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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Prof. André Luís Corte Brochi INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS: ÁREAS E VOLUMES Cálculo Diferencial e Integral II Integrais simples: cálculo de áreas sob uma função f(x) 0, para a x b. b a dxxfA INTEGRAIS DUPLAS: ÁREAS E VOLUMES Cálculo Diferencial e Integral II Integrais duplas: cálculo do volume do sólido limitado f(x,y) 0, sobre uma região R. R dydxyxfV , d c b a dydxyxfV , EXERCÍCIO 1 Cálculo Diferencial e Integral II Calcular o volume do sólido formado pela função para e pelo plano xy. yxyxf , 42 e 31 yx EXERCÍCIO 1 Cálculo Diferencial e Integral II 4 2 3 1 11 4 2 3 1 1 2 1 2 4 2 3 1 1 2 4 2 3 1 4 2 3 1 2 1 3 2 9 1 2 1 3 2 3 2 dyCyCy dyCyCy dyCxy x dydxyxdydxyxV EXERCÍCIO 1 Cálculo Diferencial e Integral II 20 481616 224444 4 24 22 2 2 2 2 4 2 2 4 2 4 2 3 1 CC CC yy dyydydxyx EXERCÍCIO 2 Cálculo Diferencial e Integral II Utilizando derivadas duplas, calcule a área sob o gráfico da função 29 xxf .33 para x -3 -2 -1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x y 3 3 9 0 2 dxdyA x EXERCÍCIO 2 Cálculo Diferencial e Integral II 36 927927 3 27 27 3 27 27 3 9 22 22 3 3 2 3 3 3 9 01 3 3 9 0 3 3 9 0 2 2 2 CC CC C x x dxCy dxdy dxdyA x x x EXERCÍCIO 3 Cálculo Diferencial e Integral II Calcule a área da região fechada formada pelas funções -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5 x y . e 2 2xxgxxf Cálculo Diferencial e Integral II 2 9 3 8 42 3 1 2 2 1 3 2 22 2 2 3 1 12 2 1 3 2 2 2 3232 1 2 32 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 x x x dxxx dxy dxdy dxdyA x x x x x x EXERCÍCIO 3 INTEGRAIS DUPLAS NA FORMA POLAR Cálculo Diferencial e Integral II 1 2 3 1 2 3 x y EXERCÍCIO 4 Calcule a área da região sombreada ao lado: 21)( xxf 29)( xxg 3 0 9 1 2 2 dxdyA x x Cálculo Diferencial e Integral II 2 4 4 2 2 0 2 0 2 0 3 1 2 2 0 3 1 3 0 9 1 2 2 d d r ddrr dxdyA x x EXERCÍCIO 4 Cálculo Diferencial e Integral II EXERCÍCIO 5 Calcule o volume do sólido ao lado: 29)( xxg 21)( xxf 5h 3 0 9 1 5 2 2 dxdyV x x Cálculo Diferencial e Integral II INTEGRAIS DE LINHA EXERCÍCIO 6 Resolva a integral de linha de f(x,y) = xy² sobre a curva definida por 2 0 , sen cos t ty tx dtttytxfdsyxf ' )(),( , Cálculo Diferencial e Integral II 2 0 2 2 't sencos ' )(),( xy , dttt dtttytxf dsdsyxf jtittjtitt cos sen' sencos 1cos sencos sen 2222 ttttt 20 220 2 1t sencos 't sencos dttdttt Cálculo Diferencial e Integral II 3 1 3 0 sen 3 2 sen 3 1t sencos 3 3 23 2 0 22 0 2 0 C u duudtt
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