................... 175 
OPERAÇÕES ENTRE FUNÇÕES (OPCIONAL) ............................................................................................................................... 179 
TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO DA FUNÇÃO (OPCIONAL).................................................................................................................. 184 
FUNÇÕES BÁSICAS ..................................................................................................................................................... 192 
FUNÇÃO POTÊNCIA ............................................................................................................................................................ 192 
FUNÇÃO MONÔMIO .......................................................................................................................................................... 195 
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FUNÇÃO POLINOMIAL ......................................................................................................................................................... 201 
FUNÇÃO CONSTANTE .......................................................................................................................................................... 224 
FUNÇÃO LINEAR ................................................................................................................................................................ 229 
FUNÇÃO AFIM OU DO 1º GRAU ............................................................................................................................................. 235 
FUNÇÃO QUADRÁTICA OU DO 2º GRAU .................................................................................................................................. 251 
FUNÇÃO CÚBICA OU DO 3º GRAU .......................................................................................................................................... 266 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS............................................................................................................................... 267 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................................................................................... 277 
FUNÇÃO RACIONAL ALGÉBRICA (OPCIONAL) ............................................................................................................................ 281 
CONSIDERAÇÕES SOBRE SIMETRIA DAS FUNÇÕES (OPCIONAL) ..................................................................................................... 288 
INVESTIGAÇÃO NOS LIMITES DA FUNÇÃO ................................................................................................................. 290 
PRELIMINARES .................................................................................................................................................................. 291 
PROPÓSITO ...................................................................................................................................................................... 292 
DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE .............................................................................................................................................. 297 
TEOREMAS DOS LIMITES ...................................................................................................................................................... 299 
LIMITES ESPECIAIS .............................................................................................................................................................. 300 
LIMITE DA FUNÇÃO CONTÍNUA ............................................................................................................................................. 303 
LIMITE DE FUNÇÕES DESCONTÍNUAS ...................................................................................................................................... 310 
APLICAÇÕES ...................................................................................................................................................................... 316 
LABORATÓRIO DE LIMITES .................................................................................................................................................... 330 
ANEXO 1: PRINCÍPIOS ................................................................................................................................................ 335 
PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO ......................................................................................................................................... 335 
PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO ........................................................................................................................................ 335 
PRINCÍPIO DA IGUALDADE .................................................................................................................................................... 335 
PRINCÍPIO DA ECONOMIA MATEMÁTICA ................................................................................................................................. 336 
ANEXO 2 – BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA .............................................................................................. 337 
EMENTA .......................................................................................................................................................................... 337 
UNIDADES ........................................................................................................................................................................ 337 
ENCAMINHAMENTO ........................................................................................................................................................... 339 
REFERÊNCIAS ............................................................................................................................................................. 340 
 
 
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Objetos e ações matemáticas básicas 
As linguagens foram desenvolvidas pelo mesmo ser, empregam lógicas, princípios, objetos, 
relações, estruturas e gramáticas semelhantes. 
Os indicativos de substância. Os substantivos, nomes, predicativos e números, por exemplo, 
Marcos, bonito, 34, ߨ. 
 O objeto é coisa material que pode ser percebida pelos sentidos, uma coisa física ou 
mental para a qual converge o pensamento. 
 O sujeito é termo de que se fala, de que se afirma ou se nega algo, e ao qual se predicam 
propriedades, qualidades ou determinações. 
 O predicativo é o que se proclama ou atribui e que divulga atributos tidos como 
inerentes e adequados. 
Os verbos são palavras que indicam ação ou estado (resultado de ação). 
 Os indicativos de estado (ou resultado de ação). Os verbos de ligação, relacionais e 
comparadores matemáticos, sempre redutíveis ao verbo ser ou estar, por exemplo, ser, 
estar, permanecer, =, >, ≠. 
 Os indicativos de ações. Os verbos e operações. Por exemplo, andar, correr, adicionar, 
+, −, ×, /. 
A sintaxe é a organização, os princípios e regras que regem a linguagem, que permitem a disposição 
harmoniosa das partes com conexão significativa entre ideias.
As expressões, proposições e equações. Para as declarações, Andreza é bonita, ܽ = 2, 4 é par, por 
exemplo, os substantivos Andreza, ܽ e 4 são os sujeitos. Os verbos ser, = e ser indicam o estado e os 
substantivos bonita, 2 e par são os respectivos predicativos do sujeito. 
A inobservância da sintaxe, do significado das palavras ou de princípios resulta em declarações sem 
sentido ou incompreensíveis, por exemplo, eu morri (?) ou 4/= 2ܽ (?). 
A seguir são organizados os objetos matemáticos da aritmética, os verbos matemáticos e seus 
significados e, em sequencia, algumas das regras fundamentais da gramática matemática. 
 
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Objetos básicos 
Numerais 
Numeral é a classe de palavras que indica quantidade numérica. 
Algumas unidades linguísticas, os prefixos são muito utilizados para flexionar palavras em número, 
para explicitar a quantidade numérica associada à palavra: mono e uno (um), bi e di (dois), tri (três), tetra 
(quatro), penta (cinco), hexa (seis), hepta (sete), octa (oito), ênea (nove), deca (dez); hemi e semi para 
metade e; pluri e poli para quantidades superiores a dois. 
Por exemplo, monociclo (veículo com uma roda); bicicleta (veículo com duas rodas), triângulo 
(figura com três ângulos); pentacampeão (cinco vezes campeão); decatlo (competição com dez provas), 
hemisfério (meia esfera), semicírculo (meio círculo); e polissílaba (formado por muitas silabas). 
O numeral pode ser pode ser cardinal, ordinal, multiplicativo e fracionário. 
O cardinal (ou principal) indica quantidade: um, dois, três,... 
O ordinal indica sequencia: primeiro, segundo,⋯. 
O multiplicativo indica o número de vezes: duplo, triplo,⋯. 
O fracionário indica partes, divisões da unidade: meia, terço, oitavo, ⋯. 
Cardinal (ܽ) Multiplicativo (× ܽ) Fracionário (/ܽ) 
Um Simples, singelo 
Dois Duplo, dobro Meio 
Três Triplo, trino Terço 
Quatro Quadruplo Quarto 
Cinco Quíntuplo Quinto 
Seis Sêxtuplo Sexto 
Sete Sétuplo, séptuplo Sétimo 
Oito Óctuplo Oitavo 
Nove Nônuplo Nono 
Dez Décuplo Décimo 
Onze Undécuplo Onze avos 
Doze Duodécuplo Doze avos 
Cem Cêntuplo Centésimo 
Mil Milésimo 
Milhão Milionésimo 
Bilhão Bilionésimo 
Trilhão Trilionésimo 
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13 Antônio Marcos de Lima Araújo 
O sufixo avo justaposto ao denominador, maior que dez, de uma fração, associa o ordinal 
correspondente e indica a divisão em partes iguais da unidade (p. ex., 1/15 quinze avos; 2/20 dois vinte 
avos; centavos para expressar 1/100). 
Número 
O número cardinal ou número é o conjunto de todos os conjuntos equivalentes entre si. 
Um número é algo que caracteriza certas coleções, a saber, aquelas que têm aquele número. ⋯ O 
número de uma classe é a classe de todas as classes que são similares a ele. ⋯ Os números naturais 
tiveram suas origens nas palavras utilizadas para a contagem de objetos, começando com o número dois, e 
daí por diante. Uma abstração seguinte foi identificar o número um. A abstração posterior foi introduzir o 
número zero (RUSSELL, 2007). 
O sistema decimal utiliza dez símbolos de dígitos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} que em diferentes 
combinações permitem representar as mais diversas quantidades. 
Grafia dos números 
Sobre a grafia dos números (INMETRO, 2007): 
As prescrições, a seguir, não se aplicam aos números que não representam quantidades (por 
exemplo: numeração de elementos em sequencia, códigos de identificação, datas, números de telefone 
etc). 
1. Para separar a parte inteira da parte decimal de um número, é empregada sempre uma vírgula; 
Quando o valor absoluto do número e menor que 1, coloca-se 0 à esquerda da vírgula. 
2. É recomendado que os algarismos da parte inteira e os da parte decimal sejam separados em 
grupos de três a contar da vírgula para a esquerda e a direita, com pequenos espaços entre 
esses grupos (por exemplo, em trabalhos de caráter técnico e científico), mas é também 
admitido que algarismos da parte inteira e os da parte decimal sejam escrito seguidamente (isto 
é, sem separação em grupos). 
3. Os números que representam quantias em dinheiro, ou quantidades de mercadorias, bens ou 
serviços em documentos para efeitos fiscais, jurídicos e/ou comerciais, devem ser escritos em 
separados em grupos de três, a contar da vírgula, para a esquerda e para direita, com pontos 
separando esses grupos entre si. 
 
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14 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Ações matemáticas básicas 
A linguagem matemática permite exprimir e entender relações entre os objetos matemáticos, como 
toda linguagem exige objetos para modelar as coisas ou atributos das coisas (por. ex., números ou 
expressões) e verbos para modelar as ações e estados. 
Os verbos1 indicativos de ação sobre objetos são denominados de operações2. 
 Bitransitivos (operações binárias, adicionar, subtrair, multiplicar, dividir, ⋯, que exigem dois 
complementos ou dois objetos) ou; 
 Transitivos (as operações unárias, módulo, sinal, ⋯, que exigem um único complemento ou 
objeto). Por exemplo, em |3 − 5| deve-se executar inicialmente a diferença, tal que, 
|3 − 5| = |−2| = 2. 
 Os verbos3 indicativos de relações ou estados (verbos relacionais ou de ligação) que 
estabelecem uma conexão entre os objetos, os comparadores matemáticos (=, ≠, >, ≥, ≫, 
<, ≤, ⋯). 
Os objetos, como números ou expressões, quando submetidos à ação de um operador matemático 
são denominados operandos. 
Ações matemáticas diretas e inversas 
As operações entre números podem ser diretas e inversas. 
Operações diretas Operações inversas 
Contagem 
Adição Subtração 
Multiplicação Divisão 
 Potência racional unitária 
Potenciação Raiz enésima 
 Logaritmo 
Tabela 2: Operações diretas e inversas. 
Operações diretas como multiplicação e potenciação são, apenas, notações compactas para 
expressar operações com parcelas ou fatores iguais entre si, 
ܾ + ܾ + ⋯ + ܾᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ
௔ ௣௔௥௖௘௟௔௦ ௜௚௨௔௜௦
= ܽ + ܽ + ⋯ + ܽᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ
௕ ௣௔௥௖௘௟௔௦ ௜௚௨௔௜௦
= ܽ ∙ ܾ = ܾ ∙ ܽ = ݌ ܾ ∙ ܾ ∙ ⋯ ∙ ܾᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ
௔ ௙௔௧௢௥௘௦ ௜௚௨௔௜௦
= ܾ௅ = ܲ 
 1 São inclusive conjugáveis (eu adiciono, nos subtraímos, e eles multiplicam). 2 Uma operação matemática (operação=per+ação=através de ação) é qualquer tipo de procedimento que é realizado sobre certa quantidade de elementos, e que obedece sempre uma regra bem determinada. 3 São inclusive redutíveis aos verbos ser ou estar. P.ex., ܽ = 10 para expressar que ܽ é (ou está) igual a dez. Relacionam (ligam) o sujeito ܽ com o predicado dez (um atributo do sujeito). 
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15 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Operações binárias e unárias 
Ou ainda, podem ser binárias (dois objetos) ou unárias (um objeto): 
Binárias Adição, multiplicação, potenciação e suas inversas. 
Unárias Módulo, sinal. 
Tabela 3: Operações binárias e unárias. 
Contagem 
A contagem é uma sucessão de comparações ou correlações um-um entre uma coleção de objetos 
e o conjunto dos números naturais. Os objetos podem estar em qualquer ordem, entretanto os números 
devem estar ordenados. 
A contagem (comparação) requer que os objetos sejam homogêneos. 
Princípio da comparação 
Homogeneidade 
Um objeto é homogêneo se sua composição uniforme não permite distinguir suas componentes, se 
é dividido e não altera suas características fundamentais. 
Por exemplo, dividindo cinco litros de agua em ݊ porções tem-se
݊ porções de agua; dividindo vinte 
reais em cem partes temos cem partes de vinte centavos de real. 
A homogeneidade é limitada quanto à divisão, dividindo uma molécula de agua obtemos um átomo 
de hidrogênio e dois átomos de oxigênio. 
O princípio de comparação especifica que (VIÈTE, 1968)4: 
 Somente grandezas homogêneas são comparáveis entre si. 
Comparações são ditas simples e claras sempre que a coisa procurada e a coisa dada participam 
igualmente de uma determinada natureza; que todas as demais comparações, ao contrário, têm 
necessidade de uma preparação porque essa natureza comum não se encontra igualmente em uma e outra 
coisa, mas conforma outras relações ou proporções nas quais ela se encontra envolvida, e que a parte 
principal do trabalho humano não consiste senão em reduzir aquelas proporções de modo a ver claramente 
uma igualdade entre o que se busca e algo de conhecido (DESCARTES, 2010)5. 
A comparação entre as distâncias de 10 m e 5 m é conclusiva. 
 4 François Viète (ou Vieta) (1540 – 1603) matemático francês. 5 René Descartes (1596 – 1650) filósofo, físico e matemático francês. 
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16 Antônio Marcos de Lima Araújo 
A comparação entre as temperaturas de 26 ℃ e 77 ℉, de inicio, requer a homogeneização, 
exprimi-las na mesma unidade. Convertendo, por exemplo, 77 ℉ para graus Celsius obtemos 25 ℃, a 
comparação se torna simples e clara. 
É impróprio (inconclusivo) comparar 10 m e 5 kg. 
Contar objetos naturais exige a organização dos denominados números naturais. 
Naturais ℕ ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5 … } 
Adição 
A adição é um caso particular da contagem, é contar uma quantidade a partir de outra (ou vice 
versa), ou seja, é indistinto contar o numero ܾ a partir do número ܽ ou, contar o número ܽ a partir do 
numero ܾ. A adição dos números ܽ e ܾ é representada por, 
ܽ + ܾ = ܾ + ܽ = ܵ 2 + 3 = 3 + 2 = 5 
Os números ܽ e ܾ são indistintamente denominados de parcelas e, o resultado da adição ܵ é 
denominado soma. Adicionar ou somar são os verbos, a ação ou operação e soma é o substantivo que 
designa o resultado da ação. 
A adição (caso particular da contagem) requer que os objetos sejam homogêneos. 
Expressão Formulação Homogêneo quanto 
Dois metros mais três metros são iguais a cinco metros. 2݉ + 3݉ = 5݉ ݉݁ݐݎ݋ 
Dois segundos mais três segundos são cinco segundos 2ݏ + 3ݏ = 5ݏ ݏ݁݃ݑ݊݀݋ 
Duas laranjas mais três laranjas são iguais a cinco laranjas. 2݈ + 3݈ = 5݈ ݈ܽݎ݆ܽ݊ܽ 
Duas bananas mais três bananas são iguais a cinco bananas. 2ܾ + 3ܾ = 5ܾ ܾܽ݊ܽ݊ܽ 
Duas bananas mais três laranjas são iguais a cinco frutas6. 2ܾ + 3݈ = 5݂ ݂ݎݑݐܽ 
Dois centavos mais três centavos é igual a cinco centavos7. 2100 +
3
100 =
5
100 
1
100 Dois metros mais três segundos é ⋯ (inconclusivo, irrealizável) 2݉ + 3ݏ ⋯ 
As adições de frações, algébricas, vetores, ou matrizes se realizam sobre formas homogêneas 
(homogeneizadas) ou comuns. 
 
 
 
 6 Fruta é a denominação comum a laranjas e bananas (o denominador comum). 7 Centavo é o denominador comum da unidade monetária. 
AMARTEMÁTICA 
17 Antônio Marcos de Lima Araújo 
 As funções que compõem as equações da física8 devem ser homogêneas e se existirem funções 
transcendentes, tais como exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas seus argumentos e valores 
devem ser adimensionais (FOURIER, 1955)9. 
Por exemplo, a variação da posição no tempo, determinada pela velocidade, 
ݏ(ݐ) = ݏ଴ + ݒ଴ݐ + ܽݐଶ2 [ݏ] = [ݏ଴] = [ݒ௢ݐ] = ቈ
ܽݐଶ
2 ቉ = ݉ 
Na qual ݏ(ݐ), ݏ଴, ݒ௢ݐ, e ௔௧మଶ são a posição no instante ݐ decorrente da posição inicial ݏ଴, da variação 
de posição devido à velocidade inicial ݒ௢ e da variação de posição devido à aceleração ܽ. As unidades das 
parcelas ݏ[ݏ], [ݏ଴], [ݒ௢ݐ] e ቂ௔௧మଶ ቃ devem ser todas iguais, expressas em uma mesma unidade, no caso 
metros. 
Subtração 
A subtração é a ação inversa da adição, é retirar ܾ do numero a. 
ܽ − ܾ = ݀ 
O número ܽ é denominado diminuendo, o número ܾ é denominado diminuidor (ou subtraendo) e, o 
resultado ݀ é denominado de diferença. Subtrair é o verbo, a ação ou operação e diferença é o substantivo 
que designa o resultado da subtração. 
É responder a questão. 
 Qual é número ݀ que somado com ܾ resulta em ܽ? 
Por exemplo, 
ܽ − ܾ = ݀ ⟺ ܽ = ݀ + ܾ 
8 − 3 = 5 ⟺ 8 = 5 + 3 
A subtração impõe a definição de número negativo, 
ܽ − ܾ ≝ −(ܾ − ܽ) 
A subtração impõe a necessidade de organizar o conjunto dos números inteiros. 
Inteiros ℤ ℤ = {⋯ , −2, −1, 0, 1, 2, 3, ⋯ } ℕ ⊂ ℤ ܽ − ܾ ≝ −(ܾ − ܽ) 
A subtração não desfaz a homogeneização. 
Cinco frutas menos duas frutas (laranjas ou bananas) são iguais a três frutas. 
Cinco aves menos três aves (patos ou galinhas) são iguais a duas aves. 
 8 E da engenharia. 9 Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) matemático e físico francês. 
AMARTEMÁTICA 
18 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Números relativos 
Os números relativos são utilizados para representar grandezas que podem variar em sentidos 
opostos. 
Por exemplo, adotando o nível do mar como altura zero, então pontos acima do nível do mar terão 
altura positiva e pontos abaixo serão depressões ou alturas negativas. 
A temperatura, em grau Celsius (℃), é definida, por exemplo, a partir de dois pontos de referencia, 
o valor zero (0℃) correspondente ao ponto de congelamento da agua e o valor cem (100℃) 
correspondente ao ponto de ebulição da agua, observados a uma atmosfera padrão. Utilizamos expressões 
acima de zero ou abaixo de zero para designar os valores de temperaturas maiores ou menores que 0℃. 
Por convenção adotamos as palavras positivo e negativo, e os símbolos + e −, respectivamente, 
para caracterizar cada um dos sentidos de uma grandeza. Uma temperatura é dita positiva se está acima 
de zero e negativa se está abaixo de zero. Os símbolos + e –, neste caso, fazem parte do número e não 
especificam uma operação. 
  Se o símbolo – está colocado após um número então indica ação e se está no inicio de uma 
expressão ou após uma operação então indica estado. 
Inteiros ℤ ℤ = {⋯ , −2, −1, 0, 1, 2, 3, ⋯ } ℕ ⊂ ℤ ܽ − ܾ ≝ −(ܾ − ܽ) 
Valor absoluto 
O valor absoluto ou módulo de um número ܽ é à distância (sempre um número positivo) do 
número a origem do eixo dos números reais. O valor absoluto é simbolicamente expresso por, 
abs ܽ = |ܽ| = ൝+ܽ, ܽ ≥ 0−−ܽ, ܽ < 0 ≥ 0, ∀ܽ 
Sinal 
O sinal de um número ܽ indica a posição relativa do número em relação à origem do eixo dos 
números reais. O sinal do número é simbolicamente expresso por, 
sgn ܽ = ൝−1, ܽ < 0+0, ܽ = 0+1, ܽ > 0 
 
AMARTEMÁTICA 
19 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Multiplicação 
A multiplicação é um caso particular da adição, é escrever de forma sintética, à soma de um deles 
tantas vezes quantas forem às unidades do outro (ou vice versa). 
Simbolicamente10 a multiplicação é expressa na forma. 
ܾ + ܾ + ⋯ + ܾᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ
௔ ௣௔௥௖௘௟௔௦ ௜௚௨௔௜௦
 = ܽ + ܽ + ⋯ + ܽᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ௕ ௣௔௥௖௘௟௔௦ ௜௚௨௔௜௦ = ܽ ∙ ܾ = ܾ ∙ ܽ = ݌ 
3 + 3 + 3 + 3 + 3ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇥ
ହ ௣௔௥௖௘௟௔௦ ௜௚௨௔௜௦
 = 5 + 5 + 5ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥଷ ௣௔௥௖௘௟௔௦ ௜௚௨௔௜௦ = 3 ∙ 5 = 5 ∙ 3 = 15 
Os parâmetros ܽ e ܾ são indistintamente denominados fatores e são operacionalmente indistintos 
(ܽ ∙ ܾ = ܾ ∙ ܽ) e, o resultado ݌ é denominado produto. 
Multiplicar é o verbo, a ação ou operação e produto é o substantivo que designa o
resultado da 
multiplicação. 
Divisão 
A divisão é a ação inversa da multiplicação, é repartir um número ݌ em ݀ partes iguais, 
simbolicamente11 é representada por: 
݌
݀ = ݍ, ݀ ≠ 0 
Dados o valor do produto ݌ e o fator ݀ então o valor do fator ݍ é obtido procurando-se (por busca 
ou ensaio12) o valor que multiplicados por ݀ resulta em ݌. 
Dividir é responder a questão. 
 Qual é o número ݍ que multiplicado com ݀ resulta em ݌? ݌
݀ = ݍ, ݅ܽ ≠ 0 tal que ݌ = ݀ ∙ ݍ, ݅݀ ≠ 0 8
4 = 2 ⇔ 8= 2 ∙ 4 
O elemento ݌, a quantidade a ser dividida, é denominado numerador (ou dividendo) e, o 
denominador (ou divisor) ݀ é o que, separa em partes, indica em quantas partes o numerador foi dividido, 
 10 O símbolo para multiplicação é um ponto de altura média (∙) ou uma cruz (×). Podem ser omitidos se nenhum 
equívoco for possível (ABNT, 2012). São equivalentes às formas ܽ ∙ ܾ; ܽ × ܾ; ܾܽ݅ ou ܾܽ. São inadequadas as formas ܽ. ܾ ou ܽݔܾ. 11 Para expressar ܽ dividido por ܾ escrevemos ௔௕ ou ܽ/ܾ. A norma recomenda que o símbolo (÷) não seja utilizado. A norma admite o símbolo (: ) para expressar proporções, por ex., para expressar a razão entre as dimensões ܽ e ܾ de um objeto ܽ: ܾ = 2. A razão ܽ: ܾ = 2: 3 se lê ܽ está para ܾ na proporção dois para três. 12 Mentalmente ou utilizando uma calculadora. 
AMARTEMÁTICA 
20 Antônio Marcos de Lima Araújo 
o número ݍ é denominado quociente. Dividir é o verbo, a ação ou operação e quociente é o substantivo 
que designa o resultado da divisão. 
Se o resto é igual a zero dizemos que o número ݌ é divisível por ݀. 
Os racionais são números que podem ser expressos pela razão entre dois números inteiros. 
A parte inteira de um número real é simbolicamente expressa por int ܽ. Por exemplo, int ߨ = 3 e 
int −ߨ = −3. 
A parte fracionária de um número real é simbolicamente expressa por 
frac ܽ = ܽ − int ܽ 
Observar que a parte fracionária pode ser ou não um número racional, por exemplo, frac(7/3) =
1/3 é um número racional e frac ߨ não é um número racional. 
Racionais unitários são números racionais cujo numerador é igual a um. 
A divisão impõe a necessidade de formular o conjunto dos números racionais. 
Racionais ℚ ℚ = ቄݔቚݔ = ݉݊ , ݉, ݊ ∈ Z ቅ ℤ ⊂ ℚ Restrição ݊ ≠ 0 
Potenciação 
A potenciação é um caso particular da multiplicação, a forma sintética para expressar a 
multiplicação de ܮ fatores, todos iguais a ܾ. 
ܾ ∙ ܾ ∙ ⋯ ∙ ܾᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ
௅ ௙௔௧௢௥௘௦ ௜௚௨௔௜௦
 = ܾ௅ = ܲ ܾܽ଴ ≝ 1 
A multiplicação de nove fatores, todos iguais a dois, por exemplo, pode ser escrita na forma 
expandida ܲ = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 512 ou na forma sintética ܲ = 2ଽ = 512. 
Na notação utilizada, o número ܲ é denominado potência, o número ܾ é denominado base e o 
número fatores, o expoente ܮ (elevado, proeminente) é o número sobrescrito. Potenciar é verbo, ação ou 
operação e potência13 é o substantivo que designa resultado da ação. 
 
 13 A palavra potência também é empregada para designar o expoente. 
AMARTEMÁTICA 
21 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Propriedades da potenciação 
ܾ௅ ∙ ܾே = ܾ௅ାே 
A multiplicação de duas potências com mesma base é igual à base elevada à 
soma dos expoentes. 
Ex. 2ଶ ∙ 2ଷ = 2 ∙ 2 × 2 ∙ 2 ∙ 2 = 2ହ = 32 ou 4 ∙ 8 = 32 
ܾି௅ = 1ܾ௅ , ܾ ≠ 0 
Uma potência com expoente negativo é o inverso da potência com expoente 
positivo. 
Ex. 2ିଶ = (2ିଵ)ଶ = ൬12൰
ଶ = 12ଶ 
ܽ௅
ܽே = ܽ௅ ∙ ܽିே = ܽ௅ିே 
A divisão de duas potências com mesma base é igual à base elevada à 
diferença dos expoentes. 
Ex. 2ହ2ଶ = 2ହିଶ = 2ଷ = 8 ou 
32
4 = 8 
(ܽ ∙ ܾ)௅ = ܽ௅ ∙ ܾ௅ A potência do produto é igual ao produto das potências. Ex. (2 ∙ 3)ଷ = 2ଷ ∙ 3ଷ = 8 ∙ 27 = 216 ou 6ଷ = 216 
ቀܾܽቁ
௅ = ܽ௅ܾ௅ 
A potência da divisão é igual à divisão das potências. 
Ex. ൬42൰
ଶ = 4ଶ2ଶ =
16
4 = 4 ou 2ଶ = 4 
(ܾே)௅ = ܾே∙௅ A potência da potência é igual à base elevada ao produto dos expoentes. Ex. (2ଶ)ଷ = 2ଶ ∙ 2ଶ ∙ 2ଶ = 2଺ = 64 ou 4ଷ = 64 
Atenção, 
2ଶଷ = (2ଶ)ଷ = 2ଶ∙ଷ = 2଺ = 64 2൫ଶయ൯ = 2଼ = 256 
A propriedade determina que ܾ௅ ∙ ܾே = ܾ௅ାே. Se ܮ = 0 então ܾ଴ ∙ ܾே = ܾ଴ାே = ܾே ou, ܾ଴ ∙ ܾே =
ܾே assim é necessário que ܾ଴ ≝ 1. 
A definição determina 0௅ = 0 ∙ 0 ∙ ⋯ ∙ 0 = 0 e ܾ଴ ≝ 1, assim para 0଴ observa-se um conflito entre 
regras. 
Por consequência, são definições associadas (restrições necessárias), 
ܾ଴ ≝ 1, ܾ ≠ 0 Qualquer número, diferente de zero, elevado à zero é igual a um. 
0௅ ≝ 0, ܮ ≠ 0 Zero elevado a qualquer expoente, diferente de zero, é igual a zero. 
0଴ Zero elevado a zero é indeterminado (conflito entre regras). 
 
 
AMARTEMÁTICA 
22 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Exercícios solucionados. 
Escrever textualmente e calcular. 
 ܾ௅ Equivalente verbal ܾ ܮ ܲ = ܾ௅ 
1 2ଷ Dois (elevado) a terceira. 2 3 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8 
2 3ସ Três (elevado) a quarta. 3 4 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 81 
3 10ଷ Dez (elevado) a terceira. 10 3 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1 000 
4 (2)ସ Dois (elevado) a quarta. 2 4 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16 
5 (−2)ସ Dois negativos, a quarta. −2 4 −2 ∙ −2 ∙ −2 ∙ −2 = 16 
6 (2)ହ Dois a quinta. 2 5 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32 
7 (−2)ହ Dois negativos, a quinta. −2 5 −2 ∙ −2 ∙ −2 ∙ −2 ∙ −2 = −32 
8 2ଷଶ Dois a três, a dois. 2 6 (2 ∙ 2 ∙ 2) ∙ (2 ∙ 2 ∙ 2) = 64 
9 2൫ଷమ൯ Dois a, três a dois. 2 8 2଼ = 256 
Aplicações (opcional) 
Notação Posicional 
Uma aplicação da potenciação é a notação posicional que permite representar um número 
utilizando apenas alguns símbolos de dígitos em diferentes combinações. No sistema decimal, que utiliza 
dez símbolos de dígitos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, o número dez é utilizado como base. A regra geral 
consiste em expressar uma quantidade na forma: 
ܰ = ܽ୮ × 10௣ + ܽ୮ିଵ × 10௣ିଵ + ⋯ + ܽ଴ × 10଴ + ܽିଵ × 10ିଵ + ⋯ + ܽି௤ × 10ି௤ 
na qual ܽ௣, ܽ௣ିଵ,. .., ܽି௤ são os números de zero a nove. Entre ܽ଴ e ܽିଵ é colocado um símbolo separador, 
uma vírgula ou um ponto (na notação inglesa). 
O número ܰ é então representado pelo símbolo abreviado 
ܰ = ܽ୮ܽ୮ିଵ ⋯ ܽ଴, ܽିଵܽିଶ ⋯ ܽି௤ 
Um número como 234,12, ou literalmente 200 + 30 + 4 + 0,1 + 0,02, por exemplo, é expresso na 
forma: 
200 + 30 + 4 + 0,1 + 0,02 = 2 × 10ଶ + 3 × 10ଵ + 4 × 10଴ + 1 × 10ିଵ + 2 × 10ିଶ = 234,12 
Qualquer outro número ܾ poderia servir como base. A base sessenta utilizada pelos babilônios 
(anterior a 1000 a.C.) continua sendo empregada para expressar ângulos (o círculo possui 360 graus), hora 
(60 minutos) e minuto (60 segundos). Em geral, bases múltiplas da base 12, facilitam representações 
fracionárias. Um oitavo de círculo corresponde a um ângulo de 45 graus. Um quarto de hora 
AMARTEMÁTICA 
23 Antônio Marcos de Lima Araújo 
correspondem a quinze minutos e, meio minuto são iguais a trinta segundo. Os babilônios deixaram 
gravados em tábua √2 = 1 + 24/60 + 51/60ଶ + 10/60ଷ, ou na notação acima √2 = 1 + 24 × 60ିଵ +
51 × 60ିଶ + 10 × 60ିଷ cujo resultado é exato com seis casas decimais. 
A base binária (base 2), como preconizado por Leibniz (LEIBNIZ, 1703) é amplamente utilizado nos 
computadores digitais. Na base dois, um número natural é expresso por apenas dois símbolos (0 e 1). 
Binário Decimal 
0000ଶ 0 × 2ଷ + 0 × 2ଶ + 0 × 2ଵ + 0 × 2଴ 0ଵ଴ + 0ଵ଴ + 0ଵ଴ + 0ଵ଴ 0ଵ଴ 0001ଶ 0 × 2ଷ + 0 × 2ଶ + 0 × 2ଵ + 1 × 2଴ 0ଵ଴ + 0ଵ଴ + 0ଵ଴ + 1ଵ଴ 1ଵ଴ 0010ଶ 0 × 2ଷ + 0 × 2ଶ + 1 × 2ଵ + 0 × 2଴ 0ଵ଴ + 0ଵ଴ + 2ଵ଴ + 0ଵ଴ 2ଵ଴ 0011ଶ 0 × 2ଷ + 0 × 2ଶ + 1 × 2ଵ + 1 × 2଴ 0ଵ଴ + 0ଵ଴ + 2ଵ଴ + 1ଵ଴ 3ଵ଴ 0100ଶ
0 × 2ଷ + 1 × 2ଶ + 0 × 2ଵ + 0 × 2଴ 0ଵ଴ + 4ଵ଴ + 0ଵ଴ + 0ଵ଴ 4ଵ଴ 0101ଶ 0 × 2ଷ + 1 × 2ଶ + 0 × 2ଵ + 1 × 2଴ 0ଵ଴ + 4ଵ଴ + 0ଵ଴ + 1ଵ଴ 5ଵ଴ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 
1101ଶ 1× 2ଷ + 1 × 2ଶ + 0 × 2ଵ + 1 × 2଴ 8ଵ଴ + 4ଵ଴ + 0ଵ଴ + 1ଵ଴ 13ଵ଴ 
Notação Científica 
A notação científica é um modo compacto que, as calculadoras, computadores e pessoas, utilizam 
para representar números muito grandes ou muito pequenos. 
O número vinte e três milhões 23 000 000, por exemplo, pode ser escrito das seguintes formas: 
23 000 000,0 = 23 000 000,0 × 1 = 23 000 000,0 × 10଴ = 23 000 000 × 10଴ 
23 000 000,0 = 2 300 000,0 × 10 = 2 300 000,0 × 10ଵ = 2 300 000 × 10ଵ 
23 000 000,0 = 230 000,0 × 100 = 230 000,0 × 10ଶ = 230 000 × 10ଶ 
23 000 000,0 = 23 000,0 × 1 000 = 23 000,0 × 10ଷ = 23 000 × 10ଷ 
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 
23 000 000,0 = 23,0 × 1 000 000 = 23,0 × 10଺ = 23 × 10଺ 
O número 0,002 3, por exemplo, pode ser escrito como segue: 
0,002 3 = 0,002 3 × 1 = 0,002 3 × 10଴ 
0,002 3 = 0,023 × 0,1 = 0,023 × 10ଵ 
0,002 3 = 0,23 × 0,01 = 0,23 × 10ିଶ 
0,002 3 = 2,3 × 0,001 = 2,3 × 10ିଷ 
0,002 3 = 23,0 × 0,000 1 = 23 × 10ିସ 
 
 
AMARTEMÁTICA 
24 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Regra geral 
A quantidade de casas deslocadas pela vírgula é representada com o expoente em uma potência de 
base 10. Se o deslocamento é para a direita o expoente é positivo e se o deslocamento é para a esquerda o 
expoente é negativo. Por exemplo, 
a) 100 = 1 × 10ଶ 
b) 77 300 000 = 7,73 × 10଻ 
c) 93 000 000 000 = 9,3 × 10ଵ଴ 
d) 0,02 = 2 × 10ିଶ 
e) 0,000 000 123 = 1,23 × 10ି଻ 
É também utilizada, na computação, a notação ܧ ± ݊ para representar 10±௡. Neste caso o número 
0,000000123 pode ser expresso como 1,23ܧ − 07 para representar 1,23 × 10ି଻. 
 
AMARTEMÁTICA 
25 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Potenciação racional unitária 
A base e o expoente apresentam funções distintas (se ܾ ≠ ܮ então ܾ௅ ≠ ܮ௕), por consequência a 
potenciação admite duas operações inversas, uma para determinar o valor da base denominada 
potenciação racional unitária e a outra para determinar o valor do expoente denominada logaritmo. 
A potenciação racional unitária14 é uma das ações inversas da potenciação. 
Por definição, a potência racional unitária ܲభಽ é o valor da base ܾ, é o número da base ܾ que 
multiplicado por si ܮ (expoente) vezes é igual à potência ܲ. 
Se ܾ௅ = ܲ então ܾ = ܲଵ௅ ܮ ≠ 0 e ܾ ≥ 0 para ܮ par 
Dados o valor da potência ܲ e do expoente ܮ então o valor da base ܾ é obtida procurando-se (por 
busca ou ensaio) o valor (ou os valores) que multiplicados entre si, ܮ vezes resulta em ܲ, é responder a 
questão. 
 Quais são os valores de ܾ que multiplicados entre si ܮ vezes resulta em ܲ? 
Se ܮ é um número impar a solução é única, p. ex., 2ଽ = 512 então 512ଵ/ଽ = 2. 
Se ܮ é um número par então a formulação ܲభಽ admite solução real se, e somente se, ܲ > 0 e, neste 
caso, ܲభಽ admite duas soluções reais ±ܾ, p.ex., 
(+2)ଶ = 4 e (−2)ଶ = +4 então 4ଵ/ଶ = ቄ−2+2 
Propriedades da potenciação racional unitária 
Seja ݁ = ݃௡ e ݂ = ℎ௡ tal que ݃ = ݁ଵ/௡ e ℎ = ݂ଵ/௡. 
Operação Potência Potência racional unitária 
 Formulação ݁ ∙ ݂ = ݃௡ ∙ ℎ௡ = (݃ ∙ ℎ)௡ (݁ ∙ ݂)ଵ/௡ = ݁ଵ/௡ ∙ ݂ଵ/௡ = ݃ ∙ ℎ 
 
Exemplos 
2ଷ ∙ 3ଷ = 8 ∙ 27 = 216 (8 ∙ 27)ଵ/ଷ = 216ଵ/ଷ = 6 
2ଷ ∙ 3ଷ = (2 ∙ 3)ଷ = 6ଷ = 216 (8 ∙ 27)ଵ/ଷ = 8ଵ/ଷ ∙ 27ଵ/ଷ = 2 ∙ 3 = 6 
2ଶ ∙ 3ଶ = 4 ∙ 9 = 36 (4 ∙ 9)ଵ/ଶ = 36ଵ/ଶ = ±6 (−2)ଶ ∙ (−3)ଶ = 4 ∙ 9 = 36 
2ଶ ∙ 3ଶ = (2 ∙ 3)ଶ = 6ଶ = 36 (4 ∙ 9)ଵ/ଶ = 4ଵ/ଶ ∙ 9ଵ/ଶ = ±2 ∙ ±3 = ±6 (−2)ଶ ∙ (−3)ଶ = (−2 ∙ −3)ଶ = 6ଶ = 36 
Nota 
Números iguais elevados a expoentes iguais resultam em números iguais, ou seja, se ܽ = ܾ então 
ܽ௡ = ܾ௡, a reciproca nem sempre é verdade, por ex., (+ܽ)ଶ = (−ܽ)ଶ. 14 Na qual o expoente é um número racional unitário, uma razão cujo numerador é igual a um, na forma 1/ܮ. 
AMARTEMÁTICA 
26 Antônio Marcos de Lima Araújo 
A potência racional unitária impõe a organização dos números irracionais (que não podem ser 
expressos como razões entre inteiros). 
Irracionais15 ℚഥ ℚഥ = {ݔ|ݔ ∉ Q} = ൛√2, ߨ, ⋯ ൟ ℚ ∩ ℚഥ = ∅ Restrição ܾ భమ೙, ܾ > 0 
Exercícios solucionados. Calcular. 
 ܲଵ௅ = ܾ ܲ 1/ܮ ܮ ܾ௅ = ܲ então ܾ = ܲଵ௅ 
8 8ଵଷ = ܾ 8 1/3 3 2ଷ = 8 então 8ଵଷ = 2 
9 81ଵସ = ܾ 81 1/4 4 3
ସ = 81 então 81ଵସ = ±3 (−3)ସ = 81 
10 1 000ଵଷ = ܾ 1 000 1/3 3 10ଷ = 1 000 então 1 000ଵଷ = 10 
11 16ଵସ = ܾ 16 1/4 4 (2)
ସ = 16 então 16ଵସ = ±2 (−2)ସ = 16 
12 32ଵହ = ܾ 32 1/5 5 (2)ହ = 32 então 32ଵହ = 2 
13 (−32)ଵହ = ܾ 32 1/5 5 (−2)ହ = −32 então (−32)ଵହ = −2 
Raiz enésima 
A palavra raiz se origina na palavra latina “radix”, que significa lado (associada ao comprimento do 
lado). A raiz enésima é um caso particular da potência racional unitária. 
A raiz √ܲಽ índice ܮ do número ܲ é o valor da base ܾ, com mesmo sinal de ܲ, que multiplicado por si 
ܮ vezes é igual ao número ܲ (potência) (COURANT e ROBBINS, 2000). 
A definição é semelhante (e muito semelhante) a potenciação racional unitária16. 
Se ܾ௅ = ܲ então ܾ = √ܲಽ , sgn ܾ = sgn ܲ, ܮ ≠ 0 e ܾ ≥ 0 para ܮ par 
 Se o denominador do expoente racional unitário é um número impar então as operações 
apresentam resultados iguais e qualquer uma pode ser utilizada, 
ܲଵ௡ = √ܲ೙ , ݊ ݅݉݌ܽݎ 
 Se o denominador do expoente racional unitário é um número par então as duas operações 
apresentam resultados distintos. 
√ܲ೙ = ฬܲଵ௡ฬ , ܲ > 0, ݊ ݌ܽݎ ܲଵ௡ = ± √ܲ೙ , ܲ > 0, ݊ ݌ܽݎ 
 
 
 15 É também utilizado o símbolo ॴ = ℚഥ ≝ ℝ\ℚ. 
16 A potenciação racional unitária admite que o sinal da base seja diferente do sinal de ܲ, 4ଵ ଶ⁄ = ቄ−2+2. 
AMARTEMÁTICA 
27 Antônio Marcos de Lima Araújo 
A natureza da grandeza determina qual operação deve (ou pode) ser utilizada. Na trigonometria, 
por exemplo, o valor da hipotenusa (o comprimento de um lado) é dado por ℎ = √ܽଶ + ܾଶమ , o 
comprimento, a extensão do lado de uma extremidade a outra é uma grandeza positiva. A equação do 2º 
grau ݔଶ − 4 = 0 admite dois valores que a torna verdade, ݔ = 4ଵ/ଶ = ±2. Se a natureza da grandeza não é 
conhecida, ou a definição não exigir raiz, devemos utilizar a potência racional unitária. 
Problemas de ambiguidade 
As regras estabelecem que −2 ∙ −2 = (−2)ଶ = 4 e +2 ∙ +2 = 2ଶ = 4, ou seja, 4ଵ/ଶ = ±2 e que 
−2 ∙ −2 ∙ −2 ∙ −2 = (−2)ସ = 16 e +2 ∙ +2 ∙ +2 ∙ +2 = 2ସ = 16, ou seja, 16ଵ/ସ = ±2. Assim, 
ܽଶ = ܾ ⇔ ܽ = ܾଵ/ଶ, ܽ = ±√ܾమ e ܽସ = ܾ ⇔ ܽ = ܾଵ/ସ, ܽ = ±√ܾర 
Assim, no domínio dos números reais, temos a seguinte ambiguidade. 
ܽଶ/ସ =
ۖە
۔
ۖۓ൫ܽଵ/ସ൯ଶ = ൝൫+หܽଵ/ସห൯
ଶ
൫−หܽଵ/ସห൯ଶ = หܽଵ/ଶห−
(ܽଶ)ଵ/ସ = ቊ+หܽଵ/ଶห−หܽଵ/ଶห 
 
Por exemplo, 16ଶ/ସ, no domínio dos números reais, sem os devidos cuidados, admite duas soluções 
(ambíguas), pode ser igual a: 
1 (16ଶ)ଵ/ସ = 216ଵ/ସ = ±4 
2 ൫16ଵ/ସ൯ଶ = (±2)ଶ = +4 
Além disso, a operação 16ଵ/ସ = ൫16ଵ/ଶ൯ଵ/ଶ não é definida no domínio dos números reais, 
16ଵ/ସ = ൫16ଵ/ଶ൯ଵ/ଶ = (±4)ଵ/ଶ. 
Para garantia das operações antecedentes, realize a operação no expoente (apartada) antes de 
qualquer outra operação. 
Assim, por exemplo, 
16ଶ/ସ = 16ଵ/ଶ = ±4 e 16ଵ/ଶଵ/ଶ = 16ଵ/ସ = ±2 Lembrar que, 
2ଶଷ = (2ଶ)ଷ = 2ଶ∙ଷ = 2଺ = 64 ≠ 2൫ଶయ൯ = 2଼ = 256 
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28 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Por exemplo, 
Potência
Potencia racional unitária Radiciação Situação 
(±2)଺ = +64 (+64)భల = ±2, i(−64)భల ∉ ℝ √+64ల = +2, i√−64ల ∉ ℝ (+64)భల ≠ √+64ల 
(±2)ହ = ±32 (±32)భఱ = ±2 ඥ±32ఱ = ±2 (±32)భఱ = ඥ±32ఱ 
(±2)ସ = +16 (+16)భర = ±2, i(−16)భర ∉ ℝ √+16ర = +2, i√−16ర ∉ ℝ (+16)భర ≠ √+16ర 
(±2)ଷ = ±8 (±8)భయ = ±2 ඥ±8య = ±2 (±8)భయ = ඥ±8య 
(±2)ଶ = +4 (+4)భమ = ±2, i(−4)భమ ∉ ℝ √+4మ = +2, i√−4మ ∉ ℝ (+4)భమ ≠ √+4మ 
Exercícios propostos. Calcular o valor das expressões. 
P1 (32 ∙ 243)ଵ/ହ P2 (16 ∙ 81)ଵ/ସ P3 (25 ∙ 49)ଵ/ଶ 
P4 (10 ∙ 7)ଵ/ଷ P5 (8 ∙ ߨ)ଵ/ହ P6 (7 ∙ 11)ଵ/ଶ 
P7 √25మ P8 25భమ P9 √16ర 
P10 16భర P11 (2଼ ∙ 3ସ ∙ 5ଶ)భమ P12 ඥa଼ ∙ Pସ ∙ cଶమ 
P13 ඥ2଼ ∙ 3ସ ∙ 5ଶమ P14 ඥa଺ ∙ Pଽ ∙ 5ଷయ P15 ඥ2ସ ∙ 4଺ ∙ 5ଶమ (Utilizar a calculadora para verificar os resultados. Observar que a calculadora apresenta apenas o 
resultado positivo da potência racional unitária.) 
 
AMARTEMÁTICA 
29 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Logaritmo 
O logaritmo é uma das ações inversas da potenciação. Por definição, para um número positivo, o 
logaritmo é o valor do expoente a que se deve elevar um número tomado como base para se obter a 
potência, ou seja, 
Se ܾ௅ = ܲ ܲ > 0 então ܮ ≝ log௕ ܲ ܲ > 0, ܾ > 0, ܾ ≠ 1 
Logaritmo é o substantivo que designa resultado da ação e o verbo, a ação ou operação. 
Dados o valor da potência ܲ e a base ܾ então o valor do expoente ܮ (o logaritmo) é obtido 
procurando-se (por busca ou ensaio) determinar quantas vezes a base ܾ deve ser multiplicada por si para 
obter o valor ܲ, é responder a questão. 
 Quantas vezes ܮ a base ܾ deve ser multiplicada entre si para obter ܲ? 
Exercícios solucionados. Calcular. 
 Forma expandida Fatores Potenciação Logarítmico 
14 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8 3 2ଷ = 8 logଶ 8 = 3 
15 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 10 000 4 10ସ = 10000 logଵ଴ 10000 = 4 
16 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 243 5 3ହ = 243 logଷ 243 = 5 
17 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 16384 7 4଻ = 16384 logସ 16284 = 7 
18 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 512 9 2ଽ = 512 logଶ 512 = 9 
O valor do logଵ଴ 100 é o numero de vezes que a base (10) deve ser multiplicada entre si para obter 
a potência (100), logଵ଴ 100 = 2. 
O valor do logଶ 16 é o número de vezes que a base (2) deve ser multiplicada entre si para obter a 
potência (16), logଶ 16 = 4. 
O valor de logଶ 15 é o número de vezes que a base (2) deve ser multiplicada por si para obter a 
potência (15), é um número maior que 3 (2ଷ = 8 < 15) e menor do que 4 (2ସ = 16 > 15), logଶ 15 =
3,90689. 
O valor de logଷ 100 é o número de vezes que à base (3) deve ser multiplicada por si para obter a 
potência (100), é um número maior que 4 (4ସ = 81 < 100) e menor do que 5 (3ହ = 243 > 100), 
logଷ 100 = 4,1918. 
 
AMARTEMÁTICA 
30 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Característica 
A parte inteira do logaritmo de um número é denominada característica, é o maior valor inteiro ܿ 
tal que ܾ௖ < ܽ. 
c(log௕ ܽ) ≝ int log௕ ܽ 
Por exemplo, a característica do logଵ଴ 117 = 2,068 185 ⋯ é 2. 
A característica é o número inteiro de vezes que a base pode ser multiplicada por si antes de 
superar o valor do argumento. Por exemplo, sabendo que lg 2 = 0,301 ⋯ então, 
ܿ(lg 2) = 0, 10଴ < 2 < 10ଵ 
ܿ(lg 20) = 1, 10ଵ < 20 < 10ଶ 
ܿ(lg 200) = 2, 10ଶ < 200 < 10ଷ 
ܿ(lg 2000) = 3, 10ଷ < 2000 < 10ସ 
Mantissa 
A parte decimal do logaritmo de um número é denominada mantissa. Por exemplo, a mantissa do 
logଵ଴ 117 = 2,068 185 ⋯ é 0,068 185 ⋯. 
O logaritmo de números multiplicados por potências da base possuem igual mantissa. Por exemplo, 
sabendo que lg 2 = 0,301 ⋯ então, 
lg 20 = lg(2 ∙ 10) = lg 2 + lg 10 = 1,301 ⋯ 
lg 200 = lg(2 ∙ 100) = lg 2 + lg 100 = 2,301 ⋯ 
lg 2000 = lg(2 ∙ 1000) = lg 2 + lg 1000 = 3,301 ⋯ 
Mudança de base 
Se ݑ௡ = ݒ então, pelo princípio da igualdade, tomando o logaritmo de ambos os lados da 
igualdade, na base ܾ, temos log௕ ݑ௡ = log௕ ݒ, ou ainda, ݊ log௕ ݑ = log௕ ݒ assim, 
݊ = log௨ ݒ = log௕ ݒlog௕ ݑ , ݑ ≠ 1 
Assim, se o logaritmo em uma base ݑ não é disponível pode-se efetuar uma mudança para outra 
base ܾ conhecida (ou disponível) para cálculo, p. ex., 
logగ 7 = logଶ 7logଶ ߨ =
log௘ 7log௘ ߨ =
logଷ 7logଷ ߨ =
logଵ଴ 7logଵ଴ ߨ 
 
AMARTEMÁTICA 
31 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Propriedades dos logaritmos 
Seja ݑ = ܾ௡ e ݒ = ܾ௠tal que ݊ = log௕ ݑ e ݉ = log௕ ݒ. 
Operação Potência inteira Logaritmo 
 
Formulação 
ݑ ∙ ݒ = ܾ௡ ∙ ܾ௠ = ܾ௡ା௠ log௕(ݑ ∙ ݒ) = log௕ ܾ௡ା௠ = ݊ + ݉ 1
ݒ = ݒିଵ log௕ ൬
1
ݒ൰ = log௕ ܾି௠ = −݉ ݑ
ݒ =
ܾ௡
ܾ௠ = ܾ௡ି௠ log௕ ቀ
ݑ
ݒቁ = log௕ ܾ௡ି௠ = ݊ − ݉ ݑ௣ = (ܾ௡)௣ = ܾ௡∙௣ log௕ ݑ௣ = ݌ ∙ log௕ ݑ = ݌ ∙ ݊ 
 
Exemplos 
2ଷସ = 2ଷ∙ସ = 2ଵଶ logଶ 8ସ = logଶ(2ଷ)ସ = logଶ 2ଷ∙ସ = 3 ∙ 4 = 12 logଶ 8ସ = 4 ∙ logଶ 8 = 4 ∙ 3 = 12 
2ଷ ∙ 2ଶ = 2ହ = 32 logଶ(32) = logଶ 2ହ = 5 logଶ(8 ∙ 4) = logଶ 8 + logଶ 4 = 3 + 2 = 5 
25 ∙ 125 = 5ଶ ∙ 5ଷ logହ(25 ∙ 125) = logହ 5ହ = 5 logହ(25 ∙ 125) = logହ 25 + logହ 125 = 5 
Da definição de logaritmo 
log௕ 1 = 0 ou ܾ଴ = 1 O logaritmo da unidade é sempre igual à zero. 
 Exemplos. logଶ 1 = logଷ 1 = logଵ଴଴ 1 = 0 
log௕ ܾ = 1 ou ܾଵ = ܾ O logaritmo da base é sempre igual a um. 
 Exemplos. logଶ 2 = logଷ 3 = logଵ଴଴ 100 = 1 
log௕ ݌ ∙ ݍ = log௕ ݌ + log௕ ݍ O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos. 
 Exemplos. log௕ 6 = log௕ 2 ∙ 3 = log௕ 2 + log௕ 3 
log௕ ݌ݍ = log௕ ݌ − log௕ ݍ O logaritmo da razão é igual à diferença dos logaritmos. 
 Exemplo. log௕ 4 = log௕ ଵଶଷ = log௕ 12 − log௕ 3 
logୠ 1ݍ = − logୠ ݍ O logaritmo do inverso é igual ao negativo do logaritmo. 
 Exemplos. log௕ ଵଷ = − log௕ 3; log௕ 0,2 = log௕ ଵହ = − log௕ 5 
log௕ ܽ௡ = ݊ log௕ ܽ O logaritmo da potência do número ܽ é igual ao expoente multiplicado pelo logaritmo de ܽ. 
 Exemplos. log௕ 2ଷ = 3 log௕ 2; log௕ 5భయ = ଵଷ log௕ 5 
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32 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Exercícios solucionados. Calcular. 
 Calcular Solução 
19 logଵ଴଴ 10 000 logଵ଴଴ 10 000 = logଵ଴଴ 100ଶ = 2 ou 
 logଵ଴଴ 10 000 = logଵ଴ 10 000logଵ଴ 100 =
4
2 = 2 
20 logଶ 8 logଶ 8 = logଶ 2ଷ = 3 ou 
 logଶ 8 = logଵ଴ 8logଵ଴ 2 =
0,903089 ⋯
0,301029 ⋯ = 3 
21 log଻ 9 log଻ 9 = logଵ଴ 9logଵ଴ 7 =
0,954242 ⋯
0,845098 ⋯ = 1,12915 ⋯ 
22 logଷ 11 logଷ 11 = logଵ଴ 11logଵ଴ 3 =
1,041392 ⋯
0,477121 ⋯ = 2,18265 ⋯ 
Exercícios propostos. 
Determinar, sem utilizar a calculadora, a parte inteira. 
P16 logହ 8 P17 logସ 19 P18 logଷ 19 
P19 logଷ 8 P20 logସ 100 P21 logହ 100 
P22 logସ 100 P23 logହ 200 P24 logଶ 1000 
P25 logସ 5 P26 logଷ 5 P27 logଷ 10 
P28. logସ 33 P29 logଷ 77 P30 logଶ 42 
Calcular, sem utilizar a calculadora, o valor das expressões. 
P31 logହ 5ଶଷ P32 logସ 4ହଶ P35 logଷ 3ଶହ 
P34 logଷ(9 ∙ 3) P36 logସ(16 ∙ 64) P38 logହ(125 ∙ 625) 
P37 logସ 16 P38 logହ 625 P41 logଶ 1024 
P40 logସ 256 P41 logଷ 81 P44 logଷ 3 
P43 logହ 5ଶଷ P44 logସ 4ହଶ P47 logଷ 3ଶହ (Utilizar a calculadora para verificar os resultados) 
 
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33 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Definições associadas 
As definições associadas decorrem da definição da operação, são definidas para adequar as novas 
operações as operações precedentes ou para evitar ambiguidades. 
1 ܽ + 0 = 0 + ܽ A adição de zero com um número e a adição de um número com zero é igual ao 
número. O zero é denominado elemento neutro aditivo. 
Exemplo. 2 + 0 = 0 + 2 = 2 
2 ܽ − 0 = ܽ A subtração de zero de um número é igual ao número. 
Exemplo. 2 − 0 = 2 
3 0 − ܽ = −ܽ A subtração de um número do zero é igual ao oposto do número. 
Exemplos. 0
− 2 = −2; 0 − 3 = −3; 0 − (−3) = 3 
4 ܽ ∙ 1 = 1 ∙ ܽ A multiplicação de um por um número e de um número por um é igual ao 
número. O um é denominado elemento neutro multiplicativo. 
Exemplo. 2 ∙ 1 = 1 + 2 = 2 
5 ܽ ∙ 0 = 0 ∙ ܽ A multiplicação de zero por um número e a multiplicação de um número por zero 
são iguais à zero. 
Exemplos. 2 ∙ 0 = 0 ∙ 2 = −1 ∙ 0 = 0 ∙ −1 = 0 
6 0ܽ = 0, ܽ ≠ 0 Zero dividido por qualquer número diferente de zero é igual à zero. Exemplos. 02 =
0
−1 = 0 7 ܾ଴ ≝ 1, ܾ ≠ 0 Qualquer número diferente de zero elevado à zero é igual à zero. 
Exemplos. (−2)଴ = (−1)଴ = 1଴ = 2଴ = 3଴ = 1 
8 0௅ ≝ 0, ܮ > 0 Zero elevado a qualquer número positivo é igual à zero. 
Exemplos. 0ଵ = 0ଶ = 0ଷ = 0ସ = 0ହ = 0 
9 log௕ 1 ≝ 0 O logaritmo da unidade é sempre igual à zero. 
Exemplos. logଶ 1 = logଷ 1 = logଵ଴଴ 1 = 0 
10 log௕ ܾ ≝ 1 O logaritmo da base é sempre igual à unidade. 
Exemplos. logଶ 2 = logଷ 3 = logଵ଴଴ 100 = 1 
 
AMARTEMÁTICA 
34 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Conjuntos numéricos 
Os objetos aritméticos que evidenciam a substância ou essência dos objetos da aritmética, os 
substantivos da aritmética, são organizados sistemicamente na forma de conjuntos numéricos, dos 
números naturais aos números reais, e além. 
As mudanças na sociedade humana, dos nômades aos urbanos, do pré-histórico ao homem 
contemporâneo, impuseram a definição de novos conjuntos numéricos para expressar as substâncias 
quantitativas, as quantidades, de várias formas. 
Excetuando-se a contagem que impôs os números naturais, os demais conjuntos numéricos são, em 
geral, consequências das operações inversas, os números inteiros decorrem da subtração, os números 
racionais são consequência da divisão, os números irracionais e números complexos são frutos das raízes. 
O único objeto natural do pensamento matemático é o número natural. Foi o mundo exterior que 
nos impôs o contínuo; sem dúvida o inventamos, mas esse mundo nos forçou a inventá-lo (CARAÇA, 2010). 
Conjuntos Sigla Definição Relações Definição associada 
Naturais ℕ ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5 … } 
Inteiros ℤ ℤ = {⋯ , −2, −1, 0, 1, 2, 3, ⋯ } ℕ ⊂ ℤ ܽ − ܾ ≝ −(ܾ − ܽ) 
Racionais ℚ ℚ = ቄݔቚݔ = ݉݊ , ݉, ݊ ∈ Z ቅ ℤ ⊂ ℚ Restrição ݊ ≠ 0 
Irracionais17 ℚഥ ℚഥ = {ݔ|ݔ ∉ Q} = ൛√2, ߨ, ⋯ ൟ ℚ ∩ ℚഥ = ∅ Restrição ܾ భమ೙, ܾ > 0 
Reais ℝ ℝ = Q ∪ Qഥ 
Propriedades dos números reais 
Se ܽ, ܾ, ܿ são números que pertencem ao conjunto dos números reais então: 
Propriedade do fechamento 
Existe um e somente um número real igual a ܽ + ܾ denominado de soma. 
Existe um e somente um número real igual a ܽ − ܾ denominado de diferença. 
Existe um e somente um número real igual a ܽ ∙ ܾ denominado de produto. 
Existe um e somente um número real igual a ܽ/ܾ denominado de razão. 
 
 17 É também utilizado o símbolo ॴ = ℚഥ ≝ ℝ\ℚ. 
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35 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Propriedade Comutativa Associativa 
Adição ܽ + ܾ = ܾ + ܽ ܽ + (ܾ + ܿ) = (ܽ + ܾ) + ܿ = (ܽ + ܿ) + ܾ = ܽ + ܾ + ܿ 
Multiplicação ܽ ∙ ܾ = ܾ ∙ ܽ ܽ ∙ (ܾ ∙ ܿ) = (ܽ ∙ ܾ) ∙ ܿ = (ܽ ∙ ܿ) ∙ ܾ = ܽ ∙ ܾ ∙ ܿ 
 
Propriedade Distributiva 
Adição pela multiplicação (ܾ + ܿ) ∙ ܽ = ܾ ∙ ܽ + ܿ ∙ ܽ 
Multiplicação pela potência (ܽ ∙ ܾ)௅ = ܽ௅ ∙ ܾ௅ 
 
Elemento Neutro Oposto Inverso 
Adição ܽ + 0 = ܽ −ܽ, ܽ + (−ܽ) = 0 ∄ 
Multiplicação ܽ ∙ 1 = ܽ ∄ ܽିଵ = ൬1ܽ൰ , ܽ ∙ ൬
1
ܽ൰ = 1 
Representação gráfica 
A cada ponto de uma linha contínua infinita pode ser associado a um único número real e, a cada 
numero real pode ser associado a um único ponto sobre uma linha contínua infinita, a reta numerada 
ilustrada na Figura 1, na qual são explicitados alguns números: naturais {0, 1, 2, 3, ⋯ }, inteiros 
{⋯ , −2, −0, 1, 2, ⋯ }, racionais {⋯ ; −2,613; −2; −3/2; −1; 0; 1; 2; ⋯ } e irracionais ൛√2, e, ߨൟ. 
 Figura 1: Eixo real 
A reta numerada é uma reta orientada, com valores crescentes em uma dada orientação, no caso, 
crescente da esquerda para a direita. A imagem geométrica do zero é a origem. Um ponto, na reta, à 
direita da origem para representar um número positivo e um ponto à esquerda, da reta, para representar 
um número negativo. 
A reta numerada é um eixo, uma reta sobre a qual se convenciona um sentido positivo, uma origem 
e uma unidade de comprimento. 
 
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36 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Intervalo ou subconjuntos numéricos 
A extensão numérica delimitada dos reais ou intervalo é conjunto dos números compreendidos 
entre dois outros números ܽ e ܾ, seus extremos ou fronteiras do intervalo, as quais podem ser um limitado 
ou ilimitado. Um intervalo é descrito na forma (ABNT, 2012): 
Expressão Intervalo Significado verbal Ilustrações 
[ܽ, ܾ] Fechado de ܽ incluído até ܾ incluido 
(ܽ, ܾ] Semiaberto à esquerda de ܽ excluído até ܾ incluído 
[ܽ, ܾ) Semiaberto à direita de ܽ incluído até ܾ excluído. 
(ܽ, ܾ) Aberto de ܽ excluído até ܾ excluído. 
As fronteiras dos intervalos podem ser abertas, delimitado por parênteses ou fechadas, delimitada 
por colchete. 
Na representação gráfica, a fronteira aberta é representada por um circulo e a fronteira fechada 
por um ponto. 
Por exemplo, 
Intervalo Notação Equivalência verbal 
0 ≤ ݑ ≤ 2 [0,2] Todos os números entre zero e dois, incluindo os extremos, fronteiras fechadas. 
0 < ݑ < 2 (0,2) Todos os números entre zero e dois, excluindo os extremos, fronteiras abertas. 
0 ≤ ݑ < 2 [0, 2) Todos os números entre zero e dois, excluindo o dois. O zero é uma fronteira fechada e o dois é uma fronteira aberta. 
0 < ݑ ≤ 2 (0, 2] Todos os números entre zero e dois, excluindo o zero. O zero é uma fronteira aberta e o dois é uma fronteira fechada. 
0 ≤ ݑ < 1 ∪ 1 < ݑ ≤ 2 [0, 1) ∪ (1, 2] Todos os números entre zero e dois, excluindo o um. O zero e o dois são fronteiras fechadas e o um é uma fronteira aberta. 
 
 
AMARTEMÁTICA 
37 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Operações com intervalos 
As operações com intervalos são as definidas para operação de conjuntos. 
Para ܣ = (1,4) e ܤ = [2,6), por exemplo, temos: 
Conjunto Descrição por extensão e representação gráfica. 
ܣ ܤ ܣ ∪ ܤ ܣ ∩ ܤ ܣ\ܤ ܤ\ܣ 
Leis e propriedades das ações elementares 
As propriedades e definições associadas às operações matemáticas são as qualidades e as 
características, partes das normas da linguagem matemática, que nos permitem avaliar ações e 
expressões. 
Propriedades básicas e definições gerais 
Homogeneidade aditiva 
Um elemento é denominado homogêneo se sua composição uniforme não permite distinguir seus 
componentes. 
A contagem é a comparação (uma-a-um) de um conjunto de objetos homogêneos com a sequência 
dos números ordenados. 
A adição é um caso particular da contagem, em consonância com o princípio da comparação, a 
adição e a subtração se realizam somente para grandezas homogêneas ou homogeneizadas, por exemplo, 
duas laranjas mais duas laranjas são iguais a quatro laranjas. 
Homogeneizando, é possível adicionar duas laranjas mais duas bananas resultando em quatro 
frutas. 
A subtração, p.ex., quatro laranjas menos duas laranjas é igual a duas laranjas. 
A subtração não anula a homogeneização, p.ex., quatro frutas (duas laranjas mais duas bananas) 
menos duas frutas são duas frutas (duas laranjas ou, duas bananas ou, uma banana e uma laranja). 
AMARTEMÁTICA 
38
Antônio Marcos de Lima Araújo 
Homogeneização de racionais 
Frações homogêneas possuem o mesmo denominador. Por exemplo, as frações 2/5 e 3/5 podem 
ser descritas por seus componentes homogêneos 1/5. 
2
5 = 2 ∙
1
5 =
1
5 +
1
5 
3
5 = 3 ∙
1
5 =
1
5 +
1
5 +
1
5 
Assim, a adição (ou subtração) de frações homogêneas (com mesmo denominador) é uma fração 
cujo numerador é a soma dos numeradores com o mesmo denominador, 
3
7 +
1
7 =
1
7 +
1
7 +
1
7 +
1
7 =
4
7 ou 
3
7 +
1
7 =
3 + 1
7 =
4
7 
4
7 −
1
7 =
1
7 +
1
7 +
1
7 +
1
7 −
1
7 ==
3
7 ou 
4
7 −
1
7 =
4 − 1
7 =
3
7 
Para a adição (ou subtração) de frações, cujos denominadores são diferentes é necessário 
homogeneizar, ou tornar comum os denominadores. Encontrar fatores para homogeneização (ou 
determinar o mínimo múltiplo comum). 
A propriedade fundamental das proporções determina que se o numerador e o denominador de 
um número racional são multiplicados por um mesmo fator o valor do racional não se altera. 
ܽ
ܾ =
ܽ
݊ ∙
݉
݉ =
ܽ ∙ ݉
݊ ∙ ݊ 23 =
2
3 ∙
10
10 =
2 ∙ 10
3 ∙ 10 =
20
30 
 A homogeneização, de números racionais, consiste em multiplicar cada fração por frações cujo 
numerador e denominador iguais os denominadores das demais parcelas. 
Exercícios solucionados 
23 ܽ݉ +
ܾ
݊ = 
ܽ
݉ ∙ ቀ
݊
݊ቁ +
ܾ
݊ ∙ ቀ
݉
݉ቁ 
24 12 +
1
3 = 
1
2 ∙ ൬
3
3൰ +
1
3 ∙ ൬
2
2൰ =
3
6 +
2
6 =
5
6 
25 12 −
1
5 = 
1
2 ∙ ൬
5
5൰ −
1
5 ∙ ൬
2
2൰ =
5
10 −
2
10 =
3
10 
26 23 +
1
2 = 
2
3 ∙ ൬
2
2൰ +
1
2 ∙ ൬
3
3൰ =
4
6 +
3
6 =
4 + 3
6 =
7
3 
27 2 − 23 = 
2
1 −
2
3 =
2
1 ∙ ൬
3
3൰ −
2
3 ∙ ൬
1
1൰ =
6
3 −
2
3 =
6 − 2
3 =
4
3 
28 ܽ݉ +
ܾ
݊ +
ܿ
݌ = 
ܽ
݉ ∙ ቀ
݊
݊ቁ ∙ ൬
݌
݌൰ +
ܾ
݊ ∙ ቀ
݉
݉ቁ ∙ ൬
݌
݌൰ +
ܿ
݌ ∙ ቀ
݉
݉ቁ ∙ ቀ
݊
݊ቁ 
29 12 +
1
3 −
1
5 = 
1
2 ∙ ൬
3
3൰ ∙ ൬
5
5൰ +
1
3 ∙ ൬
2
2൰ ∙ ൬
5
5൰ −
1
5 ∙ ൬
2
2൰ ∙ ൬
3
3൰ =
15 + 10 − 6
30 =
19
30 
O resultado da homogeneização é um racional equivalente ao obtido utilizando o mínimo múltiplo 
comum. 
AMARTEMÁTICA 
39 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Número negativo 
Um número negativo é definido por, 
ܽ + (−ܾ) = ܽ − ܾ ≝ −(ܾ − ܽ) (18) 3 + (−5) = 3 − 5 = −(5 − 3) = −2 
A adição de dois números com sinais diferentes ܽ − ܾ = ܽ + (−ܾ) = −ܾ + ܽ = (−ܾ) + ܽ é igual à 
diferença entre os números, com o sinal do maior, −(ܾ − ܽ). 
Por consequência, para ܽ > 0 e ܾ > 0, 
1. Se ܽ > ܾ então a diferença será um número positivo e; 
2. Se ܽ < ܾ então a diferença será um número negativo. 
Por exemplo, 
8 − 2 = 6 2 − 8 = −(8 − 2) = −6 
5 − 7 = −(7 − 5) = −2 7 − 5 = 2 
Oposto 
O elemento oposto é aquele para o qual a soma é igual ao elemento neutro aditivo, zero. O oposto 
do número ܽ é o número – ܽ e, o oposto do número – ܽ é o número +ܽ. 
ܽ + −ܽ = (ܽ − ܽ) = 0 3 + −3 = 0 
−ܽ + ܽ = (−ܽ + ܽ) = 0 −5 + 5 = 0 
A subtração é, numericamente, igual à adição com o oposto, ou seja, 
+ܽ − ܾ = +ܽ + (−ܾ) +8 − 3 = 8 + (−3) 
−ܽ + ܾ = −(ܽ) + ܾ −8 + 3 = −(8) − (−3) = −(8 − 3) 
−ܽ − ܾ = −(ܽ) + (−ܾ) −8 − 3 = (−8) + (−3) = −(8 + 3) 
O oposto do oposto é o número, 
−(−ܽ) = a −(−5) = 5 
A subtração de um número e seu oposto é o dobro, 
ܽ − (−ܽ) = a + a = 2 ∙ a 5 − (−5) = 5 + 5 = 10 
 
 18 A colocação de parênteses significa que se considera a ação interna efetuada. 
AMARTEMÁTICA 
40 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Inverso 
O elemento inverso aquele para o qual o resultado da multiplicação ou divisão é igual ao elemento 
neutro multiplicativo, ݑ݉. O inverso de um número ܽ é escrito com um sobrescrito um negativo, 
1
ܽ = ܽିଵ 2ିଵ =
1
2 = 0,5 
O inverso de um é um, 1ିଵ = 11 = 1 
O zero não admite inverso. 0ିଵ Não existe. 
O inverso do inverso é o número, ܽିଵିଵ = ൬1ܽ൰
ିଵ = 1ିଵܽିଵ = ܽ 5ିଵିଵ = 5 
O inverso do negativo é negativo do inverso, (−ܽ)ିଵ = 1−ܽ = −
1
ܽ (−2)ିଵ = −0,5 
O inverso da fração, ቀ ܽ݉ቁ
ିଵ = ݉ܽ ൬25൰
ିଵ = 52 
A divisão por ܾ é, numericamente, igual a multiplicar com o inverso de ܾ, ou seja, 
ܽ
ܾ = ܽ ∙ (ܾ)ିଵ = ܽ ∙
1
ܾ 
6
2 = 6 ∙ (2)ିଵ = 6 ∙ 0.5 = 3 
Dividir um número ܽ por uma fração ܾ/݉ é multiplicar o número ܽ pelo inverso da fração ݉/ܾ, 
 ܽ ܾ݊ = ܽ ∙ ൬ܾ݊൰
ିଵ = ܽ ∙ ቀܾ݊ቁ =
ܽ ∙ ݊
ܾ 
 8 43
= 8 ∙ ൬43൰
ିଵ = 8 ∙ ൬34൰ =
8 ∙ 3
4 = 6 
Dividir uma fração ܽ/݉ por um número ܾ é multiplicar a fração ܽ/݉ pelo inverso do número 1/ܾ, 
 ܽ݉ 
ܾ =
ܽ
݉ ∙ (ܾ)ିଵ =
ܽ
݉ ∙ ൬
1
ܾ൰ =
ܽ
ܾ ∙ ݉ 
 84 3 =
8
4 ∙ (3)ିଵ =
8
4 ∙ ൬
1
3൰ =
8
4 ∙ 3 =
2
3 
Dividir uma fração ܽ/݉ por uma fração ܾ/݊ é multiplicar a fração do numerador ܽ/݉ pelo inverso 
da fração do denominador ݊/ܾ, ou seja, 
 ܽ݉ 
ܾ݊ = ܽ݉ ∙ ൬
ܾ
݊൰
ିଵ = ܽ݉ ∙ ቀ
݊
ܾቁ =
ܽ ∙ ݊
ܾ ∙ ݉ 
 83 45
= 83 ∙ ൬
4
5൰
ିଵ = 83 ∙ ൬
5
4൰ =
8 ∙ 5
3 ∙ 4 =
10
3 
 
AMARTEMÁTICA 
41 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Propriedades executivas 
As propriedades aritméticas executivas são aquelas utilizadas durante a realização das operações 
aritméticas, como comutatividade, associatividade e distributividade. 
Comutatividade e associatividade 
A comutatividade é propriedade de uma operação cujo resultado independe da ordem dos 
elementos que nela intervêm. 
A associatividade é propriedade de uma operação cujo resultado independe da ordem das 
operações que nela intervêm. 
A comutação e a associação estão intimamente associadas às operações que exibem uma 
característica especial, as ações matemáticas com objetos operativamente indistintos19, a adição e a 
multiplicação. 
Adição ܽ + ܾ = ܾ + ܽ 
Multiplicação ܽ ∙ ܾ = ܾ ∙ ܽ 
A adição é contar uma quantidade a partir de outra (ou vice versa), ou seja, é indistinto contar o 
numero ܾ a partir do número ܽ (ܽ + ܾ) ou, contar do número ܽ a partir do numero ܾ (ܾ + ܽ). 
ܽ + ܾ = ܾ + ܽ 
A multiplicação é a soma de um deles tantas vezes quantas forem às unidades do outro (ou vice 
versa), ou seja, é indistinto adicionar ܽ parcelas iguais ao numero ܾ (ܽ ∙ ܾ) ou adicionar b parcelas iguais ao 
número ܽ (ܾ ∙ ܽ). 
ܽ ∙ ܾ = ܾ ∙ ܽ ܾ + ܾ + ⋯ + ܾᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ
௔ ௣௔௥௖௘௟௔௦
 ܽ + ܽ + ⋯ + ܽᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ
௕ ௣௔௥௖௘௟௔௦
 
Por definição, as operações com objetos operativamente indistintos admitem, sem alteração do 
resultado, a troca de posição dos operandos em torno da operação, a comutatividade, 
Adição Multiplicação ܽ + ܾ = ܾ + ܽ ܽ ∙ ܾ = ܾ ∙ ܽ 
 
 19 São operandos operativamente indistintos ou indiscerníveis, possuem inclusive denominações idênticas (parcelas para soma, fatores para multiplicação). Os respectivos símbolos operatórios de adição (+) e multiplicação (× e ∙) exibem, curiosamente, simetria notável: são idênticos quando vistos da esquerda ou da direita, de cima ou de baixo. 
AMARTEMÁTICA 
42 Antônio Marcos de Lima Araújo 
Operações com objetos operativamente indistintos, com duas ou mais ocorrências consecutivas do 
mesmo operador, admitem, sem alteração de resultado, a alteração da ordem das operações (da direita 
para a esquerda ou da esquerda para a direita), a associatividade, 
Adição Multiplicação 
(ܽ + ܾ) + ܿ = ܽ + (ܾ